微积分(二)_9 第二类曲面积分与高斯公式_

x
o Dx y 1 1
y
1 : z 1 x2 y 2
2 : z 1 x2 y2
( x,
y)
Dx y
:
x x
2
0
y2 ,y
1 0
xyz d xd y
x yzdxd y x yzdxd y
1
2
xy ( 1 x2 y 2 ) d x d y
Dx y
xy 1 x2 y 2 d x d y
为 的前侧（正侧），另一侧称为后侧（负侧）。
（3）若 的方程为 y y(z, x)： 规定：法向量与 y 轴正向的夹角为锐角的一侧称
为 的右侧（正侧），另一侧称为左侧（负侧）。
（4）若 为封闭曲面: 规定：法向量朝外的一侧称为 的外侧（正侧），
朝内的一侧称为内侧（负侧）。
正、负侧分别记为 ，。
S
ydzdx
S
xdzdy
3
4
得
S
zdxdy
xdydz
ydzdx
0
3 4
3 4
3
2
例2. 计算曲面积分 xyz d x d y, 其中 为球面 x2
y2 z 2 1 外侧在第一和第八卦限部分.
思考: 下述解法是否正确:
z 2
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根据对称性 xyz d x d y 0
解: 把 分为上下两部分
S
Dy z
例1. 计算 zdxdy xdydz ydzdx, S 为柱面 x2 y2 1 S
被平面 z 0 和 z 3 所截得的在第一卦限部分的曲面，
取曲面的外侧。
z
解 由于曲面垂直于 xOy 面
Dyz
故 S 在xOy 面的投影为0, 因此
zdxdy 0
1
y
S
S 在yOz 面的投影区域为矩形
用曲面法向量的指向规定曲面的侧， 规定了侧的曲面称为有向曲面。
曲面侧的具体规定如下：
（1）若 的方程为 z z( x, y)： 规定：法向量与 z 轴正向的夹角为锐角的一侧称
为 的上侧（正侧），另一侧称为下侧（负侧）。
（2）若 的方程为 x x( y, z)： 规定：法向量与 x 轴正向的夹角为锐角的一侧称
有向曲面及曲面元素的投影
一、有向曲面及曲面元素的投影
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型 双
n
侧
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
定义：
设 为一光滑曲面，M 为 上任意一点， 在 M 处的法向量有两个指向，取定一个指 向，记为 n，若动点从 M 点出发，在 上不 越过边界移动，最后回到 M 点时，n 的方向 没有改变，则称 为双侧曲面。否则称为单 侧曲面。
S
Dxy
Z (x, y, z)dxdy Z (x, y, z( x, y))dxdy
S
Dxy
•若
则有
Y (x, y, z) d z d x Y (x, y(z, x) , z) d z d x
S
Dz x
•若
则有
X (x, y, z) d y d z
X ( x( y, z) ,y, z) d y d z
zdxdy
例1. 用Gauss 公式计算
其中 S 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
z
解: 这里 X ( y z) x, Y 0, Z x y
3
利用Gauss 公式, 得
原式 = ( y z) d x d y d z (用柱坐标)
o
(r sin z)r dr d d z
V 上有连续的一阶偏导数 , 则有
X Y Z
V
x
y
z
d xd
yd z
X d y d z Y d z d x Z d x d y (Gauss 公式) S
( X cos Y cos Z cos ) d S S
说明： 建立了曲面积分与三重积分之间的关系.
X
V
x
Y y
Z z
• 设 S 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
(S ) x y ,
的面积为
则规定
( ) x y , cos 0
(S ) x y ( ) x y , cos 0
0,
cos 0
类似可规定
(S ) yz
( ) yz , ( ) yz ,
0,
cos 0 cos 0 cos 0
d xd
yd z
X d y d z Y d z d x Z d x d y (Gauss 公式) S
( X cos Y cos Z cos ) d S S
应用：（1）曲面积分可以转化为三重积分进行计算 (２) 利用曲面积分计算空间区域的体积
V
dV V
1 3
S
xdydz
ydxdz
(S )zx
( )zx ,
( ) zx ,
0,
cos 0 cos 0 cos 0
第二类曲面积分的计算
三、第二类曲面积分的计算
思想：化为相应的二重积分进行计算
(1) 确定曲面在相应坐标面上的投影区域； (2) 确定投影区域的正负 (3) 用曲面方程化简被积函数
Z (x, y, z)dxdy Z (x, y, z( x, y))dxdy
x1
Dyz {( y, z) | 0 y 1, 0 z 3}
S 的方程为 x 1 y2 , 其外侧为 前侧，得
xdydz xdydz 1 y2 dydz
S
S
Dyz
1
1 y2 dy
3
dz
0
0
z
Dzx Dyz
1
3
1 y2 dy
0
3 3
44
1
y
x1
对换 x 和 y，曲面 S 保持不变，由轮换对称性，知
x1
y
2
0
d
1
0 rd
3
r 0 (r
sin
z)
dz
9
2
思考: 若 S 改为内侧, 结果有何变化? 若 S 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
例2. 利用Gauss 公式计算积分
其中 为锥面 x2 y2 z 2 介于 z = 0 及 z = h (h 0) 之间部分的下侧.
解: 作辅助面 S1 : z h, x2 y2 h2 , 取上侧
Dx y
2
xy 1 x2 y2 d xd y
Dx y
2
r 2 sin cos 1 r 2 rd rd
Dx y
2 sin 2 d
1r3
1 r2 d r
0
0
2 15
z 2
x
o Dx y 1 1
y
高斯公式
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 V 由分片光滑的闭曲
面S 所围成, S 的方向取外侧, 函数 X, Y, Z 在