数学建模-模糊综合评判

在综合评判中起主导作用时，建议采用模型1； 当模型1失效时可采用模型2，模型3.
模型4 M（●，+）----加权平均模型
n
bj ai • rij
j 1,2,, m
i 1
模型4对所有因素依权重大小均衡兼顾，
适用于考虑各因素起作用的情况
注：有关合成算子以及权值确定可以查阅相关 资料，根据实际情况选择。
值就是 x0对A 的隶属度值。这种方法较直观地反映了 模糊概念中的隶属程度,但其计算量相当大。
(2)专家经验法： 专家经验法是根据专家的实际经验给出模
糊信息的处理算式或相应权系数值来确定隶属 函数的一种方法。在许多情况下,经常是初步 确定粗略的隶属函数,然后再通过“学习”和 实践检验逐步修改和完善,而实际效果正是检 验和调整隶属函数的依据。
例
设论域X=[0,100]，模糊子集A表示“年老”，B 表示“年轻”。Zadeh给出的A、B的隶属度函数 分别为：
0
Ax
1
x
50 5
2
1
1
Bx
1
x
25 5
2
1
0 x 50; 50 x 100.
0 x 25; 25 x 100.
μ(x) 1
年轻
0
25
50
根据定义，我们不难算出 B(30)=0.5，
R=（rij）n×m∈F（X×Y）。
n
（4）确定各因素权重 A=（a1,a2,…,an)， ai 1, ai 0 i 1
（5）做综合评判 B A R
注:
（1） 为了更好地理解、解释评判结果，可 以将评判结果归一化。令
B' (b1',b2 ',, bm ')
1
m
b1,b2 ,,bm
bi
隶属度函数的确立目前还没有一套成熟有效的 方法,大多数系统的确立方法还停留在经验和实验 的基础上。对于同一个模糊概念,不同的人会建立 不完全相同的隶属度函数,尽管形式不完全相同, 只要能反映同一模糊概念,在解决和处理实际模糊 信息的问题中仍然殊途同归。下面介绍几种常用 的方法。
(1)模糊统计法：
模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定
i 1
可以将B’作为评判结果，bi’可以理解为评价对 象属于第i个评语的百分比。
（2）权值的取法。在多指标模糊综合评价中,不 乏与其它综合评判法相结合来确定权重的应用,总体 上可分为主观赋权法和客观赋权法两类。
主观赋权法主要是由专家根据经验主观判断而得, 如层次分析法、加权统计法等。但是,主观赋权带有 不可避免的模糊片面性,客观性较差,而且工作量较大。
（5）利用R确定的模糊变换做综合评判，则得评判结 果B为： B A R
0.7 0.2 0.1 0
0.5,0.3,0.2 0.2 0.3 0.4 0.1
0.3 0.4 0.2 0.1
0.5,0.3,0.3,0.1
评判结果是评语集合上的模糊集合。
归一化：
0.5 , 0.3 , 0.3 , 0.2 0.38,0.25,0.25,0.12
（3）进行单因素评判。通过实际调查或者试验等方法，对单 个因素进行评判。对每一个因素评判的结果都是Y上的模糊集 合。例如，我们调查结果如：
花色式样|→（0.7,0.2,0.1,0）； 耐穿程度|→（0.2,0.3,0.4,0.1）；
价格|→（0.3,0.4,0.2,0.1）。 这三个因素的评判结果都是Y上的模糊集合。单因素的评判实 际上是因素集合到评语集合的模糊映射。
模型(算子)分类：
模型1 M（∧，∨）----主因素决定型
n
bj
i1
ai
rij
j 1,2,, m
由于综合评判的结果仅由ai与rij（i=1,2,…,n) 中的某一确定（先取小，再取大运算），着
眼点是考虑主要因素，其他因素对结果影响
不大，这种运算有时候出现决策结果不易分
辨的情况。
模型2 M（●，∨）----主因素突出型
1.3 1.3 1.3 1.3
它表示持权重A的顾客对这种服装的评价是： “很喜欢”的程度是38%，“较喜欢”的程度 是25%，“不太喜欢”的程度是25%，“不喜 欢”的程度是12%。根据最大隶属原则，我们 得出的结论是“很喜欢。”
总结
通过服装评判的例子可以看出，模糊综合评判的一般 步骤如下：
（1）确定因素集X={x1,x2,…,xn}。 （2）确定评语集Y={y1,y2,…,ym}。 （3）做单因素评判，得评判矩阵
元素x0是否属于论域上的一个可变动的子集合A*作出 清晰的判断。对于不同的试验者,子集合 A*可以有不
同的边界,但它们都对应于同一个模糊集A。模糊统计
法的计算步骤是:在每次统计中, x0是固定的,A*的值 是可变的,作 n次试验,其模糊统计可按下式进行计算
x0对 A 的隶属频率 = x0∈A*的次数 / 试验总次数 n 随着 n的增大,隶属频率也会趋向稳定,这个稳定
将x=88带入隶属度函数中计算得：
A1（88）=0.8；A2（88）=0.7；A3（88）=0. 根据最大隶属度原则，该同学的数学成绩相 对于3个模型应属于A，可评为--优
按确定的标准，对某个或者某类对象中的 某个因素或某个部分进行评价，称为单一评判； 从众多的单一评判中获得对某个某类对象的整 体评价，称为综合评判。综合评判的目的是希 望能对若干对象按一定意义进行排序，从中挑 出最优和最劣对象，这也称为决策过程。下面 介绍一些实例说明它的应用：
多级模糊综合评判
在实际的综合评判问题中，影响评判结果的 因素一般很多。因此确定权重非常困难，另一方 面，因素过多，导致权重都比较小，以致评判结 果难以区分。在这样的问题中，众多因素常常可 以分类，可以先从大的方面考虑，再从小的方面 考虑。评判时先评判小的方面，再评判大的方面。 这样的评判方法就是多级综合评判模型。
年老
B（35）=0.2，
A（55）=0.5，
A（60）=0.80.这表明，30
岁的年龄属于“年轻”的
隶属度为50%，并称点x=30
x 是“年轻”的过渡点，60
75
100
岁的年龄属于“年老”的
隶属度80%等。
隶属度函数的几个确定方法
隶属度函数的确定过程,本质上说应该是客观的, 但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差 异,因此,隶属度函数的确定又带有主观性。
------《模糊综合评价中权值确定和合成算子选择》
一级综合评判模型
例 顾客选择服装评判为例。
分析：（1）确定影响的因素如：花色式 样、耐穿程度、价格等。用X表示这类的 集合，即X={花色式样，耐穿程度，价 格}。
（2）确定表示或者描述评判结果的评语 如：很喜欢，较喜欢，不太喜欢，不喜 欢。用Y表示这类的集合，即Y={很喜欢， 较喜欢，不太喜欢，不喜欢}。
例 对高校的整体水平进行评估
分析 毫无疑问，影响高校的整体水平的因素众 多。假设从大的方面说，决定高校整体水平 的主要因素有：教学水平，科研水平以及管 理水平。即：因素集合为 X={教学水平，科 研水平，管理水平}。
对影响教学水平、科研水平和管理水平的因 素再进行细分，假设如下：
团Te队am 就是力量 … …
模糊综合评判
--序
模糊是什么？
------“说不清道不明”
模糊现象是什么？
------“亦此亦彼的现象”
模糊数学---是研究和揭示模糊现象定量处理的方法
内容安排
模糊综合评判的一些基本概念 模糊综合评判的应用
基本概念
普通集合
论域：被讨论对象的全体叫做论域，或 称全域、全集合，通常用大写字母U、E、 X、Y等来表示。
(3)二元对比排序法： 二元对比排序法是一种较实用的确定隶属度
函数的方法。它通过对多个事物之间的两两对比 来确定某种特征下的顺序,由此来决定这些事物 对该特征的隶属函数的大体形状。二元对比排序 法根据对比测度不同,可分为相对比较法、对比 平均法、优先关系定序法和相似优先对比法等。
最大隶属度原则
设A1，A2，…， ∈ F（U）构成了一个标准 Nhomakorabean
bj
i1
ai
• rij
j 1,2,, m
与模型1较接近，区别在于用ai●rij代替了M
（∧，∨）中的ai∧rij。在模型M（●，∨）
中，对rij乘以小于1的权重ai，表明ai是在考
虑多因素时rij的修正值与主要因素有关，忽
略了次要因素。
模型3 M（∧，⊕）----主因素突出型
n
0
A1
x
x 80
10 1
0 x 80 80 x 90 90 x 100
0
x 70
A2 ( x)
10 1
95 x
1
10
1
A3
x
80 x
10 0
0 x 70 70 x 80 80 x 85 85 x 95 95 x 100
0 x 70 70 x 80 80 x 100
元素：组成某一集合的单个对象就称为 该集合的一个元素，通常用小写字母表示。
根据集合论的要求，一个对象对应于一 个集合，要么属于，要么不属于，二者必 居其一，且仅居其一。
引：我们说“教室里的人”这个概念，我们认为， 在人这个论域里面，有的人在教室里面，有的人 在教室外面，那还有没有其他的情况呢？有，这 个人一只脚在教室里面，一只脚在教室外面，你 认为他是“教室里的人”还是“教室外面的人” 呢？显然，他不是“非此即彼”的，而是“亦此 亦彼”的。
又如：请将下图中的一组线段中的长线段给挑选出来。当然， 一开始，我们都自信满满地推断，自左边开始数起，第一根是 长线段，第二根呢？第三根呢？这都可以算是长线段，如此下 去到时候，我们的态度就会犹豫不决起来，这种变化反映了 “长线段集合”不是“非此即彼”的，在两者之间，似乎存在 着各种程度的似乎属于长线段但又不属于长线段的中介状态。
客观赋权法包括主成分分析法、均方差法、离差最 大化法、熵值赋权法、变异系数法等。这类赋权法是 以当前样本数据统计而得,权重与当前样本数据相关, 客观性较强,避免了人为因素带来的偏差,对权重的确 定考虑的因素各有侧重,也有可能出现确定的权重与 指标本身的重要性不一致的情况。
所以,评价指标合成过程中,指标权重的确定比较易 于接受的方法是主客观相结合的赋权方式。
单因素评判结果组成的矩阵R称为评判矩阵
0.7 0.2 0.1 0 R 0.2 0.3 0.4 0.1
0.3 0.4 0.2 0.1
式中，rij表示对第i个因素评价时隶属于第j个评语的程 度。R是因素集到评语集的模糊关系
（4）确定权重。假设通过调查得到的各因素的权重
A=（0.5,0.3,0.2）
定义
设A是论域X到闭区间[0,1]的一个映射， 即：
A： X→[0,1]
x→A(x) ∈[0,1]
则称A是X上的一个模糊集合（或称A是X 的一个模糊子集），A（x）称为模糊集 合A的隶属度函数，A（x）的值称为x对 模糊集合A的隶属度。
用取值于区间0，1的隶属函数A（x）表征x 属于A的程度高低。隶属度A（x）越接近于1， 表示x属于A的程度越高，A（x）越接近于0表 示x属于A的程度越低。隶属度属于模糊评价函 数里的概念。模糊综合评价是对受多种因素影 响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因 素决策方法，其特点是评价结果不是绝对地肯 定或否定，而是以一个模糊集合来表示。
123 4 56 7 8 9
模糊集合
在日常生活中，我们所遇到的概念，并不都 是清晰的，还存在着大量不清晰的概念。所 谓不清晰的概念，指的是存在着那样的对象， 人们无法说它绝对符合或者绝对不符合某概 念。也就是说这个概念的外延没有明确的界 限，这种概念人们称之为模糊概念。对于这 种概念的集合，在论域U中存在着并非绝对属 于（或绝对不属于）该集合的元素，这种集 合我们称之为模糊集合。
n
bj
i 1
ai
rij
i 1
ai rij
j 1,2,, m
其中，运算⊕为有界和，即a ⊕ b=min（1，
a+b），由于权重分配满足
n
n
ai 1,0 ai 1,0 rij 1, 所以
ai rij 1.
i 1
i 1
n
n
i 1
ai
rij
i 1
ai rij
故有
在实际应用中，主因素（权重最大的因素）
模型库，若对任意x0∈U，有i ∈{1,2,3，…，
n}使得
n
Ai
x0
k 1
Ak
x0
则认为x0相对隶属于Ai。
例 在论域U=[0，100](分数)上确定3个表示学 习成绩的模糊集A1=“优”、A2=“良”、 A3=“差”。某一同学的数学成绩为88分， 该同学的数学成绩是优、良还是差？
分析：根据定义，我们先建立相关的隶属度函 数，则A1、A2、A3的隶属函数如下：