无穷集合及基数
离散数学-基数
称集合A的基数为א0，如果有双射
f：N→A，或双射f：A→N，N为自然数集。 记为 A = א0。
.
基数
1.1 有限集、可数无限集和连续统的基数
➢定义7.6
称集合A的基数为C，如果有 双射f：[0，l]→A，或双射f：A→[0，1]。 记为 A = C。具有基数C的集合常称为
α+γ＜β+δ
.
基数
1.3 基数算术
✓定理3
对任何无限集基数α，有 α＋α＝ α
✓定理4
设, 为基数，为无限集基数， ≤ ， 那么
+ =
.
基数
1.3 基数算术
➢定义7.9
设, 分别是集合A，B的基数，
那么与的基数积定义为
· = A B
.
基数
1.3 基数算术
✓定理5
设α,β,γ为任意基数，那么 （1）α·β= β·α （2）(α·β)·γ=α·(β·γ) （3）α·(β+γ)=α·β+ α·γ, (β+γ)·α =
（2）称A的基数小于等于B的基数，记为
A ≤ B ，如果有单射f：A→B或满射 f：B→A。
（3）称A的基数小于B的基数，记为
A < B ，如果 A ≤ B , 且 A B 。
.
基数
1.2 基数比较
➢定理7.12
基数相等关系为一等价关系， 即对任何集合A，满足：
（1） A = A 。 （2）若 A = B ，则 B ＝ A 。 （3）若 A = B ， B ＝ C ，
✓定理7.15
对任意集合A，B，如果 A ≤ B ， B ≤ A ，那么 A = B 。
.
基数
集合基数符号
集合基数符号
集合的基数（或称为集合的势）是集合中元素的数量。
在集合论中，这个数量通常使用符号"|A|" 来表示，其中"A" 是集合的名称。
这个符号读作"A 的基数" 或"A 的势"。
例如，如果集合A = {1, 2, 3}，那么|A| = 3，因为集合A 中有三个元素。
注意，当集合是无限集时，基数可能是一个无穷大的数。
例如，自然数集N 的基数是无限的，用符号表示就是|N| = ∞。
此外，当两个集合具有相同数量的元素时，它们被认为是等势的。
如果集合A 和集合B 是等势的，则可以用符号"|A| = |B|" 来表示。
数学中的无穷知识点总结
数学中的无穷知识点总结无穷，作为一个数学概念，是指没有界限的、不可数的。
在数学领域中，无穷包含了很多有趣且深奥的知识点。
本文将带领读者逐步了解数学中的无穷知识点。
1.无穷数列数列是数学中一个很基础的概念，而无穷数列则是数列的一种特殊形式。
在无穷数列中，元素的个数是无限的。
例如，斐波那契数列就是一个著名的无穷数列，它的每一个元素都是前两个元素之和。
无穷数列中的元素有很多有趣的性质，例如极限。
当数列中的元素逐渐趋近于某个值时，我们可以说该数列的极限存在，并用极限值表示。
通过研究无穷数列的极限，我们可以得到一些重要的数学定理，如收敛性和发散性。
2.无穷级数无穷级数是无穷多个数的和。
同样地，无穷级数也有收敛和发散的概念。
当一个无穷级数的部分和逐渐趋近于某个值时，我们可以说该无穷级数收敛，并用这个值表示。
否则，我们说该无穷级数发散。
著名的例子是调和级数，它的通项是1/n，其中n是正整数。
调和级数是一个发散的无穷级数，也就是说它的部分和会趋向于无穷大。
3.无穷集合在集合论中，我们可以将集合的元素个数称为集合的基数。
有限集合的基数是有限的，而无穷集合的基数则是无穷的。
著名的无穷集合有自然数集合N和实数集合R。
无穷集合还有一个重要的性质，即无穷集合可以与其子集有相同的基数。
这就是无穷集合的奇妙之处，与有限集合不同，无穷集合的真子集可以与本身有一一对应的关系。
4.无穷证明在数学中，证明是非常重要的。
有时，我们需要证明某个问题在无限情况下也是成立的。
这就是所谓的无穷证明。
无穷证明有很多种方法，如数学归纳法和反证法。
数学归纳法常用于证明关于自然数的性质，它基于以下原理：若某个命题在n=1时成立，并且对于任意正整数k成立时，该命题在n=k+1时也成立，那么该命题对于所有正整数n都成立。
反证法则是通过假设命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明命题是成立的。
无穷证明的思维方式常常与我们日常的直觉想法不同，需要我们以不同的角度来思考问题。
集合论中的集合的基数与有限集合的性质
集合论中的集合的基数与有限集合的性质集合论是数学中的一个重要分支，研究对象是集合及其性质。
在集合论中，我们经常会涉及到集合的基数以及有限集合的性质。
本文将介绍集合的基数概念，并探讨有限集合的一些性质。
一、集合的基数在集合论中，基数是用来描述集合中元素的数量的概念。
对于一个集合A，记为|A|，表示集合A的基数。
集合的基数可以是有限的，也可以是无限的。
1. 有限集合的基数对于一个有限集合A，其基数表示集合中元素的个数。
例如，对于集合A={1, 2, 3, 4, 5}，其基数为5，记为|A|=5。
有限集合的基数是一个非负整数。
2. 无限集合的基数对于一个无限集合A，其基数表示集合中元素的数量是无穷的。
常见的无限集合有自然数集合N，整数集合Z，有理数集合Q以及实数集合R等。
无限集合的基数可以是可数无穷的，也可以是不可数无穷的。
二、有限集合的性质有限集合具有一些特殊的性质，下面我们将介绍几个常见的有限集合性质。
1. 空集的基数为0空集是不包含任何元素的集合，记为∅。
空集的基数为0，即|∅|=0。
2. 子集的基数小于等于原集合的基数对于一个有限集合A和其子集B，有|B|≤|A|。
这是因为子集B中的元素个数不会超过原集合A中的元素个数。
3. 幂集的基数对于一个有限集合A，幂集P(A)是包含A的所有子集的集合。
幂集P(A)的基数为2的A的基数次方，即|P(A)|=2^|A|。
例如，对于集合A={1, 2, 3}，其幂集P(A)的基数为2^3=8。
4. 有限集合的并集与交集对于两个有限集合A和B，其并集A∪B中的元素个数为|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|，其中|A∩B|表示A和B的交集的基数。
例如，对于集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 4, 5}，其并集A∪B的基数为|A∪B|=3+3-1=5。
5. 有限集合的补集对于一个有限集合A和全集U，A的补集A'表示U中不属于A的元素构成的集合。
有|A'|=|U|-|A|。
基数的基本概念
基数的基本概念基数（Cardinal number）是数学中表示数量的概念，用于表示集合的大小或元素的个数。
在数学中，基数是集合论中的一个重要概念，它用于度量集合的元素个数，是一种数学语言中描述数量的方式。
基数的基本概念源自人们对实际生活中的物体、事物、数量的观察和认知。
自然数是最早形成的基数概念，它用于表示自然世界中物体、事物的个数。
例如，我家有3只小猫，这里的"3"就代表了小猫的数量，即猫这个集合的基数。
在数学中，除了自然数之外，还有无限个基数可以用来表示不同集合的大小。
由于集合的大小是无法直接观察和感知的，所以需要借助数学工具来描述和比较不同集合的大小。
基数的引入就是为了满足这个需求。
在集合论中，基数的定义是通过对集合之间的一一对应关系进行研究而得到的。
两个集合A和B之间存在一一对应关系，如果存在一个函数，将A的元素与B 的元素一一对应起来。
根据Cantor-Bernstein定理，如果两个集合之间存在一一对应关系，那么它们的基数是相等的。
基于这个思想，可以通过找到两个集合之间的一一对应关系来比较它们的大小，从而确定它们的基数。
对于有限集合，它的基数就是它的元素个数。
例如，一个集合中有4个元素，那么它的基数就是4。
而对于无限集合，它的基数不能够通过直接数数得到，而是通过与其他无限集合找到一一对应关系来确定。
对于无穷集合来说，基数的比较更为复杂。
作为最早研究无穷集合基数的数学家，Cantor提出了一个重要的结论——无穷集合可以有不同的基数大小。
他定义了一个最小的无穷基数，称为可数基数，用aleph-null（א₀）表示。
其中，“aleph”是希伯来语的第一个字母，“null”表示无穷的概念。
这个基数表示的是可数集合的大小，例如自然数集、整数集和有理数集等都是可数集合，它们的基数都是aleph-null。
另外一个重要的基数是连续基数，用c表示。
连续基数表示的是不可数集合的大小，例如实数集和幂集（集合的所有子集构成的集合）等。
高三数学基数知识点汇总
高三数学基数知识点汇总在高三数学学习中，基数是一个重要的概念。
它涵盖了数学中的基本运算、集合论以及对不同类型数的分类等多个方面。
下面，我们将对高三数学中与基数相关的知识点进行汇总和总结。
★集合与基数★集合是数学中一个基本的概念，它是由确定的元素组成的。
基数是指集合中元素的个数，通常用符号“|A|”来表示。
对于有限集合而言，基数可以直接数出；对于无限集合，则需要一些特殊的方法来确定其基数。
1. 子集和真子集- 子集是指一个集合的所有元素都是另一个集合的元素。
如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
- 真子集是指一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，且两个集合不相等。
如果A是B的子集且A≠B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。
2. 幂集- 幂集是指一个集合的所有子集所构成的集合。
对于一个有n个元素的集合A，其幂集的基数为2^n。
3. 基数运算- 并集是指两个或更多集合中所有元素的集合。
若A和B是两个集合，则它们的并集记作A∪B。
- 交集是指两个或更多集合中共有元素的集合。
若A和B是两个集合，则它们的交集记作A∩B。
- 差集是指从一个集合中减去另一个集合中的元素所得到的集合。
若A和B是两个集合，则它们的差集记作A-B。
★基数的分类★1. 自然数- 自然数是最基本的数学对象，即正整数，包括1、2、3、4、5……。
2. 整数- 整数是由自然数、0和负整数组成的集合，包括……、-3、-2、-1、0、1、2、3……3. 有理数- 有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
有理数包括正有理数、负有理数以及零，例如1/2、-3/4、0等。
4. 无理数- 无理数是无限不循环小数，无法写成两个整数的比值。
如π、√2等。
5. 实数- 实数是有理数和无理数的集合，包括所有的有理数和无理数。
6. 虚数- 虚数是不能表示为实数的数，其平方为负数。
虚数以及实数的集合组成了复数。
★基数的性质★1. 基数的加法- 若集合A与集合B的基数分别为n和m，则A∪B的基数为n+m-|A∩B|，其中|A∩B|表示A与B的交集的基数。
无限集可数集和不可数集
如果正整数m＜ n，则不存在从Nn到Nm的单射。
定义6.8 设X，Y是两个集合，若存在从X到Y的单 射，则card(X) ≤card(Y)；如果不存在从X到Y 的双射，则card(X) ＜card(Y)。 下面，我们对集合按照基数进行分类。
(n)
2 n 2
n为奇数 n为偶数
N ０ １ ２ ３ ４ ... 2n-1 2n ...
ｆ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... ↓ ↓ ...
Z ０ １ -1 ２ -2 ... n -n ...
所以，Z也是可数集合。
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可数集的性质
定理6.8 每个无限集必含有子集是可数集。 定理6.9 可数个可数集的并集为可数集。 推论6.9.1:
主要内容
1.集合的基数 2.有限集、无限集 3.可数集和不可数集
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§6.4 集合的基数、可数集和不可数集
先看几个问题： ① 有限集同无限集的区别是什么？两个无限集
之间可不可以比较大小？ ② 自然数集中元素的个数同有理数集中元素的
个数那一个多？ ③ 有理数集中元素的个数同无理数集中元素的
▪ .... ▪ n:＝{0,1,2,3,....n-1} ▪ ....
N＝{0,1,2,3,....,n,....}
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6
定义6.9 如果X是空集,或者自然数m， XNm ,则称X
为有限集,否则称X为无限集。 定理6.6
自然数集N是无限集。 定理6.7
非空集合X是无限集当且仅当存在从N到X的单 射。
离散数学无穷集合及基数 共30页32页PPT
Байду номын сангаас
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
离散数学无穷集合及基数 共30页
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
集合的基数与无穷集合
集合的基数与无穷集合随着数学的发展，集合论逐渐成为数学的基础理论之一。
集合的基数是集合论中的一个重要概念，其与无穷集合之间的关系也引起了人们的广泛关注。
本文将从集合基数的定义及性质出发，探讨无穷集合与有限集合基数的比较，以及无穷集合中的不同基数。
一、集合基数的定义与性质集合的基数指的是该集合所包含元素的个数。
对于一个有限集合来说，其基数即为其中元素的个数。
而对于无穷集合，其基数的概念需要引入更加精确的定义。
在集合论中，使用Cantor-Bernstein定理来定义无穷集合的基数。
该定理指出，对于两个集合A和B，若存在一个从A到B的一一对应关系和一个从B到A的一一对应关系，那么A和B具有相同的基数。
根据Cantor-Bernstein定理，可以区分出不同基数的无穷集合。
二、无穷集合与有限集合的基数比较对于有限集合，其基数即为其中元素的个数，可以用自然数来表示。
例如，一个集合包含了5个元素，那么它的基数就是5。
而对于无穷集合来说，其基数可能会有不同的情况。
最简单的无穷集合是自然数集N，其基数为可数无穷。
可数无穷意味着可以通过将集合中的元素与自然数一一对应来计数。
然而，存在一些无穷集合的基数比可数无穷还要大。
这些集合被称为不可数无穷集合。
其中最著名的例子是实数集R，其基数被称为连续基数，记作c。
通过Cantor的对角线方法可以证明实数集的基数大于自然数集的基数，即c > N。
三、无穷集合中的不同基数除了可数无穷与不可数无穷的区别外，无穷集合中还存在着更多不同基数的集合。
Cantor的连续假设猜想了一个介于可数无穷和连续基数之间的基数，称为aleph-one，记作ℵ1。
根据Cantor的连续假设，ℵ1是介于N和c之间的基数。
然而，该猜想在数学界中一直没有被证明或者证伪，至今仍然是一个未解决的问题。
此外，根据集合论中的基数定理，对于给定的基数k，存在着一个比k大的基数。
这给出了一种无穷增长的方式来构造不同基数的集合。
集合论中的无穷集合与基数理论
集合论中的无穷集合与基数理论集合论是数学中的一个重要分支，研究集合及其性质以及集合之间的关系。
在集合论中，无穷集合和基数理论是两个核心概念。
本文将介绍无穷集合和基数理论的基本概念和性质，并探讨它们在数学中的应用。
一、无穷集合的概念及性质无穷集合是指元素个数不可数的集合。
与有穷集合不同，无穷集合的元素个数无限。
著名的数学家康托尔提出了无穷集合的概念，并对无穷集合进行了深入研究。
在无穷集合中，存在着不同的无穷性质。
例如，自然数集合N就是一个无穷集合，因为它的元素个数是无限的。
但是，N与实数集R之间存在着不同的无穷性质。
根据康托尔的对等性原理，如果两个集合之间存在一一对应关系，即可以用一个集合的元素与另一个集合的元素一一对应，那么这两个集合具有相同的基数（也称为势或者无穷基数）。
康托尔利用对等性原理定义了不同程度的无穷性，即不同基数的无穷集合。
根据康托尔的对等性原理，N与R之间是不存在一一对应关系的，即N与R具有不同的基数。
具体地说，N的基数被称为可数基数，而R的基数被称为不可数基数。
无穷集合的研究不仅仅关注元素个数的多少，还关注基数的大小与比较。
二、基数理论的概念及性质基数理论是研究集合基数的数学理论。
基数是描述集合大小的量度，用来比较不同集合的元素个数多少。
在基数理论中，康托尔引入了基数的概念，并对基数进行了系统的研究。
对于任意一个集合，都存在着一个唯一的基数来描述它的大小。
基数用符号|A|表示，其中A是一个集合。
根据对等性原理，如果两个集合之间存在一一对应关系，那么它们具有相同的基数。
所以，基数是一个集合的本质特征。
在基数理论中，最小的基数是零基数，用符号0表示。
零基数表示一个集合中没有元素。
而最大的基数则是连续基数，用符号c表示。
连续基数是指实数集R的基数，代表了无限个元素的集合。
根据康托尔的基数偏序原理，对于任意两个基数a和b，存在着三种可能的关系：a小于b、a等于b或者a大于b。
基数的大小关系与集合的包含关系是相关联的，但不完全相同。
表示无穷大的数学公式
表示无穷大的数学公式无穷大是数学中常用的概念，表示一个数比任何有限的数都大。
在数学中，常用符号∞（读作无穷大）来表示无穷大。
无穷大可以用来描述一些数列、函数和集合的性质。
下面将从数列、函数和集合三个方面介绍无穷大的数学公式。
1.数列的无穷大数列是按照一定的规律排列的一串数。
当一个数列的项无限增加时，我们可以说这个数列是趋向于正无穷大。
数学上可以用以下符号来表示：lim (n→∞) an = +∞其中，lim表示极限，n→∞表示n趋向于无穷大，an表示数列的第n项。
例如，考虑一个数列an = n，当n无限增大时，数列的值也无限增大，因此可以写成：lim (n→∞) n = +∞这表示当n趋向于无穷大时，数列n无限增大。
类似地，如果一个数列的项无限减小，我们可以说这个数列是趋向于负无穷大，可以用以下符号来表示：lim (n→∞) an = -∞例如，考虑一个数列an = -n，当n无限增大时，数列的值无限减小，因此可以写成：lim (n→∞) -n = -∞这表示当n趋向于无穷大时，数列-n无限减小。
2.函数的无穷大函数是一种将一个数域映射到另一个数域的对应关系。
在函数中，我们可以讨论函数在一些点处的无穷大。
对于函数f(x)，当x趋向于一些特定的值c时，如果函数的值无限增大，我们说函数在c处的极限为正无穷大，可以用以下符号来表示：lim (x→c) f(x) = +∞类似地，如果函数的值无限减小，我们说函数在c处的极限为负无穷大，可以用以下符号来表示：lim (x→c) f(x) = -∞例如，考虑函数f(x)=1/x，当x趋向于0时，函数的值无限增大，因此可以写成：lim (x→0) 1/x = +∞这表示当x趋向于0时，函数1/x无限增大。
3.集合的无穷大在集合论中，我们可以讨论集合的无穷大，即集合中元素的个数。
对于一个集合A，如果它包含的元素个数无限多，我们说该集合的基数为无穷大，可以用符号ℵ₀来表示。
集合论-第四章
§1 可 数 集
有限（穷）－最简单的 集合 自然数集合N－最简单的－当作标准集 无限（穷） 无穷不可数集
1.1 对等 定义1 设X,Y是两个集合，若X与Y之间有一个一一对 应，则称 X与Y对等，记为X～Y。 “～”这是一个关系，而且是一个等价关系，于 是就可以把集合分成几类。
或 f : (0,1) R, x (0,1), f ( x) tg ( x )
2
n 0
n 0
则f是一个一一对应。 推论3 无理数之集是一个连续统。 推论4 超越数之集是一个连续统。
定理4 令B为0,1的无穷序列所构成的集合，则 B～[0,1]。 定理5 令S={f|f:N→[0,1],则S～[0,1]。于是有，若 Ａ是可数的，则2A～[0,1]。 定理6 正整数的无穷序列之集与区间[0,1]对等。 定理7 设A1,A2均为连续统，则A1×A2～[0,1]。 推论5 若A1=A2=R，则A1×A2就是平面上的所有点的 集合。 推论6 若A1,A2,„,An均为连续统，则 A1×A2ׄ×An～[0,1]。 推论7 设I～[0,1]，并且∀l∈I,Al～[0,1]， 则 Al ~ [0,1] 。即连续统个连续统之并仍然是连续 lI 统。
例1 所有整数形成的集合是一个可数集。
1 2 3 4 5 6 7 0 1 1 2 2 3 3 1 2 3 4 5 6 7 0 1 1 2 2 3 3
n 2 2不能整除； f : N I , f (n) n 2能整除n。 2
但对于无穷集合来说，元素的“个数”这个概念是没有意 义的。因为按通常的理解它是指一个有限数，而不是无限数。 至于一个无限数比另一个无限数大，更是不可思意的了。但凭 着我们的直觉与前面的定理可知，这种说法是符合我们的看法 的，只不过是现在说不清楚，之所以说不清楚，是因为这里面 有几个概念未加定义。
集合论：无穷集合及其基数
集合论：无穷集合及其基数第四章无穷集合及其基数4.1可数集如果从自然数集合N 到集合X 存在一个一一对应 f: N X,则称集合X 是无穷可数集合, 简称可数集或可列集。
如果X 不是可数集且X 不是有限集,则称X 为不可数无限集,可简称为不可数集Tips:(1)可数集与不可数集是对无穷集合而言的,有限集既不称作不可数集合也不称作可数集(2)这里的自然数集采用{1, 2, …}(3)对等(X~Y)：集合X 到集合Y 存在一一对应1.常见的可数集(1)整数集Z(2)自然数集N(3)可数集的任一无穷子集(4)有限集和可数集之并(5)有限个可数集之并(6)可数个可数集之并(7)全体有理数之集Q(8)区间[0,1]中的一切有理数之集(9)整系数代数多项式的全体(可数个可数集之并)(10)代数数(整系数代数多项式)的全体2.判定集合A 为可数集的充分必要条件是A 的全部元素可以排成无重复项的序列a 1, a 2, ... , a n , ...3.性质(1)无限集A 必包含可数子集(2)可数集的任一无限子集也是可数集 (基数)(3)设A 是可数集,M 是有限集,则A∪M 是可数集--->从可数集A 中除去一个有限集M,则A\M 仍是可数集(差集) --->设M 是一个无限集, A 是有限或可数集, 则M~A∪M--->设M 是一个无穷不可数集，A 为M 的至多可数子集(即A 有穷或可数),则M~M\A(4)设A 1,A 2, ... ,A n (n≥1)都是可数集,则它们的并集也是可数集(5)可数个有限集之并至多是可数集。
即可数个有限集之并可能有限，可能可数(6)可数个可数集之并是可数集。
即：设A 1,A 2,...,A n ,...为可数集合的一个无穷序列,则是可数集∞n =1A n Tips:1.可数集被认为是最小的无穷集2.与自己的真子集存在一一对应是无穷集合独有的特点--->由此，引出无穷集合的定义：凡能与自身的一个真子集对等的集合称为无穷集合,或无限集合4.2连续统集-不可数的无穷集凡与集合[0,1]对等的集合称为具有“连续统的势”的集合, 或简称连续统1.区间[0, 1]中的所有实数构成的集合是不可数无穷集合(不能被排成一排)(P31)2.性质(1)设A 1,A 2,... ,A n 是n 个两两不相交的连续统，则是连续统，即?n i =1A i ～[0,1]n i =1A i (2)设A 1,A 2,...,A n ,...为两两不相交的集序列。
集合论 第4章 无穷集合及其基数
第四章 无穷集合及其基数在第一章中介绍了有限集合及其基数的概念，在这一章中，我们将利用映射，特别是利用一一对应作为工具，建立可数集和连续统集的概念，并研究它们的一些性质，从而得出无穷集合的特征性质（无穷的本质）；然后把有穷集合元素个数的概念推广到无穷集合上去，建立起无穷集合基数的概念；接着建立基数的比较以及基数的算术运算，从而使无穷集合也有了“大小”与“多少”之分；最后，介绍一下集合的一些悖论。
§1 可 数 集N ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩当作标准集有限（穷）－最简单的集合自然数集合－最简单的－无限（穷）无穷不可数集1.1 对等定义1 设X,Y 是两个集合，若X 与Y 之间有一个一一对应，则称 X 与Y 对等，记为X ～Y 。
“～”这是一个关系， 而且是一个等价关系，于是就可以把集合分成几类。
1.2可数集定义定义2 凡与自然数集合N ＝｛1，2，3，…，n ，……｝对等的集合都称为无穷可数集合，简称可数（或可列集、可列）。
说明：(1) 以后无特殊说明，N 总是代表自然数集。
2.“无穷”与“无限”称为同义词，不加区分。
类似的，“有穷”与“有限”也是一样。
定义3 （等价定义）若从自然数集N 到集合X 存在一个一一对应f ：N→X，则称集合X 是无穷可数集合，或可数。
定义4 若X 有限或无穷，则称X 至多可数。
若X 不是可数集且也不是有限集，则称X 为不可数的无穷集，或不可数集。
（但是，在科学上很少有用否定词下定义的）说明：（1）有限集合既不是可数集也不是不可数集 （2）可数与不可数只是对无穷集合而言的。
例题例1．所有整数形成的集合是一个可数集。
12345670112233↓↓↓↓↓↓↓↓-+-+-+01122331234567---↓↓↓↓↓↓↓↓22:,()22n f N I f n n n ⎧⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭→=⎨⎪-⎪⎩不能整除；能整除。
210:,()2 0m m f I N f m m m +≥⎧⎪→=⎨⎪⎩当时当＜时显然，f 是一一对应。
集合论中的无穷集合与基数理论
集合论中的无穷集合与基数理论集合论是数学中的一个重要分支，研究的是集合的性质和集合之间的关系。
在集合论中，无穷集合和基数理论是需要关注的重点。
本文将介绍无穷集合和基数理论的基本概念和特性。
一、无穷集合的概念与特征在集合论中，无穷集合指的是元素数量无穷多的集合。
与有限集合不同，无穷集合无法一一对应地列举出其所有元素。
以下是无穷集合的一些基本特征：1. 自然数集：自然数集是一个典型的无穷集合，用N表示。
自然数集包括0、1、2、3以及后续自然数的无限延伸。
2. 可数无穷集合：可数无穷集合是可以与自然数集进行一一对应的无穷集合。
例如，整数集和有理数集都是可数无穷集合。
3. 不可数无穷集合：不可数无穷集合是无法与自然数集进行一一对应的无穷集合。
其中最有名的例子是实数集，实数集的基数比自然数集的基数大许多。
二、基数理论的基本概念基数是用来描述集合中元素数量的概念。
在基数理论中，我们用符号aleph-zero（ℵ₀）表示可数无穷集合的基数，用符号aleph-one（ℵ₁）表示不可数无穷集合的基数。
1. 可数基数：集合的基数为可数基数时，说明该集合与自然数集有相同的基数，也即与自然数进行一一对应。
2. 不可数基数：集合的基数为不可数基数时，说明该集合与自然数集不具有一一对应的关系。
3. 连续统假设：连续统假设是基数理论中的一个争议性假设，它认为不存在介于可数基数和不可数基数之间的基数。
这个假设在20世纪初由哥德尔和康托尔提出，一直是数学领域的一个热门话题。
三、无穷集合与基数理论的应用无穷集合和基数理论在数学以及其他领域中有着广泛的应用。
1. 几何学：无穷维欧几里得空间为无穷集合的一个重要应用。
在几何学中，通过在无穷维空间中定义点的坐标，可以研究更加复杂的几何问题。
2. 物理学：无穷集合和基数理论在物理学中也有应用，尤其是在量子力学和热力学等领域的研究中。
3. 计算机科学：无穷集合和基数理论在计算机科学中有广泛应用，例如在算法分析、数据库管理和网络安全等领域。
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集合与图论
一一对应与可数集
定义4.1 设A，B是集合，若存在着从A到B的 双射，就称A和B等势(或对等)，记作A≈B。
Cantor把自然数集N+称为可数集(或可列集)， 这是因为它的元素可以一个一个的数出来。 凡是与自然数集N+等势的集合，它们的元素 通过一一对应关系，也都可以一个一个的数出来， 因此： 定义4.2 凡是与自然数集N+等势的集合，称为 可数集(或可列集)。
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集合与图论
一一对应与可数集
1874年，Cantor注意到伽利略”悖论”。 在1874年到1897年间完全解决了这个问题。 Cantor详细地分析了断定有限集合的元素多少 的方法，即采用数数的方法。他认为“数数的过程” 就是作“一一对应的过程”。 Cantor认为这种“一一对应”的方法不仅适用 于有限集，也适用于无限集。 他牢牢地抓住这个原则，抛弃了部分必定小于 全体的教条，经历了大约23年之后，他才冲破了传 统观念的束缚，革命性的解决了伽利略“悖论”。 Cantor认为在N+与N(2)之间存在着一一对应(即 双射)，因此N+与N(2)的元素个数是相等的。
集合与图论
伽利略“悖论”
1638年意大利的天文学家伽利略发现了下面 的问题： N+={1,2,3,…,n,…}与N(2)={1,4,9,…,n2,…} 这两个集合，哪一个的元素更多一些？ 一方面，凡是N(2)的元素都是N+的元素，也就 是说N(2)⊆N+，而且由于2，3，5等元素都不在N(2) 中，所以N(2)⊂N+。这样看来，N+中的元素要比 N(2)中的元素要多。
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集合与图论
伽利略“悖论”
但另一方面，对于N+中的每个元素都可以在N(2) 中找到一个元素与之对应，这样看来，N(2)中的元素 不比N+中的元素要少。
那么到底N+与N(2)中所含元素的个数是否一样呢 ？如果是，那么就有
部分=整体？
然而按照传统，部分怎么能等于全体呢？这就 是伽利略“悖论”，它不仅困惑了伽利略，还使许 多数学家亦束手无策。
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集合与图论 (4) N×N≈N
一一对应与可数集
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集合与图论 (5) Z≈N
一一对应与可数集
F: ZN F(n)=2n (n≥0)F(n)=2|n|-1 (n<0)
(6) Z×Z≈N
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集合与图论
一一对应与可数集
Cantor在解决了Z×Z≈N后，用类似的思想解 决了Zn≈N。
集合与图论
Cantor对角线法与不可数集
正是由于这一发现，使得他甚至猜想R也是可数 集，并且着手去证明它。他没有得到预期的结果， 却又作出了更伟大的发现。 Cantor利用它著名的对角线法，证明了[0,1]是不 可数集，在这个基础上证明了R也是不可数的，甚至 于Rn也是不可数的。 注：(1)如果集合X不是可数集且X不是有限集，则 称X为不可数集。 (2)可数集与不可数集是对无穷集合而言的，有 限集既不称作不可数集合也不称作可数集。
一一对应与可数集
注意：以0/1作为第一个数，按照箭头规定 的顺序可以“数遍”表中所有的数。但是这个计 数 过程并没有建立N到Q的双射，因为同一个有理数 可能被多次数到。例如1/1，2/2，3/3，…都是有理 数 1。 为此我们规定，在计数过程中必须跳过第二 次以及以后各次所遇到的同一个有理数。如1/1被 计数，那么2/2，3/3，…都要被跳过。表中数p/q上 方的方括号内标明了这个有理数所对应的计数。 这样就可以定义双射函数f：N→Q，其中f(n) 是[n]下方的有理数。从而证明了N≈Q。 12/29
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集合与图论
Cantor对角线法与不可数集
定理4.1 区间[0,1]中的所有实数构成的集合是不 可数集。
证 区间[0,1]中每个实数，都可以写成十进制无限 位小数形式0.a1a2a3a4...，其中每位ai{0,1,2,...,9}。
约定每个有限位小数后均补以无限多0。 假定定理不成立，于是[0,1]中全体实数可排成一 个无穷序列:a1,a2,a3,...,an,...。
在这种想法之下，Cantor得到了一个令人惊异 的发现：Q≈N。 并且利用他独创的“折线法”，巧妙的建立了Q
与 N的一一对应。
为建立N到Q的双射函数，先把所有形式为p/q (p，q为整数且q>0)的数排成一张表。显然所有的有 理数都在这张表内。 10/29
集合与图论
一一对应与可数集
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集合与图论
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集合与图论
一一对应与可数集
显然，N也是可数的。 Cantor以此为出发点，对无限集合进行考察，他 发现下面的集合都是可数集： (1) ODD = {x| xN，x是奇数}≈N F：NODD F(n)=2n+1 （F： N+ODD F(n)=2n-1） (2) EVEN = {x| xN，x是偶数}≈N F：NEVEN F(n)=2n （F： N+EVEN F(n)=2(n-1)） (3) N(n)={x|x=mn，m，nN }≈N F：NN(n) F(m)= mn
集合与图论
第4节 无穷集合及其基数
主要内容：
• • • • • 可数集 不可数集 基数及其比较 康托-伯恩斯坦定理 悖论与公理化集合论
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集合与图论
什么是集合的基数？
集合的基数亦称作集合的势。 粗略的说，就是一个集合的“规模”，它的“大 小”，或者更确切地说，它有多少个元素。 通俗的说，集合的势是量度集合所含元素多少的 量。集合的势越大，所含的元素越多。 很明显，如果集合中只有有限个元素，我们只要 数一数它有多少个可以了，这时集合的基数就是其中 所含元素的个数。 值得注意的是无限集，它所含的元素有无穷多 个， 这时怎样去数？ 为了解决这个问题，我们首先从伽利略“悖论” 2/29 说对角线法与不可数集
每个ai写成十进制无限小数形式排成下表 a1=0.a11a12a13a14...a1n... a2=0.a21a22a23a24...a2n... a3=0.a31a32a33a34...a3n... 其中aij{0,1,2,...,9} ....................... an=0.an1an2an3an4...ann... .......................