高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》专项训练及解析答案

新数学《三角函数与解三角形》高考知识点

一、选择题

1．在ABC ∆中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =∆的面积为

1，

则BD 的长为（ ）

A ．32

B ．4

C ．2

D ．1

【答案】C 【解析】 1210sin 1sin 25

BCD BCD ⨯⨯⨯∠=∴∠= 2

2

2

2102210425

BD BD ∴=+-⨯⨯⨯

=∴=,选C

2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积25cos S C =，且

1,25a b ==，则c =（ ）

A ．15

B ．17

C ．19

D ．21

【答案】B 【解析】

由题意得，三角形的面积1

sin 25cos 2

S ab C C ==，所以tan 2C =， 所以5cos C =

， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以17c =，故选B.

3．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至

BC ，在旋转的过程中，记([0,])2

ABP x x π

∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区

域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】 【分析】

根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】

当0,4x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤

∈

⎥⎝⎦

时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯;

根据正切函数图象可知选D. 【点睛】

本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.

4．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.

由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'

2357︒'

2413︒'

2428︒'

2444︒'

正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代

公元元年

公元前2000年

公元前4000年

公元前6000年

公元前8000年

根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年

【答案】D 【解析】 【分析】

先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】

解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：

则16tan 1.610α=

=，169.4tan 0.6610

β-==， tan tan 1.60.66

tan()0.4571tan tan 1 1.60.66

αβαβαβ---=

=≈++⨯g ．

0.4550.4570.461<

∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．

故选：D ． 【点睛】

本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．

5．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（） A ．5B ．25

C 25

D 5 【答案】B 【解析】

【分析】

由辅助角公式可确定()max 5f x =，从而得到sin 2cos 5θθ-=；利用同角三角函数平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】

()()sin 2cos 5sin f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=- ()max 5f x ∴=，即sin 2cos 5θθ-=

又22sin cos 1θθ+= 25

cos θ∴=- 【点睛】

本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.

6．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫

=+∈>>< ⎪⎝

⎭

的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（ ）

A ．,3

π

ωπϕ==

B ．2,3

π

ωπϕ==

C ．,6

π

ωπϕ==

D ．2,6

π

ωπϕ==

【答案】C 【解析】 【分析】

由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23

f =确定ϕ. 【详解】 由图可得，2A =，511

4632T =-=，所以22T πω

==，ωπ=，又1()23f =，

所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6

k k Z π

ϕπ=+∈， 又2

π

ϕ<

，故6

π

=

ϕ. 故选：C 【点睛】