4.2.1《复数的加法与减法》(北师大版选修1-2)
2018学年高中数学北师大版选修1-2课件：2.1 复数的加法与减法 精品
∵A→D＝B→C,∴x－1＝1，
x＝2， 解得
y－2＝－3，
y＝－1.
故点D对应的复数为2－i.
反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法,体 现了数形结合思想在复数中的运用.
跟踪训练2 如图所示,平行四边形OABC的 顶点O,A,C分别表示0,3＋2i,－2＋4i. 求：(1)A→O表示的复数；
∴|z1＋z2|＝ a＋c2＋b＋d2＝ a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.
方法二 设O为坐标原点, z1,z2,z1＋z2对应的点分别为A,B,C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1, ∴△OAB是边长为1的正三角形, ∴四边形OACB是一个内角为60°,边长为1的菱形, 且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长, ∴|z1＋z2|＝|O→C|＝ |O→A|2＋|A→C|2－2|O→A||A→C|cos 120°＝ 3.
1＋5i,则B→C表示的复数为( C )
A.2＋8i
B.－6－6i
C.4－4i
D.－4＋2i
解析 B→C＝O→C－O→B＝O→C－(A→B＋O→A)＝(4,－4).
∴B→C表示的复数为 4－4i.
12 345
4.若|z－1|＝|z＋1|,则复数z对应的点在( B )
A.实轴上
B.虚轴上
C.第一象限
跟踪训练3 若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2,求|z＋i＋1|的最 小值. 解 设复数－i,i,－(1＋i)在复平面内对 应的点分别为Z1,Z2,Z3,如图. ∵|z＋i|＋|z－i|＝2,Z1Z2＝2, ∴点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动,求ZZ3的最小值. 连 接 Z3Z1,Z3Z1⊥Z1Z2, 则 Z3 与 Z1 的 距 离 即 为 所 求 的 最 小 值,Z1Z3＝1. 故|z＋i＋1|的最小值为1.
高中数学选修1-2北师大版 4.2.1 复数的加法与减法课件(42张)
[答案] 8
[解析] 由条件知 z＝z1＋z2， ∴(1＋ai)＋(b－2i)＝3＋4i， 即(1＋b)＋(a－2)i＝－2＝4，
∴b＝2，a＝6，a＋b＝8．
3． 在平行四边形 ABCD 中， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O， → → → 若向量OA、OB对应的复数分别是 3＋i、－1＋3i，则CD对应的 复数是( ) B．－2＋4i D．4－2i A．2＋4i C．－4＋2i
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第四章
数系的扩充与复数的引入
第四章 §2 复数的四则运算
第1课时 复数的加法与减法
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
课前自主预习
掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进
行化简、求值． 了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．
1．若z1＝3＋2i，z2＝－4＋i，则z1＋z2＝________，z1－z2
＝________．
[答案] －1＋3i 7＋i
2．在复平面内，复数 z1、z2、z 的对应点分别为 Z1、Z2、Z， → → → 已知OZ＝OZ1＋OZ2，z1＝1＋ai，z2＝b－2i，z＝3＋4i(a，b∈ R)，则 a＋b＝________．
复数与复数相加减，相当于多项式加减
复数的加法的几个注意点 (1)复数的代数形式的加法运算法则是一种规定，以后就按 规定进行运算． (2)复数加法中的规定，是实部与实部相加，虚部与虚部相
加．很明显，两个复数的和仍然是一个复数．
(3)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形．
(4)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立．
《4.2.1 复数的加法与减法》课件-优质公开课-北师大选修1-2精品
1.复数的加减法运算的法则是一种规定吗？ 提示：是.有了此规定后即可进行复数的加减运算. 2.实数的减法是加法的逆运算，复数的减法是复数加法的逆运 算吗？ 提示：是.
3.在实数范围内有a-b>0⇔a>b恒成立.在复数范围内是否有z1z2>0⇔z1>z2恒成立?举例说明. 提示:不一定.如z1=2+i,z2=i,z1-z2=2>0,但z1,z2不能比较大小. 4.已知复数z1=3-2i，z2=-3+2i，则z1+z2对应点的坐标是_____. 【解析】∵z1=3-2i，z2=-3+2i， ∴z1+z2=(3-3)+(-2+2)i=0. 答案：(0,0)
1.对复数加法、减法法则的理解 (1)当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致. (2)两个复数的和(差)是唯一确定的复数. (3)可以推广到多个复数进行加、减运算.
2.复数加法法则的合理性 (1)当b=0,d=0时,与实数加法法则一致. (2)实数加法交换律和结合律在复数集中仍成立. (3)符合向量加法的平行四边形法则. 3.对复数加减运算几何意义的认识 复数加减运算的几何意义就是向量加减运算的平行四边形法则 或三角形法则,由复数加减法的几何意义可得如下结论:||z1||z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
uuuur OZ1.
(2)如果两个复数对应的向量在同一直线上,我们也可以画出一
个“压扁”的平行四边形,也就是一条直线,平移
uuuur OZ2
,使
uuuur OZ2
的起点与
uuuur OZ1
的终点Z1重合,就得对角线OZ所表示的向量
uuur OZ
,
uuur OZ
高中数学选修1-2北师大版 复数的加法与减法、复数的乘法与除法 课件(25张)
①|z|=|������|;②|z1z2|=|z1||z2|;③ ������1 = |������1|(z2≠0).
2 2
������
|������ |
【做一做 3】 已知复数 z 对应的点在第二象限,它的模是 3,实 部是- 5,则������=( ) A.- 5+2i B.- 5-2i C. 5+2i D. 5-2i 解析: 设 z=- 5+bi(b∈R,且 b>0), 则|z|= 5 + ������ 2 =3,且 z 对应的点在第二象限, 即 b=2,z=- 5+2i.故������=- 5-2i. 答案: B
【做一做 4】
1 2 1 C. 1 + i 2 1+2i
1+2i (1-i)
2 =(
)
A.-1- i
B.-1+ i D.1- i
=
1+2i -2i
1 2
1 2
解析:
(1-i)2
=
(1+2i)i 2
=
-2+i 1 =-1+ i. 2 2
答案: B
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”. (1)若复数z1,z2满足z1-z2>0,则z1>z2. ( ) (2)两个互为共轭复数的复数的和与积都是实数.( ) (3)若两个复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,则z1=z2=0. ( ) (4)两复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)÷(c+di)
维
脉
络
一、复数的加法、减法 设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R, 1.运算:z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.法则:两个复数的和或差仍然是一个复数,它的实部是原来两个 复数的实部的和(或差),它的虚部是原来两个复数的虚部的和(或差). 名师点拨1.一种规定:复数的加减法法则是一种规定,减法是加法 的逆运算; 特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致. 2.运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的 移项法则在复数中仍然成立. 3.运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数. 4.适当推广:可以推广到多个复数进行加、减运算. 5.虚数单位i:在进行复数加减运算时,可将虚数单位i看成一个字母, 然后去括号,合并同类项即可.
北师版数学高二-选修1-2教案4.2.1复数的加法与减法
2.1 复数的加法与减法学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．知识点复数代数形式的加减法思考1类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？思考2复数的加法满足交换律和结合律吗？梳理(1)运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么(a＋b i)＋(c＋d i)＝________________，(a＋b i)－(c＋d i)＝________________.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝________________.类型一复数的加法、减法运算例1(1)若z1＝2＋i，z2＝3＋a i(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝______. (2)已知复数z满足|z|i＋z＝1＋3i，则z＝________.反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．跟踪训练1 (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________.(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝________(a ，b ∈R )．(3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，则z ＝________.类型二 复数加、减法的应用例2 (1)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i.求：①AO →表示的复数；②CA →表示的复数；③OB →表示的复数．(2)已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|.引申探究若将本例(2)中的条件“|z 1＋z 2|＝3”改为“|z 1－z 2|＝1”，求|z 1＋z 2|.反思与感悟 (1)技巧：①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．(2)常见结论：在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形：①OACB 为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪训练2 (1)已知复平面内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则|OB →|＝________.(2)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i ，复数z 2－z 1所对应的点在第四象限上，则实数a 的取值范围是__________．1．已知复数z 1＝12－32i 和复数z 2＝cos60°＋isin60°，则z 1＋z 2等于( ) A ．1B ．－1C.12－32iD.12＋32i 2．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( )A ．2＋8iB ．－6－6iC ．4－4iD ．－4＋2i4．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝____.5．设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B ，D 两点对应的复数分别是3＋2i 和2－4i ，则点C 对应的复数是__________．1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．答案精析问题导学知识点思考1 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.思考2 满足．梳理 (1)(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i (2)z 2＋z 1 z 1＋(z 2＋z 3)题型探究例1 (1)－1 (2)1＋43i 解析 (1)z 1＋z 2＝(2＋i)＋(3＋a i)＝5＋(a ＋1)i ，由题意得a ＋1＝0，则a ＝－1.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |i ＋z ＝x 2＋y 2i ＋x ＋y i ＝x ＋(x 2＋y 2＋y )i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x 2＋y 2＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝43，∴z ＝1＋43i. 跟踪训练1 (1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i (3)－4＋3i例2 (1)解 因为A ，C 对应的复数分别为3＋2i ，－2＋4i ，由复数的几何意义知，OA →与OC →表示的复数分别为3＋2i ，－2＋4i.①因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.②因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.(2)解 根据复数加减法的几何意义，由|z 1|＝|z 2|知，以OA →，OB →为邻边的平行四边形OACB 是菱形．如图，OA →对应的复数为z 1，OB →对应的复数为z 2，∴|OA →|＝|OB →|，OC →对应的复数为z 1＋z 2，∴|OC →|＝ 3.在△AOC 中，|OA →|＝|AC →|＝1，|OC →|＝3，∴∠AOC ＝30°.同理得∠BOC ＝30°，∴△OAB 为等边三角形，则|BA →|＝1，BA →对应的复数为z 1－z 2，∴|z 1－z 2|＝1.引申探究解 如例2(2)解析中的图，向量BA →表示的复数为z 1－z 2，∴|BA →|＝1，则△AOB 为等边三角形，∴∠AOC ＝30°.取AB 与OC 的交点为D ，则OD →＝32，∴|OC →|＝3，而OC →表示的复数为z 1＋z 2， ∴|z 1＋z 2|＝ 3. 跟踪训练2 (1)10 (2)(－∞，1)当堂训练1．A 2.D 3.C4．－1 5.5－2i。
2020-2021学年北师大版数学选修1-2课件：4.2.1 复数的加法与减法
必备知识·自主学习
1.复数加法和减法的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则z1±z2=(a ±c)+(b ±d)i.
【思考】 两个实数的和仍然是一个实数,两个虚数的和仍然还是一个虚数吗? 提示:不一定是.如(4+3i)+(4-5i)=8-2i,(2+3i)+(4-3i)=6,可见两个虚数的和 可能是一个虚数,也可能是一个实数.
所以|z|i+z= x2＋i+y2x+yi=
=1+3xi,＝所1，以x＝x21，y2＋y＝3
解得
y＝
所4 , 以z=1+
3
i.4
3
答案:1+ 4i
3
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
x＋( x2＋y2＋y)i
【解题策略】 复数加减运算的方法技巧 (1)复数运算类比实数运算,若有括号,括号优先,若无括号,可从左到右依次进 行. (2)当利用交换律,结合律抵消掉某些项的实部与虚部时,准确提取虚、实部, 正确进行符号运算有利于提高解题的准确率.
【思考】 复数与复平面内的向量一一对应,如何从向量加减法的几何意义出发讨论复数 加(减)法的运算? 提示:复数的加减法可以按照向量的加减法来进行.按照平行四边形法则或三角 形法则作出与z1±z2对应的向量,再转化为相应的复数的加减法即可.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)复数与复数相加减后结果只能是实数.
【跟踪训练】 (1)若复数z满足z+i-3=3-i,则z=________. (2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=________(a,b∈R). 【解析】(1)因为z+i-3=3-i, 所以z=6-2i. (2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i =(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i. 答案:(1)6-2i (2)-a+(4b-3)i
复数的加法与减法高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
引入复数的相反数后，我们规定复数的减法．
复数的减法法则
对任意的复数1 = + i和非零复数2 = + i，规定复数的减法
1 − 2 = 1 + −2 ，即减去一个复数，等于加上这个复数的相反数，
2 + 1 = ( + ) + ( + )i.
因为 + = + ， + = + ，
所以1 + 2 = 2 + 1 .
实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？
2.对任意的1 ，2 ，3 ∈ ，有 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3
意两个复数，该如何规定复数的加法法则呢？
期望加法结合律成立，故 1 + 2 = ( + ) + (i + i)
由于期望乘法对加法满足分配律，故 1 + 2 = ( + ) + ( + )i
复数的加法法则
设1 = + i， 2 = + i（，，， ∈ ），
x
类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？
解 ： 如 图 1 = + i，2 = + i（，，， ∈ ）
y
2 (, )
分别与向量1 = (, )，2 = (, )对应．
由平面向量的坐标运算法则，得
1 + 2 = ( − , − )，
而1 − 2 = ( − ) + ( − )i.
北师大版数学高二-选修1-2素材 知识导航 4.2复数的四则运算
§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法自主整理1.复数的加法、减法运算:(a+bi)±(c+di)=______________.2.复数的乘法运算:(a+bi)(c+di)=______________.3.两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为__________,用__________表示.4.设z=a+bi,则z =____________,z z =____________.5.满足(c+di)(x+yi)=a+bi 的复数x+yi 叫作____________,记作_____________或____________. 高手笔记1.复数的加、减、乘、除运算后,所得的结果仍为复数.2.复数的加、减、乘法运算与多项式的运算类似.3.复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律,即对任何z 1、z 2、z 3∈C 有z 1·z 2=z 2·z 1,(z 1·z 2)·z 3=z 1·(z 2·z 3),z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.在复数范围内,实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立,即对任意复数z 、z 1、z 2和正整数m 、n 有z m ·z n =z m+n ,(z m )n =z mn ,(z 1z 2)n =z 1n ·z 2n .4.若z=z,则z 为实数;若z+z=0(z≠0),则z 为纯虚数.5.根据复数所满足的运算律,可知i 4n=1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,ii -+11=i, i i +-11=-i.若设ω=21-+23i,则1+ω+ω2=0,2ω=ω,ω2=ω,3ω=1. 名师解惑理解复数的除法运算的转化.剖析:复数的除法是复数乘法的逆运算,但每次都按乘法的逆运算将十分麻烦.我们可以用简便方法操作:先把两个复数相除写成分式形式,然后把分子与分母都同乘分母的共轭复数,使分母“实数化”,最后再化简.复数的除法与分母“有理化”的方法相类似.学习时,注意培养这种转化的思想和类比思想.讲练互动【例1】计算(6+6i)+(3-i)-(5-3i).分析:利用复数加、减法法则进行计算.解:(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.绿色通道复数的加、减法运算,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减,实部与实部相加减作实部、虚部与虚部相加减作虚部.变式训练1.已知z 1=2+i,z 2=1+2i,则复数z=z 2-z 1对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案:B【例2】已知x 、y ∈R ,且i x +1+ii y 31521+=+,求x 、y 的值. 分析:复数通分太麻烦,可将每个分母的复数化为实数,再进行计算.解:i x +1+ii y 31521+=+可写成 2)1(i x -+5)21(i y -=10)31(5i -, 5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i,∴⎩⎨⎧=+=+.1545,525y x y x ∴⎩⎨⎧=-=.5,1y x 绿色通道本题为复数的除法运算,将每个分式的分母同乘分母的共轭复数,再由复数相等的定义,转化为实数方程组.变式训练2.求i i 3434+-+ii 3434-+的值. 解:原式=25)34()34(22i i ++-=2514. 【例3】计算i 2 006+(2+i 2)8-(i-12)50. 分析:利用i 的幂的周期性,(1±i)2=±2i 便可简便地求出结果.解:原式=i 501×4+2+(4i)4-(i22-)25 =-1+256-i=255-i.绿色通道注意复数计算中常用的整体.变式训练3.计算63)1()31(i i ++-. 解:原式=323])1[()]2321(2[i i ++-=388i =i. 【例4】设|z|=1且z≠±i,证明21z z +是实数.分析:(1)z 为复数可设出z=x+yi(x 、y ∈R ),再进行运算、判断;(2)由|z|=1转为z z =1,即z1=z ,进一步化简.证法一:设z=x+yi(x 、y ∈R ). 则xyi y x yi x yi x yi x z z 21)(112222+-++=+++=+=22222224)1()21)((yx y x xyi y x yi x +-+--++ =222222222224)1()1(22)1(y x y x i y x y yi x xy y x x +-+-++-+-+ =2222232234)1()()(yx y x i y y x y xy x x +-+--+++. ∵|z|=1,∴x 2+y 2=1.∴y-x 2y-y 3=y(1-x 2-y 2)=0. ∴222224)1(21y x y x x z z +-+=+∈R . 证法二:∵|z|=1,∴z z =1.∴z 1=z . ∴21z z +=zz z z+=+111. 设z=a+bi,则z+z =2a ∈R . ∴21zz +为实数. 变式训练4.已知x 、y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x 、y 及|x|+|y|.解:设x=a+bi,则y=a-bi,∴x+y=2a,xy=a 2+b 2.∵(x+y)2-3xyi=4-6i,∴4a 2-3(a 2+b 2)i=4-6i.∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=.6)(3,44222b a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧==.1,122b a ∴⎩⎨⎧==1,1b a 或⎩⎨⎧-==1,1b a 或⎩⎨⎧=-=1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a ∴⎩⎨⎧-=+=i y i x 1,1或⎩⎨⎧+=-=i y i x 1,1或⎩⎨⎧--=+-=i y i x 1,1或⎩⎨⎧+-=+-=.1,1i y i x|x|=2,|y|=2,∴|x|+|y|=22.。
北师大版高中数学选修1-2同步教学：第4章 2 第1课时 复数的加法与减法
• 二审结论,明确解题方向,求|z1＋z2|的取值范围,可利用复数 运算法则及模的定义转化为求三角函数值域,要特别注意求 值域时x的取值范围不能认定就是[0,2π)．
• 『规律方法』 1.对于一些较复杂的复数运算问题,特别是 与复数的模有关的问题可将复数与复平面内以原点为起点 的向量加以转化,利用几何意义给予几何解释,数形结合解 决．
• 2．若几何图形的变换可以坐标化,可利用向量、点与复数 的关系转化为数的运算处理．
• 例如关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何解释为：平行四边形两 对角线长相等,故四边形OACB为矩形．
[解析] z1＋z2＝(a2－2＋a)＋(a2－3a＋2)i. ∵z1＋z2 为纯虚数，
∴aa22－－23＋a＋a＝2≠00 ，
∴a＝－2.
命题方向2 ⇨复数加、减法运算的几何意义
已知复平面内的平行四边形 OABC 的三个顶点 O、A、C 对应的复 数分别为 0、3＋2i、－2＋4i，试求：
(1)A→O对应的复数； (2)C→A对应的复数； (3)B 点对应的复数．
〔跟踪练习 3〕 若复数 z 满足|z＋ 3＋i|≤1，求： (1)|z|的最大值和最小值； (2)|z－1|2＋|z＋1|2 的最大值和最小值． [分析] 明确满足条件|z＋ 3＋i|≤1 的复数 z 的几何意义为：圆心为(－ 3， －1)，半径为 1 的圆内区域，包括边界，|z|则表示圆面上一点到原点的距离．如 图所示，O→A对应的复数模为最大值，O→B对应的复数模为最小值．
高中数学第四章数系的扩充与复数的引入2复数的四则运算2.1复数的加法与减法课件北师大版选修1_2
复数的综合应用
•
已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
• [思路导引] 由题目可获取以下主要信息：
• ①|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1；②求|z1＋z2|. • 解答本题可利用“复数问题实数化”的思想或利用
“数形结合”的思想求解．
[边听边记] 方法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d ∈R)，
4．计算： (1)(5－6i)＋(2＋3i)－5i； (2)623＋i－412－34i＋2(－1－4i)； (3)(2＋3i)＋(4－5i)－(－12－i)．
解析： (1)(5－6i)＋(2＋3i)－5i ＝(5＋2)＋(－6＋3－5)i ＝7－8i. (2)623＋i－412－34i＋2(－1－4i) ＝(4＋6i)－(2－3i)＋(－2－8i) ＝(4－2－2)＋(6＋3－8)i ＝i. (3)原式＝[2＋4－(－12)]＋[3＋(－5)－(－1)]i＝18－i.
将以上 1 004 个等式累加得到
原式＝－1 004＋1 004i.
•
1.对复数进行加、减运算时，先分清
复数的实部与虚部，然后将实部与实部，虚部与虚
部分别相加减．
• 2．若有括号，先计算括号内的；若算式中出现字母， 首先要确定其是否为实数．
• 1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)； • (2)(－3＋2i)－(4－5i)； • (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴△OAB 是边长为 1 的正三角形， ∴四边形 OACB 是一个内角为 60°，边长为 1 的菱形，且|z1 ＋z2|是菱形的较长的对角线 OC 的长， ∴|z1＋z2|＝|OC|＝ |OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos 120°＝ 3.
2019-2020学年高中数学北师大版选修1-2课件：2.1 复数的加法与减法
→ OZ
→ ,与 z1－z2 对应的向量是 Z2Z1
.
2.1 复数的加法与减法
7
知识梳理
题型一 复数加减法的运算
例1 计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)； 解 原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5. (2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i). 解 原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.
12
反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法,体 现了数形结合思想在复数中的运用.
2.1 复数的加法与减法
13
跟踪训练2 如图所示,平行四边形OABC的 顶点O,A,C分别表示0,3＋2i,－2＋4i. 求：(1)A→O表示的复数；
解 因为A→O＝－O→A, 所以A→O表示的复数为－3－2i.
a2＋a－6≠0，
2.1 复数的加法与减法
26
课堂小结
1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律,复数的减 法是加法的逆运算. 2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则. 复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
2.1 复数的加法与减法
27
设z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a,b,c,d∈R), 则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i,z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . 即两个复数的和(或差)仍然是一个 复数 ,它的实部是原 来两个复数的 实部 的和(或差),它的虚部是原来两个复数的
虚部 的和(或差).
2.1 复数的加法与减法
2.1 复数的加法与减法
20
当堂检测
自查自纠
12 345
1.若复数z满足z＋i－3＝3－i,则z等于( D )
A.0
B.2i
C.6
北师大版数学高二课件 4.2.1 复数的加法与减法
12 345
1.若复数z满足z＋i－3＝3－i,则z等于( D )
A.0
B.2i
C.6
D.6－2i
解析 z＝3－i－(i－3)＝6－2i.
12 345
2.已知复数 z1＝3m＋mi,z2＝2＋i,则当23<m<1 时,复数 z＝z1－z2 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
.
题型一 复数加减法的运算
例1 计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)； 解 原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5. (2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i). 解 原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.
反思与感悟 复数的加减法运算,就是实部与实部相加减 做实部,虚部与虚部相加减作虚部,同时也把i看作字母,类 比多项式加减中的合并同类项.
思考 复数代数形式的加法法则是怎样规定的，你怎样理 解其规定的合理性. 答 对于两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)而言： (1)当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致； (2)实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中仍然成立； (3)符合向量加法的平行四边形法则.
知识点二 复数加法的运算律
题型三 复数加减法的综合应用
例3 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1,求|z1＋z2|. 解 方法一 设z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a,b,c,d∈R), ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1, ∴a2＋b2＝c2＋d2＝1,① (a－c)2＋(b－d)2＝1② 由①②得2ac＋2bd＝1,
∴|z1＋z2|＝ a＋c2＋b＋d2＝ a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.
方法二 设O为坐标原点, z1,z2,z1＋z2对应的点分别为A,B,C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1, ∴△OAB是边长为1的正三角形, ∴四边形OACB是一个内角为60°,边长为1的菱形, 且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长, ∴|z1＋z2|＝|O→C|＝ |O→A|2＋|A→C|2－2|O→A||A→C|cos 120°＝ 3.
复数的加法与减法高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
新知初探-课前预习
[教材要点]
要点一 复数的加法与减法 1．设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)， 则 z1＋z2＝_(_a＋__c_)_＋__(_b_＋_d_)_i___，z1－z2＝_(_a_－__c)_＋__(_b_－__d_)i___. 2．加法运算律：设 z1、z2、z3∈C，有 z1＋z2＝_z_2_＋__z1___，(z1＋z2) ＋z3＝__z_1_＋__(z_2_＋__z3_)_.
A．1－3i B．－3－i C．3＋5i D．5＋3i
解析：(1)∵点 A，B，C 对应的复数分别为 1＋3i，－i,2＋i，∴B→C对 应的复数为 2＋2i.设 D(x，y)，∵A→D＝B→C，
∴(x－1，y－3)＝(2,2)，∴xy－ －13＝ ＝22， ， 解得xy＝ ＝35，. ∴点 D 对应的复数为 3＋5i，故选 C. 答案：(1)C
解析：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，且 z1＋z2＝5－6i， ∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i， ∴x2＋－3y＝ ＝－5，6， 即xy＝ ＝28，. ∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i
方法归纳Байду номын сангаас
(1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部 与虚部合并，注意符号是易错点；
若复数 z1、z2 对应的向量O→Z1、O→Z2不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1、 O→Z2为两邻边的__平__行_四__边__形___的对角线O→Z所对应的__复__数____，即复数 的加法可以按照向量的__加__法____来进行，如图，这就是复数加法的几 何意义．
这两个复数的差 z1－z2 与向量O→Z1－O→Z2(等于Z→2Z1)对应．作O→Z＝ Z→2Z1，则点 Z 对应复数 z1－z2(如图)，即复数(a－c)＋(b－d)i.
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主题探究导学
提示：
提示：
答案：
典例精析导悟
知能巩固提升
一、选择题(每题5分，共15分) 1.已知z+3-5i=7+3i，则复数z等于( )
(A)-4-8i
(B)-4+8i
(C)4-8i
(D)4+8i
【解析】选Ｄ．因为z+3-5i=7+3i,所以z=(7+3i)(3-5i)=4+8i，故选Ｄ．
)
(D)-4-8i
【解析】选C.因为 BC=AC-AB ，所以 BC 对应的复数为
(1+6i)-(3+2i)=-2+4i，故选C.
2.(5分)( 2010·济宁高二检测)复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z4i|=|z+2|，则x2+y2的最小值为( (A) 2 (B)2 ) (D)
2.(2010·福建四校联考)计算(5-5i)+(-2-i)-(3+4i)=( (A)-2i (C)10 (B)-10i (D)-2
)
【解析】选B.(5-5i)+(-2-i)-(3+4i) =(5-2-3)+(-5-1-4)i =-10i.
3.(2010·杭州高二检测)复数(3-i)m-(1+i)对应的点在第三 象限内，则实数m的取值范围是( (A)m＞ 1
2 -1.
答案： 2 -1
三、解答题(6题12分，7题13分，共25分) 6.计算：(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2 007-
2 008i)-(2 008-2 009i)+(2 009-2 010i).
【解题提示】先求实部的和，再求虚部的和，最后得出结 果. 【解析】实部的和为 (1-2)+(3-4)+…+(2 007-2 008)+2 009=1 005， 虚部的和为(-2+3)+(-4+5)+…+(-2 008+2 009)-2 010 =-1 006, 所以，原式=1 005-1 006i.
7.已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为 0,4+2i,-2+4i.试求： (1)点B对应的复数； (2)判断OABC是否为矩形.
【解析】(1)因为OABC是平行四边形，所以有 OB=OA+OC
=4+2i+(-2+4i)=2+6i，
所以，点B对应的复数为2+6i.
5
9 5
(C) 3 5
【解题提示】由复数模的概念，得出实数x,y满足的等式，
然后求x2+y2的最小值可转化为求原点到直线距离的平方.
【解析】选D.因为|z-4i|=|z+2|，所以有 x 2 +(y-4) 2
=
(x+2)2 +y2
，化简得x+2y-3=0，因为原点到该直线的距离
5
为d= |0+2 0-3| = 3 5 ，所以x2+y2的最小值等于原点到直线距离 的平方，即 9 ，故选D.
3
)
3
(B)-1＜m＜ 1 (D)m＜-1
(C) 1 ＜m＜1
3
【解题提示】先把复数化成a+bi(a,b∈R)的形式，然后
列出方程组求解.
【解析】选B.因为(3-i)m-(1+i)=(3m-1)+(-m-1)i对应的点在
第三象限，所以有 3m-1＜0 -m-1＜0，解得-1＜m＜ 1 .
3
二、填空题(每题5分，共10分) 4.已知z1-3-3i=i，则|z1|=________. 【解析】因为z1-3-3i=i， 所以z1=3+4i, |z1|=
|z-z2|≤2 2 ，即|z-(a-i)|≤ 2 2 ，由复数减法及模的几何
意义知，A是以(1,2a)为圆心，以
2 为半径的圆的内部的点
对应的复数集合，B是以(a,-1)为圆心，2 2 为半径的圆周以
及圆的内部的点所对应的复数集合，若A∩B= ，则两圆
圆心距大于或等于半径和，即
(1-a)2 +(2a+1)2 3 2
32 +42 =5.
答案：5
5.已知|z|=1，则|z-1-i|的最小值为_______. 【解析】由|z|=1，可知复数z对应的复平面内的点的轨迹为 以原点为圆心，1为半径的圆.|z-1-i|可以i|的最小值为
12 +12 -1=
(2)因为kOA= 1 ,kOC=-2,kOA·kOC=-1，
2
所以OA⊥OC，所以OABC是矩形.
1.(5分)在复平面内，向量 AB 对应的复数为3+2i，向量 AC
对应的复数为1+6i，则向量 BC 对应的复数为( (A)4+8i (B)2-4i (C)-2+4i
5
12 +22
3.(5分)满足|z+i|=|z-i|的复数z=x+yi(x,y∈R)在复平面内 对应的点的轨迹方程是____________. 【解析】由复数模的概念，知|z+i|=|z-i|， 即
x 2 +(y+1)2 = x 2 +(y-1)2 ，化简得，y=0.
答案：y=0
4.(15分)设复数z1=1+2ai，z2=a-i(a∈R)，A={z||z-z1| ＜ 2 }，B={z||z-z2|≤2 2 },已知A∩B= ，求a的取值范围. 【解析】因为z1=1+2ai,z2=a-i，|z-z1|＜ 2 ， 即|z-(1+2ai)|＜ 2 ，
，解得a≤-2或a≥ 8 .
5