正态分布及其经典习题和答案

正态分布讲义

【知识网络】

1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；

2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；

3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 【典型例题】

例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ）

A ．n=4，p=0.6

B ．n=6,p=0.4

C ．n=8，p=0.3

D ．n=24，p=0.1

答案：B 。解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。

（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。

A ．95%

B ．50%

C ．97.5%

D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。

（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）

A 32

B 16

C 8

D 20

答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102

)，

8080

9080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭

。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。

答案：8.5。解析：设两数之积为X ，

∴E(X)=8.5.

（5）如图，两个正态分布曲线图：

1为)(1

,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ

，

则1μ 2μ，1σ 2σ（填大于，小于） 答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。

例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.

（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5

9

61321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯

. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则

P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=151412056563

10

381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立， 方法一：

∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()

45

1

15141321=

⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()

45

44

45111=

-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为45

44

． 方法二：

∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

()()

()45

44

15143215143115132=

⨯+⨯+⨯=

⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544

.

例3：甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，其分布列如下： （1）求a,b 的值； （2）比较两名射手的水平. 答案：（1）a=0.3,b=0.4; （2）23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX 6.0,855.0==DY DX

所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.．

例4：一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。 答案：设取出的红球数为X ，则X —H （6，6，12），666

612

()k k

C C P X k C -⋅==，其中k=0,1,2,…,6

设赢得的钱数为Y ，则Y 的分布列为

∴1675100

()100502010029.4446277154231

E Y =⨯+⨯+⨯-⨯=-，故我们不该“心动”

。 【课内练习】

1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。 A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。解析：由标准正态分布的定义知。

2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小 答案： C 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。

3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ，那么()

∑=-n

i i x x n 1

21是指

A ．σ

B ．μ

C ．2σ

D ．2

μ（

）

答案：C 。解析：由方差的统计定义知。

4．设),(~p n B ξ，()12=ξE ，()4=ξV ，则n 的值是 。

答案：4。解析：()12==np E ξ，()4)1(=-=p np V ξ

5．对某个数学题，甲解出的概率为2

3

，乙解出的概率为34，两人独立解题。记X 为解出该题的人数，则E

（X ）= 。

答案：1712。解析：11121145(0),(1),3412343412P X P X ==⨯===⨯+⨯=231

(2)342

P X ==⨯=。

∴1

5117()0122

12212

E X =⨯+⨯

+⨯=。 6．设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论正确的是 。 (1))0)(|(|)|(|)|(|>=+<=-<=<-=>-=

答案：(1),(2),(4)。解析：(||)0P a ξ==。

7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X ，则V （X ）= 。

答案：3512。解析：1

(),1,2,,66P X k k ===，按定义计算得735(),()212E X V X ==。

8．有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示：

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。 答案： 由于E （甲）=E （乙），V （甲）