数学建模-模糊综合评判

模型(算子)分类：
模型1 M（∧，∨）----主因素决定型
n
bj
i1
ai
rij
j 1,2,, m
由于综合评判的结果仅由ai与rij（i=1,2,…,n) 中的某一确定（先取小，再取大运算），着
眼点是考虑主要因素，其他因素对结果影响
不大，这种运算有时候出现决策结果不易分
辨的情况。
模型2 M（●，∨）----主因素突出型
n
bj
i 1
ai
rij
i 1
ai rij
j 1,2,, m
其中，运算⊕为有界和，即a ⊕ b=min（1，
a+b），由于权重分配满足
n
n
ai 1,0 ai 1,0 rij 1, 所以
ai rij 1.
i 1
i 1
n
n
i 1
ai
rij
i 1
ai rij
故有
在实际应用中，主因素（权重最大的因素）
将x=88带入隶属度函数中计算得：
A1（88）=0.8；A2（88）=0.7；A3（88）=0. 根据最大隶属度原则，该同学的数学成绩相 对于3个模型应属于A，可评为--优
按确定的标准，对某个或者某类对象中的 某个因素或某个部分进行评价，称为单一评判； 从众多的单一评判中获得对某个某类对象的整 体评价，称为综合评判。综合评判的目的是希 望能对若干对象按一定意义进行排序，从中挑 出最优和最劣对象，这也称为决策过程。下面 介绍一些实例说明它的应用：
123 4 56 7 8 9
模糊集合
在日常生活中，我们所遇到的概念，并不都 是清晰的，还存在着大量不清晰的概念。所 谓不清晰的概念，指的是存在着那样的对象， 人们无法说它绝对符合或者绝对不符合某概 念。也就是说这个概念的外延没有明确的界 限，这种概念人们称之为模糊概念。对于这 种概念的集合，在论域U中存在着并非绝对属 于（或绝对不属于）该集合的元素，这种集 合我们称之为模糊集合。
年老
B（35）=0.2，
A（55）=0.5，
A（60）=0.80.这表明，30
岁的年龄属于“年轻”的
隶属度为50%，并称点x=30
x 是“年轻”的过渡点，60
75
100
岁的年龄属于“年老”的
隶属度80%等。
隶属度函数的几个确定方法
隶属度函数的确定过程,本质上说应该是客观的, 但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差 异,因此,隶属度函数的确定又带有主观性。
客观赋权法包括主成分分析法、均方差法、离差最 大化法、熵值赋权法、变异系数法等。这类赋权法是 以当前样本数据统计而得,权重与当前样本数据相关, 客观性较强,避免了人为因素带来的偏差,对权重的确 定考虑的因素各有侧重,也有可能出现确定的权重与 指标本身的重要性不一致的情况。
所以,评价指标合成过程中,指标权重的确定比较易 于接受的方法是主客观相结合的赋权方式。
(3)二元对比排序法： 二元对比排序法是一种较实用的确定隶属度
函数的方法。它通过对多个事物之间的两两对比 来确定某种特征下的顺序,由此来决定这些事物 对该特征的隶属函数的大体形状。二元对比排序 法根据对比测度不同,可分为相对比较法、对比 平均法、优先关系定序法和相似优先对比法等。
最大隶属度原则
设A1，A2，…， ∈ F（U）构成了一个标准
单因素评判结果组成的矩阵R称为评判矩阵
0.7 0.2 0.1 0 R 0.2 0.3 0.4 0.1
0.3 0.4 0.2 0.1
式中，rij表示对第i个因素评价时隶属于第j个评语的程 度。R是因素集到评语集的模糊关系
（4）确定权重。假设通过调查得到的各因素的权重
A=（0.5,0.3,0.2）
元素x0是否属于论域上的一个可变动的子集合A*作出 清晰的判断。对于不同的试验者,子集合 A*可以有不
同的边界,但它们都对应于同一个模糊集A。模糊统计
法的计算步骤是:在每次统计中, x0是固定的,A*的值 是可变的,作 n次试验,其模糊统计可按下式进行计算
x0对 A 的隶属频率 = x0∈A*的次数 / 试验总次数 n 随着 n的增大,隶属频率也会趋向稳定,这个稳定
（5）利用R确定的模糊变换做综合评判，则得评判结 果B为： B A R
0.7 0.2 0.1 0
0.5,0.3,0.2 0.2 0.3 0.4 0.1
0.3 0.4 0.2 0.1
0.5,0.3,0.3,0.1
评判结果是评语集合上的模糊集合。
归一化：
0.5 , 0.3 , 0.3 , 0.2 0.38,0.25,0.25,0.12
例 对高校的整体水平进行评估
分析 毫无疑问，影响高校的整体水平的因素众 多。假设从大的方面说，决定高校整体水平 的主要因素有：教学水平，科研水平以及管 理水平。即：因素集合为 X={教学水平，科 研水平，管理水平}。
对影响教学水平、科研水平和管理水平的因 素再进行细分，假设如下：
定义
设A是论域X到闭区间[0,1]的一个映射， 即：
A： X→[0,1]
x→A(x) ∈[0,1]
则称A是X上的一个模糊集合（或称A是X 的一个模糊子集），A（x）称为模糊集 合A的隶属度函数，A（x）的值称为x对 模糊集合A的隶属度。
用取值于区间0，1的隶属函数A（x）表征x 属于A的程度高低。隶属度A（x）越接近于1， 表示x属于A的程度越高，A（x）越接近于0表 示x属于A的程度越低。隶属度属于模糊评价函 数里的概念。模糊综合评价是对受多种因素影 响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因 素决策方法，其特点是评价结果不是绝对地肯 定或否定，而是以一个模糊集合来表示。
（3）进行单因素评判。通过实际调查或者试验等方法，对单 个因素进行评判。对每一个因素评判的结果都是Y上的模糊集 合。例如，我们调查结果如：
花色式样|→（0.7,0.2,0.1,0）； 耐穿程度|→（0.2,0.3,0.4,0.1）；
价格|→（0.3,0.4,0.2,0.1）。 这三个因素的评判结果都是Y上的模糊集合。单因素的评判实 际上是因素集合到评语集合的模糊映射。
值就是 x0对A 的隶属度值。这种方法较直观地反映了 模糊概念中的隶属程度,但其计算量相当大。
(2)专家经验法： 专家经验法是根据专家的实际经验给出模
糊信息的处理算式或相应权系数值来确定隶属 函数的一种方法。在许多情况下,经常是初步 确定粗略的隶属函数,然后再通过“学习”和 实践检验逐步修改和完善,而实际效果正是检 验和调整隶属函数的依据。
------《模糊综合评价中权值确定和合成算子选择》
一级综合评判模型
例 顾客选择服装评判为例。
分析：（1）确定影响的因素如：花色式 样、耐穿程度、价格等。用X表示这类的 集合，即X={花色式样，耐穿程度，价 格}。
（2）确定表示或者描述评判结果的评语 如：很喜欢，较喜欢，不太喜欢，不喜 欢。用Y表示这类的集合，即Y={很喜欢， 较喜欢，不太喜欢，不喜欢}。
例
设论域X=[0,100]，模糊子集A表示“年老”，B 表示“年轻”。Zadeh给出的A、B的隶属度函数 分别为：
0
Ax
1
x
50 5
2
1
1
Bx
1
x
25 5
2
1
0 x 50; 50 x 100.
0 x 25; 25 x 100.
μ(x) 1
年轻
0
25
50
根据定义，我们不难算出 B(30)=0.5，
又如：请将下图中的一组线段中的长线段给挑选出来。当然， 一开始，我们都自信满满地推断，自左边开始数起，第一根是 长线段，第二根呢？第三根呢？这都可以算是长线段，如此下 去到时候，我们的态度就会犹豫不决起来，这种变化反映了 “长线段集合”不是“非此即彼”的，在两者之间，似乎存在 着各种程度的似乎属于长线段但又不属于长线段的中介状态。
R=（rij）n×m∈F（X×Y）。
n
（4）确定各因素权重 A=（a1,a2,…,an)， ai 1, ai 0 i 1
（5）做综合评判 B A R
注:
（1） 为了更好地理解、解释评判结果，可 以将评判结果归一化。令
B' (b1',b2 ',, bm ')
1
m
b1,b2 ,,bm
bi
i 1
可以将B’作为评判结果，bi’可以理解为评价对 象属于第i个评语的百分比。
（2）权值的取法。在多指标模糊综合评价中,不 乏与其它综合评判法相结合来确定权重的应用,总体 上可分为主观赋权法和客观赋权法两类。
主观赋权法主要是由专家根据经验主观判断而得, 如层次分析法、加权统计法等。但是,主观赋权带有 不可避免的模糊片面性,客观性较差,而且工作量较大。
n
bj
i1
ai
• rij
j 1,2,, m
与模型1较接近，区别在于用ai●rij代替了M
（∧，∨）中的ai∧rij。在模型M（●，∨）
中，对rij乘以小于1的权重ai，表明ai是在考
虑多因素时rij的修正值与主要因素有关，忽
略了次要因素。
模型3 M（∧，⊕）----主因素突出型
n
隶属度函数的确立目前还没有一套成熟有效的 方法,大多数系统的确立方法还停留在经验和实验 的基础上。对于同一个模糊概念,不同的人会建立 不完全相同的隶属度函数,尽管形式不完全相同, 只要能反映同一模糊概念,在解决和处理实际模糊 信息的问题中仍然殊途同归。下面介绍几种常用 的方法。
(1)模糊统计法：
模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定
模型库，若对任意x0∈U，有i ∈{1,2,3，…，
n}使得
n
Ai
x0
k 1
Ak
x0
则认为x0相对隶属于Ai。
例 在论域U=[0，100](分数)上确定3个表示学 习成绩的模糊集A1=“优”、A2=“良”、 A3=“差”。某一同学的数学成绩为88分， 该同学的数学成绩是优、良还是差？
分析：根据定义，我们先建立相关的隶属度函 数，则A1、A2、A3的隶属函数如下：
1.3 1.3 1.3 1.3
它表示持权重A的顾客对这种服装的评价是： “很喜欢”的程度是38%，“较喜欢”的程度 是25%，“不太喜欢”的程度是25%，“不喜 欢”的程度是12%。根据最大隶属原则，我们 得出的结论是“很喜欢。”
总结
通过服装评判的例子可以看出，模糊综合评判的一般 步骤如下：
（1）确定因素集X={x1,x2,…,xn}。 （2）确定评语集Y={y1,y2,…,ym}。 （3）做单因素评判，得评判矩阵
在综合评判中起主导作用时，建议采用模型1； 当模型1失效时可采用模型2，模型3.
百度文库
模型4 M（●，+）----加权平均模型
n
bj ai • rij
j 1,2,, m
i 1
模型4对所有因素依权重大小均衡兼顾，
适用于考虑各因素起作用的情况
注：有关合成算子以及权值确定可以查阅相关 资料，根据实际情况选择。
元素：组成某一集合的单个对象就称为 该集合的一个元素，通常用小写字母表示。
根据集合论的要求，一个对象对应于一 个集合，要么属于，要么不属于，二者必 居其一，且仅居其一。
引：我们说“教室里的人”这个概念，我们认为， 在人这个论域里面，有的人在教室里面，有的人 在教室外面，那还有没有其他的情况呢？有，这 个人一只脚在教室里面，一只脚在教室外面，你 认为他是“教室里的人”还是“教室外面的人” 呢？显然，他不是“非此即彼”的，而是“亦此 亦彼”的。
0
A1
x
x 80
10 1
0 x 80 80 x 90 90 x 100
0
x 70
A2 ( x)
10 1
95 x
1
10
1
A3
x
80 x
10 0
0 x 70 70 x 80 80 x 85 85 x 95 95 x 100
0 x 70 70 x 80 80 x 100
多级模糊综合评判
在实际的综合评判问题中，影响评判结果的 因素一般很多。因此确定权重非常困难，另一方 面，因素过多，导致权重都比较小，以致评判结 果难以区分。在这样的问题中，众多因素常常可 以分类，可以先从大的方面考虑，再从小的方面 考虑。评判时先评判小的方面，再评判大的方面。 这样的评判方法就是多级综合评判模型。
团Te队am 就是力量 … …
模糊综合评判
--序
模糊是什么？
------“说不清道不明”
模糊现象是什么？
------“亦此亦彼的现象”
模糊数学---是研究和揭示模糊现象定量处理的方法
内容安排
模糊综合评判的一些基本概念 模糊综合评判的应用
基本概念
普通集合
论域：被讨论对象的全体叫做论域，或 称全域、全集合，通常用大写字母U、E、 X、Y等来表示。