数学分析第二册答案第十三章幂级数

第十三章 幂级数

§13.1 幂级数的收敛半径与收敛域

1．求下列各幂级数的收敛域：

（1）∑∞

=1

!)2(n n

n x ；

（2）

∑∞

=+++1

1

1)1ln(n n x n n ； （3）∑∞

=⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+11n n

n x n n ；

（4）∑∞

=12

2

n n n

x ；

（5）∑∞

=-+1

))1(3(n n

n n x n ； （6）()()∑∞

=+-+1

123n n n

n x n ； （7）

()()

n n x n n ∑∞

=+1!!12!!2；

（8）

∑∞

=-⎪⎭⎫ ⎝

⎛+12

11n n n x n ；

（9）

()n n n

n x n

n

∑∞

=-11；

（10）∑∞

=+1

75n n

n n

x ； （11）()()

n

n x n n ∑∞

=12!2!；

（12）

n n x n ∑∞

=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+++11211 ； （13）

∑∞

=1

n n

nx

；

（14）()()∑∞=---1

1

2!122n n n x ； （15）

()10,12

<<∑∞

=a x a n n n ；

（16）∑∞

=1n p n

n

x ．

解（1）由01

2

lim !2)1(2lim 1

=+=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+∞→+∞→n n n n n n n ，故收敛半径+∞=R ,收敛域为)(∞+∞-,．

（2）由 12

1

)2ln()2ln(lim 1)1ln(2

)

2ln(lim =++⋅++=⎪⎭⎫

⎝⎛++++∞

→∞

→n n n n n n n n n n ，故收敛半径1R =． 在1=x ，级数为∑∞

=++11)1ln(n n n ，发散；在1-=x ，级数为∑∞

=+++-1

11)1ln()1(n n n n ，由交错级数的Leibniz 判别法，知其收敛，因而收敛域为)[1,1-．

（3）e n n n n

n n n

n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→11lim 1lim ，所以收敛半径e R 1=．由于

()∞→≠→⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+n e e n n

n 01111， 故在e x 1

±=级数发散，因此收敛域为)1,1(e

e -．

（4）由121lim 2

1lim

lim 2

===∞→∞

→∞

→n n n n n n n n a ，知收敛半径1=R ． 在1=x ，级数为∑∞

=±1

2)1(2

n n

n

绝对收敛，故收敛域为]1,1[-. （5）由()

413lim

lim =-+=∞

→∞

→n

n

n n n n n

a ，故收敛半径4

1

=

R ． 在41=x ，级数()[]

∑∞

=-+1

413n n n

n n ，将其奇偶项分开，拆成两个部分，分别为

∑∞

=1

21k k 和

()∑∞

=--11

22121k k k ，前一项级数发散，后一项级数收敛，因此级数()[

]

∑∞

=-+1413n n n

n n 发散；

同样，41-=x 时，级数为()[

]

()

∑∞

=--+1

1413n n

n n

n n ，也可拆成两部分，前一部分为

∑∞

=1

21

k k ，另一部分()()∑∞

=-----11

2122

121k k k k ，前者发散，后者绝对收敛，因此级数()[]()∑∞

=--+11413n n

n n

n n 发散，所以收敛区域是)4

1

,41(-

． （6）()()()332132231lim 23123lim 1

1=⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-++-+∞→++∞→n n

n n n

n n n n n n n ，所以级数的收敛半径是3

1

=

R ． 当311=+x 时，级数为()∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+1132113123n n n n n n n n n 发散；当311-=+x 时，级数为()()∑∑∞=∞

=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1132113123n n n n n n n n n n 收敛． 因此，收敛域为31131≤+≤-

x 即⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--32,43. （7） ()()()()()13

212lim !!12!!2!!32!

!12lim =++=⎭⎬⎫⎩

⎨

⎧+++∞→∞→n n n n n n n n ，所以收敛半径1=R ．

当1=x 时，级数为

()()∑∞

=+1

!!12!!2n n n ，由于12132lim 12232lim <=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→∞→n n n n n n n ，故由

Raabe 判别法，知级数发散；

当1-=x 时，级数为()()

()n n n n 1!!12!!21-+∑∞

=（实际上，由其绝对收敛立知其收敛）

，这是交错级数，由于

()()()()()()!

!12!!2!!12!!23222!!32!!22+<+++=++n n n n n n n n ，

故()()⎭

⎬

⎫⎩⎨

⎧+!!12!!2n n 单调下降，且由n n n 21

12254320<+< （用数学归纳法证之）及夹迫性知