高考压轴题数列50例

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高考压轴题瓶颈系列之

——浙江卷数列

【见证高考卷之特仑苏】

1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列

{}n a 和{}

n b ()()*

∈=

N n a a a n

b n 221Λ.若{}n

a 为等比数列，且.

6,223

1

b b

a +==

(Ⅰ)求

n

a 与

n

b ；

(Ⅱ)设()

*

∈-=

N n b a c n

n n 11。记数列{}n c 的前n 项和为n S .

（i ）求

n

S ；

（ii ）求正整数k ，使得对任意*

∈N n ，均有n

k S S ≥．

2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列

{}

n a 的首项

1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41

a 成等比数列

（Ⅰ）求数列

{}

n a 的通项公式及

n

S

（Ⅱ）记1231111

...n n A S S S S =

++++

，

212221111...n n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比

较

n

A 与

n

B 的大

3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列

{}n a ，0≥n a ，01=a ，

22111()

n n n a a a n N •+++-=∈．

n

n a a a S +++=Λ21)1()1)(1(1

)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=

ΛΛ．

求证：当•

∈N n 时，（Ⅰ）1

+

2

->n S n ；（Ⅲ）

3

4. 【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列

{}

n a 中的相邻两项

21,2k k

a a -是关于x

的方程

2(32)320k k x k x k -++=的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=L

（Ⅰ）求

1,357

,,a a a a ；

（Ⅱ）求数列

{}

n a 的前2n 项的和

2n

S ；

（Ⅲ）记1|sin |()(3)2sin n f n n =+，

(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=

++++L 求证：*15

()

624n T n N ≤≤∈

5. （2015年浙江卷第20题）

2

*111,()

2n n n a a a a n N +==-∈

（1）求证：

1

12n

n a a +≤

≤

（2）设数列2

{}n

a 的前n 项和为n S ，证明：*11()

2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++

6.【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足

1

12n n a a +-

≤，n *∈N ．

（I ）证明：

()

1122n n a a -≥-，n *

∈N ；

（II ）若

32n

n a ⎛⎫

≤ ⎪

⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．

【例题讲解之伊利奶粉】

例1．（浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考）已知数列

{}n a 满足a 1

=3，

2*

12,n n

n a a a n N

+=+∈ ， 设

2log (1)

n n b a =+.

（I ）求

{}

n a 的通项公式；

（II ）求证：1111++++(2)231n n n b <≥-L ； （III ）若2n c n b =，求证：2≤1(

)

n

n n c c +<3.

例2．（浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟）正项数列

{}n a 满足

2211

32n n n n a a a a +++=+，

11

a =．

（Ⅰ）求

2

a 的值；

（Ⅱ）证明：对任意的n N *

∈，1

2n n a a +≤；

（Ⅲ）记数列

{}n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的n N *∈，

11

232n n S --

≤<．

例3．（浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末）已知数列

{}

n a 满足

2

1111,8n n a a a m +==

+，

(1)若数列

{}

n a 是常数列，求m 的值；

（2）当1m >时，求证：1

n n a a +<；

（3）求最大的正数m ，使得4

n a <对一切整数n 恒成立，并证明你的结论。

例4．（浙江省温州市2017届高三下学期返校联考）设数列均为正项数列，其中

，且满足： 成等比数列，

成等差数列。

（Ⅰ）（1）证明数列是等差数列；（2）求通项公式，

。

（Ⅱ）设

，数列

的前项和记为

，证明：

。