分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类分步计数原理

理解排列、组合的概念．

能用计数原理证明二项式定理．

了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了

理解古典概型及其概率计算公式．

理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对

1．两个计数原理

分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这

件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事

才算完成．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )

(4)在分步乘法计数原理中，事件是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成

这件事．( )

答案：(1)× (2)√

(3)√ (4)×

从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两不同数字相加，其和为偶数的不同取法

的种数有( )

A ．30

B ．20

C ．

10 D ．6

解析：选D.从0，1，2，3，4，5六个数字中，任取两不同数和为偶数可分为两类，①

取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加

法计数原理得共有N ＝3＋3＝6(种)．

某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果

将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )

A ．504

B ．210

C ．336

D ．120

解析：选A.3个新节目一个一个插入节目单中，分别有7，8，9种方法，所以不同的插

法种数为7×8×9＝504.

某同学逛书店，发现有三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买的方案有

________种．

解析：至少买其中一本的意思是买一本或买两本或买三本，故分三类．第一类：买一本

有3种；第二类：买两本有3种；第三类：买三本有1种．共有3＋3＋1＝7种购买方案． 答案：7

(教材习题改编)书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，

第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为________，从第1，2，3层分别各取1本书，不同的取法种数为________．

解析：由分类加法计数原理知，从书架上任取1本书，不同的取法总数为4＋5＋6＝15.

由分步乘法计数原理知，从1，2，3层分别各取1本书，不同的取法总数为4×5×6＝120. 答案：15 120

分类加法计数原理

[典例引领]

(1)椭圆x 2m ＋y 2n

＝1(m >0，n >0)的焦点在x 轴上，且m ∈{1，2，3，4，5}，n ∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为( )

A ．10

B ．12

C ．20

D ．35

(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．

【解析】 (1)因为焦点在x 轴上，m ＞n ，以m 的值为标准分类，由分类加法计数原理，

可分为四类：第一类：m ＝5时，使m ＞n ，n 有4种选择；第二类：m ＝4时，使m ＞n ，n

有3种选择；第三类：m ＝3时，使m ＞n ，n 有2种选择；第四类：m ＝2时，使m ＞n ，n

有1种选择．故符合条件的椭圆共有10个．故选A.

(2)根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类

中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．

由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．

【答案】 (1)A (2)36

1.在本例(1)中，若m ∈{1，2，…，k }，n ∈{1，2，…，k }(k ∈N *)，其他条件不变，这

样的椭圆的个数为________．

解析：因为m >n .

当m ＝k 时，n ＝1，2，…，k －1.

当m ＝k －1时，n ＝1，2，…，k －2.

…

当m ＝3时，n ＝1，2.

当m ＝2时，n ＝1.

所以共有1＋2＋…＋(k －1)＝

k （k －1）2

(个)． 答案：k （k －1）2

2.若本例(2)条件变为“个位数字不小于十位数字”，则两位数的个数为________．

解析：分两类：一类：个位数字大于十位数字的两位数，由本例(2)知共有36个；另一

类：个位数字与十位数字相同的有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个．由分

类加法计数原理知，共有36＋9＝45(个)．

答案：45

分类加法计数原理的两个条件

(1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；

(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不

同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．

[通关练习]

1．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013 是“六合数”)，则首

位为2的“六合数”共有( )

A ．18个

B ．15个

C ．12个

D ．9个 解析：选B.依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3

个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.

共计：3＋6＋3＋3＝15(个)．

2．已知集合P ＝{x ，1}，Q ＝{y ，1，2}，其中x ，y ∈{1，2，3，…，9}，且P ⊆Q .把

满足上述条件的一对有序整数对(x ，y )作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )

A ．9

B ．14

C ．15

D ．21

解析：选B.因为P ＝{x ，1}，Q ＝{y ，1，2}，且P ⊆Q ，

所以x ∈{y ，2}．

所以当x ＝2时，y ＝3，4，5，6，7，8，9，共7种情况；

当x ＝y 时，x ＝3，4，5，6，7，8，9，共7种情况．

故共有7＋7＝14种情况，即这样的点的个数为14.

分步乘法计数原理