中考一轮复习第8讲 二次函数的图像与性质
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第8讲 二次函数的图象与性质
一——考点梳理
(一)二次函数的定义
形如2
y ax bx c =++(其中0a ≠,a 、b 、c 是常数)的式子,称y 是x 的二次函数. (二)二次函数的性质 ()k h x a y +-=2
2y ax bx c =++
()()21x x x x a y --=
开口方向
0a >⇔⇔⇔开口向上函数有最小值顶点为最低点
0a <⇔⇔⇔开口向下函数有最大值顶点为最高点
对称轴 直线x h
= 直线2b x a
=-
直线122
x x x +=
顶点坐标
()
h k ,
2
4()24b ac b a a
--, (2
-()121224
x x a x x +-,)
增减性
当0a >时,在对称轴左侧,y 随着x 的增大而减少;在对称轴右侧,
y 随着x 的增大而增大;当0a <时,在对称轴左侧,y 随着x 的增大而增大;在对称轴右侧,y 随着x 的增大而减少;
最值
当x h =时,y k =最值
当
2b
x a
=-时,
244ac b y a
-=最值
当
122
x x x +=
时,
y 最值=
2
-()124
a x x -(或用代
入法)
(1)a 决定抛物线的开口方向
①0a >⇔开口向上;②0a <⇔开口向下. (2)c 决定抛物线与y 轴交点的位置
①0c >⇔图象与y 轴交点在x 轴上方;②0c =⇔图象过原点;③0c <⇔图象与y 轴交点在x 轴下方. (3)a b 、决定抛物线对称轴的位置(对称轴:2b x a
=-
) ①a b 、同号⇔对称轴在y 轴左侧;②0b =⇔对称轴是y 轴;③a b 、异号⇔对称轴在y 轴右侧,简记为:左同右异中为0. (4)顶点坐标24()24b ac b a a
--
,. (5)2
4b ac ∆=-决定抛物线与x 轴的交点情况. ①△>0⇔抛物线与x 轴有两个不同交点; ②△=0⇔抛物线与x 轴有唯一的公共点(相切); ③△<0⇔抛物线与x 轴无公共点.学-科网
(6)二次函数是否具有最大、最小值由a 判断.
①当a>0时,抛物线有最低点,函数有最小值;②当a<0时,抛物线有最高点,函数有最大值. (7)242a b a b c a b c ±±+±+、、 的符号的判定:
x y
O
-1
1
2a-b 2a+b
①若对称轴在直线x=1的左侧,则2a b +与a 同号,若对称轴在直线x=1的右侧,则2a b +与a 异号,若对称轴为直线x=1,则2a b +=0,简记为:1的两侧判2a b +,左同右异中为0;
②若对称轴在直线1x =-的左侧,则2a b -与a 异号,若对称轴在直线1x =-的右侧,则2a b -与a 同号,若对称轴为直线1x =-,则2a b -=0,简记为:-1的两侧判2a b -,左异右同中为0; ③当1x =时,y a b c =++,所以a b c ++的符号由1x =时,对应的函数值y 的符号决定; 当1x =-时,y a b c =-+,所以a b c -+的符号由1x =-时,对应的函数值y 的符号决定; 当2x =时,42y a b c =++,所以42a b c ++的符号由2x =时,对应的函数值y 的符号决定; 当2x =-时,42y a b c =-+,所以42a b c -+的符号由2x =-时,对应的函数值y 的符号决定; 简记为:
表达式,请代值,对应y 值定正负; 对称轴,用处多,三种式子a 相约;
y 轴两侧判a b 、,左同右异中为0;
1的两侧判2a b +,左同右异中为0; -1两侧判2a b -,左异右同中为0. (三)二次函数的解析式
①一般式:2
y ax bx c =++()0≠a ,用于已知三点,求抛物线的解析式.
②顶点式:2
()y a x h k =-+,用于已知顶点坐标或最值或对称轴,求抛物线的解析式.
③交点式:()()21x x x x a y --=,其中1x 、2x 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x 轴上的截距,也可用此式. (四)二次函数的增减性
当0a >时,在对称轴左侧,y 随着x 的增大而减少;在对称轴右侧,y 随着x 的增大而增大;当0a <时,在对称轴左侧,y 随着x 的增大而增大;在对称轴右侧,y 随着x 的增大而减少.
(五)二次函数图象的平移 方法一:顶点法
二次函数的平移实际上是顶点的平移,故可以把原抛物线化为顶点式,通过顶点的平移来寻找答案。 方法二:直接法
如果y 是x 的函数,则可以用直接法。平移规律如下:
左右平移变x ,左+右-;上下平移变常数项,上+下-;平移结果先知道,反向平移是诀窍;平移方式不知道,通过顶点来寻找. (六)对称:
2y ax bx c =++关于x 轴对称的解析式为2y ax bx c -=++,关于y 轴对称的解析式为
2()()y a x b x c =-+-+,关于原点轴对称的解析式为2()()y a x b x c -=-+-+,在顶点处翻折后的解析式为
2()y a x h k =--+(a 相反,顶点坐标不变).
(七)二次函数的最值 (1)一般二次函数求最值
根据最值公式计算即可,或把对称轴代入表达式,对应的函数值就是最值。 (2)给定自变量取值范围求二次函数的最值
①如果给定的范围在对称轴的一侧,只需要计算两个端点的函数值,两个值中最大的为最大值,最小的为最小值。
②如果给定的范围包含对称轴,需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标,三个值中最大的为最大值,最小的为最小值。 (3)分段函数求最值
根据(2)中的方法求出每一段的最大(小)值,最后比较得出整个函数的最大(小)值。 (八)二次函数与不等式(组)
若2
y ax bx c =++,则0y >的解集是x 轴上方的图象对应的自变量x 的取值范围,0y <的解集是x 轴下方的图象对应的自变量x 的取值范围。
二——题型解析
(一)对二次函数的性质的考查
例1下列关于函数1062
+-=x x y 的四个命题: ①当x =0时,y 有最小值10;
②n 为任意实数,x =3+n 时的函数值大于x =3﹣n 时的函数值;
③若n >3,且n 是整数,当n ≤x ≤n +1时,y 的整数值有(2n ﹣4)个; ④若函数图象过点(a ,y 0)和(b ,y 0+1),其中a >0,b >0,则a <b .