上海市复旦附中高三模拟数学学科考试试卷(含答案)(2019.05)

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2019年最新上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析

第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（）（A ）(]02，（B ）(]12，（C ）[]12，（D ）[]14，三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小；（2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”．（1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”；（2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数）（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ；（3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩，所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+，因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+．（ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>，又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈），即14n a >（n N *∈）．于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合．故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-．故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<，又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现．假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。

上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学拓展考试数学试题

上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学拓展考试数学试题一、填空题1．直线50x +=的倾斜角是．2．已知复数z 满足i 34i z =+（i 是虚数单位），则z =.3．已知随机变量X 的方差()1D X =，则随机变量32Y X =+的方差()D Y = 4．已知α为第二象限角，sinα＋cosαcos2α＝． 5．在ABC V 中，若60B ︒=，2AB =，AC =ABC V 的面积是．6．已知向量a r 、b r 满足2a b ==r r ，且a b -r r 在a r上的数量投影为2,a b =r r7．设,0,(){1,0,x a x f x x x x-+≤=+>若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是 . 8．设()f x 是定义在R 上的函数，且满足(1)0f =.若()2x y f x a =+⋅是奇函数，()3x y f x =+是偶函数，则a 的值为.9．如果关于x 的不等式1x a x x -<++的解集为一切实数，那么a 的取值范围是.10．已知()2,0A -，()2,0B ，若曲线()00,0x y x y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上存在点P 满足2PA PB -=，则b a的取值范围是. 11．已知全集(){,|,R}U x y x y =∈，若集合A U ⊆，且对任意()11,x y A ∈，均存在()22,x y A ∈，使得：12210x y x y +=，则称集合A 为“对称对点集”.给出如下集合：（1）{(,)|,Z}A x y x y =∈；（2）1(,)|,R,0A x y y x x x ⎧⎫==∈≠⎨⎬⎩⎭；（3）{(,)|21,R}A x y y x x ==+∈；（4）{}2(,)|,R,0A x y y x x x ==∈≠.其中是“对称对点集”的序号为（写出所有正确的序号）12．关于x的方程2ln 2b ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭22a b +的最小值为．二、单选题13．设a r 、b r 是非零向量，则“0a b ⋅>r r ”是“,a b 〈〉r r 为锐角”的（）条件.A ．充分必要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要 14．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③15．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，则（）A ．直线MB 与直线11B D 相交，直线MB ⊂平面1ABCB ．直线MB 与直线1DC 平行，直线MB ⊥平面11AC DC ．直线MB 与直线AC 异面，直线MB ⊥平面11ADC BD ．直线MB 与直线1A D 垂直，直线MB ∥平面11B D C16．已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（） A ．若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a +∞上单调递增B ．对于任意实数a ，若()a g x 在(),a +∞上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C ．对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D ．若函数()a g x 满足：当(),x a ∈+∞时，()0a g x ≥，当(),x a ∈-∞时，()0a g x ≤，则()f a为()f x的最小值三、解答题17．某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元.(1)引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第(18)n n≤年后所获利润()f n；(2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大?18．已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成角的大小等于θ．(1)当π3θ=时，求异面直线MC与PO所成的角；(2)当三棱锥M ACO-的体积最大时，求θ的值．19．为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的22⨯列联表.(1)根据该22⨯列联表，并依据显著水平0.05α=的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”；(2)在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量X，求X的分布及期望[]E X.附：()2 3.8410.05P χ≥≈.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率e =点,P Q 分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ V 的边PQ (1)求椭圆的标准方程； (2)过点(2,0)H -的直线交椭圆C 于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程；(3)直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设12,l l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F ．若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN V 面积的最大值．21．若函数()f x 满足：对任意正数,s t ，都有()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“H 函数”．(1)试判断函数()21f x x =与()()2ln 1f x x =+是否为“H 函数”，并说明理由；(2)若函数33x y x a =+-是“H 函数”，求实数a 的取值范围；(3)若函数()f x 为“H 函数”，()11f =，对任意正数s 、t ，都有()0f s >，()0f t >，证明：对任意()()12,2k k x k +∈∈N ，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭．。

2019届上海市复旦大学附属中学高三高考模拟试题数学试题解析版.doc

2019届上海市复旦大学附属中学高三高考4月模拟试题数学试题一、单选题1．一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800 B．6000 C．6200 D．6400【答案】D【解析】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时,中位数为(5300+5500)÷2=5400，当另外两名员工的工资都大于5300时,中位数为(6100+6500)÷2=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.本题选择D选项.2．下列不等式中，与不等式同解的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将不等式进行等价变形进行对比即可．【详解】不等式等价为，即，故选：D.【点睛】本题主要考查分式不等式的求解和变形，比较基础．3．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面，，以下结论正确的是（）A．若，，m，n是异面直线，则，相交B．若，，，则C．若，，m，n共面于，则D．若，，，，不平行，则m，n为异面直线【答案】C【解析】解：正方体中，取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；本题选择C选项.二、填空题4．方程的解为________________．【答案】【解析】或（舍）即，解得即答案为2.5．已知复数满足，则_____________．【答案】【解析】分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案．详解：由，得，设，由得，即，解得，所以，则．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．6．已知互异的复数a,b 满足ab≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += . 【答案】1-【解析】由题意22{ a a b b ==或22{ a b b a ==，因为a b ≠， 0ab ≠， 132{ 132a ib i =-+=--132{132b ia i =-+=--或，因此1a b +=-．【考点】集合的相等，解复数方程．7．袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是_____（结果用最简分数表示）. 【答案】【解析】从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，由此能求出取出的球的编号之和为奇数的概率．【详解】从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，若取出3只球中有2只偶数1只是奇数，则有种情况，若取出的3只球中有3只是奇数则有种情况，所以取出的球的编号之和为奇数的概率为.故答案为：. 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 8．已知数列是共有k 个项的有限数列，且满足，若，，，则_.【答案】【解析】由题数列是共有个项的有限数列，且满足，则，则……以上各式子同向相加，将代入可得（舍）.故答案为50.9．_____【答案】2【解析】10．△ABC所在平面上一点P满足（，m为常数），若△ABP的面积为6，则△ABC的面积为_____.【答案】12【解析】由已知中P是△ABC所在平面内一点，且满足，我们根据向量加法的三角形法则可得m2，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC＝2S△ABP，结合已知中△ABP 的面积为6，即可得到答案．【详解】取AC的中点O，则（，m为常数），，到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC=2S△ABP=12.故答案为：12.【点睛】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义，其中根据m2，得到S△ABC＝2S△ABP，是解答本题的关键．11．若对任意，不等式恒成立，则m的取值范围是_____.【答案】【解析】问题转化为m＞对任意x∈R恒成立，只需由三角函数求出求y＝的最大值即可．【详解】不等式，即.由于的最大值为，，故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题．12．设，为的展开式的各项系数之和，，，（表示不超过实数x的最大整数），则的最小值为_____【答案】【解析】利用赋值法，令可得：，，利用数学归纳法证明：，当时，成立，假设当时不等式成立，即，当时：据此可知命题成立，则，，，故，的几何意义为点到点的距离，如图所示，最小值即到的距离，由点到直线距离公式可得的最小值为.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

2019届上海市上海师范大学附属中学高三下学期第二次质量检测数学试题(解析版)

2019届上海市上海师范大学附属中学高三下学期第二次质量检测数学试题一、单选题1．用反证法证明命题“已知,*∈a b N ，如果ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（） A.,a b 都能被5整除 B.,a b 都不能被5整除 C.,a b 不都能被5整除 D.a 不能被5整除【答案】B【解析】根据反证法的概念，利用命题的否定，即可求解，得到答案．【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证，“,a b 中至少有一个能被5整除”的否定是“,a b 都不能被5整除”．故选B. 【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，合理利用命题的否定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 2．已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-； ③()4y f x =+是偶函数；若()6a f =， ()11b f =， ()2017c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A ．a b c << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】根据题意，由①分析可得函数()f x 在区间[]4,8上为增函数，由②分析可得函数()f x 的周期为8，由③分析可得函数()f x 的图象关于直线4x =-和4x =对称，进而分析可()6a f =，()11b f =， ()()()()20172528117c f f f f ==⨯+==，结合函数在[]4,8上的单调性，分析可得答案．【详解】由①得()f x 在[]4,8上单调递增；由得②()()()84f x f x f x +=-+=，故()f x 是周期为8的的周期函数，所以()()()2017252811c f f f ==⨯+=，()()113b f f ==；再由③可知()f x 的图像关于直线4x =对称，所以()()()1135b f f f ===， ()()17c f f ==．结合()f x 在[]4,8上单调递增可知， ()()()567f f f <<，即b a c <<．故选B ．【点睛】解析式不知道的函数成为抽象函数，解决抽象函数问题的基本思路有两个：（1）取特殊值.对于求函数值的问题可选择定义域内的特殊值代入解析式验证求解；（2）运用所给的性质.解题时要用好所给的函数的性质进行适当的变形，同时要灵活运用函数的其他性质，如周期性、单调性、奇偶性等，并在此基础上将抽象问题转化为函数问题求解.二、填空题3．已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，集合{}2=|,B y y x x A =∈，则A B =________．【答案】{}1【解析】先由x A ∈得出集合B ，再求得A B .【详解】因为1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，当x A ∈时，2y x =得1y =，或4y =，或14y =，所以11,4,4B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以AB ={}1，故填：{}1. 【点睛】本题考查根据集合的描述法转化为用列举法表示集合和集合间的交集运算，属于基础题.4．设m R ∈，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m =______．【答案】1-【解析】()()()()1111mi i m m i ++=-++，复数()()11mi i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的虚部为零，10m +=，解得：1m =-. 5．若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122lim nn a a a n →∞+++= .【答案】32【解析】设出等差数列的公差，由已知求得公差，然后求等差数列的前n 项和后代入122nn a a a limn →∞+++得答案．【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 2+a 3+a 4＝21，得 3a 1+6d ＝21，即3+6d ＝21，d ＝3．∴()122231133132222nn n n n n n n a a a n n limlimlim lim n n n →∞→∞→∞→∞--++++-====．故答案为：32．【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了数列极限的求法，是基础题．6．若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-++-则3a 的值等于___________．【答案】20【解析】令1x t -=，则1x t =+，所以()62601261t a a t a t a t +=++++，所以3a 就是3t 的系数，因为661661k k k k k k T C t C t --+==，所以当3k =时，33620a C ==。

上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题(含答案)

复旦附中2023学年第二学期高三年级数学三模2024.05一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．已知集合，，则______．2．设复数z 满足（i 为虚数单位），则______．3．已知，则______．4．二项式的展开式中含项的系数是______．5．无穷等比数列满足：，，则的各项和为______．6．关于x 的不等式的解集为______．7．已知双曲线Γ：的左、右焦点分别为、，过的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于点A 、B ．若为等边三角形，则的边长为______．8．在复平面xOy 内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个式子：①；②；③；④．其中恒成立的是______．（写出所有恒成立式子的序号）9．某次数学练习中，学生成绩X 服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于125的概率是______．10．若函数在上存在最小值，则实数a 的取值范围是______．11．若平面向量，，的模均在区间内，则的取值范围是______．{}11A x x =-<11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭A B = ()132i z i +=-+z =52tan 43π⎛⎫θ+=- ⎪⎝⎭tan θ=62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2x {}n a 121a a +=3414a a +={}n a 21log 1x x-<2216y x -=1F 2F 1F 2ABF △2ABF △1z 2z 1Z 2Z 2211z z =1212z z z z ⋅=⋅2211OZ OZ = 1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅ ()2115,σ()11051252P X ≤≤=343y x x =-+(),2a a +a b a b + []2,4a b ⋅12．设关于x 的方程的从小到大的第i 个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为______．二、选择题（本题共有4题，满分18分，13-14每题4分，15-16每题5分）13．已知，直线：，：，则“”是“”的（）条件．A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要14．设a 、b 为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的是（）．A.若，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则15．已知非空集合A ，B 同时满足以下两个条件：①，；②A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素．则有序集合对的个数为（）．A.4B.10C.12D.1616．无穷数列满足：，且对任意的正整数n ，均有，则下列说法正确的是（）．A.数列为严格减数列B.存在正整数n ，使得C.数列中存在某一项为最大项D.存在正整数n ，使得()sin 0x t ω=ω>()1,2,3,i x i =⋯{}n x {}n x ()1,2[]2023,2024a R ∈1l 20x ay +-=2l ()110a x ay +-+=2a =-12l l ∥a α∥b ⊂αa b ∥a α∥b β∥αβ∥a b ∥a ⊂αb ⊂βa b ∥αβ∥a ⊥αb ⊥βα⊥βa b⊥{}1,2,3,4,5,6A B = A B =∅ (),A B {}n a 101a <<()13n n a a n e a e +=-{}n a 0n a <{}n a 43n a >三、解答题（本大题共5题，满分78分）．17．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．（1）试判断的形状；（2）若，求周长的最大值．18．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题8分，第2小题6分．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局．根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．（1）经过3局比赛，记甲的得分为X ，求X 的分布和期望；（2）若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率．ABC △22sin 2Ac b c -=ABC △1c =ABC △2319．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分．如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是菱形，，FA ⊥平面ABCD ，ED ⊥平面ABCD ，．（1）在线段AF 上是否存在一点G ，使得平面平面CEF ？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由；（2）求二面角的余弦值．20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．设A ，B 是双曲线H ：上的两点．直线l 与双曲线H 的交点为P ，Q 两点．（1）若双曲线H，且点在双曲线H 上，求双曲线H 的方程；（2）设A 、B 分别是双曲线H ：的左、右顶点，直线l 平行于y 轴．求直线AP 与BQ斜率的乘积，并求直线AP 与BQ 的交点M 的轨迹方程；（3）设双曲线H ：，其中，，点M 是抛物线C ：上不同于点A 、B的动点，且直线MA 与双曲线H 相交于另一点P，直线MB 与双曲线H 相交于另一点Q ，问：直线PQ 是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．设（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记．（1）求对任意实数x ，都有成立的最小整数n 的值；（2）设，若对任意正整数，函数都存在极值点．求60ABC ∠=︒22AB FA ED ===BDG ∥B CF E --()222210,0x y a b a b -=>>()222210,0x y a b a b -=>>221x y -=()A )B22x y =()21x f x x ae =+()()1n n f x f x -'=()2,n n N ≥∈()()1n n f x f x -=()2,n n N ≥∈()()()()23n n g x f x f x f x =+++ 3n ≥()n y g x =n x t =证：点在一条定直线上，并求出该直线方程；（3）是否存在正整数和实数，使，且对于任意正整数n ，函数至多有一个极值点？若存在，求出所有满足条件的k 和；若不存在，说明理由．参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.②③;9.; 10.； 11. 12.11．若平面向量，，的模均在区间内，则的取值范围是______．【答案】【解析】.等号成立当且仅当，取边长为的等腰,其中.令即可.又.取,等号成立.故答案为12．设关于x 的方程的从小到大的第i 个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为______．【答案】【解析】设第个正解,则的正解从小到大排列为由得,()()(),3,n n n n A t g t n n N ≥∈()2k k ≥0x ()()0100k k f x f x -==()n y f x =0x ()21，13i -5-602()1,+∞45325,12⎛⎤-- ⎥⎝⎦[]14,4-()2025|,022023w w w ⎧⎫⎪⎪>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭为正整数且a b a b + []2,4a b ⋅[]14,4-()222222||2441422a b a b a b +----⋅==-…4,2a b a b ==+= 4,4,2OAB ∆2AB =,OA a BO b ==()()2224444a b a ba b +--⋅==…()20a b ,== []144,-()sin 0x t ω=ω>()1,2,3,i x i =⋯{}n x {}n x ()1,2[]2023,2024()2025|,022023w w w ⎧⎫⎪⎪>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭为正整数且i ()x i =ϕsin x t ω=()()()1,2,3,ϕϕϕ ()2x i πω=ϕ⋅π+()2i x ϕ⋅ππ=+ωω数列是无穷等差数列,当时,,当时,解得,为正整数,且.故答案为:.二、选择题13.A14.15.B16.D15．已知非空集合A ，B 同时满足以下两个条件：①，；②A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素．则有序集合对的个数为（）．A.4 B.10 C.12 D.16【答案】B【解析】若集合中有1个元素,则集合中有5个元素,则,即,此时有,若集合中有2个元素,则集合中有4个元素,则,即,此时有,若集合中有3个元素,则集合中有3个元素,则,不满足题意,若集合中有4个元素,则集合中有2个元素,则,即,此时有,若集合中有5个元素,则集合中有1个元素,则,即,此时有,故有序集合对的个数是，故选B.{}n x ()()1,2i i π∴ϕ⋅π=ω-⋅()()1,2i i ω-∴ϕ=()12x ,∈()2x ,ω∈ωω[]20232024x ,∈[]20232024x ,ω∈ωω()()20222023202322ωω∴ω-π<…20222-ω+π()()2025202712202322023w w <--…()202522023w ∴-0w >()2025|,022023w w w ⎧⎫⎪⎪>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭为正整数且{}1,2,3,4,5,6A B = A B =∅ (),A B A B 1,5A B ∉∉5,1A B ∈∈041C =A B 2,4A B ∉∉4,2A B ∈∈144C =A B 3,3A B ∉∉A B 4,2A B ∉∉2,4A B ∈∈344C =A B 5,1A B ∉∉1,5A B ∈∈441C =()A,B 144110+++=三、解答题17．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由，可得，所以，即，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以是直角三角形（2）由（1）知，是直角三角形，且，可得，，所以周长为，因为，可得，所以，当时，即．18．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）由题意得，，X 的取值可能为0，1，2，3，则，，，．所以X 的分布为因为，所以X 的期望．（2）第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：甲获胜2局，甲获胜3局，所以所求概率为．19．【答案】（1）存在，G 为AF 的中点（2）【解析】（1）线段AF 上存在一点G ，使得平面平面CEF ，且G 为AF 的中点．理由如下：如图，设G 为AF 的中点，连接GE ，因为FA ⊥平面ABCD ，ED ⊥平面ABCD ，所以，即，又，所以，所以四边形DEFG 是平行四边形，所以，因为平面CEF ，平面CEF ，所以平面CEF ；22sin 2A c b c -=2sin 22A c b c -=1cos 22A c b c --=1cos 12222A b c -=-cos bA c=2222b c a bbc c +-=222a b c +=2C π=ABC △ABC △1c =sin a A =cos b A =ABC △1sin cos 14A A A π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3,444A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭4A π=ABC △12027P =2~3,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭()32101327P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭()21322211339P X C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭()22322421339P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3283327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭1231248279927⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2323E X np ==⨯=()()48202392727P P X P X ==+==+=BD ∥FA ED ∥FG ED ∥2FA ED =FG ED =DG EF ∥EF ⊂DG ⊄DG ∥又，，所以四边形GADE 是平行四边形，所以，，又，，所以，，所以四边形BCEG 是平行四边形，所以，因为平面CEF ，平面CEF ，所以平面CEF ；又，BG ，平面BDG ，所以平面平面CEF ．（2）连接AC ，设AC 与BD 相交于点O ，因为四边形ABCD 是菱形，所以．以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过点O 且与AF 平行的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，，．设是平面BCF 的法向量，则，即，取，则，．设是平面CEF 的法向量，则，即，故，取，则，故．所以由图易知二面角是钝二面角，所以二面角的余弦值为．20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．设A ，B 是双曲线H：上的两点．直线l 与双曲线H 的交点为P ，Q 两点．（1）若双曲线H，且点在双曲线H 上，求双曲线H 的方程；（2）设A 、B 分别是双曲线H ：的左、右顶点，直线l 平行于y 轴．求直线AP 与BQ斜率的乘积，并求直线AP 与BQ 的交点M 的轨迹方程；（3）设双曲线H ：，其中，，点M 是抛物线C ：上不同于点A 、B的动点，且直线MA 与双曲线H 相交于另一点P ，直线MB 与双曲线H 相交于另一点Q ，问：直线PQ 是否GAED ∥12GA FA ED ==GE AD ∥GE AD =BC AD ∥BC AD =GE BC ∥GE BC =CE BG ∥CE ⊂BG ⊄BG ∥BGDG G =DG ⊂BDG ∥AC BD ⊥)B ()0,1,2F -()0,1,0C ()E ()1,2BF =-()BC = )1,1EF =- )1EC =-()1111,,n x y z = 1100n BF n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11111200y z y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩11x =1y =1z =(1n =()2222,,n x y z =2200n EF n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22222200y z y z -+=+-=20x =21y =21z =()20,1,1n =1cos ,n B CF E --B CF E --()222210,0x y a b a b -=>>()222210,0x y a b a b -=>>221x y -=()A )B22x y =恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2），（3）【解析】（1）（2），（3）设，，则，直线AP ：，即BQ ：，即由得所以即同理由对称性知，若过定点，则定点在y 轴上．取，得，则直线PQ ：，过．下证明直线PQ 恒过定点为．由所以直线PQ 恒过定点为．21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．设（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记．（1）求对任意实数x ，都有成立的最小整数n 的值；（2）设，若对任意正整数，函数都存在极值点．求证：点在一条定直线上，并求出该直线方程；（3）是否存在正整数和实数，使，且对于任意正整数n ，函数至多有一个极值点？若存在，求出所有满足条件的k 和；若不存在，说明理由．2212y x -=22221x y a b+=0xy ≠()0,1-2212yx -=22221x y a b+=0xy ≠()00,M x y (),P P P x y (),Q Q Q x y 202x y =1y x =++y x =+1y x =+y x =-221y x x y ⎧⎪=+⎨⎪-=⎩(2220001102x x x x x ⎛⎫ ⎪-+-++= ⎪⎝⎭P A P x x ==P x =P y =Q x =Q y =()0,0M )1P-()1Q -1y =-()0,1-()0,1-1P Py x +=1Q Qy x +=11Q P P Qy y x x ++=()0,1-()21x f x x ae =+()()1n n f x f x -'=()2,n n N ≥∈()()1n n f x f x -=()2,n n N ≥∈()()()()23n n g x f x f x f x =+++ 3n ≥()n y g x =n x t =()()(),3,n n n n A t g t n n N ≥∈()2k k ≥0x ()()0100k k f x f x -==()n y f x =0x【答案】（1）5（2）见解析（3）存在，，．【解析】（1），，，当时，，n 最小值为5．（2），，所以．，所以点在直线上．（3）当时，，因此若存在，则或．另一方面，关于a 的取值，易知当时，无极值点，至多只有一个极值点，因此只需保证至多一个极值点，即至多只有一个零点．①若，则，，解得，．此时得，即在严格增，上严格减，因此，即，即严格减，没有极值点，符合题意．②若，则，，解得，．此时得，即在严格增，严格减，因此，而，且，因此函数在和中有两个零点，且在两个零点附近正负性不同，因此有两个极值点，舍去．综上，存在，，．3k =2a e=-()22x f x x ae =+()32x f x ae =+()4x f x ae =4n ≥()()4n f x f x =()()221x n g x x n ae =++-()()210x ng x n ae '=+-=()12n t n ae -=-()()2212n t n n n n g t t n ae t =++-=n A 2y x =4k ≥()0x k f x ae =≠3k =2k =3n ≥()n f x ()22x f x x ae =+()21x f x x ae =+()22x f x x ae =+3k =()03020x f x ae =+=()020020x f x x ae =+=01x =2a e=-()13220x f x e -=-≥(],1x ∈-∞()2f x (),1]-∞[)1,+∞()()22max 10f x f ==()()2210f x f ≤=()1f x 2k =()020020x f x x ae =+=()021000x f x x ae =+=02x =24a e =-()23240x f x e -=-≥(],2ln 2x ∈-∞-()2f x (],2ln 2-∞-[)2ln 2,-+∞()()22max 2ln 222ln 20f x f =-=->()220f =()22040f e -=-<()2y f x =2x =()2ln 2,2-()1f x 3k =2a e=-。

2019学年上海市复旦附中高考数学三模试卷

3
21．已知 k R ， a 0 且 a 1， b 0 且 b 1 ，函数 f (x) ax kbx ；
（1）设 a 1， ab 1，若 f (x) 是奇函数，求 k 的值；
（2）设 a 1 b 0 ， k 0 ，判断函数 f (x) 在 R 上的单调性并加以证明；
（3）设 a 2 ，b 1 ，k 0 ，函数 f (x) 的图象是否关于某垂直于 x 轴的直线对称？如果是， 2
求出该对称轴，如果不是，请说明理由；
22．已知
A、B
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 和双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的公共顶点， P
、 Q 分别
为双曲线和椭圆上不同于 A 、B 的动点，且 AP BP (AQ BQ)( R ，| | 1) ．设 AP 、
BP 、 AQ 、 BQ 的斜率分别为 k1 、 k2 、 k3 、 k4 ．（1）求证：点 P ， Q ， O 三点共线；（2）求 k1 k2 k3 k4 的值；（3）设 F1 、 F2 分别为双曲线和椭圆的右焦点，若 QF1 / / PF2 ，求 k12 k22 k32 k42 的值．
2018 年上海市复旦附中高考数学三模试卷
一.填空题
1．（3 分）已知集合 M {x | y lgx}， N {x | y 1 x2 }，则 M N
．
2．（3 分）若复数 z 满足 (3 4i)z | 4 3i | ，则 z 的虚部为． 3．（3 分）在 ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若 a 6 ，c 4 ，sin B 3 ，
y2 b2
1(a 0,b 0) 的两条渐近线分别与抛物线交于 A 、 B 两点 ( A ， B 异于坐标原

上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷 (含答案解析)

上海市复旦附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 设x ∈R ，则“x 2<1”是“lgx <0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 定义在R 上的函数f(x)的反函数为f −1(x)且对于任意x ∈R ，都有f(−x)+f(x)=3，则f −1(x −1)+f −1(4−x)=( )A. 0B. −2C. 2D. 2x −43. 如果双曲线x 2m−y 2n=1(m >0,n >0)的渐近线方程渐近线为y =±12x ，则双曲线的离心率为( )A. 54B. 32C. √54 D. √524. 已知函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x +y)+f(x −y)(x,y ∈R)，则f(10)=( )A. 14B. 4C. −14D. −4二、填空题（本大题共12小题，共52.0分） 5. 计算n →∞lim(1−n n+1)的结果是______．6. 复数z =ai 1+2i (a <0)，其中i 为虚数单位，|z|=√5，则a 的值为______ ．7. 已知向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(−2,4)，且(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则实数x =______8. 集合A ={0,1，2，3}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =______．9. (x 2−2x +1)4的展开式中x 7的系数是______ ．10. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 对应的边分别为a ，b ，c ，若∠A =2π3，a =2，b =2√33，则∠B 等于_______．11. 若圆锥底面圆的半径为3，体积为12π，则该圆锥的侧面积是________。

12. 首项和公比均为12的等比数列{a n }，S n 是它的前n 项和，则n →∞limS n =______．13. 在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为____;乙、丙两人都选物理的概率是____． 14. 比较大小：(1)a 2+b 2_______2ab(a,b ∈R)；(2)ab +ba_________2(ab>0)．15.已知函数f(x)=2sin(x+π3),x∈(0,π3)，则f(x)的值域为__________．16.函数f(x)=2sin(2x+π6)−1在x∈[π12,π2]上的值域为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n，T n=b1+b2+⋯+b n，求T n．18.已知函数f(x)=2sin (x+π3)⋅cosx．(1)若0≤x≤π2，求函数f(x)的值域；(2)设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A为锐角，且b=2，a=√7，f(A)=√32，求cos(A−B)的值．19.随着人们生活水平的逐步提高，保健品市场正在逐步扩大．某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，保健品的年销量(k为常数)，如果不搞促销活动，保健品的年x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3−x=kt+1销量只有1万件．已知2019年生产保健品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件保健品需再投入32万元的生产费用．每件保健品的售价为其生产成本的150％与平均每件促销费用的一半之和，且当年生产的保健品正好能销完．(1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t的函数；(2)该企业2019年的促销费用投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润=销售收入−生产成本−促销费用，生产成本=固定费用+生产费用)20.已知函数f(x)=x，若数列{a n}(n∈N∗)满足：a1=1，a n+1=f(a n)x+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足：c n=2n，求数列{c n}的前n项的和S n．a n21.设实数a∈R，函数f(x)=a−2是R上的奇函数．2x+1(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)当x∈(−1,1)时，求满足不等式f(1−m)+f(1−m2)<0的实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．先分别求解”x2<1”、“lgx<0”中x的取值范围，再根据必要条件、充分条件、充要条件定义判断即可．解：∵x2<1，即−1<x<1，lgx<0，即0<x<1，∴由0<x<1推出−1<x<1，而由−1<x<1推不出0<x<1，∴“x2<1”是“lgx<0”的必要不充分条件．故选B．2.答案：A解析：本题考查反函数的运算性质，属于基础题，利用反函数的运算性质即可得出．解：∵在R上的函数f(x)的反函数为f−1(x)，且对于任意x∈R，都有f(−x)+f(x)=3，∴f−1(3)=−x+x=0，则f(f−1(x−1)+f−1(4−x))=x−1+4−x=3，∴f−1(x−1)+f−1(4−x)=0．故选A．3.答案：D解析：解：∵双曲线方程为x2m −y2n=1(m>0,n>0)∴a2=m，b2=n，得a=√m，b=√n因此双曲线的渐近线方程y=±ba x，即y=±√nmx∴√n m =12，得m =4n ，所以c =√a 2+b 2=√5n 双曲线的离心率e =c a=√5n m=√5n 4n=√52故选：D ．根据双曲线方程得a =√m ，b =√n.结合双曲线的渐近线方程，得a =2b ，即m =4n ，再利用离心率的计算公式即可算出该双曲线的离心率．本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．4.答案：C解析：令y =1，则4f(x)f(1)=f(x +1)+f(x −1)，所以f(x)=f(x +1)+f(x −1)，所以f(x +1)=f(x +2)+f(x)，所以f(x +2)+f(x −1)=0，即f(x)+f(x +3)=0，所以f(10)=−f(7)=f(4)=−f(1)=−145.答案：0解析：解：n →∞lim(1−nn+1)=n →∞lim(1−11+1n)=1−11−0=0．故答案为：0．利用数列的极限的运算法则求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．6.答案：−5解析：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：复数z =ai1+2i =ai(1−2i)(1+2i)(1−2i)=ai+2a 5，∵|z|=√5，∴√(2a5)2+(a 5)2=√5，化为：a 2=25，(a <0)．解得a =−5．故答案为：−5．7.答案：112解析：解：a⃗−b⃗ =(3,x−4)；∵(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ；∴(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =−6+4(x−4)=0；∴x=11．2故答案为：11．2可求出a⃗−b⃗ =(3,x−4)，根据(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ 即可得出(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量坐标的减法和数量积的运算，向量垂直的充要条件．8.答案：{0,1，2}解析：解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={0,1，2}．故答案为：{0,1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：−8解析：解：(x2−2x+1)4=(x−1)8的展开式的通项公式为T r+1=C8r⋅(−1)r⋅x8−r，令8−r=7，求得r=1，可得展开式中x7的系数是−8，故答案为：−8．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于07，求得r的值，即可求得展开式中的x7的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．10.答案：π6解析：本题主要考查正弦定理的应用.直接利用正弦定理求解sin B ，进而得到角B 的大小．解：在三角形ABC 中，由正弦定理得asinA =bsinB ，即2√32=2√33sinB，解得sinB =12，因为b <a ，则B =π6，故答案为π6．11.答案：15π解析：本题主要考查圆锥侧面积，解答本题的关键是求出圆锥的母线长l =√r 2+ℎ2=√32+42=5，然后再求它的侧面积．解：设圆锥的高为h ，底面半径为r ， ∵圆锥底面圆的半径为3，体积为12π，，即ℎ=4，∴圆锥的母线长l =√r 2+ℎ2=√32+42=5， ∴圆锥的侧面积，故答案为15π．12.答案：1解析：解：根据题意，等比数列{a n }的首项和公比均为12，则其前n 项和S n =12[1−(12)n ]1−12=1−(12)n ，则n →∞limS n =1；故答案为：1．。

复旦大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

复旦大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()y f x =的图象如图甲所示，则函数(||)f x 的图象是图乙中的（）2．设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l 3．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A B1C D4． “3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．5．如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）6．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．77．已知函数，，若，则（）A1B2 C3 D-18．函数21()ln 2f x x x ax =++存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 9．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（）A ．725B ．725- C. 725± D ．242510．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交双曲线于Q P ,两点且1PF PQ ⊥，若||||1PF PQ λ=，34125≤≤λ，则双曲线离心率e 的取值范围为（）.A. ]210,1(B. ]537,1(C. ]210,537[ D. ),210[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）11．4213532,4,25a b c ===，则（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<12．已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ> ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上） 14．设集合 {}{}22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤,满足A B =∅,{}|52A B x x =-<≤,求实数a =__________.15．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1sin 3BAM ∠=，则AC 的长为_________. 16．数列{ a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c （c 为常数），{a n }的前10项和为S 10＝200，则c ＝________．三、解答题（本大共6小题，共70分。

上海市复旦大学附属中学2019学年第一学期高三年级开学摸底考试数学试题含答案

（2）若 PB = PA，求实数的取值范围；
（3）若射线 BO 交椭圆 C 于点 M（O 为原点），求 VABM 面积的最大值.
21.
已知函数 h ( x) =
mx 3x2
+n + 27
为奇函数，
k
(
x
)
=
1 3
x−m
，其中 m、 n R.
（1）若函数 h ( x) 的图像过点 A(1,1)，求实数 m 和 n 的值；
②若 sin A PA + sin B PB + sin C PC = 0 ，则点 P 为 ABC 的____________；
③若 sin 2A PA + sin 2B PB + sin 2C PC = 0 ，则点 P 为 ABC 的____________.
回答以下两个小问：
（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上
（3）若 fmin ( x) = m, gmin ( x) = n ，则 Fmin ( f ( x), g ( x)) = F (m, n) ；
（4）若 f ( x) 、 g ( x) 都是周期函数，则函数 F ( f ( x), g ( x)) 是周期函数.
其中正确命题的个数为（）
A. 1 个
B. 2 个
A. 重心
B. 外心
C. 内心
（2）请你证明结论②
D. 垂心
第3页
20.
已知椭圆 C : x2 a2
+
y2 b2
= 1(a b 0) 的右焦点为 F (1, 0) ，短轴长为
2，过定点
P(0,2)的直线
l
交椭圆
C 于不同的两点 A、B（点 B 在点 A，P 之间）. （1）求椭圆 C 的方程；

2018-2019年上海市复旦附中高三5月模拟教师版

复旦附中高三模拟数学试卷2019.05一. 填空题1.不等式13x >的解集为________ 【答案】1(0,)32. 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．【答案】103.已知110002111000n n n n a n n n+⎧≥⎪⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩()n *∈N ，则lim n n a →∞=________ 【答案】12 4.一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则项数n =_____【答案】14 5.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为________【答案】83.底面积1234432S =⨯⨯= 43283V Sh ==⨯= 6.若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________【答案】0或27.已知变量,x y 满足约束条件2{11y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．【答案】11由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．8.已知点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB ==u u u r u u u r ，则·AO BC =u u u r u u u r．【答案】6由题意点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB ==u u u r u u u r，则()cos ,cos ,AO BC AO AC AB AO AC AO AB AO AC AO AC AO AB AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=⋅〈〉-⋅〈〉u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()11144226222AC AC AB AB =⋅⋅-⋅⋅=⨯-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r9.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{|09,}a b n n n ∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，称甲乙“心有灵犀”，则甲乙“心有灵犀”的概率是________【答案】725满足||1a b -≤，当0a =时：0,1b b == 两种情况；当(18)a m m =≤≤时：1,,1b m b m b m =-==+三种情况；当9a =时：8,9b b ==两种情况；故满足条件的情况一共：223828⨯+⨯= ，28710025P ==10.在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2,::3::1DC BD AB AD AC k ==，则实数k 的取值范围是__________．【答案】57,33⎛⎫⎪⎝⎭不妨设3AB =，1AC =，AD k =，∵2DC AB =，从而2BD DC =u u u r u u u r，即()2AC AD AD AB -=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，从而2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，2224199AD AB AC u u u v u u u v u u u v =+49AB AC u u u v u u u v +⋅，21124cos 99k θ=++，又1cos θ1-<<，从而2254999k <<，即5733k << 11.已知函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数，则关于x 的方程211sin 2cos488x x x x -+=的实根为________【答案】022221111sin 2cos4sin 2sin 20(sin 2)08842x x x x x x x x x x -+=⇒-+=⇒-= 1sin 202sin 202x x x x -=⇒-=，验证知：0x =是方程的解.函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数，(2)f x 单调递增，最多有一个零点. 故0x =是方程的唯一解12.已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅满足下列性质T 的一个排列（2n ≥，n *∈N ），性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且只有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列的个数()f n =________ 【答案】21n n --考虑()f n 和(1)f n -之间的关系，为此考虑两种情况下的()f n ：第一种为1到1n -符合性质T 排列，不妨设1i i a a +>，此时n 要么放在末尾要么放在i a 和1i a +之间，这一共有2(1)f n - 种情况；第二种为1到1n -不符合性质T 排列，此时若想插入数n 使得序列满足性质T ，则前1n -个数只能递增排列，然后插入n ，有1n -种情况；故()2(1)1f n f n n =-+- ，()2(1)1()12[(1)]f n f n n f n n f n n =-+-⇒++=-+设1()12n n n a f n n a a -=++⇒=，易知22(2)14422n n n f a a -=⇒=⇒=⨯=1())2(2n n f n n --≥=二. 选择题13.2λ>是圆锥曲线22152y x λλ-=+-焦距与实数λ无关的（ A ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件当2λ>，2222115252y x y x λλλλ-=⇒+=+-+-表示椭圆焦距为：=与实数λ无关，充分性当52λ-<<，22152y x λλ-=+-表示双曲线焦距为：=与实数λ无关，不必要14.直线y kx m =+与双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的交点个数最多为（ B ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2222222222222222222()()201y kx m b x a kx m a b b a k x a kmx a m a b x y ab =+⎧⎪⇒-+=⇒----=⎨-=⎪⎩ 2220b a k -=时：方程有一个解或者无解。

上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高三下学期数综合周练

复旦附中高三数学综合练习452020.03一.选择题1.曲线的参数方程为22321x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩,其中0≤t≤5,则曲线是()A.线段B.双曲线的一支C.圆弧D.射线2.若a 、b 表示两条直线,α表示平面,下列说法中正确的为()A.若a ⊥α,a ⊥b,则b ∥αB.若a ∥α,a ⊥b,则b ⊥αC.若a ⊥α,b ⊂α,则a ⊥bD.若a ∥α,b ∥α,则a ∥b3.若函数y=f(x),x ∈R 为非奇非偶函数,则有()A.对于任意的x 0∈R ,都有f(-x 0)≠f(x 0)且f(-x 0)≠-f(x 0)B.存在x 0∈R ,使f(-x 0)≠f(x 0)且f(-x 0)≠-f(x 0)C.存在x 1,x 2∈R ,使f(-x 1)≠f(x 1)且f(-x 2)≠-f(x 2)D.对于任意的x 0∈R ,都有f(-x 0)≠f(x 0)或f(-x 0)≠-f(x 0)4.已知数列{a n }与{b n }前n 项和分别为S n 、T n ,且a n >0,2S,=a 2+a n ,n ∈N *,1121(2)2)(n n n n n n b a a +++=++,对任意的n ∈N *,k>T n 恒成立,则k 的最小值是( )A.1B. 12C. 13D. 16二.解答题5.(1)不等式13x <的解集为___ (2)已知向量(3,1,5)a =-r ,(1,2,1)b =-r ,则||()a tb t +∈r r R 的最小值为___ (3)函数y=2x(x≥2)的反函数是___ (4)022222lim 34n n n n n n C C C →∞+++=-L _____ (5)某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且此方程组无解,则实数m=____ (6)若双曲线223x y m m -=1的焦点在y 轴上,焦距为8,则实数m=___。

2019届上海市上海师范大学附属中学高三下学期质量检测数学试题(解析版)

2019届上海市上海师范大学附属中学高三下学期质量检测数学试题一、单选题1．已知函数()()f x x R ∈满足()f x =()4f x -,若函数y =241x x -+与()y f x =图象的交点为()()()()112233,,,,,,,,,n n x y x y x y x y 则1ni i x ==∑A ．0B ．nC ．2nD ．4n【答案】C【解析】由()f x =()4f x -知函数()y f x =的图象关于直线x =2对称,且函数y =241x x -+的图象也关于直线x=2对称,则两个函数图象的交点两两关于直线x=2对称,故12nii xn ==∑.故答案为：C.2．关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，则方程组存在唯一解的条件是（） A ．12a a ⎛⎫⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭平行 B ．12a a ⎛⎫⎪⎝⎭与12c c ⎛⎫⎪⎝⎭不平 C ．12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭不平行D ．12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12c c ⎛⎫⎪⎝⎭不平行【答案】C【解析】由方程组存在唯一解时，系数行列式11210a b a b ≠，所以12210a b a b -≠，即可求解．【详解】由题意，关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵是111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，若方程组存在唯一解时，系数行列式11210a b a b ≠，所以12210a b a b -≠，又由1122,a b a b a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得向量a 和b 不平行，即12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭不平行．故选：C ．【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及二元一次方程组的增广矩阵的应用，其中解答中熟记二元一次方程组唯一解的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．在R t A B C ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（） A ．12B ．13C ．14D ．18【答案】C【解析】取MN 中点D ，由极化恒等式得，22PM PN PD DM ⋅=-，所以当DP BC ⊥，PM PN ⋅最小，则14PC BC =，即14k =。

2019届上海市复旦附中高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2019届上海市复旦附中高三上学期第一次月考数学试题一、单选题 1．设集合1{|0}x A x x a-=≥-，集合{}21B x x =->，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是（） A.1a ≤ B.3a ≤C.13a ≤≤D.3a ≥【答案】C【解析】先求出集合B ，比较a 与1的大小关系，结合B A ⊆，可求出实数a 的取值范围. 【详解】解不等式21x ->，即21x -<-或21x ->，解得1x <或3x >，{1B x x ∴=<或}3x >.①当1a =时，{}1A x x =≠，则B A ⊆成立，符合题意； ②当1a <时，{A x x a =<或}1x ≥，B A ⊄，不符合题意；③当1a >时，{1A x x =≤或}x a >，由B A ⊆，可得出3a ≤，此时13a <?. 综上所述，实数a 的取值范围是13a ≤≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论． 2．条件甲：函数满足()1()f x f x -=；条件乙：函数是偶函数，则甲是乙的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】【详解】条件甲:函数()f x 满足()1()f x f x -=, 即()()f x f x -=可以得到函数是一个偶函数条件乙:函数()f x 是偶函数,一定要满足()()f x f x =-, 但是不能保证两边同除以()f x 有意义, 所以条件甲是条件乙的充分非必要条件, 所以A 选项是正确的，故选A.3．关于函数()()4f x x x x x R =+∈的反函数，正确的是（） A.有反函数()12,02,0x fx x -≥=< B.有反函数()12,020x fx x -≥=-<⎪⎩ C.有反函数()12,02,0x f x x -≥=< D.无反函数【答案】B【解析】将函数()y f x =表示为分段函数的形式，判断该函数为增函数，然后分0x ≥和0x <解出该函数的反函数. 【详解】()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，作出函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，函数()y f x =在R 上为增函数，该函数存在反函数. 当0x ≥时，由()22424y x x x =+=+-，得2x =-当0x <时，由()22y x 4x x 24=-+=--+，得2x =. 因此， ()12,020x f x x -≥=<⎪⎩，故选：B.【点睛】本题考查反函数解析式的求解，在判断函数的存在性时，还应考查函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题： ①若0a >，0b >，则()ln lnln ab a b +++=+；②若0a >，0b >，则l ln n b a b a ++=； ③若0a >，0b >，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭； ④若0a >，0b >，则()ln ln n l l 2na b a b +++++≤++.则所有真命题的序号为（） A.①②③ B.①②④C.③④D.②③④【答案】D【解析】对于①，通过举反例说明错误；对于②，由“正对数”的定义分别对a 、b 分01a <<，0b >；1a ≥，0b >两种情况进行推理；对于③④，分别从四种情况，即当01a <<，0b >时；当1a ≥，01b <<时；当01a <<，1b ≥时；当1a ≥，1b ≥时进行推理．【详解】对于①，当14a =，2b =时，满足0a >，0b >，而()1ln ln02ab ++==， 1ln a ln b ln ln 2ln24+++++=+=，()ln ln ln ab a b +++∴≠+，命题①错误；对于②，当01a <<，0b >时，有01b a <<，从而()ln0ba +=，ln00b a b +=⨯=，()lnlnb a a b ++∴=；当1a ≥，0b >时，有1b a >，从而()lnln ln bba ab a +==，ln ln b a b a +=，()ln ln b a b a ++∴=.∴当0a >，0b >时，()ln ln b a b a ++=，命题②正确；对于③，由“正对数”的定义知，ln 0x +≥且ln ln x x +≥．当01a <<，01b <<时，ln ln 000a b ++-=-=，而ln 0a b +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭；当1a ≥，01b <<时，有1ab>，ln ln ln 0ln a b a a +++-=-=，而ln ln ln ln a a a b b b +⎛⎫==- ⎪⎝⎭，ln 0b <Q ，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭．当01a <<，1b ≥时，有01ab<<，ln ln 0ln ln 0a b b b +++-=-=-<，而ln 0a b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭．当1a ≥，1b ≥时，ln ln ln ln lna ab a b b ++-=-=，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭． ∴当0a >，0b >时，n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，命题③正确；对于④，由“正对数”的定义知，当12x x ≤时，有12ln ln x x ++≤.当01a <<，01b <<时，有02a b <+<，从而()lnln 2ln 2a b +++<=，ln ln ln 200ln 2ln 2a b +++++=++=，()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当1a ≥，01b <<时，有1a b +>，从而()()()lnln ln ln 2a b a b a a a ++=+<+=，ln ln ln 2ln 0ln 2ln 2a b a a +++++=++=，()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当01a <<，1b ≥时，有1a b +>，从而()()()lnln ln ln 2a b a b b b b ++=+<+=，ln ln ln 20ln ln 2ln 2a b b b +++++=++=，()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当1a ≥，1b ≥时，()()lnln a b a b ++=+，()ln ln ln 2ln ln ln 2ln 2a b a b ab +++++=++=，()()()2110ab a b ab a ab b a b b a -+=-+-=-+-≥Q ，2ab a b ∴≥+，从而()ln ln n l l 2na b a b +++++≤++，命题④正确．∴正确的命题是②③④．故选：D ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题．二、填空题 5．已知全集，,则_________．【答案】【解析】试题分析：根据条件得到集合A ，集合B 的补集，再由集合的交集运算得到最终结果. 详解: 根据条件得到,,,则。

2019届上海市复旦附中高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

上海市2018-2019学年复旦附中高三上学期第一次月考一、选择题（本大题共4小题）1.设集合，集合，且，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：或，则或，对于A，且，时，，成立，符合题意，时，或，不会成立，不符合题意，时，或，要使成立，必有，则a的范围是，综合可得，a的取值范围为；故选：C．解可得集合B，对于A，先将转化为且，分，，三种情况讨论，求出集合A，判断是否成立，综合可得a的范围，即可得答案．本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论．2.条件甲：函数满足；条件乙：函数是偶函数，则甲是乙的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：条件甲：函数满足，即可以得到函数是一个偶函数条件乙：函数是偶函数，一定要满足，但是不能保证两边同除以有意义，条件甲是条件乙的充分非必要条件，故选：A．利用奇函数的定义“函数的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有，且，则这个函数叫做偶函数”，针对于两个条件分析得到结论．本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，本题解题的关键是对函数式要进行等价变形，本题属于基础题．3.关于函数的反函数，正确的是A. 有反函数B. 有反函数C. 有反函数D. 无反函数【答案】B【解析】解：因为，由得；由，得，，故选：B．直接就出反函数．本题考查了反函数属基础题．4.定义“正对数”：，现有四个命题：若，，则；若，，则若，，则若，，则则所有真命题的序号为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：对于，当，时，满足，，而，，，命题错误；对于，当，时，有，从而，，；当，时，有，从而，，；当，时，，命题正确；对于，由“正对数”的定义知，且．当，时，，而，则；当，时，有，，而，，则．当，时，有，，而，则．当，时，，则．当，时，，命题正确；对于，由“正对数”的定义知，当时，有，当，时，有，从而，，当，时，有，从而，，当，时，有，从而，，当，时，，，，，从而命题正确．正确的命题是．故选：D．对于，通过举反例说明错误；对于，由“正对数”的定义分别对a，b从，；，两种情况进行推理；对于，分别从四种情况，即当，时；当，时；当，时；当，时进行推理．本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题．二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知全集，，，则______．【答案】【解析】解：全集，，，，．故答案为：．利用题设条件，先分别求出集合A和，由此能求出B.本题考查集合的交、交、补的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答．6.在复数集上，方程的根是______．【答案】【解析】解：根据题意，：所以原方程的根为：是虚数单位整理，得，故答案为：方程的根的判别式：，再用一元二次方程的求根的公式可以得出原方程的解．本题考查了一元二次方程根的求解，属于基础题当根的判别式小于0时，方程有一对共轭的虚数根．7.方程的解是______．【答案】2【解析】解：，，，解得舍，，．故答案为：2．由，得，由此能求出x的值，解题时要注意验根．本题考查对数的性质和运算法则的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，易错点是容易产生增根．8.已知AB为抛物线的弦，如果此弦的垂直平分线的方程是，则弦AB所在直线的方程是______．【答案】【解析】解：设，，AB的中点，则，，两式作差可得：，，即．的垂直平分线的方程是，，即，代入，得．则弦AB所在直线的方程是，即．故答案为：．设出A，B，M的坐标，把A，B的坐标代入抛物线方程，作差可得AB的斜率，再由AB的垂直平分线的方程是得M的坐标，由直线方程点斜式得答案．本题考查直线与抛物线位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解中点弦问题，是中档题．9.函数的递增区间是______．【答案】【解析】解：函数的递增区间，即函数的增区间，结合函数的图象可得它的增区间为，故答案为：．函数的递增区间，即函数的增区间，结合函数的图象可得结论．本题主要考查根式、绝对值的性质，体现了转化思想，属于基础题．10.设a、，则______．【答案】0【解析】解：因为a、，所以，分式分子、分母同时除以，有：故答案为：0因为a、，所以，则，即得解．本题考查了极限及其运算，考查了极限思想，属简单题．11.若函数偶函数，则实数k的值是______．【答案】【解析】解：函数偶函数，的定义域为R，即有，，可得，即有恒成立，解得．故答案为：．由题意可得函数的定义域为R，且有，运用对数的运算性质，化简可得k 的值．本题考查函数的奇偶性的定义和应用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.正方体的体对角线与面对角线所成的角的集合是______．【答案】【解析】解：如图所示，连接AC，．则，．．平面．．体对角线与面对角线BD所成角为；设正方体的棱长为1，则，，，体对角线与面对角线AC所成角为．正方体的体对角线与面对角线所成的角的集合是故答案为：利用正方体的性质、线面垂直的判定与性质即可得出．本题考查正方体的性质、线面垂直的判定与性质，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．13.某班级有38人，现需要随机抽取2人参加一次问卷调查，那么甲同学选上，乙同学未选上的概率是______用分数作答．【答案】【解析】解：由题意，基本事件总数为，甲同学选上，乙同学未选上共有36种故甲同学选上，乙同学未选上的概率是故答案为：确定基本事件总数，甲同学选上，乙同学未选上的情况种数，由此即可求得概率．本题考查古典概型概率的计算，解题的关键是确定基本事件总数，属于基础题．14.观察下列等式：照此规律，第n个等式可为______．【答案】【解析】解：观察下列等式：分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为．当n为偶数时，分组求和，当n为奇数时，第n个等式左边．综上，第n个等式为．故答案为：．等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．15.已知二次函数的图象为开口向下的抛物线，且对任意都有若向量，，则满足不等式的m的取值范围为______．【答案】【解析】解：不等式转化为：．函数的图象关于直线对称又开口向下又故答案为：由将不等式转化为，再由可知函数的图象关于直线对称，又开口向下，利用二次函数的图象特征求解．本题主要考查二次函数的单调性和对称性，还考查了数量积运算．16.某班共有50名学生，已知以下信息：男生共有33人；女团员共有7人；住校的女生共有9人；不住校的团员共有15人；住校的男团员共有6人；男生中非团员且不住校的共有8人；女生中非团员且不住校的共有3人．根据以上信息，该班住校生共有______人【答案】24【解析】解：女生共有人，其中住校的有9人，则不住校的有8人，而不住校的非团员共有3人，不住校的团员有5人，由女团员共有7人，住校的女团员2人；由不住校的团员共有15人，而其中女团员5人，不住校的男团员有10人，又男生中非团员且不住校的共有8人；综上可知：不住校的男团员有10人，女团员5人；不住校的男非团员8人，女非团员3人．即不住校的学生共有人，因此该班住校生共有24人．故答案为24．通过分类讨论得出如下表格即可求出答案．熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知集合且．用列举法写出集合；是否存在自然数n，使得，若存在，求出n的值，并写出此时集合P 的元素个数；若不存在，请说明理由．【答案】解：当时，且24，；，且，故，此时中最小的元素为：1029，最大的元素为：2044，，故此时P中共有元素146个．【解析】当时，且，进而可得答案；由，且，可得，求出P中元素的最值，结合各元素之间公差为7，可得元素个数．本题考查的知识点是等差数列的应用，集合的表示法，集合元素的个数，难度中档．18.设函数是由曲线：确定的．写出函数，并判断该函数的奇偶性；求函数的单调区间并证明其单调性．【答案】解：根据题意，是由曲线：确定的，其定义域为或，则，当时，，则，即函数为奇函数；的单调递增区间为、；证明：设，则，又由，则，，则，则函数为增函数；设，则，又由，则，，则，则函数为增函数；即可得证明．【解析】根据题意，分析可得函数的定义域，结合可得函数的解析式，结合函数奇偶性定义分析可得答案；根据题意，由作差法分析可得结论．本题考查函数的单调性与奇偶性的判断与证明，关键是确定函数的解析式，属于基础题．19.中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受如图为一花窗；图所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30cm，宽26cm，其内部窗芯不含长方形边框用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．试用x，y表示L；如果要求六根支条的长度均不小于2cm，每个菱形的面积为，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料不计榫卯及其它损耗？【答案】解：由题意，水平方向每根支条长为，竖直方向每根支条长为，菱形的边长为．从而，所需木料的长度之和．由题意，，即，又由可得所以．令，其导函数在上恒成立，故在上单调递减，所以可得．则．因为函数和在上均为增函数，所以在上为增函数，故当，即，时L有最小值．答：做这样一个窗芯至少需要长的条形木料．【解析】分别求出水平方向每根支条长、竖直方向每根支条长、菱形的边长，即可用x，y表示L；换元，求导确定函数的单调性，即可得出结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．20.定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，．判断并证明在上的单调性，并求在上的解析式；当为何值时，关于x的方程在上有实数解？【答案】本题满分16分本题共有2个小题，第1小题满分分，第2小题满分分．解：在上为减函数分证明如下：设则，，．．；在上为减函数分当时，，又为奇函数，，分当时，由分有最小正周期4，分综上，周期为4的周期函数，关于方程在上有实数解的的范围即为求函数在上的值域分当时由知，在上为减函数，，当时，分当0，时，分的值域为分时方程方程在上有实数解分第 11 页共 12 页【解析】由是上的奇函数，得再由最小正周期为4，得到和的值然后求上的解析式，通过在上取变量，转化到上，即可得到结论．根据条件把问题转化为求函数在上的值域问题即可．本题主要考查如何利用求对称区间上的解析式，特别注意端点问题，还考查了用定义证明单调性求分段函数值域问题．21.已知及．分别求、的定义域，并求的值；求的最小值并说明理由；若，是否存在满足下列条件的正数t，使得对于任意的正数x，a、b、c都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：、的定义域均为；分分，分易知函数与在上均为减函数，在上均为增函数，分，分若能构成三角形，只需恒成立分由知，，，，即分由知，，分综上，存在，满足题设条件分【解析】利用被开放数大于0可求函数的定义域，直接相乘化简即可；先考虑，再说明函数与在上均为减函数，在上均为增函数，从未求出函数的最小值．利用构成三角形的条件，转化为恒成立问题利用的结论可确定．本题主要考查利用函数单调性求函数的最值，将是否存在性问题转化为恒成立问题时解题的关键．第 12 页共 12 页。

上海复旦二附中2019-2020学年高三数学文联考试卷含解析

上海复旦二附中2019-2020学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为(A)3 (B) (C)4 ( D)参考答案：B略2. 某市的一次食品安全检查中，采用分层抽样的方法对在本市注册的4家大型食品加工企业，20家中型食品加工企业和x家小型食品加工企业生产的产品进行检查．结果共检查了包括5家中型企业在内的40家食品加工企业生产的产品，则该市注册的小型食品加工企业有（）A． 160家 B． 136 家 C． 116家 D． 16 家参考答案：B略3. 是虚数单位，若 (1+i)z=i，则z=（）A． B．C．D．参考答案：A4. 已知为内一点，若对任意，恒有则一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定参考答案：A略5. 设i是虚数单位，复数( )A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===3﹣2i，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．6. 等比的正数数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35参考答案：B【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】由a5a6=9，取常数列{a n}的各项都为3，代入所求的式子中，利用对数的运算法则即可求出所求式子的值．【解答】解：取特殊数列a n=3，则log3a1+log3a2+…+log3a10==10，故选B．【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用对数的运算法则化简求值，是一道基础题．本题是利用特殊值的方程来解的，此方法是解选择题的一种好方法．7. 设动直线与函数的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为( )A． B． C． D．参考答案：A略8. 已知两个平面,,点, ，命题P：是命题:的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件参考答案：B9. 有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（）A．7 B．6 C．5 D．4参考答案：A【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由题意作出文氏图，能求出只持有B股票的股民人数..【解答】解：由题意作出文氏图，如下：其中m+n+p=7．∴只持有B股票的股民人数是7人．故选：A．10. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是A． B．C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于______.参考答案：12. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取名学生.参考答案：60由分层抽样方法可得一年级抽取人数为.13. 已知为等差数列，，为其前n项和，则使达到最大值的n等于___________.参考答案：614. .参考答案：答案：15. 命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是．参考答案：存在,使.16. 下面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率是．参考答案：17. 在（1+x）?（1+2x）5的展开式中，x4的系数为（用数字作答）参考答案：160【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（1+x）?（1+2x）5的展开式中，含x4的项是第一个因式取1和x时，后一个因式应取x4和x3项，求出它们的系数和即可．【解答】解：在（1+x）?（1+2x）5的展开式中：当第一个因式取1时，则后一个因式取含x4的项为24?x4=80x4；当第一个因式取x时，则后一个因式取含x3的项为23?x3=80x3；所以展开式中x4的系数为：80+80=160．故答案为：160．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

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