2020年福建省中考数学试卷及解析
2020年福建省中考数学试卷附详细答案解析
2020年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣C．D．32．（4分）如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（4分）用科学记数法表示136 000，其结果是（）A．0.136×106B．1.36×105C．136×103D．136×1064．（4分）化简（2x）2的结果是（）A．x4B．2x2C．4x2D．4x5．（4分）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形6．（4分）不等式组：的解集是（）A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x＜2 C．x≥2 D．x＜﹣37．（4分）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，158．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD9．（4分）若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0＜k＜2，则n的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（4分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（）A．1区B．2区C．3区D．4区二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算|﹣2|﹣30= ．12．（4分）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE=3，则线段BC的长等于．13．（4分）一个箱子装有除颜色外都相同的 2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的 1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是．14．（4分）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是．15．（4分）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．16．（4分）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）•，其中a=﹣1．18．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．19．（8分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）20．（8分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P 在CA的延长线上，∠CAD=45°．（Ⅰ）若AB=4，求的长；（Ⅱ）若=，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．22．（10分）小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1．据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．23．（10分）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的 A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：使用次数0 1 2 3 4 5（含5次以上）累计车费0 0.5 0.9 a b 1.5同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：使用次数0 1 2 3 4 5人数 5 15 10 30 25 15（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．24．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；（Ⅱ）若AP=，求CF的长．25．（14分）已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M （1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．2020年福建省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）（2020•长春）3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣C．D．3【分析】根据相反数的定义即可求出3的相反数．【解答】解：3的相反数是﹣3故选A．【点评】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．2．（4分）（2020•福建）如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】直接利用三视图的画法，从左边观察，即可得出选项．【解答】解：图形的左视图为：，故选B．【点评】此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键．3．（4分）（2020•福建）用科学记数法表示136 000，其结果是（）A．0.136×106B．1.36×105C．136×103D．136×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：用科学记数法表示136 000，其结果是1.36×105，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）（2020•福建）化简（2x）2的结果是（）A．x4B．2x2C．4x2D．4x【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．【解答】解：（2x）2=4x2，故选：C．【点评】此题主要考查了积的乘方，关键是掌握计算法则．5．（4分）（2020•福建）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；B、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；C、线段是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；D、菱形是中心对称图形，是轴对称图形，故D符合题意；故选：A．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．（4分）（2020•福建）不等式组：的解集是（）A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x＜2 C．x≥2 D．x＜﹣3【分析】求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，【解答】解：解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣3，∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，故选A．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．7．（4分）（2020•福建）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20，最中间的数是15，则这组数据的中位数是15；15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15．故选：D．【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．8．（4分）（2020•福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD【分析】由圆周角定理得出∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，得出∠ACD+∠BAD=90°，即可得出答案．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∵∠BCD=∠BAD，∴∠ACD+∠BAD=90°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理；熟记圆周角定理是解决问题的关键．9．（4分）（2020•福建）若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0＜k＜2，则n的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据题意列方程组得到k=n﹣4，由于0＜k＜2，于是得到0＜n﹣4＜2，即可得到结论．【解答】解：依题意得：，∴k=n﹣4，∵0＜k＜2，∴0＜n﹣4＜2，∴4＜n＜6，故选C．【点评】考查了一次函数的图象与系数的关系，注重考察学生思维的严谨性，易错题，难度中等．10．（4分）（2020•福建）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（）A．1区B．2区C．3区D．4区【分析】根据旋转的性质连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，从而得出线段AB和点P是绕着同一个该点逆时针旋转90°，据此可得答案．【解答】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，由图可知，线段AB和点P绕着同一个该点逆时针旋转90°，∴点P逆时针旋转90°后所得对应点P′落在4区，故选：D．【点评】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质得出图形的旋转中心及旋转方向是解题的关键．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）（2020•福建）计算|﹣2|﹣30= 1 ．【分析】首先利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=2﹣1=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12．（4分）（2020•福建）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE=3，则线段BC的长等于 6 ．【分析】直接根据三角形的中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∵DE=3，∴BC=2DE=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．13．（4分）（2020•福建）一个箱子装有除颜色外都相同的 2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的 1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是红球．【分析】根据已知条件即可得到结论．【解答】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，∴这三种颜色的球的个数相等，∴添加的球是红球，故答案为：红球．【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．14．（4分）（2020•福建）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是7 ．【分析】先利用点A、B表示的数计算出AB，再计算出BC，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数．【解答】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，∴AB=3﹣1=2，∵BC=2AB=4，∴OC=OA+AB+BC=1+2+4=7，∴点C表示的数是7．故答案为7．【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）15．（4分）（2020•福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于108 度．【分析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如图，由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，∠5=∠6=180°﹣108°=72°，∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，故答案为：108．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．16．（4分）（2020•福建）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为．【分析】先根据点A在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，可得A（2，），再根据B（，2），D（﹣，﹣2），运用两点间距离公式求得AB和AD的长，即可得到矩形ABCD的面积．【解答】解：如图所示，根据点A在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，可得A（2，），根据矩形和双曲线的对称性可得，B（，2），D（﹣，﹣2），由两点间距离公式可得，AB==，AD==，∴矩形ABCD的面积=AB×AD=×=，故答案为：．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是画出图形，依据两点间距离公式求得矩形的边长．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2020•福建）先化简，再求值：（1﹣）•，其中a=﹣1．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：当a=﹣1时原式=•==【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．18．（8分）（2020•福建）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．【分析】证明BC=EF，然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的对应角相等即可证得．【解答】证明：如图，∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．∴∠A=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等常用的方法是证明所在的三角形全等．19．（8分）（2020•福建）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】根据角平分线的性质作出BQ即可．先根据垂直的定义得出∠ADB=90°，故∠BPD+∠PBD=90°．再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，据此可得出结论．【解答】解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°．∵∠B AC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°．∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP．∵∠BPD=∠APQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．20．（8分）（2020•福建）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，可分别得出方程，联立求解即可得出答案．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚，结合上有三十五头，下有九十四足可得：，解得：．答：鸡有23只，兔有12只．【点评】此题考查了二元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般．21．（8分）（2020•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O 的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．（Ⅰ）若AB=4，求的长；（Ⅱ）若=，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．【分析】（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；（Ⅱ）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP=CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=AB=2，∴的长=×π×2=π；（Ⅱ）∵=，∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，∴∠AOD=45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，∴∠ODA=67.5°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD，∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP=CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，∴PD是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（10分）（2020•福建）小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1．据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．【分析】（1）将α=30°代入，根据三角函数值计算可得；（2）设∠A=α，则∠B=90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．【解答】解1：（1）当α=30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）=sin230°+sin260°=（）2+（）2=+=1；（2）小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）=（）2+（）2===1．【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．23．（10分）（2020•福建）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的 A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：使用次数0 1 2 3 4 5（含5次以上）累计车费0 0.5 0.9 a b 1.5同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：使用次数0 1 2 3 4 5人数 5 15 10 30 25 15 （Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．【分析】（Ⅰ）根据收费调整情况列出算式计算即可求解；（Ⅱ）先根据平均数的计算公式求出抽取的 100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费，再根据用样本估计总体求出5000名师生一天使用共享单车的费用，再与5800比较大小即可求解．【解答】解：（Ⅰ）a=0.9+0.3=1.2，b=1.2+0.2=1.4；（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的 100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为：×（0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15）=1.1（元），所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为：5000×1.1=5500（元），因为5500＜5800，故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利．【点评】考查了样本平均数，用样本估计总体，（Ⅱ）中求得抽取的 100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费是解题的关键．24．（12分）（2020•福建）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E 分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；（Ⅱ）若AP=，求CF的长．【分析】（Ⅰ）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；（Ⅱ）方法1、先判断出OC=ED，OC=PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．方法2、先判断出∠CEF=∠FDC，得出点E，C，F，D四点共圆，再判断出点P也在此圆上，即可得出∠DAP=∠DCF，此后同方法1即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，∴AC==10，要使△PCD是等腰三角形，①当CP=CD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4，②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP=AC=5，③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，∵S△ADC=AD•DC=AC•DQ，∴DQ==，∴CQ==，∴PC=2CQ=，∴AP=AC﹣PC=10﹣=；所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或；（Ⅱ）方法1、如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，∵四边形ABCD和PEFD是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，∴∠ADP=∠CDF，∵∠BCD=90°，OE=OD，∴OC=ED，在矩形PEFD中，PF=DE，∴OC=PF，∵OP=OF=PF，∴OC=OP=OF，∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，∴2∠OCP+2∠OCF=180°，∴∠PCF=90°，∴∠PCD+∠FCD=90°，在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD，∴△ADP∽△CDF，∴，∵AP=，∴CF=．方法2、如图，∵四边形ABCD和DPEF是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，∴∠ADP=∠CDF，∵∠DGF+∠CDF=90°，∴∠EGC+∠CDF=90°，∵∠CEF+∠CGE=90°，∴∠CDF=∠FEC，∴点E，C，F，D四点共圆，∵四边形DPEF是矩形，∴点P也在此圆上，∵PE=DF，∴，∴∠ACB=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAP，∴∠DAP=∠DCF，∵∠ADP=∠CDF，∴△ADP∽△CDF，∴，∵AP=，∴CF=．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解（Ⅰ）的关键是分三种情况讨论计算，解（Ⅱ）的关键是判断出△ADP∽△CDF，是一道中考常考题．25．（14分）（2020•福建）已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．【分析】（Ⅰ）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；（Ⅱ）由直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函数性质可求得MN长度的取值范围；（ii）设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐标，利用S△QMN=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的面积，再整理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y=ax2+ax+b过点M（1，0），∴a+a+b=0，即b=﹣2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a（x+）2﹣，∴抛物线顶点Q的坐标为（﹣，﹣）；（Ⅱ）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），∴0=2×1+m，解得m=﹣2，联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0（*）∴△=（a﹣2）2﹣4a（﹣2a+2）=9a2﹣12a+4，由（Ⅰ）知b=﹣2a，且a＜b，∴a＜0，b＞0，∴△＞0，∴方程（*）有两个不相等的实数根，∴直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0，即x2+（1﹣）x﹣2+=0，∴（x﹣1）[x﹣（﹣2）]=0，解得x=1或x=﹣2，∴N点坐标为（﹣2，﹣6），（i）由勾股定理可得MN2=[（﹣2）﹣1]2+（﹣6）2=﹣+45=20（﹣）2，∵﹣1≤a≤﹣，∴﹣2≤≤﹣1，∴MN2随的增大而减小，∴当=﹣2时，MN2有最大值245，则MN有最大值7，当=﹣1时，MN2有最小值125，则MN有最小值5，∴线段MN长度的取值范围为5≤MN≤7；（ii）如图，设抛物线对称轴交直线与点E，∵抛物线对称轴为x=﹣，∴E（﹣，﹣3），∵M（1，0），N（﹣2，﹣6），且a＜0，设△QMN的面积为S，∴S=S△QEN+S△QEM=|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|=﹣﹣，∴27a2+（8S﹣54）a+24=0（*），∵关于a的方程（*）有实数根，∴△=（8S﹣54）2﹣4×27×24≥0，即（8S﹣54）2≥（36）2，∵a＜0，∴S=﹣﹣＞，∴8S﹣54＞0，∴8S﹣54≥36，即S≥+，当S=+时，由方程（*）可得a=﹣满足题意，∴当a=﹣，b=时，△QMN面积的最小值为+．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得N点的坐标是解题的关键，在最后一小题中用a表示出△QMN的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。
2020年福建省中考数学试题及答案
2020年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）−15的相反数是（ ） A ．5B ．15C ．−15D ．﹣52．（4分）如图所示的六角螺母，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（4分）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则△DEF 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．144．（4分）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．5．（4分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．36．（4分）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（）A．﹣1B．1C．2D．37．（4分）下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4D．a•a﹣1＝1（a≠0）8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）=6210x B．6210x−1=3C．3x﹣1=6210x D．6210x=39．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为BD̂中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算：|﹣8|＝．12．（4分）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．（4分）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）14．（4分）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．15．（4分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝度．16．（4分）设A，B，C，D是反比例函数y=kx图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD 不可能是矩形； ④四边形ABCD 不可能是正方形．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（8分）解不等式组：{2x ≤6−x ，①3x +1＞2(x −1)．②18．（8分）如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE ＝DF ．求证：∠BAE ＝∠DAF ．19．（8分）先化简，再求值：（1−1x+2）÷x 2−1x+2，其中x =√2+1．20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 交⊙O 于点C ，AO 的延长线交⊙O 于点D ，E 是BCD ̂上不与B ，D 重合的点，sin A =12． （1）求∠BED 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在AB 的延长线上，且BF ＝3√3，求证：DF 与⊙O 相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）如图，C为线段AB外一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）如图，△ADE 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ． （1）求∠BDE 的度数；（2）F 是EC 延长线上的点，且∠CDF ＝∠DAC ． ①判断DF 和PF 的数量关系，并证明； ②求证：EP PF=PC CF．25．（14分）已知直线l 1：y ＝﹣2x +10交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，二次函数的图象过A ，B 两点，交x 轴于另一点C ，BC ＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），当x 1＞x 2≥5时，总有y 1＞y 2． （1）求二次函数的表达式；（2）若直线l 2：y ＝mx +n （n ≠10），求证：当m ＝﹣2时，l 2∥l 1；（3）E 为线段BC 上不与端点重合的点，直线l 3：y ＝﹣2x +q 过点C 且交直线AE 于点F ，求△ABE 与△CEF 面积之和的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．B ．2．B ．3．D ．4．C ．5．B ．6．C ．7．D ．8．A ．9．A ．10．C ． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．8．12．13．13．4π．14．﹣10907．15．30．16．①④，三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解答】解：解不等式①，得：x ≤2， 解不等式②，得：x ＞﹣3， 则不等式组的解集为﹣3＜x ≤2． 18．【解答】证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠B ＝∠D ，AB ＝AD ， 在△ABE 和△ADF 中， {AB =AD ∠B =∠D BE =DF， ∴△ABE ≌△ADF （SAS ）， ∴∠BAE ＝∠DAF ．19．【解答】解：原式=x+2−1x+2•x+2(x+1)(x−1)=x+1x+2⋅x+2(x+1)(x−1) =1x−1，当x =√2+1时，原式=12+1−1=√22．20．【解答】解：（1）设销售甲种特产x 吨，则销售乙种特产（100﹣x ）吨， 10x +（100﹣x ）×1＝235， 解得，x ＝15， ∴100﹣x ＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨； （2）设利润为w 万元，销售甲种特产a 吨，w ＝（10.5﹣10）a +（1.2﹣1）×（100﹣a ）＝0.3a +20，∵0≤a ≤20，∴当a ＝20时，w 取得最大值，此时w ＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元． 21．【解答】解：（1）连接OB ，如图1， ∵AB 与⊙O 相切于点B ， ∴∠ABO ＝90°， ∵sin A =12， ∴∠A ＝30°，∴∠BOD ＝∠ABO +∠A ＝120°， ∴∠BED =12∠BOD ＝60°；（2）证明：连接OF ，OB ，如图2， ∵AB 是切线， ∴∠OBF ＝90°， ∵BF ＝3√3，OB ＝3， ∴tan∠BOF =BFOB =√3， ∴∠BOF ＝60°， ∵∠BOD ＝120°， ∴∠BOF ＝∠DOF ＝60°， 在△BOF 和△DOF 中， {OB =OD∠BOF =∠DOF OF =OF， ∴△BOF ≌△DOF （SAS ），∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∴DF与⊙O相切．22．【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：1000×650=120（户）；（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：150×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）＝2.4（千元）；（3）根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＞960+1130+1300+1470＞4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．23．【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；（2）证明：如图，∵CD ∥AB ，∴∠ABP ＝∠CDP ，∠BAP ＝∠DCP ， ∴△ABP ∽△CDP ， ∴AB CD=AP CP，∵AB ，CD 的中点分别为M ，N ， ∴AB ＝2AM ，CD ＝2CN ， ∴AM CN=AP PC，连接MP ，NP ， ∵∠BAP ＝∠DCP ， ∴△APM ∽△CPN ， ∴∠APM ＝∠CPN ， ∵点P 在AC 上，∴∠APM +∠CPM ＝180°， ∴∠CPN +∠CPM ＝180°， ∴M ，P ，N 三点在同一条直线上．24．【解答】解：（1）∵△ADE 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，△ABC ≌△ADE ，在Rt △ABD 中，∠B ＝∠ADB ＝45°，∴∠ADE ＝∠B ＝45°，∴∠BDE ＝∠ADB +∠ADE ＝90°．（2）①DF ＝PF ．证明：由旋转的性质可知，AC ＝AE ，∠CAE ＝90°，在Rt △ACE 中，∠ACE ＝∠AEC ＝45°，∵∠CDF ＝∠CAD ，∠ACE ＝∠ADB ＝45°，∴∠ADB +∠CDF ＝∠ACE +∠CAD ，即∠FPD ＝∠FDP ，∴DF ＝PF ．②证明：过点P 作PH ∥ED 交DF 于点H ，∴∠HPF ＝∠DEP ，EP PF =DH HF ，∵∠DPF ＝∠ADE +∠DEP ＝45°+∠DEP ，∠DPF ＝∠ACE +∠DAC ＝45°+∠DAC ，∴∠DEP ＝∠DAC ，又∵∠CDF ＝∠DAC ，∴∠DEP ＝∠CDF ，∴∠HPF ＝∠CDF ，又∵FD ＝FP ，∠F ＝∠F ，∴△HPF ≌△CDF （ASA ），∴HF ＝CF ，∴DH ＝PC ，又∵EP PF =DH HF ，∴EP PF =PC CF ．25．【解答】解：（1）∵直线l 1：y ＝﹣2x +10交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，∴点A （0，10），点B （5，0），∵BC ＝4，∴点C （9，0）或点C （1，0），∵点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），当x 1＞x 2≥5时，总有y 1＞y 2．∴当x ≥5时，y 随x 的增大而增大，当抛物线过点C （9，0）时，则当5＜x ＜7时，y 随x 的增大而减少，不合题意舍去， 当抛物线过点C （1，0）时，则当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，符合题意， ∴设抛物线解析式为：y ＝a （x ﹣1）（x ﹣5），过点A （0，10），∴10＝5a ，∴a ＝2，∴抛物线解析式为：y ＝2（x ﹣1）（x ﹣5）＝2x 2﹣12x +10；（2）当m ＝﹣2时，直线l 2：y ＝﹣2x +n （n ≠10），∴直线l 2：y ＝﹣2x +n （n ≠10）与直线l 1：y ＝﹣2x +10不重合，假设l 1与l 2不平行，则l 1与l 2必相交，设交点为P （x P ，y P ），∴{y P=−2x P+n y P =−2x P +10 解得：n ＝10，∵n ＝10与已知n ≠10矛盾，∴l 1与l 2不相交，∴l 2∥l 1；（3）如图，、∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C，∴0＝﹣2×1+q，∴q＝2，∴直线l3解析式为：y＝﹣2x+2，∴l3∥l1，∴CF∥AB，∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，∴△CEF∽△BEA，∴S△CEFS△ABE =（CEBE）2，设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，∴S△ABE=12×t×10＝5t，∴S△CEF＝（CEBE ）2×S△ABE＝（4−tt）2×5t=5(4−t)2t，∴S△ABE+S△CEF＝5t+5(4−t)2t=10t+80t−40＝10（√t2√2√t）2+40√2−40，∴当t＝2√2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40√2−40．。
2020年福建省中考数学试卷(含答案)
【word版】2020年福建省中考数学试卷(含答案) 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分1．–15的相反数是( )A．5 B．15C．－15D．–52．如图所示的六角螺母，其俯视图是( )3．如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是( )A．1 B．12C．13D．144．下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )5．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于( )A．10 B．5 C．4 D．36．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m–n的结果可能是( ) A．–1 B．1 C．2 D．37．下列运算正确的是( )A．3a2 –a2 =3 B．(a+b)2 =a2 +b2C．(–3ab2 )2=–6a2b4D．a·a–1 =1 (a≠0)8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．其大意为：现请人代买一批椽．这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试冋6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )A．3(x–1)=6210x B．6210x–1=3 C．3x–1=6210x D．6210x=39．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为BD中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于A．40°B．50°C．60°D．70°111222A．若│x1－1│＞│x2－1│，则y1> y2B．若│x1－1│＞│x2－1│，则y1＜y2C．若│x1－1│＝│x2－1│，则y1＝y2D．若则y1＝y2，x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分11．计算：|–8|= ．12．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．(结果保留π)14．2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为 米．15．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC 等于 ．16．设A ，B ，C ，D 是反比例函数y = kx 图象上的任意四点，现有以下结论①四边形ABCD 可以是平行四边形； ②四边形ABCD 可以是菱形；③四边形ABCD 不可能是矩形； ④四边形ABCD 不可能是正方形其中正确的是（写出所有正确结论的序号） ．三、解答题：本题共9小题，共86分17．（8分）解不等式组⎩⎨⎧2x ≤ 6 – x 3x + 1 > 2(x – 1)18．（8分）如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE=DF ．求证：∠BAE=∠DAF19．（8分）先化简，再求值：(1– 1x +2 )÷x 2 –1x +2，其中x =2+120．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10．5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1．2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 交⊙O 于点C ，AO 的延长线交⊙O 于点D ，E 是BCD ⌒上 不与B ，D 重合的点，sinA= 12（1）求∠BED 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在AB 的延长线上，且BF=33．求证：DF 与⊙O 相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如下图所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如下面的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）已知C为线段AB外的一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD=2AB；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的四边形ABCD中，AC、BD相交于P点，M、N分别为AB、CD的中点，求证：M、N、P三点在同一条直线上．24． （12分）如图，△AED 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 延长线上，AD 、EC 相交于点P ． （1）求∠BDE 的度数；（2）F 是EC 延长线上的点，且∠CDF ＝∠DAC ，①判断DF 与PF 的数量关系，并证明； ③求证： PE PF = PC FC ．25．（14分）已知直线l 1：y =－2x +10交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 两点，交x 轴于另一点C ,BC=4，且对于抛物线上的任意两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，当x 1> x 2≥5时，总有y 1> y 2．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l 2：y =mx +n （n ≠10），求证：当m =－2时， l 2∥l 1；（3）E 为线段BC 上不与端点重合的点，直线l 3：y =－2x +q 过点C 且交直线AE 于点F ，求△ABE 和△CEF 面积之和的最小值．P FE D CB。
2020年福建省中考数学试卷(附答案详解)
2020年福建省中考数学试卷1.(2021·山东省威海市·历年真题)−15的相反数是()A. 5B. 15C. −15D. −52.(2021·四川省成都市·模拟题)如图所示的六角螺母，其俯视图是()A.B.C.D.3.(2021·内蒙古自治区·模拟题)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是()A. 1B. 12C. 13D. 144.(2021·湖南省怀化市·模拟题)下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B.C. D.5.(2021·湖南省怀化市·模拟题)如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于()A. 10B. 5C. 4D. 36.(2021·湖南省怀化市·模拟题)如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m−n的结果可能是()A. −1B. 1C. 2D. 37.(2021·湖南省怀化市·模拟题)下列运算正确的是()A. 3a2−a2=3B. (a+b)2=a2+b2C. (−3ab2)2=−6a2b4D. a⋅a−1=1(a≠0)8.(2021·全国·单元测试)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是()A. 3(x−1)=6210x B. 6210x−1=3C. 3x−1=6210x D. 6210x=39.(2021·湖南省怀化市·模拟题)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为BD⏜中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°10.(2021·湖南省怀化市·模拟题)已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线y=ax2−2ax上的点，下列命题正确的是()A. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2B. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2C. 若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2D. 若y1=y2，则x1=x211.(2021·辽宁省大连市·期末考试)|−8|=______．12.(2021·福建省漳州市·单元测试)若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为______．13.(2021·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为______.(结果保留π)14.(2021·山东省·单元测试)2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为______米．15.(2021·江苏省盐城市·模拟题)如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．16.(2021·云南省·其他类型)设A，B，C，D是反比例函数y=kx图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)17.(2021·陕西省西安市·模拟题)解不等式组：{2x≤6−x, ①3x+1>2(x−1). ②18. (2020·河北省·单元测试)如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE =DF.求证：∠BAE =∠DAF ．19. (2021·江苏省苏州市·模拟题)先化简，再求值：(1−1x+2)÷x 2−1x+2，其中x =√2+1．20. (2020·江苏省·单元测试)某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21. (2021·湖南省怀化市·模拟题)如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 交⊙O 于点C ，AO的延长线交⊙O 于点D ，E 是BCD ⏜上不与B ，D 重合的点，sinA =12． (1)求∠BED 的大小；(2)若⊙O 的半径为3，点F 在AB 的延长线上，且BF =3√3，求证：DF 与⊙O 相切．22. (2021·湖南省益阳市·期末考试)为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．(1)如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元(不含2000元)的户数；(2)估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；(3)2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23.(2021·湖南省怀化市·模拟题)如图，C为线段AB外一点．(1)求作四边形ABCD，使得CD//AB，且CD=2AB；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．24.(2021·四川省成都市·模拟题)如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．(1)求∠BDE的度数；(2)F是EC延长线上的点，且∠CDF=∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：EPPF =PCCF．25.(2021·福建省漳州市·单元测试)已知直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=−2时，l2//l1；(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=−2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．答案和解析1.【答案】B【知识点】相反数 【解析】 【分析】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：−15的相反数是15， 故选：B ．2.【答案】B【知识点】简单组合体的三视图【解析】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆． 故选：B ．根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．3.【答案】D【知识点】三角形的中位线定理、等边三角形的性质 【解析】解：∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点， ∴DE =12AC ，DF =12BC ，EF =12AB ，∴DF BC=EF AB=DE AC=12，∴△DEF∽△ABC ，∴S △DEF S △ABC=(DE AC )2=(12)2=14，∵等边三角形ABC 的面积为1， ∴△DEF 的面积是14， 故选：D ．根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．4.【答案】C【知识点】中心对称图形、轴对称图形【解析】解：A.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形；D.扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】B【知识点】等腰三角形的性质【解析】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，∴CD=5．故选：B．根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．6.【答案】C【知识点】有理数大小比较、实数与数轴【解析】【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得−2<n<−1<0<m<1，m−n的结果可能是2．【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，∴−2<n<−1<0<m<1，∴m−n的结果可能是2．故选：C．7.【答案】D【知识点】负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式【解析】解：A、原式=2a2，故本选项不符合题意；B、原式=a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；C、原式=9a2b4，故本选项不符合题意；=1，故本选项符合题意；D、原式=a⋅1a故选：D．根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂分别求出每个式子的值，再判断即可．本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．8.【答案】A【知识点】由实际问题抽象出分式方程．【解析】解：依题意，得：3(x−1)=6210x故选：A．根据单价=总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．9.【答案】A【知识点】圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：∵A为BD⏜中点，∴AB⏜═AD⏜，∵AB=CD，∴AB⏜=CD⏜，∴AB⏜=AD⏜=CD⏜，∵圆周角∠BDC=60°，∴∠BDC对的BC⏜的度数是2×60°=120°，×(360°−120°)=80°，∴AB⏜的度数是13×80°=40°，∴AB⏜对的圆周角∠ADB的度数是12故选：A．求出AB⏜=AD⏜=CD⏜，根据圆周角∠BDC的度数求出它所对的BC⏜的度数，求出AB⏜的度数，再求出答案即可．本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据定理求出AB⏜= AD⏜=CD⏜是解此题的关键．10.【答案】C【知识点】二次函数的性质、证明与定理、定义与命题【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，当a>0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项B错误；当a<0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2，故选项A错误；若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2，故选项C正确；若y1=y2，则|x1−1|=|x2−1|，故选项D错误；故选：C．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11.【答案】8【知识点】绝对值【解析】【分析】本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.负数的绝对值是其相反数．【解答】解：∵−8<0，∴|−8|=−(−8)=8．故答案为8．12.【答案】13【知识点】概率公式【解析】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为13，故答案为：13．直接利用概率公式求解可得．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．13.【答案】4π【知识点】扇形面积的计算【解析】解：S扇形=90⋅π⋅42360=4π，故答案为4π．利用扇形的面积公式计算即可．本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积=n⋅π⋅r2360=12lr(r是扇形的半径，l是扇形的弧长)．14.【答案】−10907【知识点】正数和负数【解析】解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为−10907米．故答案为：−10907．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，理解了“正”与“负”的意义后再根据题意作答．本题考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．15.【答案】30【知识点】多边形内角与外角=120°，【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6所以∠ABC=120°−90°=30°，故答案为：30．由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．16.【答案】①④【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、矩形的判定与性质【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x>−3，则不等式组的解集为−3<x≤2．【知识点】一元一次不等式组的解法【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=AD，在△ABE和△ADF中，{AB=AD ∠B=∠D BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠BAE=∠DAF．【知识点】菱形的性质、全等三角形的判定与性质【解析】根据菱形的性质可得∠B=∠D，AB=AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE=∠DAF．本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．19.【答案】解：原式=x+2−1x+2⋅x+2 (x+1)(x−1)=1x−1，当x=√2+1时，原式=√2+1−1=√22．【知识点】分式的化简求值【解析】先把括号内通分，再计算括号内的减法运算和把除法运算化为乘法运算，然后把分母因式分解后进行约分得到原式=1x−1，再把x的值代入计算即可．本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．20.【答案】解：(1)设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产(100−x)吨，10x+(100−x)×1=235，解得，x=15，∴100−x=85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；(2)设利润为w元，销售甲种特产a吨，w=(10.5−10)a+(1.2−1)×(100−a)=0.3a+20，∵0≤a≤20，∴当a=20时，w取得最大值，此时w=26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．【知识点】一元一次方程的应用、一次函数的应用【解析】(1)根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨；(2)根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值．本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．21.【答案】解：(1)连接OB，如图1，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵sinA=12，∴∠A=30°，∴∠BOD=∠ABO+∠A=120°，∴∠BED=12∠BOD=60°；(2)连接OF，OB，如图2，∵AB是切线，∴∠OBF=90°，∵BF=3√3，OB=3，∴tan∠BOF=BFOB=√3，∴∠BOF=60°，∵∠BOD=120°，∴∠BOF=∠DOF=60°，在△BOF和△DOF中，{OB=OD∠BOF=∠DOF OF=OF，∴△BOF≌△DOF(SAS)，∴∠OBF=∠ODF=90°，∴DF与⊙O相切．【知识点】解直角三角形、垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理【解析】(1)连接OB，由切线求出∠ABO的度数，再由三角函数求出∠A，由三角形的外角性质求得∠BOD，最后由圆周解与圆心角的关系求得结果；(2)连接OF，OB，证明△BOF≌△DOF，得∠ODF=∠OBF=90°，便可得结论．本题主要考查了圆的切线的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，第(2)题关键是证明三角形全等．22.【答案】解：(1)根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元(不含2000元)的户数为：=120；1000×650(2)根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：1×(1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5) 50=2.4(千元)；(3)根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470>960+1130+1300+1470>4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．【知识点】加权平均数、用样本估计总体、折线统计图、条形统计图【解析】(1)用2000乘以样本中家庭人均纯收入低于2000元(不含2000元)的频率即可；(2)利用加权平均数进行计算即可；(3)求出当地农民2020年家庭人均年纯收入与4000进行大小比较即可．本题考查了折线统计图、用样本估计总体、条形统计图、加权平均数，考查运算能力、推理能力、考查统计思想．23.【答案】解：(1)如图，四边形ABCD即为所求；(2)如图，∵CD//AB，∴∠ABP=∠CDP，∠BAP=∠DCP，∴△ABP∽△CDP，∴ABCD =APPC，∵AB，CD的中点分别为M，N，∴AB=2AM，CD=2CN，∴AMCN =APPC，连接MP，NP，∵∠BAP=∠DCP，∴△APM∽△CPN，∴∠APM=∠CPN，∵点P在AC上，∴∠APM+∠CPM=180°，∴∠CPN+∠CPM=180°，∴M，P，N三点在同一条直线上．【知识点】作一条线段等于已知线段、相似三角形的判定与性质【解析】(1)利用尺规作图作CD//AB，且CD=2AB，即可作出四边形ABCD；(2)在(1)的四边形ABCD中，根据相似三角形的判定与性质即可证明M，P，N三点在同一条直线上．本题考查了作图−复杂作图、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．24.【答案】解：(1)∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB=AD，∠BAD=90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°，∴∠ADE=∠B=45°，∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°．(2)①DF=PF．证明：由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=90°，在Rt△ACE中，∠ACE=∠AEC=45°，∵∠CDF=∠CAD，∠ACE=∠ADB=45°，∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD，即∠FPD=∠FDP，∴DF=PF．②证明：过点P作PH//ED交DF于点H，∴∠HPF=∠DEP，EPPF =DHHF，∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP，∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC，∴∠DEP=∠DAC，又∵∠CDF=∠DAC，∴∠DEP=∠CDF，∴∠HPF=∠CDF，又∵FD=FP，∠F=∠F，∴△HPF≌△CDF(ASA)，∴HF=CF，∴DH=PC，又∵EPPF =DHHF，∴EPPF =PCCF．【知识点】相似形综合、旋转的基本性质、全等三角形的判定与性质【解析】(1)由旋转的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，△ABC≌△ADE，得出∠ADE=∠B=45°，可求出∠BDE的度数；(2)①由旋转的性质得出AC=AE，∠CAE=90°，证得∠FPD=∠FDP，由等腰三角形的判定得出结论；②过点P作PH//ED交DF于点H，得出∠HPF=∠DEP，EPPF =DHHF，证明△HPF≌△CDF(ASA)，由全等三角形的性质得出HF=CF，则可得出结论．本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，三角形内角与外角的关系，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．25.【答案】解：(1)∵直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A(0,10)，点B(5,0)，∵BC=4，∴点C(9,0)或点C(1,0)，∵点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C(9,0)时，则当5<x<7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C(1,0)时，则当x>3时，y随x的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y=a(x−1)(x−5)，过点A(0,10)，∴10=5a，∴a=2，∴抛物线解析式为：y =2(x −1)(x −5)=2x 2−12x +10；(2)当m =−2时，直线l 2：y =−2x +n(n ≠10)，∴直线l 2：y =−2x +n(n ≠10)与直线l 1：y =−2x +10不重合，假设l 1与l 2不平行，则l 1与l 2必相交，设交点为P(x P ,y P )，∴{y P =−2x P +n y P =−2x P +10解得：n =10，∵n =10与已知n ≠10矛盾，∴l 1与l 2不相交，∴l 2//l 1；(3)如图，、∵直线l 3：y =−2x +q 过点C ，∴0=−2×1+q ，∴q =2，∴直线l 3，解析式为L ：y =−2x +2，∴l 3//l 1，∴CF//AB ，∴∠ECF =∠ABE ，∠CFE =∠BAE ，∴△CEF∽△BEA ，∴S △CEF S △ABE =(CE BE )2， 设BE =t(0<t <4)，则CE =4−t ，∴S △ABE =12×t ×10=5t ，∴S△CEF=(CEBE )2×S△ABE=(4−tt)2×5t=5(4−t)2t，∴S△ABE+S△CEF=5t+5(4−t)2t =10t+80t−40=10(√t−√2√t)2+40√2−40，∴当t=2√2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40√2−40．【知识点】二次函数综合【解析】(1)先求出点A，点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；(2)利用反证法可得结论；(3)通过证明△CEF∽△BEA，可得S△CEFS△ABE =(CEBE)2，BE=t(0<t<4)，则CE=4−t，可求S△ABE=12×t×10=5t，S△CEF=5(4−t)2t，利用二次函数的性质可求解．本题是二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，利用数形结合思想和函数和方程的思想解决问题是本题的关键．。
2020年福建省中考数学试卷(附答案详解)
2020年福建省中考数学试卷1.(2021·山东省威海市·历年真题)−15的相反数是()A. 5B. 15C. −15D. −52.(2021·四川省成都市·模拟题)如图所示的六角螺母，其俯视图是()A.B.C.D.3.(2021·内蒙古自治区·模拟题)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是()A. 1B. 12C. 13D. 144.(2021·湖南省怀化市·模拟题)下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B.C. D.5.(2021·湖南省怀化市·模拟题)如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于()A. 10B. 5C. 4D. 36.(2021·湖南省怀化市·模拟题)如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m−n的结果可能是()A. −1B. 1C. 2D. 37.(2021·湖南省怀化市·模拟题)下列运算正确的是()A. 3a2−a2=3B. (a+b)2=a2+b2C. (−3ab2)2=−6a2b4D. a⋅a−1=1(a≠0)8.(2021·全国·单元测试)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是()A. 3(x−1)=6210x B. 6210x−1=3C. 3x−1=6210x D. 6210x=39.(2021·湖南省怀化市·模拟题)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为BD⏜中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°10.(2021·湖南省怀化市·模拟题)已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线y=ax2−2ax上的点，下列命题正确的是()A. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2B. 若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2C. 若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2D. 若y1=y2，则x1=x211.(2021·辽宁省大连市·期末考试)|−8|=______．12.(2021·福建省漳州市·单元测试)若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为______．13.(2021·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为______.(结果保留π)14.(2021·山东省·单元测试)2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为______米．15.(2021·江苏省盐城市·模拟题)如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=______度．16.(2021·云南省·其他类型)设A，B，C，D是反比例函数y=kx图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)17.(2021·陕西省西安市·模拟题)解不等式组：{2x≤6−x, ①3x+1>2(x−1). ②18. (2020·河北省·单元测试)如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE =DF.求证：∠BAE =∠DAF ．19. (2021·江苏省苏州市·模拟题)先化简，再求值：(1−1x+2)÷x 2−1x+2，其中x =√2+1．20. (2020·江苏省·单元测试)某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21. (2021·湖南省怀化市·模拟题)如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 交⊙O 于点C ，AO的延长线交⊙O 于点D ，E 是BCD ⏜上不与B ，D 重合的点，sinA =12． (1)求∠BED 的大小；(2)若⊙O 的半径为3，点F 在AB 的延长线上，且BF =3√3，求证：DF 与⊙O 相切．22. (2021·湖南省益阳市·期末考试)为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．(1)如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元(不含2000元)的户数；(2)估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；(3)2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23.(2021·湖南省怀化市·模拟题)如图，C为线段AB外一点．(1)求作四边形ABCD，使得CD//AB，且CD=2AB；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．24.(2021·四川省成都市·模拟题)如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．(1)求∠BDE的度数；(2)F是EC延长线上的点，且∠CDF=∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：EPPF =PCCF．25.(2021·福建省漳州市·单元测试)已知直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC=4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．(1)求二次函数的表达式；(2)若直线l2：y=mx+n(n≠10)，求证：当m=−2时，l2//l1；(3)E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y=−2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．答案和解析1.【答案】B【知识点】相反数 【解析】 【分析】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：−15的相反数是15， 故选：B ．2.【答案】B【知识点】简单组合体的三视图【解析】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆． 故选：B ．根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．3.【答案】D【知识点】三角形的中位线定理、等边三角形的性质 【解析】解：∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点， ∴DE =12AC ，DF =12BC ，EF =12AB ，∴DF BC=EF AB=DE AC=12，∴△DEF∽△ABC ，∴S △DEF S △ABC=(DE AC )2=(12)2=14，∵等边三角形ABC 的面积为1， ∴△DEF 的面积是14， 故选：D ．根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．4.【答案】C【知识点】中心对称图形、轴对称图形【解析】解：A.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形；D.扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】B【知识点】等腰三角形的性质【解析】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，∴CD=5．故选：B．根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．6.【答案】C【知识点】有理数大小比较、实数与数轴【解析】【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得−2<n<−1<0<m<1，m−n的结果可能是2．【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，∴−2<n<−1<0<m<1，∴m−n的结果可能是2．故选：C．7.【答案】D【知识点】负整数指数幂、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式【解析】解：A、原式=2a2，故本选项不符合题意；B、原式=a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；C、原式=9a2b4，故本选项不符合题意；=1，故本选项符合题意；D、原式=a⋅1a故选：D．根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂分别求出每个式子的值，再判断即可．本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．8.【答案】A【知识点】由实际问题抽象出分式方程．【解析】解：依题意，得：3(x−1)=6210x故选：A．根据单价=总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．9.【答案】A【知识点】圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：∵A为BD⏜中点，∴AB⏜═AD⏜，∵AB=CD，∴AB⏜=CD⏜，∴AB⏜=AD⏜=CD⏜，∵圆周角∠BDC=60°，∴∠BDC对的BC⏜的度数是2×60°=120°，×(360°−120°)=80°，∴AB⏜的度数是13×80°=40°，∴AB⏜对的圆周角∠ADB的度数是12故选：A．求出AB⏜=AD⏜=CD⏜，根据圆周角∠BDC的度数求出它所对的BC⏜的度数，求出AB⏜的度数，再求出答案即可．本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据定理求出AB⏜= AD⏜=CD⏜是解此题的关键．10.【答案】C【知识点】二次函数的性质、证明与定理、定义与命题【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，∴该抛物线的对称轴是直线x=1，当a>0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1>y2，故选项B错误；当a<0时，若|x1−1|>|x2−1|，则y1<y2，故选项A错误；若|x1−1|=|x2−1|，则y1=y2，故选项C正确；若y1=y2，则|x1−1|=|x2−1|，故选项D错误；故选：C．根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，命题与定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11.【答案】8【知识点】绝对值【解析】【分析】本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.负数的绝对值是其相反数．【解答】解：∵−8<0，∴|−8|=−(−8)=8．故答案为8．12.【答案】13【知识点】概率公式【解析】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为13，故答案为：13．直接利用概率公式求解可得．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．13.【答案】4π【知识点】扇形面积的计算【解析】解：S扇形=90⋅π⋅42360=4π，故答案为4π．利用扇形的面积公式计算即可．本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积=n⋅π⋅r2360=12lr(r是扇形的半径，l是扇形的弧长)．14.【答案】−10907【知识点】正数和负数【解析】解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为−10907米．故答案为：−10907．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，理解了“正”与“负”的意义后再根据题意作答．本题考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．15.【答案】30【知识点】多边形内角与外角=120°，【解析】解：正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6所以∠ABC=120°−90°=30°，故答案为：30．由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．本题考查了多边形内角和定理．解题的关键是会计算正六边形的每个内角的度数．16.【答案】①④【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、矩形的判定与性质【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA=OC=OB=OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD.证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x>−3，则不等式组的解集为−3<x≤2．【知识点】一元一次不等式组的解法【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=AD，在△ABE和△ADF中，{AB=AD ∠B=∠D BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠BAE=∠DAF．【知识点】菱形的性质、全等三角形的判定与性质【解析】根据菱形的性质可得∠B=∠D，AB=AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE=∠DAF．本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．19.【答案】解：原式=x+2−1x+2⋅x+2 (x+1)(x−1)=1x−1，当x=√2+1时，原式=√2+1−1=√22．【知识点】分式的化简求值【解析】先把括号内通分，再计算括号内的减法运算和把除法运算化为乘法运算，然后把分母因式分解后进行约分得到原式=1x−1，再把x的值代入计算即可．本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．20.【答案】解：(1)设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产(100−x)吨，10x+(100−x)×1=235，解得，x=15，∴100−x=85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；(2)设利润为w元，销售甲种特产a吨，w=(10.5−10)a+(1.2−1)×(100−a)=0.3a+20，∵0≤a≤20，∴当a=20时，w取得最大值，此时w=26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．【知识点】一元一次方程的应用、一次函数的应用【解析】(1)根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨；(2)根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值．本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．21.【答案】解：(1)连接OB，如图1，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵sinA=12，∴∠A=30°，∴∠BOD=∠ABO+∠A=120°，∴∠BED=12∠BOD=60°；(2)连接OF，OB，如图2，∵AB是切线，∴∠OBF=90°，∵BF=3√3，OB=3，∴tan∠BOF=BFOB=√3，∴∠BOF=60°，∵∠BOD=120°，∴∠BOF=∠DOF=60°，在△BOF和△DOF中，{OB=OD∠BOF=∠DOF OF=OF，∴△BOF≌△DOF(SAS)，∴∠OBF=∠ODF=90°，∴DF与⊙O相切．【知识点】解直角三角形、垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理【解析】(1)连接OB，由切线求出∠ABO的度数，再由三角函数求出∠A，由三角形的外角性质求得∠BOD，最后由圆周解与圆心角的关系求得结果；(2)连接OF，OB，证明△BOF≌△DOF，得∠ODF=∠OBF=90°，便可得结论．本题主要考查了圆的切线的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，第(2)题关键是证明三角形全等．22.【答案】解：(1)根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元(不含2000元)的户数为：=120；1000×650(2)根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：1×(1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5) 50=2.4(千元)；(3)根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470>960+1130+1300+1470>4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．【知识点】加权平均数、用样本估计总体、折线统计图、条形统计图【解析】(1)用2000乘以样本中家庭人均纯收入低于2000元(不含2000元)的频率即可；(2)利用加权平均数进行计算即可；(3)求出当地农民2020年家庭人均年纯收入与4000进行大小比较即可．本题考查了折线统计图、用样本估计总体、条形统计图、加权平均数，考查运算能力、推理能力、考查统计思想．23.【答案】解：(1)如图，四边形ABCD即为所求；(2)如图，∵CD//AB，∴∠ABP=∠CDP，∠BAP=∠DCP，∴△ABP∽△CDP，∴ABCD =APPC，∵AB，CD的中点分别为M，N，∴AB=2AM，CD=2CN，∴AMCN =APPC，连接MP，NP，∵∠BAP=∠DCP，∴△APM∽△CPN，∴∠APM=∠CPN，∵点P在AC上，∴∠APM+∠CPM=180°，∴∠CPN+∠CPM=180°，∴M，P，N三点在同一条直线上．【知识点】作一条线段等于已知线段、相似三角形的判定与性质【解析】(1)利用尺规作图作CD//AB，且CD=2AB，即可作出四边形ABCD；(2)在(1)的四边形ABCD中，根据相似三角形的判定与性质即可证明M，P，N三点在同一条直线上．本题考查了作图−复杂作图、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．24.【答案】解：(1)∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB=AD，∠BAD=90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°，∴∠ADE=∠B=45°，∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°．(2)①DF=PF．证明：由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=90°，在Rt△ACE中，∠ACE=∠AEC=45°，∵∠CDF=∠CAD，∠ACE=∠ADB=45°，∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD，即∠FPD=∠FDP，∴DF=PF．②证明：过点P作PH//ED交DF于点H，∴∠HPF=∠DEP，EPPF =DHHF，∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP，∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC，∴∠DEP=∠DAC，又∵∠CDF=∠DAC，∴∠DEP=∠CDF，∴∠HPF=∠CDF，又∵FD=FP，∠F=∠F，∴△HPF≌△CDF(ASA)，∴HF=CF，∴DH=PC，又∵EPPF =DHHF，∴EPPF =PCCF．【知识点】相似形综合、旋转的基本性质、全等三角形的判定与性质【解析】(1)由旋转的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，△ABC≌△ADE，得出∠ADE=∠B=45°，可求出∠BDE的度数；(2)①由旋转的性质得出AC=AE，∠CAE=90°，证得∠FPD=∠FDP，由等腰三角形的判定得出结论；②过点P作PH//ED交DF于点H，得出∠HPF=∠DEP，EPPF =DHHF，证明△HPF≌△CDF(ASA)，由全等三角形的性质得出HF=CF，则可得出结论．本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，三角形内角与外角的关系，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．25.【答案】解：(1)∵直线l1：y=−2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A(0,10)，点B(5,0)，∵BC=4，∴点C(9,0)或点C(1,0)，∵点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2．∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C(9,0)时，则当5<x<7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C(1,0)时，则当x>3时，y随x的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y=a(x−1)(x−5)，过点A(0,10)，∴10=5a，∴a=2，∴抛物线解析式为：y =2(x −1)(x −5)=2x 2−12x +10；(2)当m =−2时，直线l 2：y =−2x +n(n ≠10)，∴直线l 2：y =−2x +n(n ≠10)与直线l 1：y =−2x +10不重合，假设l 1与l 2不平行，则l 1与l 2必相交，设交点为P(x P ,y P )，∴{y P =−2x P +n y P =−2x P +10解得：n =10，∵n =10与已知n ≠10矛盾，∴l 1与l 2不相交，∴l 2//l 1；(3)如图，、∵直线l 3：y =−2x +q 过点C ，∴0=−2×1+q ，∴q =2，∴直线l 3，解析式为L ：y =−2x +2，∴l 3//l 1，∴CF//AB ，∴∠ECF =∠ABE ，∠CFE =∠BAE ，∴△CEF∽△BEA ，∴S △CEF S △ABE =(CE BE )2， 设BE =t(0<t <4)，则CE =4−t ，∴S △ABE =12×t ×10=5t ，∴S△CEF=(CEBE )2×S△ABE=(4−tt)2×5t=5(4−t)2t，∴S△ABE+S△CEF=5t+5(4−t)2t =10t+80t−40=10(√t−√2√t)2+40√2−40，∴当t=2√2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40√2−40．【知识点】二次函数综合【解析】(1)先求出点A，点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；(2)利用反证法可得结论；(3)通过证明△CEF∽△BEA，可得S△CEFS△ABE =(CEBE)2，BE=t(0<t<4)，则CE=4−t，可求S△ABE=12×t×10=5t，S△CEF=5(4−t)2t，利用二次函数的性质可求解．本题是二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，利用待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，利用数形结合思想和函数和方程的思想解决问题是本题的关键．。
2020年福建省中考数学试卷(权威解析)
2020年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．−15的相反数是（ ） A ．5B ．15C ．−15D ．﹣52．如图所示的六角螺母，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，面积为1的等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则△DEF 的面积是（ ） A ．1B ．12C ．13D ．14第3题 第5题 第6题4．下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，BD ＝5，则CD 等于（ ）A．10B．5C．4D．36．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（）A．﹣1B．1C．2D．37．下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4D．a•a﹣1＝1（a≠0）8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）=6210x B．6210x−1=3C．3x﹣1=6210x D．6210x=39．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为BD̂中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．|﹣8|＝．12．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）14．2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．15．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝度．16．设A，B，C，D是反比例函数y=kx图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组：{2x≤6−x，①3x+1＞2(x−1)．②18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE ＝∠DAF．19．（8分）先化简，再求值：（1−1x+2）÷x2−1x+2，其中x=√2+1．20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 交⊙O 于点C ，AO 的延长线交⊙O 于点D ，E 是BCD ̂上不与B ，D 重合的点，sinA =12． （1）求∠BED 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在AB 的延长线上，且BF ＝3√3，求证：DF 与⊙O 相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）如图，C 为线段AB 外一点．（1）求作四边形ABCD ，使得CD ∥AB ，且CD ＝2AB ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：M ，P ，N 三点在同一条直线上．24．（12分）如图，△ADE 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ． （1）求∠BDE 的度数；（2）F 是EC 延长线上的点，且∠CDF ＝∠DAC ． ①判断DF 和PF 的数量关系，并证明； ②求证：EP PF=PC CF．25．（14分）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．2020年福建省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．−15的相反数是（ ） A ．5B ．15C ．−15D ．﹣5【解答】解：−15的相反数是15，故选：B ．2．如图所示的六角螺母，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆． 故选：B ．3．如图，面积为1的等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则△DEF 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14【解答】解：∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点， ∴DE =12AC ，DF =12BC ，EF =12AB ， ∴DF BC=EF AB=DE AC=12，∴△DEF ∽△ABC ， ∴S △DEF S △ABC=（DE AC）2＝（12）2=14，∵等边三角形ABC 的面积为1， ∴△DEF 的面积是14，故选：D ．4．下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A ．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； B ．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形； C ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形； D ．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选：C ．5．如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，BD ＝5，则CD 等于（ ）A ．10B ．5C ．4D ．3【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．6．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（）A．﹣1B．1C．2D．3【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，∴﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，∴m﹣n的结果可能是2．故选：C．7．下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4D．a•a﹣1＝1（a≠0）【解答】解：A、原式＝2a2，故本选项不符合题意；B、原式＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；C、原式＝9a2b4，故本选项不符合题意；D、原式＝a⋅1a=1，故本选项符合题意；故选：D．8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）=6210x B．6210x−1=3C．3x﹣1=6210x D．6210x=3【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）=6210 x．故选：A．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为BD̂中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【解答】解：∵A 为BD ̂中点，∴AB ̂═AD ̂，∵AB ＝CD ，∴AB ̂=CD ̂，∴AB ̂=AD ̂=CD ̂，∵圆周角∠BDC ＝60°，∴∠BDC 对的BC ̂的度数是2×60°＝120°，∴AB ̂的度数是13×（360°﹣120°）＝80°，∴AB ̂对的圆周角∠ADB 的度数是12×80°=40°，故选：A ．10．已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是抛物线y ＝ax 2﹣2ax 上的点，下列命题正确的是（）A ．若|x 1﹣1|＞|x 2﹣1|，则y 1＞y 2B ．若|x 1﹣1|＞|x 2﹣1|，则y 1＜y 2C ．若|x 1﹣1|＝|x 2﹣1|，则y 1＝y 2D ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2【解答】解：∵抛物线y ＝ax 2﹣2ax ＝a （x ﹣1）2﹣a ，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝1，当a ＞0时，若|x 1﹣1|＞|x 2﹣1|，则y 1＞y 2，故选项B 错误；当a ＜0时，若|x 1﹣1|＞|x 2﹣1|，则y 1＜y 2，故选项A 错误；若|x 1﹣1|＝|x 2﹣1|，则y 1＝y 2，故选项C 正确；若y 1＝y 2，则|x 1﹣1|＝|x 2﹣1|，故选项D 错误；故选：C ．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．|﹣8|＝ 8 ．【解答】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8．故答案为：8．12．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为 13 ．【解答】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为13， 故答案为：13． 13．一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为 4π ．（结果保留π）【解答】解：S 扇形=90⋅π⋅42360=4π， 故答案为4π．14．2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为 ﹣10907 米．【解答】解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为﹣10907米．故答案为：﹣10907．15．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC ＝ 30 度．【解答】解：正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6=120°，所以∠ABC ＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30． 16．设A ，B ，C ，D 是反比例函数y =k x图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD 可以是平行四边形；②四边形ABCD 可以是菱形；③四边形ABCD 不可能是矩形；④四边形ABCD 不可能是正方形．其中正确的是 ①④ ．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：如图，过点O 任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A ，C ，B ，D ，得到四边形ABCD ．由对称性可知，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，当OA ＝OC ＝OB ＝OD 时，四边形ABCD 是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC 与直线BD 不可能垂直，∴四边形ABCD 不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组：{2x ≤6−x ，①3x +1＞2(x −1)．②【解答】解：解不等式①，得：x ≤2，解不等式②，得：x ＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x ≤2．18．（8分）如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE ＝DF ．求证：∠BAE＝∠DAF ．【解答】证明：四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，在△ABE 和△ADF 中，{AB =AD ∠B =∠D BE =DF，∴△ABE ≌△ADF （SAS ），∴∠BAE ＝∠DAF ．19．（8分）先化简，再求值：（1−1x+2）÷x 2−1x+2，其中x =√2+1． 【解答】解：原式=x+2−1x+2•x+2(x+1)(x−1)=1x−1，当x =√2+1时，原式=1√2+1−1=√22． 20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．【解答】解：（1）设销售甲种特产x 吨，则销售乙种特产（100﹣x ）吨，10x +（100﹣x ）×1＝235，解得，x ＝15，∴100﹣x ＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）设利润为w 万元，销售甲种特产a 吨，w ＝（10.5﹣10）a +（1.2﹣1）×（100﹣a ）＝0.3a +20，∵0≤a ≤20，∴当a ＝20时，w 取得最大值，此时w ＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．21．（8分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 交⊙O 于点C ，AO 的延长线交⊙O 于点D ，E 是BCD ̂上不与B ，D 重合的点，sinA =12． （1）求∠BED 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在AB 的延长线上，且BF ＝3√3，求证：DF 与⊙O 相切．【解答】解：（1）连接OB ，如图1，∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABO ＝90°，∵sinA =12，∴∠A ＝30°，∴∠BOD ＝∠ABO +∠A ＝120°，∴∠BED =12∠BOD ＝60°；（2）连接OF ，OB ，如图2，∵AB 是切线，∴∠OBF ＝90°，∵BF ＝3√3，OB ＝3，∴tan ∠BOF =BF OB =√3， ∴∠BOF ＝60°，∵∠BOD ＝120°，∴∠BOF ＝∠DOF ＝60°，在△BOF 和△DOF 中，{OB =OD ∠BOF =∠DOF OF =OF，∴△BOF ≌△DOF （SAS ），∴∠OBF ＝∠ODF ＝90°，∴DF 与⊙O 相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：1000×650=120；（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：150×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）＝2.4（千元）；（3）根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＞960+1130+1300+1470＞4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．23．（10分）如图，C 为线段AB 外一点．（1）求作四边形ABCD ，使得CD ∥AB ，且CD ＝2AB ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：M ，P ，N 三点在同一条直线上．【解答】解：（1）如图，四边形ABCD 即为所求；（2）如图，∵CD ∥AB ，∴∠ABP ＝∠CDP ，∠BAP ＝∠DCP ，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB CD =AP PC ，∵AB ，CD 的中点分别为M ，N ，∴AB ＝2AM ，CD ＝2CN ，∴AM CN =AP PC ，连接MP ，NP ，∵∠BAP ＝∠DCP ，∴△APM ∽△CPN ，∴∠APM ＝∠CPN ，∵点P 在AC 上，∴∠APM +∠CPM ＝180°，∴∠CPN +∠CPM ＝180°，∴M ，P ，N 三点在同一条直线上．24．（12分）如图，△ADE 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ．（1）求∠BDE 的度数；（2）F 是EC 延长线上的点，且∠CDF ＝∠DAC ．①判断DF 和PF 的数量关系，并证明；②求证：EP PF =PC CF ．【解答】解：（1）∵△ADE 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，△ABC ≌△ADE ，在Rt △ABD 中，∠B ＝∠ADB ＝45°，∴∠ADE ＝∠B ＝45°，∴∠BDE ＝∠ADB +∠ADE ＝90°．（2）①DF ＝PF ．证明：由旋转的性质可知，AC ＝AE ，∠CAE ＝90°，在Rt △ACE 中，∠ACE ＝∠AEC ＝45°，∵∠CDF ＝∠CAD ，∠ACE ＝∠ADB ＝45°，∴∠ADB +∠CDF ＝∠ACE +∠CAD ，即∠FPD ＝∠FDP ，∴DF ＝PF ．②证明：过点P 作PH ∥ED 交DF 于点H ，∴∠HPF ＝∠DEP ，EP PF =DH HF ，∵∠DPF ＝∠ADE +∠DEP ＝45°+∠DEP ，∠DPF ＝∠ACE +∠DAC ＝45°+∠DAC ，∴∠DEP ＝∠DAC ，又∵∠CDF ＝∠DAC ，∴∠DEP ＝∠CDF ，∴∠HPF ＝∠CDF ，又∵FD ＝FP ，∠F ＝∠F ，∴△HPF ≌△CDF （ASA ），∴HF ＝CF ，∴DH ＝PC ，又∵EP PF =DH HF ， ∴EP PF =PC CF ．25．（14分）已知直线l 1：y ＝﹣2x +10交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，二次函数的图象过A ，B 两点，交x 轴于另一点C ，BC ＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），当x 1＞x 2≥5时，总有y 1＞y 2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l 2：y ＝mx +n （n ≠10），求证：当m ＝﹣2时，l 2∥l 1；（3）E 为线段BC 上不与端点重合的点，直线l 3：y ＝﹣2x +q 过点C 且交直线AE 于点F ，求△ABE 与△CEF 面积之和的最小值．【解答】解：（1）∵直线l 1：y ＝﹣2x +10交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，∴点A （0，10），点B （5，0），∵BC ＝4，∴点C （9，0）或点C （1，0），∵点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），当x 1＞x 2≥5时，总有y 1＞y 2．∴当x ≥5时，y 随x 的增大而增大，当抛物线过点C （9，0）时，则当5＜x ＜7时，y 随x 的增大而减少，不合题意舍去， 当抛物线过点C （1，0）时，则当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，符合题意， ∴设抛物线解析式为：y ＝a （x ﹣1）（x ﹣5），过点A （0，10），∴10＝5a ，∴a ＝2，∴抛物线解析式为：y ＝2（x ﹣1）（x ﹣5）＝2x 2﹣12x +10；（2）当m ＝﹣2时，直线l 2：y ＝﹣2x +n （n ≠10），∴直线l 2：y ＝﹣2x +n （n ≠10）与直线l 1：y ＝﹣2x +10不重合，假设l 1与l 2不平行，则l 1与l 2必相交，设交点为P （x P ，y P ），∴{y P=−2x P+n y P =−2x P +10 解得：n ＝10，∵n ＝10与已知n ≠10矛盾，∴l 1与l 2不相交，∴l 2∥l 1；（3）如图，、∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C，∴0＝﹣2×1+q，∴q＝2，∴直线l3，解析式为L：y＝﹣2x+2，∴l3∥l1，∴CF∥AB，∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，∴△CEF∽△BEA，∴S△CEFS△ABE =（CEBE）2，设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，∴S△ABE=12×t×10＝5t，∴S△CEF＝（CEBE ）2×S△ABE＝（4−tt）2×5t=5(4−t)2t，∴S△ABE+S△CEF＝5t+5(4−t)2t=10t+80t−40＝10（√t√2√t）2+40√2−40，∴当t＝2√2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40√2−40．。
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2020年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）﹣的相反数是（）A．5B．C．﹣D．﹣52．（4分）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1B．C．D．4．（4分）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．36．（4分）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（）A．﹣1B．1C．2D．37．（4分）下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4D．a•a﹣1＝1（a≠0）8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）＝B．＝3C．3x﹣1＝D．＝39．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）|﹣8|＝．12．（4分）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．（4分）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）14．（4分）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．15．（4分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝度．16．（4分）设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组：18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sin A＝．（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）如图，C为线段AB外一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC 的延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：＝．25．（14分）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x 轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．2020年福建省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）﹣的相反数是（）A．5B．C．﹣D．﹣5【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：﹣的相反数是，故选：B．2．（4分）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．故选：B．3．（4分）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1B．C．D．【分析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴＝，∴△DEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵等边三角形ABC的面积为1，∴△DEF的面积是，故选：D．4．（4分）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；D．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C．5．（4分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．3【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．6．（4分）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，m﹣n的结果可能是2．【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，∴﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，∴m﹣n的结果可能是2．故选：C．7．（4分）下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4D．a•a﹣1＝1（a≠0）【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂分别求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、原式＝2a2，故本选项不符合题意；B、原式＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；C、原式＝9a2b4，故本选项不符合题意；D、原式＝a＝1，故本选项符合题意；故选：D．8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）＝B．＝3C．3x﹣1＝D．＝3【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．故选：A．9．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】求出＝＝，根据圆周角∠BDC的度数求出它所对的的度数，求出的度数，再求出答案即可．【解答】解：∵A为中点，∴═，∵AB＝CD，∴＝，∴＝＝，∵圆周角∠BDC＝60°，∴∠BDC对的的度数是2×60°＝120°，∴的度数是（360°﹣120°）＝80°，∴对的圆周角∠ADB的度数是，故选：A．10．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）|﹣8|＝8．【分析】负数的绝对值是其相反数．【解答】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8．故答案为：8．12．（4分）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．【分析】直接利用概率公式求解可得．【解答】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为，故答案为：．13．（4分）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为4π．（结果保留π）【分析】利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：S扇形＝＝4π，故答案为4π．14．（4分）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为﹣10907米．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，理解了“正”与“负”的意义后再根据题意作答．【解答】解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为﹣10907米．故答案为：﹣10907．15．（4分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝30度．【分析】由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC的度数．【解答】解：正六边形的每个内角的度数为：＝120°，所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30．16．（4分）设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是①④．（写出所有正确结论的序号）【分析】如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．【解答】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组：【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE＝∠DAF．【解答】证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．【分析】先把括号内通分，再计算括号内的减法运算和把除法运算化为乘法运算，然后把分母因式分解后进行约分得到原式＝，再把x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝，当时，原式＝＝．20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨；（2）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值．【解答】解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，10x+（100﹣x）×1＝235，解得，x＝15，∴100﹣x＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）设利润为w万元，销售甲种特产a吨，w＝（10.5﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.3a+20，∵0≤a≤20，∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sin A＝．（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．【分析】（1）连接OB，由切线求出∠ABO的度数，再由三角函数求出∠A，由三角形的外角性质求得∠BOD，最后由圆周解与圆心角的关系求得结果；（2）连接OF，OB，证明△BOF≌△DOF，得∠ODF＝∠OBF＝90°，便可得结论．【解答】解：（1）连接OB，如图1，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵sin A＝，∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，∴∠BED＝∠BOD＝60°；（2）连接OF，OB，如图2，∵AB是切线，∴∠OBF＝90°，∵BF＝3，OB＝3，∴，∴∠BOF＝60°，∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°，在△BOF和△DOF中，，∴△BOF≌△DOF（SAS），∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∴DF与⊙O相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．【分析】（1）用2000乘以样本中家庭人均纯收入低于2000元（不含2000元）的频率即可；（2）利用加权平均数进行计算即可；（3）求出当地农民2020年家庭人均年纯收入与4000进行大小比较即可．【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：1000×＝120；（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）＝2.4（千元）；（3）根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＞960+1130+1300+1470＞4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．23．（10分）如图，C为线段AB外一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．【分析】（1）利用尺规作图作CD∥AB，且CD＝2AB，即可作出四边形ABCD；（2）在（1）的四边形ABCD中，根据相似三角形的判定与性质即可证明M，P，N三点在同一条直线上．【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；（2）如图，∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∵AB，CD的中点分别为M，N，∴AB＝2AM，CD＝2CN，∴＝，连接MP，NP，∵∠BAP＝∠DCP，∴△APM∽△CPN，∴∠APM＝∠CPN，∵点P在AC上，∴∠APM+∠CPM＝180°，∴∠CPN+∠CPM＝180°，∴M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC 的延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：＝．【分析】（1）由旋转的性质得出AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，得出∠ADE＝∠B＝45°，可求出∠BDE的度数；（2）①由旋转的性质得出AC＝AE，∠CAE＝90°，证得∠FPD＝∠FDP，由等腰三角形的判定得出结论；②过点P作PH∥ED交DF于点H，得出∠HPF＝∠DEP，，证明△HPF≌△CDF（ASA），由全等三角形的性质得出HF＝CF，则可得出结论．【解答】解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．（2）①DF＝PF．证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF．②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，∴∠HPF＝∠DEP，，∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，∴∠DEP＝∠DAC，又∵∠CDF＝∠DAC，∴∠DEP＝∠CDF，∴∠HPF＝∠CDF，又∵FD＝FP，∠F＝∠F，∴△HPF≌△CDF（ASA），∴HF＝CF，∴DH＝PC，又∵，∴．25．（14分）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x 轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．【分析】（1）先求出点A，点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）利用反证法可得结论；（3）通过证明△CEF∽△BEA，可得＝（）2，BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，可求S△ABE ＝×t×10＝5t，S△CEF＝，利用二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A（0，10），点B（5，0），∵BC＝4，∴点C（9，0）或点C（1，0），∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），∴10＝5a，∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），∴直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣2x+10不重合，假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P（x P，y P），∴解得：n＝10，∵n＝10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2∥l1；（3）如图，、∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C，∴0＝﹣2×1+q，∴q＝2，∴直线l3解析式为：y＝﹣2x+2，∴l3∥l1，∴CF∥AB，∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，∴△CEF∽△BEA，∴＝（）2，设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，∴S△ABE＝×t×10＝5t，∴S△CEF＝（）2×S△ABE＝（）2×5t＝，∴S△ABE+S△CEF＝5t+＝10t+﹣40＝10（﹣）2+40﹣40，∴当t＝2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40﹣40．。
2020年福建省中考数学试卷(附答案解析)
2020年福建省中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）－的相反数是（）A．5B．C．－D．－52．（4分）如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1B．C．D．4．（4分）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．36．（4分）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m－n的结果可能是（）A．－1B．1C．2D．37．（4分）下列运算正确的是（）A．3a2－a2＝3B．（a＋b）2＝a2＋b2C．（－3ab2）2＝－6a2b4D．a•a－1＝1（a≠0）8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x－1）＝B．＝3C．3x－1＝D．＝39．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2－2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1－1|＞|x2－1|，则y1＞y2B．若|x1－1|＞|x2－1|，则y1＜y2C．若|x1－1|＝|x2－1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）|－8|＝．12．（4分）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．（4分）一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）14．（4分）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为＋100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．15．（4分）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝度．16．（4分）设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组：18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．19．（8分）先化简，再求值：（1－）÷，其中x＝＋1．20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sin A＝．（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）如图，C为线段AB外一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：＝．25．（14分）已知直线l1：y＝－2x＋10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx＋n（n≠10），求证：当m＝－2时，l2∥l1；（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝－2x＋q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．【试题答案】一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．B【解答】解：－的相反数是，2．B【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．3．D【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴＝，∴△DEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵等边三角形ABC的面积为1，∴△DEF的面积是，4．C【解答】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；D．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．5．B【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．6．C【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，∴－2＜n＜－1＜0＜m＜1，∴m－n的结果可能是2．7．D【解答】解：A、原式＝2a2，故本选项不符合题意；B、原式＝a2＋2ab＋b2，故本选项不符合题意；C、原式＝9a2b4，故本选项不符合题意；D、原式＝a＝1，故本选项符合题意；8．A【解答】解：依题意，得：3（x－1）＝．9．A【解答】解：∵A为中点，∴═，∵AB＝CD，∴＝，∴＝＝，∵圆周角∠BDC＝60°，∴∠BDC对的的度数是2×60°＝120°，∴的度数是（360°－120°）＝80°，∴对的圆周角∠ADB的度数是。
福建省2020年中考数学试题(解析版)
那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210 文能买多少株椽？设这批椽的数量
为 x 株，则符合题意的方程是（ ）
A. 3(x 1) 6210 x
【答案】A
B.
6210 3 x 1
C. 3x 1 6210 x
D. 6210 3 x
【解析】
【分析】
根据“这批椽的价钱为 6210 文”、“每件椽的运费为 3 文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减乘除及完全平方公式、负整数指数幂等运算公式，熟练掌握公式及运算法则
是解决此类题的关键．
8.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，
无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210 文．如果每件椽的运费是 3 文，
故选 D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
4.下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C. 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合.
福州市中考数学试卷及答案解析
2020年福建省福州市中考数学试卷一、（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是（）A．0.7 B．C．πD．﹣82．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角4．下列算式中，结果等于a6的是（）A．a4+a2B．a2+a2+a2 C．a2•a3D．a2•a2•a25．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜36．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A．B．C．D．8．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）9．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）10．下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄/岁13 14 15 16频数 5 15 x 10﹣x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差11．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x2﹣4= ．14．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．15．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上r下．（填“＜”“=”“＜”）17．若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．三、解答题（共9小题，满分90分）19．计算：|﹣1|﹣+（﹣2020）0．20．化简：a﹣b﹣．21．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．22．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？23．福州市2020﹣2020年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2020年比2020年增加了万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是；（3）预测2020年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．25．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．26．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．27．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．2020年福建省福州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个正确选项）1．下列实数中的无理数是（）A．0.7 B．C．πD．﹣8【考点】无理数．【专题】计算题．【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可．【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，且0.7为有限小数，为有限小数，﹣8为正数，都属于有理数，π为无限不循环小数，∴π为无理数．故选：C．【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．2．如图是3个相同的小正方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为2，1，故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角D．对顶角【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．【分析】根据内错角的定义求解．【解答】解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．故选B．【点评】本题考查了同位角、内错角、同位角：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．4．下列算式中，结果等于a6的是（）A．a4+a2B．a2+a2+a2 C．a2•a3D．a2•a2•a2【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．【专题】计算题；推理填空题．【分析】A：a4+a2≠a6，据此判断即可．B：根据合并同类项的方法，可得a2+a2+a2=3a2．C：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a3=a5．D：根据同底数幂的乘法法则，可得a2•a2•a2=a6．【解答】解：∵a4+a2≠a6，∴选项A的结果不等于a6；∵a2+a2+a2=3a2，∴选项B的结果不等于a6；∵a2•a3=a5，∴选项C的结果不等于a6；∵a2•a2•a2=a6，∴选项D的结果等于a6．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（2）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．5．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜3【考点】解一元一次不等式组．【专题】方程与不等式．【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，解不等式②，得x＞3，由①②可得，x＞3，故原不等式组的解集是x＞3．故选B．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．6．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义和必然发生的事件的概率P（A）=1、不可能发生事件的概率P（A）=0对A、B、C进行判定；根据频率与概率的区别对D进行判定．【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误．故选A．【点评】本题考查了概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．7．A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（）A．B．C．D．【考点】相反数；数轴．【专题】数形结合．【分析】数轴上互为相反数的点到原点的距离相等，通过观察线段AB上的点与原点的距离就可以做出判断．【解答】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点0的左右两侧，从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，其余答案的线段都在原点0的同一侧，所以可以得出答案为B．故选：B【点评】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段AB上的点与原点的距离．8．平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），∴点A和点C关于原点对称，∵四边形ABCD是平行四边形，∴D和B关于原点对称，∵B（2，﹣1），∴点D的坐标是（﹣2，1）．故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称是解决问题的关键．9．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【专题】计算题；三角形．【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，则P的坐标为（c osα，sinα），故选C．【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．10．下表是某校合唱团成员的年龄分布年龄/岁13 14 15 16频数 5 15 x 10﹣x对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差【考点】统计量的选择；频数（率）分布表．【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x=10，则总人数为：5+15+10=30，故该组数据的众数为14岁，中位数为： =14岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．11．已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）A．B．C．D．【考点】坐标确定位置；函数的图象．【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．【解答】解：∵点A（﹣1，m），B（1，m），∴A与B关于y轴对称，故A，B错误；∵B（1，m），C（2，m+1），∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误．故选C．【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．12．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a=0 C．c＞0 D．c=0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．【解答】解：∵一元二次方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，∴ac≤4，且a≠0；A、若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；B、a=0不符合一元二次方程的定义，此选项错误；C、若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；D、若c=0，则ac=0≤4，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2）．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】因式分解．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．14．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣1 ．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】常规题型．【分析】根据二次根式的性质可求出x的取值范围．【解答】解：若二次根式在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．15．已知四个点的坐标分别是（﹣1，1），（2，2），（，），（﹣5，﹣），从中随机选取一个点，在反比例函数y=图象上的概率是．【考点】概率公式；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先判断四个点的坐标是否在反比例函数y=图象上，再让在反比例函数y=图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y=图象上的概率，依此即可求解．【解答】解：∵﹣1×1=﹣1，2×2=4，×=1，（﹣5）×（﹣）=1，∴2个点的坐标在反比例函数y=图象上，∴在反比例函数y=图象上的概率是2÷4=．故答案为：．【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上= r下．（填“＜”“=”“＜”）【考点】弧长的计算．【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．【解答】解：如图，r上=r下．故答案为=．【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．17．若x+y=10，xy=1，则x3y+xy3的值是98 ．【考点】代数式求值．【分析】可将该多项式分解为xy（x2+y2），又因为x2+y2=（x+y）2﹣2xy，然后将x+y与xy的值代入即可．【解答】解：x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy[（x+y）2﹣2xy]=1×（102﹣2×1）=98．故答案为：98．【点评】本题考查了因式分解和代数式变形．解决本类问题的一般方法：若已知x+y与xy的值，则x2+y2=（x+y）2﹣2xy，再将x+y与xy的值代入即可．18．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．【考点】菱形的性质；解直角三角形．【专题】网格型．【分析】如图，连接EA、EB，先证明∠AEB=90°，根据tan∠ABC=，求出AE、EB即可解决问题．【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a∴∠AEB=90°，∴tan∠ABC===．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共9小题，满分90分）19．计算：|﹣1|﹣+（﹣2020）0．【考点】有理数的混合运算；立方根；零指数幂．【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的定义和零指数幂的性质化简求出答案．【解答】解：|﹣1|﹣+（﹣2020）0=1﹣2+1=0．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．化简：a﹣b﹣．【考点】分式的加减法．【分析】先约分，再去括号，最后合并同类项即可．【解答】解：原式=a﹣b﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．【考点】全等三角形的性质．【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．22．列方程（组）解应用题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元．如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张．然后根据购票总张数为35张，总费用为750元列方程求解即可．【解答】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张．根据题意得：．解得：．答：甲种票买了20张，乙种票买了15张．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．23．福州市2020﹣2020年常住人口数统计如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）福州市常住人口数，2020年比2020年增加了7 万人；（2）与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2020 ；（3）预测2020年福州市常住人口数大约为多少万人？请用所学的统计知识说明理由．【考点】折线统计图．【分析】（1）将2020年人数减去2020年人数即可；（2）计算出每年与上一年相比，增加的百分率即可得知；（3）可从每年人口增加的数量加以预测．【解答】解：（1）福州市常住人口数，2020年比2020年增加了750﹣743=7（万人）；（2）由图可知2020年增加：×100%≈0.98%，2020年增加：×100%≈0.97%，2020年增加：×100%≈1.2%，2020年增加：×100%≈0.94%，故与上一年相比，福州市常住人口数增加最多的年份是2020年；（3）预测2020年福州市常住人口数大约为757万人，理由：从统计图可知，福州市常住人口每年增加的数量的众数是7万人，由此可以预测2020年福州市常住人口数大约为757万人．故答案为：（1）7；（2）2020．【点评】本题主要考查条形统计图，从条形图中读出每年人口的数量及增加的幅度是解题的关键．24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．【考点】圆内接四边形的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公式计算．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴=，∵M为中点，∴=，∴+=+，即=，∴BM=CM；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的周长为4π，∴的长=×4π=π．【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•C D的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AB=BC=1，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BD，AD2=AC•CD，∴BD2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．26．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【考点】矩形的性质；角平分线的性质．【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S△NAB =S△NAQ=×AN•NQ=××3×4=；（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴=，∵AH≤AN=3，AB=4，∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．27．已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=﹣，b=﹣2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=tx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线经过原点，∴0=a（0﹣1）2+2，∴a=﹣2，∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=﹣，∴b=﹣2ah，∴y=ax2﹣2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=ah2﹣2ah，抛物线y=tx2也经过A（h，k），∴k=th2，∴th2=ah2﹣2ah2，∴t=﹣a，（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，∴h=，∵﹣2≤h＜1，∴﹣2≤＜1，①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．【点评】本题考查二次函数综合题、不等式等知识，解题的关键是学会用参数解决问题，题目比较难参数比较多，第三个问题解不等式要注意讨论，属于中考压轴题．。
2020年福建省中考数学试卷(含解析)
”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽
的价钱为 6210 文．如果每株椽的运费是 3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好
等于一株椽的价钱，试问 6210 文能买多少株椽？设这批椽的数量为 x 株，则符合题意的
方程是（
）
A．3（x﹣1）=
C．3x﹣1=
6210
求△ABE 与△CEF 面积之和的最小值．
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2020 年福建省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的．
1
1．
（4 分）− 5的相反数是（
）
1
A．5
1
B．
C．− 5
5
D．﹣5
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
1
1
【解答】解：− 5的相反数是 ，
5
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．
（4 分）如图所示的六角螺母，其俯视图是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．
故选：B．
万元；乙特产每吨成本价为 1 万元，销售价为 1.2 万元．由于受有关条件限制，该公司每
月这两种特产的销售量之和都是 100 吨，且甲特产的销售量都不超过 20 吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为 235 万元，问这个月该公司分别销售
2020年福建省中考数学试卷(含解析)
2020年福建省中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．﹣的相反数是（）A．5 B．C．﹣D．﹣52．如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A．B．C．D．3．如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（）A．1 B．C．D．4．下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．36．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．下列运算正确的是（）A．3a2﹣a2＝3 B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4D．a•a﹣1＝1（a≠0）8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）＝B．＝3C．3x﹣1＝D．＝39．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．|﹣8|＝．12．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．（结果保留π）14．2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．15．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝度．16．设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组：18．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+1．20．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D 重合的点，sinA＝．（1）求∠BED的大小；（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）如图，C为线段AB外一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．24．（12分）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：＝．25．（14分）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x 轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF 面积之和的最小值．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：﹣的相反数是，故选：B．2．【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．故选：B．3．【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴＝，∴△DEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵等边三角形ABC的面积为1，∴△DEF的面积是，故选：D．4．【解答】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形；D．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C．5．【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．6．【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，∴﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，∴m﹣n的结果可能是2．故选：C．7．【解答】解：A、原式＝2a2，故本选项不符合题意；B、原式＝a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；C、原式＝9a2b4，故本选项不符合题意；D、原式＝a＝1，故本选项符合题意；故选：D．8．【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．故选：A．9．【解答】解：∵A为中点，∴═，∵AB＝CD，∴＝，∴＝＝，∵圆周角∠BDC＝60°，∴∠BDC对的的度数是2×60°＝120°，∴的度数是（360°﹣120°）＝80°，∴对的圆周角∠ADB的度数是，故选：A．10．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；故选：C．二、填空题11．【解答】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|＝﹣（﹣8）＝8．故答案为：8．12．【解答】解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，∴甲被选到的概率为，故答案为：．13．【解答】解：S扇形＝＝4π，故答案为4π．14．【解答】解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为﹣10907米．故答案为：﹣10907．15．【解答】解：正六边形的每个内角的度数为：＝120°，所以∠ABC＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30．16．【解答】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形ABCD．由对称性可知，OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当OA＝OC＝OB＝OD时，四边形ABCD是矩形．∵反比例函数的图象在一，三象限，∴直线AC与直线BD不可能垂直，∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，故选项①④正确，故答案为①④，三、解答题17．【解答】解：解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤2．18．【解答】证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．19．【解答】解：原式＝•＝，当时，原式＝＝．20．【解答】解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，10x+（100﹣x）×1＝235，解得，x＝15，∴100﹣x＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）设利润为w万元，销售甲种特产a吨，w＝（10.5﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.3a+20，∵0≤a≤20，∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．21．【解答】解：（1）连接OB，如图1，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵sinA＝，∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，∴∠BED＝∠BOD＝60°；（2）连接OF，OB，如图2，∵AB是切线，∴∠OBF＝90°，∵BF＝3，OB＝3，∴，∴∠BOF＝60°，∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°，在△BOF和△DOF中，，∴△BOF≌△DOF（SAS），∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∴DF与⊙O相切．22．【解答】解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：1000×＝120；（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）＝2.4（千元）；（3）根据题意，得，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470＞960+1130+1300+1470＞4000．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．23．【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；（2）如图，∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∵AB，CD的中点分别为M，N，∴AB＝2AM，CD＝2CN，∴＝，连接MP，NP，∵∠BAP＝∠DCP，∴△APM∽△CPN，∴∠APM＝∠CPN，∵点P在AC上，∴∠APM+∠CPM＝180°，∴∠CPN+∠CPM＝180°，∴M，P，N三点在同一条直线上．24．【解答】解：（1）∵△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°，∴∠ADE＝∠B＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°．（2）①DF＝PF．证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°，∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD，即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF．②证明：过点P作PH∥ED交DF于点H，∴∠HPF＝∠DEP，，∵∠DPF＝∠ADE+∠DEP＝45°+∠DEP，∠DPF＝∠ACE+∠DAC＝45°+∠DAC，∴∠DEP＝∠DAC，又∵∠CDF＝∠DAC，∴∠DEP＝∠CDF，∴∠HPF＝∠CDF，又∵FD＝FP，∠F＝∠F，∴△HPF≌△CDF（ASA），∴HF＝CF，∴DH＝PC，又∵，∴．25．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，∴点A（0，10），点B（5，0），∵BC＝4，∴点C（9，0）或点C（1，0），∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．∴当x≥5时，y随x的增大而增大，当抛物线过点C（9，0）时，则当5＜x＜7时，y随x的增大而减少，不合题意舍去，当抛物线过点C（1，0）时，则当x＞3时，y随x的增大而增大，符合题意，∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点A（0，10），∴10＝5a，∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣5）＝2x2﹣12x+10；（2）当m＝﹣2时，直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10），∴直线l2：y＝﹣2x+n（n≠10）与直线l1：y＝﹣2x+10不重合，假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P（x P，y P），∴解得：n＝10，∵n＝10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2∥l1；（3）如图，、∵直线l3：y＝﹣2x+q过点C，∴0＝﹣2×1+q，∴q＝2，∴直线l3，解析式为L：y＝﹣2x+2，∴l3∥l1，∴CF∥AB，∴∠ECF＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE，∴△CEF∽△BEA，∴＝（）2，设BE＝t（0＜t＜4），则CE＝4﹣t，∴S△ABE＝×t×10＝5t，∴S△CEF＝（）2×S△ABE＝（）2×5t＝，∴S△ABE+S△CEF＝5t+＝10t+﹣40＝10（﹣）2+40﹣40，∴当t＝2时，S△ABE+S△CEF的最小值为40﹣40．。
2020年福建省中考数学试题(教师版含解析)
福建省2020年中考数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.有理数15-的相反数为()A. 5B. 15C.15- D. 5-【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即得．【详解】A选项与15-的符号和符号后的数值均不相同，不符合题意；B选项与15-只有符号不同，符合题意，B选项正确；C选项与15-完全相同，不符合题意；D选项与15-符号相同，不符合题意．故选：B．2.如图所示的六角螺母，其俯视图是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．【详解】由几何体可知，该几何体的三视图依次为．主视图为：左视图为：俯视图为：故选：B ．3.如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF 的面积是( )A. 1B. 12C. 13D. 14【答案】D【解析】【分析】 根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14． 【详解】∵,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点,且△ABC 是等边三角形,∴△ADF ≌△DBE ≌△FEC ≌△DFE,∴△DEF 的面积是14． 故选D ．4.下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C.5.如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，5BD =，则CD 等于( )A. 10B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD 的长．【详解】∵AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线∴CD=BD=5．故选：B ．6.如图，数轴上两点,M N 所对应的实数分别为,m n ，则m n -的结果可能是( )A. 1-B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分析】根据数轴确定m 和n 的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择．【详解】解：根据数轴可得0＜m ＜1，2-＜n ＜1-，则1＜m n -＜3故选：C7.下列运算正确的是( )A. 2233a a -=B. 222()a b a b +=+C. ()222436-=-ab a bD. 11(0)-⋅=≠a a a【答案】D【解析】【分析】 根据整式的加减乘除、完全平方公式、1(0)p pa a a -=≠逐个分析即可求解． 【详解】解：选项A ：22232a a a -=，故选项A 错误；选项B ：222()2a b a ab b +=++，故选项B 错误；选项C ：()222439-=ab a b ，故选项C 错误； 选项D ：111(0)-⋅=⋅=≠a aa a a ，故选项D 正确． 故选：D ．8.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是( )A. 62103(1)-=x x B. 621031=-x C. 621031-=x x D. 62103=x 【答案】A【解析】【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．【详解】解：由题意得：62103(1)-=x x ， 故选A.9.如图，四边形ABCD 内接于O ，AB CD =，A 为BD 中点，60BDC ∠=︒，则ADB ∠等于( )A. 40︒B. 50︒C. 60︒D. 70︒【答案】A【解析】【分析】 根据AB CD =，A 为BD 中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD ，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．【详解】∵A 为BD 中点，∴AB AD =,∴∠ADB=∠ABD ，AB=AD ，∵AB CD =，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD ，∵四边形ABCD 内接于O ，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴3∠ADB+60°=180°，∴ADB ∠=40°，故选：A ．10.已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22y ax ax =-上的点，下列命题正确的是( )A. 若12|1||1|->-x x ，则12y y >B. 若12|1||1|->-x x ，则12y y <C. 若12|1||1|-=-x x ，则12y y =D. 若12y y =，则12x x =【答案】C【解析】【分析】 分别讨论a >0和a <0的情况，画出图象根据图象的增减性分析x 与y 的关系．【详解】根据题意画出大致图象：当a>0时，x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离，由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同，当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越大，由此可知A、C正确．当a<0时，x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离，由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同，当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越小，由此可知B、C正确．综上所述只有C正确．故选C．第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.计算：8-=__________.【分析】根据绝对值的性质解答即可．【详解】|﹣8|=8．故答案为8．12.若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为________．【答案】1 3【解析】【分析】利用概率公式即可求得答案．【详解】解：从甲、乙、丙3位同学中随机选取1人进行在线辅导功课共有3种等可能结果，其中甲被选中的只有1种可能，故答案为：13．13.一个扇形的圆心角是90︒，半径为4，则这个扇形的面积为______．(结果保留π)【答案】4π【解析】【分析】根据扇形的面积公式2360n r Sπ=进行计算即可求解．【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为90°，∴扇形的面积是：29044360ππ⨯⨯==S．故答案为：4π．14.2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为100+米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为_________米．【答案】10907-海平面以上的高度用正数表示，海平面以下的高度用负数表示．据此可求得答案．【详解】解：∵高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为100+米，∴“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，可记为-10907，故答案为：-10907．15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则ABC ∠等于_______度．【答案】30【解析】【分析】先证出内部的图形是正六边形，求出内部小正六边形的内角，即可得到∠ACB 的度数，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成，可得BD=AC ，BC=AF ，∴CD=CF ，同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形，∴∠1=()1621801206-⨯︒=︒， ∴∠2=180°-120°=60°，∴∠ABC=30°，故答案为：30．16.设,,,A B C D 是反比例函数k y x=图象上的任意四点，现有以下结论： ①四边形ABCD 可以是平行四边形；②四边形ABCD 可以是菱形；③四边形ABCD 不可能是矩形；④四边形ABCD 不可能是正方形．其中正确的是_______．(写出所有正确结论的序号)【答案】①④【解析】【分析】利用反比例函数的对称性，画好图形，结合平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定可以得到结论，特别是对②的判断可以利用反证法．【详解】解：如图， 反比例函数ky x =的图象关于原点成中心对称，,,OA OC OB OD ∴==∴ 四边形ABCD 是平行四边形，故①正确，如图，若四边形ABCD 是菱形，则,AC BD ⊥90,COD ∴∠=︒显然：COD ∠＜90,︒所以四边形ABCD 不可能是菱形，故②错误，如图， 反比例函数k y x=的图象关于直线y x =成轴对称，当CD垂直于对称轴时，,,OC OD OA OB∴==,OA OC=,OA OB OC OD∴===,AC BD∴=∴四边形ABCD是矩形，故③错误，四边形ABCD不可能是菱形，∴四边形ABCD不可能是正方形，故④正确，故答案：①④．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解不等式组：26312(1)x xx x≤-⎧⎨+>-⎩①②【答案】32x-<≤．【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可求解．【详解】解：由①得26+≤x x，36x≤，2x≤．由②得3122+>-x x，3221->--x x，3x>-．∴原不等式组的解集是32x -<≤．18.如图，点,E F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE DF =．求证：BAE DAF ∠=∠． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知AB=AD ，∠B=∠D ，再结合已知条件BE=DF 即可证明ABE ADF ∆∆≌后即可求解． 【详解】解：证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴B D ∠=∠，AB AD =．在ABE ∆和ADF ∆中，ABAD B D BEDF∴()≌∆∆ABE ADF SAS ， ∴BAE DAF ∠=∠．19.先化简，再求值：211(1)22x x x --÷++，其中21x =． 【答案】11x -,22【解析】 【分析】根据分式运算法则即可求出答案． 【详解】原式()()212211x x x x x +-+=⋅++-11x =-； 当21x =时，原式222==20.某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1)甲特产15吨，乙特产85吨；(2)26万元． 【解析】 【分析】(1)设这个月该公司销售甲特产x 吨，则销售乙特产()100x -吨，根据题意列方程解答；(2)设一个月销售甲特产m 吨，则销售乙特产()100m -吨，且020≤≤m ，根据题意列函数关系式(10.510)(1.21)(100)0.320=-+--=+w m m m ，再根据函数的性质解答.【详解】解：(1)设这个月该公司销售甲特产x 吨，则销售乙特产()100x -吨， 依题意，得()10100235+-=x x ， 解得15x =，则10085-=x ， 经检验15x =符合题意，所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；(2)设一个月销售甲特产m 吨，则销售乙特产()100m -吨，且020≤≤m ， 公司获得的总利润(10.510)(1.21)(100)0.320=-+--=+w m m m ， 因为0.30>，所以w 随着m 的增大而增大， 又因为020≤≤m ，所以当20m =时，公司获得的总利润的最大值为26万元， 故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元. 21.如图，AB 与O 相切于点B ，AO 交O 于点C ，AO 的延长线交O 于点D ，E 是BCD 上不与,B D重合的点，1sin 2A =．(1)求BED ∠的大小； (2)若O 的半径为3，点F 在AB 的延长线上，且33BF =，求证：DF 与O 相切．【答案】(1)60°；(2)详见解析 【解析】 【分析】(1)连接OB ，在Rt △AOB 中由1sin 2A =求出∠A =30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED 的值； (2)连接OF ，在Rt △OBF 中，由tan 3∠==BFBOF OB可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°，再证明△FOB ≌△FOD ，得到∠ODF=∠OBF=90°． 【详解】解：(1)连接OB ，∵AB 与O 相切于点B ，∴OB AB ⊥， ∵1sin 2A =，∴30A ∠=︒， ∴60AOB ∠=︒，则120BOD ∠=︒． 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：1602︒∠=∠=BED BOD ．故答案为：60︒． (2)连接OF ，由(1)得OB AB⊥，120BOD∠=︒，∵3OB=，33BF=，∴tan3∠==BFBOFOB，∴60BOF∠=︒，∴60DOF∠=︒．在BOF∆与DOF∆中，OB ODBOF DOFOF OF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()≌∆∆BOF DOF SAS，∴90ODF OBF∠=∠=︒．又点D在O上，故DF与O相切．22.为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如下图所示的条形图．(1)如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元(不含2000元)的户数；(2)估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；(3)2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如下面的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．【答案】(1)120；(2)2.4千元；(3)可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫，理由详见解析 【解析】 【分析】(1)用2000乘以样本中家庭人均年纯收入低于2000元(不含2000元)的频率即可； (2)利用加权平均数进行计算；(3)求出当地农民2020年家庭人均年纯收入与4000进行大小比较即可.【详解】解：(1)依题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元的户数为6100012050⨯=． (2)依题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为()1.56 2.08 2.210 2.512 3.09 3.25 2.4150⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(千元)． (3)依题意，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下： 月份1 2 3 4 5 6 人均月纯收入(元) 500 300 150 200 300 450 月份7 8 9 10 11 12 人均月纯收入(元) 620790960113013001470由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于500300150200300450620790960113013001470+++++++++++ 9601130130014704000>+++>．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫． 23.如图，C 为线段AB 外一点．(1)求作四边形ABCD ，使得//CD AB ，且2CD AB =；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为,M N ，求证：,,M P N 三点在同一条直线上．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析 【解析】 【分析】(1)按要求进行尺规作图即可；(2)通过证明角度之间的大小关系，得到180∠+∠=︒CPN CPM ，即可说明,,M P N 三点在同一条直线上． 【详解】解：(1)则四边形ABCD 就是所求作的四边形．(2)∵AB CD ∥，∴ABP CDP ∠=∠，BAP DCP ∠=∠， ∴ABP CDP ∆∆∽，∴ABAP CD CP． ∵,M N 分别为AB ，CD 的中点， ∴2AB AM =，2CD CN =，∴=AM APCN CP． 连接MP ，NP ，又∵BAP DCP ∠=∠， ∴∽∆∆APM CPN ，∴∠=∠APM CPN ，∵点P 在AC 上∴180∠+∠=︒APM CPM ，∴180∠+∠=︒CPN CPM ， ∴,,M P N 三点在同一条直线上．24.如图，ADE ∆由ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ．(1)求BDE ∠的度数；(2)F 是EC 延长线上的点，且∠=∠CDF DAC ． ①判断DF 和PF 的数量关系，并证明； ②求证：=EP PCPF CF． 【答案】(1)90°；(2)①=DF PF ，证明详见解析；②详见解析 【解析】 【分析】(1)根据旋转的性质，得出ABC ADE ∆∆≌，进而得出=B ADE ADB ∠=∠∠,求出结果；(2)①由旋转的性质得出AC AE =，90CAE ∠=︒，进而得出45∠=∠=︒ACE AEC ，再根据已知条件得出∠+∠=∠+∠ADB CDF ACE CAD ，最后得出结论即可；②过点P 作//PH ED 交DF 于点H ，得出≌∆∆HPF CDF ，由全等得出HF CF =，=DH PC ，最后得出结果．【详解】解：(1)由旋转的性质可知，AB AD =，90BAD ∠=︒，ABC ADE ∆∆≌， ∴B ADE ∠=∠，在Rt ABD ∆中，45∠=∠=︒B ADB ， ∴45∠=∠=︒ADE B ，∴90∠=∠+∠=︒BDE ADB ADE ． (2)①=DF PF ．证明：由旋转的性质可知，AC AE =，90CAE ∠=︒， 在Rt ACE ∆中，45∠=∠=︒ACE AEC ， ∵CDF CAD ∠=∠，45∠=∠=︒ACE ADB ， ∴∠+∠=∠+∠ADB CDF ACE CAD ， 即∠=∠FPD FDP ，∴=DF PF ．②过点P 作//PH ED 交DF 于点H ， ∴∠=∠HPF DEP ，=EP DHPF HF， ∵45∠=∠+∠=︒+∠DPF ADE DEP DEP ，45∠=∠+∠=︒+∠DPF ACE DAC DAC ， ∴∠=∠DEP DAC ， 又∵∠=∠CDF DAC ， ∴∠=∠DEP CDF ， ∴=∠∠HPF CDF ． 又∵FD FP =，F F ∠=∠ ∴≌∆∆HPF CDF ， ∴HF CF =， ∴=DH PC ，又∵=EP DHPF HF ， ∴=EP PCPF CF．25.已知直线1:210=-+l y x 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，二次函数的图象过,A B 两点，交x 轴于另一点C ，4BC =，且对于该二次函数图象上的任意两点()111,P x y ，()222,P x y ，当125>≥x x 时，总有12y y >． (1)求二次函数的表达式；(2)若直线2:(10)=+≠l y mx n n ，求证：当2m =-时，21//l l ；(3)E 为线段BC 上不与端点重合的点，直线3:2=-+l y x q 过点C 且交直线AE 于点F ，求ABE ∆与CEF ∆面积之和的最小值．【答案】(1)221210y x x =-+；(2)详见解析；(3)∆∆+ABE FCE S S 的最小值为40240．【解析】 【分析】(1)先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A ，B 两点的坐标，再根据BC=4，得出点C 的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式； (2)利用反证法证明即可；(3)先求出q 的值，利用//CF AB ，得出∽∆∆FCE ABE ，设()04=<<BE t t ，然后用含t 的式子表示出∆∆+ABE FCE S S 的面积，再利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：(1)对于1:210=-+l y x ， 当0x =时，10y =，所以()0,10A ；当0y =时，2100x -+=，5x =，所以()5,0B ， 又因为4BC =，所以()9,0C 或()1,0C ，若抛物线过()9,0C ，则当57x <<时，y 随x 的增大而减少，不符合题意，舍去． 若抛物线过()1,0C ，则当3x >时，必有y 随x 的增大而增大，符合题意． 故可设二次函数的表达式为210=++y ax bx ， 依题意，二次函数的图象过()5,0B ，()1,0C 两点，所以255100100a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得212a b =⎧⎨=-⎩所求二次函数的表达式为221210y x x =-+．(2)当2m =-时，直线2:2(10)=-+≠l y x n n 与直线1:210=-+l y x 不重合， 假设1l 和2l 不平行，则1l 和2l 必相交，设交点为()00,P x y ，由00002102y x y x n=-+⎧⎨=-+⎩得002102-+=-+x x n ， 解得10n =，与已知10n ≠矛盾，所以1l 与2l 不相交， 所以21//l l ． (3)如图，因为直线3:2=-+l y x q 过()1,0C ，所以2q，又因为直线1:210=-+l y x ，所以31//l l ，即//CF AB ， 所以∠=∠FCE ABE ，∠=∠CFE BAE ，所以∽∆∆FCE ABE ，所以2∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭FCE ABE S CE S BE ，设()04=<<BE t t ，则4CE t =-，1110522∆=⋅=⨯⨯=ABE S BE OA t t ， 所以2222(4)5(4)5∆∆--⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭FCEABE CE t t S S t BE t t ， 所以25(4)5∆∆-+=+ABE FCEt S S t t801040=+-t t2221040240=+t t 所以当22t =∆∆+ABE FCE S S 的最小值为40240．。
2020年福建省中考数学试卷(含答案)
【word版】2020年福建省中考数学试卷(含答案) 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分1．–15的相反数是( )A．5 B．15C．－15D．–52．如图所示的六角螺母，其俯视图是( )3．如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是( )A．1 B．12C．13D．144．下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )5．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于( )A．10 B．5 C．4 D．36．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m–n的结果可能是( ) A．–1 B．1 C．2 D．37．下列运算正确的是( )A．3a2 –a2 =3 B．(a+b)2 =a2 +b2C．(–3ab2 )2=–6a2b4D．a·a–1 =1 (a≠0)8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．其大意为：现请人代买一批椽．这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试冋6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )A．3(x–1)=6210x B．6210x–1=3 C．3x–1=6210x D．6210x=39．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为BD中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于A．40°B．50°C．60°D．70°111222A．若│x1－1│＞│x2－1│，则y1> y2B．若│x1－1│＞│x2－1│，则y1＜y2C．若│x1－1│＝│x2－1│，则y1＝y2D．若则y1＝y2，x1＝x2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分11．计算：|–8|= ．12．若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为．13．一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为．(结果保留π)14．2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为 米．15．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC 等于 ．16．设A ，B ，C ，D 是反比例函数y = kx 图象上的任意四点，现有以下结论①四边形ABCD 可以是平行四边形； ②四边形ABCD 可以是菱形；③四边形ABCD 不可能是矩形； ④四边形ABCD 不可能是正方形其中正确的是（写出所有正确结论的序号） ．三、解答题：本题共9小题，共86分17．（8分）解不等式组⎩⎨⎧2x ≤ 6 – x 3x + 1 > 2(x – 1)18．（8分）如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE=DF ．求证：∠BAE=∠DAF19．（8分）先化简，再求值：(1– 1x +2 )÷x 2 –1x +2，其中x =2+120．（8分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10．5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1．2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．21．（8分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 交⊙O 于点C ，AO 的延长线交⊙O 于点D ，E 是BCD ⌒上 不与B ，D 重合的点，sinA= 12（1）求∠BED 的大小；（2）若⊙O 的半径为3，点F 在AB 的延长线上，且BF=33．求证：DF 与⊙O 相切．22．（10分）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如下图所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如下面的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．23．（10分）已知C为线段AB外的一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD=2AB；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的四边形ABCD中，AC、BD相交于P点，M、N分别为AB、CD的中点，求证：M、N、P三点在同一条直线上．24． （12分）如图，△AED 由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 延长线上，AD 、EC 相交于点P ． （1）求∠BDE 的度数；（2）F 是EC 延长线上的点，且∠CDF ＝∠DAC ，①判断DF 与PF 的数量关系，并证明； ③求证： PE PF = PC FC ．25．（14分）已知直线l 1：y =－2x +10交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 两点，交x 轴于另一点C ,BC=4，且对于抛物线上的任意两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，当x 1> x 2≥5时，总有y 1> y 2．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l 2：y =mx +n （n ≠10），求证：当m =－2时， l 2∥l 1；（3）E 为线段BC 上不与端点重合的点，直线l 3：y =－2x +q 过点C 且交直线AE 于点F ，求△ABE 和△CEF 面积之和的最小值．P FE D CB。
福建省2020年中考数学试题(解析版)
福建省2020年中考数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.有理数15-的相反数为（）A. 5B. 15C.15- D. 5-【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即得．【详解】A选项与15-的符号和符号后的数值均不相同，不符合题意；B选项与15-只有符号不同，符合题意，B选项正确；C选项与15-完全相同，不符合题意；D选项与15-符号相同，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查相反数的定义，解题关键是熟知相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．2.如图所示的六角螺母，其俯视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．【详解】由几何体可知，该几何体的三视图依次为．左视图为：俯视图为：故选：B ．【点睛】此题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键．3.如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF 的面积是（ ）A. 1B.12C.13D.14【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14． 【详解】∵,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点,且△ABC 是等边三角形, ∴△ADF ≌△DBE ≌△FEC ≌△DFE, ∴△DEF 的面积是14． 故选D ．【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．4.下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C.【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.BD=，则CD等于（）5.如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，5A. 10B. 5C. 4D. 3【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD的长．【详解】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线∴CD=BD=5．故选：B．【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．M N所对应的实数分别为,m n，则m n-的结果可能是（）6.如图，数轴上两点,A. 1-B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分析】根据数轴确定m 和n 的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择． 【详解】解：根据数轴可得0＜m ＜1，2-＜n ＜1-，则1＜m n -＜3 故选：C【点睛】本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确m 和n 的范围，然后再确定m n -的范围即可．7.下列运算正确的是（ ） A. 2233a a -= B. 222()a b a b +=+ C. ()222436-=-ab a bD. 11(0)-⋅=≠a a a【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的加减乘除、完全平方公式、1(0)pp aa a-=≠逐个分析即可求解． 【详解】解：选项A ：22232a a a -=，故选项A 错误； 选项B ：222()2a b a ab b +=++，故选项B 错误； 选项C ：()222439-=ab a b ，故选项C 错误；选项D ：111(0)-⋅=⋅=≠a a a a a，故选项D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查整式的加减乘除及完全平方公式、负整数指数幂等运算公式，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键．8.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ） A. 62103(1)-=x xB.621031=-x C. 621031-=x xD.62103=x【答案】A 【解析】 【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．【详解】解：由题意得：62103(1)-=x x， 故选A.【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键． 9.如图，四边形ABCD 内接于O ，AB CD =，A 为BD 中点，60BDC ∠=︒，则ADB ∠等于（ ）A. 40︒B. 50︒C. 60︒D. 70︒【答案】A 【解析】 【分析】根据AB CD =，A 为BD 中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD ，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案． 【详解】∵A 为BD 中点， ∴AB AD =,∴∠ADB=∠ABD ，AB=AD ， ∵AB CD =，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD ， ∵四边形ABCD 内接于O ，∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴3∠ADB+60°=180°， ∴ADB ∠=40°， 故选：A ．【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．中考数学10.已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22y ax ax =-上的点，下列命题正确的是（ ）A. 若12|1||1|->-x x ，则12y y >B. 若12|1||1|->-x x ，则12y y <C. 若12|1||1|-=-x x ，则12y y =D. 若12y y =，则12x x =【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论a >0和a <0的情况，画出图象根据图象的增减性分析x 与y 的关系． 【详解】根据题意画出大致图象：当a >0时，x =1为对称轴，|x -1|表示为x 到1的距离，由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y 值也相同， 当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y 值也越大，由此可知A 、C 正确．当a<0时，x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离，由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同，当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越小，由此可知B、C正确．综上所述只有C正确．故选C．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，关键在于画出图象，结合图象增减性分类讨论．第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.计算：8-=__________.【答案】8【解析】【分析】根据绝对值的性质解答即可．【详解】|﹣8|=8．故答案为8．【点睛】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解答本题的关键．12.若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为________．【答案】1 3【解析】【分析】利用概率公式即可求得答案．【详解】解：从甲、乙、丙3位同学中随机选取1人进行在线辅导功课共有3种等可能结果，其中甲被选中的只有1种可能，故答案为：13．【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．13.一个扇形的圆心角是90︒，半径为4，则这个扇形的面积为______．（结果保留π）【答案】4π【解析】【分析】根据扇形的面积公式2360n r Sπ=进行计算即可求解．【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为90°，∴扇形的面积是：29044360ππ⨯⨯==S．故答案为：4π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算．熟记扇形的面积公式是解题的关键．14.2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为100+米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为_________米．【答案】10907-【解析】【分析】海平面以上的高度用正数表示，海平面以下的高度用负数表示．据此可求得答案．【详解】解：∵高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为100+米，∴“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，可记为-10907，故答案为：-10907．【点睛】本题考查了正数，负数的意义及其应用，解题的关键是掌握正数、负数的意义．15.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则ABC ∠等于_______度．【答案】30 【解析】 【分析】先证出内部的图形是正六边形，求出内部小正六边形的内角，即可得到∠ACB 的度数，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成， 可得BD=AC ，BC=AF ， ∴CD=CF ，同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形，∴∠1=()1621801206-⨯︒=︒， ∴∠2=180°-120°=60°， ∴∠ABC=30°， 故答案为：30．【点睛】本题考查正多边形的证明、多边形的内角和以及三角形的内角和，熟练掌握多边形内角和的计算是解题的关键．16.设,,,A B C D 是反比例函数ky x=图象上的任意四点，现有以下结论： ①四边形ABCD 可以是平行四边形； ②四边形ABCD 可以是菱形； ③四边形ABCD 不可能是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形．其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）【答案】①④【解析】【分析】利用反比例函数的对称性，画好图形，结合平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定可以得到结论，特别是对②的判断可以利用反证法．【详解】解：如图，反比例函数kyx=的图象关于原点成中心对称，,,OA OC OB OD∴==∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确，如图，若四边形ABCD是菱形，则,AC BD⊥90,COD∴∠=︒显然：COD∠＜90,︒所以四边形ABCD不可能是菱形，故②错误，如图，反比例函数kyx=的图象关于直线y x=成轴对称，当CD垂直于对称轴时，,, OC OD OA OB ∴==,OA OC=, OA OB OC OD ∴===,AC BD ∴=∴ 四边形ABCD 是矩形，故③错误，四边形ABCD 不可能是菱形，∴四边形ABCD 不可能是正方形，故④正确，故答案：①④．【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，反比例函数的对称性，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解不等式组：26312(1)x x x x ≤-⎧⎨+>-⎩①②【答案】32x -<≤． 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可求解． 【详解】解：由①得26+≤x x ，36x ≤， 2x ≤．由②得3122+>-x x ，3221->--x x ， 3x >-．∴原不等式组的解集是32x -<≤．【点睛】本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识，解题的关键是熟知不等式的性质． 18.如图，点,E F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE DF =．求证：BAE DAF ∠=∠． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知AB=AD ，∠B=∠D ，再结合已知条件BE=DF 即可证明ABE ADF ∆∆≌后即可求解． 【详解】解：证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴B D ∠=∠，AB AD =．在ABE ∆和ADF ∆中，ABAD B D BEDF∴()≌∆∆ABE ADF SAS ， ∴BAE DAF ∠=∠．【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．19.先化简，再求值：211(1)22x x x --÷++，其中21x =． 【答案】11x -,22【解析】 【分析】根据分式运算法则即可求出答案． 【详解】原式()()212211x x x x x +-+=⋅++-11x =-； 当21x =时，原式222==【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．20.某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元． 【解析】 【分析】（1）设这个月该公司销售甲特产x 吨，则销售乙特产()100x -吨，根据题意列方程解答；（2）设一个月销售甲特产m 吨，则销售乙特产()100m -吨，且020≤≤m ，根据题意列函数关系式(10.510)(1.21)(100)0.320=-+--=+w m m m ，再根据函数的性质解答.【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产x 吨，则销售乙特产()100x -吨， 依题意，得()10100235+-=x x ， 解得15x =，则10085-=x ， 经检验15x =符合题意，所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；（2）设一个月销售甲特产m 吨，则销售乙特产()100m -吨，且020≤≤m ， 公司获得的总利润(10.510)(1.21)(100)0.320=-+--=+w m m m ， 因为0.30>，所以w 随着m 的增大而增大， 又因为020≤≤m ，所以当20m =时，公司获得的总利润的最大值为26万元， 故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题. 21.如图，AB 与O 相切于点B ，AO 交O 于点C ，AO 的延长线交O 于点D ，E 是BCD 上不与,B D重合的点，1sin 2A =．（1）求BED ∠的大小； （2）若O 的半径为3，点F 在AB 的延长线上，且33BF =，求证：DF 与O 相切．【答案】（1）60°；（2）详见解析 【解析】 【分析】(1)连接OB ，在Rt △AOB 中由1sin 2A =求出∠A =30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED 的值； (2)连接OF ，在Rt △OBF 中，由tan 3∠==BFBOF OB可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°，再证明△FOB ≌△FOD ，得到∠ODF=∠OBF=90°． 【详解】解：(1)连接OB ，∵AB 与O 相切于点B ，∴OB AB ⊥， ∵1sin 2A =，∴30A ∠=︒， ∴60AOB ∠=︒，则120BOD ∠=︒． 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：1602︒∠=∠=BED BOD ．故答案为：60︒． (2)连接OF ，由(1)得OB AB ⊥，120BOD ∠=︒， ∵3OB =，33BF=，∴tan 3∠==BFBOF OB， ∴60BOF ∠=︒，∴60DOF ∠=︒．在BOF ∆与DOF ∆中，OB OD BOF DOF OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()≌∆∆BOF DOF SAS ， ∴90ODF OBF ∠=∠=︒． 又点D 在O 上，故DF 与O 相切．【点睛】本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．22.为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如下图所示的条形图．（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如下面的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．【答案】（1）120；（2）2.4千元；（3）可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫，理由详见解析 【解析】 【分析】（1）用2000乘以样本中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的频率即可； （2）利用加权平均数进行计算；（3）求出当地农民2020年家庭人均年纯收入与4000进行大小比较即可.【详解】解：（1）依题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元的户数为6100012050⨯=． （2）依题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为()1.56 2.08 2.210 2.512 3.09 3.25 2.4150⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（千元）． （3）依题意，2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下： 月份12 3 4 5 6 人均月纯收入（元） 500 300 150 200 300 450 月份78 9 10 11 12 人均月纯收入（元） 620 790960113013001470由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于500300150200300450620790960113013001470+++++++++++9601130130014704000>+++>．所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．【点睛】本小题考查频数和频数分布的意义、加权平均数、条形图、折线图等基础知识，考查运算能力、推理能力、数据分析观念、应用意识，考查统计与概率思想． 23.如图，C 为线段AB 外一点．（1）求作四边形ABCD ，使得//CD AB ，且2CD AB =；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为,M N ，求证：,,M P N 三点在同一条直线上．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）按要求进行尺规作图即可；(2)通过证明角度之间的大小关系，得到180∠+∠=︒CPN CPM ，即可说明,,M P N 三点在同一条直线上． 【详解】解：（1）则四边形ABCD 就是所求作的四边形．（2）∵AB CD ∥，∴ABP CDP ∠=∠，BAP DCP ∠=∠， ∴ABP CDP ∆∆∽，∴ABAP CD CP． ∵,M N 分别为AB ，CD 的中点， ∴2AB AM =，2CD CN =，∴=AM APCN CP． 连接MP ，NP ，又∵BAP DCP ∠=∠， ∴∽∆∆APM CPN ，∴∠=∠APM CPN ，∵点P 在AC 上∴180∠+∠=︒APM CPM ，∴180∠+∠=︒CPN CPM ，∴,,M P N 三点在同一条直线上．【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想．24.如图，ADE ∆由ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ．（1）求BDE ∠的度数；（2）F 是EC 延长线上的点，且∠=∠CDF DAC ． ①判断DF 和PF 的数量关系，并证明； ②求证：=EP PCPF CF． 【答案】（1）90°；（2）①=DF PF ，证明详见解析；②详见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，得出ABC ADE ∆∆≌，进而得出=B ADE ADB ∠=∠∠,求出结果；（2）①由旋转的性质得出AC AE =，90CAE ∠=︒，进而得出45∠=∠=︒ACE AEC ，再根据已知条件得出∠+∠=∠+∠ADB CDF ACE CAD ，最后得出结论即可；②过点P 作//PH ED 交DF 于点H ，得出≌∆∆HPF CDF ，由全等得出HF CF =，=DH PC ，最后得出结果．【详解】解：（1）由旋转的性质可知，AB AD =，90BAD ∠=︒，ABC ADE ∆∆≌， ∴B ADE ∠=∠，在Rt ABD ∆中，45∠=∠=︒B ADB ， ∴45∠=∠=︒ADE B ，∴90∠=∠+∠=︒BDE ADB ADE ． （2）①=DF PF ．证明：由旋转的性质可知，AC AE =，90CAE ∠=︒， 在Rt ACE ∆中，45∠=∠=︒ACE AEC ， ∵CDF CAD ∠=∠，45∠=∠=︒ACE ADB ， ∴∠+∠=∠+∠ADB CDF ACE CAD ， 即∠=∠FPD FDP ， ∴=DF PF ．②过点P 作//PH ED 交DF 于点H ， ∴∠=∠HPF DEP ，=EP DHPF HF， ∵45∠=∠+∠=︒+∠DPF ADE DEP DEP ，45∠=∠+∠=︒+∠DPF ACE DAC DAC ， ∴∠=∠DEP DAC ， 又∵∠=∠CDF DAC ， ∴∠=∠DEP CDF ， ∴=∠∠HPF CDF ． 又∵FD FP =，F F ∠=∠ ∴≌∆∆HPF CDF ， ∴HF CF =， ∴=DH PC ，又∵=EP DHPF HF ， ∴=EP PCPF CF．【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识，解题的关键是熟练运用这些性质．25.已知直线1:210=-+l y x 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，二次函数的图象过,A B 两点，交x 轴于另一点C ，4BC =，且对于该二次函数图象上的任意两点()111,P x y ，()222,P x y ，当125>≥x x 时，总有12y y >． （1）求二次函数的表达式；（2）若直线2:(10)=+≠l y mx n n ，求证：当2m =-时，21//l l ；（3）E 为线段BC 上不与端点重合的点，直线3:2=-+l y x q 过点C 且交直线AE 于点F ，求ABE ∆与CEF ∆面积之和的最小值．【答案】（1）221210y x x =-+；（2）详见解析；（3）∆∆+ABE FCE S S 的最小值为40． 【解析】 【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A ，B 两点的坐标，再根据BC=4，得出点C 的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式； （2）利用反证法证明即可；（3）先求出q 的值，利用//CF AB ，得出∽∆∆FCE ABE ，设()04=<<BE t t ，然后用含t 的式子表示出∆∆+ABE FCE S S 的面积，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）对于1:210=-+l y x ， 当0x =时，10y =，所以()0,10A ；当0y =时，2100x -+=，5x =，所以()5,0B ， 又因为4BC =，所以()9,0C 或()1,0C ，若抛物线过()9,0C ，则当57x <<时，y 随x 的增大而减少，不符合题意，舍去． 若抛物线过()1,0C ，则当3x >时，必有y 随x 的增大而增大，符合题意． 故可设二次函数的表达式为210=++y ax bx ， 依题意，二次函数的图象过()5,0B ，()1,0C 两点，所以255100100a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得212a b =⎧⎨=-⎩所求二次函数的表达式为221210y x x =-+．（2）当2m =-时，直线2:2(10)=-+≠l y x n n 与直线1:210=-+l y x 不重合，假设1l 和2l 不平行，则1l 和2l 必相交，设交点为()00,P x y ，由00002102y x y x n=-+⎧⎨=-+⎩得002102-+=-+x x n ， 解得10n =，与已知10n ≠矛盾，所以1l 与2l 不相交，所以21//l l ．（3）如图，因为直线3:2=-+l y x q 过()1,0C ，所以2q ，又因为直线1:210=-+l y x ，所以31//l l ，即//CF AB ，所以∠=∠FCE ABE ，∠=∠CFE BAE ，所以∽∆∆FCE ABE ，所以2∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭FCE ABE S CE S BE ， 设()04=<<BE t t ，则4CE t =-， 1110522∆=⋅=⨯⨯=ABE S BE OA t t ， 所以2222(4)5(4)5∆∆--⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭FCE ABE CE t t S S t BE t t ， 所以25(4)5∆∆-+=+ABE FCEt S S t t 801040=+-t t 2221040240=+t t 所以当22t =∆∆+ABE FCE S S 的最小值为40240．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．。
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故选:A．
【点睛】
此题考查圆周角定理:在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等,圆内接四边形的性质:对角互补．
10．C
【解析】
【分析】
分别讨论a>0和a<0的情况,画出图象根据图象的增减性分析x与y的关系．
【详解】
根据题意画出大致图象:
当a>0时,x=1为对称轴,|x-1|表示为x到1的距离,
C选项与 完全相同,不符合题意;
D选项与 符号相同,不符合题意．
故选:B．
【点睛】
本题考查相反数的定义,解题关键是熟知相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数．
2．B
【解析】
【分析】
根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．
【详解】
由几何体可知,该几何体的三视图依次为．
主视图为:
左视图为:
俯视图为:
由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时,对应的y值也相同,
当抛物线上的点到x=1的距离越大时,对应的y值也越大,由此可知A、C正确．
当a<0时,x=1为对称轴,|x-1|表示为x到1的距离,
由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时,对应的y值也相同,
当抛物线上的点到x=1的距离越大时,对应的y值也越小,由此可知B、C正确．
如图, 反比例函数 的图象关于直线 成轴对称,
当 垂直于对称轴时,
四边形 是矩形,故③错误,
四边形 不可能是菱形,
四边形 不可能是正方形,故④正确,
故答案为:①④．
【点睛】
本题考查的是平行四边形,矩形,菱形,正方形的判定,反比例函数的对称性,掌握以上知识是解题的关键．
17． ．
【解析】
【分析】
分别求出各不等式的解集,再找到其公共解集即可求解．
福建省2020年中考数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
1．有理数 的相反数为()
A．5B． C． D．
2．如图所示的六角螺母,其俯视图是()
A． B． C． D．
3．如图,面积为1的等边三角形 中, 分别是 , , 的中点,则 的面积是()
8．A
【解析】
【分析】
根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．
【详解】
解:由题意得: ,
故选A.
【点睛】
本题考查了 分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解,准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．
A．1B． C． D．
4．下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A． B． C． D．
5．如图, 是等腰三角形 的顶角平分线, ,则 等于()
A．10B．5C．4D．3
6．如图,数轴上两点 所对应的实数分别为 ,则 的结果可能是()
A． B．1C．2D．3
(1)如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户,试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元(不含2000元)的户数;
(2)估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值;
(3)2020年初,由于新冠疫情,农民收入受到严重影响,上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如下面的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫,当地政府积极筹集资金,引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测,随着该项目的实施,当地农民自2020年6月开始,以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．
16．①④
【解析】
【分析】
利用反比例函数的对称性,画好图形,结合平行四边形,矩形,菱形,正方形的判定可以得到结论,特别是对②的判断可以利用反证法．
【详解】
解:如图, 反比例函数 的图象关于原点成中心对称,
四边形 是平行四边形,故①正确,
如图,若四边形 是菱形,
则
显然: ＜
所以四边形 不可能是菱形,故②错误,
9．A
【解析】
【分析】
根据 , 为 中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD,再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°,即可求出答案．
【详解】
∵ 为 中点,
∴ ,
∴∠ADB=∠ABD,AB=AD,
∵ ,
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD,
∵四边形 内接于 ,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴3∠ADB+60°=180°,
【详解】
解:∵扇形的半径为4,圆心角为90°,
∴扇形的面积是: ．
故答案为: ．
【点睛】
本题考查了 扇形面积的计算．熟记扇形的面积公式是解题的关键．
14．
【解析】
【分析】
海平面以上的高度用正数表示,海平面以下的高度用负数表示．据此可求得答案．
【详解】
解:∵高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为 米,
故选:B．
【点睛】
此题考查简单几何体的三视图,掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键．
3．D
【解析】
【分析】
根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是 ．
【详解】
∵ 分别是 , , 的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是 ．
故选D．
(1)求二次函数的表达式;
(2)若直线 ,求证:当 时, ;
(3) 为线段 上不与端点重合的点,直线 过点 且交直线 于点 ,求 与 面积之和的最小值．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数即得．
【详解】
A选项与 的符号和符号后的数值均不相同,不符合题意;
B选项与 只有符号不同,符合题意,B选项正确;
15．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则 等于_______度．
16．设 是反比例函数 图象上的任意四点,现有以下结论:
①四边形 可以是平行四边形;
②四边形 可以是菱形;
③四边形 不可能是矩形;
④四边形 不可能是正方形．
其中正确的是_______．(写出所有正确结论的序号)
17．解不等式组:
18．如图,点 分别在菱形 的边 , 上,且 ．
求证: ．
19．先化简,再求值: ,其中 ．
20．某公司经营甲、乙两种特产,其中甲特产每吨成本价为10万元,销售价为10.5万元;乙特产每吨成本价为1万元,销售价为1.2万元．由于受有关条件限制,该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨,且甲特产的销售量都不超过20吨．
22．为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署,某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶,截至2019年底,按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准,该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户,统计其2019年的家庭人均年纯收入,得到如下图所示的条形图．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
4．C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【详解】
A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不符合题意;
C、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项符合题意;
∴“海斗一号”下潜至最大深度10907米处,可记为-10907,
故答案为:-10907．
【点睛】
本题考查了 正数,负数的意义及其应用,解题的关键是掌握正数、负数的意义．
15．30
【解析】
【分析】
先证出内部的图形是正六边形,求出内部小正六边形的内角,即可得到∠ACB的度数,根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
13．一个扇形的圆心角是 ,半径为4,则这个扇形的面积为______．(结果保留 )
14．2020年6月9日,我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了 我国潜水器下潜深度的纪录,最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准,记为0米,高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为 米,根据题意,“海斗一号”下潜至最大深度10907米处,该处的高度可记为_________米．
(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元,问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
21．如图, 与 相切于点 , 交 于点 , 的延长线交 于点 , 是 上不与 重合的点, ．
(1)求 的大小;
(2)若 的半径为3,点 在 的延长线上,且 ,求证: 与 相切．
7．下列运算正确的是()
A． B．
C． D．
8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽．每株脚钱三文足,无钱准与一株椽．“其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 株,则符合题意的方程是()
7．D
【解析】
【分析】
根据整式的加减乘除、完全平方公式、 逐个分析即可求解．
【详解】
解:选项A: ,故选项A错误;
选项B: ,故选项B错误;
选项C: ,故选项C错误;
选项D: ,故选项D正确．
故选:D．