微积分(二)_9 第二类曲面积分与高斯公式_
二型曲面积分三合一公式
二型曲面积分三合一公式曲面积分是数学中的重要概念，在物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
在曲面积分的计算中，二型曲面积分三合一公式是一种常用的方法。
该公式结合了高斯定理、斯托克斯定理和格林公式，可以用于简化曲面积分的计算过程。
首先，我们来看一下高斯定理。
高斯定理将曲面积分与体积积分联系起来。
它表达了曲面积分与该曲面所包围的空间区域内的体积积分之间的关系。
根据高斯定理，我们可以将曲面积分转化为体积积分来计算。
接下来是斯托克斯定理。
斯托克斯定理描述了曲线积分与曲面积分之间的关系。
它指出，在一个封闭曲面上进行的曲面积分等于该曲面上的边界曲线上进行的曲线积分。
斯托克斯定理为我们提供了一种将曲面积分转化为曲线积分进行计算的方法。
最后是格林公式。
格林公式描述了平面曲线积分与曲线环绕的面积之间的关系。
根据格林公式，我们可以将平面曲线积分转化为面积积分进行计算。
综上所述，二型曲面积分三合一公式将高斯定理、斯托克斯定理和格林公式相结合，可以在曲面积分计算中进行灵活的转化。
通过利用这个公式，我们可以简化曲面积分的计算过程，并提高计算的效率。
这对于曲面积分在物理学和工程学等领域的应用具有重要意义。
需要注意的是，在使用二型曲面积分三合一公式时，我们需要根据具体问题的要求选择合适的定理进行转化。
同时，我们还需要熟练掌握高斯定理、斯托克斯定理和格林公式的条件和推导过程，以确保计算的准确性。
总之，二型曲面积分三合一公式是一种在曲面积分计算中常用的方法，它将高斯定理、斯托克斯定理和格林公式相结合。
通过灵活运用这个公式，我们可以简化曲面积分的计算过程，并提高计算的效率。
这对于曲面积分在物理学和工程学等领域的应用具有重要意义。
第二类曲面积分的计算方法,DOC
第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式Stokes公式向量计算形式1引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用.2预备知识2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++,∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ.若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量cos cos cos n i j k αβ=++则若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1)分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ∆=∆…,),同时代表其面积. (2)近似(,,)i i i i i M S ξηζ∀∈∆，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ∆上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ∆指定侧的流量的近似值： (3)求和 (4)取极限2.1.2定义.S S i i 的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时,z.S xy i i i S xoy S z ∆在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时,.S xy i i xoy S ∆他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,)i i i ξηζ.若lim1T ni P →=∑,(,)i iiξηζyziS ∆0lim1T ni Q →=+∑,(,)i iiξηζzxi S∆0lim1T ni R →=+∑,(,)i iiξηζxyiS ∆存在，或者(,,)(,,)(,,)SSSP x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.S 据此定义，某流体以速度在单位时间内从曲面的负侧流向正侧的总流量为2．2第二型曲面积分的性质性质1(方向性)设向量值函数v 在定向的光滑曲面S 上的第二型曲面积分存在.记S -为与S 取相反侧的曲面，则v 在S -上的第二型曲面积分也存在，且成立SSv ndS v ndS -⋅=-⋅⎰⎰⎰⎰.注意这个等式两边的n 是方向相反的.性质2（线性性）若ii i SPdydz Q dzdx R dxdy ++⎰⎰(1,2,k i =…，)存在，则有111()()()k k k i ii ii ii i i Sc P dydz c Q dzdx c R dxdy ===++∑∑∑⎰⎰=1kiiiii Sc Pdydz Q dzdx R dxdy =++∑⎰⎰，其中i c i 12k =⋯（，，，）是常数. 性质3(曲面可加性)若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块12,,S k S S …，所组成，且 存在，则有2.3第二型曲面积分的数量表达式记{cos ,cos ,cos }{,,}dS n dS dS dS dS dydz dzdx dxdy αβγ=⋅==，称dS 为曲面 从而SSA ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy ⋅=++⎰⎰⎰⎰.即(,,)S SA x y z ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy ⋅=++⎰⎰⎰⎰，dydz 是dS 在yoz 面上的投影；dzdx 是dS 在zox 面上的投影；dxdy 在dS 在xoy 面上的投影.他们的取值可正、可负、也可为零.如当cos 0α<时，dxdy 取符号. 特殊形式：(,,)SP x y z dydz ⎰⎰称为P 对坐标,y z 的曲面积分；(,,)SQ x y z dzdx ⎰⎰称为Q 对坐标,z x 的曲面积分；(,,)SR x y z dxdy ⎰⎰称为R 对坐标,x y 的曲面积分.2.4介绍两类曲面积分之间的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系.设S 为光滑曲面，并以上侧为正侧，R 为S 上的连续函数，曲面积分在S 的正侧进行.因而有1lim(,,)(,,)xyniiii T i SR x y z dxdy R Sξηζ→==∆∑⎰⎰(1)由曲面面积公式1cos i xyi S S dxdy γ∆=⎰⎰，其中γ是曲面i S 的法线方向与z 轴正向的交角，它是定义在xyi S 上的函数.因为积分沿曲面正侧进行，所以γ是锐角.又由S 是光滑的，所以cos γ在闭区域xyi S 上连续.应用中值定理，在xyi S 内必存在一点，使这点的法线方向与z 轴正向的夹角i γ*满足等式1cos xy i i iS S γ*∆=∆或cos xy i i i S S γ*∆=⋅∆.于是(,,)(,,)cos xyi i i i i i i i i R S R S ξηζξηζγ*∆=∆.n 个部分相加后得11(,,)(,,)cos xynniiii i i i i i i i R SR S ξηζξηζγ*==∆=∆∑∑(2)现在以cos i γ表示曲面i S 在点(,,)i i i x y z 的法线方向与z 轴正向夹角的余弦，则由cos γ的连续性，可推得当0T →时，(2)式右端极限存在.因此由(1)式得到(,,)(,,)cos SSQ x y z dzdx Q x y z dS β=⎰⎰⎰⎰(3)这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角γ改为γπ±.因而cos γ也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号. 同理可证：(,,)(,,)cos SSQ x y z dzdx Q x y z dSβ=⎰⎰⎰⎰(4)其中,αβ分别是S 上的法线方向与x 轴正向和与y 轴正向的夹角.一般地有[(,,)cos (,,)cos (,,)cos ]SP x y z Q x y z R x y z dSαβγ=++⎰⎰（5）3介绍第二型曲面积分的多种计算方法在数学分析课程中，有关曲面积分，尤其是第二型曲面积分的计算是一个重点、也是一个难点问题，学生在学习过程中往往对这一问题感到束手无策、无从下手。
微积分-高斯公式
cos
d
S
R u v z
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
练习1、设f二次可微，求
f ( r ), ( f ( r ) r ), ( f ( r ) r )
其中 r { x, y }, r r x2 y2 .
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的有向闭曲
面 所围成, 的方向取外侧,向量场F { P,Q,R }
divv 0
故它是无源场.
*例5.置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为
E
q r3
r
q r3
(x,
y,
z)
(r 0)
求 div E .
解:
div E
q
x
x r3
y
y r3
z
z r3
q
13
12
例4. 设函数
在闭区域 上具有一阶和
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 P u v
u
2v x2
2v y2
第二类曲面积分的计算方法
第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式Stokes公式向量计算形式1引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧•由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用2预备知识2. 1第二型曲面积分的概念2.1.1 流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1 )的速度为v v v vv(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x,y,z)j R(x, y,z)k,刀是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面刀一侧流向另一侧的流量若为平面上面积为S的区域，而流速v是常向量，指定侧的单位法向量v v v vn cos i cos j cosk则v v vS v cos S v n.若为曲面，流速v不是常向量，则用下面的方法计算流量(1) 分割将任意分成小块S i(i 1,2…,n), S同时代表其面积•M i( i, i, i) S 以点M j处的流速v i v(M i)和单位法向量^分别代替(2) 近似S i 上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过S i指定侧的流量的近似值：v vS i v i n i (i 1,2,…,n).(3) 求和n v vV i n i S ii 1(4) 取极限n v v设T| i吧｛ S的直径｝,则=常。
二型曲面积分高斯公式斯托克斯公式
( 分别取 y 1 x 与 x 1 y )
3 4 x ) dx ( 3 4 y ) dy (
1 0
0
1
2 (34x)dx2
0
1
二. 第二型曲面积分
F (x ,y ,z) d S
[ F ( x ,y , z ) e ( x ,y , z )] d S n
P Q 6 ( x y ) 解： ( x y 0 ) 4 y x ( x y )
曲线积分在半平面 x y 0 内与路径无 .
A 到点 B . 设 L : x y 1 , 从点 1
原式 3 y x ) dx ( 3 x y ) dy (
2 2
例2 求常数 a 与 b 的值 ,使
[( xy 1 ) e ae] dx [ be (xy 1 ) e] dy
x y x y
为全微分 ,并求全微分的原函数 .
P x y 解： e ae y
Q x y be e x
P Q 由 ,得 a 1 ,b 1 y x
第十二节 第二类面积分 高斯公式 斯托克斯公式
一、平面曲线积分与路径无关的条件
(1) 设G是单连通域, F C (G ), ( x , y ) ( P ( x , y ), Q ( x , y ))
则以下四个命题等价:
C
( 1 ) 分段光滑闭曲线 C G , P d x Q d y 0 ;
( ,0 ) 2
( 0 , 0 )
( 1 2 xy y2) dx (xy )2dy
( 2,1 )
( 1 2 xy y2) dx (xy )2dy
曲面积分(第九讲)
1 0 0
闭曲面外侧． 解：对第一个积分可以用高斯公式，即
is
1 ， 4
2
2 2
Ò òò
S
xy z 2 dxdy + x y 2 zdydz ，其中 S 为由曲面 z = x 2 + y 2 与平面 z = 1 所围成的
x 2 + y 2 £1 x ³ 0, y ³ 0
对于第二个积分不能用高斯公式，因为 x y z = P 在 x = 0 处偏导数不存在，只能投影，将 曲面 S 分成两块， S1 z = 1, x + y £ 1 上侧， S 2：z = x + y , 0 £ z £ 1 下侧， 因为 z = 1 垂直于 yoz 平面，所以 对于积分
第二类曲面积分计算、高斯公式
p 1 a4 = - [2p a 4 + 4p òp cos j sin j dj ] + ap a 2 a 4 2
p 3 p a + p a3 = - a3 ． 2 2 方法 2：投影法：曲面 S 投影到 yoz 平面上应分成前后两块，即
= -2p a 3 +
S前：x = a 2 - x 2 - y 2 ü ï ý 2 2 2 S后：x = - a - x - y ï þ
=
，
cos g =
2z 4x + 4 y + 4z
2 2 2
=
z x + y2 + z2
2
所以
例 4． 计算
I1 = òò xy z 2 dxdy = òòò xy
S W
= 2 òòò xy zdv = 8òòò xyzdv
W W1
nR
1 x +y
第二型曲面积分、Gauss公式、Stokes公式与空间向量场 (2)
]
= ∫∫ [( z n − y n ) cos α + ( x n − z n ) cos β + ( y n − x n ) cos γ ]dS
S + S1
n n n n n n − ∫∫ [( z − y ) cos α + ( x − z ) cos β + ( y − x ) cos γ ]dS S1
+y +R x
2 2
2
dxdy − ∫∫ x
R
2
2 2
D1 x
+y +R −x
பைடு நூலகம்2 D2
2
dxdy x
2
D2
2 2 R −x R +z
dxdz − ∫∫ dxdz dx
2 2 R −x R +z
dxdz
= 2 ∫∫
x2 +z ) R −x dz R2 + z
2 ∫− R R 2 2 2
D2 ( R 2
根据曲面 S 关于坐标面的对称性，得
１
第二型曲面积分、Ｇａｕｓｓ公式、Ｓｔｏｋｅｓ公式与空间向量场 作者：扈志明 第 ２ 页 共 １３ 页
I = ∫∫ [( z n − y n )
S
x y +( x n − z n ) ]dS = 0 ， R R
同样的理由，得
n n ∫∫ y zdS = ∫∫ x zdS ， S S
2 2 2
a 2 − x 2 − y 2 ，所以 a dxdy 。 a 2 − x2 − y 2
记 D = {( x, y) x + y ≤ a , x ≥ 0, y ≥ 0} ，则
大学数学微积分第九、十章 多元函数积分学曲面积分 知识点总结
第九、十章 多元函数积分学§9.4 曲面积分一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）基本计算公式：设曲面S 的方程 ()(),,,z z x y x y D =∈，(),z x y 在D 上有连续偏导数，(),,f x y z 在S 上连续，则()(),,,,,SDf x y z ds f x y z x y =⎡⎣⎰⎰⎰⎰这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算 二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）基本计算公式：如果曲面S 的方程 ()(),,,xy z z x y x y D =∈()xy ,Z x y D 在上连续，(),,R x y z 在S 上连续，则()(),,,,,xySD R x y z dxdy R x y z x y dxdy =±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 若曲面S 指定一侧的法向量与Z 轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面积分化为xy 平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。
三、两类曲面积分之间的关系：[]cos cos cos SSpdydz Qdzdx Rdxdy p Q R dS αβγ++=++⎰⎰⎰⎰其中()cos ,cos ,cos ,,S x y z αβγ为曲面在点处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦{}{}00,,,cos ,cos ,cos SSF P Q R n Pdydz Qdzdx Rdxdy F n ds αβγ==++=⎰⎰⎰⎰令四、高斯公式定理 设Ω是由分块光滑曲面S 围成的单连通有界闭区域，()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在Ω上有连续的一阶偏导数，则S P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰[]cos cos cos SP Q R dS αβγ=++⎰⎰其中cos ,cos ,cos αβγ为S 在点(),,x y z 处的法向量的方向余弦 五、斯托克斯公式定理：设L 是逐段光滑有向闭曲线，S 是以L 为边界的分块光滑有向曲面，L 的正向与S 的侧（取法向量的指向）符合右手法则，函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在包含S 的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有L Sdydz dzdx dxdyPdx Qdy Rdz x y z P Q R∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰S R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 也可用第一类曲面积分cos cos cos L SPdx Qdy Rdz dS x y z P QRαβγ∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰ 六、梯度、散度和旋度(外侧)1、梯度 设(),,,,,u u u u u x y z gradu x y z ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭则称为u 的梯度 ，令,,x y z ⎛⎫∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭是算子则 gradu u =∇2、散度设()()()(),,,,,,,,F P x y z Q x y z R x y z =则P Q R divF F x y z∂∂∂=++=∇⋅∂∂∂ 称为F 的散度高斯公式可写成0SdivFdv F n dS Ω=⎰⎰⎰⎰⎰（外侧） 其中()0cos ,cos ,cos n αβγ=为外侧单位法向量 3、旋度()()()(),,,,,,,,,ij k F P x y z Q x y z R x y z rotF F x y z PQR∂∂∂==∇⨯=∂∂∂设 R Q P R Q P i j k y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝，称为F 的旋度。
第二型曲面积分的高斯公式和格林公式
第二型曲面积分的高斯公式和格林公式
第二型曲面积分的高斯公式和格林公式是向量分析中的两个重要公式，它们分别用于计算三维空间中曲面上的积分和二维平面上曲线上的积分。
高斯公式（Gauss's Theorem）：
高斯公式用于计算三维空间中一个封闭曲面S所包围的体积V上的向量场F的通量。
公式如下：
∮_S F·dS = ∫∫∫_V (∇·F) dV
其中，F是一个向量场，S是封闭曲面，V是S所包围的体积，∇·F是F的散度，∮_S F·dS表示F在S上的通量。
这个公式表明，一个向量场在一个封闭曲面上的通量等于该向量场在曲面所包围的体积内的散度的体积分。
格林公式（Green's Theorem）：
格林公式用于计算二维平面上一个简单闭曲线C所包围的区域D上的向量场F的通量。
公式如下：
∮_C F·dr = ∫∫_D (∂Q/∂x -∂P/∂y) dA
其中，F是一个二维向量场，可以表示为(P, Q)，C是简单闭曲线，D是C所包围的区域，∂Q/∂x和∂P/∂y分别是Q关于x的偏导数和P关于y的偏导数，∮_C F·dr表示F在C上的通量，∫∫_D (∂Q/∂x -∂P/∂y) dA表示(∂Q/∂x -∂P/∂y)在D上的面积分。
这个公式表明，一个二维向量场在一个简单闭曲线上的通量
等于该向量场在曲线所包围的区域内的一个特定函数的面积分。
这个特定函数就是向量场的旋度的负值。
以上两个公式都是向量分析中的基本定理，它们在物理学、工程学和其他领域中有广泛的应用。
曲面积分高斯公式使用条件
曲面积分高斯公式使用条件
高斯公式（也称为散度定理）适用于在封闭曲面上定义的矢量场。
以下是高斯公式的使用条件：
1. 曲面必须是封闭的，这意味着曲面上的每个点都在曲面内部。
2. 曲面必须是连续可微的，这意味着在曲面上的每个点都存在一个连续可微的切平面。
3. 曲面必须有一个外法向量，这是指在曲面上的每个点处存在一个唯一的单位法向量。
这个法向量通常指向曲面的外部。
4. 矢量场必须是连续可微的，这意味着在曲面上的每个点都存在一个连续可微的矢量。
如果以上条件均满足，则可以使用高斯公式来计算曲面积分。
该公式将曲面积分转化为体积积分，通过计算体积中的矢量场的散度来得到结果。
高考数学冲刺曲面积分与高斯公式
高考数学冲刺曲面积分与高斯公式在高考数学的征程中，曲面积分与高斯公式犹如一座山峰，等待着我们去攀登。
对于许多考生来说，这部分内容可能颇具挑战性，但只要我们掌握了正确的方法和思路，就能在高考的战场上勇往直前，攻克这一难关。
首先，让我们来了解一下什么是曲面积分。
曲面积分是多元函数积分学中的一个重要概念，它包括第一型曲面积分和第二型曲面积分。
第一型曲面积分主要是计算曲面的面积，而第二型曲面积分则与向量场的通量有关。
想象一下，我们有一个曲面，就像是一个弯曲的“毯子”。
第一型曲面积分就是要计算这个“毯子”的大小，而第二型曲面积分则是要计算通过这个“毯子”的某种“流量”。
为了更好地理解曲面积分，我们需要掌握一些基本的计算公式和方法。
对于第一型曲面积分，其计算公式为：＄＼int\int_{S} f(x,y,z) dS ＝＼int\int_{D} f(x,y,z(x,y)）＼sqrt{1 ＋ z_{x}＾｛2} ＋ z_{y}＾｛2}｝dxdy$，其中$D$是曲面在$xoy$平面上的投影区域。
这里的关键是要找到曲面的方程，并求出相应的偏导数，然后进行积分计算。
而第二型曲面积分的计算则相对复杂一些。
我们需要考虑曲面的侧，通常分为上侧、下侧、左侧、右侧、前侧和后侧。
对于不同的侧，积分的正负号也会有所不同。
其计算公式为：＄＼int\int_{S} P(x,y,z)dydz ＋ Q(x,y,z) dzdx ＋ R(x,y,z) dxdy ＝＼pm ＼int\int_{D} （P ＼frac{＼partial z}｛＼partial x} ＋ Q ＼frac{＼partial z}｛＼partial y} ＋ R) dxdy$，其中“＄＼pm$”的选取取决于曲面的侧。
接下来，我们来聊聊高斯公式。
高斯公式是曲面积分中的一个重要定理，它建立了空间闭区域上的三重积分与闭区域边界上的曲面积分之间的关系。
高斯公式表述为：＄＼iiint_{＼Omega} （＼frac{＼partial P}｛＼partial x} ＋＼frac{＼partial Q}｛＼partial y} ＋＼frac{＼partial R}｛＼partial z}） dxdydz ＝＼int\int_{S} P dydz ＋ Q dzdx ＋ R dxdy$，其中$＼Omega$是空间闭区域，＄S$是闭区域$＼Omega$的边界曲面，且取外侧。
微积分高斯公式
微积分高斯公式好的，以下是为您生成的关于“微积分高斯公式”的文章：咱先来说说微积分里这个神秘又厉害的高斯公式。
还记得我上大学那会儿，有一次在图书馆里，为了搞懂这个高斯公式，差点没把自己给绕晕。
那天，外面下着淅淅沥沥的小雨，图书馆里安静得只能听见雨滴打在窗户上的声音。
我找了个角落坐下，翻开那本厚厚的微积分教材，目光就锁定在了高斯公式这一章节。
刚开始，看着那些密密麻麻的符号和复杂的推导过程，我感觉自己就像走进了一个迷宫，怎么都找不到出口。
书上的例题，每一个步骤都好像在跟我作对，我看了半天也没弄明白。
这高斯公式啊，简单来说，就是一个能把空间中的闭区域上的三重积分和这个闭区域边界上的曲面积分相互转换的神奇工具。
比如说，咱想象一个充满气体的封闭气球。
气球内部气体的总量可以通过对气球内部空间的积分来计算。
但如果从气球的表面去考虑，通过计算气球表面气体的流动情况，也能得出同样的结果。
而高斯公式就是在告诉我们，这两种计算方法是可以相互转换的，是不是很神奇？在实际应用中，高斯公式的用处可大了。
比如在物理学中，计算电场、磁场的通量时，它就能大显身手。
想象一下，一个带电的球体周围的电场分布，要计算通过某个封闭曲面的电通量，用高斯公式就能轻松搞定。
还有在流体力学里，研究流体在封闭空间中的流动情况，高斯公式也能帮我们理清头绪。
就像水流在一个封闭的管道中流动，通过对管道表面的分析，结合高斯公式，就能知道管道内部水流的各种特性。
学习高斯公式的时候，可别被那些复杂的符号和公式给吓住了。
得一步一步来，先搞清楚每个符号的含义，再去理解整个公式的推导过程。
多做几道练习题，找找感觉，慢慢地就能掌握它的精髓啦。
就像我当时在图书馆，虽然一开始被弄得晕头转向，但我没有放弃。
我反复地看教材，对照着例题一步一步地推导，终于有了那么一点头绪。
当我弄明白第一个例题的时候，那种成就感，简直没法形容！总之，高斯公式虽然看起来有点难，但只要咱有耐心，有决心，就一定能把它拿下！说不定哪天，在解决实际问题的时候，它就能成为我们的得力助手呢！回想起在图书馆的那个下午，窗外的雨渐渐停了，而我也在与高斯公式的“斗争”中渐渐看到了曙光。
第二类曲面积分的计算方法
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方法三
合一投影法
前面我们看到， 按分面投影法计算曲面积分时， 对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程 表示， 然后转化为不同坐标面上的二重积分， 这种方法形式上虽然简单但计算比较烦琐。 （"， （"， ， （ " 是!在" ， 函数 事实上， 如果!的方程为 ! &! ) %’ #） #） # 面上的投影区域） " # ’ # 则单位法向量为 *， +， * 在!上连续时， ( + %! & " # ， %! ， & * , ) * + #， ) * + ) * + %｝ &.’ " - &｛ $， " " " " " ! ! ! ) , # " $! " $! " $! # $& # # $& # # $& 由于投影元素 # 于是得到 # !! ) * + # # /， # ! # "! ) * + # /， # " # ) * + % # /， # #! $ ) * + # ) * + # # # !! ) * + # # /! ) * + % # /! # " # !, ! # " # # # " ) * + % ) * + % # ) * + ) * + # ! # "! ) * + # /! $ ) * + % # /! $ # " # !, ! # " # # $ # ) * + % ) * + % # 所以 （"， （"， （"， * !） # # !$ + !） # ! # " $0 !） # " # #， # #， #， #& " ! ［ （ ［ ］ （ ］ ［ （ ［ ］ （ ，） ］ ［ ，， （ ，） ］ ｝ * "， ! "， ! "， "， ! "， ! " # % $+ % . ｛ #， #） #） #， #） #& " # "# $0 "#!"# #
曲面积分与高斯公式
曲面积分与高斯公式曲面积分和高斯公式是微积分中重要的概念和定理，它们在物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
曲面积分主要用于计算曲面上的某个物理量，而高斯公式则是描述了一个闭合曲面上的物理量与该曲面所包围的立体体积之间的关系。
本文将就曲面积分和高斯公式进行详细介绍与论述。
1. 曲面积分曲面积分是将某个函数在曲面上的每个点处的值乘以一个微小面积元素，并对整个曲面进行累加的运算。
曲面积分可分为两类：第一类是对第一类曲面（只与曲面的参数方程有关）上的函数进行积分，第二类是对第二类曲面（与曲面的参数方程和法向量有关）上的函数进行积分。
1.1 第一类曲面积分第一类曲面积分的计算方法是先将曲面分成小面元，然后对每个小面元上的函数值进行积分，最后对所有小面元的积分结果进行求和。
1.2 第二类曲面积分第二类曲面积分需要考虑曲面的法向量，即面积元素的方向。
通常会用到曲面的法向量和曲面上的函数的点积，即函数在每个点处的值与法向量的乘积，并对所有面元进行求和。
2. 高斯公式高斯公式是描述了一个闭合曲面上的某个物理量与该曲面所包围的立体体积之间的关系。
根据高斯公式，如果一个曲面是一个封闭曲面，并且在曲面上的某个物理量的通量和该物理量在该曲面内部的体积积分之间存在关系，那么这个物理量的通量等于该物理量在该曲面内部的体积积分。
高斯公式在电磁学和流体力学等领域中有着广泛的应用。
在电磁学中，高斯公式可以用来计算电场通量和磁场通量；在流体力学中，高斯公式可以用来计算流体的质量和动量等物理量。
3. 应用案例以电场通量为例，假设有一个封闭曲面S，其内部有电荷分布。
根据高斯公式，电场通量Φ可以表示为：Φ = ∮S E · dA其中，E是电场的矢量，dA是曲面上的面积元素。
通过计算封闭曲面上的电场通量，可以得到该曲面所包围的电荷总量。
4. 结论曲面积分和高斯公式是微积分中重要的概念和定理。
曲面积分可用于计算曲面上的某个物理量，而高斯公式描述了一个闭合曲面上的物理量与该曲面所包围的立体体积之间的关系。
曲面积分与高斯公式
曲面积分与高斯公式1.第一类曲面积分(1)问题的提出设有一块光滑的金属曲面S 。
它的密度是不均匀的。
在其点(x,y ,z)s ∈处密度为f （x,y ,z ），并设f 在S 上连续,则金属曲面S 的质量M ⎰⎰=Sds z y x f ),,(说明: 第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关(2)第一类曲面积分的计算(代入法)设S 是一个光滑曲面， S 的方程是Z=f(x,y) ,dxdy z z y x z y x f ds z y x f Dy x s ⎰⎰⎰⎰++=221)),(,,(),,( 当 f ≡1时可得空间曲面面积的计算公式，即dxdy z z S Dy x ⎰⎰++=221例1．I=ds y x s⎰⎰+22,S 是半球面2222R z y x =++（0≥z ）。
解：222y x R z --=,222:,),(R y x D D y x ≤+∈ 222y x R x xz ---=∂∂, 222y x R y y z ---=∂∂ 22222)()(1y x R R y z x z --=∂∂+∂∂+ ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--+=+πθ2002222222221R D s rdr r R r d R dxdy y x R R y x ds y x =232R π2. 第二类曲面积分(1)问题的提出磁通量问题。
表示⎰⎰∑++Rdxdy Qdzdx Pdydz说明:第二类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积分变号(2)计算(代入法)⎰⎰∑++Rdxdy Qdzdx Pdydz 用带入法计算时,一般应分成三个计算: ①⎰⎰⎰⎰±=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[(),,(（如果曲面积分取∑的上侧取+号，如果曲面积分取∑的下侧取-号）.类似有②⎰⎰⎰⎰±=∑xyD dydz z y z y x P dydz z y x P )],),,([(),,(（如果曲面积分取∑的前侧取+号，如果曲面积分取∑的后侧取-号）。
曲面积分与高斯公式
曲面积分与高斯公式曲面积分是向量解析学中的重要概念，它与曲面的性质密切相关。
而高斯公式是一种重要的定理，它将曲面积分与体积积分联系在一起。
本文将介绍曲面积分的概念、计算方法以及高斯公式的原理和应用。
一、曲面积分的概念曲面积分是在三维空间中对曲面上的某个量进行求和或求平均的操作。
它可以分为两种类型：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
1. 第一类曲面积分第一类曲面积分是指将标量场在曲面上进行积分，表示为∬_S▒〖f(x,y,z)ds〗。
其中，f(x,y,z)是定义在曲面上的标量函数，ds表示曲面上的一个面积元素。
2. 第二类曲面积分第二类曲面积分是指将向量场在曲面上进行积分，表示为∬_S▒〖F⋅ds〗。
其中，F是定义在曲面上的向量函数，ds表示曲面上的一个面积元素。
二、曲面积分的计算方法曲面积分的计算方法有两种：参数化计算法和直接计算法。
1. 参数化计算法参数化计算法是通过引入曲面的参数方程，将曲面积分转化为数学上更容易计算的二重积分。
通过选取参数u和v，将曲面上的点(x,y,z)表示为(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，然后将曲面积分转化为对参数u和v的积分。
2. 直接计算法直接计算法是直接计算曲面上的面积元素，并将其加和得到曲面积分的结果。
这种方法适用于较为简单的曲面，如平面、球面等。
三、高斯公式的原理和应用高斯公式，也被称为高斯定理或高斯－奥斯特罗格拉斯定理，是一个重要的定理，它将曲面积分与体积积分联系在一起。
1. 高斯公式的原理高斯公式描述了一个封闭曲面上的向量场通过曲面内外的“流量”之和等于该曲面包围的区域内的“源”之和的结果。
数学表达为∬_S▒〖F⋅ds=∭_V▒〖▽⋅F dV〗〗。
其中，F是定义在曲面上的向量函数，ds表示曲面上的一个面积元素，V为包围曲面的区域，▽⋅F为向量场F的散度，dV表示空间内的一个体积元素。
2. 高斯公式的应用高斯公式在物理学、电磁学、流体力学等领域有广泛的应用。
2019考研数学第二类曲面积分的计算
2019考研数学：第二类曲面积分的计算来源：文都教育曲线曲面积分的计算是高等数学中非常重要的一部分知识，在考研数学一中每年都会考查。
下面，文都教育的数学老师给2019考研的同学们总结一下一些考研数学经常用到的计算第二类曲面积分的基本方法，希望对同学们有些帮助。
（一）直接法（化为二重积分）1. 设有向曲面xy D y x y x z z ∈=∑),(),,(:，则⎰⎰⎰⎰±=∑xy D dxdyy x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(若有向曲面的法线向量与z 轴正向夹角为锐角，即曲面的上侧，上式中取正号，否则取负号；2. 设有向曲面yz D z y z y x x ∈=∑),(),,(:，则⎰⎰⎰⎰±=∑yz D dydz z y z y x P dydz z y x P ),),,((),,(若有向曲面的法线向量与x 轴正向夹角为锐角，即曲面的前侧，上式中取正号，否则取负号；3. 设有向曲面zx D x z x z y y ∈=∑),(),,(:，则⎰⎰⎰⎰±=∑zx D dzdxz x z y x Q dzdx z y x Q )),,(,(),,(若有向曲面的法线向量与y 轴正向夹角为锐角，即曲面的右侧，上式中取正号，否则取负号。
评注：计算第二类曲面积分，可以分为三步：（1）把空间曲面∑投影到某一平面（以xoy 面为例），得到投影区域D （投影时，∑上的任何两点的投影点不能重合）；（2）把曲面方程),(y x z z =代入到被积函数中；（3）把dxdy 改写成dxdy ±，其中∑为为上侧、右侧、前侧时取正号，否则取负号。
（二）高斯公式法高斯公式：设空间闭区域Ω由分片光滑闭曲面∑围成，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式 dv z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++或dv z R y Q x P dS R Q P ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++)cos cos cos (γβα这里的∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦。
曲面积分的积分方法和积分公式
曲面积分的积分方法和积分公式曲面积分是向量分析中的一个重要概念，它在数学、物理等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍曲面积分的积分方法和积分公式。
一、曲面积分的定义曲面积分可以简单地理解为三维空间中的曲面上对某一物理量的积分。
具体而言，设曲面S为一个参数化曲面，物理量f在曲面上的值为f(x,y,z)，则曲面积分的求法为：∫∫Sf(x,y,z)dS其中dS是曲面上的面积元素，其大小为|dS|=|r_u×r_v|dudv，其中r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))是曲面S的参数方程，u和v分别为参数。
二、曲面积分的积分方法1. 直接计算法直接计算法是曲面积分的主要求解方法，其基本思路是将曲面积分转化为二重积分。
设曲面S的参数方程为r(u,v)，物理量f(x,y,z)在曲面上的值为f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，则曲面积分可表示为：∫∫Sf(x,y,z)dS = ∫∫Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|r_u×r_v|dudv其中，D为曲面S在u-v平面上的投影区域。
2. 参数化曲面法当曲面S无法用解析式表示时，可以采用参数化曲面法求解曲面积分。
具体而言，先通过参数方程表示曲面S，再根据曲面积分的定义计算。
3. 对称性法对称性法指的是通过曲面S的对称性来简化曲面积分的计算。
例如，若曲面S关于xy平面对称，则曲面积分可化为两个相同的曲面积分相加。
三、曲面积分的积分公式1. Gauss公式Gauss公式是求解流量的重要公式，它表示了一个矢量场的流量与其源的关系。
设曲面S为有向曲面，单位法向量为n，矢量场为F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，则Gauss公式为：∫∫F·ds = ∫∫∫VdivFdV = ∫∫∫V(Px+Qy+Rz)dxdydz其中，divF为F的散度，V为曲面S所包围的区域，V的边界为S。
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zdxdy
例1. 用Gauss 公式计算
其中 S 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
z
解: 这里 X ( y z) x, Y 0, Z x y
3
利用Gauss 公式, 得
原式 = ( y z) d x d y d z (用柱坐标)
o
(r sin z)r dr d d z
S
Dxy
Z (x, y, z)dxdy Z (x, y, z( x, y))dxdy
S
Dxy
•若
则有
Y (x, y, z) d z d x Y (x, y(z, x) , z) d z d x
S
Dz x
•若
则有
X (x, y, z) d y d z
X ( x( y, z) ,y, z) d y d z
(S )zx
( )zx ,
( ) zx ,
0,
cos 0 cos 0 cos 0
第二类曲面积分的计算
三、第二类曲面积分的计算
思想：化为相应的二重积分进行计算
(1) 确定曲面在相应坐标面上的投影区域； (2) 确定投影区域的正负 (3) 用曲面方程化简被积函数
Z (x, y, z)dxdy Z (x, y, z( x, y))dxdy
S
Dy z
例1. 计算 zdxdy xdydz ydzdx, S 为柱面 x2 y2 1 S
被平面 z 0 和 z 3 所截得的在第一卦限部分的曲面，
取曲面的外侧。
z
解 由于曲面垂直于 xOy 面
Dyz
故 S 在xOy 面的投影为0, 因此
zdxdy 0
1
y
S
S 在yOz 面的投影区域为矩形
x1
y
2
0
d
1
0 rd
3
r 0 (r
sin
z)
dz
9
2
思考: 若 S 改为内侧, 结果有何变化? 若 S 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
例2. 利用Gauss 公式计算积分
其中 为锥面 x2 y2 z 2 介于 z = 0 及 z = h (h 0) 之间部分的下侧.
解: 作辅助面 S1 : z h, x2 y2 h2 , 取上侧
V 上有连续的一阶偏导数 , 则有
X Y Z
V
x
y
z
d xd
yd z
X d y d z Y d z d x Z d x d y (Gauss 公式) S
( X cos Y cos Z cos ) d S S
说明： 建立了曲面积分与三重积分之间的关系.
X
V
x
Y y
Z z
x
o Dx y 1 1
y
1 : z 1 x2 y 2
2 : z 1 x2 y2
( x,
y)
Dx y
:
x x
2
0
y2 ,y
1 0
xyz d xd y
x yzdxd y x yzdxd y
1
2
xy ( 1 x2 y 2 ) d x d y
d y
为 的前侧（正侧），另一侧称为后侧（负侧）。
（3）若 的方程为 y y(z, x)： 规定：法向量与 y 轴正向的夹角为锐角的一侧称
为 的右侧（正侧），另一侧称为左侧（负侧）。
（4）若 为封闭曲面: 规定：法向量朝外的一侧称为 的外侧（正侧），
朝内的一侧称为内侧（负侧）。
正、负侧分别记为 ，。
• 设 S 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
(S ) x y ,
的面积为
则规定
( ) x y , cos 0
(S ) x y ( ) x y , cos 0
0,
cos 0
类似可规定
(S ) yz
( ) yz , ( ) yz ,
0,
cos 0 cos 0 cos 0
Dx y
2
xy 1 x2 y2 d xd y
Dx y
2
r 2 sin cos 1 r 2 rd rd
Dx y
2 sin 2 d
1r3
1 r2 d r
0
0
2 15
z 2
x
o Dx y 1 1
y
高斯公式
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 V 由分片光滑的闭曲
面S 所围成, S 的方向取外侧, 函数 X, Y, Z 在
x1
Dyz {( y, z) | 0 y 1, 0 z 3}
S 的方程为 x 1 y2 , 其外侧为 前侧，得
xdydz xdydz 1 y2 dydz
S
S
Dyz
1
1 y2 dy
3
dz
0
0
z
Dzx Dyz
1
3
1 y2 dy
0
3 3
44
1
y
x1
对换 x 和 y，曲面 S 保持不变，由轮换对称性，知
S
ydzdx
S
xdzdy
3
4
得
S
zdxdy
xdydz
ydzdx
0
3 4
3 4
3
2
例2. 计算曲面积分 xyz d x d y, 其中 为球面 x2
y2 z 2 1 外侧在第一和第八卦限部分.
思考: 下述解法是否正确:
z 2
根据对称性 xyz d x d y 0
解: 把 分为上下两部分
有向曲面及曲面元素的投影
一、有向曲面及曲面元素的投影
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型 双
n
侧
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
定义：
设 为一光滑曲面，M 为 上任意一点， 在 M 处的法向量有两个指向，取定一个指 向，记为 n，若动点从 M 点出发，在 上不 越过边界移动，最后回到 M 点时，n 的方向 没有改变，则称 为双侧曲面。否则称为单 侧曲面。
用曲面法向量的指向规定曲面的侧， 规定了侧的曲面称为有向曲面。
曲面侧的具体规定如下：
（1）若 的方程为 z z( x, y)： 规定：法向量与 z 轴正向的夹角为锐角的一侧称
为 的上侧（正侧），另一侧称为下侧（负侧）。
（2）若 的方程为 x x( y, z)： 规定：法向量与 x 轴正向的夹角为锐角的一侧称
d xd
yd z
X d y d z Y d z d x Z d x d y (Gauss 公式) S
( X cos Y cos Z cos ) d S S
应用：（1）曲面积分可以转化为三重积分进行计算 (２) 利用曲面积分计算空间区域的体积
V
dV V
1 3
S
xdydz
ydxdz