中考一轮复习第8讲 二次函数的图像与性质

第8讲 二次函数的图象与性质

一——考点梳理

（一）二次函数的定义

形如2

y ax bx c =++(其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数. （二）二次函数的性质 ()k h x a y +-=2

2y ax bx c =++

()()21x x x x a y --=

开口方向

0a >⇔⇔⇔开口向上函数有最小值顶点为最低点

0a <⇔⇔⇔开口向下函数有最大值顶点为最高点

对称轴 直线x h

= 直线2b x a

=-

直线122

x x x +=

顶点坐标

()

h k ，

2

4()24b ac b a a

--， (2

-()121224

x x a x x +-，)

增减性

当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，

y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少；

最值

当x h =时，y k =最值

当

2b

x a

=-时，

244ac b y a

-=最值

当

122

x x x +=

时，

y 最值=

2

-()124

a x x -（或用代

入法）

(1)a 决定抛物线的开口方向

①0a >⇔开口向上；②0a <⇔开口向下． (2)c 决定抛物线与y 轴交点的位置

①0c >⇔图象与y 轴交点在x 轴上方；②0c =⇔图象过原点；③0c <⇔图象与y 轴交点在x 轴下方． (3)a b 、决定抛物线对称轴的位置(对称轴：2b x a

=-

) ①a b 、同号⇔对称轴在y 轴左侧；②0b =⇔对称轴是y 轴；③a b 、异号⇔对称轴在y 轴右侧，简记为：左同右异中为0． (4)顶点坐标24()24b ac b a a

--

，． (5)2

4b ac ∆=-决定抛物线与x 轴的交点情况． ①△>0⇔抛物线与x 轴有两个不同交点； ②△=0⇔抛物线与x 轴有唯一的公共点(相切)； ③△<0⇔抛物线与x 轴无公共点．学-科网

(6)二次函数是否具有最大、最小值由a 判断．

①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值． （7）242a b a b c a b c ±±+±+、、 的符号的判定：

x y

O

-1

1

2a-b 2a+b

①若对称轴在直线x=1的左侧，则2a b +与a 同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则2a b +与a 异号，若对称轴为直线x=1，则2a b +=0，简记为：1的两侧判2a b +，左同右异中为0；

②若对称轴在直线1x =-的左侧，则2a b -与a 异号，若对称轴在直线1x =-的右侧，则2a b -与a 同号，若对称轴为直线1x =-，则2a b -=0，简记为：－1的两侧判2a b -，左异右同中为0； ③当1x =时，y a b c =++，所以a b c ++的符号由1x =时，对应的函数值y 的符号决定； 当1x =-时，y a b c =-+，所以a b c -+的符号由1x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 当2x =时，42y a b c =++，所以42a b c ++的符号由2x =时，对应的函数值y 的符号决定； 当2x =-时，42y a b c =-+，所以42a b c -+的符号由2x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 简记为：

表达式，请代值，对应y 值定正负； 对称轴，用处多，三种式子a 相约；

y 轴两侧判a b 、，左同右异中为0；

1的两侧判2a b +，左同右异中为0； -1两侧判2a b -，左异右同中为0. （三）二次函数的解析式

①一般式：2

y ax bx c =++()0≠a ，用于已知三点，求抛物线的解析式.

②顶点式：2

()y a x h k =-+，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式.

③交点式：()()21x x x x a y --=，其中1x 、2x 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x 轴上的截距，也可用此式. （四）二次函数的增减性

当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少.

（五）二次函数图象的平移 方法一：顶点法

二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。 方法二：直接法

如果y 是x 的函数，则可以用直接法。平移规律如下：

左右平移变x ，左+右－；上下平移变常数项，上+下-；平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找. （六）对称：

2y ax bx c =++关于x 轴对称的解析式为2y ax bx c -=++，关于y 轴对称的解析式为

2()()y a x b x c =-+-+，关于原点轴对称的解析式为2()()y a x b x c -=-+-+，在顶点处翻折后的解析式为

2()y a x h k =--+（a 相反，顶点坐标不变）.

（七）二次函数的最值 （1）一般二次函数求最值

根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。 （2）给定自变量取值范围求二次函数的最值

①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。

②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。 （3）分段函数求最值

根据（2）中的方法求出每一段的最大（小）值，最后比较得出整个函数的最大（小）值。 （八）二次函数与不等式（组）

若2

y ax bx c =++，则0y >的解集是x 轴上方的图象对应的自变量x 的取值范围，0y <的解集是x 轴下方的图象对应的自变量x 的取值范围。

二——题型解析

（一）对二次函数的性质的考查

例1下列关于函数1062

+-=x x y 的四个命题： ①当x =0时，y 有最小值10；

②n 为任意实数，x =3+n 时的函数值大于x =3﹣n 时的函数值；

③若n ＞3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，y 的整数值有（2n ﹣4）个； ④若函数图象过点（a ，y 0）和（b ，y 0+1），其中a ＞0，b ＞0，则a ＜b ．