《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学详解
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2课时作业3
课时作业(三)一、选择题1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B2．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2009为( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6 答案 D3．已知如图，则第n 个图形中小圆圈的个数为( )A ．2nB ．n 2C ．n 2－n ＋1D ．n 2－n答案 C4．(2010·泰安一中期中)已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2.依照以上各式的规律得到( ) A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2C.nn －4＋n ＋4(n ＋1)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＝n ＋5(n ＋5)－4＝2 答案 A 二、填空题5．(2010·浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________． 答案 n 2＋n解析 第n 行的第一个数是n ，第n 行的数构成以n 为公差的等差数列，则其第n ＋1项为n ＋n ·n ＝n 2＋n .6．观察下图： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……则第________行的各数之和等于20092.解析 规律：第n 行第一个数为n ，且第n 行共有2n －1个连续正整数，故由(2n －1)n ＋(2n －1)(2n －2)2×1＝20092，∴n ＝1005.7．对于正数a1，a2，…，a n，若(a1＋a2)(1a1＋1a2)≥4，(a1＋a2＋a3)(1a1＋1a2＋1a3)≥9，猜想(a1＋a2＋…＋a n)(1a1＋1a2＋…＋1a n)≥________.答案n28．(2009·徐州高二检测)观察下列等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n个等式为________．(不必化简结果)．答案1－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)9．(2009·鞍山高二检测)单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数．则f(4)＝________；f(n)＝________.答案373n2－3n＋110．(2010·福建信息卷)如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签20092的格点的坐标为________．解析 ∵点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得(1005,1004)处标20092.答案 (1005,1004)11．(2010·四川眉山)已知数列{a n }的第1项a 1＝1且a n ＋1＝a n1＋a n(n＝1,2，……)，试归纳出这个数列的通项公式．解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13； 当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14.……猜想：a n ＝1n (n ＝1,2，……)三、解答题12．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0，试归纳出这个数列的通项公式．思路分析 数列的通项公式表示的是数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前n 项．解析 当n ＝1时，a 1＝1，当n ＝1时，有2a 22－1＋a 2＝0，解得a 2＝12>0， 当n ＝2时，有3a 23－2·(12)2＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0.∵a 3>0，解得a 3＝13.于是猜想数列的通项公式为a n ＝1n.13．根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n；(2)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1.分析 写出a 1，a 2，a 3，a 4，观察所得数与项数n 之间的规律． 解析 (1)由已知有a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜测出a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a .(n ≥2)(2)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1，∴a 1＝1. 又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1， ∴a 22－2a 2－3＝0.∵对一切的n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7，猜测出a n ＝2n －1.14．已知正项数列{a n }满足S n ＝12(a n ＋1a n)．求出a 1、a 2、a 3并推测a n .思路分析 先由a 1＝S 1，求出a 1，再由当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1得出a n 和a n －1的递推关系，进而求出a 2、a 3，然后由a 1、a 2、a 3归纳出a n 的表达式．解析 由S 1＝12(a 1＋1a 1)，即a 1＝1a 1，又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，由S n ＝12(a n ＋1a n )，S n －1＝12(a n －1＋1a n －1)．相减，得a n ＝12(a n ＋1a n )－12(a n －1＋1a n －1)，整理，得a n －1a n ＝－(a n －1＋1a n －1)．∴a 2－1a 2＝－2，即a 22＋2a 2＋1＝2，∴a 2＝2－1； 同理得a 3－1a 3＝－22，即a 23＋22a 3＋2＝3， ∴a 3＝3－2， 可推测a n ＝n －n －1.。
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学1-2课件1-1
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第一章
1.1
高考调研
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授 人 以 渔
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第一章
1.1
高考调研
题型一 概念辨析
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例1 在下列各组量中：①正方体的体积与棱长；②一块农 田的水稻产量与施肥量；③人的身高与年龄；④家庭的支出与 收入；⑤某户家庭的用电量与电价．其中量与量之间是相关关 系的是( ) B．③④ D．②③④
0.2
2.6 －0.4 －2.4 －4.4
5
所以 (yi－ yi) ＝0.3， (yi－ y )2＝53.2.
i＝1 i＝1
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第一章
1.1
高考调研
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i＝1
yi－yi2
5
5
∧
R2＝1－
≈0.994.
i＝1
yi－ y 2
因为R2≈0.994，所以回归模型的拟合效果很好．
【答案】
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D
第一章 1.1
高考调研
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探究1 (1)相关关系是指当自变量取值一定时，因变量的取 值带有一定随机性的两个变量之间的关系． (2)应注意相关关系是一种非确定性关系，它和函数关系不 同． 判断两个变量是否具有相关关系，应先看它们是否有关， 再看这种关系是否是确定的函数关系．
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第一章
1.1
高考调研
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思考题1
有下列说法：
①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近 这些样本点的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否 可以用线性关系表示； ③通过回归方程 y＝bx＋a，可以估计和观测变量的取值和变 化趋势；
《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-2课件1-1-2
课 时 学 案
课 后 巩 固
课 时 作 业
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第一章
1.1 1.1.2
高考调研
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要点 1 瞬时速度 设物体运动的路程与时间的关系是 s＝f(t)， 当 Δt 趋近于 0 时，
ft0＋Δt－ft0 Δt 函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率 趋近于常
(2)2
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第一章
1.1 1.1.2
高考调研
题型三
例3
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转化与化归
若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求
fa＋Δx－fa－Δx li m . 2 Δx Δx→0 【思路分析】 已知函数 f(x)在 x＝a 处导数为 A，要求所给 极限的值，必须将已给极限式转化成导数的意义．
数，这个常数称为 t0 时刻的瞬时速度．
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第一章
1.1 1.1.2
高考调研
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要点 2 瞬时变化率 函数 f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限，即 Δy lim Δx＝ Δx→0
fx0＋Δx－fx0 lim Δx Δx→0
称为 f(x)在 x0 处的瞬时变化率．
【解析】 1 2 运动方程为 s＝ at . 2
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1 1 2 1 2 因为 Δs＝2a(t0＋Δt) －2at0＝at0Δt＋2a(Δt)2， Δs 1 Δs 所以 Δt ＝at0＋2aΔt，所以lim Δt ＝at0. Δt→0 因为 a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s， 所以 at0＝8×102＝800 (m/s)． 即枪弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s.
《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)1-2-1解答
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第一章 1.2 第一课时
高考调研
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第一章 1.2 第一课时
高考调研
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第一章 1.2 第一课时
高考调研
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第一章 1.2 第一课时
高考调研
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课时作业（五）
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第一章 1.2 第一课时
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第一章 1.2 第一课时
高考调研
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第一章 1.2 第一课时
高考调研
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第一章 1.2 第一课时
高考调研
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第一章 1.2 第一课时
高考调研
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第一章 1.2 第一课时
高考调研
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第一章 1.2 第一课时
高考调研
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第一章 1.2 第一课时
高考调研
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第一章 1.2 第一课时
高考调研
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第一章 1.2 第一课时
高考调研
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第一章 1.2 第一课时
高考调研
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《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2课后巩固2-1-1-2
1．下面几种推理是类比推理的是()
A．由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，可以推测一切金属都能导电
B．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员D．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2) 答案 B
2．在等差数列{a n}中，若p＋q＝m＋n(p、q、m、n∈N＋)，则a p ＋a q＝a m＋a n，类比该性质在等比数列{b n}中，有________．答案b p·b q＝b m·b n
解析等差数列中的和类比等比数列中的积，
∴在等比数列{b n}中有b p·b q＝b m·b n.
3．在圆中，连接圆心和弦的中点的直线垂直于弦，类比圆的上述结论写出球的相应结论．
解析圆的弦类比球的截面圆，所以相应结论为：在球中，连接球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面．。
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2课后巩固4-2
1．下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是()
A．流程图用来描述一个动态过程
B．结构图是用来刻画系统结构的
C．流程图只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系
D．结构图只能用带箭头的连线表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系
答案 D
解析A、B、C均符合流程图与结构图的特征，对于D，当从属关系或逻辑先后关系明确时，可不用带箭头的线连接．
2．下列关于结构图的说法不正确的是()
A．结构图中各要素之间通常表示概念上的从属关系或逻辑上的先后关系
B．结构图都是“树”形结构的
C．简洁的结构图能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点
D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系
答案 B
解析A、C、D是结构图的特征，正确，B中结构图有“树”形结构图和“环”形结构图之分．。
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学1-2课件4-2
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第四章
4.2
高考调研
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要点 2 两种不同形式的结构图 常见的结构图的形式有“树”形结构图和“环”形结构 图．“树”形结构图常用来表达 从属 关系，“环”形结构图常 用表达 逻辑先后 关系．
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第四章
4.2
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要点3
结构图的分类
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第四章
4.2
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探究1
(1)结构图是一种静态图示，通常用来描述一个系统
各部分和各环节之间的关系．结构图一般由构成系统的若干要 素和表达各要素之间关系的连线构成．一般用图框和文字说明 表示系统的各要素，各图框之间用连线或方向箭头连结起来． (2)由结构图的特征，在阅读结构图时，一般根据系统各要 素的具体内容，按照从上到下、从左到右的顺序或箭头所指的 方向将各要素划分为从属关系或逻辑的先后关系．
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第四章
4.2
高考调研
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【解析】
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第四章
4.2
高考调研
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探究3
一般地，组织结构图是“树”形结构，结构图中从
“上位”到“下位”要素，表示各部门间的从属关系，因此图 中一般不含“环”形结构图，且连线不带箭头指向．
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第四章
4.2
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第四章
4.2
高考调研
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课后巩固
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第四章
4.2
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第四章
4.2
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《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学1-2课件2-1-2
第二章
2.1 2.1.2
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(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提) 菱形是平行四边形．(小前提) 菱形对角线互相平分．(结论) (4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为 等差数列．(大前提) 通项公式an＝3n＋2，若n≥2时，则 an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提) 通项公式为an＝3n＋2的数列为等差数列．(结论)
x1 2 3 2 ＝(x2－x1)x2＋ 2 ＋4x1＋1.
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第二章
2.1 2.1.2
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x1 2 3 2 因为(x2＋ ) ＋ x1＋1>0， 2 4 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)． 于是根据“三段论”，得f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增 函数．
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第二章
2.1 2.1.2
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(3)等于同一个量的两个量相等(大前提)， ∠2和∠3都等于∠1(小前提)， ∠2＝∠3(结论)，即AC平分∠BCD. (4)同理DB平分∠CBA.
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第二章
2.1 2.1.2
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例3 数．
第30页
第二章
2.1 2.1.2
高考调研
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即f(－x)＝－f(x)，所以是奇函数． 任取x1，x2∈R，且x1<x2， 2 2 则f(x1)－f(x2)＝(1－ )－(1－ ) 2x1＋1 2x2＋1 2x1－2x2 1 1 ＝2( － )＝2· . 2x2＋1 2x1＋1 2x1＋12x2＋1 因为x1<x2，所以2x1<2x2，所以2x1－2x2<0，所以f(x1)<f(x2)， 2x－1 故函数y＝ x 在定义域上是增函数． 2 ＋1
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2课时作业4
课时作业(四)一、选择题1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案 D2．平面内平行于同一直线的两直线平行，由类比推理，我们可以得到()A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行答案 D3．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c答案 D4．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d≠0，则有a4a6>a3a7.类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是()A．b5b7>b4b8B．b7b8>b4b5C．b5＋b7<b4＋b8D．b7＋b8<b4＋b5答案 C5．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的()A．一条中线上的点，但不是重心B．一条垂线上的点，但不是垂心C．一条角平分线上的点，但不是内心D．中心答案 D二、填空题6．正方形面积为边长的平方，则立体几何中，与之类比的图形是________，结论是________．答案正方体正方体的体积为边长的立方7．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________________”，这个类比命题的真假性是________．答案夹在两个平行平面间的平行线段相等真命题8．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看做(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径R的球，若将R看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________________________________________ ____________________；②式可用语言叙述为________________________________________________________________________．答案 ①(43πR 3)′＝4πR 2②球的体积函数的导数等于球的表面积函数9．如图(1)有关系S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB ，如图(2)有关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝________解析 P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC10．(2010·浙江舟山)已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e .试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题________．解析 在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sin A －sin C |sin B＝1e 11．如图甲，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 是垂足，则AB 2＝BD ·BC ，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在△BCD 内，类比射影定理，探究S △ABC 、S △BCO 、S △BCD 之间满足的关系式是________．思路分析 常用方法：(1)将点扩展为线；(2)将线(边长)扩展为面(面积)；(3)将面(面积)扩展为体(体积)．解析连结DO 延长交BC 于E ，连AE .∵AD ⊥面ABC ∴AD ⊥BC ∵AO ⊥面ABC ∴AO ⊥BC ∴BC ⊥面ADO 即：BC ⊥面ADE ∴BC ⊥AE△ADE 中由射影定理得：AE 2＝EO ·ED∴(12BC ·AE )(12BC ·AE )＝(12BC ·EO )(12BC ·ED )∴S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD 12．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________.答案 30三、解答题13．观察等式sin 220°＋sin 240°＋sin20°·sin40°＝34； sin 228°＋sin 232°＋sin28°·sin32°＝34.请写出一个与以上两个等式规律相同的等式．解析 ∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，而cos60°＝12，sin60°＝32，∴归纳到一般有：“若α＋β＝γ，则sin 2α＋sin 2β＋sin α·sin β＝sin 2γ”．14．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立；猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？解析 在n 边形A 1A 2…A n 中，有不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2(n －2)π·(n ≥3)。
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1．1 正弦定理和余弦定理
1．1.2 余 弦 定 理
授人以渔 课后巩固 课时作业
要点 1 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两
边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即： a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝ a2＋c2－2accosB ， c2＝ a2＋b2－2abcosC .
题型四
判断三角形的形状
例 4 在△ABC 中，cos2A2＝b＋ 2cc(a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边)，判断△ABC 的形状．
【解析】 方法一 在△ABC 中，∵cos2A2＝b＋ 2cc， ∴1＋2cosA＝2bc＋12，∴cosA＝bc. 又由余弦定理知 cosA＝b2＋2cb2c－a2， ∴b2＋2cb2c－a2＝bc，∴b2＋c2－a2＝2b2.∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC 是以 C 为直角的直角三角形．
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探究 4 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状， 有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间 的关系式；②化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的 关系式．两种转化主要应用正弦定理和余弦定理．
思考题 4 (1)在△ABC 中，a＝2，b＝3，c＝4，能判断△ ABC 的形状吗？
(a＋b)2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＋2ab＝3ab. 即 a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得 cosC＝12. 而 0°<C<180°，∴C＝60°. 又∵A＝B，∴△ABC 为等边三角形．
课后巩固
1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，下列
等式不成立的是( ) A．a2＝b2＋c2－2bccosA C．cosA＝b2＋2cb2c－a2 答案 D
《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)第三章 章末测试题(A)
第三章 章末测试题(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下四个命题：①若a >b ，则1a <1b ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >|b |，则a >b ； ④若a >b ，则a 2>b 2. 其中正确的是( )A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③答案 B2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0 D ．a 2－b 2<0 答案 C解析 由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0，故选C.3．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x >1}，P ＝{x |x 2>1}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝PB ．P MC ．M PD ．∁U M ∩P ＝∅ 答案 C4．设集合A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x －1x －4<0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)答案 B 解析 ∵x －1x －4<0⇔(x －1)(x －4)<0，∴1<x <4，即B ＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝(3,4)，故选B.5．在下列函数中，最小值是2的是( ) A ．y ＝x 2＋2x B ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0)C ．y ＝sin x ＋csc x ，x ∈(0，π2) D ．y ＝7x ＋7－x 答案 D解析 y ＝x 2＋2x 的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； y ＝x ＋2x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1>2(x >0)；y ＝sin x ＋csc x ＝sin x ＋1sin x >2(0<sin x <1)； y ＝7x ＋7－x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)．6．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(12，1) C ．(0，12) D ．(1，＋∞)答案 B7．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域内运动，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]答案C解析 画可行域如图：当直线y ＝x －z 过A 点时，z min ＝－1. 当直线y ＝x －z 过B 点时，z max ＝2. ∴z ∈[－1,2]．8．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的区域为()答案 C9．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，－4) C ．(－4,0)D ．(－4,0]答案 D10．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≥0组成的平面区域的面积为( )A ．2B ．1C ．4 D.12答案 D11．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( )A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3答案 D12．设a >0，b >0.若3是3a与3b的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14答案 B 解析3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．答案 (23，＋∞) 14．函数y ＝13－2x －x2的定义域是________． 答案 {x |－3<x <1}15．如下图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各2 dm ，左右空白各1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________dm 2.答案 56解析 设阴影部分的高为x dm ，宽为72x dm ，则四周空白部分面积是y dm 2，由题意，得y ＝(x ＋4)(72x ＋2)－72＝8＋2(x ＋144x )≥8＋2×2x ×144x ＝56.16．已知当x >0时，不等式x 2－mx ＋4>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，4)解析 由题意得当x >0时，恒有m <x ＋4x 成立．设f (x )＝x ＋4x ，x >0，则有f (x )＝x ＋4x ≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．所以f (x )＝x ＋4x ，x >0的最小值是4.所以实数m 的取值范围是(－∞，4)．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 答案 (1)(2，＋∞) (2)[1,2]18．(12分)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值． 答案 16解析 因为x >0，y >0，1x ＋9y ＝1， 所以x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋9y )＝y x ＋9xy ＋10 ≥2y x ·9xy ＋10＝16.当且仅当y x ＝9x y 时，等号成立，又因为1x ＋9y ＝1. 所以当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.19．(12分)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .证明 ∵a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1－a ＝b ＋c ≥2bc >0， 1－b ＝a ＋c ≥2ac >0， 1－c ＝a ＋b ≥2ab >0.∴(1－a )(1－b )(1－c )≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc . ∴原不等式成立．20．(12分)某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工时最少？解析 设A 厂工作x 小时，B 厂工作y 小时，总工作时数为t 小时，则目标函数t ＝x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥40，2x ＋y ≥20，x ≥0，y ≥0.可行域如图所示，而符合题意的解为此内的整点，于是问题变为要在此可行域内，找出整点(x ，y )，使t ＝x ＋y 的值最小．由图知当直线l ：y ＝－x ＋t 过Q 点时，纵截距t 最小．解方程组⎩⎨⎧x ＋3y ＝40，2x ＋y ＝20，得Q (4,12)．答：A 厂工作4小时，B 厂工作12小时，可使所费的总工时最少． 21．(12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝144v v 2－58v ＋1 225(v >0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？思路分析 (1)利用基本不等式求最大车流量，(2)转化为解不等式．解析 (1)依题意，有y ＝144v ＋1 225v －58≤1442 1 225－58＝12， 当且仅当v ＝1 225v ，即v ＝35时等号成立，∴y max ＝12，即当汽车的平均速度v 为35千米/时，车流量最大为12.(2)由题意，得y ＝144vv 2－58v ＋1225>9.∵v 2－58v ＋1225＝(v －29)2＋384>0， ∴144v >9(v 2－58v ＋1225)． ∴v 2－74v ＋1225<0.解得25<v <49. 即汽车的平均速度应在(25,49)内．22．(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f (x )和g (x )，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f (x )万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g (x )万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f (0)＝10，g (0)＝20的实际意义；(2)设f (x )＝14x ＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？解析 (1)f (0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g (0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．(2)设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y ≥f (x )＝14x ＋10， ①x ≥g (y )＝y ＋20， ②成立，双方均无失败的风险．由①②得y ≥14(y ＋20)＋10⇒4y －y －60≥0， ∴(y －4)(4y ＋15)≥0. ∵4y ＋15>0，∴y ≥4.∴y ≥16.∴x ≥y ＋20≥4＋20＝24.∴x min ＝24，y min ＝16.即要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．。
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学选修1-2课时作业1
课时作业(一)一、选择题1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( ) A ．正方体的棱长和体积 B ．角的弧度数和它的正弦值 C ．速度一定时的路程和时间 D ．日照时间与水稻的亩产量 答案 D解析 因为相关关系就是两个变量之间的一种非确定性关系，故可由两个变量之间的关系确定答案．A ，B ，C 均确定性关系，即函数关系，而D 中日照时间与亩产量的关系是不确定的．故选D.2．若回归直线方程中的回归系数b ∧＝0，则相关系数( ) A ．r ＝1 B ．r ＝－1 C ．r ＝0 D ．无法确定答案 C解析 注意两个系数之间的联系.b ∧＝∑i ＝1nx i y 1－n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，r ＝∑i ＝1nx i y 1－n x y(∑i ＝1nx 2i －nx 2)(∑i ＝1ny 2i －n y 2)，两个式子的分子是一致的，当b ∧＝0时，r 一定为0.故选C.3．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是() A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25答案 A解析相关指数R2的取值范围为[0,1]其中R2＝1，即残差平方和为0，此时预测值与观测值相等，y与x是函数关系，也就是说在相关关系中R2越接近于1，说明随机误差的效应越小，y与x相关程度越大，模型的拟合效果越好．R2＝0，说明模型中x与y根本无关．故选A.4．在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，则y与x之间的线性回归方程为()A.y∧＝x＋1B.y∧＝x＋2C.y∧＝2x＋1D.y∧＝x－1答案 A5．在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(x i，y i)，i＝1,2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是()A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①答案 D解析根据线性回归分析的思想，可知对两个变量x，y进行线性回归分析时，应先收集数据(x i，y i)，然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回归方程作出解释，因此选D.6．若变量y与x之间的相关系数r＝－0.936 2，则变量y与x之间()A．不具有线性相关关系B．具有线性相关关系C．它们的线性关系还要进一步确定D．不确定答案 B7．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得y∧＝0.577x－0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是() A．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90% D．年龄为37岁的大部分的人体内脂肪含量为31.5%答案 C解析当x＝37时，y∧＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估计：年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%.8．(09·海南)对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关答案 C二、填题空9．已知回归直线的斜率的估计值是1.23.样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．答案y∧＝1.23x＋0.08解析由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y∧－5＝1.23(x－4)，即y∧＝1.23x＋0.08.10．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)之间满足y i＝bx i ＋a＋e i(i＝1,2，…，n)，且e i恒为0，则R2为________．答案 1解析由e i恒为0知y i＝y∧i，即y i－y∧i＝0，故R2＝1－∑i＝1n(y i－y∧i)2∑i＝1n(y i－y)2＝1－0＝1.11．(2010·广东)某市居民2005～2009年家庭平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．答案13较强的解析由表中所给的数据知所求的中位数为13，画出x与Y的散点图知它们有较强的线性相关关系．12．为了考察两个变量y与x的线性相关性，测得x，y的13对数据，若y与x具有线性相关关系，则相关指数R2的取值范围是________．答案(0,1)解析相关指数R2＝1－∑i＝1n(y i－y∧i)2∑i＝1n(y i－y)2.R2的取值范围是[0,1]．当R2＝0时，即残差平方和等于总偏差平方和，解释变量效应为0，x与y 没有任何关系；当R2＝1时，即残差平方和为0，x与y之间是确定的函数关系．其他情形，即当x与y是不确定的相关关系时，R2∈(0,1)．13．若某函模型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为0.95，则总偏差平方和为________，回归平方和为________．答案 1 780 1 691解析R2＝1－残差平方和总偏差平方和，0．95＝1－89总偏差平方和，∴总偏差平方和为1 780.回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝1 780－89＝1 691.14．已知两个变量x与y之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下：那么变量y答案y∧＝0.575x－14.9解析由线性回归的参数公式可求得b∧＝0.575，a∧＝－14.9，所以回归方程为y∧＝0.575x－14.9.三、解答题15．某产品的广告费用支出x与销集额y(单位：百万元)之间有如下统计数据：请对上述变量解析由题意可以列表如下：r ＝1 380－5×5×50(145－5×52)(13 500－×5×502)≈0.92， 查表得r 0.05＝0.878.因为r >r 0.05，说明广告费用和销售额之间具有显著的线性相关关系．16．一台机器使用时间较长，但还可以使用．它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：(2)如果y 与x 有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？解析 (1)x ＝12.5，y ＝8.25.∑i ＝14x i y i ＝438,4x y＝412.5，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14y 2i ＝291，所以r＝∑i＝14x i y i－4x y(∑i＝14x2i－4x2)(∑i＝14y2i－4y2)＝438－412.5(660－625)×(291－272.25)＝25.5656.25≈25.5025.62≈0.995.因为r>0.75，所以y与x有线性相关关系．(2)y∧＝0.728 6x－0.857 1.(3)要使y∧≤10，即0.728 6x－0.857 1≤10，所以x≤14.901 3.所以机器的转速应控制在14.901 3转/秒以下．17．(07·广东高考)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨标准煤)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y∧＝b∧x＋a∧；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解析 (1)图形如图所示．(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5； y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5； ∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5.∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86. ∴b ∧＝∑i ＝14x i y i －4x ·y ∑i ＝14x 2i －4x 2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.5＝0.7，a ∧＝y －b ∧x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴y ∧＝0.7x ＋0.35.(3)现在生产100吨甲产品用煤 y ＝0.7×100＋0.35＝70.35，∴降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．对于x 与y 有如下观测数据：(1)(2)对x 与y 作回归分析； (3)求出y 与x 的回归直线方程；(4)根据回归直线方程，预测y ＝20时x 的值．解析 解决有关线性回归问题的一般步骤是：散点图→相关系数→回归方程．答案 (1)作出散点图，如图(2)作相关性检验．x ＝18×(18＋25＋30＋39＋41＋42＋49＋52)＝2968＝37， y ＝18×(3＋5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7，∑i ＝18x 2i ＝182＋252＋302＋392＋412＋422＋492＋522＝11920， ∑i ＝18y 2i ＝32＋52＋62＋72＋82＋82＋92＋102＝428，∑i ＝18x i y i ＝18×3＋25×5＋30×6＋39×7＋41×8＋42×8＋49×9＋52×10＝2257，∑i ＝18x i y i －8x y ＝2257－8×37×7＝185，∑i ＝18x 2i －8x 2＝11920－8×372＝968，∑i ＝18y 2i －8y 2＝428－8×72＝36，∴r ＝∑i ＝18x i y i －8x y(∑i ＝18x 2i －8x 2)(∑i ＝18y 2i －8y 2)＝185968×36≈0.991. 由于r ＝0.991>0.75，因此，认为两个变量有很强的相关关系．(3)回归系数b ∧＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2＝18511920－8×372≈0.191 a ∧＝y －b ∧x ＝7－0.191×37＝－0.067，所以y 对x 的回归直线方程为y ∧＝0.191x －0.067.(4)当y ＝20时，有20＝0.191x －0.067，得x ≈105.因此在y 的值为20时，x 的值约为105.。
《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)课时作业28要点
课时作业(二十八)1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )A ．z ＝6x ＋4yB ．z ＝5x ＋4yC ．z ＝x ＋yD ．z ＝4x ＋5y答案 A解析 设需x 辆6吨汽车，y 辆4吨汽车，则运输货物的吨数为z ＝6x ＋4y ，即目标函数z ＝6x ＋4y .2．某学校用800元购买A 、B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A 、B 两种用品应各买的件数为( )A ．2件，4件B ．3件，3件C ．4件，2件D ．不确定 答案 B解析 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N *，求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3,3)．3．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元答案 B解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，目标函数z ＝400x＋300y ，画图可知，当平移直线400x ＋300y ＝0至经过点(4,2)时，z 取最小值2 200.4．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，则x ＝10x ＋10y 的最大值是________．答案 90解析 先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎨⎧5x －11y ＝－22，2x ＝11，解得⎩⎨⎧x ＝5.5，y ＝4.5.但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x ＝5，y ＝4时，z max ＝90.5．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．答案15解析 设购买铁矿石A 、B 分别为x ，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9x ＋0.5y ≤2x ≥0y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y .由⎩⎨⎧0.5x ＋0.7＝1.9x ＋0.5y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2.记P (1,2)，画出可行域，如图所示，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取最小值，且最小值为z min ＝3×1＋6×2＝15.6．某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为5 m 3，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为4 m 3，重量为5吨，运出后，可获利润20万元，集装箱的容积为24 m 3，最多载重13吨，装箱可获得最大利润是________．答案 60万元解析 设甲种产品装x 件，乙种产品装y 件(x ，y ∈N )，总利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤242x ＋5≤13x ≥0，y ≥0，且z ＝10x ＋20y .作出可行域，如图中的阴影部分所示．作直线l 0：10x ＋20y ＝0，即x ＋2y ＝0.当l 0向右上方平移时z 的值变大，平移到经过直线5x ＋4y ＝24与2x ＋5y ＝13的交点(4,1)时，z max ＝10×4＋20×1＝60(万元)，即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大，最大利润为60万元．7．某工厂用两种不同的原料均可生产同一种产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90 kg ，若采用乙种原料，每吨成本1 500元，运费400元，可得产品100 kg.如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么工厂每月最多可生产多少产品？解析 将已知数据列成下表：设此工厂每月甲乙两种原料各用x (t)、y (t)，生产z (kg)产品，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0y ≥01 000x ＋1 500y ≤6 000500x ＋400y ≤2 000.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋3y ≤125x ＋4y ≤20.z ＝90x ＋100y .作出以上不等式组表示的平面区域，即可行域．作直线l ：90x ＋100y ＝0，即9x ＋10y ＝0.把l 向右上方移动到位置l 1时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z ＝90x ＋100y 取得最大值．∴z max ＝90×127＋100×207＝440. 因此工厂最多每天生产440 kg 产品．8．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解析 方法一 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥012x ＋8y ≥646x ＋6y ≥426x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋2y ≥16x ＋y ≥73x ＋5y ≥27.z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是z A＝2.5×9＋4×0＝22.5，z B＝2.5×4十4×3＝22，z C＝2.5×2＋4×5＝25，z D＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．方法二设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x ≥0y ≥012x ＋8y ≥646x ＋6y ≥426x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋2y ≥16x ＋y ≥73x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．1．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组有5名男工，3名女工，乙组有4名男工，5名女工，并且要求甲组种数不少于乙组，乙种组数不少于1组，则最多各能组成工作小组为( )A ．甲4组、乙2组B ．甲2组、乙4组C ．甲、乙各3组D ．甲3组、乙2组答案 D解析 设甲、乙两种工作分别有x 、y 组，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤253x ＋5y ≤20x ≥y y ≥1，作出可行域可知(3,2)符合题意，即甲3组，乙2组．2．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180 t 支援物资的任务，该公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车和4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车320元，B 型卡车504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费用最低．解析 设每天调出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司所花的成本为z 元，依题意有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ≤8y ≤4x ＋y ≤104x ·6＋3y ·10≥180x ≥0y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤80≤y ≤4x ＋y ≤104x ＋5y ≥30.目标函数z＝320x＋504y(其中x，y∈N)．上述不等式组所确定的平面区域如图所示．由图易知，直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数中，点(5,2)使z＝320x＋504y取得最小值，z最小值＝320×5＋504×2＝2608(元)．即调A型卡车5辆，B型卡车2辆时，公司所花的成本费用最低．3．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养需要、又使费用最省？【解析】 设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，需要的费用为z ＝3x ＋2y .病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5x ＋7y ≥35；同理，对铁质的要求可以表示为10x ＋4y ≥40.这样，问题成为在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ≥3510x ＋4y ≥40x ≥0，y ≥0下，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最小值．作出可行域，如图，令z ＝0，作直线l 0：3x ＋2y ＝0.由图形可知，把直线l 0平移至经过顶点A 时，z 取最小值． 由⎩⎨⎧ 5x ＋7y ＝3510x ＋4y ＝40，得A (145，3)．所以用甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．。
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学1-2课件2-2-2
第26页
第二章
2.2 2.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
【证明】
假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三
角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑△ABC，点D在△ABC之 内或之外两种情况．
第27页
第二章
2.2 2.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
(1)如果点D在△ABC之内(如图)，根据假设围绕点D的三个 角都是锐角，其和小于270° ，这与一个周角等于360° 矛盾． (2)如果点D在△ABC之外(如图)，根据假设∠BAD、∠B、 ∠BCD、∠D都小于90° ，这和四边形内角之和等于360° 矛盾．
【思路分析】
由题目可获取以下主要信息：
①a与b是异面直线； ②这是一个存在性命题可用反证法． 解答本题可先假设结论反面成立，再根据已知条件和已学 知识推出矛盾．
第24页
第二章
2.2 2.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
【证明】
如图．
假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β， 在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于 过点A的直线c、d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与 c、d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立．
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第二章
2.2 2.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
思考题1 则( )
已知α∩β＝l，a⊆α、b⊆β，若a、b为异面直线，
A．a、b都与l相交 B．a、b中至少一条与l相交 C．a、b中至多有一条与l相交 D．a、b都与l不相交
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第二章
2.2 2.2.2
《高考调研》衡水重点中学同步精讲练数学数学1-2课件2-2-1
第二章
2.2 2.2.1
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
∴上述三个不等式中的“＝”号不能同时成立． ∴2(bc＋ca＋ab)>2( c＋ a＋ b)， 即 bc＋ca＋ab> a＋ b＋ c， 1 1 1 故a＋b＋c> a＋ b＋ c.
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第二章
2.2 2.2.1
高考调研
题型二
人教A版 ·数学 ·选修1-2
高考调研
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第二章
推理与证明
第 1页
第二章
推理与证明
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2．2 直接证明与间接证明
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第二章
推理与证明
高考调研
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2．2.1 综合法和分析法
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第二章
推理与证明
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授 人 以 渔
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第二章
2.2 2.2.1
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
【证明】
∵a>0，b>0，c>0，且 abc＝1，
1 1 1 ∴a＋b＋c＝bc＋ca＋ab. 又 bc＋ca≥2 bc· ca＝2 abc2＝2 c， 同理 bc＋ab≥2 b，ca＋ab≥2 a. ∵a、b、c 不全相等，
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y2)，则直线 OA 的方程为 2p x1＝ k2 ， y＝kx， y＝kx，由 2 得 y ＝2px， y1＝2p， k 1 直线 OB 的方程为 y＝－ x. k 2p 2p 即 A( k2 ， k )．
第28页
第二章
2.2 2.2.1
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人教A版 ·数学 ·选修1-2
第三章
3.2 3.2.2
高考调研
人教A版 ·数学 ·选修1-2
探究3
对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于
一些简单算式要知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅 1＋i 1 速简捷、少出错的效果．比如(1± i)2＝± 2i， i ＝－i， ＝i， 1－i 1－i a＋bi 1 3 1 3 ＝－i， ＝b－ai，(－ ± i)3＝1，( ± i)3＝－1，等 i 2 2 2 2 1＋i 等．
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第三章
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高考调研
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【解析】
i1－i 1＋i 1 1 i 因为z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，所以 1＋i 1＋i1－i 1＋1 2 2
1 1 对应点(2，2)在第一象限．故选A.
【答案】 A
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第三章
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高考调研
题型二 共轭复数
) 要点2 设z＝a＋bi，那么z的共轭复数 z ＝ a－bi(a，b∈R．
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
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1．复数乘法满足怎样的运算律？
答：①z1· z2＝z2· z1；②(z1· z2)· z3＝z1· (z2· z3)；③z1(z2＋z3)＝z1· z2 ＋z1· z3
复数的乘方
1＋i7 1－i7 3－4i2＋2i3 (1) ＋ － ； 1－i 1＋i 4＋3i 2＋2i 3 1 (2)(－ 2 －2i)12＋( )8. 1－ 3i
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第三章
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高考调研
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【解析】
1＋i 1－i (1)原式＝[(1＋i)2]3· ＋[(1－i)2]3· － 1－i 1＋i
第三章
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高考调研
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(4)已知z2＋z＋1＝0，则1＋z＋z2＋…＋z2006＝________.
【答案】
0
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第三章
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高考调研
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课后巩固
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第三章
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【解析】
根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概
1－0 1 1 率为 ＝ ，故填3. 2－－1 3
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第三章
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高考调研
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i (3)(2010· 陕西卷，文)复数z＝ 在复平面上对应的点位于 1＋i ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
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第三章
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高考调研
【解析】 方法一
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设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则 z ＝x－yi， 由z＋ z ＝4，z· z ＝8得，
x＋yi＋x－yi＝4 x＋yix－yi＝8 x＝2 ⇒ 2 2 x ＋y ＝8 x＝2 ⇒ 2 y＝±
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第三章
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高考调研
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2－2i＋3i－3i22－i (3)原式＝ 3＋i 5＋i2－i 10－5i＋2i－i2 ＝ ＝ 3＋i 3＋i 11－3i 11－3i3－i ＝ ＝ 3＋i 3＋i3－i 33－11i－9i＋3i2 ＝ 10 30－20i ＝ 10 ＝3－2i.
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第三章
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高考调研
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授 人 以 渔
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第三章
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高考调研
题型一
例1 计算下列各式．
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复数的乘除法
(1)(3＋4i)(1－2i)(－2＋i)； (2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)；
高考调研
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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第三章
数系的扩充与复数的引入
高考调研
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3．2 复数代数形式的四则运算
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第三章
数系的扩充与复数的引入
高考调研
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3．2.2 复数代数形式的乘除运算
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第三章
数系的扩充与复数的引入
【答案】
A
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第三章
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高考调研
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(3)当x＝2－i时，1－C110x＋C210x2－…－C910x9＋x10等 于( ) A．－32i C．32i
【解析】
B．32 D．－32
原式＝(1－x)10＝(－1＋i)10＝(－2i)5＝－32i.
【答案】
A
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
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探究1
复数的运算顺序与实数的运算顺序是相同的，先进
行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行 低级运算(加、减)．如有i的幂运算，先利用i的幂的周期性将其 次数降低，然后再进行四则运算．
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第三章
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第三章
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探究2 涉及共轭复数的题目，要充分利用共轭复数的性 质：如z＋ z 等于z的实部的两倍，z·z ＝|z|2等，另外注意复数问 题实数化及方程思想的应用． 1 思考题2 证明|z|＝1⇔z＝ . z
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第三章
3.2 3.2.2
，
z x－yi x2－y2－2xyi ∴z＝ ＝ ＝± i. x＋yi x2＋y2
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
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方法二
∵z＋ z ＝4，
设z＝2＋bi(b∈R)， 又z· z ＝|z|2＝8，∴4＋b2＝8， ∴b2＝4，∴b＝± 2， ∴z＝2± 2i， z ＝2∓2i， z ∴ z ＝± i.
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
பைடு நூலகம்
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2．共轭复数有哪些主要性质？
答：(1)|z|＝| z |；(2)z· z ＝|z|2＝| z |2； (3)z＝ z ⇔z∈R， z ＝－z(z≠0)⇔z为纯虚数； (4) z1＋z2 ＝ z 1＋ z 2；(5) z1· z2 ＝ z 1· z 2； z1 z 1 (6)( )＝ (z2≠0)． z2 z 2
由(x＋i)(1－i)＝y得(x＋1)＋(1－x)i＝y，又因x，
x＝1 ，解得 y＝2
y＝x＋1 y为实数，所以有 1－x＝0
.
【答案】 D
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(2)(2010· 湖南卷，文)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈ [0,1]的概率为________．
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3.2 3.2.2
高考调研
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【解析】
(1)(3＋4i)(1－2i)(－2＋i)
＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i. (2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2) ＝2(11－7i)＋25(1－i) ＝47－39i.
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思考题1 (1)(2010· 江西卷，理)已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别 为( ) A．x＝－1，y＝1 C．x＝1，y＝1 B．x＝－1，y＝2 D．x＝1，y＝2
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【解析】
高考调研
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【证明】
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|z|＝1⇔x2＋y2＝1， 1 z＝ ⇔z· z ＝1⇔(x＋yi)(x－yi)＝1 z ⇔x2＋y2＝1， 1 ∴|z|＝1⇔z＝ . z
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第三章
3.2 3.2.2
高考调研
题型三
例3 计算下列各题：
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83－4i1＋i21－i 3－4ii 8· 2i1＋i ＝(2i)3· i＋(－2i)3· (－i)－ i ＝8＋8－16－16i ＝－16i.
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第三章
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高考调研
2＋2i 3 1 (2)(－ － i)12＋( )8 2 2 1－ 3i 1＋i 1 3 3 8 ＝i12· (－2＋ 2 i)12＋1 － i 2 2 1 3 [1＋i2]4 － i 2 2 1 3 ＝[(－ ＋ i)3]4＋ 2 2 1 3 [2－ 2 i3]3 1 3 ＝1－(2i)4(2－ 2 i)＝1－8＋8 3i ＝－7＋8 3i.
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第三章
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高考调研
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思考题3 4 (1)( )3等于( － 6＋ 2i A．－2 2i C．2 2i B．2i D．－2i )
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第三章
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【解析】
4－ 6－ 2i 4 ( )3＝[ ]3 8 － 6＋ 2i