高等数学-不定积分及换元法

C
7
(3)、2xexdx
原 式(2e)xdx(2e)x ln2(e)
C
2xex C ln21
3
15
(5) [
3sinx]dx
2(1x2) 31x2 x
31 1 1
1
21 x2d x 31 x2d x 5 xd x 3 sinx d x
3 arctan x 1 arcsin x
2
3
5 ln | x |3cosx C
为函数
f(x)在区间I内的不定积分，记作
。
f (x)dx
即
f(x )d x F (x ) Cf (x)为被积函数
积 分 号
被积 积分 表变 达量
式
任 意 常 数
注：鉴于原函数不唯一，积分方法不同得到的原函数 形式不一定相同，只要相差一个常数即可。
验证积分的方法：积分后的结果求导看是否等于被积函数
例 题
ax
a2 co2tsdta2 1cos2tdt
a2 ta2sin2t C
2
2
4
t
a2 x2
t arcsinx
a2 a2 t sintcotsC
a 22
a2arcxsi1nx a2x2C
2 a2
求
1 d(xa0). x2a2
解
xata t nd x ase 2tc dt t
1 x2
a2
dx
1、求
1 1 x2
dx
解
由于
(arctanx)'
1 1 x2
,
所以 arctan x是11x2 的一个原函数，
故
dx
1x2
arctanxC
2、 求
1dx x
解 因为 ln | x | 1
x
所以 1xdxln|x|C, (x0).
三、不定积分的性质
由不定积分的定义，可知
1、 ddxf(x)dxf(x), d[f(x)d]x f(x)d,x
sexd cx csxc(2)dx
l n csxc( )coxt( )C
2
2
lns exctaxnC 由上题结果可知
补充公示
( 1 )5 sx e d c ls n xx e tc a x n C ;
( 1 )6 cx s d c lc n xx s c cx o C ; t
(1)7 a2 1x2d x1 aarca xt aC ;n
u3
sin3 x
C C
3
3
一般地，要求 g(x)dx积分， 又不能直接利用公式
若被积表达式能凑成如下形式：
g( x)dx f(x)(x)dx f (x)d(x)
令u(x)
积分公式
即
f (u)du F ( u ) C
还原
F(x)C
该方法利用复合函数微分的逆过程
因此，这种计算不定积分的方法又称为凑微分法，
tanxd(taxn)
udu
u2 2
C
tan2 x C 2
1 dxd(arcsxi)n
1x2
dx
1
(arcsinx)2 1x2 u 2 du
uarcsinx
1 C arcsin x
x dx x2 1
解： xdx1d(x21)
xcosx(2)dx
解 ： xdx1d(x2) 2
2
原 式 1
3.2 不定积分的计算
◆不定积分的计算方法 直接积分法、换元积分法、分部积分法 第一类换元积分法 第二类换元积分法
一、直接积分法
例题：
dx
(1 )
(2) x2 xdx 不能漏写
5
积分常数
x3
x 3 dx x 31 C 3 1
1 2x2
C
x 2dx
5 1
x2 C
5 2
1
2
7
x2
co2sxsin2
d x
x
1 dx4csc22xdx cos2xsin2x
412csc22xd2x
u 2x
2 c s c 2 u d u 2 c o tu C 2 c o t2 x C
sin2xcoxsdx coxsdxd(six)n
usinx
原式 si2n x(dsx i)n u2du
1
原 式 1 coxs2)(d(x2)
d(x21)
2
2 x21
1si nx(2)C
1lnx2 1C
2
2
例 求 co3xsco2xsd. x
解 cA o cs B o 1 s [cA o B )s c (o A B s)(], 2
co 3 xc so 2 x s1(cxo cso 5 x )s,
算呢?
? v(t)
例 设曲线通过点（2，5），且其上任一点处的切 线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 yf(x), 根据题意知 dy 2 x,
dx
1、定义 如果在区间 I 内的每一点处,有 F(x)f(x)
或 dF(x)f(x)dx,则称 F ( x ) 是 f ( x ) 在区间 I 内的
(sin 2xcos32xsin12x)dx
1cosx3tanxcotxC 2
[x2 (2)x 2]dx 3x 1x3 1 (2)x2ln|x|C 3 ln2ln33
x4
(6)
dx 1 x2
x4 11 dx
1 x2
(7) tan2 xdx
(sec2 x1)dx
(x2 1)(x2 1)1
dx 1x2wenku.baidu.com
sec2xdxdx
(x2 1 1 )dx
1x2
tanxxC
x2dxdx 11x2dx
1x3 xarctanxC 3
cos2x
sin2 xcos2 xdx
练习：
c
1 o2sxsin2
dx x
解 原式
cos2 xsin2 x sin2 xcos2 x dx
cos2 x sin 2 xdx cos2 x sin 2 x
(1)8 1 d xarcxsiC n ;
a2x2
a
2、第二换元法
凑微分法是通过中间变量 u(x)将积分
f[(x)]'(x)d化x成 f(u)du,下面要介绍
的换元积分法是通过变量代换 x(t)将积分
化为积分 f[(t)]'(t)dt
x(t)
f ( x ) d x f [( t ) ] ( t ) dt
第三章 不定积分 不定积分的概念与性质 不定积分的计算
3.1 不定积分的概念与性质
一、原函数 二 原函数与不定积分的概念 三 不定积分的性质 四 基本积分表
一、原函数的概念
引例：已知物体的运动方程为 s s(t ),则物体
运动的即时速度为 v(t)s(t);如果已知物体的
速度方程为 v v(t) ,则物体运动的位移如何计
（使用了三角函数恒等变形）
解（二）
cscxdx
1 dx sinx
ssiinn2xxdx
1
1co2sxd(cox)s u cx os
11u2 du
1 1u2
1( 1 1 ) 21u 1u
1 2(1 1udu 1 1ud)u12l
n1uC 1u
1ln1coxsC. 2 1coxs
类似地可推出 se xc d ln s xe x t ca x n C .
解 设曲线方程为yf(x), 根据题意知 dy 2 x,
dx
2xd x x 2C , f(x)x2C,
由曲线通过点（2，5）代入上式，得 c1,
所求曲线方程为 yx21.
函数f (x) 的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
.
◆基本积分表 P94
1
( 7 )
2、F (x )d x F (x ) C , 或 d(F x )F (x ) C .
结论：微分运算与积分的运算是互逆的.
3 .k(x f ) d x k f(x ) dx (k 0 )
4 .[f(x ) g (x )d ] x f(x ) d x g (x ) dx
设曲线通过点（2，5），且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线方程.
2
3.2、换元积分法
我们有 sinxdxcosxC公式
sin5x dx该复合函数不能直接积分
形式不一致
被积函数 sin5x 不能变，变积分变量 dx凑成d(5x)形式
dx 1 d(5x)
si5 nxdx1 5s5 i5 nxd (5x) 令u5x 151sicnuods5uxC15cosuC
5
1
as1etcase2ctdt
2
,
2
sectdtlnsetctatnC
lnax x2aa2C. ln x x2a2C1
x2a2 x t a
其中 C 1Cln a
例求
1 d(xa0). x2a2
解 令x a se td c a x ste ta tc d t n t 0,
x21a2dxasaetctatntantdt 2
1
例： e x dx
x2
1 x2
d
xd(
1) x
u
1 x
原
1
式exd(
1)eud
x
ueuc
1
e x
C
x 1x2dx 利用 x与dx凑出 d(1 x2)
xdx1d(1x2) 2
原式 1 1x2d(1x2) 2
1 2
udu
1.2(1x2)23 C 23
u1x2
1(1x2)23 C 3
se2cxtanxdx utaxn
usinx
u2du
◆几个常用的三角公式
sin2
1cos2x
x
,
2
cos2
1cos2x
x
2
sin c o s1 2 sin sin
c ossin 1[s i n ) (sin ( )]
2
c o sc o s 1 2 c o s c o s
sin sin 1 2 c o s c o s
一个原函数。
例如:因为 sinxcosx xR
所以 s in x 是 cos x 在 , 内的一个原函数.
问题： (1)原函数是否唯一？
(2)若不唯一它们之间有什么关系?
2、原函数的性质
1）如果有 F(x)f(x)，则 F(x)C f(x)
2）如果 F(x)G (x)f(x，)则 F(x)G (x)C （ 常 数 。）
注意：使用此公式的关键在于从被积函数中分离出
因子 (x)与dx结合凑成 d(微 x) 分
si5 nxdx1 5si5 nxd (5x)令u5x
1 5
sinudu
4csc22xdx41 2csc22xd(2 ux) 22xcsc2udu
s in 2x c o sx d x s in 2 x d (s in x )
t1(x)
F(t)C F[ 1(x)]C
注: 第二换元法中用来代换的 (t )
可导且存在反函数 t 1(x)
例求
a2x2d(a x0).
解
xasitn , t 22
d x a cto dst
a 2 x 2 a 2 a 2 s2 t i n a ctos
换元后
得
a 2 x 2 d x a cto a csto dst
结论：如果函数 f ( x ) 在区间 I 内有原函数F ( x ) ，则 f ( x )
有无穷多个原函数，且所有的原函数可用式子F(x) C 表示。
◆原函数存在的充分条件
如果函数f(x)在区间I内连续，则函数f(x)在该区间内 一定有原函数。
二、不定积分的概念
函数f(x)在区间I内的所有的原函数构成的集合，称
1
x2 dx
arctanxC arccotxC
( ( (
1) 2 ) 3)
(
0 k x
d d
x x d
C
kxC x 1 x1
1
1)
C
( ( (
8 9 1
) ) 0
)
s
1 in co
1 x
s
x d x
2
x d
x
d x arcsinxC arccosxC
cosxC
sinxC
(4
)
1 x
d
x
ln x C
1 sin2
xcos12
xdx
(csc 2 tan x
x sec2x)dx cot x C
csc2xsec2xdx
cotxtanxC
◆在括号中填入适当的函数，使等式成立
(1) d(5x )5dx
(2) d( l n x )1dx x
1 (3) d(arctanx )1x2dx
(4 ) d (1 sin 2 x )co 2 xsdx
c3 o x cs2 o x2 s d 1 2 x (cx o cs 5 o x )d s
1six n1si5nxC. 2 10
dx
a2 x2
原式
a
dx 1( x )2
a
d(x)
a 1 ( x )2
a
arcsixnC a
dx
a2 x2
原式 a2dxx2
dx a2[1(x)2]
a
d(x)
a [1
a (x
)2 ]
a
1arctaxnC
a
a
例 求证 cx sc d ln c xx s cx o C t.
解（一）
cscxdx
1 dx sinx
2sinx1cosx dx
22
1
tanxcosx2
d
2x
1 tanx
dtan2x
2 2
2
lntanx C ln cx s cx o C t. 2
( 5 ) e x d x ex C ( 6 ) a x d x a x C
ln a
( 1 1 ) s e c 2 x d x tanxC ( 1 2 ) c s c 2 x d x cotxC ( 1 3 ) s e c x t a n x d x secxC ( 1 4 ) c s c x c o t x d x cscxC