高等数学-不定积分及换元法
高等数学b学习资料-3.2不定积分的换元积分法
解 令 t 1x2 x2t21,xdxtdt,
x5
1
x2
dx
(t2 1)2 tdt t
(t42t21)dt
1t52t3tC1(84x23x4)1x2C .
53
15
例5
求
1 dx.
1ex
解 令 t 1ex ext21,
x ln t2 1, dxt22t1dt,
1
a2(t1si2n t)C 22
a 2arx c 1 sxia 2 n x 2 C . 2 a2
ax t
a2x2
例2 求
1 dx (a0). x2a2
解 令 xatat,n t 2, 2 d x a s2 e td tc ,
1 dx x2 a2
1 ase2tcdt asetc
可由 a24b的符号确 . 定
a24b0, x21 a xbd x(xm 1)2ndx a24b0, x21 ax bdx (x1m)2dx a24b0, x21 a xbd x(xm 1 )x (n)dx
例5 求 taxn dx. 解 tanxdx csionxxsdx c1oxd s(cox)s
c1oxsd(co x)s lc nx o C s.
( 使用了三角函数恒等变形 )
ta x d x n lc n x o C s .
同理可得 cx o d x tls nx i n C .
例6 (1) 求 se x d x c. sx e d x c ls nx e tca x C n .
x5 1x2d x(s t)5 i1 n s2 itc n to d t s si5tn c2 o td ts
( 应用“凑微分”即可求出结果 )
医学高等数学课件 第3-1不定积分的第一类换元积分法
——第一类换元积分法
第一类换元法
定理. 公式
设 f (u) 有原函数 , u g(x)可导, 则有换元
f (u)du u g(x)
即
f [g(x)] g(x)dx f (g(x))d g(x)
(也称换元法 , 凑微分法)
例1.求 cos 5xdx
解:
cos 5xdx
)
ln(1 ex ) C
ln(1 ex ) ln[ex (ex 1)] 两法结果一样
例8. 求 sin2 xdx
解:
sin2
xdx
1
cos 2
2xdx
1dx 2
1 4
cos
2xd
(2x)
1 x 1 sin 2x C 24
sin3 xdx sin2 x sin xdx (1 cos2 x)d cos x
cos x 1 cos3 x C 3
例9.求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
例10. 求
解: 原式 = sin 4 x cos2 x cos x dx sin 4 x(1 sin 2 x) d sin x
1. 真分式 P(x) (即n m) Q(x)
(1) Q(x)的因式(x a)n,
P(x) 可拆分为 A1
Q( x)
xa
(x
A2 a)2
(x
An a)n
;
(2) Q(x)的因式(x2 px q)n, ( p2 4q 0)
可拆分为 A1x B1 x2 px q
不定积分求解方法换元法
不定积分求解方法换元法一、基本思想换元法的基本思想是通过引入一个新的变量，使被积函数中的一部分可以化简为对新变量的导数形式。
这样可以将原函数转化为一个更简单的函数，然后再进行积分。
二、具体步骤1.选择合适的变量代换。
在进行变量代换时，可以根据问题的特点和被积函数的形式灵活选择。
常用的变量代换有：（1）令u=f(x)代替被积函数中的一部分。
（2）令u=g(x)代替被积函数的整体。
（3）令x=h(u)代替被积函数中的一部分。
2.求解变量代换的导数和逆变换。
求解变量代换的导数是为了将原函数的微元dx转化为新的变量的微元du。
而逆变换是为了将积分结果转化为原函数形式。
3.将被积函数转化为新变量的导数形式。
将原函数中的dx全部用du表示，然后将被积函数进行替换，得到新变量的导数形式。
4.进行积分。
将被积函数转化为新变量的导数形式之后，进行积分即可。
此时的积分可能会更加简单，容易求解。
5.最后进行逆变换。
将得到的积分结果重新转化为原函数形式，即完成了不定积分的求解。
三、实例应用下面通过几个实例来具体说明换元法的应用。
例1. 计算不定积分∫(x^2+1)√x dx。
解：首先令u = x^(3/2)，则du = (3/2)x^(1/2)dx。
将被积函数进行替换，得到∫(u-1)du。
再进行积分，得到u^2/2-u+C。
最后进行逆变换，得到(x^(3/2))^2/2-x^(3/2)+C=x^3/4/2-x^3/2+C。
例2. 计算不定积分∫(e^x/(1+e^x))dx。
解：将分母1+e^x视为u，即u=1+e^x，则du = e^xdx。
将被积函数进行替换，得到∫du/u。
再进行积分，得到ln，u， + C。
最后进行逆变换，得到ln，1+e^x， + C。
例3. 计算不定积分∫(sinx)/(1+cos^2x)dx。
解：将分母1+cos^2x视为u，即u=1+cos^2x，则du = -2cosxsinxdx。
高等数学 - 06 不定积分的积分方法
２．第二换元积分法 第 换 积 方 是 择 的 分 量 u =ϕ( x), 但 一 元 分 法 选 新 积 变 对 些 积 数 需 作 反 式 换 ， 令 =ϕ(t), 有 被 函 则 要 相 方 的 元 即 x 把 t作 新 分 量 才 积 结 ， 为 积 变 ， 能 出 果 即 x =ϕ ( t )
似 (4) 类 得
∫
cot xdx = ln| sin x | +C.
sec x(sec x +tan x) sec2 x +sec xtan x dx = ∫ dx (5) ∫sec xdx = ∫ tan x +sec x tan x +sec x
1 =∫ d(tan x +sec x) = ln| sec x +tan x | +C . (tan x +sec x)
微 法 用 的 点 于 题 未 明 该 凑 分 运 时 难 在 原 并 指 应 把 需 解 经 , 果 熟 列 哪 部 凑 dϕ(x),这 要 题 验 如 记 下 一 一 分 成 些 分 ,解 中 会 我 以 示 微 式 题 则 给 们 启 ． 1 2 dx 1 = 2d( x)， dx = d(ax +b)， xdx = d(x )， x 2 a 1 x x dx = d(ln| x |)， sin xdx = −d(cos x)， e dx=d(e )， x cos xdx = d(sin x)， 2 xdx =d(tanx)， 2 xdx =− (cotx) sec csc d ， dx dx = d(arcsin x)， = d(arctanx)． 2 2 1+ x 1− x 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧． 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧．
求不定积分的方法总结
求不定积分的方法总结求不定积分是高等数学中的一个重要内容，也是微积分的核心概念之一。
在实际问题中，我们经常需要对函数进行积分，而不定积分就是对一个函数进行积分运算的一种形式。
本文将总结一些求不定积分的方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、换元法换元法是求不定积分中常用的一种方法。
当被积函数中存在复杂的函数形式时，可以通过引入一个新的变量来简化原函数，进而求出不定积分。
例如，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx的不定积分，可以令u=g(x)，然后对原函数进行变量替换，最终得到∫f(u)du的形式，从而可以更容易地求出积分的结果。
二、分部积分法分部积分法是求不定积分中的另一种常用方法。
当被积函数是两个函数的乘积时，可以利用分部积分法将原函数进行分解，然后再对各部分进行积分。
具体来说，对于形如∫udv的不定积分，可以利用分部积分公式∫udv=uv-∫vdu，将原函数分解成两部分，然后逐步求解，最终得到积分的结果。
三、有理函数的积分有理函数的积分是求不定积分中的一个重要内容。
有理函数是指可以表示为多项式之比的函数，例如f(x)=P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)都是多项式。
对于有理函数的不定积分，可以利用部分分式分解的方法将其分解为一系列简单的分式之和，然后再分别对各个分式进行积分，最终得到原函数的积分结果。
四、三角函数的积分三角函数的积分也是求不定积分中的一个重要内容。
对于形如∫sin(x)dx和∫cos(x)dx的不定积分，可以利用三角函数的性质和积分公式来求解。
例如，对于∫sin(x)dx，可以利用sin(x)的导数等于cos(x)的性质，得到∫sin(x)dx=-cos(x)+C的结果，其中C为积分常数。
五、换限积分法换限积分法是求不定积分中的一种变形方法。
当原函数的积分上限和下限较为复杂时，可以通过引入一个新的变量来简化积分的过程。
例如，对于形如∫f(x)dx的不定积分，可以令u=g(x)，然后对积分上限和下限进行变量替换，最终得到∫f(u)du的形式，从而更容易地求出积分的结果。
高等数学（上）第四章不定积分
第四章 不定积分内容：不定积分的概念和性质、换元积分法、分部积分法、几种特殊类型函数的积分、简单无理函数的积分、积分表的使用。
要求：理解不定积分的概念和性质，掌握不定积分的基本公式、换积分法和分部积分法，理解有理函数的积分，了解简单无理函数的积分重点：不定积分的概念和性质；不定积分的基本公式；换元积分法、分部积分法、 难点：凑微分、三角代换法、分部积分法到目前为止，我们已经学会了对函数作如下运算：四则、复合、求导. 在四则运算中, 加减法互为逆运算, 积商也互为逆运算; 我们能将简单函数复合, 也能将复合函数分解. 于是, 我们自然会想到这点: 既然我们能求得任一函数的导数, 我们当然也想知道谁的导数是一个任意给定的函数呢? 即研究求导的逆运算.例: 对于变速直线运动, 若已知位移函数)(t s s =, 则即时速度)(t s v '=, 反之, 若已知)(t v v =, 能否求得位移函数?§1. 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念1. 原函数定义: 设)(),(x F x f 在区间I 上有定义, 若∀x ∈I, 有)()(x f x F =' (或dx x f x dF )()(=)则称)(x F 为)(x f 在I 上的原函数.例: -sinx 是cosx 的原函数, x ln 是x1的原函数. 我们自然会提出三个问题:(1) 是不是任一函数都有有原函数. (2) 一个函数的原函数是否唯一.(3) 若不唯一, 不同的原函数间的关系. 逐一回答:(1) 定理: 若)(x f 在I 上连续, 则存在)(x F , 使得)()(x f x F ='. (2) 常数的导数为0. 若)()(x f x F =', 则())()(x f C x F ='+. (3) 若)()()(x G x f x F '==', 则()0)()(='-x F x G . 回忆中值定理得到的重要结果, 可得:Cx F x G Cx F x G +==-)()()()(综合(2), (3), 得出结论: 若)(x F 是)(x f 的一个原函数, 则 1°所有的)(x F +C 也是)(x f 的原函数. 2°)(x f 的任一原函数也写成)(x F +C.即})({C x F +(C 为任意常数)是)(x f 的所有原函数的集合. 命名之. 2. 不定积分定义: 函数)(x f 的全体原函数称为)(x f 的不定积分, 记作⎰dx x f )(.若)()(x f x F =', 则⎰dx x f )(=)(x F +C.⎰: 积分符号; )(x f 被积函数; dx x f )(被积表达式;x : 积分变量; C: 积分常量. 例1.C x xdx C x dx x +=+=⎰⎰sin cos ,4143例2. 证明:C x dx x +=⎰ln 1.证一: ⎩⎨⎧<->=0)ln(0ln ln x x x xx()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->='0101ln x xx x x证二: 2ln ln x x =为简便, 记C x dx +=⎰ln 1.(曲线族中任意一条曲线都可由另一条曲线经过上下平移而得到, 表现在图形上, 即: 所有平行于y 轴的虚线被相同的两条积分曲线所截得的长度都相同.)3. 不定积分与导数、微分的关系()()Cx F x dF C x F dx x F dxx f dx x f dx f dx x f +=+='=='⎰⎰⎰⎰)()(,)()()2()()(),()()1(不定积分与导数、微分互为逆运算. 注2: 导数是一个函数, 不定积分是一族函数.二、基本积分公式由导数公式，可直接得出积分公式Caa dx a C e dx e C x xdx x C x xdx x C x xdx dx x C x xdx dx x Cx xdx C x xdx Cx dx x Cx dx x Cx dx x C x dx x C kx kdx xxx x +=+=+-=⋅+=⋅+-==+==+-=+=+=-+=++=-≠++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+ln )13()12(csc cot csc )11(sec tan sec )10(cot csc sin 1)9(tan sec cos 1)8(cos sin )7(sin cos )6(arcsin 11)5(arctan 11)4(ln 1)3()1(11)2()1(2222221μμμμ三、不定积分的运算法则[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰±±±=±±±=dxx f dx x f dx x f dx x f x f x f dxx f k dx x kf n n )()()()()()()2()()()1(2121.例1.⎰⎰+--+dxx x xdxx e x )213114()2()cos 52()1(2 例2.()⎰⎰-=dx x xdx 1sec tan22例3. ⎰⎰+-+=+dt t t dt t t 22221111例4. ⎰⎰+=dt xx x x dt x x 222222cos sin cos sin cos sin 1§2. 换元积分法积分的许多方法都是来源于求导（微分）公式，凑微分法来源于复合函数求导公式，或者说是一阶微分形式不变性.一、第一类换元法（凑微分法）(){}()⎰⎰⎰=='=='⇒'=⋅'=+='⇒'⋅='⋅='⋅'='duu f dx x x f du u F dx x F x F d C x F dx x x f x x f u u f u u F x F x u x x u f u F xx u x)()()]([)()]([)]([)]([()()]([)()]([)()()]([)()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ定理 设)(u f 有原函数，)(x u ϕ=可导，则)()()()]([)()]([x u duu f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='此定理的实质是将对变量x 的积分转化为对x 的函数)(x ϕ的积分.1. b ax x +=)(ϕ例1.⎰xdx 2sin 2不能对⎰xdx 2sin 直接积分, 但若令u=2x, 则可对⎰udu sin 直接积分, 只需将原积分中的“dx ”转化为“du ”即“d(2x)”.Cx C u udu x xd xdx xu +-=+-===⎰⎰⎰=2cos cos sin )2(2sin 2sin 22 熟练后可省略例2. []⎰⎰⋅++=+21)12()12sin()12sin(x d x dx x 例3. ⎰-dx x 100)45(, ⎰-dx x 23)45(若是二或三次方, 或许可以考虑二项展开, 但对于100次或是非正整数次方显然不适用.例4.⎰⎰+→+dx x dx x a 222111例5.⎰⎰-→-dx xdx xa 222111一般地, ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f . 2.b ax x +=2)(ϕ例6. ⎰dx xe x 22 例7.⎰-dx x a x2一般地,⎰⎰++=+)()(21)(222b ax d b ax f adx b ax xf . 利用1111+++=μμμμdx x dx x , 我们常用的凑微分法有: ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅-=⋅⋅=⋅xd f dx x fxd f dx x f dx f dx f x 2131232例8.⎰dx x x 1tan 122例9.⎰dx xe x33. 其它类型例10. ⎰⎰=dx xxxdx cos sin tan , ⎰xdx cot 例11.⎰+dx x x 21arctan把对x 积分转化为对)(x ϕ积分，即)()(x d f dx f x ϕϕ⋅→⋅'，这实际上也是一个积分过程，只是这个积分较为直接明了，因此，所有积分公式都可以被考虑用于凑微分.如:⎰⎰⋅=⋅x d f dx f x ln 14. 综合性凑微分(先变形, 再凑) ① 代数变形例12. ⎰-dx x x2例13. C ax ax a dx x a C a x ax a dx a x +-+=-++-=-⎰⎰ln 211,ln 2112222例14.⎰⎰++=++dx x dx x x 2)3(1116122例15.⎰⎰-+=--dx x x dx x x )1)(3(12312总之: ⎰⎪⎩⎪⎨⎧→→→++arctanln12不可分解因式可分解因式dx c bx ax 例16.⎰⎰+-=--dx x dx xx 22)1(21211例17．⎰⎰+=dx x xdx 212cos cos 2例18. C x x x dx x xdx +++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰832sin 414sin 321212cos cos 24例19. ⎰⎰--=x d x xdx cos )cos 1(sin 23例20. ⎰⎰--=x xd x xdx x cos cos )cos 1(cos sin2223例21.⎰⎰+=dx xx xdx x 22sin 8sin 3cos 5sin总结之:⎰⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++积分化和差公式平方和公式并换元倍角公式降次dx Bx Ax Bx Ax Bx Ax dx x x dx x x n n n ncos cos sin sin cos sin )3(cos sin )2(cos sin )1(121222例22.⎰xdx csc()Cx x xx C x x C x x C x x x d x dx xx dx x xdx ++-=+-=+-+-=+-+-=++-=--===⎰⎰⎰⎰)cot ln(csc sin cos 1ln cos 1cos 1ln 21cos 1cos 1ln 211cos 1cos ln 21cos cos 11sin sin sin 1csc 2222 Cx x xdx C x x xdx ++-=++=⎰⎰)cot ln(csc csc )tan ln(sec sec 总结: 三角函数微分、积分公式记忆： (1) 弦函数↔ 弦函数; 切函数↔ 割函数 (2) 正函数→ 正号; 余函数→ 负号例23.⎰⎰⎰-=--=+dx x xdx x x dx x 22cos sin 1sin 1sin 1sin 11在积分过程中, 分母中的正减号是积分的障碍.二、第二类换元法（变量置换法）定理 设)(t x ψ=是单调且可导的函数，0)(≠'t ψ. 又设)()]([)(t t f t g ψψ'=有原函数, 则[]⎰⎰-='=)(1)()]([)(x t dt t t f dx x f ψψψ.事实上:[]C t G dt t g dt t t f t d t f dxx f x t t x +=='=⋅=⎰⎰⎰⎰-==)()(1)()()()]([)]([)]([)(ψψψψψψ第二类换元的实质是将f (x )复杂式变简单或将明显不可积变为可积. 1. 三角代换例1.⎰+dx x 112Ct t tdt t t d t dxx t x ++=⋅==+⎰⎰⎰=)tan ln(sec sec sec 1)(tan sec 1112tan 2不定积分是被积变量的函数, 故需写成x 的函数. 而用反函数代入的方法显然很繁琐.1tan tan x t t x =⇒=, 即在直角三角形中, t 是一个锐角, x 是其对边, 1是其邻边.⎰⎰+++=++++=++==C x a x dx a x C x x dx x x t t )ln(1)1ln(1111cos 1sec 2222222例2.⎰-dx ax 221xCa x x C aa x a x C t t tdtt t t a d t a dxax xa t ta x +-+=+-+=++=⋅==-==⎰⎰⎰)ln()ln()tan ln(sec tan sec tan 1)sec (tan 12222cos sec 22积分公式:⎰++±=±C x a x dx a x )ln(12222例3．⎰-dx x a 2C ax a a x a x a C t t t a dt t a tdtat td adx x a ax t t a x +-⋅+=++=+===-⎰⎰⎰⎰==)(arcsin 2)cos sin (2)2cos 1(2cossin cos 22222222sin sin 2三角代换的实质：用六角形公式消去根式(或分母)中平方和、平方差.2. 根式代换例4.⎰++dx x 1211Cx x C t t dt t t t d t dxx t x t x +++-+=++-=+-+=-+=++⎰⎰⎰=+-=)121ln(12)1ln(11121111211212212例5.⎰+xx dx)1(322a x -xCt t dt t t dt t t xx t x tx +-=+-+=+=+⎰⎰⎰==arctan 661116)1(1)1(22632366例3.dx xx⎰-+11 （选讲、习题课） 法一：()dt t t t td t xxt t x ⎰⎰+=+-==-++-=2222111114)121(22 法二：()⎰⎰⎰⎰⎰+=--=-=--=--==dt t dt tt dt t t dx x x dx x x t x )sin 1(sin 1sin 1sin 1cos 111122sin 222法三：()()⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+=2222221121111111x d x dx xdx xx dx x x§3.分部积分法由导数的乘法公式:())()()()()()(x g x f x g x f x g x f '+'=',可知)()(x g x f 是)()()()(x g x f x g x f '+'的一个原函数,即[])()()()()()()()()()()()()()()()()()(x df x g x g x f x dg x f dx x g x f x g x f dx x g x f C x g x f dx x g x f x g x f ⎰⎰⎰⎰⎰-=⇔'-='⇒+='+' 其实质是将被积函数看作两个函数的乘积,将其中一个函数先凑到d 的后面(做一部分积分),从而变形为求另一个函数的积分.简言之,将被积表达式写成d 前面一部分,d 后面一部分,再交换前后两部分的位置.分部积分公式:⎰⎰⎰⎰'-=-=='dx u v uv vdu uv udv dx v u 例1.⎰xdx x sinx,sinx 都可以放到d 的后面去,但是,变形后的结果截然不同:前者变形为求⎰xdx xsin 2,后者变形为求⎰xdx cos ,显然选择后者.注: 选择u,v(d 前函数,d 后函数)的原则: (1)v 明显可求(2)简单比v u u v ''(即新得到的积分比原积分简单) 例2.⎰dx xe x例3. ⎰dx e x x 2例4.⎰xdx x ln 2例5. ⎰xdx ln , ⎰xdx 2ln例6. ⎰xdx arcsin例7. ⎰xdx e xsin例8. ⎰=xdx x I sec tan 2(选讲)⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==⋅==xdxI x x xdx x x x xdx x x x xd x x xxd xdx x x xdxx I sec sec tan sec )1(tan sec tan sec sec tan tan sec sec tan sec tan sec tan tan sec tan 232 注2.分部积分法主要类型:dxe ax ax x e ax ax d x dxe ax ax x ax n ax n ax n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⎰⎰⎰-sin cos sin cos cos sin )1(1\函数类型不变求导后积分后降次求导dx x ax ax x n ⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅类型趋同求导后类型不变积分后ln arctan arcsin )2(dx x d x ax ax n ⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→+幂函数1ln arctan arcsin方程二次分部积分函数类型不变求导后积分→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⎰⎰⎰⎰dx bx bx e dx bx bx e e d bx bx dxbx bx e ax ax ax ax cos sin sin cos cos sin cos sin )3(\例9.⎰dx ex例10. dx xexdx e xx⎰⎰-=22cos 1sin 2例11. dx xe dx x e xx ⎰⎰=22sin cos sin 例12. ()dx x x xdx x ⎰⎰-=1sec tan 22 例13. ⎰=dx x I )sin(ln例14.⎰+++dx xx x 221)11ln(不定积分小结一积分公式(分类分组) 1．幂函数类⎪⎩⎪⎨⎧-≠⎰⎰dx xdx x 11(μμ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+⎰⎰dx ax dx ax 222211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±-⎰⎰dx a x dx x a 222211 2．指数函数类⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰dx a dxe xx3．三角函数类⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰xdx xdx cos sin⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x d x s e c t a n⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x d x c s c c o t⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰xdx xdx 22csc sec⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x x d x x c s c c o t s e c t a n 二、凑微分法)()()()]([)()]([x u duu f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='常用的凑微分法有:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅=⋅+⋅=⋅xd f dx x fx d f dx x f dx f dx f x dx f dx xf b ax d f a dx f 213121)(12322⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅=⋅xxdef dx f e x d f dx f x x d f dx xfcos sin ln 二、变量置换法[])()(1)()]([)]([)]([)(x t t x dt t t f t d t f dx x f -==⎰⎰⎰'=⋅=ψψψψψψ 常用代换:1. 三角代换⎰⎰⎰⎰⎰⎰====-=+=-tdtt t a f a dx a x f tdtt a f a dx x a f tdtt a f a dx x a f ta x ta x ta x tan sec )tan ()(sec )sec ()(cos )cos ()(22sec 22222tan 2222sin 222. 根式代换⎰⎰--=+=⋅=++dt t t t f anmdxb ax b ax f nm n m ab tx b ax t mn nmnm 1),(),( 三、分部积分法⎰⎰⎰⎰'-=-=='dx u v uv vdu uv udv dx v u分部积分法主要类型:dxe ax ax x e ax ax d x dxe ax ax x ax n ax n ax n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⎰⎰⎰-sin cos sin cos cos sin )1(1\函数类型不变求导后积分后降次求导dx xax ax x n ⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅ 类型趋同求导后类型不变积分后ln arctan arcsin )2(dx x d x ax ax n ⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→+幂函数1ln arctan arcsin方程二次分部积分函数类型不变求导后积分→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⎰⎰⎰⎰dx bx bx e dx bx bx e e d bx bx dxbx bx e axax ax axcos sin sin cos cos sin cos sin )3(\ 注2:有些函数经过变形、代换后成为上述类型.注3:选择u,v(d 前函数,d 后函数)的原则:留在d 前的函数求导后变易, 进入d 的函数积分后不变难.四、特殊函数积分归类 归类1:⎰⎪⎩⎪⎨⎧→→→++arctan ln 12平方和平方差dx c bx ax 归类2:⎰⎩⎨⎧→<→>→++arcsin 0012a a dx c bx ax 三角代换 归类3:⎰⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++积分化和差公式平方和公式并换元倍角公式降次dx Bx Ax Bx Ax Bx Ax dx x x dx x x n n n ncos cos sin sin cos sin )3(cos sin )2(cos sin )1(121222 归类4：有理函数.。
不定积分的计算方法
不定积分是微积分中的重要概念之一，它可以用来求函数的原函数。
在求不定积分时，我们主要使用的是一些基本的计算方法，如换元法、分部积分法和常数因子法等。
接下来，我们将逐一介绍这些方法。
首先是换元法。
它是利用导数和基本积分公式的逆运算，将积分转化为“求导”的逆运算。
具体步骤为：先选择一个合适的变量代换，使被积函数简化或形式明显，然后求出变量代换的导数，带入积分式中进行计算，最后用原变量表示出结果。
其次是分部积分法。
该方法适用于一些具有乘积形式的被积函数。
分部积分法的基本思想是将被积函数中的乘积分解成两个函数的乘积，然后通过部分积分公式将积分转化成一个普通的不定积分。
具体步骤为：选择一个作为“u”的函数，找到它的导函数“du”，同时选择另一个作为“dv”的函数，“v”为“dv”的不定积分。
然后，利用分部积分公式进行计算，得出最终结果。
分部积分法常被用于求含有幂函数、指数函数、三角函数和对数函数等的不定积分。
最后是常数因子法。
该方法适用于一些被积函数中存在常数因子的情况。
常数因子法的基本思想是将常数提取到积分外面，然后对去除了常数因子的函数进行不定积分。
具体步骤为：先提取出常数因子，“a”，然后将被积函数中除去常数因子的部分进行不定积分，最后将结果与常数因子相乘得到最终的结果。
除了上述方法，我们还可以利用一些基本的不定积分公式进行计算，如幂函数的不定积分公式、指数函数的不定积分公式、三角函数的不定积分公式等。
掌握这些公式，能够大大简化我们的计算过程。
在进行不定积分计算时，我们还需要注意一些特殊的情况。
例如，被积函数出现无界函数时，我们需要分段计算不定积分；当被积函数存在一些不连续点时，我们需要将积分区间分为多个相互不重叠的区间，并对每个区间进行计算；对于有理函数的不定积分，我们还需要进行分式分解，化简后再进行计算。
综上所述，求解不定积分的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
在实际应用中，往往需要运用多种方法相结合，以便更好地完成计算工作。
不定积分的换元法第一篇
解
x2 f (1 x3 )dx 1 f (1 x3 )d(1 x3 ) 3
又 f ( x)dx x C，
x2 f (1 x3 )dx 1 1 x3 +C 3
例12 求 x2(2x 1)50dx
解 令u 2x 1 则 dx 1 du
第三节 不定积分与定积分的运算
一、不定积分的换元法
二、定积分的换元法
三、分部积分法
不定积分的分部积分法 定积分的分部积分法
四、积分的其它例子法
第四章
一、换元积分法
1、第一类换元法 2、第二类换元法
基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
f (( x))d(( x)) f (u)du u(x)
一部分凑成d (x),这需要解题经验,如果记熟下列一些微
分式(P197) ,解题中则会给我们以启示．
dx 1 d(ax b)， xdx 1 d(x2 )，
a
2
dx 2d( x)， x
exdx d(ex )，
1 dx d(ln | x |)， sin xdx d(cos x)， x
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
例4 求 (1) xe13x2 dx;
(2) x a2 x2 dx.
解 (1) xe13x2dx e13x2 xdx, 且 d(1 3x2 ) 6xdx,
F (u) C u( x) F[ ( x)] C
第一类换元法 第二类换元法
1．第一换元积分法(凑微分法)
问题 1 求 e3xdx .
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分，是高等数学中一个非常重要的概念，也是微积分的基础之一。
在求解不定积分时，有许多不同的方法和技巧可以帮助我们找到解答。
本文将对不定积分的解法进行汇总，希望能够帮助读者更深入地理解和掌握这一概念。
1. 基本积分表不定积分的求解可以通过查找基本积分表来进行。
基本积分表是经过大量计算和整理得出来的一张表格，列举了许多常见函数的不定积分表达式。
通过查找基本积分表，我们可以直接得到一些常见函数的积分结果，从而节省时间和精力。
基本积分表中包括了常见函数的积分公式，如x^n，e^x，\sin x，\cos x等函数的不定积分表达式。
通过查找基本积分表，我们可以直接得到这些函数的积分结果，而无需进行复杂的运算过程。
2. 换元法换元法是求解不定积分中常用的一种方法。
它通过将被积函数中的某一部分用一个新的变量代替，从而将原积分化为对新变量的积分形式。
通常情况下，我们选择一个合适的替换变量，使得原积分化为对新变量的简单积分，然后再将变量改回原来的形式，即可得到原积分的解。
当积分中出现\sqrt{1-x^2}这样的式子时，我们可以选择x=\sin t作为替换变量，从而将原积分化为对t的简单积分。
3. 分部积分法分部积分法是求解不定积分中的另一种常用方法。
它通过对积分中的乘积部分进行分解，并利用分部积分公式，将原积分化为两个函数的积分形式。
分部积分公式通常写为\int u dv = uv - \int v du，通过不断地应用这个公式，我们可以将原积分化为一系列简单的积分形式，从而求得最终的解。
分部积分法在处理一些复杂的积分形式时非常有效，可以将原积分化为易于求解的形式。
4. 三角代换法三角代换法也是求解不定积分的一种常用方法。
它通过引入三角函数，将原积分中的变量进行替换，从而将原积分化为对三角函数的积分形式。
三角代换法通常适用于一些含有平方根的积分形式，通过选取适当的三角函数代换，可以将原积分化为对三角函数的积分形式，进而得到解答。
高等数学常用不定积分公式
高等数学常用不定积分公式一、基本不定积分公式：1. 常数函数的不定积分：∫k dx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1，C为任意常数。
3. 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C，其中C为任意常数。
4. 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为任意常数。
5.三角函数的不定积分：a) ∫sinx dx = -cosx + C，其中C为任意常数。
b) ∫cosx dx = sinx + C，其中C为任意常数。
c) ∫sec^2(x) dx = tanx + C，其中C为任意常数。
d) ∫cosec^2(x) dx = -cotx + C，其中C为任意常数。
e) ∫sec(x)tan(x) dx = secx + C，其中C为任意常数。
f) ∫cosec(x)cot(x) dx = -cosecx + C，其中C为任意常数。
6.反三角函数的不定积分：a) ∫1/√(1-x^2) dx = arcsinx + C，其中C为任意常数。
b) ∫1/√(1+x^2) dx = arctanx + C，其中C为任意常数。
c) ∫1/(x^2+1) dx = arctanx + C，其中C为任意常数。
二、常用不定积分公式：1. ∫sin^2x dx = (1/2)(x - sinx cosx) + C，其中C为任意常数。
2. ∫cos^2x dx = (1/2)(x + sinx cosx) + C，其中C为任意常数。
3. ∫tan^2x dx = tanx - x + C，其中C为任意常数。
4. ∫cot^2x dx = -cotx - x + C，其中C为任意常数。
5. ∫sec^3(x) dx = (1/2)(secx tanx + ln，secx + tanx，) + C，其中C为任意常数。
不定积分求解方法换元法
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1 d u
a
1
u
2
1arctaunC a
1arctax)n(C
a
a
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
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例3. （P223） 求
dx (a0). a2x2
解:
dx
dx
d (ax)
a2 x2 a 1 (ax)2
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F (u )f(u ),u(x)可导, 则有
dF[(x)]f[(x) ](x)d x
f[(x) ](x)d x F[(x) ]CF(u)Cu(x) f(u)duu (x)
f[(x) ](x)dx 第一类换元法 f (u)du 第二类换元法
d(xxaa)
1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
2a
2a xa
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常用的几种配元形式:
(1)f(axb)dx1a f(axb) d(axb)
(2 ) f(xn)xn 1d x1 f (xn) d x n n
万 能
(3) f(xn)1dx1 xn
f
du u2 a2
lnuu2a2C 1
lnxx2a2C 1
ln a2 x x2a2
C1
lnx x2a2 C(C C 1 2 la n )
x a 时，
dx x2 a2
lnx x2a2C
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不定积分求解方法
不定积分求解方法不定积分是高等数学中的重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分的求解方法有很多种，下面将介绍其中的几种常见方法。
一、换元法换元法是不定积分中最常用的方法之一。
它的基本思想是将被积函数中的自变量用一个新的变量来代替，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
具体来说，设被积函数为f(x)，将x用一个新的变量u来代替，即x=g(u)，则有：∫f(x)dx=∫f(g(u))g'(u)du其中g'(u)表示g(u)的导数。
换元法的关键在于选择合适的代换变量，使得被积函数能够被简化或者消去。
二、分部积分法分部积分法是另一种常用的不定积分求解方法。
它的基本思想是将被积函数分解成两个函数的乘积，然后利用分部积分公式将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
具体来说，设被积函数为f(x)g(x)，则有：∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx-∫f'(x)∫g(x)dx dx其中f'(x)表示f(x)的导数。
分部积分法的关键在于选择合适的f(x)和g(x)，使得被积函数能够被简化或者消去。
三、三角代换法三角代换法是一种特殊的换元法，它适用于被积函数中含有三角函数的情况。
具体来说，设被积函数为f(x)，将x用一个新的变量t来代替，即x=a tan t，则有：∫f(x)dx=∫f(a tan t) a sec^2 t dt其中sec t=1/cos t。
三角代换法的关键在于选择合适的三角函数，使得被积函数能够被简化或者消去。
四、分式分解法分式分解法适用于被积函数为有理函数的情况。
具体来说，将被积函数表示为若干个分式的和的形式，然后利用部分分式分解公式将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
分式分解法的关键在于选择合适的分式分解方式，使得被积函数能够被简化或者消去。
以上是不定积分求解的几种常见方法，当然还有其他的方法，如换元积分法、对数代换法等。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法，以便更快地求解不定积分。
高等数学 第五章 第2节 换元积分法(中央财经大学)
f (u ) ∈ C ( I ), 又 u = ϕ ( x) 在区间 J 上可微 , 且 ϕ ( J ) ⊂ I , 则在区间 J 上有
∫ f (ϕ (x))ϕ ′( x) d x = ∫ f (u) d u
= F (u ) + C = F (ϕ ( x)) + C. 该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
∫
f ( x) d x = F (ϕ −1 ( x)) + C ,
其中， −1 ( x) 是 ϕ (t ) 的反函数； 是积分常数。 ϕ C 该定理描述的是不定积分第二换元法。
例 解
计算
∫
dx x2 + a2
(a > 0).
此题可以用 第一换元法 计算。
现在采用第二换元法计算。
2
π π 令 x = a tan t，则 d x = a sec t d t， － < t < ，故 2 2
(u = cos x) ;
(8)
(u = sin x) ;
(9) (10)
(u = tan x) ; (u = tan x) ;
∫
例 解
计算
∫
sin 10 x cos 3 x d x.
令 u = sin x, 则 d u = cos x d x, 于是 sin 10 x cos3 x d x = ∫ u 10 (1 − u 2 ) d u = ∫ (u10 − u 12 ) d u 1 11 1 13 = u − u +C 11 13 1 11 1 = sin x − sin 13 x + C . 11 13
(u = sin x) ; (u = cos x) ; (u = tan x) ; (u = sin x) ; (u = cos x) ; (u = tan x) ;
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全在高等数学中，积分是一个非常重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
积分公式则是解决积分问题的有力工具。
下面，我们就来详细介绍一下高等数学中的积分公式。
一、不定积分的基本公式1、常数的积分：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数，C 为积分常数）2、幂函数的积分：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）3、指数函数的积分：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C∫a^x dx ＝（1 ／ lna)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）4、对数函数的积分：∫lnx dx ＝ xlnx x ＋ C∫log_a x dx ＝（1 ／ lna)x(log_a x 1) ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）二、三角函数的积分公式1、∫sinx dx ＝ cosx ＋ C2、∫cosx dx ＝ sinx ＋ C3、∫tanx dx ＝ ln|cosx| ＋ C4、∫cotx dx ＝ ln|sinx| ＋ C5、∫secx dx＝ ln|secx ＋ tanx| ＋ C6、∫cscx dx ＝ ln|cscx ＋ cotx| ＋ C三、反三角函数的积分公式1、∫arcsinx dx ＝ xarcsinx ＋√（1 x^2) ＋ C2、∫arccosx dx ＝xarccosx √（1 x^2) ＋ C3、∫arctanx dx ＝ xarctanx （1 ／ 2)ln(1 ＋ x^2) ＋ C4、∫arccotx dx ＝ xarccotx ＋（1 ／ 2)ln(1 ＋ x^2) ＋ C四、有理函数的积分有理函数是指两个多项式的商。
对于形如P(x) ／Q(x) 的有理函数，其中 P(x) 和 Q(x) 都是多项式，可以通过多项式的除法将其化为一个多项式和一个真分式之和。
真分式可以通过部分分式分解的方法化为较简单的分式，然后再进行积分。
不定积分换元法公式
不定积分换元法公式不定积分换元法是求解不定积分中常用的一种方法，它通过引入一个新的变量替换原积分中的变量，从而将原积分转化为新的不定积分，进而更容易求解。
不定积分换元法公式主要包括两种形式：第一类换元法和第二类换元法。
接下来，我将详细介绍这两种形式的公式及其应用。
一、第一类换元法：第一类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的变量，一般选择不定积分的变量作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则原不定积分可表示为∫f(x)dx = ∫h(u)du，其中h(u)为f(x)与g(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫h(u)du = ∫h(g(x))g'(x)dx二、第二类换元法：第二类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的一部分表达式，一般选择积分中的一部分表达式作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则将表达式f(x)dx进行替换，可得∫f(x)dx =∫g'(x)h(u)du，其中g'(x)为新变量u关于x的导数，h(u)为f(x)dx与g'(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫g'(x)h(u)du通过以上两种换元法，可以将原不定积分转化为新的不定积分，然后利用新的不定积分公式及基本积分公式进行求解。
下面举例说明这两种换元法的应用。
（1）第一类换元法的应用：求解∫(2x + 1)²dx。
设u = 2x + 1，则du/dx = 2将du/dx代入原式，并将原积分中的x用u表示∫(2x + 1)²dx = ∫u² * (1/2)du = (1/2) * ∫u²du = (1/2) * u³/3 + C = (1/6)(2x + 1)³ + C。
不定积分的四种计算方法
不定积分的四种计算方法
不定积分是高等数学中的一个重要概念，也是各类数学问题求解
的基础。
对于不定积分的计算方法，我们可以分为四种：代入法、换
元法、分部积分法和三角函数代换法。
代入法是最简单的一种方法，通过直接代入函数的原函数公式，
直接将被积函数带入，再进行简单的运算即可求出不定积分。
这种方
法适用于简单的函数，例如幂函数和指数函数。
换元法则是将原函数中的变量进行换元，将原来的自变量用新变
量来表示，再进行简单的变量代换和运算。
这种方法适用于含有较为
复杂的函数组合的问题。
分部积分法是将带积函数进行分解，分成两个函数相乘，再利用
积分的逆运算，将其转化为简单的不定积分式。
这种方法适用于含有
两个难以解决的函数的积分问题。
三角函数代换法是将复杂的三角函数替换成简单的三角函数来求
解不定积分，例如将sin(x)或cos(x)替换成tan(x/2)，或者将sec(x)替换为tan(x/2)+C。
这种方法适用于含有三角函数较为复杂的积分问题。
上述四种方法均可互相结合，有时需要多种方法的协作才能求解
出复杂的不定积分问题。
通过选择合适的方法，我们可以更加高效而
准确地解决各类数学问题。
换元法不定积分的求解技巧
换元法不定积分的求解技巧换元法是解决不定积分问题中常用的一种技巧，通过引入新的变量来替换原函数中的部分表达式，从而简化积分难度。
下面将介绍换元法的求解技巧。
1. 基本思想换元法的基本思想是，将被积函数中的某一部分进行代换，使得代换后的函数形式更容易积分。
通过适当的选择代换变量和代换式，可以将原积分转化为一个更简单的形式进行求解。
2. 代换变量的选择在选择代换变量时，一般需要考虑两个因素：一是代换后的函数形式是否更容易求导，二是代换后的函数表达式是否更简单。
常用的代换变量包括：(1) 幂函数的代换：如果被积函数中包含类似于x^n 的幂函数，则可以尝试选择 u = x^n 或 u = x^m (其中 m 是n 的互补数)作为代换变量，从而将幂函数转化为指数函数，或者将多项式转化为有理函数。
(2) 三角函数的代换：如果被积函数中包含三角函数，则可以尝试使用三角函数的和差公式或倍角公式进行代换，从而将三角函数转化为代换变量的代数式。
(3) 指数函数的代换：如果被积函数中包含指数函数，则可以尝试选择u = f(x) 作为代换变量，其中f(x) 是指数函数，从而将指数函数转化为代换变量的幂函数。
(4) 对数函数的代换：如果被积函数中包含对数函数，则可以尝试选择u = f(x) 作为代换变量，其中f(x) 是对数函数，从而将对数函数转化为代换变量的指数函数。
3. 代换式的确定在选择代换式时，一般需要根据代换变量的选择来确定。
一般情况下，代换式可以通过对代换变量进行求导得到。
例如，如果选择u = x^n 作为代换变量，则代换式可以通过求导得到 du = n*x^(n-1)dx。
4. 变限积分的处理在进行换元法求解不定积分时，需要注意变限积分的处理。
换元代换后，不仅积分变量发生了变化，变限也需要根据换元式进行相应的变换。
例如，如果原积分是∫f(x)dx，通过代换 u = g(x) 后，积分变为∫F(u)du。
此时，因为积分变量由x 变为u，变限也需要由 x 的范围转化为 u 的范围，即将原来的 a 到 b 的范围转化为 g(a) 到 g(b) 的范围。
高等数学不定积分总结
第5章 不定积分一、不定积分的概念和性质若()()F x f x '=，则()d ()f x x F x C =+⎰， C 为积分常数不可丢！性质1()d ()f x x f x '⎡⎤=⎣⎦⎰或 d ()d ()d f x x f x x =⎰或()d ()d f x x f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰ 性质2()d ()F x x F x C '=+⎰或d ()()F x F x C =+⎰性质3[()()]d f x g x x αβ±⎰()d ()d f x x g x x αβ=±⎰⎰或[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x +=+⎰⎰⎰；()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰.二、基本积分公式或直接积分法基本积分公式d k x =⎰k x C +d x x μ=⎰111x C μμ+++( μ为常数且1μ≠-)1d x x =⎰ln x C +*e d xx =⎰e xC + d xa x =⎰ln xa C a +cos d x x =⎰sin x C + sin d x x =⎰cos x C -+2d cos x x =⎰2sec d x x =⎰tan x C + 2d sin x x =⎰2csc d x x =⎰cot x C -+sec tan d x x x =⎰sec x C + csc cot d x x x =⎰csc x C -+2d 1xx =+⎰arctan x C +（arccot x C -+）=⎰arcsin x C+（arccos x C -+）直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。
代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。
三、换元积分法：1.第一类换元法（凑微分法）()()()d (())()d (())d ()()d [()]u x u x g x x f x x x f x x f u u F u C ϕϕϕϕϕϕ=='====+⎰⎰⎰⎰.【注 (1)常见凑微分：2111(), (), 2), (ln ||)2dx d ax c xdx d x c d c dx d x c a x =+=+==+21(tan )(cot (arcsin )(cos )1+dx d arc x d arc x d x d arc x x ==-==-(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况： 若被积函数为一个函数，比如：()22d 1d x xe x ex =⋅⎰⎰，若被积函数多于两个，比如：4sin cos d 1sin x xx x +⎰，要分成两类；(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成()x ϕ'； (4)若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；2.第二类换元法[]11()()()()d (())()d (())()d ()x t t x t x f x xf t t t f t t t G t C ϕϕϕϕϕϕϕ--===⎡⎤''===+⎣⎦⎰⎰⎰`常用代换类型:(1) 对被积函数直接去根号; (2) 到代换1x t=;(3) 三角代换去根号:tan x a t →=sec x a t =、sin (cos )x a t or x a t ==(f x x ⎰，t =(f x x ⎰，sec x a t =(f x x ⎰，sin x a t = (f x x ⎰，tan x a t =()d x f a x ⎰，x t a =(f x x ⎰，t =三、分部积分法：d d uv x u v '==⎰⎰d d uv v u uv u v x '-=-⎰⎰. 注 (1)u 的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u ，后面的为v ';^(2)d u v x '⎰要比d uv x '⎰容易计算；(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：arcsin 1x dx ⋅⎰，⎰（t =；(4)多次使用分部积分法：uu u v vv'''→'→⎰求导积分\。
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（使用了三角函数恒等变形）
解（二）
cscxdx
1 dx sinx
ssiinn2xxdx
1
1co2sxd(cox)s u cx os
11u2 du
1 1u2
1( 1 1 ) 21u 1u
1 2(1 1udu 1 1ud)u12l
n1uC 1u
1ln1coxsC. 2 1coxs
类似地可推出 se xc d ln s xe x t ca x n C .
1 sin2
xcos12
xdx
(csc 2 tan x
x sec2x)dx cot x C
csc2xsec2xdx
cotxtanxC
◆在括号中填入适当的函数，使等式成立
(1) d(5x )5dx
(2) d( l n x )1dx x
1 (3) d(arctanx )1x2dx
(4 ) d (1 sin 2 x )co 2 xsdx
2
3.2、换元积分法
我们有 sinxdxcosxC公式
sin5x dx该复合函数不能直接积分
形式不一致
被积函数 sin5x 不能变，变积分变量 dx凑成d(5x)形式
dx 1 d(5x)
si5 nxdx1 5s5 i5 nxd (5x) 令u5x 151sicnuods5uxC15cosuC
5
1
解 设曲线方程为yf(x), 根据题意知 dy 2 x,
dx
2xd x x 2C , f(x)x2C,
由曲线通过点（2，5）代入上式，得 c1,
所求曲线方程为 yx21.
函数f (x) 的原函数的图形称为f (x) 的积分曲线
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
.
◆基本积分表 P94
1
( 7 )
3.2 不定积分的计算
◆不定积分的计算方法 直接积分法、换元积分法、分部积分法 第一类换元积分法 第二类换元积分法
一、直接积分法
例题：
dx
(1 )
(2) x2 xdx 不能漏写
5
积分常数
x3
x 3 dx x 31 C 3 1
1 2x2
C
x 2dx
5 1
x2 C
5 2
1
2
7
x2
sexd cx csxc(2)dx
l n csxc( )coxt( )C
2
2
lns exctaxnC 由上题结果可知
补充公示
( 1 )5 sx e d c ls n xx e tc a x n C ;
( 1 )6 cx s d c lc n xx s c cx o C ; t
(1)7 a2 1x2d x1 aarca xt aC ;n
C
7
(3)、2xexdx
原 式(2e)xdx(2e)x ln2(e)
C
2xex C ln21
3
15
(5) [
3sinx]dx
2(1x2) 31x2 x
31 1 1
1
21 x2d x 31 x2d x 5 xd x 3 sinx d x
3 arctan x 1 arcsin x
2
3
5 ln | x |3cosx C
u3
sin3 x
C C
3
3
一般地，要求 g(x)dx积分， 又不能直接利用公式
若被积表达式能凑成如下形式：
g( x)dx f(x)(x)dx f (x)d(x)
令u(x)
积分公式
即
f (u)du F ( u ) C
还原
F(x)C
该方法利用复合函数微分的逆过程
因此，这种计算不定积分的方法又称为凑微分法，
(sin 2xcos32xsin12x)dx
1cosx3tanxcotxC 2
[x2 (2)x 2]dx 3x 1x3 1 (2)x2ln|x|C 3 ln2ln33
x4
(6)
dx 1 x2
x4 11 dx
1 x2
(7) tan2 xdx
(sec2 x1)dx
(x2 1)(x2 1)1
dx 1x2
tanxd(taxn)
udu
u2 2
C
tan2 x C 2
1 dxd(arcsxi)n
1x2
dx
1
(arcsinx)2 1x2 u 2 du
uarcsinx
1 C arcsin x
x dx x2 1
解： xdx1d(x21)
xcosx(2)dx
解 ： xdx1d(x2) 2
2
原 式 1
t1(x)
F(t)C F[ 1(x)]C
注: 第二换元法中用来代换的 (t )
可导且存在反函数 t 1(x)
例求
a2x2d(a x0).
解
xasitn , t 22
d x a cto dst
a 2 x 2 a 2 a 2 s2 t i n a ctos
换元后
得
a 2 x 2 d x a cto a csto dst
1
原 式 1 coxs2)(d(x2)
d(x21)
2
2 x21
1si nx(2)C
1lnx2 1C
2
2
例 求 co3xsco2xsd. x
解 cA o cs B o 1 s [cA o B )s c (o A B s)(], 2
co 3 xc so 2 x s1(cxo cso 5 x )s,
ax
a2 co2tsdta2 1cos2tdt
a2 ta2sin2t C
2
2
4
t
a2 x2
t arcsinx
a2 a2 t sintcotsC
a 22
a2arcxsi1nx a2x2C
2 a2
求
1 d(xa0). x2a2
解
xata t nd x ase 2tc dt t
1 x2
a2
dx
第三章 不定积分 不定积分的概念与性质 不定积分的计算
3.1 不定积分的概念与性质
一、原函数 二 原函数与不定积分的概念 三 不定积分的性质 四 基本积分表
一、原函数的概念
引例：已知物体的运动方程为 s s(t ),则物体
运动的即时速度为 v(t)s(t);如果已知物体的
速度方程为 v v(t) ,则物体运动的位移如何计
一个原函数。
例如:因为 sinxcosx xR
所以 s in x 是 cos x 在 , 内的一个原函数.
问题： (1)原函数是否唯一？
(2)若不唯一它们之间有什么关系?
2、原函数的性质
1）如果有 F(x)f(x)，则 F(x)C f(x)
2）如果 F(x)G (x)f(x，)则 F(x)G (x)C （ 常 数 。）
1
x2 dx
arctanxC arccotxC
( ( (
1) 2 ) 3)
(
0 k x
d d
x x d
C
kxC x 1 x1
1
1)
C
( ( (
8 9 1
) ) 0
)
s
1 in co
1 x
s
x d x
2
x d
x
d x arcsinxC arccosxC
cosxC
sinxC
(4
)
1 x
d
x
ln x C
as1etcase2ctdt
2
,
2
sectdtlnsetctatnC
lnax x2aa2C. ln x x2a2C1
x2a2 x t a
其中 C 1Cln a
例求
1 d(xa0). x2a2
解 令x a se td c a x ste ta tc d t n t 0,
x21a2dxasaetctatntantdt 2
co2sxsin2
d x
x
1 dx4csc22xdx cos2xsin2x
412csc22xd2x
u 2x
2 c s c 2 u d u 2 c o tu C 2 c o t2 x C
sin2xcoxsdx coxsdxd(six)n
usinx
原式 si2n x(dsx i)n u2du
(1)8 1 d xarcxsiC n ;
a2x2
a
2、第二换元法
凑微分法是通过中间变量 u(x)将积分
f[(x)]'(x)d化x成 f(u)du,下面要介绍
的换元积分法是通过变量代换 x(t)将积分
化为积分 f[(t)]'(t)dt
x(t)
f ( x ) d x f [( t ) ] ( t ) dt
结论：如果函数 f ( x ) 在区间 I 内有原函数F ( x ) ，则 f ( x )
有无穷多个原函数，且所有的原函数可用式子F(x) C 表示。
◆原函数存在的充分条件
如果函数f(x)在区间I内连续，则函数f(x)在该区间内 一定有原函数。
二、不定积分的概念
函数f(x)在区间I内的所有的原函数构成的集合，称
c3 o x cs2 o x2 s d 1 2 x (cx o cs 5 o x )d s
1six n1si5nxC. 2 10
dx
a2 x2
原式
a
dx 1( x )2
a
d(x)
a 1 ( x )2
a
arcsixnC a
dx
a2 x2
原式 a2dxx2