线代相似矩阵与二次型

定义1 设有n 维向量
x1
x
x2 ,
xn
y1
y
y2 ,
yn
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn
称x, y为向量 x与 y的内积 .
说明
1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算,如果x, y都是列 向量,内积可用矩阵记号表示为 :
４ 向量空间的正交基
若1, 2 , , r是向量空间V的一个基,且1, 2 , , r是两两正交的非零向量组,则称1, 2 , , r是
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
1
2 2
1
正交，试求 Байду номын сангаас 使1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2 , x3 T 0,且分别与1,2正交.
范正交化.
若a1 ,a2 , ,ar为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 b1 a1 ，
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
,
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
br
ar
[b1 [b1
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
b1
第五章 相似矩阵及二次型
本章给出向量的内积、长度及正交性等概念， 然后主要讨论方阵的特征值与特征向量．再给出 两方阵相似的概念，利用特征值和特征向量给出 了方阵的相似对角化。对于对称矩阵研究其特征 值与特征向量的特性，并给出正交标准化方法， 这对二次型的化简起到关键作用。最后讨论了二 次型的标准化与正定性等问题．本章内容丰富， 涉及面较广，概念难度较大.
所以 e1 ,e2 ,e3 ,e4为R4的一个规范正交基.
同理可知
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个规范正交基.
６ 求规范正交基的方法
设1 , 2 , , r是向量空间V的一个基,要求V
的一个规范正交基,就是要找一组两两正交的单
位向量e1 ,e2 , ,er ,使e1 ,e2 , ,er与1 , 2 , , r等 价,这样一个问题,称为 把1,2 , ,r 这个基规
３ 正交向量组的性质
定理1 若n维向量1,2, ,r是一组两两正交的 非零向量,则1, 2, , r线性无关.
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 . 同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念 当[ x, y] 0时, 称向量x与y 正交. 由定义知,若 x 0,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
x, y xT y.
内积的运算性质
其中 x, y, z为n维向量,为实数 : (1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z;
(4)[ x, x] 0,且当x 0时有[ x, x] 0.
二、向量的长度及性质
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 , 称 x 为n维向量 x的长度或范数 .
定义3 设n维向量 e1, e2 , , er是向量空间 V (V Rn )的一个基,如果e1 , e2 , , er两两正交且都是单位 向量,则称e1, e2 , , er是V的一个规范正交基.
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
本章目 录
向量的内积、长度及正交性 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 对称矩阵的对角化 二次型及其标准型 用配方法化二次型成标准型 正定二次型
第一节 向量的内积、长度与正交性
教学目的:理解向量内积、正交性等概 念，掌握施密特正交化过程.
教学重点:内积、正交化过程、正交矩阵. 教学难点:施密特正交化方法、正交矩阵.
则有 [1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0
即
[[21,,33
] ]
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
解之得 x1 x3 , x2 0.
若令 x3 1,则有
x1 1
3 x2 0
x3 1
由上可知1 ,2 ,3构成三维空间的一个正交基.
５ 规范正交基
] ]
b2
[br1 ,ar ] [br1 ,br1 ]
br
1
那么b1 , ,br两两正交,且b1 , ,br与a1 , ar等价.
（2）单位化，取
e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
, er
br br
,
那么 e1 ,e2 , ,er为V的一个规范正交基 .
上述由线性无关向量组a1 , ,ar构造出正交 向量组b1 , ,br的过程,称为施密特正交化过程 .