寒假作业4答案

H-,2]【答案】 24. ______ 已知直线I : x — y + 4 = 0与圆C:（X — 1）2+ （y — 1）2= 2,则圆C 上各点到I 距离的最小值为 ___________________ ，最大值为 . 【答案】近3 J 25. ____________________________________________________ 在平面直角坐标系 xOy 中，设过原点的直线 l 与圆C:（X — 3）2+ （y — 1）2= 4交于M N 两点, 若|MN| >2 船, 则直线l 的斜率k 的取值范围为 ____________________________________________________ .3【答案】[0 ,423，圆心角为一兀的扇形，则此圆锥的体积3【答案】座兀37.已知直线 m , I 和平面a , P,且丨丄a , m u P ，给出下列四个命题：①a //P =丨丄m ②a 丄P =l//m ③l//m =a 丄P ④丨丄m =a //P其中真命题的有 _________ （请填写全部正确命题的序号） 【答案】①③ 8 .有一段演绎推理：大前提：整数是自然数； 小前提：-3是整数； 结论：-3是自然数.这个推理显然错误，则错误的原因是 论”中择一填写）.【答案】大前提29.双曲线X 2-占=1（b >0）的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b =_；此双曲线的离心率b江苏省通州高级中学2014-2015学年度第一学期高二数学寒假作业四命题：高二数学备课组审核：严东来【答案】10.方程一.填空题: 2； 75 . 2 2 +-^ =1表示椭圆，贝y k 的取值范围是 k-3 k+3k > 31. 直线3x +4y -5 =0到直线3x +4y +15=0的距离是 【答案】4 2. 把命题“玉0忘R,X 0 -2x 0 +1 <0 ”的否定写在横线上 【答案】V x € R,X 2—2x +1 3 0 r2x + y-4<0 必>03 .若实数x 、y满足不等式组l y -0【答案】 11. 设抛物线y2=8x ，过焦点F 的直线交抛物线于 A,B 两点，线段贝片AB = _________ . 【答案】812. 若圆（x-2a ）2+ （y-a-3）2 = 4上总存在两个点到原点的距离为AB 的中点的横坐标为2 ,1，则实数a 的取值范围是，贝y x+2的取值范围为< 6 厂才0I V 5丿13斗在平面直角坐标系中，设直线l : kx — y + J 2 = 0与圆C ： x 2+ y 2= 4相交于 A B 两点,【答案】6 .已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为错误.（从“大前提”、“小前提”、“结【答案订0」L 2 ON【答案】OM =OA+OB ，若点M 在圆C 上，则实数k = ________________ .a b圆O 的两条切线， 2 .2 亠+b22 2 2+ y =b ,过椭圆上任一与顶点不重合的点P引切点分别为A,B ,直线AB与x轴,y轴分别交于点M,N ,则OM2ab2二•解答题：15.设命题P: (4x —3)2W 1;命题q: X2—(2a + 1)x + a(a + 1) < 0,若「P是「q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.1"2.试题解析：.解：设A ={x I (4x —3)2< 1}, 2B ={x |x —(2a+1)x + a(a+1)<0},= 1.试题解析：(1)连ACi 交AC 于点0 , T F 为AC 中点,E 为 BB 1 中点，二 BE//CG 且BE=2C G ,二BE//OF 且BE=OF ，二四边形BEOF 是平行四边形， 二 BF //OE ，又 BF 平面 A 1EC , OE U 平面 A j EC , (2)由(1 )知 BF //OE ，丁 AB =CB , F 为 AC 中点， 分又因为AA 1丄底面ABC ，而BF U 底面ABC ，所以AA,丄BC , 则由BF / /OE ，得OE 丄AA ，而AA 1, AC 匚平面ACC 1A 1，且从门AC =A , 所以OE 丄面ACC 1A 1 , 12 分又OE U 平面A 1 EC ，所以平面 A EC 丄平面ACC 1A 1 .14分17 .已知长方体 ABCD -A ,B 1C 1D 1，点O 为B 1D 1的中点.AB(2)若在线段BB 1上存在点E 得AC 丄AE ,连结AB 交AE 于点M'/ BC 丄面 ABB 1A 且 AE U 面 ABB j A , /. BC 丄 AE又 ACD BC =C 且 AC,BCU 面 ABC二 AE 丄面 A 1BCf A B U 面 A BC ”AE 丄 A 1B10在AAMB 和也ABE 中有：•••N ABM =N BEA 同理： /. RQABEL R ^A 1 AB易知 A={x|-<x <1},B= {x|a <x <a+1}. 6 分由「P 是F 的必要不充分条件，从而 P 是q 的充分不必要条件，即 A 匸B ，「 1 l a <丄1 <2 = 0 乞a 兰一(10 分) [a +131 2故所求实数a 的取值范围是〔0-1 12 分L ‘2」 16.如图，在正三棱柱 ABC -A,B 1C 1中，E , F 分别为BB 1, AC 的中点. (1) 求证：BF//平面AEC ；(2) 求证：平面 A i EC 丄平面ACC i A .(1) 求证：ABM 面 A 1O 1D ;2 BE (2) 若AB = —AA ，试问在线段BB 1 上是否存在点E 使得AC 丄AE ,若存在求出 ——，若不3存在，说明理由. 试题解析：(1)证明：连结AD 1交AD 于点G ，所以G 为AD 1的中点，连结 OGT 在i AB 1 D 1中，O 1为B 1D 1的中点”".O 1G // AB 1 4 分 T QGu 面 AO 1D 且面 AO 1D”".AB 1 // 面 A 1O 1D7 分D iC iBB 1二 OF//CC i 且0F = —CG ,24分二 BF //平面 A j EC . 7 分 所以BF 丄AC ，所以OE 丄AC ,9分NBAM + NABM =90°,NBAM + N BEA =90° NBAE =NAA 1B12 分A iC4BE AB ■ ---- - ----- …AB _ AA 1 V AB =三 AA 3 2 4BEBE = — AB = — BB,即在线段BB 1上存在点E 有3 9 BB 1 -14分91-2••- k pC = —1，即 ------ =—1 , • a = 2 .C / a 、 0 - (二)(2) 由(1)知圆 C 的方程为(x + 1)2+(y-2)2= 4，•圆心 C(—1,2)，半径 r = 2, 又直线AB 的方程是x-y + 1 = 0,•••圆心C 到直线AB 的距离d j =匕二2LU = , | AB 卜2j^ = 2J 2 .J 12 +12当EC 丄AB 时，△ ABE 面积最大，S ma x=Jx 对2咒(2 + J 2) = 2 +对2 .2(3) ••• MN 丄 CN , • |MN |2=|MC |2-4 , 又 |MN |=|MP |,.・.| MP |2=|MC |2-4 .设 M (x,y)，则有 X 2+ (y —1)2= (x + 1)2+ (y — 2)2— 4，整理得 y= x ，即点 M 在 y=x 上, |o -1|_72 ••• I MN I 的最小值即为I MP I 的最小值d 2 -n,都能使m 整除f(n)，猜测出最大的 18. 已知f(n)=(2n+7)3 +9,存在自然数 m,使得对任意正整数 m 的值。

并用数学归纳法证明你的猜测是正确的。

【解析】本试题主要考查了归纳猜想的运用，以及数学归纳法的证明。

••• f(1)=36,f(2)=108=3 X 36,f(3)=360=10 X 36 ••• f(1),f(2),f(3) 能被36整除，猜想f(n)能被36整除 然后证明n=1,2时，由上得证，设 n=k(k > 2)时，k f(k)=(2k+7) • 3 +9 能被 36 整除，则 n=k+1 时， k+1 kf(k+1) — f(k)=(2k+9) • 3 — (2k+7) • 3 =(6k+27) k k — 2=(4k+20) • 3 =36(k+5) • 3 (k >2) 证明得到。

36 ••• f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 证明 n=1,2时，由上得证，设 n=k(k > 2)时，f(k)=(2k+7) • 3k +9 能被 36 整除，则 n=k+1 时， f(k+1) — f(k)=(2k+9) • 3k+1 — (2k+7) • 3k =(6k+27) • 3k — (2k+7) • 3k k k — 2 _=(4k+20) • 3 =36(k+5) • 3 (k > 2) f(k+1)能被 36 整除 •/ f(1)不能被大于36的数整除，.••所求最大的 m 值等于36 19. 已知圆C : X 2 +y 2+ax —4y +1 =0 (^ R),过定点P(0,1)作斜率为1的直线交圆C 于A 、B 两点，P为线段AB 的中点. (1) 求a 的值； (2) 设E 为圆C 上异于A 、B 的一点， (3) 从圆外一点 M 向圆C 引一条切线，并求| MN |取最小值时点 M 的坐标-a试题解析：(1)由题知圆心C (-—,2),2• 3k — (2k+7) • 3k解析 •/ f(1)=36,f(2)=108=3 X 36,f(3)=360=10 X 求^ ABE 面积的最大值；切点为 N ，且有| MN |=| MP | ,求| MN |的最小值,又P(0,1)为线段AB 的中点，••• CP 丄AB ,lx-y = 0,由Jt 22,x +(y-1)丨_ 1!^2, 1 1 1^2-梟.2 2y 2 七=1(a>b>0 , a 、 b 2分别为C 0的左、右顶点，C 1与C 0相交于A 、B 、C D 四点.=(纽解辱•••满足条件的M 20.如图，椭圆点坐标为 b 为常数)，动圆C i ：x2 2 2+ y = t 1 , b<t 1<a.点 A 1、A 求直线 设动圆(1) ⑵ 与矩形A 'AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程； 2 2 2G : X + y = t 2 与 O 相交于 A ’，B ’，C , D 四点,B' C D'的面积相等，证明：t 12+t|为定值. —y 1)，又知 A( — a , 0),【解析】(1)解：设A(X 1, y” , B(X 1, * 其中 b<t 2<a , t* t 2.若矩形 ABCDA 2(a , (x + a)，①直线AB 的方程为y =——沧 0),则直线AA 的方程为y =X 汁a_ 2由①②得y 2^(X 2— a 2).③由点A(X 1, y 1)在椭圆G 上，故 电x 1 - aa(x — a).② 为一 a 2 2b 2= 1./ 2 、L X i 1— 2 I a丿⑵证明：设A(X 2, y 2),由矩形ABCD 与矩形A ' 从而y l = b 22 2，代入③得 笃-占=1(X< — a , y<0).a b故x i 2y' ^x f y l .因为点A A '均在椭圆上，所以B 'CD 的面积相等，得 4|x 1||y 1| = 4|x 2||y 2| , b 2/卓〕I a 丿t ； +t ； = a 2+ b 2为定值 =b 2 2 X ；、 =bX 2 i 1 -一22V a 丿 .由t 1丰t 2，知X 1 丰X 2，所以x ； +x 2= a ,从而y f+y ； = b ，因此 21.如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，B 1B 丄平面 AB 1C 1 , AC=CB=CC 1=2，乙ACB=90r , D , E 分别是A 1B 1 , CG 的中点. 又GW 平面ABE , EM U 平面 A 1BE ,所以G D //平面A| BE .4 分证明：(n )因为ACF -GB ，且D 是AB 1的中点， 所以GD 丄ABi 因为BB 1丄平面 AiBG 所以BB I 丄GD(I)求证：GD //平面ABE ；(n)求证：平面 ABE 丄平面AA ,B,B ； (川)求直线BG 与平面ABE 所成角的正弦值. 试题解析：证明：(I) 于点M ，可知M 为DF 中点,所以GD 丄平面A ABB .又C 1D // EM ，所以EM 丄平面A^B 1B . 又EM U 平面ABE ,所以平面A| BE 丄平面AA| Bl B . 9分解：(川)如图建立空间直角坐标系C-xyz ,则 B(0,2,0) C 1(0,0, 2) |E(0,0,1) , A(2,0, 2)当 ， TTBC 1 = (0-2,2) EA = (2,0,1) EB = (0, 2-1)设平面ABE 的法向量为n =(X, y’z).母X 0, 则 lEBF = 0- p x + z = 0, 所以2y-z" 令x = 1.则二(hT,—2).) 设向量n 与BG 的夹角为&，则co 卄禺1 n力BC 1 i n所以直线BC 1与平面A, BE 所成角的正弦值为卡. 考点：1线线平行、线面平行；2线线垂直、线面垂直;14 3线面角。