高考压轴题数列50例
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高考压轴题瓶颈系列之
——浙江卷数列
【见证高考卷之特仑苏】
1. 【2014年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知数列
{}n a 和{}
n b ()()*
∈=
N n a a a n
b n 221Λ.若{}n
a 为等比数列,且.
6,223
1
b b
a +==
(Ⅰ)求
n
a 与
n
b ;
(Ⅱ)设()
*
∈-=
N n b a c n
n n 11。记数列{}n c 的前n 项和为n S .
(i )求
n
S ;
(ii )求正整数k ,使得对任意*
∈N n ,均有n
k S S ≥.
2. 【2011年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列
{}
n a 的首项
1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ,且11a ,21a ,41
a 成等比数列
(Ⅰ)求数列
{}
n a 的通项公式及
n
S
(Ⅱ)记1231111
...n n A S S S S =
++++
,
212221111...n n B a a a a =++++,当2n ≥时,试比
较
n
A 与
n
B 的大
3. 【2008年.浙江卷.理22】(本题14分)已知数列
{}n a ,0≥n a ,01=a ,
22111()
n n n a a a n N •+++-=∈.
n
n a a a S +++=Λ21)1()1)(1(1
)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=
ΛΛ.
求证:当•
∈N n 时,(Ⅰ)1
+ 2 ->n S n ;(Ⅲ) 3 4. 【2007年.浙江卷.理21】(本题15分)已知数列 {} n a 中的相邻两项 21,2k k a a -是关于x 的方程 2(32)320k k x k x k -++=的两个根,且212(1,2,3,)k k a a k -≤=L (Ⅰ)求 1,357 ,,a a a a ; (Ⅱ)求数列 {} n a 的前2n 项的和 2n S ; (Ⅲ)记1|sin |()(3)2sin n f n n =+, (2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----= ++++L 求证:*15 () 624n T n N ≤≤∈ 5. (2015年浙江卷第20题) 2 *111,() 2n n n a a a a n N +==-∈ (1)求证: 1 12n n a a +≤ ≤ (2)设数列2 {}n a 的前n 项和为n S ,证明:*11() 2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++ 6.【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足 1 12n n a a +- ≤,n *∈N . (I )证明: () 1122n n a a -≥-,n * ∈N ; (II )若 32n n a ⎛⎫ ≤ ⎪ ⎝⎭,n *∈N ,证明:2n a ≤,n *∈N . 【例题讲解之伊利奶粉】 例1.(浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考)已知数列 {}n a 满足a 1 =3, 2* 12,n n n a a a n N +=+∈ , 设 2log (1) n n b a =+. (I )求 {} n a 的通项公式; (II )求证:1111++++(2)231n n n b <≥-L ; (III )若2n c n b =,求证:2≤1( ) n n n c c +<3. 例2.(浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟)正项数列 {}n a 满足 2211 32n n n n a a a a +++=+, 11 a =. (Ⅰ)求 2 a 的值; (Ⅱ)证明:对任意的n N * ∈,1 2n n a a +≤; (Ⅲ)记数列 {}n a 的前n 项和为n S ,证明:对任意的n N *∈, 11 232n n S -- ≤<. 例3.(浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末)已知数列 {} n a 满足 2 1111,8n n a a a m +== +, (1)若数列 {} n a 是常数列,求m 的值; (2)当1m >时,求证:1 n n a a +<; (3)求最大的正数m ,使得4 n a <对一切整数n 恒成立,并证明你的结论。 例4.(浙江省温州市2017届高三下学期返校联考)设数列均为正项数列,其中 ,且满足: 成等比数列, 成等差数列。 (Ⅰ)(1)证明数列是等差数列;(2)求通项公式, 。 (Ⅱ)设 ,数列 的前项和记为 ,证明: 。