2020新课标高考理科数学：“3+1”保分大题强化练(五)

“3＋1”保分大题强化练(五)
1．已知数列{a n}满足a1＝2，(n＋2)a n＝(n＋1)a n＋1－2(n2＋3n＋2)，设b n＝a n
n＋1
.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{b n}是否为等差数列，并说明理由；
(3)求数列{a n}的通项公式．
解：(1)因为数列{a n}满足(n＋2)a n＝(n＋1)a n＋1－2(n2＋3n＋2)，所以将n＝1代入得3a1＝2a2－12.又a1＝2，所以a2＝9.将n＝2代入得4a2＝3a3－24，所以a3＝20.从而b1＝1，b2＝3，b3＝5.
(2)数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列．理由如下：将(n＋2)a n＝(n
＋1)a n
＋1－2(n2＋3n＋2)两边同时除以(n＋1)(n＋2)，化简可得
a n＋1
n＋2
－
a n
n＋1
＝2，
即b n
＋1
－b n＝2，
所以数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
(3)由(2)可得b n＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以a n＝(n＋1)b n＝(n＋1)(2n－1)＝2n2＋n－1.
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，P A＝PC＝2，且平面ACP⊥平面ABCD.
(1)求证：CB⊥PD；
(2)求二面角C-PB-A的余弦值．
解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接PO，
由题意知O为AC的中点，
∵P A＝PC，∴PO⊥AC，
∵平面ACP⊥平面ABCD，平面ACP∩平面ABCD＝AC，
∴PO⊥平面ABCD.
又BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC.
∵BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos 60°＝3，
∴BD 2＋BC 2＝CD 2，∴BC ⊥BD .
又BD ∩PO ＝O ，∴BC ⊥平面PBD .
∵PD ⊂平面PBD ，∴CB ⊥PD .
(2)由(1)知DA ⊥DB ，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过点D 与平面ADB 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系．
由(1)知PO ⊥平面ABCD ，则PO ∥z 轴．
由平面几何知识易得AO ＝72，PO ＝32，
则A (1,0,0)，B (0，3，0)，P ⎝
⎛⎭⎪⎫0，32，32，C (－1，3，0)， 于是B C →＝(－1,0,0)，B P →＝⎝
⎛⎭⎪⎫0，－32，32， B A →＝(1，－3，0)，
设平面PBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·B C →＝0，n 1·B P →＝0，即⎩⎨⎧ －x ＝0，－32y ＋32z ＝0，
取z ＝1，则y ＝3，
所以n 1＝(0，3，1)为平面PBC 的一个法向量．
设平面PBA 的法向量为n 2＝(a ，b ，c )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·BP →＝0，n 2·BA →＝0，即⎩⎨⎧ －32b ＋32c ＝0，a －3b ＝0，
取a ＝3，则b ＝3，c ＝1，
所以n 2＝(3，3，1)为平面PBA 的一个法向量．
于是cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝4213＝21313， 由图知，二面角C -PB -A 为钝角，
所以二面角C -PB -A 的余弦值为－21313.
3．中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入(单位：千元)并制成如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)．
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题：
①在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附：参考数据与公式
6.92≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)x＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．
(2)由题意知，X～N(17.40,6.92)．
①P (X ＞μ－σ)≈0.5＋0.682 72≈0.841 4，
μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，
即最低年收入大约为14.77千元．
②由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)≈0.5＋0.954 52≈0.977 3，
得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 3，
记这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (103，p )，其中p ＝0.977 3，
于是恰好有k 位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P (ξ＝k )＝C k 103p k (1－p )103－k ，
从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1 001－k )×p k ×(1－p )
＞1，得k ＜1 001p ， 而1 001p ＝978.277 3，
所以，当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)＜P (ξ＝k )，
当979≤k ≤1 000时，P (ξ＝k －1)＞P (ξ＝k )，
由此可知，在所走访的1 000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.
选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)
4．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，曲线C 1：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，C 2：ρ2＝13－4sin 2θ
. (1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；
(2)曲线C 1和C 2的交点为M ，N ，求以MN 为直径的圆与y 轴的交点坐标．
解：(1)由ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π4＝22 得ρ⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝22， 将⎩⎨⎧
ρsin θ＝y ，ρcos θ＝x
代入上式得x ＋y ＝1， ∴C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝1.
同理由ρ2＝13－4sin 2θ
可得3x 2－y 2＝1. ∴C 2的直角坐标方程为3x 2－y 2＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
由⎩⎨⎧ 3x 2－y 2＝1，x ＋y ＝1
得3x 2－(1－x )2＝1，即x 2＋x －1＝0. ∴⎩⎨⎧
x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－1，
则MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. ∴|MN |＝1＋(－1)2|x 1－x 2|＝2×1－4×(－1)＝10.
∴以MN 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1022. 令x ＝0，得14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝104，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －322＝94，∴y ＝0或y ＝3， ∴以MN 为直径的圆与y 轴的交点的坐标为(0,0)，(0,3)．
5．[选修4－5：不等式选讲]
已知f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝2|x |＋a .
(1)当 a ＝－1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；
(2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)≥g (x 0)成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，原不等式可化为|x ＋1|－2|x |≥－1. 设φ(x )＝|x ＋1|－2|x |， 则φ(x )＝⎩⎨⎧
x －1，x ≤－1，
3x ＋1，－1＜x ＜0，
－x ＋1，x ≥0， 由⎩⎨⎧ x ≤－1，x －1≥－1或⎩⎨⎧ －1＜x ＜0，3x ＋1≥－1或⎩
⎨⎧ x ≥0，－x ＋1≥－1， 解得－23≤x ≤2.
∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －23≤x ≤2. (2)存在x 0∈R 使得f (x 0)≥g (x 0)成立，等价于|x ＋1|≥2|x |＋a 有解， 即φ(x )≥a 有解，即a ≤φ(x )max .
由(1)可知，φ(x )在(－∞，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．
∴φ(x)max＝φ(0)＝1，
∴a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]．。