4-气体内的输运现象解析

——分子的有效直径
碰撞时两分子质心距离的平均值称为分子的平均有 效直径d
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2、分子的有效碰撞截面 当两分子质心之间垂直距离b<d 时，两分子发生碰撞。 d 2 2 d 4 ( ) 2 这里的σ就是弹性刚球的有效碰撞截面，是一个分 子截面的4倍。
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二、平均自由程和平均碰撞频率
热运动分子之间 频繁碰撞，分子的运 动路径曲折复杂 分子在与其它分 子的相邻两次碰撞之 间所经历路程的平均 值为平均自由程 分子在单位时间内 与其它分子的平均碰 撞次数称为平均碰撞 频率
Z v 2 nA A
d u n
2
先假设其它分子静止
2
平均碰撞频率为
Z 2d vn 2vn
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3、分子的平均自由程 v 1 2 Z 2d n 讨论：
1 2n
1) 分子的平均自由程与分子的有效碰撞截面σ和分 子的数密度n成反比，与平均速率无关。 2) 平衡态下，对确定的气体，平均自由程和平均 碰撞频率有确定的值。 3) 用宏观量 p、T表示的平均碰撞频率和平均自由程：
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一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数 是偶然的、不可预测的。 平均自由程 和平均碰撞频率 Z ： 反映了分子间碰撞的频繁程度，是对大量分子、 多次碰撞的统计平均值。 二者关系：
v Z
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1、分子间的相对运动速率 u 设分子运动速度满足麦克斯韦分布律，根据统计 规律，假设所有分子均以平均速率 v 运动。则分子
Z 2d
2
kT 8kT p 2 4d p 2 2 d p m kT mkT
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4) 平均自由程与压强、温度的关系 kT T 2 2d p p T = 273K： p(atm) (m)
1 10−7 10−11 ～7×10−8 ～0.7（灯泡内） ～7×103（几百公里高空）
第4章 气体内的输运现象
4.1 气体分子碰撞和平均自由程 4.2 输运过程的宏观规律 4.3 气体输运现象的微观解释
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§4.1 气体分子碰撞和平均自由程
气体分子之间的碰撞对于气体中发生的过程有
重要的作用，如在气体中建立分子按速率或速度分 布的麦克斯韦分布律，确立能量按自由度均分定理 等，都是通过气体分子的频繁碰撞加以实现并维持 的。因此，分子间的碰撞时气体中建立并维持平衡
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
这时分子的碰撞不用考虑重复计算问题。
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例 估算氢气分子在标准状态下的平均碰撞频率。 解 在标准状态下，有
v 8 RT

1.70 10 m/s
3
n 2.7 10 m
25
3
对氢气分子取d =2×10−10m，则
Z 2d 2vn 8.16 109 s 1

8
由于分子运动速度满足麦克斯韦分布律，其相对运动 速度也满足麦克斯韦速度分布律：
u2 u 2 v2 v
u 2v
2、分子的平均碰撞频率 统计假设： 1)同种分子：分子有效直径为d 2)所有分子静止，特定分子运动以平均相对运动 速率运动
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3)分子间弹性碰撞 4) 分子数密度为n 单位时间内与分子 A 发 生碰撞的分子数为
态的保证。 概念：有效碰撞截面、平均碰撞频率、平均自由程
2
一、有效碰撞截面
1、分子的有效直径 由分子力与分子距离的关系，有
f 0
斥力
r r0 r r0 r r0
r0 10 m
分子力表现为引力 分子力表现为斥力
r0
引力
-10
r
(分子力与分子间距离的关系)
3
分子碰撞过程：
引力作用 下，分子 加速靠近 设动能为零时，r＝d r0处引力 为零，仍 具动能 斥力作用 下，减速 靠近
实验表明，在数密度恒定（温度恒定）的气体 中平均自由程对温度仍有微弱的依赖关系，随温度 的升高，平均自由程增加。这是由于有效碰撞截面 随温度的升高而减小，从而使平均自由程增加。
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5) 平均自由程与真空度 在室温下，当空气压强为10−7atm时，平均自由 程已达到m的量级，如果大于气体容器的线度，这
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设气体足够稀薄，在入射方向上不 同气层内的分子不重叠，则气层内所有 分子的总碰撞截面为 A nxA
n
A
A 发生碰撞的概率为 nx A

x
穿越单位距离与其他分子发生碰撞的概率为 A 1 Z n Ax 2 2v 一个速度为v的分子穿过单位截面穿越单位距离实际 碰撞数与可能发生的总碰撞数的比率为
1 7 2.08 10 m 2 2d n
常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次， 可见气体分子之间的碰撞是多么的频繁！
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三、有效碰撞截面的概率解释
如图所示的气体层。 一个分子以相对速度u沿x方向 入射气体层，层内其他分子看做 相对静止。问：
A
n

x
入射分子与气层内分子发生碰撞的概率有多大？
时气体分子可以从容器的一壁出发，无碰撞地飞到
容器的另一壁。这种气体多处的状态称为真空。 真空是一个相对的概念，随着容器线度的减小，
形成真空态的压强值提高。真空容器中所包含的气
体是高度稀薄的气体，通常称为克努森气体，这种
气体流动称为分子流。
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6) 单位体积内气体分子相互碰撞次数 假设分子是两两相碰的，单位体积内的分子相 互碰撞的总次数为 1 2 2 2 2 4kT Z AA nZ d v n d n
如果考虑气体是由A和B两种分子组成，分子直径和 质量分别为dA、mA和dB、mB，则单位时间内A、B 两种分子之间的碰撞次数： m AmB d A dB 为分子折合质量 m 2 d m A mB 2
Z AB (d A d B )2 2 4 8kT 2 2 kT n A nB (d A d B ) n A nB 2 2
之间具有相对运动速率 u 。
两个分子的相对运动的速度： u v2 v1
2 2 按三角关系： u 2 v1 v2 2v1v2 cos
2 2 取统计平均值： u2 v1 v2 2v1v2 cos
因为
2 v1

2 v2
v
2
v1v2 cos 0
u 2 2v 2