2021年高考数学(理)解析几何突 专题10圆锥曲线综合应用(2)-最值、范围、证明问题(解析版)

2021年高考数学（理）解析几何突破性讲练

10圆锥曲线综合问题（2）

-最值、范围、证明问题

一、考点传真：

1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；

2.了解圆锥曲线的简单应用；

3.理解数形结合的思想．

二、知识点梳理：

1.圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.

2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

3.圆锥曲线中的证明问题常见的有：

(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.

(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.

在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证

法证明. 三、例题：

例1.（2020年江苏卷，18）在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆22

:143

x y E +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，

点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B .

（1）求

12AF F 的周长；

（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；

（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB 的面积分别是1S ，2S ，若213S S =，求M 的坐标.

【解析】（1）设椭圆22

:143

x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，

则2224,3,1a b c ===.

所以12AF F 的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，

则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 在2x =时取等号.

所以OP QP ⋅的最小值为-4.

（3）因为椭圆22

:143

x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，

212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),1,2F F A ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，

所以直线:343AB x y -+. 设(,)M x y ，因为213S S =，

所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得

|343||30403|

355

x y -+⨯-⨯+=⨯

， 则34120x y -+=或3460x y --=.

由22

34120

143x x x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2724320x x ++=，此方程无解； 由22

3460

14

3x y x y --=⎧⎪⎨+

=⎪⎩，得271240x x --=，所以2x =或2

7x =-. 代入直线3460l x y --=：，对应分别得0y =或12

7

y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或2

12,7

7⎛⎫--

⎪⎝⎭

.

例2.（2020年上海卷，20）双曲线22

122:14x y C b

-=，圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为A ，

(,)A A A x y ，曲线22

2

2221,44,A A x y x x b x y b x x

⎧-=>⎪

Γ⎨⎪+=+>⎩

.

（1

）若A x =b ；

（2

）若b =2C 与x 轴交点记为12F F 、,P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足18PF =，求

∠12F PF ；

（3）过点2(0,2)2b S +且斜率为2

b

-的直线l 交曲线Γ于.M N 两点，用b 的代数式表示OM ON ⋅，并求出

OM ON ⋅的取值范围.

【解析】（1

）若A x =A 为曲线1C 与曲线2C 的交点， 22

222214

4A A x y b

x y b

⎧-=⎪

⎨⎪+=+⎩，解得2y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 2b =

（2）方法一：由题意易得12F F 、为曲线的两焦点， 由双曲线定义知：212PF PF a =-，

18,24PF a ==，24PF ∴=

又5b =，126F F ∴=

在12PF F △中由余弦定理可得：

2

2

2

1212

1212

11cos 216

PF PF F F F PF PF PF +-∠=

=

⋅⋅ 方法二：5b =，可得22

22145

(3)64x y x y ⎧-=⎪

⎨⎪++=⎩

，解得P ，

12(7,15),(1,PF PF ∴=--=-，

12121211cos(,)16

||

PF PF PF PF PF PF ⋅∴=

=

⋅ （3）设直线24

:2

2

b b l y x +

=-+

可得原点

O 到直线l 的距离d =

=所以直线l 是圆的切线，切点为M ，

所以2OM k b =

，并设2:OM l y x b =，与圆2224x y b +=+联立可得22224

4x x b b

+=+， 所以得,2x b y ==，即(,2)M b ，

注意到直线l 与双曲线得斜率为负得渐近线平行， 所以只有当2A y >时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点， 由22

2222

144A

x y b x y b ⎧-=⎪⎨⎪+=+⎩，得4

2

2

A b y a b =+， 所以有

4

2

44b b

<+，解得22b >+22b <-（舍） 又因为OM

ON ⋅由ON OM 在上的投影可知：24OM ON b ⋅=+ 所以246OM ON b ⋅=+>+