应用光学(第二章)汇总
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《应用光学》第2章课后答案全文
12. 由两个透镜组成的一个倒像系统，设第一组透镜的焦距 为f1′，第二组透镜的焦距为f2′，物平面位于第一组透镜 的物方焦面上，求该倒像系统的垂轴放大率。
解:
1
1
1
1
F2
1
1
第一组透镜
第二组透镜
1
第二组透镜
13. 由两个同心的反射球面(二球面球心重合)构成的光学系 统，按照光线反射的顺序第一个反射球面是凹的，第二个 反射球面是凸的，要求系统的像方焦点恰好位于第一个反 射球面的顶点，求两个球面的半径r1，r2和二者之间的间隔 d之间的关系。
B′
面,如图示.
l ′ = 2f′
4 试用作图法对位于空气中的正透镜组( f 0 )分别求 下列不同物距的像平面位置.
l = −f′
B
……
F
F′
A
H H′
像平面在像 空间无限远 处.
l′=∞
4 试用作图法对位于空气中的正透镜组( f 0 )分别求 下列不同物距的像平面位置.
l f' 2
B′
r1 无穷远物点
r2
r1/2
最终像点
11 2
l2 l2 r2
l2
l2
2 r2
(l2l2 )
14. 假定显微镜物镜由相隔20mm的两个薄透镜组构成，物平 面和像平面之间的距离为180mm，放大率β=-10×，要求近 轴光线通过二透镜组时的偏角Δu1和Δu2相等，求二透镜 组的焦距。
y n1u1 u1 10
l = −f′
B
……
F′
F
H H′
A
像平面在像 空间无限远 处.
5 试用作图法对位于空气中的负透镜组( f 0 )分别求 下列不同物距的像平面位置.
物理光学与应用光学第二章1精品教育文档
A
E
E’
h
U’
F’
AE 是一条平行于光轴的入射光线 它通过理想光学系统后，出射光线E’F ’交光轴 于F ’
※ F ’ 就是无限远轴上物点的像点，称像方焦点
A
E
Q ’ E’
h
H’
U’
F’
※ 过F’点作垂直于光轴的平面，称为像方焦平面
它是无限远处垂直于光轴的物平面的共轭像平面
将AE延长与出射光线E’F’的反向延长线交于Q’
B
F
－U
h
※ 如果轴上某一点F的共轭像点在无限远处，即
由F发出的光线经光组后与光轴平行，则 F 称为系 统的物方焦点。
Q E’ E
F
－U
H
-f
B
h
E’B的反向延长线与FE交于Q，
过Q点做与光轴垂直的平面，与光轴交于 H点。
※ 则QH平面称为物方主平面，H点称为物方主点。 ※从物方主点H 到物方焦点F 之间的距离称为物方 焦距，用 f 表示
l’ — 像方主点H’为原点的像距，称为主像距。方向 与光线方向一致为正。反之为负（图中+）
一、牛顿公式
B
Q
Q'
y
A
F
H H'
F'
A'
R R'
-x
-f
f'
-y' B' x'
-l
l'
由相似三角形BAF和 FHR可得
由相似三角形Q’H’F’和 F’A’B’
y f y x
y x
1、可供选择的典型光线和可供利用的性质有：
（1）平行于光轴入射的光线，经过系统后过像方 焦点。
应用光学第2章
物处球心时 , , =?
§2.3 共球面系统
A1 y1 B1
n1
u1
u1 '
n2 n1 'u u2 u1 ' 2 n2
A1 '(A2) O2 y y1 ' (B )2 2 l2 B ' l1 ' 1
u ' n3 n2 ' 2 n3
r2
C1 O1
r1
A2 ' y2 ' B2 '
1. 线量符号：
① 沿轴线段：以球面顶点O为原点，方向与光线行进方向 相同为正，相反为负；
② 垂轴线段：以光轴为界，在光轴之上为正，在光轴之下
为负。 2.角度符号： （一律以锐角来衡量；顺时针为正，逆时针为负） ① 光线与光轴夹角：光轴转向光线； ② 光线与法线夹角：光线转向法线；
③ 光轴与法线夹角：光轴转向法线。
3、单个折射球面近轴光的光路计算公式：
近轴光线(Paraxial ray)：与光轴很靠近的光线，即-U很小。
sin(U ) U；此时用小写
sin(U ) u;sin I i, L l
近轴区：近轴光线所在的区域。 对于轴光线，已知入射光线求折射球面的出射光线：即由 l , u l ', u '
§2.1 单个折射球面的成象倍率、拉赫不变量
①垂轴倍率（像与物的大小之比）：
y ' nl ' nu y n 'l n 'u '
②轴向倍率：
(利用三角形相似和阿贝不变量)
dl ' nl '2 n ' 2 描述光轴上一对共轭点沿轴移动量 之间的关系。 2 dl n ' l n
§2.3 共球面系统
A1 y1 B1
n1
u1
u1 '
n2 n1 'u u2 u1 ' 2 n2
A1 '(A2) O2 y y1 ' (B )2 2 l2 B ' l1 ' 1
u ' n3 n2 ' 2 n3
r2
C1 O1
r1
A2 ' y2 ' B2 '
1. 线量符号：
① 沿轴线段：以球面顶点O为原点，方向与光线行进方向 相同为正，相反为负；
② 垂轴线段：以光轴为界，在光轴之上为正，在光轴之下
为负。 2.角度符号： （一律以锐角来衡量；顺时针为正，逆时针为负） ① 光线与光轴夹角：光轴转向光线； ② 光线与法线夹角：光线转向法线；
③ 光轴与法线夹角：光轴转向法线。
3、单个折射球面近轴光的光路计算公式：
近轴光线(Paraxial ray)：与光轴很靠近的光线，即-U很小。
sin(U ) U；此时用小写
sin(U ) u;sin I i, L l
近轴区：近轴光线所在的区域。 对于轴光线，已知入射光线求折射球面的出射光线：即由 l , u l ', u '
§2.1 单个折射球面的成象倍率、拉赫不变量
①垂轴倍率（像与物的大小之比）：
y ' nl ' nu y n 'l n 'u '
②轴向倍率：
(利用三角形相似和阿贝不变量)
dl ' nl '2 n ' 2 描述光轴上一对共轭点沿轴移动量 之间的关系。 2 dl n ' l n
应用光学(第二章)
2015-3-20
哈工大光电测控技术与装备研究所
38
• 可以发现：同一物点发出的物方倾斜角 不同的光线过光组后并不能交于一点！
n E n’
A O -240mm
C
！
轴上点以宽光束经球面成像时，存在像差（球差）。 减小像差的途径：
（1）多个透镜组合
2015-3-20
（2）采用非球面透镜
39
哈工大光电测控技术与装备研究所
第二章 共轴球面系统的 物像关系
2015-3-20 1
透镜是构成光学系统最基 本的成像元件，它由两个球面 或一个球面和一个平面所构成。 光线在通过透镜时会在这些面 上发生折射。因此要研究透镜 成像规律必须先了解单个球面 的成像规律。
2015-3-20
2
§2-1 符号规则（§2-2）
若干概念与术语
哈工大光电测控技术与装备研究所
22
透镜分两大类
• （1）正透镜：中心比边缘厚度大，起
会聚作用
• （2）负透镜：中心比边缘厚度小，起
发散作用
2015-3-20
哈工大光电测控技术与装备研究所
23
物像的虚实
在凸透镜2f 外放一个点燃的蜡烛，后面放一个纸屏， 当纸屏放到某一位置时，会在屏上得到蜡烛清晰的像。
2015-3-20
哈工大光电测控技术与装备研究所
25
与像类似，物也分两种
※ 实物：自己发光的物体。
如灯泡、蜡烛等，也可以是被照明后发光的物体， 如人物，景物等。
※ 虚物：不是由实际光线而是由光线的延长 线相交而成的物。
虚物不能人为设定，它是前一系统所成的像被
当前系统截取得到的。
A
2015-3-20
第二章：应用光学——高斯光学
高斯光学的历史背景
创始人：卡尔·弗里德里希·高斯 形成时间：19世纪初 目的：研究光的传播和成像 应用领域：光学仪器、光学设计、光学测量等
高斯光学的基本原理
基本概念：高斯光学是研究光在均匀介质中的传播和聚焦的学科 基本原理：光的传播遵循高斯定理即光在均匀介质中的传播速度与介质的折射率成正比 应用领域：高斯光学广泛应用于光学仪器的设计和制造如显微镜、望远镜等 发展历程：高斯光学起源于19世纪初经过不断发展和完善已成为光学领域的重要分支
高斯光束的变换
变换原理：基于高斯光束的 性质和光学原理
变换类型：包括平移、旋转、 缩放等
变换应用：在光学测量、成 像、通信等领域有广泛应用
变换效果：可以实现对高斯 光束的精确控制和调整提高
光学系统的性能和效率。
高斯光束的耦合与分离
耦合：将两个或多个高斯光束合并为一个光束 分离：将高斯光束分解为两个或多个光束 应用：在光学通信、光学测量、光学成像等领域有广泛应用 技术：包括光束整形、光束耦合、光束分离等技术
03
高斯光学的应用
高斯光束的传输
光束传输：高斯光束在传输过程中保持其形状和强度不变 应用领域：高斯光束广泛应用于激光通信、激光加工、激光医疗等领域 传输特性：高斯光束具有较好的传输特性如低发散、低损耗等 传输距离：高斯光束的传输距离取决于其功率、波长和传输介质等因素
高斯光束的聚焦
聚焦原理：高斯光束在传播过程中保持其形状和强度不变 应用领域：激光切割、焊接、打标等 聚焦方法：使用透镜或反射镜进行聚焦 聚焦效果：高斯光束的聚焦效果取决于其形状和强度
感谢观看
汇报人：
实验结果：高斯光束具有很好的聚焦特性能量分布均匀符合高斯分布
实验结论：高斯光束在光学实验和实际应用中具有重要价值可用于激光加工、光学测量等领 域。
应用光学 第二章
线偏振
在光的传播方向上,各点的光矢量在确定的平面 内，这种光称为平面偏振光。也由于在垂直于传 播方向的平面内，平面偏振的光矢量端点的轨迹 为一直线，又称为线偏振光。
120:1415-9-14
2-1A
31 / 135
圆偏振光和椭圆偏振光
传播方向相同、振动方向相互垂直、相位差恒 定的两平面偏振光叠加（或组合）可合成光矢 量有规则变化的圆偏振光和椭圆偏振光。
假设：平面波波矢量k平行于xz平面。
x
x
考察：z＝0平面的复振幅分步。
波矢量k平行于xz平面——k的方向 余弦cosα，0，cosγ
o
z
E~ = Aexp(ik ⋅ r) = Aexp(ikx cosα )
o
y
等位相点的轨迹为：x＝const的直线
120:1415-9-14
2-1
光强度也可以由复振幅表示：
圆偏振光和椭圆偏振光：光矢量端点的轨迹为一圆或椭圆，
即光矢量不断旋转，其大小、方向随时间有规律的变化。
Ey
Ey
Ex
Ex
120:1415-9-14
2-1A
32 / 135
3. 非偏振(自然光) P＝0
由普通光源发出的光波都不是单一的平面偏振光， 而是许多光波的总和：它们具有一切可能的振动方 向，在各个振动方向上振幅在观察时间内的平均值 相等，初相位完全无关，这种光称为非偏振光，或 称自然光。
取余ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数为特解：
E = Acos[2π (z − vt)] λ
B
=
A'
cos[
2π λ
(z
−
vt)]
120:1415-9-14
2-1
在光的传播方向上,各点的光矢量在确定的平面 内，这种光称为平面偏振光。也由于在垂直于传 播方向的平面内，平面偏振的光矢量端点的轨迹 为一直线，又称为线偏振光。
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2-1A
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圆偏振光和椭圆偏振光
传播方向相同、振动方向相互垂直、相位差恒 定的两平面偏振光叠加（或组合）可合成光矢 量有规则变化的圆偏振光和椭圆偏振光。
假设：平面波波矢量k平行于xz平面。
x
x
考察：z＝0平面的复振幅分步。
波矢量k平行于xz平面——k的方向 余弦cosα，0，cosγ
o
z
E~ = Aexp(ik ⋅ r) = Aexp(ikx cosα )
o
y
等位相点的轨迹为：x＝const的直线
120:1415-9-14
2-1
光强度也可以由复振幅表示：
圆偏振光和椭圆偏振光：光矢量端点的轨迹为一圆或椭圆，
即光矢量不断旋转，其大小、方向随时间有规律的变化。
Ey
Ey
Ex
Ex
120:1415-9-14
2-1A
32 / 135
3. 非偏振(自然光) P＝0
由普通光源发出的光波都不是单一的平面偏振光， 而是许多光波的总和：它们具有一切可能的振动方 向，在各个振动方向上振幅在观察时间内的平均值 相等，初相位完全无关，这种光称为非偏振光，或 称自然光。
取余ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数为特解：
E = Acos[2π (z − vt)] λ
B
=
A'
cos[
2π λ
(z
−
vt)]
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2-1
应用光学第二章
rl
r l'
物空间 像空间
它是一个不变量，几何光学中称它为阿贝(Abbe)不变量
A = n(1 − 1) = n '(1 − 1 )
(2-6)
rl
r l'
n( h − u) = n '( h − u ')
r
r
物空间 像空间
它是另一个不变量，称为折射不变量，简记为B
B = n( h − u) = n '(h − u ')
设近轴光线与光轴的夹角为θ， sinθ ≈ θ tanθ ≈ θ cosθ ≈ 1
§2.1.3 近轴光学的符号规则及名词术语
图2-3 近轴光线各参量（坐标）正负的标注
u ：物方孔径角、l ：物方截距 u'：像方孔径角、l'：像方截距
正负号规定
(1). 线段：轴向线段与数学坐标兼容，以近轴球面 顶点为原点，与光线传播方向相同的为正，相反者 为负；垂轴线段也与数学坐标兼容，即光轴上方的 线段为正，光轴下方的线段为负； (2). 球面半径：与数学坐标兼容，以球面顶点为原 点，球心在顶点右边者取正值，球心在顶点左边者 取负值；
β
=
y' y
=
nu n 'u '
(2-9)
§2.3.2 轴向放大率
若物平面沿光轴方向移
动一微小距离δl，则像
平面沿光轴方向移动一
微小距离δl'。定义δl'与
δl之比为轴向放大率， 用希腊字母α表示，即：
α
= δl'
δl
(2-10)
A = n(1 − 1) = n '(1 − 1 )
rl
应用光学第二章
n m m1m2 n
10
3.角放大率 共轭光线与光轴的夹角u 和 u之比称为角放大率。 定义为：
应 用 光 学 ， 2016 ， 李 大 海 ，
u u 利用关系式 lu l u
可得，
E
D
i
P
u l u l
V
n n
W
O
i y
-
r
i
u
C
(l r )
即 nu nu (n n)
l l
ห้องสมุดไป่ตู้
(l r )
nu nu y n n C
单折射球面的近轴成像
—近轴折射公式
C 1/ r
—折射面的 曲率，
n n —折射面的光 (n n)C 焦度，屈光度 r
7
（续:）
E
D
再根据
l u lu y
应 用 光 学 ， 2016
光线与各球面交点高度的计算（过渡）问题
1uk 1 tk 1uk 1 lk uk lk
1 yk yk 1 tk 1uk n u yk 1 tk 1 k 1 k 1 1 nk
1uk 1 yk 1 由于 lk uk yk , lk
y1
y2 2
y3
-u'3 l' n4=1.0
A'
n3=1.6475
假定物方截距 l=-240mm，物方孔径角U1=1.43254。
14
（续1: ）
y1 =+6mm r / mm +36.48 -17.539 - 44.64
t0 = 240mm C +0.0274123 -0.0570158 - 0.0224014
应用光学第二章
（2－13）
u u
（2－19）
将lu=l′u′=h代入式（2－19）得
第2章球面和球面系统
第2章 球面和球面系统
2.1 2.2 2.3 2.4 光线经单个折射球面的折射 单个折射球面成像放大率及拉赫不变量 共轴球面系统 球面反射镜
第2章球面和球面系统
2.1光线经单个折射球面的折射
2.1.1 如图2－1所示，折射球面OE为两种介质n和n′的分 界面， C 为折射球面的球心， CO 为球面曲率半径， 以字母 r 表示。通过球心的直线为光轴，光轴与球 面的交点O称为顶点。
第2章球面和球面系统 由式（2－9）和上式可将式（2－12）改写为
y nl y nl
（2－13）
上式表明，折射球面的垂轴放大率仅取决于介质的折射率和物体 的位置，而与物体的大小无关。在n、n′一定的条件下，当物体
当β<0时，l和l′异号，表示物和像处于球面的两侧，此时物体
成倒像，像的虚实与物体一致，即实物成实像，虚物成虚像。
' lr l r ' ' nu( ) nu ( ) r r 1 1 1 ' ' ' 1 nul( ) n u l ( ' ) r l r l 1 1 1 1 ' nh( ) n h( ' ) r l r l 1 1 1 ' 1 n( ) n ( ' ) Q r l r l
图2－2轴上点成像的不完善性
第2章球面和球面系统
若物点位于物方光轴上无限远处，此时它发出的光束
可认为是平行于光轴的平行光束，即L=-∞,U=0，如图2－3 所示，此时，光线的入射角可按下式计算： 其中，h为光线的入射高度。
应用光学第二章
dl，其像也在像点位置处有一微量位移dl′，定义
dl′与dl的比值为轴向放大率，用α表示
dl' （2-17）微分 dl
n' dl' l'2
ndl l2
0
dl' dl
nl'2 n'l 2 （2-18）
将上式两边各乘以 n n' ,并比较上一页(2-16)式，得
n' 2
n
（2-19）
上式表明了垂轴放大率与轴向像
❖例2-3 有一个玻璃球，直径为2R，折射率为1.5， 一束近轴平行光入射，将会聚于何处？若后半球 镀银成反射面，光束又将会聚于何处？
❖解 依题意，第一种情况下，求光束经过两次成像
后会聚，如图2-12a。
第一次成像，l1 ，r R ，
n1 1 ， n'1 1.5
（3） φ：光轴转向法线。
4、符号规则的意义
❖描述物、像的位置、虚实 ❖描述物与像的正倒关系
B A’
A B’
5、光路图中的符号标注
❖保持几何量永远取正值 ❖在取负值的参量前再增加一个负号，
使得负负得正
B A’
A B’
第二节 物体经单个折射球面的成像
1 单球面成像的光路计算 近轴区域的物像关系 近轴区域的物像放大率
❖透镜是光学系统的基本元件，透镜由 球面构成。
❖若光学系统中的所有界面均由球面构
成，该光学系统称为球面系统。
❖若所有球面的球心都在同一条直线上，
称为共轴球面系统
图 2—11
n1’(n2)
B1
n1
h1
y1
-u1
u1’(u2)
A1’（A2） O2
A1
dl′与dl的比值为轴向放大率，用α表示
dl' （2-17）微分 dl
n' dl' l'2
ndl l2
0
dl' dl
nl'2 n'l 2 （2-18）
将上式两边各乘以 n n' ,并比较上一页(2-16)式，得
n' 2
n
（2-19）
上式表明了垂轴放大率与轴向像
❖例2-3 有一个玻璃球，直径为2R，折射率为1.5， 一束近轴平行光入射，将会聚于何处？若后半球 镀银成反射面，光束又将会聚于何处？
❖解 依题意，第一种情况下，求光束经过两次成像
后会聚，如图2-12a。
第一次成像，l1 ，r R ，
n1 1 ， n'1 1.5
（3） φ：光轴转向法线。
4、符号规则的意义
❖描述物、像的位置、虚实 ❖描述物与像的正倒关系
B A’
A B’
5、光路图中的符号标注
❖保持几何量永远取正值 ❖在取负值的参量前再增加一个负号，
使得负负得正
B A’
A B’
第二节 物体经单个折射球面的成像
1 单球面成像的光路计算 近轴区域的物像关系 近轴区域的物像放大率
❖透镜是光学系统的基本元件，透镜由 球面构成。
❖若光学系统中的所有界面均由球面构
成，该光学系统称为球面系统。
❖若所有球面的球心都在同一条直线上，
称为共轴球面系统
图 2—11
n1’(n2)
B1
n1
h1
y1
-u1
u1’(u2)
A1’（A2） O2
A1
应用光学 第二章 球面和球面系统
一.符号规则
1、沿轴线段：L、 L 、r以折射球面（或反射面）
顶点O为原点，到光线与光轴交点或球心的方向 与光线的传播方向相同，其值为正，反之为负；
2、垂轴线段：以光轴为基准，在光轴上为正，反 之为负； 3、孔径角U和U′ ：光轴以锐角方向转到光线，顺 时针为正，逆时针为负； 4、光线与法线的夹角：I 和I′ ，光线以锐角方向 转到法线，顺时针为正，逆时针为负； 5、光轴与法线的夹角 ：光轴以锐角方向转向法 线，顺时针为正，逆时针为负； 6、折射面之间的间隔：在折射系统中，d恒为正。
3：已知一个光学系统的结构参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, y=20mm 已求出：l’=151.838mm，现求 β, y’ （横向放大率与像的大小）
l2 l'1 d1 ,l3 l'2 d 2 ......lk l'k 1 d k 1
当只关心物像位置且折射面很少时，用方法2较为 方便。如需知道一些中间量且折射面较多时，多 采用方法1。
第五节 球面反射镜
一.球面反射镜的物像位置
1 1 2 l' l r
实物成实像
三个放大率之间的关系：
第四节 共轴球面系统
※光学系统一般是轴对称的，有一条公共轴线， 称为光轴。这种系统被称为“共轴系统”
光轴
一个共轴球面系统的结构参数由下列数值确定 （如有 k 个折射面）：各个折射面的曲率半 径 r1 ,r2 ,r3 rk ；各个折射球面的顶点之间的间 隔 d1 , d 2 , d3 dk-1 。各球面间的介质折射 率 n1 , n2 , n3 nk+1 ，其中 nk+1 nk
应用光学(第二章)
※ F ’ 就是无限远轴上物点的像点，称像方焦点
A
E
Q’ E’
h
H’
U’
F’
※ 过F ’ 点作垂直于光轴的平面，称为像方焦平面
它是无限远处垂直于光轴的物平面的共轭像平面
将AE延长与出射光线E’F ’的反向延长线交于Q’
通过Q’点作垂直于光轴的平面交光轴于H’点，
※ 则Q’H’平面称为像方主平面，H’称为像方主点
N
A’
A
F
H H’ F ’
也可以利用像方焦平面。作和入射光线平行的辅 助光线，利用与光轴成一定角度的光束过光组后 交于像方焦平面。
N’
A’
A
F
H H’ F ’
（二）负光组轴上点作图★
方法1：
R
R’
Q Q’
（1）AQ
N
（2）辅助焦平面
（3）延长AQ到N
F’ A
A’ H H’
（4）NR
F （5）RR’（主面上投射高 度相等）
光轴有一定的夹角，
用 w 表示。
这样一束平行光线经过理想光组后，一定相交于像
方焦平面上的某一点，这一点就是无限远轴外物点 的共轭像。
（四）物方焦点、物方焦平面；物方主点、 主平面；物方焦距
E
E’
B
F
－U
h
※ 如果轴上某一点F的共轭像点在无限远处，即由 F发出的光线经光组后与光轴平行，则 F 称为系统
N’
A’
A
F
H H’ F ’
方法３：
过A作垂直于光轴的辅助物AB，按照前面 的方法求出B’，由B’作光轴的垂线，则交点A’ 就是A的像。
B
A’
A
F
H H’ F ’
A
E
Q’ E’
h
H’
U’
F’
※ 过F ’ 点作垂直于光轴的平面，称为像方焦平面
它是无限远处垂直于光轴的物平面的共轭像平面
将AE延长与出射光线E’F ’的反向延长线交于Q’
通过Q’点作垂直于光轴的平面交光轴于H’点，
※ 则Q’H’平面称为像方主平面，H’称为像方主点
N
A’
A
F
H H’ F ’
也可以利用像方焦平面。作和入射光线平行的辅 助光线，利用与光轴成一定角度的光束过光组后 交于像方焦平面。
N’
A’
A
F
H H’ F ’
（二）负光组轴上点作图★
方法1：
R
R’
Q Q’
（1）AQ
N
（2）辅助焦平面
（3）延长AQ到N
F’ A
A’ H H’
（4）NR
F （5）RR’（主面上投射高 度相等）
光轴有一定的夹角，
用 w 表示。
这样一束平行光线经过理想光组后，一定相交于像
方焦平面上的某一点，这一点就是无限远轴外物点 的共轭像。
（四）物方焦点、物方焦平面；物方主点、 主平面；物方焦距
E
E’
B
F
－U
h
※ 如果轴上某一点F的共轭像点在无限远处，即由 F发出的光线经光组后与光轴平行，则 F 称为系统
N’
A’
A
F
H H’ F ’
方法３：
过A作垂直于光轴的辅助物AB，按照前面 的方法求出B’，由B’作光轴的垂线，则交点A’ 就是A的像。
B
A’
A
F
H H’ F ’
应用光学【第二章】复习
第二章共轴球面系统的物像关系本章内容：共轴球面系统求像。
由物的位置和大小求像的位置和大小。
φ U ˊ - UO C A A ˊ n n ˊ P- LrL’II’Q1. 符号规则反射情形看成是折射的一种特殊情形：n’= －n把反射看成是n’= －n 时的折射。
往后推导公式时，只讲折射的公式；对于反射情形，只需将n’用－n代入即可，无需另行推导。
（1） 物像位置关系式rn n l n l n -=-'''2. 近轴光学的基本公式（2） 物像大小关系式这就是物像大小的关系式。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
对由若干个透镜组成的共轴球面系统，逐面应用公式就可以求得任意共轴系统所成的近轴像的位置和大小。
l n nl y y '''==β3. 共轴理想光学系统的基点——主平面和焦点近轴光学基本公式的缺点：物面位置改变时，需重新计算，若要求知道整个空间的物像对应关系，势必要计算许多不同的物平面。
已知两对共轭面的位置和放大率，或者一对共轭面的位置和放大率，以及轴上的两对共轭点的位置，则其任意物点的像点就可以根据这些已知的共轭面和共轭点来求得。
光学系统的成像性质可用这些基面和基点求得最常用的是一对共轭面和轴上的两对共轭点。
（1） 放大率β=1的一对共轭面——主平面rn n l n l n -=-'''l n nl y y '''==β不同位置的共轭面对应着不同的放大率。
放大率β=1的一对共轭面称为主平面。
物平面称为物方主平面，像平面称为像方主平面。
两主平面和光轴的交点分别称为物方主点和像方主点，用H 、H’表示，H 和H’显然也是一对共轭点。
主平面性质：任意一条入射光线与物方主平面的交点高度和出射光线与像方主平面的交点高度相同（2）无限远轴上物点和它所对应的像点F’——像方焦点rn n l n l n -=-''' 当轴上物点位于无限远时，它的像点位于F’处。
应用光学第二章
•4.（近轴区）折射球面的光焦度，焦点和焦距
• （2-12）式右端仅与介质的折射率及球面曲率半径 有关，对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变
量。若 n‘ 、n、 r 一定，则l 变化 l’ 变化，它是表征折射
面偏折光线的能力，称为折射球面的光焦度：
•>0 会聚 •＝0 平面折射 •<0 发散
的成像情况
• 有限大小的物体经折射球面的成像，除了物象位
置外，还会涉及像的正倒、虚实、放大率等问题 。
• 细小物平面以细小光束成像
物平面是靠近光轴的很小的垂轴平面，并以细光束成像 ，就可以认为其像面也是平的，成的是完善像，称为 高斯像，我们将这个成完善像的不大区域称为近轴区
一 单个折射球面成像
• 1.垂轴放大率
•3.近轴光线经折射球面计算的其他形式
•（2-13）
• （2-11）
•（2-12）
•
•一个公式的三种不同表示形式，便于不同场合的应用 •（2-13）式称为阿贝（Abbe）不变量。给定共轭点， Q物＝Q像，Q的大小与物像共轭点的位置有关。 •（2-11）式表示u和u的关系 •（2-12）式表示物像位置的关系。
•h为光线的入射高度
三单个折射球面近轴光线的光路计算
• 1.近轴光：如果限制U角在一个很小的范围内，即从A
点发出的光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光 光轴附近的一个小区域称为近轴区。 研究近轴区的物象关系的光学称为近轴光学。 在近轴几何光学中，经常用到以下近似公式（一级泰勒展开 ）
U为物方孔径角，是个很小值（<<1rad）,当U<5°，近似 代替误差大约为1%. 近似的有效范围根据精度要求可扩展 至10-30°
多样的，为使推导出的公式在各种情况下都适用 ，对参数符号做了规定
应用光学(applied2
Ray tracing(光线追迹)； thin lens: 薄透镜； optical axis: 光轴； vertex: 顶点； normal: 法线; power: 光焦度； 1、 符号规则 sign convention ，。
长度：由左到右为正，由上到下为正，反之为负。
注意起点L, L’------由球面顶点起到光线与光轴的交点。
d------由前一曲面顶点到下一曲面顶点。
r------由球面顶点起到球心。
角度：以锐角度量，以顺时针转为正，逆时针转为负，注意所规定起始轴。
U, U’(Slope angles )------由光轴起转到光线。
I, I’------由光线起转到法线。
φ------由光轴起转到法线。
2、转面：计算完第一面后，其折射光线就是第二面的入射光线。
转面公式the transfer equation ：'21'211U U L L d ==-3、常用近轴光学基本公式（paraxial retracing equation ） 单球面Single spherical surface'''n n n n l l r--= （1） 反射情况时，'n n =-，公式依然成立；（2） 不止一个球面时，用转面公式。
'211L L d =-4、放大率公式 the ratio of image size to object size'''y nl y n lβ==0β>, 成正像erect image; 0β<,成倒像inverted image ，size of the final image: '12,y y ββββ==解题：按照符号规则将数值（正的或负的）代入公式-L 1L 2说明位置（location: how far to the left/right of the first/second surface）是正像还是倒像（erect image /inverted image）5、共轴理想光学系统的基点（cardinal points）cardinal points (基点):principal points, focal points, nodal points主点, 焦点, 节点β=的一对共扼1)主平面（the first and second principal plane）: 放大率（magnification）1面(a pair of conjugate plane)。
应用光学第二章总结
第二章总结宗旨：由物的位置和大小求像的位置和大小。
物的位置（L ，U ）+系统参数：n 、n ’、r →像的位置（L ’，U ’） 物像关系式，公式（2-1）~（2-5）→近轴物像关系式（2-6）~（2-10）：2121sin sin sin 'sin '''sin ''sin '','L rI U r nI In U U I I r I L r U L L d U U -===+-=+=-= →2121'''''''','l r i ur n i in u u i i ri l r u l l d u u -===+-=+=-=近轴光路的另一种表示形式（2-11）：(')''n n h n u nu r--=物像位置关系式（2-12）、（2-13）：''1111'()()''n n n n n n l l r l r l r--=⇔-=- 转面公式（2-14）：212111','u u h h d u ==-物像大小关系式（2-15）：'''y nl y n l β==基平面与基点：主平面：放大率β=1的一对共轭面。
物方主平面、像方主平面，物方主点H 、像方主点H ’。
主平面的性质：任意一条入射光线和物方主平面的交点高度与其出射光线和像方主平面的交点高度相等。
像方焦点：无限远的轴上物点通过系统以后的像点F ’。
像方焦平面 像方焦点和像方焦平面的性质：平行于光轴的任意光线，其共轭光线必通过像方焦点F ’；和光轴成一定夹角的平行光线，通过光学系统后，必成像于像方焦平面上一点。
物方焦点：无限远的轴上像点所对应的物点F ，物方焦平面 物方焦点和物方焦平面的性质：过物方焦点F 的任意光线通过光学系统后，平行于光轴出射； 物方焦平面上轴外任意一点发出的所有光线，通过光学系统后，对应一束和光轴成一定夹角的平行光束。
应用光学【第二章】习题第二部分
5、一个折射率为1.5的玻璃球，半径R，置于空气中。 近轴成像时，问： （1）无穷远处的物成像在何处？ （2）物在球前2R处，成像在何处？
n玻璃=1.5 P -s1 O1 R O2 s2’ s2 s1’ P’
P1’
1
n玻璃=1.5
解：
n' n n'n l' l r
-s1
O1
R s1’
O2 P’ s2’ s2
1 1 n f2 ' r2 1 f' f1 ' f 2 '
f1 ' f 2 d
1 1 n 1d n 1 r r nr r 1 2 12
d 0 薄透镜焦距公式
6
解：
1 f1 f 2 已知： f
d
H1 H1’ H2 H2’
d LH1H f1 1.25cm d LH 2 'H' f 2 ' 0.83cm
10
f1 ' f 2 d
并且： f1 f1 ' 和
f2 f2 '
1 f1 1 f1 ' 1 d f 2 f1 f 2 1 d f 2 ' f1 ' f 2 '
1 f 2 f1 ' d f 2 f1 d f f1 f 2 f1 f 2 f 2 f1 ' d f 2 ' f1 ' d 1 f' f1 ' f 2 ' f1 ' f 2 '
球 面 1 ：
1 1 n f1 r1 1 n 1 f1 ' nr1
球 面 2 ：
n玻璃=1.5 P -s1 O1 R O2 s2’ s2 s1’ P’
P1’
1
n玻璃=1.5
解：
n' n n'n l' l r
-s1
O1
R s1’
O2 P’ s2’ s2
1 1 n f2 ' r2 1 f' f1 ' f 2 '
f1 ' f 2 d
1 1 n 1d n 1 r r nr r 1 2 12
d 0 薄透镜焦距公式
6
解：
1 f1 f 2 已知： f
d
H1 H1’ H2 H2’
d LH1H f1 1.25cm d LH 2 'H' f 2 ' 0.83cm
10
f1 ' f 2 d
并且： f1 f1 ' 和
f2 f2 '
1 f1 1 f1 ' 1 d f 2 f1 f 2 1 d f 2 ' f1 ' f 2 '
1 f 2 f1 ' d f 2 f1 d f f1 f 2 f1 f 2 f 2 f1 ' d f 2 ' f1 ' d 1 f' f1 ' f 2 ' f1 ' f 2 '
球 面 1 ：
1 1 n f1 r1 1 n 1 f1 ' nr1
球 面 2 ：
应用光学第二章
L1 100 ;U1 1 L2 100 ;U 2 2 L3 100 ;U 3 3
起始角 度 U1
L1 -r1 L1-r1 ÷r1 ×sinU1 sinI1 ×n1/n’1 SinI’1 ×r1 ÷sinu’1 L’1-r1 +r1 L’1 -d1 L2 I1 -I’1 +U1 U’1
1度
求 折射光线坐标L'、U'
对△APC应 用正弦定理得到
Lr r sin I sinU
由此得到
sin I L r sin U r
(2-1)
根据折射定律，可由入射角I求得折射角I'
sin I ' n sin I n'
（2-2）
对△APC和△A‘PC应 用外角定理得到
ψ=U+I=U' +I'
故 U'=U+I-I'
因为所有的球面的特性是一样的，只须导出光线经过 一个球面折射时由入射光线位置计算出射光线位置的 公式, 即球面折射的光路计算公式。
表示光线位置的坐标
入射光线与光轴的焦点A到球面顶点的距离L 入射光线与光轴的夹角U 像方相应地用L′、U′表示
Q
P
I
U A
I
’φ
Uˊ
O
C
Aˊ
L
r
n
nˊ
L
已知
球面半径r 折射率n、n' 入射光线坐标L、u 法线与光轴的夹角ψ
-0.07895 1.5163/1
-0.16389 1.5163/1
-0.11971 -50 0.089621
-0.24850 -50 0.18851
66.7868 -50 16.7868
起始角 度 U1
L1 -r1 L1-r1 ÷r1 ×sinU1 sinI1 ×n1/n’1 SinI’1 ×r1 ÷sinu’1 L’1-r1 +r1 L’1 -d1 L2 I1 -I’1 +U1 U’1
1度
求 折射光线坐标L'、U'
对△APC应 用正弦定理得到
Lr r sin I sinU
由此得到
sin I L r sin U r
(2-1)
根据折射定律，可由入射角I求得折射角I'
sin I ' n sin I n'
（2-2）
对△APC和△A‘PC应 用外角定理得到
ψ=U+I=U' +I'
故 U'=U+I-I'
因为所有的球面的特性是一样的，只须导出光线经过 一个球面折射时由入射光线位置计算出射光线位置的 公式, 即球面折射的光路计算公式。
表示光线位置的坐标
入射光线与光轴的焦点A到球面顶点的距离L 入射光线与光轴的夹角U 像方相应地用L′、U′表示
Q
P
I
U A
I
’φ
Uˊ
O
C
Aˊ
L
r
n
nˊ
L
已知
球面半径r 折射率n、n' 入射光线坐标L、u 法线与光轴的夹角ψ
-0.07895 1.5163/1
-0.16389 1.5163/1
-0.11971 -50 0.089621
-0.24850 -50 0.18851
66.7868 -50 16.7868
应用光学总结复习1
R 2
1 r 0.5m R
1 f 0.5m 2
1 1 1 (n 1)( ) f r1 r2
r 750m m 1 r2 187.5m m
一个人的近视程度是－2D，调节范围是8D， 求：远点距离，近点距离，配戴 100度的近 视镜求该镜的焦距及戴上后看清的远点距离 和近点距离。
设h1=10
h1 tanu1 0.2857143 f1
h2 h1 d tanu1 14.28571
h2 tanu2 tanu1 0.2857143 f2
h1 h2 f 35 lF 50 tanu2 tanu2
7 理想光学系统的组合
250 200 250 8 10 200
f 望远镜 f 显微镜
§3-4 眼睛缺陷和目视光学仪器的视度调节
objective eyepiece Fe’
f ’o
-f e
Fe’
Fe’
2．有一放映机，使用一个凹面反光镜进行聚光照明，光
源经过反光镜反射以后成像在投影物平面上。光源长为
10 mm，投影物高为40 mm，要求光源像等于投影物高； 反光镜离投影物平面距离为600 mm，求该反光镜r ?
10 -600
-40
y ' l 'r nl ' n n y l r n' l
(2.10)
h2 h1 d1u1
(2.14)
3 近轴单球面物象基本公式
n' n n'n 位置关系式： ( 2.12 ) l' l r
h lu l u
h n' u' nu n'n ( 2.11) r
应用光学(02)
细光束
A
A' 曲面 A1'A'A2' 曲面 B1’A’B2’
完善成像 完善成像 像面弯曲
同心球面 A1A A2 平面 B1AB2
物平面是靠近光轴很小的垂轴平面， 物平面是靠近光轴很小的垂轴平面，认为像面弯曲可 以忽略，平面物得到平面像， 以忽略，平面物得到平面像，完善成像
细小平面以细光束成像的三种放大率
§2-2 折射球面
O
C
一、由折射球面的入射光线求出射光线 r, n, n', L, U L', U'，
利用三角形正弦定律、 利用三角形正弦定律、折射定律和
ϕ = U + I = U′ + I ′
L−r sin I = sin U r n sin I ′ = sin I n′
U′ = U + I − I′
J 表征了这个光学系统的性能，即能以多高的物、多大孔径角 表征了这个光学系统的性能，即能以多高的物、 的光线入射成像。 的光线入射成像。 J 值大，表明系统能对物体成像的范围大，成像的孔径角大， 值大，表明系统能对物体成像的范围大，成像的孔径角大， 传输光能多。同时， 传输光能多。同时，孔径角还与光学系统分辨微细结构的能力 有关。 大的系统具有高的性能。 有关。所以 J 大的系统具有高的性能。
= α1α 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅α k
或
′ ′ ′ nk 2 n1 2 n2 2 α = β1 β2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ βk n1 n2 nk
′ nk 2 2 = β1 β 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅β k2 n1
2
′ nk α = β n1
3、角放大率 、
γ
= γ 1γ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅γ k
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问题就是这么 简单！
共轴理想光学系统的基点和基面
大家可要做 好笔记呦！
• 理想光组有一些特殊的点和平面，利用 它们来讨论光组的成像特性，可以使问 题大大的简化。
※ 表征光组特性的点、面称为基点和基面
（一）无限远轴上物点发出的光线
h 是轴上物点A发出的一条入射光线的投射高度
h －U A
－L
由三角关系：
※ F ’ 就是无限远轴上物点的像点，称像方焦点
A
E
Q’ E’
h
H’
U’
F’
※ 过F ’ 点作垂直于光轴的平面，称为像方焦平面
它是无限远处垂直于光轴的物平面的共轭像平面
将AE延长与出射光线E’F ’的反向延长线交于Q’
通过Q’点作垂直于光轴的平面交光轴于H’点，
※ 则Q’H’平面称为像方主平面，H’称为像方主点
应直线，平面对应平面的成 像变换称为共线成像，上述
定义称为共线成像理论。
第二节 理想光学系统的基点与基面
共轴球面系统： 球面的曲率中心在同一轴线上的光学系统
前面讨论的单个折射球面的光路计算及成像特 性，对构成光学系统的每个球面都适用。
只要找到相邻球 面之间的关系，就可 以解决整个光学系统 的光路计算问题。
光轴有一定的夹角，
用 w 表示。
这样一束平行光线经过理想光组后，一定相交于像
方焦平面上的某一点，这一点就是无限远轴外物点 的共轭像。
（四）物方焦点、物方焦平面；物方主点、 主平面；物方焦距
E
E’
B
F
－U
h
※ 如果轴上某一点F的共轭像点在无限远处，即由 F发出的光线经光组后与光轴平行，则 F 称为系统
寻找一个能对较大范围、较粗光束及较宽波段 范围都能成满意像的光学系统，就是应用光学所需 要解决的中心问题。
到哪里找这样 的系统呢？
• 为了揭示物、像、成像系统三者之间的 内在联系，可暂时抛开成像系统的具体 结构，将一般仅在光学系统近轴区存在 的完善像拓展成在任意大的空间以任意 宽光束都能完善成像的理想模型，即称 为理想光学系统，又称为高斯光学系统 （1841年由高斯提出）。
称为光学系统的外形尺寸计算，也称 轮廓计算。
理想光组可有任意多个折、 反射球面或多个光组组成。寻 找理想光组的特征点、面就可 以代表整个光组的光学特性， 用以讨论成像规律。
理想光学系统，物像关系具有以下性质：
B
•A PC
O1
Ok
P’
C’
•A’ B’
（1）物空间一个物点对应像空间中唯一的像点，这
种一一对应关系称为共轭，这两个对应点称为共轭 点。
第二章 理想光学系统
第一节 理想光学系 统与 共 线成像理 论
共轴球面系统只有在近轴区才能成完善像,而对 于宽光束, 当u 较大时，成像就不完善，存在像差。
其它原因：
（1）光束太细，进入光学系统的能量太弱， 成像太暗。
（2）只能对物面上很小的部分成像，不能 反映Байду номын сангаас貌。
只能对细光束成完善像的光学系统是无实用价值的！
光学系统
A
E1 Q Q' E k
B
P1 h h P k
H
H'
F
O1
OK
F'
-f
f’
QH与Q’H’在光轴同侧，且高度都为h，故其横向放大率为： β＝＋1
结论：主平面的横向放大率为＋1。
※ 在追迹光线时，出射光线在像方主平面上的投射高 度一定与入射光线在物方主平面上的投射高度相等。
单个折射球面的主平面和焦点
光学系统
A
E1 Q Q' E k
B
P1 h h P k
H
H'
F
O1
OK
F'
-f
f’
入射高度为 h 的 AE1 的延长线与Pk F ’的反向延长线决定了Q’
根据光路的可逆性，入射高度同样为 h 的 BEk 的延长线和 P1F 的反向延长线交于Q。
由于这两组光线是共轭的，所以Q与Q’点必是共轭点，QH
与Q’H’也是一对共轭面(补充说明一下）
在近轴区，单个折射球面成完善像。在这种情况下，可以看 成理想光组，也具有基点、基面。
• 一、球面的主点位置
主平面上，β＝1，由近轴区横向放大率公式：
nl' 1 nl' n' l
n' l
显然，要使上式成立，只能 l’ = l = 0
因此对于单个折射球面而言，H，H’和O 相重合，而且 物方主平面和像方主平面与球面顶点O相切。
A
E
Q’ E’
h
U’
F’
H’
f’
※从像方主点H’ 到像方焦点F ’ 之间的距离称为像方焦 距，用 f ’ 表示
f ’也遵从符号规则，它的起始原点是像方主点H’
根据三角关系，有： f ' h tgU '
（三）无限远轴外物点发出的光线
无限远轴外物点发
出的能够进入光学
F'
系统的光线总是相
-w
互平行的，光线与
理想光组的成像作为衡量实际光学系统 成像质量的标准
◆进行光学设计的时候，开始只是提出性能要 求，如放大倍数等。这时，光组的具体参数是 未知的，因此无法用近轴光学公式计算。
由理想光组所抽象出来的光学特征 公式进行光组的初始计算，也就是以 理想光组理论为基础，根据要求，寻 找和确定一个能满足要求的光学系统 的整体方案。
的物方焦点。
Q E’ E
F
－U
H
-f
B
h
E’B的反向延长线与FE交于Q，
过Q点做与光轴垂直的平面，与光轴交于 H点。
※ 则QH平面称为物方主平面，H点称为物方主点。 ※从物方主点H 到物方焦点F 之间的距离称为物方焦距，
用 f 表示
f 也遵从符号规则，它的起始原点是物方主点H。这里为- f
（五）物方主平面与像方主平面之间的关系
二、球面焦距公式
在主点已知的情况下，只要求得单个折射面的焦距即可 确定相应焦点和焦平面的位置。
当物点位于物方焦点时，有：
l = f , l’ = ∞
代入公式
tgU h L
当 L 即物点向无限远处左移时，由于任何 光学系统口径有限，所以此时 U 0
h －L
※ 即无限远轴上物点发出的光线与光轴平行
（二）像方焦点、像方焦平面；像方主点、 主平面；像方焦距
A
E
E’
h
U’
F’
AE 是一条平行于光轴的入射光线 它通过理想光学系统后，出射光线E’F ’交光轴于F ’
（2）物空间中每一条直线对应于像空间中唯一相应
直线，这两条直线称为共轭线。
B
D •A PC
O1
Ok P’
C’
D’ •A’ B’
（3）物空间中每一个平面对应于像空间中唯一平面，
这两个面称为共轭面。
（4）如果物空间任意一点D位于直线BC上，那么 其在像空间的像D’也必位于BC的共轭线B’C’上。
※ 把这种点对应点，直线对