固体物理-徐智谋-第六章自由电子气

合集下载

固体物理答案第六章

141第六章自由电子论和电子的输运性质习题1. 一金属体积为V ，电子总数为N ，以自由电子气模型（1）在绝热条件下导出电子气的压强为.320V U P=其中 .5300F NE U = （2）证明电子气体的体积弹性模量 .910350VU P K ==【解答】（1）在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W 等于系统内能的增加dU ，即 ,PdV W dU-==式中P 是电子气的压强.由上式可得.VUP ∂∂-= 在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由《固体物理教程》（6.5）式得.325353322200⎪⎭⎫ ⎝⎛===πV N m N NE U U F由此得到=∂∂-=V U P 0()().32323253053222VU V N mN =∙-π （2）由《固体物理教程》（2.11）式可知，体积弹性模量K 与压强P 和体积V 的关系为.VKV P -=∂∂ 将=∂∂V P ()().91035323253038222VU V N mN -=∙--π 代入体积弹性模量K 与压强P 和体积V 的关系式，得到 .9100VU K=2.二维电子气的能态密度(),2πm E N =证明费米能 ],1ln[2-=Tm k n B F B eT k E π其中n 为单位面积的电子数.【解答】由已知条件可得单位面积金属的电子总数 ()()().120⎰⎰∞-∞+==Tk E E B F edE mdE E f E N n π142作变量变换,Tk E E x B F-=则有⎰⎰∞---∞-+=+=T k E x x B T E x B B FB Fe dxe Tmk e dx Tmk n 1122ππ()(),1ln 1ln 22Tk E B Tk E x B B F B F e Tmk e Tmk +=+-=∞--ππ即TE BF e +1=Tmk n B e2 π.由上式解得()1ln 2-=Tm k n B F B e T k Eπ3.金属膨胀时，价带顶能级发生移动 VV E E C∆-=∆1证明.321F E E =【解答】解法一：金属中自由电子的费米能(),32323232223222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==AV V N m n mE F ππ可认为是能带顶，式中().32222πN mA =当金属体积膨胀后，体积由V 变成了VV V ∆+='，费米能变成了()2-∆+='V V A E F()32321--⎪⎭⎫⎝⎛∆+=V V V A().3212⎪⎭⎫⎝⎛∆+≈-V V V A 费米能的变化量 .32⎪⎭⎫⎝⎛∆-=-'=∆VVE E E EF F F F 与已知条件比较可得 .321F E E =解法二：143由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度 ().23212322E m V E N ⎪⎭⎫⎝⎛= π电子总数().232323220F E E m V dE E N N F⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰π金属膨胀后，能态密度增大，费密能级降低，但电子总数不变，即()().232323220FE E m V dE E N N F'⎪⎭⎫⎝⎛'='=⎰π 由以上两式解得 ()[],322323⎪⎭⎫⎝⎛∆-=-'=-'=∆--V V E V V A E E EF F F.321F E E = 4.由同种金属制做的两金属块，一个施加30个大气压，另一个承受一个大气压，设体积弹性模量为21110m N ，电子浓度为328105m ⨯，计算两金属块间的接触电势差.【解答】两种金属在同一环境下，它们的费密能相同，之间是没有接触电势差的.但当体积发生变化，两金属的导电电子浓度不同，它们之间将出现接触电势差.设压强为0时金属的费密能为F E ，金属1受到一个大气压后，费密能为1F E ，金属2受到30个大气压后，费密能为2F E ，则由《固体物理教程》（6.25）式可知，金属1与金属2间的接触电势差 ().12121F F E E eV V -=- 由上边第3题可知.32,322211⎪⎭⎫⎝⎛∆-=⎪⎭⎫⎝⎛∆-=V V E E E V V E E E F F F F F F由《固体物理教程》（2.10）式可知，固体的体积变化V ∆与体积弹性模量K 和压强P 的关系为 ,VVKP ∆-= 所以().3232212121P P KE K P K P E E EF F F F -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 两金属的接触电势差()()().33322132222121P P n meKP P eK E V V V F -∙=-=-=∆π将,10110.931kg m -⨯= ,10602.119C e -⨯= ,10055.134s J ∙⨯=- ,10,/105211328m N K m n =⨯=,10251m N P = 2521030m N P⨯= 代入两金属的接触电势差式子，得 ().1058.95伏-⨯-=∆V5.若磁场强度B沿z 轴，电流密度沿x 轴，金属中电子受到的碰撞阻力为P P,/τ-是电子的动量，试从运动方程出发，求金属的霍尔系数.144【解答】电子受的合力()().B v mv B v P dt P d F⨯+--=⨯+--==ετετ （1）由于电子受的阻力与它的速度成正比，所以电场力与阻力平衡时的速度是最高平均速度，此时电子的加速度变为0，（1）式化成().B v me v⨯+-=ετ （2）因为电流的方向沿x 轴，平衡后，电子沿z 轴方向和y 轴的速度分量为0.因此，由（2）式得,x xme v ετ-= （3） .0x y v mB e m e τετ+-= （4）由以上两式得.x x y mBe Bv ετε== （5）称为霍耳电场，其方向与磁场和电流方向的关系如图6.3所示.图6.3 霍尔电场将电流密度x x j σε= （6）和（5）式一并代入霍耳系数 Bj R x yH ε=（7）得到στm e R H-= （8）将《固体物理教程》（6.85）式代入上式，并取m m =*得.1neR H -= 6. 试证金属的热导率 ()2102223FB mETk nl kπ=其中l 是费密面上电子的平均自由程. 【解答】由《固体物理教程》（6.63）式可知，金属中导电是电子的弛豫时间τ满足以下关系()().cos 1,1∑'-'Θ=k k k θτ电子的波矢k在空间内的分布十分密集，上式可用积分表示145()().cos 1,1∑'-'Θ=k k k θτ()()()()()()()⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-'Θ='-'Θ=∞πθθπθπθπ0233.sin 2cos 1,21cos 1,21d k d k k k k d k k令()()()(),,21,023⎰∞'''Θ=k d k k k E W πθ 则()Ωd E W θ,是能量为E 的电子在单位时间内被散射到立体角 θθπd d sin 2=Ω内的几率.如果散射是各向同性的，()θθ与,E W 无关，则()()().4sin cos 1210E W d E W πθθθπτπ=-=⎰ 上式说明，τ1就是能量为E 的电子在单位时间内总的散射几率，也就是说τ是电子的平均自时间.由《固体物理教程》（6.126）式可知，金属的热导率,322T mn k k FB τπ=式中F τ是费密面上的电子的平均自由时间.电子的平均自由时间F τ和平均速度F v 与平均自由程l 的关系是 .F F v l τ=而平均速度由下式求得 .2102F F E mv = 于是得到()2102223FB mETk nl kπ=.7.设沿xy 平面施加一电场，沿z 轴加一磁场，试证，在一级近似下，磁场不改变电子的分布函数，并用经典力学解释这一现象.【解答】在只有磁场和电场情况下，《固体物理教程》（6.47）式化成().0τεf f f B v e k -=∇∙⨯+由上式可解得().0f B v e f f k ∇∙⨯++=ετ 考虑到外界磁场和电场对电子的作用远小于原子对电子的作用，必有(),0f f B v e k <<∇∙⨯+ετ f k ∇0f k ∇≈.于是有相当好的近似().00f B v e f f k ∇∙⨯++=ετ 因为,000v Ef E E f f k k ∂∂=∇∂∂=∇ 所以146().0000v Ef e f E f B v e f f ∙∂∂+=∂∂∙⨯++=ετετ 可见在一级近似下，磁场对分布函数并无贡献.由经典理论可知，电子在磁场中运动受到一洛伦兹力B v e⨯-，该力与电子的运动方向v垂直，它只改变电子的运动方向，并不增加电子的能量，即不改变电子的能态.也就是说，从经典理论看，磁场不改变电子的分布函数.8.0f 是平衡态电子分布函数，证明.0Ef T E T E T T T f F ∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂∂ 【解答】金属中导电电子处于平衡态时，其分布函数 ()110+=-Tk E E B F ef .令()(),,y e x T k E E Tk EE BF B F==--则有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂T x T E E x x y y f T f F F 00 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∂∂-+-=22111T k E E TE T k y y BF F B ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∂∂+-=T E E T E T k y y F F B 21 .0⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=T E T E T T E f F 9.立方晶系金属，电流密度j与电场ε和磁场B 的关系是()[]εεβεαεσ20B B B B j -∙+⨯+= ,试把此关系改写成 ()()[]{}.20j B B j B b j B a j-∙+⨯+=ρε【解答】立方晶系金属的电流密度j与电场ε和磁场B 的关系是()()[]εεβεαεσ20B B B B j -∙+⨯+=对大多数金属来说，1410-≈Fτ秒，如果取m m =*，则有().,,1022200αστβσστατ<<=<<=<<***me m e m e FF F因此电流密度的主项 εσ0=j也即电场的主项j0ρε=式中14701σρ=为立方晶系金属的电阻率.由立方晶系金属的电流密度j与电场ε和磁场B 的关系解得()()[]{}εεβεαρε20B B B B j -∙-⨯-=将电场的主项代入上式右端的ε中，得到()()[]{}jB B j B j B j 2000-∙-⨯-=βραρρε()()[]{}.20j B B j B b j B a j -∙+⨯+=ρ其中.,00βραρ-=-=b a10.有两种金属，价电子的能带分别为,22Bk E Ak E ==和其中B A >，并已测得他们的费米能相等.（1）它们的费米速度哪个大？（2）在费米面上的电子的弛豫时间相等的情况下，哪种金属的电导率大？【解答】（1）已知A 金属与B 金属的费米能相等.22FB FB FA FAAk E Ak E ===所以.AB k k FB FA = 金属中电子的费米半径F k 、费米速度F v 和有效质量*m 的关系是 *mF v = F k .A 金属电子的有效质量A k E m A A 2222 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=*B 金属电子的有效质量B k E m BB 22222 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=*于是.BAk m m k v v FB A B FA FB FA ==**148因为B A >，所以A 金属电子的费米速度大.（2）如果外电场沿x 方向，则x 方向的电场x ε与电流密度x j 的关系（参见《固体物理教程》6.84式）为.4222⎰∇=F S x k x x E dS v e j ετπ 上式积分沿费米面进行.将上式与x x j σε=比较，可得立方晶系金属的电导率.4222⎰∇=FS k xEdSv e τπσ在费米面是一球面的情况下，上式积分为.442222FFFx F v k v e πτπσ=其中利用了v E k =∇.将关系式.3122F Fx v v = 代入电导率式得.3232*=m k e FF πτσ 于是.33ABk m m k FB A B FA B A ==**σσ可见B 金属的电导率大.11.求出一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能及一个电子对比热的贡献. 【解答】设一维一价金属有N 个导电电子，晶格常数为α.如图6.4所示，在dE E E +-图6.4 一维金属中自由电子的能带能量区间波矢数目为.22dk Na∙π利用自由电子的能量于波矢的关系149,222mk E = 可得dE E E+-能量区间的量子态数目.222221dE E m Na dk Na dz -=∙=ππ 由此得到能态密度().21-==E m Na dE dz E Nπ 在绝对零度时费米能级以下的量子态全被电子占据，所以有().22200210ππF E E mE Na dE E m Na dE E N N F F===⎰⎰-由上式即可求得电子的费米能 .82220m a E Fπ=平均一个电子所具有的能量⎰=NEdNNE 01()()()⎰⎰∞∞==021021dE E f E m a d E N E Ef N π其中()E f 是电子费米分布函数.利用分布积分，得到()⎰∞=0212dE E f E m a Eπ()⎰⎰∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∞=2302323.3223220322dE E f E m a dE E f E m a E f E m aπππ利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=22238322T k E E m a E B F F ππ . 平均一个电子对热容量的贡献为,122B FV Ve k T TT E C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=π 其中利用了费米能与费米温度的关系 F B FT k E =.12.对于二维金属，重复上述问题. 【解答】150如图6.5所示，在绝对零度时，二维金属中的导电电子（设为自由电子）在波矢平面内充满一费米圆.自由电子的能量m k E 22 =，所以能量dE E E +→区间的电子占据图中dk 的范围.在此范围内的波矢数目为(),222kdk Sππ∙图6.5 二维波矢空间其中()22πS是二维金属中导电电子的波矢密度，S 是金属面积.由m k E 222 =得.2mdEkdk =能量dE E E+→区间的量子态数目则为().222222dE mSmdE S dz πππ=∙= 能量密度().2πmS dE dz E N ==在绝对零度时，费米能级以下的量子态全被电子占据，所以有().020200F E E E mS dE mSdE E N N FFππ⎰⎰=== 由上式可得mn E F20 π=其中n 是金属中导电电子的密度.可见二维金属中导电电子的费米半径为()212n k F π=平均一个电子所具有的能量 ⎰=NEdN NE1()()()⎰⎰∞∞==21dE E Ef n m d E N E Ef Nπ利用分布积分，得到()⎰∞=2dE E Ef n m E π151()⎰⎰∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∞=022022222202dE E f E n m dE E f E n m E f E n m πππ利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式得().322222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=T k E n m E B F ππ 平均一个电子对热容量的贡献为,32B F V Ve k T TT E C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=π 13.证明热发射电子垂直于金属表面运动的平均动能为T k B ，平行于表面运动的平均动能也是T k B . 【解答】当无外加电场，温度也不太高时，金属中的价电子是不会脱离金属的，因为金属中的价电子被原子实紧紧的吸引着，电子处于深度为0E 一势阱中.如图6.6所示，要使最低能级上的电子逃离金属，它至少要从外界获得0E 的能量.要使费米面上的电子逃离金属，它至少要从外界获得()F E E -=0ϕ的能量.为方便计，取一单位体积的金属.在k空间内k d范围内的电子数目()()k d E f dn322π=图6.6 深度为0E 势阱其中()().11+=-Tk E E B F eE f转换成速度空间，则在v d v v+→区间内的电子数目(),123+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-Tk E E zy x B F edv dv dv h m dn 式中利用了关系.k vm=对于能脱离金属的热发射电子，其能量E 必满足()ϕ>-F E E 对大多数金属来说,T k B >>ϕ，所以必有()1221>>=⎪⎭⎫⎝⎛--T k E mv Tk E E B F B F ee152式中已取221mv E =于是.2232z y x Tk mvTk E dv dv dv e eh m dn B B F-⎪⎭⎫ ⎝⎛=设金属表面垂直于z 轴，热发射电子沿z 轴方向脱离金属，则要求0221E mv x >> 而速度分量x v 、y v可取任意值.所以在区间z z zdv v v +→的热发射电子数目()⎰⎰∞∞--∞∞---⎪⎭⎫ ⎝⎛=x Tk mv y Tk mv z Tk mv T k E z dv e dv edv eeh m v dn B xB y B z B F22232222利用积分公式adx e ax π=⎰∞∞--2得到().42322z Tk mv T k E B z dv ee h T k m v dn B z B F-=π垂直于金属表面的速度分量为的电子在单位时间内逃出金属表面的数目为().z z v dn v dN=于是，热发射电子垂直于金属表面运动的平均能量.221022222232zmE z T k mv z m E z T k mv z z z dv ev dv e v m dN dN m v E Bz B z⎰⎰⎰⎰∞-∞-== 利用积分公式()a bcx c edx xe a bc e e cxbacx cx ba cx1,2-==⎰⎰得到.0T k E E B z +=0E 是金属中的电子脱离原子实的吸引所需要的最低能量，在克服原子实的吸引脱离金属的过程中，这部分能量已消耗掉了.因此脱离金属的电子垂直于金属表面运动的平均动能为 T k B因为在v d v v+→速度区间内的电子，在单位时间内逃出金属表面的数目为.dn v N d z ='153所以，热发射电子平行于金属表面运动的平均动能()⎰⎰''+=Nd N d v v m E y x xy 2221()()).202220222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞++-∞∞-∞∞-∞++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=yx m E z Tk v v v m z y x m E z T k v v v m y x z dv dv dv e v dv dv dv e v v v m B z y x B z y x利用积分公式adx e ax π=⎰∞∞--2(),21253122aa n dx e x n n ax ππ-∙∙∙=⎰∞∞--得到热发射电子平行于金属表面运动的平均动能为.T k E B xy14.证明，当Tk B 0FE <<时，电子数目每增加一个，则费密能变化 (),1FFE N E =其中()FE N 为费密能级处的能态密度.【解答】由《固体物理教程》（6.3）式可得(),323232322232220AN V N m n mE cF =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ式中.323222⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c V m A π 当电子每增加一个，费密能的变化(),13232AN N A E F -+=∆因为导电电子数目很在，所以().32111132323232⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+N N N N N于是.32221323122322310⎪⎪⎭⎫⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛==∆ππc c F V N m m V N A E 由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度154()().3222221232231023220⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=πππc c Fc F V N m m V E m V E N 由此可得(),1FFE N E =--- 15.每个原子占据的体积为3a ，绝对零度时价电子的费密半径为(),6120ak Fπ=计算每个原子电子数目. 【解答】由《固体物理教程》（6.4）式可知，在绝对零度时导电电子的费密半径(),3312πn k F =现在已知一金属导电电子的费密半径(),63120ak Fπ=所以，该金属中导电电子的密度 .23an= 3a 是一个原子占据的体积，由此可知，该金属的原子具有两个价电子.16.求出绝对零度时费密能0FE 、电子浓度n 、能态密度()F E N 及电子比热eVC 与费密半径0F k 的关系. 【解答】绝对零度时电子的费密半径 (),33120πn k F =电子浓度n 与费密半径的关系是().3230πFk n =由《固体物理教程》（6.3）式可得到绝对零度时电子的费密能与费密半径的关系为()(),23220232220FFk mn mE ==π由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度是().22022212322F c c k Vm Em V E Nππ=⎪⎭⎫⎝⎛=由此可得()().2202221023220F c Fc Fk m V E m V ENππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=155由《固体物理教程》（6.13）式可知平均一个电子对热容量的贡献为 .202B F Vk T T C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=π因为(),22200BFB F Fmk k k E T == 所以一个电子的热容与费密半径的关系为 ().20222T kmk C FBVπ=17.经典理论认为,所有价电子都参与导电,电流密度j 与所有电子的漂移速度d v 的关系是d nev j =已知铜的电子浓度,105,1034329m A j m n ⨯==试比较费密速度F v 和漂移速度d v .【解答】F k 是费密面上电子的动量,电子的费密速度则为().3312mn m k v F F π ==将漂移速度d v .nej =与费密速度比较,得().3312πn ne jm v v F d =将s J kg m C e∙⨯=⨯=⨯=--34311910055.1,10110.9,10602.1,105,1034229m A j m n ⨯==代入上式,得到.10877.112-⨯=Fdv v 可见如果认为所有价电子都参与导电,则价电子的漂移速度将远小于费密面上电子的速度.这一点也不难理解,因为量子论认为,参与导电的电子只是费密面附近的少数电子 . 如果把费密面附近的电子对电流的贡献也粗略地写成 ,F ev n j '=由于.,d Fv v n n >><<'所以18.电子漂移速度d v满足方程,ετe v dt v d m d d -=⎪⎭⎫⎝⎛+156试确定稳定态时交变电场下的电导率()()().1102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ωτωτσωσi 【解答】设交变电场,0t i e ωεε=则电子漂移速度满足的方程变成.0t i d d e mev dt v d ωετ-=+设上式的特解为,ωτi Ae则A 满足的方程为.0me AA i ετω-=+由上式的到().10ωττεi m e A +-=齐次方程.0=+τdd v dt v d 的通解为τt e B - .电子漂移速度满足的方程的解为 d v=τt eB -().10t i e i m e ωωττε+-当电子达到稳定态后，上式右端的第一项趋于0.于是d v=().10t i e i m e ωωττε+-按照经典理论，电流密度j 与漂移速度d v，电导σ和电场强度ε的关系为j =()().102εωσωτεω=+=-t i d e t i m ne v ne由上式得()()().1102⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ωτωτσωσi 其中()mne τσ20=157如果设电场为,0t i e ωεε=则有()()().1102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ωτωτσωσi 19.求出立方晶系金属的积分1P 、32P P 和【解答】由《固体物理教程》（6.119），（6.120）和（6.123）三式得⎰⎰⎰∇∂∂=∇∂∂=∇∂∂=.41,41,412023302320231EdEdS E E f v P E dEdS E E f v P E dEdSE f v P k x k x k x τπτπτπ以上三式中的面积分是在一个等能面上进行，对于等能面是球面的情况，面积分的值 .42k S π=自由电子的能量mk E 222 =，所以面积分化成.82mESπ=因为x v 是电子的平均速度在x 方向的分量,所以.32213231222mE mv m v v x =⎪⎭⎫ ⎝⎛== 另外.2mEv v E k===∇ 于是（6.119），（6.120）和（6.123）三式化为,322,322,322027323025322023321⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=dE E f E m P dE E f E m P dE E f E m P τπτπτπ 利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式进一步得到158()()(),2435322,85322,832222322732322253222223321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=T k E E m P T k E E m P T k E E m P B F FF B F F F B F FF ππτππτππτ20.利用上题结果,求出热导系数 mTn k k B 322τπ=【解答】将上题1P 、32P P 和的代入《固体物理教程》（6.125）式,得立方金属导电电子的热导率 .3322223232T k E m k BF F ππτ =将自由电子的费密能()322232πn mE F =代入立方金属导电电子的热导率,得 .322T mn k k FB τπ=21.证明.021<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T P TE T T P F【解答】仅在x 主向存在温度梯度的情况下,由《固体物理教程》（6.118）式可知,金属中的电流密度.12121x F F x P e dx dn n E eP dx dT T P T E T T P e j ε-∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-= 设金属的左端温度保持为1T ,右端温度保持为2T ,2T >1T ,定义x 正方向由左向右,则温度梯度方向与x 方向同向,电子由高温区向低温区扩散,方向与温度梯度反向,电流的方向与温度梯度同向.扩散刚开始时,电子的浓度梯度dxdn和温差电场x ε都为0,电流与温度梯度的方向一致,则只有.021<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T P T E T TP F当达到平衡后,电子的浓度梯度dxdn 和温差电场x ε的方向都与x 方向反向,电子浓度梯度引起的反向扩散电流dxdnn E eP 11∂∂-159和温差电场引起的反向漂移电流 12P e -x ε与正向温差电流dx dTT P TE T TP e F⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-21反向,条件.021<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T P T E T TP F更不可少其实此问题用6.19题的结果也可证明.忽略费密能随温度的变化,则().11221F FE P P T T P T E T TP -=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 将6.19题的21P P 和代入上式,得().11221F FE P P T T P T E T TP -=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ()(),8853222225222532⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-=T k E E T k E E TmBF F B F F F πππτ 03232<-=T mE k FF Bτ22.当金属中存在温度梯度时,电子分布函数()x f可以看成是平衡分布函数 0f 的刚性平移,证明平移量为..⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-ετe n n E T T E T E T T F F【解答】当金属中存在温度梯度时,导电子的分布函数变成了（参见《固体物理教程》6.116式）.00⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∙∂∂+=ετe n n E T T E T E T T v E f f f F F其中v是电子的平均速度,n 是电子浓度,ε是温差电场.将v Ef E E f f k k∂∂=∇∂∂=∇000 代入上式得到.00⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∙∇+=ετe n n E T T E T E T Tf f f F Fk 将上式与下式()()u d f u f u d u f u∙∇+=+160比较得到().0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=ετe n n E T T E T E T T k f k f F F上式表明,当金属中存在温度梯度时,导电电子的分布函数()k f 可看成平衡分布函数()k f0在波矢空间里的刚性平移,平移量为.⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-ετe n n E T T E T E T T F F。

6.4 电子气的比热容

的表达式不改变其结果因此把上式左边加入
∆U = ∫ (ε − ε F ) f (ε ) D(ε )dε + ∫ (ε F − ε )[1 − f (ε )]D(ε )dε
εF
0
εF
5
固体物理导论固体物理导论物理
第 6 章自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
C / T = γ + AT 2
y = γ + Ax
这是一条直线，斜率为 A，截距为 γ 。 γ 被称为这是一条直线，，索末菲参量
13
固体物理导论固体物理导论物理
第 6 章自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
的观测值具有所预期的量级，系数 γ 的观测值具有所预期的量级，但和下式
π2 2 Cel = D(ε F )k BT 3 对质量为 m 的自由电子所作的计算结果符合得不是很好
三维自由电子气随温度的变化曲线
8
固体物理导论固体物理导论物理
第 6 章自由电子费米气
6.4 . 电子气的比热容
当 kBT<<εF 时，可以忽略化学势 µ 对温度的依赖性，的依赖性，并用常量 εF 代替，代替，则有
df ε − ε F e (ε −ε F ) / k BT = ⋅ (ε −ε F ) / k BT 2 dT k BT [e + 1]2
CeAl3 600
16
从而
1 2 T Cel = π Nk B 2 TF
TF 称为费米温度，但它与实际上的电子温度没称为费米温度，有任何关系，有任何关系，只是一种方便的符号而已
11
固体物理导论固体物理导论物理
第 6 章自由电子费米气

固体物理课件6.1

—— 保留到二次项
f f N Q ( EF ) ( )dE g '( EF ) ( E EF )( )dE E E f 1 2 g ''( EF ) ( E EF ) ( ) d EF ) ( )dE g '( EF ) ( E EF )( )dE E E f 1 2 g ''( EF ) ( E EF ) ( )dE E 2
§6.1 电子气的费密能和热容量
—— 能带理论是单电子近似每一个电子的运动近似看作是独立的有一系列确定的本征态 —— 一般金属只涉及导带中的电子所有电子占据的状态在一个能带内
1 费密分布函数电子气体服从泡利不相容原理和费米 — 狄拉克统计热平衡下本征态 E被电子占据的几率 f ( E )
dE ] /[C
0
0 EF
3 0 E dE ] E F 5
1/ 2
结论：绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量 —— 电子满足泡利不相容原理每个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子 —— 所有的电子不可能都填充在最低能量状态
T 0 K 电子的费密能量

EF
总的电子数 N
f ( E ) N ( E )dE
3 电子热容量

金属中电子总能量 U
E
f ( E ) EN ( E )dE
0
引入函数 R ( E )
EN ( E )dE
0
EN ( E ) R ' ( E )
—— E以下的量子态被电子填满时的总能量
U f ( E ) R( E )dE
0

应用分布积分
f U R ( E )( )dE E 0

chap固体中的电子

由此可见，平面波状态的波失k是由一组量子数(nx,ny,nz)确定，因此单电子本征能量、动量和相应的速度均取分立值，即量子化。
6.3.2 自由电子的能态密度
把波失k看做空间矢量，则相应的空间称为波失空间，又称k空间。下图为k空间示意图：
由于沿kx,ky,kz各轴相邻的两点之间间距为 2π l,
对于自由电子模型，自由电子态密度的表达式
为：
( ) g(E)=
4πV
2m h2
E 3 2
1 2
可见自由电子态密度随能量的1／2次方增大。
图6.4表示了自由电子态密度曲线。
6.3.3 费米分布及基态费米能
假设体积V中有N个自由电子。在T=0K时， N个电子的基态是由最低态开始，由低向高填充而得。
F =-e(v×B)
使得导体的宽度方向产生了一个附加电场 Ey ，即霍耳电场。
当电场力与洛伦兹力相等时，达到动态平衡，这时有：
evxBz=eEy
由电流密度公式j=-nev我们可得：
vx=-
jx ne
代入上式得：Ey=-
jx Bz ne
其中定义霍尔系数为RH=-
1 ne
以上讨论的是金属中电子导电的情况。
V（r）=0，在金属内部 V（r）=∞，在金属体外
索末菲理论中，单个电子的薛定谔方程为：
令 k = 2mE
h
则上式的解为：ψ (r) = Aeikr
容易求出电子波函数是平面波：
由于电子的运动局限在金属内部，对于足够大的金属材料，通常采用周期性边界条件来确定波失的取值。
利用平面波函数解式和边界条件式，可得：于是得到波失的取值为：
金属中的电子服从费米—狄拉克分布,自由电子气处于热平衡时能量为E的能级被电子占据的几率为：

固体物理学第六章

室温下，价带中的电子大都被激发到杂质能级中形成空穴导电. 该能级称为受主能级(accepter). 这类使半导体获得空穴导电本领的杂质称为受主杂质。
第六章半导体中的电子过程
绪论
半导体的特有性质－负电阻温度系数
法拉第 M. Faraday (1791~1867)，英国英国物理学家、化学家，现代电工科学的奠基者之一。
电容的单位法（拉）即为纪念他而命名。
法拉第发明了第一台电动机，另外法拉第的电磁感应定律是他的一项最伟大的贡献。
所谓光电导效应，是指由辐射引起被照射材料电导率改变的一种物理现象。
照片
光电导探测器在军事和国民经济的各个领域有广泛用途。
光电导效应是半导体材料的特有性质之二
光电导示意图
半导体的特有性质－整流效应
布劳恩 K.F. Braun (1850~1918)，德国物理学家。布劳恩与马可尼共同获得1909年度诺贝尔奖金物理学奖。 1874年，他观察到某些硫化物的电导与所加电场的方向有关，在它两端加一个正向电压，它是导通的；如果把电压极性反过来，它就不导通，这就是半导体的整流效应。整流效应是半导体材料的特有性质之三
当直流磁场沿 e1 [100]方向时，
1, 0
对于沿 e1 方向的2个椭球中的电子
eB c1 * mt
对于沿 e2 e3 方向的4个椭球中的电子
c 2
eB ml* mt*
mt* ml*
测得两个共振频率，即可求得电子的有效质量
问题：对于两个频率磁场的吸收，哪个强度大？
具有非满带！
在实际晶体中，3s和3p能带会发生相互交叠，3s和3p态相互混合杂化，称为sp杂化。

固体物理试题分析及答案

1 简述Drude模型的基本思想？2 简述Drude模型的三个基本假设并解释之.• 独立电子近似：电子与电子无相互作用；• 自由电子近似：除碰撞的瞬间外电子与离子无相互作用；• 弛豫时间近似：一给定电子在单位时间内受一次碰撞的几率为1/τ。

3 在drude模型下，固体如何建立热平衡？建立热平衡的方式——与离子实的碰撞• 碰撞前后速度无关联；• 碰撞后获得速度的方向随机；• 速率与碰撞处的温度相适应。

4 Drude模型中对金属电导率的表达式。

5 在自由电子气模型当中，由能量均分定理知在特定温度T下，电子的动能为。

6 在Drude模型当中，按照理想气体理论，自由电子气的密度为n·cm-3，比热Cv=（见上图）。

7 1853年维德曼和弗兰兹在研究金属性质时发现一个定律，即在给定温度下金属的热导系数和电导率的比值为常数。

8 简述Drude模型的不足之处？、Drude模型的局限性• 电子对比热的贡献与温度无关，过大（102）• 电子速度，v2，太小（102）• 什么决定传导电子的数目？价电子？• 磁化率与温度成反比？实际无关• 导体？绝缘体？半导体？9 对于自由电子气体，系统的化学势随温度的增大而降低。

10 请给出Fermi-Dirac统计分布中，温度T下电子的能量分布函数，并进一步解释电子能量分布的特点。

在温度T下，能量为E的状态被占据的几率。

式中E F是电子的化学势，是温度的函数。

当温度为零时，电子最高占据状态能量，称为费米能级。

11 比较分析经典Maxwel-Boltzman统计分布与Fermi-Dirac统计分布对解释自由电子气能量分布的不同之处.• 基态，零度时，电子都处于费米能级以下• 温度升高时，即对它加热，将发生什么情况？• 某些空的能级将被占据，同时，原来被占据的某些能级空了出来。

12 在自由电子气模型当中若电子的能量为E, 则波矢的大小为K= 。

13 若金属的体积为V，那么在k空间中，k的态密度为。

固体物理学：自由电子费米气体

释了金属的高电导率、高热导率、霍尔效应以及某些光学性质。
14
不足之处：获得的平均自由程和热容与实验结果严重不符，实验上热容仅是理论值的1%(电子参与导电过程，但对热导好像没有参与，为什么？）；在处理磁化率等问题上也遇到根本性的困难。
不足之处产生的原因分析
经典理论在微观世界的不适用
15
量子力学对金属中电子的处理
2）忽略了电子与电子之间的库仑排斥相互作用，成为独立电子近似（independent electron approximation）。
7
3）传导电子简单地随机的和正离子实相碰撞(受正离子实的散射)且碰撞是瞬时的，每次碰撞都急剧地改变传导电子的速度，但碰后电子的速度只与碰撞地点的温度有关，而与碰前速度无关。电子只是通过碰撞与周围环境达到热平衡。在相继的两次碰撞之间，电子做直线运动，遵循牛顿第二定律，称为碰撞近似（collision approximation）。
12
3）金属的比热
特鲁德模型将金属中的电子视作经典粒子。根据经典的能量均分定律：
—— 每个电子具有3个自由度，每个自由度具有kBT/2的平均能量
—— 设单位体积内的电子数为n，则电子气系统的内能密
度为
U
3 2
nkBT
电子气的热容：
C Classical v
3 2
nkB
高温下与晶格振动的贡献相当，这与实验结果不符。
4）一个电子与离子实两次碰撞之间的平均时间间隔称为弛豫时间，它与电子的速度和位置无关，称为弛豫时间近似（relaxation approximation）。
8
特鲁德模型的应用
1）金属的直流电导金属晶体内的电子运动类似理想气体分子的运动，因此电流密度为

固体物理第六章

§3 电子气体的热容
基本思路与方法
当晶体温度升高时，每个电子对热容都有贡献，晶体中只有N个电子，按经典理论：Cv=3/2NkB，但实际上自由电子的热容达不到此值的1%。根据 Drude模型是没法解释的。
按Sommerfeld的自由电子模型，电子气服从费米统计规律及泡利原理，在T=0k时，电子气充满了费米球内的所有轨道，当温度T上升时，并不是费米球内的电子都受到热激发，这是因为在每个k值上只能有自旋相反的两个电子，由于泡利原理限制，热激发(kBT)是低能激发，远离费米面的电子不可能被激发(因为附近无空轨道)，只有费米面以外才有空轨道，因此只有费米面附近的电子才能被激发，要激发远离费米面的电子必须用高能激发(如光激发等)，而kvT«F，所以远离费米面的电子是冻结的。
k n L
n 1.2.3......
n
2
2m
( n)2
L
<2> 周期性边界条件（与第五章类似）
n (x L) n (x)
在此条件下薛定锷方程的解是行波解,不再是驻波解。
i2n
(x) Aeikx (x L) Ae Ln(Lx)
k 2 L n n 0.1. 2
能量本征值：
n
dk
)1
之所以乘以2是因为每一个k对Байду номын сангаас于两个自旋相反的电子。
三维情况：
费米分布函数:
f (,T )
1
( )
e kBT 1
μ是电子气的化学势，在给定的体系中，在给定的温度下，由电子气的总数决定：
当T<<TF时:
f ( T )D( )d N
0
u
F
[1
2

兰州大学固体物理第6章自由电子论ppt课件

温度的变化很小。
总电子数：
N 0 D( )
f (.T ) dε=常数
（不随温度变化）
N T 0
F N 0 F D( )
f (.T ) dε=常数
即： F N T 0
或
0 F
D( )
f T
d 0
又
cel 0 D( )
f T
d
再加上一项等于零的积分对Cel无影响则：
cel 0 D( )
sω
dsω Kω
相应的电子气的轨道密度的一般表达式为：
D(ε)
V 4π 3
sε
dsε k ε
(由于自旋×2)
总电子数与费米能的关系：
N
V
3
2
(
2m
2
F
3
)2
在波式空间中能量为的等能面所包围
的轨道数为：
N
V
3
2
(2m
3
2) 2
下面推导此式：
k
2m
2
在波矢空间，波矢为k的球的球体体积为：
4/3πk3，每个k值占的体积为(2π/L)3，每
2 z
)
=恒常
在波矢空间是一球面方程，不同能量的等能面是一系列同心球面。
电子在T=0k时所能填充到的最高等能面称为费米面，我们知道自由电子的等能面是球面，在T=0k时，费米面把电子填充过的轨道与电子未填充过的轨道完全分开了，即费米面内所有的轨道都被填充，费米面外边都是空轨道，这一点对金属是非常主要的，因为只有费米面附近的电子才能决定金属的动力学性质。
电子气的轨道密度为抛物线关系，费米分布函数为：
在T=0时，轨道全占满，但当温度T上升时，费米面附近的电子可能激发到高轨道上去，在温度T时能受热激发的电子数(只看到数量级)大约为：（kBT/εF）N，则在温度T 时电子气热能的增加为：

固体物理--自由电子费米气 6.1 一维情况下的能级

2
固体物理导论
第 6 章自由电子费米气
6.1 一维情况下的能级
一维情况下的自由电子气
假设一质量为 m 的电子被限制在宽为 L 的无限深方势井中，则电子波函数 fn(x) 满足 d 2fn Hfn nfn 2 2m dx 边界条件 fn (0) fn ( L) 0 上述薛定谔方程的解为
nF π Nπ F 2m L 2m 2L
2 2 2 2
7
0
2 2
x
L
2π fn A sin x n
nπ n 2m L
1 nn L 2
3
固体物理导论
第 6 章自由电子费米气
6.1 一维情况下的能级
一维单电子系统的波函数
nπ fn A sin x L
以量子数 n 为标记的一对轨道可以容纳两个电子，一个
第 6 章自由电子费米气
6.1 一维情况下的能级
一个由 6 个电子组成的系统在处于基态的情况下所填满的轨道：
n ms 电子占有数
1
1 2 2 3 3
↑
↓ ↑ ↓ ↑ ↓
1
1 1 1 1 1
4
4
↑
↓
0
0
6
固体物理导论
第 6 章自由电子费米气
6.1 一维情况下的能级
费米能
电子从最低能级 (n=1) 开始填充，填满后继续填更高的能级，直到所以 N 个所有电子都填满为止，令 nF 表示被填满的最高能级我们把 N 个电子系统的基态下最高被填满能级的能量称为费米能 F ．假定Ｎ为偶数，则 2nF=N，一维情况下的费米能为

《固体物理-徐智谋》第六章自由电子气

2m h2

3
2
E
1
2

CE1
2
其中
C

4πVc

2m h2
3

2
3 自由电子气的费米能量
1.费米能量
在热平衡时，能量为E的状态被电子占据的概率是
1 f ( E ) e(EEF ) kBT 1
EF---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。
N CE1 2 f (E )dE ０
2 Cf ( E )E 3 2 2 C E 3 2 f dE (分步积分得来)
3
03 0
E
2 C E 3 2 f dE
30
E
=0
若令g(E) 2 CE 3 2, 则上式化简为 3
N

0
gE (

f E
k,
t
)
描述t时刻电子在晶体内
r
处波矢为
k
的概率
2.分布函数。的变化
电子分布函数的变化表示为
f f ＋f t t 碰 t 漂
漂移作用引起的分布函数的变化
碰撞引起的分布函数的变化
f f ＋f t t 碰 t 漂
漂移项=外场作用力引起的电子波矢的漂移
L 2π
3
dk
(4) k ~ k dk 体积元 dk 中的电子状态数为: dZ 2 L 3dk
2π
2.能态密度
lim (1)定义: N (E )
Z dZ
E0 E dE

固体物理电场中的自由电子共23页文档

固体物理电场中的自由电子
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们就不再配享受自由了。—— 毕达哥拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的利益，而是为了公共的利益；一部分靠有害的强制，一部分靠榜样的效力。 ——格老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话，那么法律作为一件无用之物自己就会消灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞罗
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
Байду номын сангаас
23

固体物理6.1

3 2
1 2
令
2m g ( E ) = 4π 2 E h
称为能态密度
3 2
1 2
g (E) ∝ E
楼层越高，楼层越高，房间越密
1 2
6.1.2 电子气的基态教室的分布已经解决，接下来同学们如何进入安排好的教室？取决于同学们的喜好喜好。喜好三种分布： A、粒子不相同 B、粒子不可区分 b1、 Fermi子 b2、 Bose子 Q：Fermi子与：子与Bose子有什么区子与子有什么区别？
µ(0)
E
具体推导：以下为数学物理技巧，令
H ( E ) = ∫ g ( E )dE
0
E
分部积分，。。。。。需要注意的地方： 1、室温下kBT=26meV，故积分下限
−
µ
kT
→ −∞
2、三个积分的处理（6.1.26）
∂f ∫− − ∂E dE = f (−∞) − f (+∞) = 1
f ex − = x ∂x (e + 1) 2
∫
+
−
∂f x − dx = 0 ∂x
+ x 2e x ∂f x − dx = ∫ x dx − (e + 1) 2 ∂x 2
∫
+
Q：这个积分怎么积？：这个积分怎么积？
−
∫
+
N E = ∫ VfgEdE
0
∞
Q：如何积分？：如何积分？
2
π ( k BT ) 3 E = EF+ 5 4 EF
2
k BT N dE 1 2 Ce = = π nk B ⋅ = γT V dT 2 EF

6.2温度对费米-狄拉克分布的影响

3
固体物理导论
第 6 章自由电子费米气
6.2 温度对费米-狄拉克分布的影响
费米-狄拉克分布的高能尾部，em>>kBT，这时费米-狄拉克分布函数
f (e ) 1 e ( e m ) / k BT 1 1 e ( e m ) / k BT e ( e m ) / k BT
2温度对费米狄拉克分布的影响第6章自由电子费米气固体物理导论在绝对零度时??f因为在t0的极限下在??f?处的函数f?的值由1填满不连续地f变到0空着11????tkbef??3f??称为化学势并且在绝对零度下化学势等于费米能o?f??f10?t6
固体物理导论
第 6 章自由电子费米气
6.2 温度对费米-狄拉克分布的影响
电子系统的基态与激发态
电子系统的基态是指其处于绝对零度时的状态。当温度升高时，电子气的动能增加，这时某些在绝对零度时原本空着的能级将被占据，而某些绝对零度时被占据的能级将空出来，系统处于激发态
1
固体物理导论
第 6 章自由电子费米气
6.2 温度对费米-狄拉-狄拉克分布得到能量为 e 的轨道被占据的概率为
这个极限分布就是所谓的玻尔兹曼分布或麦克斯韦分布
4
f (e ) 1 e ( e m ) / k BT 1
其中 m 是温度的函数。对于特定的问题，m 的选择应该使得能够正确地算出系统中的粒子数
2
固体物理导论
第 6 章自由电子费米气
6.2 温度对费米-狄拉克分布的影响
f (e )
1 e ( e m ) / k BT 1
在绝对零度时 m=eF，因为在 T→0 的极限下，在 e=eF=m 处的函数 f(e) 的值由 1 (填满) 不连续地变到 0 (空着) f (e ) T 0 m 称为化学势，并 1 且在绝对零度下化学势等于费米能 O eF e

固体物理第6章金属电子论2

同样可以看出,电导率的贡献主要来自附近的情况
�
(2π ) v f (k) ,就可以直接计算电流密度.
2
j =
∫ f (k )v(k )dk
(2)碰撞项-由于晶格原子的振动或者杂质的存在等原因,电子不断发生从一个状态到另一状态的改变,电子态的这种变化叫做散射. vv v v 定义单位时间由 k →k ′ 的跃迁几率 Θ(k, k′) .这里仅考虑自旋不变的跃迁
§6-3 分布函数和波耳兹曼方程 v v v v 以 f 0 [ E (k ),T ]表示费米分布函数,则单位体积内处于 k → k + dk 态范 v 围的电子数即电子数密度为: v
v v v v 平衡分布时,由于E(k) =E(k) ,分布函数f0[E(k),T] 对于两态 k , k 是对称的,因此不会表现出宏观电流. v v j 当存在外场时,很快形成稳定的电流密度: = σE ,稳定的电流分布反映了恒定外场下,电子达到一个新的定态统计分布,假定对应分 v 布函数 f (k) ,则总的电流密度: vv v v v 2e
f f0 v τ(k) 其中 f 0 指平衡时的费米函数, 为描述系统趋于平衡所用时间的参量,称为驰豫时间.通过求解关于分布函数的方程: b a =
τ
v 2e j = 可以得到分布函数,再利用 ( 2π ) 2
v 一般表示:j = 2e 2 v v v v v f 0 τ v ( k )[ v ( k ) E ] 3 ∫ E (2 π ) E=E
vv vv dk vv v v 对于定态问题:k rv f (k , r,t) + ( dt ) k f (k , r ,t) = b a ,如果问题的分布函数
又和位置无关(如一根均匀导线内的情形),则波耳兹曼方程可以 v 简化为: e E v f ( kv ) = b a