函数与导数解答题训练

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导数应用精选50题(含有答案)

)
99
A. a b c
B. c > b > a
C. c > a > b
D. a > c > b
10. f (x)是函数f (x)的导函数, 将y f (x)和y f (x) 的图象画在同一直角坐标系中，不
可能正确的是
()
11.已知函数 y xf (x) 的图象如图 3 所示（其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）．下面四个图象中， y f (x) 的图象大致是（）
30.(本大题满分 14 分) 设 x=3 是函数 f（x）=（x2+a+b）e3-x(x∈R)的一个极值点． (1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b)，并求 f（x）的单调区间；(2)a>0，g(x)=( a+ 25 ) ex．若
4 存在 x1、x2∈[0，4]使得| f（x1）- g(x2)|<1 成立，求 a 的取值范围．
（3）若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1，x2（xl <x2），且 x2 －xl >1n2，求实数 a 的取值范围．
28.（本题满分 14 分）
5
已知函数 f x a ln x 1 a x 1 x2, a R
2
（1）当 0 a 1时，求函数 f x 的单调区间；
（2）已知 f x 0 对定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的范围.
（1）求 a, b 的值；（2）求函数 f (x) 的极小值.
26.（本小题满分 13 分）已知定义在正实数集上的函数 f (x) 1 x2 2ex , g(x) 3e2 ln x b （其中 e 为常数， e 2.71828 ）,若这两个函数

导数解答题50题

49．已知函数 .
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
50．已知函数， .
（1）若的最大值是0，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若对于定义域内任意，恒成立，求的取值范围.
51．已知函数的导函数为 .
（1）讨论的单调性；
（2）证明：存在，使有且仅有一个零点.
31．已知，函数 .
（1）讨论的单调性；
（2）若任意，，恒成立，求的取值范围.
32．已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）当时，证明：对；
（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．
33．已知函数（e为自然对数的底数）.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若时，恒成立，求m的取值范围.
（2）若关于x的方程有实数根，求实数a的取值范围.
9．已知函数 .
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数，当且，求证： .
10．已知函数 .
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）求证：当时， .
11．已知函数．
（I）若，当时，求的单调递减区间；
（II）若函数有唯一的零点，求实数的取值范围．
若a> ，则当x∈( ，2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0．
所以f(x)<0在x=2处取得极小值．
若a≤ ，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤ x–1<0，
所以f′(x)>0．
所以2不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是（，+∞）．

导数基础题训练文(含答案)

导数基础题训练文(含答案)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March导数及其应用一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h→+-- 的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x -D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒3．函数3y x x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；3．函数sin x y x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

导数复习导数大题练习(含详解答案)

1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。

〔I 〕求函数()f x 单调区间；〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ．〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式；〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕；〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。

函数求导练习题(含解析)

一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝，C为常数；（2）（xα）′＝，α为常数；（3）（a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝；（6）（cos x）′＝．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．6．求下列函数的导数．（Ⅰ）；（Ⅱ）．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．9．求下列函数的导数：（1）；（2）．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）解析一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝0，C为常数；（2）（xα）′＝αxα﹣1，α为常数；（3）（a x）′＝a x lna，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝cos x；（6）（cos x）′＝﹣sin x．分析：根据初等函数的导数公式，直接求解即可．解答：解：（1）（C）′＝0，（2）（xα）′＝αxα﹣1，（3）（a x）′＝a x lna，（4）（log a x）′＝，（5）（sin x）′＝cos x，（6）（cos x）′＝﹣sin x．故答案为：（1）0；（2）αxα﹣1；（3）a x lna；（4）；（5）cos x；（6）﹣sin x．点评：本题主要考查初等函数的导数公式，比较基础．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．分析：利用导数的运算性质逐个化简即可求解．解答：解：（1）由已知可得y′＝2x﹣7；（2）由已知可得y′＝1+2cos x．点评：本题考查了导数的运算性质，属于基础题．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．分析：（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可．解答：解：（1）f（x）＝3x4+sin x则f′（x）＝12x3+cos x；（2），则f′（x）＝+﹣2e2x﹣1．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（1）∵y＝ln（2x+1），∴y′＝×2＝，（2）∵，∴y′＝﹣sin（﹣2x）×（﹣2）＝2sin（﹣2x）＝﹣2sin（2x﹣）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．分析：根据复合函数的求导法则、基本初等函数的求导公式求导计算即可．解答：解：（1）∵，∴．（2）∵g（x）＝（8﹣3x）7，∴g'（x）＝7（8﹣3x）6⋅（8﹣3x）'＝﹣21（8﹣3x）6．（3）∵p（x）＝5cos（2x﹣3），∴p'（x）＝﹣5sin（2x﹣3）⋅（2x﹣3）'＝﹣10sin（2x﹣3）．（4）∵w（x）＝ln（5x+6）2，∴点评：本题考查导数的计算，注意复合函数的导数计算，属于基础题．（Ⅰ）；（Ⅱ）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）＝．（Ⅱ）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．分析：利用导数的运算性质化简即可求解．解答：解：（1）因为f（x）＝sin x cos x＝sin2x，所以f′（x）＝cos2x×＝cos2x，（2）∵y＝，∴y′＝＝．点评：本题考查了导数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：根据导数的公式，即可依次求解．解答：解：（1）y'＝＝．（2）因为y＝（2x2+3）（3x﹣2）＝6x3﹣4x2+9x﹣6，所以y′＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查导数的运算，属于基础题．（1）；（2）．分析：（1）先展开f（x），然后求导即可；（2）根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可．解答：解：（1），；（2）．点评：本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：结合基本初等函数的求导公式及求导法则求解即可．解答：解：（1）S（t）＝＝t+，所以S′（t）＝1﹣；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2），所以h′（x）＝4x（3x﹣2）+3（2x2+3）＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查了基本初等函数的求导公式及求导法则，属于基础题．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．分析：利用复合函数的导函数的求法，结合导数的运算求解即可．解答：解：（1），所以；（2）所以．点评：本题考查了导函数的求法，重点考查了导数的运算，属基础题．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．分析：直接利用基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算求解即可．解答：解：（1）令t＝1﹣2x2，则，所以；（2）．点评：本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算，考查了运算能力，属于基础题．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．分析：由已知结合函数的求导公式即可求解．解答：解：（1）y′＝cos x+；（2）y′＝﹣sin x+1；（3）y′＝sin x+x cos x；（4）y′＝＝；（5）y′＝6x+cos x﹣x sin x；（6）y′＝＝﹣．点评：本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．分析：根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．解答：解：（1）y′＝3x2﹣2；（2）y′＝sin（2x+5）+2x cos（2x+5）．点评：本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）．分析：利用导数的运算法则以及常见函数的导数进行求解即可．解答：解：（1）因为y＝（x2+3x+3）e x+1，所以y'＝[（x2+3x+3）e x+1]'＝（x2+3x+3+2x+3）e x+1＝（x2+5x+6）e x+1＝（x+2）（x+3）e x+1；（2）因为，所以．点评：本题考查了导数的运算，主要考查了导数的运算法则以及常见函数的导数公式，考查了化简运算能力，属于基础题．。

函数与导数练习题(含解析)

函数与导数一、单选题1．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数21()log f x x x=-的零点所在区间（） A ．(1,2)B ．(2,3)C ．1(0,)2D ．1(2，1)2．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()0(3)1f x f x ++-=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-3．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()f x 是奇函数，当0x >时()22xf x x =+，则()()12f f +-=（）A ．8-B ．4-C ．5-D ．114．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+单调递减的函数是（） A ．22x x y -=-B ．tan y x x =C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 5．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()sin ln f x x x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()f x 的定义域为R ，对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且函数()1f x +为偶函数，则（）A ．()()()123f f f <-<B ．()()()321f f f <-<C ．()()()231f f f -<<D ．()()()213f f f -<<7．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞8．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为（） A ．2- B ．2 C ．e -D ．e9．（2020·吉林高三其他（文））已知函数2()2f x x x =-，若8log 27a =，5log 11b =，0.25log 8c =-，则（）A ．f （b ）f <（c ）f <（a ）B ．f （b ）f <（a ）f <（c ）C ．f （c ）f <（a ）f <（b ）D ．f （c ）f <（b ）f <（a ）10．（2020·四川其他（文））已知函数()sin f x x x =-，则下列关系不正确的是（） A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 在R 上单调递减C ．0x =是函数()f x 的唯一零点D ．函数()f x 是周期函数11．（2020·四川其他（文））已知函数ln(1),0()0,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若(4)(23)f x f x -<-，则实数x 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．[2,)+∞C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．[4,)+∞12．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高三月考（文））若定义域1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的函数()f x 满足()()xef x f x x'-=且()1f e =-，若13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭恒成立，则m 的取值范围为（） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知()13,03,0x x e x f x x x x +⎧⋅≤=⎨->⎩，若关于x 的方程()()210f x a f x -⋅-=有5个不同的实根，则实数a 的取值范围为（）A ．30,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦14．（2020·广西南宁二中月考（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(2,)eB ．1[,)e+∞C ．1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()g x x =，实数a ，b 满足3b a >>.若[]1,x a b ∀∈，2x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（）A ．12B ．1CD ．2二、填空题16．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为20x y -=，则a =________.17．（2020·云南昆明一中高三月考（文））函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩.若关于x 的方程()()0f x m m =< 有且只有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的值是_________.18．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数(),0,ln ,0,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()102f x a f x a ⎡⎤-⋅--=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦恰有5个不相等的实数根，则实a 的取值范围是______. 19．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是_________．20．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________．21．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题22．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()xf x e ax =-，()1lng x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围.23．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()()ln f x x x a =-，()12x g x e =-（e为自然对数的底）.（1）讨论()f x 的极值；（2）当1a =时，若存在(]00,x m ∈，使得()()00f x g m -≤，求实数m 取值范围. 24．（2020·陕西西安·月考（文））已知函数()ln 1,f x x ax a R =-+∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当*n N ∈时，求证：111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n. 25．（2020·广西南宁二中月考（文））已知函数3211()(1)132f x ax a x x =-+++（1a ≥）. （I ）若3a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）若()f x 在R 上无极值点，求a 的值；（III ）当(0,2)x ∈时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由.26．（2020·四川其他（文））已知曲线()(3)(2ln )xf x x e a x x =-+-（其中e 为自然对数的底数）在1x =处切线方程为(1) y e x b =-+.（Ⅰ）求a ，b 值；（Ⅱ）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()0215e f x --<<-. 27．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数()()2122xf x x e x x =-+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭对任意()2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 28．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））设2()g x lnx x x =+-.（1）求()g x 的单调区间；（2）当0a >时，2()0xxe a x a g x --≥恒成立，求实数a 的取值范围.29．（2020·湖北宜昌·高三期末（文））已知函数22()ln f x x a x ax =--．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若对于定义域内任意的x ，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）记()()g x f x a x =+，若()g x 在区间1[,]e e 内有两个零点，求a 的取值范围.30．（2020·吉林高三其他（文））已知函数()32ln f x ax bx x =--．（1）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（2）若1a b ==，且()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围．一、单选题1．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数21()log f x x x=-的零点所在区间（） A ．(1,2) B ．(2,3)C ．1(0,)2D ．1(2，1)【答案】A 【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且函数()f x 单调递增，f （1）2log 1110=-=-<，f （2）2111log 210222=-=-=>， ∴在(1,2)内函数()f x 存在零点，故选：A .2．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()0(3)1f x f x ++-=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【解析】因为函数()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数，因为()()()133f x f x f x +=--=-，故函数()f x 的周期为4，则()()20211f f =；而()()11f f -=-，所以由(2021)1(1)2f f -=-可得1(1)3f =；而121(1)(3)log (31)3f f m =-=--=，解得43m =-. 故选：C .3．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()f x 是奇函数，当0x >时()22xf x x =+，则()()12f f +-=（）A ．8-B ．4-C ．5-D ．11【答案】C【解析】：因为0x >时，()22x f x x =+，所以12(1)213f =+=；又因为()f x 是奇函数，所以()()()22448f f -=-=-+=-，即()()51238f f +-=-=-，故选：C.4．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+单调递减的函数是（） A ．22x x y -=-B ．tan y x x =C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 【答案】D【解析】对A ，函数22xxy -=-在()0,∞+单调递增，故A 不符合；对B ，函数tan y x x =为偶函数，故B 不符合；对C ，函数'1cos 0y x =-≥在()0,∞+恒成立，所以在()0,∞+单调递增，故C 不符合；对D ，函数既是奇函数又在()0,∞+单调递减，故D 符合；故选：D5．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()sin ln f x x x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()sin()ln sin ln ()f x x x x x x x f x -=----=-=，()f x ∴为偶函数，排除A ，C 选项；当(0,1)x ∈时，sin 0,ln 0x x x ><，()0f x ∴>，排除D 选项，故选B ．故选B6．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()f x 的定义域为R ，对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且函数()1f x +为偶函数，则（）A ．()()()123f f f <-<B ．()()()321f f f <-<C ．()()()231f f f -<<D ．()()()213f f f -<<【答案】C【解析】因为对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，所以对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，21x x -与21()()f x f x -均为异号，所以()f x 在[1,)+∞上单调递减，又函数()1f x +为偶函数，即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)(4)f f -=，所以()()()2(4)31f f f f -=<<. 故选：C.7．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞【答案】D【解析】因为2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，所以1()20f x ax x '=+>在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上成立，即212a x >-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有解，因此，只需212412a >-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得2a >-.故选D8．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为（） A ．2- B ．2 C ．e - D ．e【答案】B【解析】设切点坐标为(),ln t t t ，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，直线l 的斜率为()ln 1f t t '=+，所以，直线l 的方程为()()ln ln 1y t t t x t -=+-，将点()0,e -的坐标代入直线l 的方程得()ln ln 1e t t t t --=-+，解得t e =，因此，直线l 的斜率为()2f e '=. 故选：B.9．（2020·吉林高三其他（文））已知函数2()2f x x x =-，若8log 27a =，5log 11b =，0.25log 8c =-，则（）A ．f （b ）f <（c ）f <（a ）B ．f （b ）f <（a ）f <（c ）C ．f （c ）f <（a ）f <（b ）D ．f （c ）f <（b ）f <（a ）【答案】A【解析】27982443log log 3log log 82a ===>=，5553log 11log log 2b ==<=，0.2543log 8log 82c =-==，又55log 11log 51b =>=，1b c a ∴<<<，又2()2f x x x =-在[1，)+∞上单调递增，f ∴（b ）f <（c ）f <（a ）．故选：A ．10．（2020·四川其他（文））已知函数()sin f x x x =-，则下列关系不正确的是（） A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 在R 上单调递减C ．0x =是函数()f x 的唯一零点D ．函数()f x 是周期函数【答案】D【解析】因为()sin f x x x =-的定义域为R ，()sin()()sin ()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以函数为奇函数，故A 正确；因为()cos 10f x x '=-≤，所以()sin f x x x =-在R 上为减函数，故B 正确；因为(0)sin 000f =-=，且()sin f x x x =-在R 上为减函数，所以函数()f x 的唯一零点是0，故C 正确；因为()sin f x x x =-,不存在0T ≠,使得()sin()()f x T x T x T f x +=+--=，故D 错误. 故选：D11．（2020·四川其他（文））已知函数ln(1),0()0,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若(4)(23)f x f x -<-，则实数x 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．[2,)+∞C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．[4,)+∞【答案】C【解析】：因为ln(1),0()0,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，当0x ≥时，()()ln 1f x x =+在定义域上单调递增，且()00f =，当0x <时()00f =，要使(4)(23)f x f x -<-，则423230x x x -<-⎧⎨->⎩解得32x >，即3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭故选：C12．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高三月考（文））若定义域1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的函数()f x 满足()()xef x f x x'-=且()1f e =-，若13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭恒成立，则m 的取值范围为（） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】函数()f x 满足()()x e f x f x x '-=，()(1)x f x f x e x '-∴=，则()1x f x e x'⎛⎫= ⎪⎝⎭，可设()ln xf x x c e=+，c 为常数，故()()ln x f x x c e =+，()11f c e e ∴=⋅=-， 1c ∴=-，故()()ln 1xf x x e =-，1()ln 1x f x e x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，令1()ln 1g x x x =+- ，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则22111()x g x x x x -'=-=， 1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，故()g x 单调递减；()1,∈+∞x 时，()0g x '>，故()g x 单调递增，()g x ∴在1x =时取得最小值(1)0g =，()0g x ∴≥恒成立，1()ln 10x f x e x x ⎛⎫'=+-≥ ⎪⎝⎭在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭成立，故()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，又()1f e =-，所以不等式13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭即13(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，根据单调性得11312m ≤-≤，解得2152m ≤≤. 故选：D.13．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知()13,03,0x x e x f x x x x +⎧⋅≤=⎨->⎩，若关于x 的方程()()210f x a f x -⋅-=有5个不同的实根，则实数a 的取值范围为（）A ．30,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】设()t f x =，则方程为210t at --=，解得t =，且10t =>，20t =<，当0x ≤时，()1x f x xe+=，则()()11x f x x e+'=+，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，可知()f x 在1x =-处取得极小值()11f -=-；当0x >时，()33=-f x x x ，则()()()233311f x x x x '=-=-+，当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，可知()f x 在1x =处取得极大值()12f =，如图作出函数()f x 的图象，要使关于x 的方程()()210fx a f x -⋅-=有5个不同的实根，有1221t t <⎧⎨>-⎩，解得302a <<.故选：B.14．（2020·广西南宁二中月考（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(2,)eB ．1[,)e+∞C ．1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由于定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，则()f x 在(,0)-∞上递增，又ln 1(ln 1)ax x ax x --=--++，则(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥ 可华化为： 2(ln 1)2(1)f ax x f --≥，即(ln 1)(1)f ax x f --≥对[]1,3x ∈恒成立，则1ln 11ax x -≤--≤，所以：ln x a x ≥且ln 2x a x+≤ 对[1,3]x ∈同时恒成立. 设ln ()xg x x =，21ln ()x g x x -'=，则()g x 在[1,e)上递增，在(,3]e 上递减，max1()()g x g e e ∴==. 设ln 2()x h x x+=，21ln ()0x h x x --'=< ，()h x 在[1,3] 上递减，min2ln 3()(3)3h x h +== . 综上得：a 的取值范围是12ln 3[,]3e +.15．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()g x x =，实数a ，b 满足3b a >>.若[]1,x a b ∀∈，2x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（）A ．12B ．1CD ．2【答案】B【解析】当)x ⎡∈⎣时，()(g x ∈，令2x =12x =±.∵()()2f x f x =+，∴()f x 的周期为2，所以()f x 在[－1，5]的图象所示：结合题意，当17422a =-+=，19422b =+=时，b a -取得最大值.最大值为1. 故选：B.二、填空题16．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为20x y -=，则a =________. 【答案】3 【解析】()ln 1y ax x =-+，11y a x '∴=-+. 由题意可知，当0x =时，12y a '=-=，解得3a =. 故答案为：3.17．（2020·云南昆明一中高三月考（文））函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩.若关于x 的方程()()0f x m m =< 有且只有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的值是_________.【答案】3【解析】画出()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图像如下，因为()(0)f x m m =<有且只有两个不等实根，即函数()y f x =与y m =有两个不同交点，由图像可得，112m -<<-，所以1x ，2x ，关于直线32x =对称，则123232x x +=⨯=. 故答案为：3.18．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数(),0,ln ,0,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()102f x a f x a ⎡⎤-⋅--=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦恰有5个不相等的实数根，则实a 的取值范围是______. 【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】作出函数()f x 的大致图象如图所示，由已知关于x 的方程()f x a =或()12f x a =+恰有5个不相等的实数根，则01,11,2a a <<⎧⎪⎨+≥⎪⎩解得1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭19．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是_________．【答案】(),0-∞【解析】由220x x ->，可得2x >或0x <，所以函数的定义域为()(),02,-∞+∞又()211t x =--在区间(),0-∞的单调递减，13log y t =单调递减,∴函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是(),0-∞, 故答案为(),0-∞．20．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________．【答案】(,1)(0,1)-∞-【解析】令3()()f x g x x =，0x >，因为当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则当0x >时，4()3()()0xf x f x g x x'-'=<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，又因为()f x 为奇函数，即()()f x f x -=-，则33()()()()()f x f x g x g x x x--===-，故()g x 为偶函数且在(,0)-∞上单调递增，因为()10f -=，故()()110g g -==，由()0f x >可得3()0x g x >，所以0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，所以001x x >⎧⎨<<⎩或01x x <⎧⎨<-⎩. 解可得，1x <-或01x <<. 故答案为：()(),10,1-∞-⋃.21．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x xa --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-．故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．三、解答题22．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()xf x e ax =-，()1lng x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）[e 1,)-+∞.【解析】【分析】（1）先对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况讨论，可求解函数的单调性；（2）由已知得e 1ln x a x x x=--有实数解，构造函数，利用函数的单调性及函数的性质求得a 的范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()e '=-xf x a当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，令()xf x e a '=-，得ln x a =，则()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.（2）由()()f x g x =，得e ln 1xax x x =--，因为0x >，所以e 1ln x a x x x=--.令e 1()ln x h x x x x=--，0x >，则()22e 1(1)e e 1()x x x x x x h x x x----+'==. 令()0h x '=，得1x =.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 为增函数.所以min ()(1)e 1h x h ==-.又因为e 1e 1()ln ln x x h x x x x x x -=--=-，因为0x >，e 1x>，所以e 10x x->，所以当0x →时，()h x →+∞. 所以函数()h x 的值域为[e 1,)-+∞，因此实数a 的取值范围为[e 1,)-+∞.23．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()()ln f x x x a =-，()12x g x e =-（e为自然对数的底）.（1）讨论()f x 的极值；（2）当1a =时，若存在(]00,x m ∈，使得()()00f x g m -≤，求实数m 取值范围.【答案】（1）1a f e -=-极小值，()f x 无极大值；（2）0ln3m <≤.【解析】【分析】（1）对函数进行求导得()ln 1f x x a '=-+，令()10a f x x e -'=⇒=，再列表，从而求得函数的极值；（2）利用导数研究函数的最值，对m 分两种情况讨论，即01m <≤和1m ，即可得答案；【详解】（1）依题()ln 1f x x a '=-+，()10a f x x e-'=⇒=，x ，()f x '，()f x 的变化如下：列表分析可知，()11a a f f ee --==-极小值，()f x 无极大值. （2）对于()()ln 1f x x x =-，可得()ln f x x '=.因此，当()0,1x ∈时，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递增. （1）当01m <≤时，()()()min ln 1ln f x f m m m m m m ==-=-. 依题意可知()()()02ln 210mf mg m m m e m -≤⇒+--≤.构造函数：()21mm e m ϕ=--（01m <≤），则有()2mm e ϕ'=-.由此可得；当()0,ln 2m ∈时，()0m ϕ'<；当()ln 2,1m ∈时，()0m ϕ'>，即()m ϕ在()0,ln 2m ∈时单调递减，()ln 2,1m ∈单调递增. 注意到：()00ϕ=，()13e ϕ=-，因此()0m ϕ<.同时注意到2ln 0m m ≤，故有()2ln 210mm m e m +--≤. （2）当1m 时，()()min 11f x f ==-.依据题意可知()()101031ln 322m me f m g m e m ⎛⎫-≤⇒---≤⇒≤⇒<≤ ⎪⎝⎭.综上（1）、（2）所述，所求实数m 取值范围为0ln3m <≤.24．（2020·陕西西安·月考（文））已知函数()ln 1,f x x ax a R =-+∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当*n N ∈时，求证：111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n. 【答案】（1）答案见解析；（2）1a ≥；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）对函数求导，然后分0a ≤，0a >两种情况，由导函数的正负可求得其单调区；（2）利用导数求()f x 的最大值小于零即可，或()ln 10f x x ax =-+≤恒成立，等价于ln 1x a x+≥，0x >，然后构造函数ln 1()x g x x+=，利用导数求其最大值即可；（3）由(2)知，当1a =时，()0f x ≤恒成立，即ln 1≤-x x (仅当1x =时等号成立)．当*1,k x k N k+=∈时，有11lnk k k +<，然后利用累加法可得111ln(1)123n n +<+++…+，当*,1kx k N k =∈+时，有11ln 1k k k +>+，再利用累加法可得1111ln(1)2341n n +>+++…+，从而可证得结论【详解】（1）()ln 1,0f x x ax x =-+>，1()f x a x'=- ．当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上递增；．当0a >时，令()0f x '=，则1x a=，当10x a <<时，()0f x '>；当1x a>时，()0f x '<，所以()f x 在区间1(0,)a上递增，在1(,)a+∞上递减.（2）方法1：构造函数()ln 1,0f x x ax x =-+>，1()f x a x'=- ．当0a ≤时，由（1）()f x 在(0,)+∞上递增，又(1)10f a =->，不符合题意，舍；．当0a >时，由（1）知()f x 在区间1(0,)a 上递增，在1(,)a+∞上递减；所以max 11()()ln()0f x f a a==≤，解得：1a ≥. 综上：1a ≥ 方法2：分离参数()ln 10f x x ax =-+≤恒成立，等价于ln 1x a x+≥，0x >设ln 1()x g x x+=，0x >，2ln ()xg x x -'=，令()0g x '=，1x =，则当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在区间(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减；所以max ()(1)1g x g ==，所以：1a ≥（3）由(2)知，当1a =时，()0f x ≤恒成立，即ln 1≤-x x (仅当1x =时等号成立)．当*1,k x k N k +=∈时，11ln 1k k k k ++<-，即11ln k k k +<；所以，2ln11<，31ln 22<，41ln 33<，……，11ln n n n +<；上述不等式相加可得：2341111lnln ln ln112323n n n+++++<+++…+，即：2341111ln112323n n n +⋅⋅<+++…+，即：111ln(1)123n n+<+++…+，*n N ∈；．当*,1k x k N k =∈+时，ln 111k k k k <-++，即111ln 1k k k -+⎛⎫<- ⎪+⎝⎭，即11ln 1k k k +>+ 所以，21ln12>，31ln 23>，41ln 34>，……，11ln 1n n n +>+；上述不等式相加可得：23411111lnln ln ln1232341n n n +++++>+++…+，即：23411111ln1232341n n n +⋅⋅>+++…+，即：1111ln(1)2341n n +>+++…+，*n N ∈；综上：当*n N ∈时，111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n.25．（2020·广西南宁二中月考（文））已知函数3211()(1)132f x ax a x x =-+++（1a ≥）. （I ）若3a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）若()f x 在R 上无极值点，求a 的值；（III ）当(0,2)x ∈时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由.【答案】（1）1y =；（2）19a ≤<时函数()f x 在(0,2)上无零点；当9a =时，函数()f x 在(0,2)上有一个零点；当9a >时，函数()f x 在(0,2)上有两个零点. 【解析】（I ）当3a =时，()3221f x x x x =-++，()2'341f x x x =-+，()'10f =，()11f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y =.（II ）()()2'11f x ax a x =-++，1a >，依题意有()'0f x ≥，即0∆≤，()2140a a +-≤，解得1a =.(III)（1）1a =时，函数()f x 在R 上恒为增函数且()01f =，函数()f x 在()0,2上无零点. （2）1a >时：当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x >，函数()f x 为增函数；当1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 为减函数；当()1,2x ∈，()'0f x >，函数()f x 为增函数. 由于()22103f a =+>，此时只需判定()3162a f =-+的符号：当19a <<时，函数()f x 在()0,2上无零点；当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点；当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点. 综上，19a ≤<时函数()f x 在()0,2上无零点；当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点；当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点.26．（2020·四川其他（文））已知曲线()(3)(2ln )xf x x e a x x =-+-（其中e 为自然对数的底数）在1x =处切线方程为(1) y e x b =-+. （Ⅰ）求a ，b 值；（Ⅱ）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()0215e f x --<<-. 【答案】（1）1a =，2b e =--；（2）证明见详解【解析】(1) ()f x 在1x =处切线方程为(1)y e x b =-+，而2()(2)(1)xf x x e a x'=-+-∴(1)1f e a e '=-+=-，即1a =而(1)21f e =--，故切点为(1,21)e -- ∴121e b e -+=--，即2b e =-- 故有：1a =，2b e =--(2)由(1)知：()(3)2ln x f x x e x x =-+-且定义域(0,)x ∈+∞∴(2)2(1)(2)()x x x x e x xe x f x x x--+--'==，若()(2)(1)xg x x xe =-- 令()1x h x xe =-，即()(1)x h x x e '=+在(0,)x ∈+∞有()0h x '>恒成立∴()h x 单调增，又(0)10h =-<，(1)10h e =->：即()h x 的零点1x 在(0,1)内 ∴1(0,)x 上()0h x <，1(,)x +∞上()0h x > 故在()g x 中1(0,1)x ∈，(0,)x ∈+∞上有当10x x <<时，()0>g x ，即()0f x '>，()f x 单调增当12x x <<时，()0<g x ，即()0f x '<，()f x 单调减当2x >时，()0>g x ，即()0f x '>，()f x 单调增 ∴()f x 存在唯一的极大值点0x =1(0,1)x ∈又有01()()(1)21f x f x f e =>=--而001xx e =，000000003()32ln 13x x f x x e e x x x x =-+-=--且0(0,1)x ∈ ∴0()5f x <-(利用均值不等式，但等号不成立，因为0x 无法取1)综上，得证：021()5e f x --<<-27．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数()()2122xf x x e x x =-+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭对任意()2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞；（2）31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）依题意()()()()()1111xx f x ex x x e '=-+-=-+，当(),1x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞.（2）当2x >时，()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭恒成立，即()()222e 14422xa a a x x ax x a x ⎛⎫-+-≥+-++ ⎪⎝⎭，即()()222e 442x a x x x x --+=-≥，即2e xx a -≥恒成立，即max 2e x x a -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.令()()22e x x h x x -=>，则()()123e exx x x h x ---'==，易知()h x 在区间()2,3内单调递增，在区间()3,+∞内单调递减，所以()()3max 13e h x h ==，所以31e a ≥. 所以实数a 的取值范围是31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 28．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））设2()g x lnx x x =+-.（1）求()g x 的单调区间；（2）当0a >时，2()0x xe a x a g x --≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；（2）(]0e ，. 【解析】（1）函数的定义域为()0,+∞，()()()211112x x g x x x x-+-=+-='，令()0g x '>即()()2110x x +-<，解得112x -<<，当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，故()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞. （2）依题意得()222()ln ln x x x xe a x a g x xe a x a x ax ax xe a x ax --=--+-=--设()()ln 0xh x xe a x ax x =--∈∞，，+，则()()()()+111xx a x a h x x e x e x x ⎛⎫=+-=+- ⎝'⎪⎭， 0a >，∴设()0h x '=的根为0x ，即有00xae x =，可得00x lna lnx =-，当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，∴()()()00000000min 0ln ln xah x h x x e a x ax x a x a ax x ==--=+--⋅ln 0a a a =-≥解得a e ≤，∴实数a 的取值范围是(]0e ，. 29．（2020·湖北宜昌·高三期末（文））已知函数22()ln f x x a x ax =--．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若对于定义域内任意的x ，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）记()()g x f x a x =+，若()g x 在区间1[,]e e内有两个零点，求a 的取值范围.【答案】(1)在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减；(2)342,1a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；(3)[,]a e e ∈-⋃.【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，1(21)(1)()21x x f x x x x+-'=--= 令()0f x '>，得1x >；令()0f x '<，得01x <<，所以()f x 的单调减区间(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞.(2) ()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x--+-'=--==, 当0a =时，2()0f x x =≥恒成立；当0a >时，(0,)x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)a 上单调递减，(,)a +∞上单调递增，所以2min ()()ln 0f x f a a a ==-≥，解得01a <≤；当0a <时，()f x 在(0,)2a -上单调递减，(,)2a-+∞上单调递增，所以222min()()ln()02422a a a af x f a =-=+--≥，解得3420-≤<e a ；综上，a 的取值范围34[2,1]e -. (3)法一：显然，1x =不是()g x 的零点，所以1x ≠由()0g x =，得22ln x a x =，令2()ln x h x x=，2(2ln 1)()(ln )x x h x x '-=，令()0h x '=得12x e =，当121[,1)(1,]x e e∈时，()0f x '<；当12(,]e x e ∈时，()0f x '>，所以()h x 在1[,1)e和12(1,]e 单调递减，12(,]e e 单调递增，又1[,1)x e ∈时，()0h x <，22ln x a x=不成立，所以只需12222()2()a h e e a h e e⎧⎪>=⎨⎪≤=⎩，故a 的取值范围[,]e e -⋃．法二：22222()ln ,()x a g x x a x g x x-'=-=，当0a =时，不合题意，舍去；当0a >时，()g x在上单调递减，)+∞上单调递增，要使()g x 在区间1[,]e e内有两个零点，则需满足1(,)01()0()0e e g g e g e ⎪<⎪⎨⎪⎪≥⎪⎪≥⎩，即222222ln 0211ln 0ln 0a e a a a e e e a e ⎧<<⎪⎪⎪-<⎪⎨⎪⎪-≥⎪⎪-≥⎩，解得]a e ∈；当0a <时，()g x在(0,上单调递减，()+∞上单调递增，要使()g x 在区间1[,]e e内有两个零点，则需满足1(,)(01()0()0e e g g e g e ⎧⎪⎪⎪<⎪⎨⎪⎪≥⎪⎪≥⎩，即222222ln(0211ln 0ln 0a a a a e e e a e ⎧<<⎪⎪⎪-<⎪⎨⎪⎪-≥⎪⎪-≥⎩，解得[,a e ∈-；综上，a的取值范围[,]e e -⋃.30．（2020·吉林高三其他（文））已知函数()32ln f x ax bx x =--．（1）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（2）若1a b ==，且()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）(],0-∞．【解析】（1）当0b =时，函数()3ln f x ax x =-，可得()f x 的定义域为()0,∞+，则()321313ax f x ax x x-'=-=，①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减．②当0a >时，由()0f x '>，得x >()f x 在⎫+∞⎪⎭上单调递增；由()0f x '<，得0x <<，则()f x 在⎛ ⎝上单调递减．（2）由1a b ==，知()32ln f x x x x =--，可得()322132132x x f x x x x x--'=--=，又由()()()()()32322223213313111131x x x x x xx x x x x x --=-+-=-+-+=-++，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()()min 10f x f ==，则0m ≤，故m 的取值范围为(],0-∞．。

导数与函数的极值、最值最新习题(含解析)

导数与函数的极值、最值课时作业一、选择题1．如图2是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：图2①－2是函数y＝f(x)的极值点；②1是函数y＝f(x)的极值点；③y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零；④函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增．则正确命题的序号是()A．①③B．②④C．②③D．①④解析：根据导函数图象可知，－2是导函数的零点且－2的左右两侧导函数符号异号，故－2是极值点；1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致；0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值，导函数在(－2，2)上恒大于或等于零，故为函数的增区间，所以选D.答案：D2．设f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，则函数f(x)()A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值C．有无数个极值D．没有极值解析：由f(x)＝12x2－x＋cos(1－x)，得f′(x)＝x－1＋sin(1－x)．设g(x)＝x－1＋sin(1－x)，则g′(x)＝1－cos(1－x)≥0.所以g(x)为增函数，且g(1)＝0.所以当x∈(－∞，1)时，g(x)<0，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，则f(x)单调递增．又f′(1)＝0，所以函数f(x)仅有一个极小值f(1)．故选A.答案：A3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝()A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3 解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎨⎧f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，f （1）＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，即⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故函数f (x )单调递增，无极值．不符合题意．∴a ＝4.故选C. 答案：C 4．函数f (x )＝2＋ln x x ＋1在[1e ，e]上的最小值为 ( ) A ．1 B.e 1＋e C.21＋e D.31＋e解析：∵f ′(x )＝x ＋1x －（2＋ln x ）（x ＋1）2＝1x－1－ln x （x ＋1）2，∴当e ≥x >1时，f ′(x )<0；当1e ≤x ＜1时，f ′(x )＞0. 所以f (x )的最小值为min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （1e ），f （e ）＝min{e 1＋e ，31＋e }＝e 1＋e ，选B.答案：B5．若函数f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0，62)B ．(1，62)C ．(－62，62)D ．(63，1)∪(1，62) 解析：∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x ， ∴f ′(x )＝2(a ＋1)e 2x －2e x ＋a －1，∵f (x )＝(a ＋1)e 2x －2e x ＋(a －1)x 有两个极值点， ∴f ′(x )＝0有两个不等实根，设t ＝e x >0，则关于t 的方程2(a ＋1)t 2－2t ＋a －1＝0有两个不等正根，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －12（a ＋1）>0，22（a ＋1）>0，4－8（a －1）（a ＋1）>0⇒1<a <62，∴实数a 的取值范围是(1，62)，故选B. 答案：B 6.图1如图1，可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )，设h (x )＝f (x )－g (x )，则下列说法正确的是( )A ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极大值点B ．h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极小值点C ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是h (x )的极值点D ．h ′(x 0)≠0，x ＝x 0是h (x )的极值点解析：由题意可得函数f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， ∴h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， ∴h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)， ∴h ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<f ′(x 0)，故h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x >x 0时，f ′(x )>f ′(x 0)，故h ′(x )>0，h (x )单调递增．∴x ＝x 0是h (x )的极小值点．故选B. 答案：B7．若函数g (x )＝mx ＋sin xe x 在区间(0，2π)内有一个极大值和一个极小值，则实数m 的取值范围是 ( )A ．[－e －2π，e －π2)B ．(－e －π，e －2π)C ．(－e π，e －5π2) D ．(－e －3π，e π) 解析：函数g (x )＝mx ＋sin xe x ，求导得g ′(x )＝m ＋cos x －sin xe x. 令f (x )＝m ＋cos x －sin x e x，则f ′(x )＝－2cos xe x .易知，当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(π2，3π2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(3π2，2π)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．且f (0)＝m ＋1，f (π2)＝m －e －π2，f (3π2)＝m ＋e －3π2， f (2π)＝m ＋e －2π，有f (π2)<f (2π)，f (0)>f (3π2)．根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （π2）＝m －e －π2<0，f （2π）＝m ＋e －2π≥0，解得－e－2π≤m <e －π2.故选A.答案：A8．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是 ( )A ．－4，－15B ．5，－15C ．5，－4D ．5，－16 解析：由题意知y ′＝6x 2－6x －12，令y ′>0，解得x >2或x <－1，故函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，2]上递减，在[2，3]上递增，当x＝0时，y＝5；当x＝3时，y＝－4；当x＝2时，y＝－15.由此得函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是5，－15.故选B.答案：B9．若函数f(x)＝13x3－⎝⎛⎭⎪⎫1＋b2x2＋2bx在区间[－3，1]上不是单调函数，则f(x)在R上的极小值为()A．2b－43 B.32b－23C．0 D．b2－16b3解析：由题意得f′(x)＝(x－b)(x－2)．因为f(x)在区间[－3，1]上不是单调函数，所以－3<b<1.由f′(x)>0，解得x>2或x<b；由f′(x)<0，解得b<x<2.所以f(x)的极小值为f(2)＝2b－43.故选A.答案：A10．已知函数f(x)＝ln x＋a，g(x)＝ax＋b＋1，若∀x>0，f(x)≤g(x)，则ba的最小值是()A．1＋e B．1－e C．e－1D．2e－1解析：由题意，∀x>0，f(x)≤g(x)，即ln x＋a≤ax＋b＋1，即ln x－ax＋a≤b＋1，设h(x)＝ln x－ax＋a，则h′(x)＝1x－a，当a≤0时，h′(x)＝1x－a>0，函数h(x)单调递增，无最大值，不合题意；当a>0时，令h′(x)＝1x－a＝0，解得x＝1a，当x∈(0，1a)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x∈(1a，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减，所以h(x)max＝h(1a)＝－ln a＋a－1，故－ln a＋a－1≤b＋1，即－ln a＋a－b－2≤0，令ba＝k，则b＝ak，所以－ln a＋(1－k)a－2≤0，设φ(a)＝－ln a＋(1－k)a－2，则φ′(a)＝－1a＋(1－k)，若1－k≤0，则φ′(a)<0，此时φ(a)单调递减，无最小值，所以k＜1，由φ′(a)＝0，得a＝11－k，此时φ(a)min＝ln(1－k)－1≤0，解得k≥1－e，所以k的小值为1－e，故选B.答案：B11．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13 B．－15 C．10 D．15解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax，函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，∴－12＋4a＝0，解得a＝3，∴f′(x)＝－3x2＋6x，f(x)＝－3x3＋3x2－4，∴n∈[－1，1]时，f′(n)＝－3n2＋6n，当n＝－1时，f′(n)最小，最小为－9，当m∈[－1，1]时，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m，令f′(m)＝0，得m＝0或m＝2，所以当m＝0时，f(m)最小，最小为－4，故f(m)＋f′(n)的最小值为－9＋(－4)＝－13.故选A.答案：A12．设函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)＝16x3－12mx2＋x在(－1，2)上是“凸函数”，则f(x)在(－1，2)上() A．既有极大值，也有极小值B．没有极大值，有极小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值解析：由题设可知，f″(x)<0在(－1，2)上恒成立，由于f ′(x )＝12x 2－mx ＋1，从而f ″(x )＝x －m ，所以有x －m <0在(－1，2)上恒成立，故知m ≥2，又因为m ≤2，所以m ＝2，从而f (x )＝16x 3－x 2＋x ，f ′(x )＝12x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝2－2∈(－1，2)，x 2＝2＋2∉(－1，2)，且当x ∈(－1，2－2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2－2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝2－2处取得极大值，没有极小值．答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f (x )在[12，2]上的最大值等于________．解析：∵函数f (x )＝1－xx ＋ln x ， ∴f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2.故f (x )在[12，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，又∵f (12)＝1－ln2，f (2)＝ln2－12，f (1)＝0， f (12)－f (2)＝32－2ln2>0，∴f (x )max ＝1－ln2，故答案为1－ln2. 答案：1－ln214．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：求导得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝2处取得极值，所以f ′(2)＝3·22＋6a ·2＋3b ＝0，即4a ＋b ＋4＝0 ①，又因为图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行，所以f ′(1)＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0 ②，联立①②可得a ＝－1，b ＝0，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，当f ′(x )>0时，x <0或x >2；当f ′(x )<0时，0<x <2，∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)，因此求出函数的极大值为f (0)＝c ，极小值为f (2)＝c －4，故函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4，故答案为4. 答案：415．若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．解析：由f ′(x )＝6x 2－2ax ＝0，得x ＝0或x ＝a3，因为函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点且f (0)＝1，所以a 3>0，f (a 3)＝0，因此2(a 3)3－a (a3)2＋1＝0，a ＝3.从而函数f (x )在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (0)，f (x )min ＝min{f (－1)，f (1)}＝f (－1)，f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3.答案：－316．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1，(1)若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为6，则实数a ＝________；(2)若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， ∴f ′(1)＝3a ＋9＝6，∴a ＝－1.函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0在(－1，3)内有不同的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－12（a ＋6）>0，f ′（－1）＝－a ＋9>0，f ′（3）＝7a ＋33>0，－1<－2a 6<3，∴－337<a <－3.答案：－1 (－337，－3) 三、解答题17．已知函数f (x )＝x ＋ax ln x (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )＝x ＋ax ln x 存在极大值，且极大值点为1，证明：f (x )≤e －x ＋x 2. 解：(1)由题意x >0，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ，①当a ＝0时，f (x )＝x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a >0时，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递增，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )<0，当x ∈(e －1－1a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，e －1－1a )上单调递减，函数f (x )在(e －1－1a ，＋∞)上单调递增；③当a <0，函数f ′(x )＝1＋a ＋a ln x 单调递减，f ′(x )＝1＋a ＋a ln x ＝0⇒x ＝e －1－1a >0，故当x ∈(0，e －1－1a )时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －1－1a 上单调递增，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫e －1－1a ，＋∞上单调递减． (2)由f ′(1)＝0，得a ＝－1，令h (x )＝e －x ＋x 2－x ＋x ln x ，则h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x ，h ″(x )＝e －x ＋2＋1x >0，∴h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，∵h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e －1e ＋2e －1＜0，h ′(1)＝－e －1＋2＞0， ∴∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，使得h ′(x 0)＝0，即－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0. ∴当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，∴h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (x 0)．由－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，得e －x 0＝2x 0＋ln x 0， ∴h (x 0)＝e －x 0＋x 20－x 0＋x 0ln x 0 ＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)．当x 0＋ln x 0<0时，ln x 0<－x 0⇒x 0<e －x 0 ⇒－e －x 0＋x 0<0，所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0<0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾；当x 0＋ln x 0>0时，ln x 0>－x 0⇒x 0>e －x 0⇒－e －x 0＋x 0>0，所以－e －x 0＋x 0＋x 0＋ln x 0>0与－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0矛盾；当x 0＋ln x 0＝0时，ln x 0＝－x 0⇒x 0＝e －x 0⇒－e －x 0＋x 0＝0，得－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0，故x 0＋ln x 0＝0成立，得h (x 0)＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)＝0，所以h (x )≥0，即f (x )≤e －x ＋x 2.18．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数y ＝f (x )的单调区间和最小值；(2)若函数F (x )＝f （x ）－a x 在[1，e]上的最小值为32，求a 的值； (3)若k ∈Z ，且f (x )＋x －k (x －1)>0对任意x >1恒成立，求k 的最大值．解：(1)f (x )的单调增区间为[1e ，＋∞)，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ， f (x )min ＝f (1e )＝－1e .(2)F (x )＝ln x －ax ，F ′(x )＝x ＋a x 2，(ⅰ)当a ≥0时，F ′(x )>0，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉[0，＋∞)，舍去．(ⅱ)当a <0时，F (x )在(0，－a )在上单调递减，在(－a ，＋∞)上单调递增，①若a ∈(－1，0)，F (x )在[1，e]上单调递增，F (x )min ＝F (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32∉(－1，0)，舍去；②若a ∈[－e ，－1]，F (x )在[1，－a ]上单调递减，在[－a ，e]上单调递增，所以F (x )min ＝F (－a )＝ln(－a )＋1＝32，解得a ＝－e ∈[－e ，－1]；③若a ∈(－∞，－e), F (x )在[1，e]上单调递减， F (x )min ＝F (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e 2∉(－∞，－e)，舍去．综上所述， a ＝－ e.(3)由题意得，k (x －1)<x ＋x ln x 对任意x >1恒成立，即k <x ln x ＋x x －1对任意x >1恒成立．令h (x )＝x ln x ＋x x －1，则h ′(x )＝x －ln x －2（x －1）2，令φ(x )＝x －ln x －2(x >1)，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，因为方程φ(x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一的实根x 0，且x 0∈(3，4)，当1<x <x 0时，φ(x )<0，即h ′(x )<0，当x >x 0时，φ(x )>0，即h ′(x )>0.所以函数h (x )在(1，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上单调递增．所以h (x )min ＝h (x 0)＝x 0（1＋ln x 0）x 0－1＝x 0（1＋x 0－2）x 0－1＝x 0∈(3，4)，所以k <g (x )min ＝x 0，又因为x 0∈(3，4)，故整数k 的最大值为3.19．高三模拟考试)已知函数f (x )＝－4x 3＋ax ，x ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，求实数a 的取值集合．解：(1)f ′(x )＝－12x 2＋a .当a ＝0时，f (x )＝－4x 3在R 上单调递减；当a <0时，f ′(x )＝－12x 2＋a <0，即f (x )＝－4x 3＋ax 在R 上单调递减；当a >0时，f ′(x )＝－12x 2＋a ＝0，解得x 1＝36a ，x 2＝－3a 6，∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6时，f ′(x )<0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6时，f ′(x )>0， f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减．综上，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递减；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 6上递减；在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 6，3a 6上递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 6，＋∞上递减． (2)∵函数f (x )在[－1，1]上的最大值为1，∴对任意x ∈[－1，1]，f (x )≤1恒成立，即－4x 3＋ax ≤1对任意x ∈[－1，1]恒成立，变形可得ax ≤1＋4x 3.当x ＝0时，a ·0≤1＋4·03，即0≤1，可得a ∈R ；当x ∈(0，1]时，a ≤1x ＋4x 2，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2min，令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，g ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时， g ′(x )>0. 因此，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3， ∴a ≤3.当x ∈[－1，0)时，a ≥1x ＋4x 2，则a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4x 2max，令g (x )＝1x ＋4x 2，则g ′(x )＝－1x 2＋8x ＝8x 3－1x 2，当x ∈[－1，0)时，g ′(x )<0，因此，g (x )max ＝g (－1)＝3，∴a ≥3.综上，a＝3.∴a的取值集合为{3}。

有关函数的极值与导数的测试题及答案

有关函数的极值与导数的测试题及答案一、选择题1．已知函数fx在点x0处连续，下列命题中，正确的是A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值C．如果在点x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值D．如果在点x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值[答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如fx＝x3，fx＝3x2，f0＝0，但x＝0不是fx的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值3[答案] D[解析] y＝3－3x2＝31－x1＋x令y＝0，解得x1＝－1，x2＝1当x－1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－11时，y0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．设x0为fx的极值点，则下列说法正确的是A．必有fx0＝0B．fx0不存在C．fx0＝0或fx0不存在D．fx0存在但可能不为0[答案] C[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f0不存在．4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．5．对于函数fx＝x3－3x2，给出命题：①fx是增函数，无极值；②fx是减函数，无极值；③fx的’递增区间为－，0，2，＋，递减区间为0,2；④f0＝0是极大值，f2＝－4是极小值．其中正确的命题有A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案] B[解析] fx＝3x2－6x＝3xx－2，令fx0，得x2或x0，令fx0，得02，①②错误． 6．函数fx＝x＋1x的极值情况是A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2[答案] D[解析] fx＝1－1x2，令fx＝0，得x＝1，函数fx在区间－，－1和1，＋上单调递增，在－1,0和0,1上单调递减，当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.7．函数fx的定义域为开区间a，b，导函数fx在a，b内的图象如图所示，则函数fx在开区间a，b内有极小值点A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案] A[解析] 由fx的图象可知，函数fx在区间a，b内，先增，再减，再增，最后再减，故函数fx在区间a，b内只有一个极小值点．8．已知函数y＝x－ln1＋x2，则函数y的极值情况是A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值[答案] D[解析] ∵y＝1－11＋x2x2＋1＝1－2xx2＋1＝x－12x2＋1令y＝0得x＝1，当x1时，y0，当x1时，y0，函数无极值，故应选D.9．已知函数fx＝x3－px2－qx的图象与x轴切于1,0点，则函数fx的极值是 A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为427C．极大值为0，极小值为－427D．极大值为－427，极小值为0[答案] A[解析] 由题意得，f1＝0，p＋q＝1①f1＝0，2p＋q＝3②由①②得p＝2，q＝－1.fx＝x3－2x2＋x，fx＝3x2－4x＋1＝3x－1x－1，令fx＝0，得x＝13或x＝1，极大值f13＝427，极小值f1＝0.10．下列函数中，x＝0是极值点的是A．y＝－x3 B．y＝cos2xC．y＝tanx－x D．y＝1x[答案] B[解析] y＝cos2x＝1＋cos2x2，y＝－sin2x，x＝0是y＝0的根且在x＝0附近，y左正右负，x＝0是函数的极大值点．二、填空题11．函数y＝2xx2＋1的极大值为______，极小值为______．[答案] 1－1[解析] y＝21＋x1－xx2＋12，令y0得－11，令y0得x1或x－1，当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．[答案] a＋42 a－42[解析] y＝3x2－6＝3x＋2x－2，令y0，得x2或x－2，令y0，得－22，当x＝－2时取极大值a＋42，当x＝2时取极小值a－42.13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a ＝______，b＝________.[答案] －3－9[解析] y＝3x2＋2ax＋b，方程y＝0有根－1及3，由韦达定理应有14．已知函数fx＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．[答案] －2,2[解析] 令fx＝3x2－3＝0得x＝1，可得极大值为f－1＝2，极小值为f1＝－2，y＝fx的大致图象如图观察图象得－22时恰有三个不同的公共点．三、解答题15．已知函数fx＝x3－3x2－9x＋11.1写出函数fx的递减区间；2讨论函数fx的极大值或极小值，如有试写出极值．[解析] fx＝3x2－6x－9＝3x＋1x－3，令fx＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，fx的符号变化情况及fx的增减性如下表所示：x －，－1 －1 －1,3 3 3，＋fx ＋ 0 － 0 ＋fx 增极大值f－1 减极小值f3 增1由表可得函数的递减区间为－1,3；2由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f－1＝16；当x＝3时，函数有极小值为f3＝－16.16．设函数fx＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f1＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．[解析] fx＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝1是函数的极值点，－1、1是方程fx＝0的根，即有又f1＝－1，则有a＋b＋c＝－1，此时函数的表达式为fx＝12x3－32x.fx＝32x2－32.令fx＝0，得x＝1.当x变化时，fx，fx变化情况如下表：x －，－1 －1 －1,1 1 1，＋fx ＋ 0 － 0 ＋fx ? 极大值1 ? 极小值－1 ?由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.17．已知函数fx＝ax3＋bx2－3x在x＝1处取得极值．1讨论f1和f－1是函数fx的极大值还是极小值；2过点A0,16作曲线y＝fx的切线，求此切线方程．[解析] 1fx＝3ax2＋2bx－3，依题意，f1＝f－1＝0，即解得a＝1，b＝0.fx＝x3－3x，fx＝3x2－3＝3x－1x＋1．令fx＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x－，－11，＋，则fx＞0，故fx在－，－1上是增函数，fx在1，＋上是增函数．若x－1,1，则fx＜0，故fx在－1,1上是减函数．f－1＝2是极大值；f1＝－2是极小值．2曲线方程为y＝x3－3x.点A0,16不在曲线上．设切点为Mx0，y0，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0.∵fx0＝3x20－1，故切线的方程为y－y0＝3x20－1x－x0．注意到点A0,16在切线上，有16－x30－3x0＝3x20－10－x0．化简得x30＝－8，解得x0＝－2.切点为M－2，－2，切线方程为9x－y＋16＝0.18．2021北京文，18设函数fx＝a3x3＋bx2＋cx＋da0，且方程fx－9x＝0的两个根分别为1,4.1当a＝3且曲线y＝fx过原点时，求fx的解析式；2若fx在－，＋内无极值点，求a的取值范围．[解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用．由fx＝a3x3＋bx2＋cx＋d得fx＝ax2＋2bx＋c∵fx－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.1当a＝3时，由*式得，解得b＝－3，c＝12.又∵曲线y＝fx过原点，d＝0.故fx＝x3－3x2＋12x.2由于a0，所以“fx＝a3x3＋bx2＋cx＋d在－，＋内无极值点”等价于“fx＝ax2＋2bx＋c0在－，＋内恒成立”由*式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵＝2b2－4ac＝9a－1a－9解得a[1,9]，即a的取值范围[1,9]．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

《导数》解答题16道(含详解答案)

《导数》解答题16道专项练习1.已知函数22()x f x e ax e x =+-.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若0x >时，总有2()f x e x >-，求实数a 的取值范围.【详解答案】（Ⅰ）由22()x f x e ax e x =+-，得2()2x f x e ax e '=+-，即()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率40k a ==此时2()x f x e e x =-，2()x f x e e '=-由()0f x '=，得2x =当(,2)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(,2)-∞上为单调递减函数；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(2,)+∞上为单调递增函数.（Ⅱ）2()f x e x >-得2x e a x >-，设2()x e g x x =-(0)x >，则2(2)()x e x g x x -'=当02x <<时，()0g x '>，()g x 在(0,2)上单调递增；当2x >时，()0g x '<，()g x 在(0,2)上单调递减；2()(2)4e g x g ≤=-，所以实数a 的取值范围为2(,)4e -+∞2.函数()ln()ln f x x m n x =+-.（Ⅰ）当1m =，0n >时，求()f x 的单调减区间；（Ⅱ）1n =时，函数()(2)()g x m x f x am =+-，若存在0m >，使得()0g x >恒成立，求实数a 的取值范围.【详解答案】（Ⅰ）由()ln()ln f x x m n x =+-((0,))x ∈+∞，1(1)()1(1)n n x n f x x x x x --'=-=++①当1n =时，1()(1)f x x x -'=+，所以函数()f x 的单调递减区间为：(0,)+∞②当01n <<时，由()0f x '<，得01n x n <<-，所以函数()f x 的单调递减区间为：(0,)1n n-③当1n >时，由()0f x '<，得0x >，所以函数()f x 的单调递减区间为：(0,)+∞综上可得：当1n ≥时，函数()f x 的单调递减区间为：(0,)+∞当01n <<时，函数()f x 的单调递减区间为：(0,1n n-（Ⅱ）当1n =时，函数()(2)()(2)[ln()ln ]g x m x f x am m x x m x am =+⋅-=++--，(0,)+∞由()0g x >可得()0g x x >，即(1)ln (1)0m x m x m x a x x x ++++-->，设1m x t x +=>，所以(1)ln (1)0t t a t +-->，(1)ln 01a t t t -->+令(1)()ln 1a t h t t t -=-+，1t >，222(1)1()(1)t a t h t t t +-+'=+，(1)0h =①当2a ≤时，222(1)1210t a t t t +-+≥-+>，所以()0h t '>可得函数()h t 在(1,)+∞上单调递增.可得()(1)0h t h >=②当2a >时，()0h t '=，即2t +2(1-a )t +1=0，得11t a =--，21t a =-+由21t >，121t t =，可得11t <，所以函数()h t 在2(1,)t 上单调递减可得()(1)0h t h <=，舍去综上可得，实数a 的取值范围为2a ≤3.已知函数(a ∈R )，当时，讨论f (x )的单调性．【详解答案】（1）求函数的导数，可得导函数的零点为1，，根据一元二次不等式的解法可确定函数的单调性．试题解析：因为，所以，，令，可得两根分别为1，，因为，所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．4.已知函数，x >1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值．【详解答案】(1)，由题意可得在上恒成立，∴.∵，∴，∴当时函数的最小值为，∴.故实数的取值范围为.(2)当时，，，令得，解得或(舍)，即.当时，，当时，，∴的极小值为.5.已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R)．当0<a <12时，讨论f (x )的单调性．【详解答案】因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)，令f ′(x )＝0，可得两根分别为1，1a －1，因为0<a <12，所以1a－1>1>0，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x，1a －f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x1，＋f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．6.已知函数f (x )＝x ln x ＋ax ，x >1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值．解析：(1)f ′(x )＝ln x －12＋a ，由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1ln 2x －1ln x ＝－14.∵x ∈(1，＋∞)，∴ln x ∈(0，＋∞)，∴当1ln x －12＝0时函数t －14的最小值为－14，∴a ≤－14.故实数a ∞，－14.(2)当a ＝2时，f (x )＝x ln x ＋2x ，f ′(x )＝ln x －1＋2ln 2x ln 2x ，令f ′(x )＝0得2ln 2x ＋ln x －1＝0，解得ln x ＝12或ln x＝－1(舍)，即x ＝e 12.当1<x <e 12时，f ′(x )<0，当x >e 12时，f ′(x )>0，∴f (x )的极小值为＝e 1212＋2e 12＝4e 12.7.已知函数()1ln f x x a x x=-+（a R ∈）．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）已知()()21112g x x m x x =+-+，2m ≤-，()()()h x f x g x =+，当1a =时，()h x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()()12h x h x -的最小值．【详解答案】（1）由已知可得()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，()222111a x ax f x x x x ++'=++= ，210x ax ∴++≥恒成立，21x a x--∴≥，记()2112x x x x x ϕ--⎛⎫==-+≤- ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，2a ∴≥-．………………+4分（2）()21ln 2h x a x x mx =++，当1a =时，由()21ln 2h x x x mx =++，()211x mx h x x m x x ++'=++=，由已知210x mx ++=有两互异实根1x ，2x ，由根与系数的关系得12x x m +=-，1x ，21x =．()()221211122211ln ln 22h x h x x x mx x mx ⎛⎫⎛⎫∴-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121ln ln 2x x m x x x x =-+-+-()()()()222211212121212211ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x =--+-+-=--+1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．……………………+7分令12x t x =，()0,1t ∴∈，()2222121212922x x x x x x m +=++=≥ ，221252x x ∴+≥，221212122152x x x x x x x x +∴=+≥，152t t +≥，10,2t ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，()()()1211ln 2h x h x t t t t ϕ⎛⎫∴-=--= ⎪⎝⎭，()()2212t t t ϕ-'∴=-，()t ϕ∴10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，()min 13ln 224t ϕϕ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭． (12)8.已知函数()222x f x e ax a =+-，a R ∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0x ≥时，()23f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【详解答案】（Ⅰ）()22x f x e a '=+，①0a ≥时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，由()0f x '>，得()ln x a >-；由()0f x '<，得()ln x a <-，此时()f x 在()(),ln a -∞-上递减，在())ln ,a -+∞⎡⎣上递增．…………………+4分（Ⅱ）令()()()22323x g x f x x e x a =-+=--+，0x ≥，则()()2x g x e x a '=-+，又令()()2x h x e x a =-+，则()()210x h x e '=-≥，()h x ∴在[)0,+∞上递增，且()()021h a =+．①当1a ≥-时，()0g x '≥恒成立，即函数()g x 在[)0,+∞上递增，从而须满足()2050g a =-≥，解得a ≤≤，又1a ≥-，1a ∴-≤≤；②当1a <-时，则00x ∃>，使()00h x =，且()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，即()g x 递减，()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，即()g x 递增．()()()0200min 230x g x g x e x a ∴==--+≥，又()()00020x h x e x a =-+=，从而()002230x x e e-+≥，解得00ln 3x <≤，由0000x x e x a a x e =-⇒=-，令()x M x x e =-，0ln 3x <≤，则()10xM x e '=-<，()M x ∴在(]0,ln 3上递减，则()()ln 3ln 33M x M ≥=-，又()()01M x M <=-，故ln 331a -≤<-，综上ln 335a -≤≤．……………………+12分9.（本小题满分12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =-++，其中a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点()()2,2f f 处的切线的斜率为1，求a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【详解答案】（1）由()()22ln f x x a x a x =-++可知，函数的定义域为{}0x x >，且()()22a f x x a x '=-++．由题意，()()24212a f a '=-++=，解得2a =．（2）()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x-++--'=-++==（0x >）令()0f x '=，得11x =，22a x =①当0a ≤时，02a ≤，令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得01x <<所以，()f x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得1x >或02a x <<，令()0f x '<，得12a x <<所以，()f x 在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上为增函数③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，所以，()f x 在()0,+∞上为增函数④当12a >，即2a >时，令()0f x '>，得01x <<或2a x >，令()0f x '<，得12a x <<所以，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数10.（本小题满分12分）已知函数()()22x f x ax x e =++（0a >），其中e 是自然对数的底数．（1）当2a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在[]2,2-上是单调增函数，求a 的取值范围；（3）当1a =时，求整数t 的所有值，使方程()4f x x =+在[],1t t +上有解．【详解答案】（1）()()222x f x x x e =++，则()()()()2253123x x f x x x e x x e '=++=++令()0f x '=，1x =-，32-()32352f x f e -⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭极大值，()()113f x f e -=-=极小值（2）问题转化为()()22130xf x ax a x e '⎡⎤=+++≥⎣⎦在[]2,2x ∈-上恒成立；又0x e >即()22130ax a x +++≥在[]2,2x ∈-上恒成立；令()()2213g x ax a x =+++0a > ，对称轴1102x a=--<①当1122a --≤-，即102a <≤时，()g x 在[]2,2-上单调增，()()min 210g x g ∴=-=>102a ∴<≤②当12102a -<--<，即12a >时，()g x 在12,12a ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦上单调减，在11,22a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调增，()221120a a ∴∆=+-≤解得：331122a -≤≤+13122a ∴<≤+综上，a 的取值范围是30,12⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦．（3）1a = ，设()()224x h x x x e x =++--，()()2331xh x x x e '=++-令()()2331x x x x e ϕ=++-，()()256xx x x e ϕ'=++令()()2560x x x x e ϕ'=++=，得2x =-，3-()()33310x e ϕϕ∴=-=-<极大值，()()21210x eϕϕ=-=-<极小值()1110e ϕ-=-< ，()020ϕ=>∴存在()01,0x ∈-，()0,x x ∈-∞时()0x ϕ<，()0,x x ∈+∞时()0x ϕ>()h x ∴在()0,x -∞上单调减，在()0,x +∞上单调增又()41440h e -=> ，()38310h e-=-<，()020h =-<，()1450h e =->由零点的存在性定理可知：()0h x =的根()14,3x ∈--，()20,1x ∈即4t =-，0．11.设函数211()ln 42f x x x x =--.（1）求()f x 的极值；（2）若21()(()1)4g x x f x x =++，当1x >时，()g x 在区间(,1)n n +内存在极值，求整数n 的值.【详解答案】（1）2'1112()0)222x x f x x x x x --+=--=>，令'()0f x =，解得1x =（-2舍去），根据',(),()x f x f x 的变化情况列出表格：由上表可知函数()f x 的单调增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞，在1x =处取得极大值34-，无极小值.（2）2211()(()1)ln 42g x x f x x x x x x =++=-+，'()ln 11ln 2g x x x x x =+-+=-+，令()ln 2h x x x =-+，∴'11()1x h x x x -=-=，∵1x >，∴'()0h x <恒成立，所以()h x 在(1,)+∞为单调递减函数，∵(1)10h =>，(2)ln 20h =>，(3)ln 31h =-，(4)ln 420h =-<.所以()h x 在(3,4)上有零点0x ，且函数()g x 在0(3,)x 和0(,4)x 上单调性相反，因此，当3n =时，()g x 的区间(,1)n n +内存在极值，所以3n =.12.已知函数21()(2)2x f x a x e x x =-∙-+.（1）若1a =，求函数()f x 在(2,(2))f 处切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间.【详解答案】（1）'()1()x x f x e x e x x R =--+∈，故切线斜率'2(2)1f e =-，(2)0f =，所以，切线方程22(1)2(1)0e x y e ----=.（2）令'()0f x =，(1)(1)0x x ae --=，当(,0]a ∈-∞时，()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，当1(0,)a e ∈时，()f x 在(,1)-∞，1(ln,)a +∞上为增函数，在1(1,ln a 上为减函数当1a e =时，()f x 在R 上恒为增函数当1(,)a e ∈+∞时，()f x 在1(,ln )a -∞，(1,)+∞上为增函数，在1(ln ,1)a上为减函数13.已知函数()x f x ae x b =-+，()ln(1)g x x x =-+，（,,a b R e ∈为自然对数的底数），且曲线()y f x =与()y g x =在坐标原点处的切线相同.（1）求()f x 的最小值；（2）若0x ≥时，()()f x kg x ≥恒成立，试求实数k 的取值范围.【详解答案】（1）因为'()1x f x ae =-，'1()1(1)1g x x x =->-+，依题意，''(0)(0)f g =，且(0)0f =，解得1,1a b ==-，所以'()1x f x e =-，当0x <时，'()0f x <；当0x >时，'()0f x >.故()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.∴当0x =时，()f x 取得最小值为0.（2）由（1）知，()0f x ≥，即1x e x ≥+，从而ln(1)x x ≥+，即()0g x ≥.设()()()ln(1)(1)1x F x f x kg x e k x k x =-=++-+-，则'()(1)1(1)11x kkF x e k x k x x =+-+≥++-+++，①当1k =时，因为0x ≥，∴'1()1201F x x x ≥++-≥+（当且仅当0x =时等号成立）此时()F x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0F x F ≥=，即()()f x kg x ≥.②当1k <时，由于()0g x ≥，所以()()g x kg x ≥，又由（1）知，()()0f x g x -≥，所以()()()f x g x kg x ≥≥，故()0F x ≥，即()()f x kg x ≥.（此步也可以直接证1k ≤）③当1k >时，令()(1)1x kh x e k x =+-++，则'2()(1)x kh x e x =-+，显然'()h x 在[0,)+∞上单调递增，又'(0)10h k =-<，'11)10h -=->，所以'()h x 在1)上存在唯一零点0x ，当0(0,)x x ∈时，'()0h x <，∴()h x 在0[0,)x 上单调递减，从而()(0)0h x h <=，即'()0F x <，所以()F x 在0[0,)x 上单调递减，从而当0(0,)x x ∈时，()(0)0F x F <=，即()()f x kg x <，不合题意.综上，实数k 的取值范围为(,1]-∞.14.已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间.【详解答案】（1）∵2a =，∴()2ln f x x x =-，∴(1)12ln11f =-=，即(1,1)A '2()1f x x =-，'(1)121f =-=-，当0a ≤时，∵0x >，∴'()0f x >恒成立，∴()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令'()0f x =，得x a =，∵0x >，∴'()0f x >，得x a >；'()0f x <得0x a <<；∴()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.15.已知函数1()f x x x=-.（1）用函数单调性的定义证明：函数()f x 在区间(0,)+∞上为增函数；（2）若2(4)(2)0t t tf mf -=，当[1,2]t ∈时，求实数m 的取值范围.【详解答案】（1）证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则1212121212121212()(1)1111()()()x x x x f x f x x x x x x x x x x x -+-=---=-+=∵120x x <<，∴1210x x +>，120x x >，120x x -<，有12()()0f x f x -<即12()()f x f x <，∴函数()f x 在区间(0,)+∞上为增函数（2）∵22112(4)(2)2(2)(2)022t t t t t t t t f mf m -=---=即24(21)21t t m -=-∵2210t ->，∴221t m =+∵[1,2]t ∈，∴212[5,17]t +∈故m 的取值范围是[5,17].16.已知函数2()ln 2f x x ax x =--.（1）若函数()f x 在1[,2]4x ∈内单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当14a =-时，关于x 的方程1()2f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围.【详解答案】（1）2'1221()22ax x f x ax x x --+=--=由题意'()0f x ≤在1[,2]4x ∈时恒成立，即221212(1)1x a x x-≥=--在1[,2]4x ∈时恒成立，即2max 12[(1)1]a x ≥--，当14x =时，21(1)1x --取得最大值8，∴实数a 的取值范围是4a ≥（2）当14a =-时，1()2f x x b =-+可变形为213ln 042x x x b -+-=令213()ln (0)42g x x x x b x =-+->，则'(2)(1)()2x x g x x --=列表如下：∴()(2)ln 22g x g b ==--极小值，5(1)4g b =--又(4)2ln 22g b =--∵方程()0g x =在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，∴(1)0(2)0(4)0g g g ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩得5ln 224b -<≤-.17.已知函数2()2ln f x x x =-+，函数()f x 与()a g x x x =+有相同极值点.（1）求函数()f x 的最大值；（2）求实数a 的值；（3）若121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围.【详解答案】（1）'22(1)(1)()20)x x f x x x x x--+=-+=>，由'()00f x x ⎧>⎨>⎩，得01x <<；由'()00f x x ⎧<⎨>⎩，得1x >∴()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-.（2）因为()a g x x x =+，所以'2()1a g x x=-，由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又因为函数()f x 与()a g x x x=+有相同极值点，∴1x =是函数()g x 的极值点，∴'(1)10g a =-=，解得1a =经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意（3）因为211(2f ee =--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+∵2192ln 321e -+<--<-，即1(3)()(1)f f f e <<，∴11[,3]x e ∀∈，1min ()(3)92ln 3f x f ==-+，1max ()(1)1f x f ==-，由（2）知，1()g x x x=+，∴'21()1g x x =-∴()g x 在1[,1)e 上，'()0g x <；当(1,3]x ∈时，'()0g x >∴()g x 在1[,1)e 上为减函数，在(1,3]上为增函数，∵11()g e e e =+，(1)2g =，110(3)333g =+=，而11023e e <+<，∴1(1)()(3)g g g e <<∴21[,3]x e ∀∈，2min ()(1)2g x g ==，2max 10()(3)3g x g ==①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f x g x k -≤-恒成立即12max [()()]1k f x g x ≥-+，∵12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴312k ≥-+=-，由12k k >⎧⎨≥-⎩，得1k >.②当10k -<时，即1k <，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立即12min [()()]1k f x g x ≤-+，∵121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+，∴342ln 33k ≤-+综上所述，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-++∞ .。

2010届高三(文科)数学解答题专项训练(6)(函数与导数参考答案)

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)．
所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0，即·为定值，其值为0．
4．设为实数，函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点．
解：⑴令得： .
又∵当x∈(-∞, )时, >0;
当x∈( ,1)时, <0;
当x∈(1,+∞)时, >0
∴ 与分别为的极大值与极小值点.
∴ 极大值= ; 极小值=
⑵∵ 在(-∞, )上单调递增,∴当时, ;
递减区间是（－，1）
（2）f（x）＝x3－ x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c
解得c－1或c2
7．设 ,函数 .
（Ⅰ）若是函数的极值点,求的值；
（Ⅱ）在题设下，等价于即．
化简得．
此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．
所围成的的内部，其三个顶点分别为：．
在这三点的值依次为．
所以的取值范围为．
3．已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
（I）证明为定值；
（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

函数与导数习题及答案

函数与导数一、选择题1．已知f(x)＝xln x ，若00',2)(x x f 则=等于( )A ．2eB ．eC.ln 22D ．ln 22、设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．若函数c bx ax x f ++=24)(满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．04．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1 D.135．设f (x )为可导函数，且lim h →∞ f (3)－f (3＋h )2h＝5，则f ′(3)等于( )A ．5B ．10C ．－5D ．－106．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝7x ＋2 C ．y ＝x －4D ．y ＝x －2 7．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116)D ．(12，14)8．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．29．已知f (x )＝12x 2－cos x ，]1,1[-∈x ，则导函数f ′(x )是( )A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值，又有最小值的奇函数10．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.1211．设函数f (x )＝－2x1＋x2，则f (x )( ) A ．在(－∞，＋∞)内单调递增 B ．在(－∞，＋∞)内单调递减C ．在(－1,1)内单调递减，其余区间单调递增D ．在(－1,1)内单调递增，其余区间单调递减12.如图所示是函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断中正确的是( )A ．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(－3,2)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(－3,2)上是单调函数13．已知函数f (x )＝mx 3＋3(m －1)x 2－m 2＋1(m >0)的单调递减区间是(0,4)，则m 等于( )A ．3 B.13 C ．2 D.1214．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 15．若f (x )是定义在R 上的可导函数，且对任意x ∈R ，满足f (x )＋f ′(x )>0，则对任意实数a ，b ( )A ．a >b ⇔e a f (b )>e b f (a )B ．a >b ⇔e a f (b )<e b f (a )C ．a >b ⇔e a f (a )<e b f (b )D ．a >b ⇔e a f (a )>e b f (b )16．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)17.已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )上的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )上的极大值点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．418．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．219．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－1，12)C ．(12，2)D ．(－2,1)20．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角α为( ) A.π4 B ．0 C.3π4D ．1 21．已知点A (1,2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程是( ) A ．6x －y －4＝0 B ．x －4y ＋7＝0C ．6x －y －4＝0或x －4y ＋7＝0D ．6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝022．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)内存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5,0) B ．(－5,0) C ．[－3,0)D ．(－3,0)23．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2 B ．1<a <4 C ．2<a <4D ．a >4或a <124．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2 (a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,2] B ．(0,2) C ．[3，2)D ．(3，2)25．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)26．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]27．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．228．曲线y ＝ln x 在x ＝3处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π229．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A ．(1，0)B ．(2，8)C ．(2，8)或(－1，－4)D ．(1，0)或(－1，－4)30．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12B ．1C ．－2D ．3 31．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝( )A ．1 B.12C ．0D ．－132．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图像大致是( )A B C D33．定义域为R 的函数f (x )，满足f (0)＝1，f ′(x )＜f (x )＋1，则不等式f (x )＋1＜2e x 的解集为( )A ．{x ∈R |x >1}B ．{x ∈R |0＜x ＜1}C ．{x ∈R |x ＜0}D ．{x ∈R |x ＞0}34．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在区间[－1，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜34 B.12＜a ＜34 C ．a ≥34 D ．0＜a ＜1235．设1＜x ＜2，则 ln x x ，⎝⎛⎭⎪⎫ln x x 2，ln x 2x 2的大小关系是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x x ＜ln x2x 2B.ln x x ＜⎝⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x2x 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x 2x 2＜ln xxD.ln x 2x 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln xx36．函数214y x x=+的单调增区间为（） A ．(0,)+∞B ．1(,)2+∞C ．(,1)-∞-D ．1(,)2-∞-37．如果函数()y f x =的图象如左下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（）38．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为（） A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-39．函数f （x ）＝ax 3－x 在R 上为减函数，则（） A ．0a ≤B ．1a <C ．0a <D ．1a ≤40．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为（）A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞41．已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（） A ．(1,2)- B ．(,3)(6,)-∞-+∞ C ．(3,6)-D ．(,1)(2,)-∞-+∞42．函数2ln xy x=的极小值为（）A ．24e B ．0 C ．2eD ．143．函数,[0,4]x y xe x -=∈的最小值为（） A ．0B ．1eC ．44e D ．22e 44．设直线x t =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（）A ．1B ．12C D 45．设函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R ．若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是（）二、填空题1．曲线y ＝ln x －1在x ＝1处的切线方程为____________．2．已知函数3()3f x x ax a =--在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是___________．3．若曲线5()l n f x a x x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．4．已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为________．5．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．6．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________．7．设函数f(x)＝(x2＋2x－2)e x(x∈R)，则f(x)的单调递减区间是________．) 8．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．9．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是____________．10．设函数f(x)＝ax＋1x＋b(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.则函数f(x)的解析式为____________．11．已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.12．已知曲线y＝13x3上一点P(2，83)，则过点P的切线方程为____________________________________．13．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝x sin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________________．14．已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为__________．15．已知函数f(x)＝12x2－2ax－a ln x在(1,2)上单调递减，则a的取值范围是________．16．设函数y＝f(x)，x∈R的导函数为f′(x)，且f(x)＝f(－x)，f′(x)<f(x)．则下列三个数：e f(2)，f(3)，e2f(－1)从小到大依次排列为________________．17．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于直线y＝x的切线，则两切线之间的距离是________．18．已知函数f(x)＝x ln k－k ln x(k>1)的图象不经过第四象限，则函数g(x)＝f(x)＋k的值域为________．19．若函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________________．20．函数f(x)＝ax－cos x，x∈[π4，π3]，若∀x1，x2∈[π4，π3]，x1≠x2，f(x2)－f(x1)x2－x1<0，则实数a的取值范围是________．21．若f (x )＝13x 3－ax 2＋x 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________________．22．已知函数f (x )＝e x1＋ax 2(a >0)，若f (x )为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是________．23．函数f (x )＝2ln x ＋x 2在点x ＝1处的切线方程是________．24．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝0，f ′(1)＝0，但x ＝1不是函数f (x )的极值点，则abc 的值为________． 25．已知函数ln ln ()a xf x x+=在[1,)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围为___________．三、解答题1．已知函数2()(2),(,)x f x x ax e x a R =++∈．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图像在点(1,(1))A f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在R 上单调，求a 的取值范围；（Ⅲ）当52a =-时，求函数()f x 的极小值．2．已知函数f (x )＝ln 2x －kx 在定义域内单调递减，求实数k 的取值范围．3．已知函数f (x )＝(x ＋1)2(x －2)，当x ∈[a ，a ＋2]时，f (x )的最大值为0，求实数a 的取值．4．已知x＝0是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的一个极值点，f(x)的图像经过点A(3，0)．设f(x)在其图像上不同两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)处的切线分别为l1，l2.当l1∥l2时，求证x1＋x2为定值．5．已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x(a∈R)．若函数f(x)有两个极值点，求a的取值范围，并说明f(x)的极小值小于－3 2.6．设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a<b<c)，在x＝1处取得极值，其图像在x ＝m处的切线的斜率为－3a.(1)求证：0≤ba<1；(2)若函数f(x)在区间[s，t]上单调递增，求|s－t|的取值范围．7．已知函数f(x)＝e x2－1e x－ax(a∈R)．(1)当a＝32时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[－1,1]上为单调函数，求实数a的取值范围．8．若x0是函数y＝f(x)的极值点，同时也是其导函数y＝f′(x)的极值点，则称x0是函数y＝f(x)的“致点”．(1)已知a>0，求函数f(x)＝(x2＋ax＋1)e x的极值和单调区间；(2)函数f(x)＝(x2＋ax＋1)e x是否有“致点”？若有，求出“致点”；若没有，试说明理由．9．设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2.(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．10．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．11．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象在点(1，f(1))处的切线方程为6x－2y－1＝0，f′(x)为f(x)的导函数，g(x)＝a e x(a，b，c∈R，e为自然对数的底数)．(1)求b，c的值；(2)若∃x0∈(0,2]，使g(x0)＝f′(x0)成立，求a的取值范围．12．(2015·南平质检)已知函数f (x )＝sin x ，g (x )＝mx －x 36(m 为实数)． (1)求曲线y ＝f (x )在点P (π4，f (π4))处的切线方程； (2)求函数g (x )的单调递减区间；(3)若m ＝1，证明：当x >0时，f (x )<g (x )＋x 36.13．(2015·北京)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点．14．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋(f (x ))2的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x 的值．15．已知函数f (x )＝ax －e x (a >0)． (1)若a ＝12，求函数f (x )的单调区间； (2)当1≤a ≤1＋e 时，求证：f (x )≤x .16．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，a ∈R ， (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－2x ＋1，若对任意x 1∈(0，＋∞)，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数a 的取值范围．17．(2015·陕西)设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .18．(2015·山东济宁育才中学上学期期中)已知a ∈R ，函数f (x )＝12ax 2－ln x . (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)讨论f (x )的单调性；(3)是否存在实数a ，使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．19．已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x.(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)求函数y＝f(x)在[a2，a]上的最大值．20．已知函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间．(2)函数F(x)＝f(x)－x ln x在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由．(3)若g(x)＝ln(e x－1)－ln x，当x∈(0，＋∞)时，不等式f(g(x))＜f(x)恒成立，求a的取值范围．21．已知函数f(x)＝e x－a2x2e|x|.(1)若f(x)在[0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)证明：当a≥1时，不等式f(x)≤x＋1对x∈R恒成立；(3)对于在(0，1)中的任一个常数a，试探究是否存在x0>0，使得f(x0)>x0＋1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x0；如果不存在，请说明理由．22．已知函数f(x)＝x－ln x－1.(1)求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程；(2)若x∈(0，＋∞)时，f(x)≥ax－2恒成立，求实数a的取值范围．23．已知函数f(x)＝x2－3x＋a ln x(a＞0)．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)设函数f(x)图像上任意一点处的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程．24．设函数f (x )＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x ，g (x )＝2e x (p >1，e 是自然对数的底数)．(1)若对任意x ∈[2，e]，不等式f (x )>g (x )恒成立，求p 的取值范围；(2)若对任意x 1∈[2，e]，总存在x 2∈[2，e]，使不等式f (x 1)>g (x 2)成立，求p 的取值范围．25．已知函数f (x )＝1＋ln xx .(1)若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1，a ＋14内有极值，求实数a 的取值范围；(2)当x ≥1时，不等式f (x )≥kx ＋1恒成立，求实数k 的取值范围；(3)求证：[(n ＋1)！]2＞(n ＋1)e n －2＋2n ＋1.(n ∈N *，e 为自然对数的底数)26．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，g (x )＝e x －x ＋1.(a 为常数，e 为自然对数的底数)(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，求a 的最小值；(3)若对任意给定的x 0∈(0，1]，在(0，e]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使得f (x i )＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．27．设a ∈R ，函数2()()e x f x x ax a =--．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在[2,2]-上的最小值．28．已知函数3()1f x x ax =--．（Ⅰ）若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a ，使()f x 在(1,1)-上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在试说明理由．29．已知函数()ln 3()f x a x ax a =--∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()['()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围．30．已知函数()()x f x x k e =-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．31．已知函数2()ln(1)(1)f x a x x =+++在1x =处有极值．（Ⅰ）求实数a 值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）令()'()gx f x=，若曲线()g x 在(1,(1))g 处的切线与两坐标轴分别交于,A B 两点（O 为坐标原点），求AOB ∆的面积．32．已知函数()ln(21)1f x a x bx =+++．（Ⅰ）若函数()y f x =在1x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线230x y +-=平行，求a 的值；（Ⅱ）若12b =，试讨论函数()y f x =的单调性．33．已知函数2()1x af x x +=+（其中a R ∈）．（Ⅰ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线为12y x b =+，求实数,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．34．已知函数()ln a f x x x=+．（Ⅰ）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值是32，求a 的值．35．已知函数()2ln pf x px x x=--．（Ⅰ）若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围．36．已知函数()32331f x ax x a=-+-(R a ∈，且0)a ≠，求()f x '及函数()f x 的极大值与极小值．37．已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x -≤-．38．已知函数()ln a xf x x x-=+，其中a 为大于零的常数．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线1-2y x =平行，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值．39．已知函数22()ln axf x x e=-(a ∈R ,e 为自然对数的底数)．（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0,)()P t t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x 和22212(,())()P x f x x x ≠，求证：120x x +=．一、选择题1-5 BDBCD 6-10 DDADB 11-15 CABBD 16-20 BBCAA21-25 DCBDC 26-30 CBADA 31-35 BADCA 36-40 BACAB 41-45 BBADD 二、填空题1、x －y －2＝02、（0,1）3、（－∞，0）4、25、86、a ＝37、(－4，0) 8、a ＝8 9、(－∞，－1)∪(0，1) 10、f (x )＝x ＋1x －111、a ＝3. 12、[45，＋∞) 13、(－π，－π2]和[0，π2] 14、.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 15、12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0 16、f (3)<e f (2)<e 2f (－1) 17、16227 18、[e ，＋∞) 19、(－∞，2－1e )∪(2－1e，2) 20、(－∞，－1)∪(1，＋∞) 21、(－∞，－32] 22、[e ，＋∞）23、4x －y －3＝0 24、9 25、(0,1] 三、解答题1、解:2()[(2)2]x f x e x a x a '=++++（Ⅰ）当a=0时，2()(2),x f x x e =+2()(22)x f x e x x '=++,(1)3f e =,(1)5f e '=,∴函数f （x ）的图像在点A （1,f （1））处的切线方程为y-3e=5e （x-1）,即5ex-y-2e=0（Ⅱ）2()[(2)2]x f x e x a x a '=++++,考虑到0x e >恒成立且2x 系数为正，∴f （x ）在R 上单调等价于 2(2)20x a x a ++++≥恒成立. ∴（a+2）2-4（a+2）≤0,∴-2≤a ≤2 ，即a 的取值范围是[-2，2]，（若得a 的取值范围是（-2，2），可扣1分）（Ⅲ）当52a =-时, 25()(2),2x f x x x e =-+211()()22x f x e x x '=--,令()0f x '=，得12x =-，或，令()0f x '>，得12x <-，或，令()0f x '<，得112x -<<x,()f x ',f （x ）的变化情况如下表所以，函数f （x ）的极小值为f （1）=2e2.．解：∵函数f (x )在定义域内单调递减，∴f ′(x )＝2ln xx －k ≤0在(0，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝ln xx ，则φ′(x )＝1－ln x x 2，∴φ(x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e ，＋∞3．解：f ′(x )＝2(x ＋1)(x －2)＋(x ＋1)2＝3(x －1)(x ＋1)，所以f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以极大值为f (－1)＝0.又f (2)＝0，所以a ＋2＝2或⎩⎨⎧a ≤－1，a ＋2≥－1，得a ＝0或－3≤a ≤－1.4．证明：由f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，得f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由x ＝0是函数f (x )的一个极值点知f ′(0)＝c ＝0.又由f (x )的图像经过点A (3，0)，得f (3)＝27＋9b ＋3c ＝0，所以b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2.由l 1∥l 2，得f ′(x 1)＝f ′(x 2)，即3x 21－6x 1＝3x 22－6x 2，即3(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)＝0.因为x 1－x 2≠0，所以x 1＋x 2＝2，所以当l 1∥l 2时，x 1＋x 2为定值．5．解：f ′(x )＝2ax 2－2x ＋1x，由题知2ax 2－2x ＋1＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实根．设方程2ax 2－2x ＋1＝0的两根为x 1，x 2，且0<x 1<x 2，根据题意得0<a <12，所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增，所以f (x )极小值＝f (x 2)．f (x 2)<－32的证明如下：由f ′(x 2)＝0，得2ax 22－2x 2＋1＝0，则a ＝2x 2－12x 22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，解得x 2>12且x 2≠1.f (x 2)＝x 22·2x 2－12x 22－2x 2＋ln x 2＝－x 2－12＋ln x 2，令g (x )＝－x －12＋ln x ，g ′(x )＝－1＋1x ＝1－x x ，则g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max <g (1)＝－32，所以f (x )的极小值小于－32.6．解：(1)证明：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题设，得f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，① f ′(m )＝3am 2＋2bm ＋c ＝－3a .②∵a <b <c ，∴6a <3a ＋2b ＋c <6c ，∴a <0，c >0.将①代入②得3am 2＋2bm －2b ＝0，∴Δ＝4b 2＋24ab ≥0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋6ba ≥0，∴b a ≤－6或b a ≥0③.将c ＝－3a －2b 代入a <b <c 中，得－1<ba <1.④ 由③④得0≤ba <1.(2)由(1)知，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a <0)，Δ＝4b 2－12ac >0，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0有两个不等的实根，不妨设其为x 1，x 2，又f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，∴不妨令x 1＝1，则x 2＝－2b3a －1， ∴x 2<0<x 1，∴当x <x 2或x >x 1时，f ′(x )<0；当x 2<x <x 1时，f ′(x )>0.∴函数f (x )的单调递增区间是[x 2，x 1]．∵|x 1－x 2|＝2＋2b3a ，0≤b a <1，∴2≤|x 1－x 2|<83.∵函数f (x )在区间[s ，t ]上单调递增，∴[s ，t ]⊆[x 2，x 1]，∴0<|s －t |<83，即|s －t |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，83.7．解 (1)当a ＝32时，f (x )＝e x 2－1e x －32x ， f ′(x )＝12e x [(e x )2－3e x ＋2]＝12e x (e x －1)(e x －2)，令f ′(x )＝0，得e x ＝1或e x ＝2，即x ＝0或x ＝ln 2；令f ′(x )>0，得x <0或x >ln 2；令f ′(x )<0，得0<x <ln 2.∴f (x )的增区间是(－∞，0]，[ln 2，＋∞)，减区间是(0，ln 2)． (2)f ′(x )＝e x 2＋1e x －a ，令e x ＝t ，由于x ∈[－1,1]， ∴t ∈[1e ，e]．令h (t )＝t 2＋1t (t ∈[1e ，e])，h ′(t )＝12－1t 2＝t 2－22t 2，∴当t ∈[1e ，2)时，h ′(t )<0，函数h (t )为单调递减函数；当t ∈(2，e]时，h ′(t )>0，函数h (t )为单调递增函数．故h(t)在[1e，e]上的极小值点为t＝2，且h(2)＝ 2.又h(e)＝e2＋1e<h(1e)＝12e＋e，∴2≤h(t)≤e＋12e.∵函数f(x)在[－1,1]上为单调函数，①若函数在[－1,1]上单调递增，则a≤t2＋1t对t∈[1e，e]恒成立，所以a≤2；②若函数f(x)在[－1,1]上单调递减，则a≥t2＋1t对t∈[1e，e]恒成立，所以a≥e＋12e，综上可得a的取值范围是(－∞，2]∪[e＋12e，＋∞)．8．解(1)由已知得，f′(x)＝(x2＋ax＋1)e x＋e x(2x＋a)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋1]e x＝(x ＋a＋1)(x＋1)e x.∵a>0，∴－a－1<－1.∴当x∈(－∞，－a－1)时，f′(x)>0；当x∈(－a－1，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0.f(x)的单调递增区间为(－∞，－a－1)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(－a－1，－1)．且当x＝－1时，f(x)有极小值(2－a)e－1，当x＝－a－1时，f(x)有极大值(a＋2)e－a－1.(2)由(1)知，f′(x)＝(x＋a＋1)(x＋1)e x，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝[x2＋(a＋4)x＋2a＋3]e x.假设f(x)有“致点”x0，则x0首先应是f(x)的极值点，即f′(x0)＝0，∴x0＝－1或x0＝－a－1.当a＝0时，－a－1＝－1，此时f′(x)≥0恒成立，f(x)无极值．∴要使f(x)有极值，须a≠0.若x0＝－1，则由题意可知g′(－1)＝0，∴1－(a＋4)＋2a＋3＝0，解得a＝0，与a≠0矛盾，即－1不是f(x)的“致点”．若x0＝－a－1，则g′(－a－1)＝0，即(a＋1)2－(a＋4)·(a＋1)＋2a＋3＝0，解得a ＝0，与a≠0矛盾，即－a－1也不是f(x)的“致点”．∴函数f(x)无“致点”．9．解(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)e x－x2，∴f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2x＝x(e x－2)．令f′(x)>0，即x(e x－2)>0，∴x>ln 2或x<0.令f′(x)<0，即x(e x－2)<0，∴0<x<ln 2.因此函数f(x)的单调递减区间是(0，ln 2)；单调递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)．(2)易知f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2kx＝x(e x－2k)．∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴当x≥0时，f′(x)＝x(e x－2k)≥0恒成立．∴e x－2k≥0，即2k≤e x在[0，＋∞)上恒成立．由于e x≥1，∴2k≤1，则k≤12.又当k ＝12时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0，当且仅当x ＝0时取等号．因此，实数k 的取值范围是(－∞，12]． 10．解 (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b .由于f (x )在x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ， f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28，解得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.11．解(1)由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴f′(1)＝2b＋c＋3＝3.又f(1)＝b＋c＋1，点(1，f(1))在直线6x－2y－1＝0上，∴6－2(b＋c＋1)－1＝0，故b＝－32，c＝3.(2)∵g(x0)＝f′(x0)，∴a e x0＝3x20－3x0＋3，∴a＝3x20－3x0＋3e x0.令h(x)＝3x2－3x＋3e x，则h′(x)＝－3(x2－3x＋2)e x，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝2.当x变化时，h(x)与h′(x)在x∈(0,2]上的变化情况如下表所示：∴h(x)在x∈(0,2]上有极小值h(1)＝3e ，又h(2)＝9e2，h(0)＝3>9e2，∴h(x)在x∈(0,2]上的取值范围为[3e，3)，∴a的取值范围为[3e，3)．12．(1)解由题意得所求切线的斜率k ＝f ′(π4)＝cos π4＝22. 切点P (π4，22)，则切线方程为y －22＝22(x －π4)，即x －2y ＋1－π4＝0. (2)解 g ′(x )＝m －12x 2.①当m ≤0时，g ′(x )≤0，则g (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)； ②当m >0时，令g ′(x )<0，解得x <－2m 或x >2m ，则g (x )的单调递减区间是(－∞，－2m )，(2m ，＋∞)． (3)证明当m ＝1时，g (x )＝x －x 36.令h (x )＝g (x )＋x 36－f (x )＝x －sin x ，x ∈(0，＋∞)， h ′(x )＝1－cos x ≥0，则h (x )是(0，＋∞)上的增函数，故当x >0时，h (x )>h (0)＝0，即sin x <x ，f (x )<g (x )＋x 36. 13．(1)解函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx .由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以，f (x ，k (k f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2，无极大值．(2)证明由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2.因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e ，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1， e ]上的唯一零点．当k >e 时，f (x )在区间(0， e )上单调递减，且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点14．解 (1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝cos x －sin x ，代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋(f (x ))2，可得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1，当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝2＋1，其最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (x )＝2f ′(x )，易得sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ，解得tan x ＝13.∴1＋sin2xcos2x－sin x cos x ＝2sin2x＋cos2xcos2x－sin x cos x＝2tan2x＋11－tan x＝116.15．(1)解当a＝12时，f(x)＝12x－ex.f′(x)＝12－e x，令f′(x)＝0，得x＝－ln 2.当x<－ln 2时，f′(x)>0；当x>－ln 2时，f′(x)<0，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－ln 2)；单调递减区间为(－ln 2，＋∞)．(2)证明令F(x)＝x－f(x)＝e x－(a－1)x，①当a＝1时，F(x)＝e x>0，∴f(x)≤x成立．②当1<a≤1＋e时，F′(x)＝e x－(a－1)＝e x－e ln(a－1)，∴当x<ln(a－1)时，F′(x)<0；当x>ln(a－1)时，F′(x)>0，∴F(x)在(－∞，ln(a－1))上单调递减，在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，∴F(x)≥F(ln(a－1))＝e ln(a－1)－(a－1)·ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)]，∵1<a≤1＋e，∴a－1>0,1－ln(a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0，∴F(x)≥0，即f(x)≤x成立．综上，当1≤a≤1＋e时，f(x)≤x.16．解(1)f′(x)＝a＋1x＝ax＋1x(x>0)．①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a ，在区间(0，－1a )上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．在区间(－1a ，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(0，－1a )，f (x )的单调递减区间为(－1a ，＋∞)． (2)由已知，转化为f (x )max <g (x )max ，又g (x )max ＝g (0)＝1.由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a <0时，f (x )在(0，－1a )上单调递增，在(－1a ，＋∞)上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，即f (x )max ＝f (－1a )＝－1＋ln(－1a )＝－1－ln(－a )，所以1>－1－ln(－a )，解得a <－1e 2. 故实数a 的取值范围是(－∞，－1e 2)．17．(1)解方法一由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1，所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n 2n －1，① 则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n 2n ，②①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n 2n ＝1＋2－2n 1－2－n 2n ＝(1－n )2n －1，所以f n ′(2)＝(n －1)2n ＋1.方法二当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，则f n ′(x )＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋(x －x n ＋1)(1－x )2，可得f n ′(2)＝－[1－(n ＋1)2n ]＋2－2n ＋1(1－2)2＝(n －1)2n＋1. (2)证明因为f n (0)＝－1＜0，f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≥1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＞0，所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内至少存在一个零点，又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0，所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内单调递增，因此f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点a n ，由于f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23，所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.18．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2－ln x (x >0)， f ′(x )＝x －1x ，x >0，∴k ＝f ′(1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为0.(2)f ′(x )＝ax －1x ＝ax 2－1x ，x >0.当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝aa (负值舍去)．当x ∈(0，a a )时，f ′(x )<0，f (x )在(0，aa )上单调递减；当x ∈(a a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(aa ，＋∞)上单调递增． (3)存在a ∈(0，e 3)，使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根．理由如下：由(2)可知当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，方程f (x )＝2不可能有两个不等的实数根；当a >0时，函数f (x )在(0，a a )上单调递减，在(aa ，＋∞)上单调递增，使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根，等价于函数f (x )的极小值f (a a )<2，即f (a a )＝12＋12ln a <2，解得0<a <e 3，所以a 的取值范围是(0，e 3)．19．解： (1)∵f (x )＝ln x －ax 2＋(a －2)x ，∴函数的定义域为(0，＋∞)．∴f ′(x )＝1x －2ax ＋(a －2)＝1－2ax 2＋（a －2）x x ＝－（2x －1）（ax ＋1）x.∵f (x )在x ＝1处取得极值，即f ′(1)＝－(2－1)(a ＋1)＝0，∴a ＝－1.当a ＝－1时，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内f ′(x )＜0，在(1，＋∞)内f ′(x )＞0，∴x ＝1是函数y ＝f (x )的极小值点．∴a ＝－1.(2)∵a 2＜a ，∴0＜a ＜1.f ′(x )＝1x －2ax ＋(a －2)＝1－2ax 2＋（a －2）x x＝－（2x －1）（ax ＋1）x，∵x ∈(0，＋∞)，∴ax ＋1＞0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递减，①当0＜a ≤12时，f (x )在[a 2，a ]上单调递增，∴f (x )max ＝f (a )＝ln a －a 3＋a 2－2a ；②当⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12，a 2＜12，即12＜a ＜22时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a 上单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 2－a 4＋a －22＝a 4－1－ln 2；③当12≤a 2，即22≤a ＜1时，f (x )在[a 2，a ]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (a 2)＝2ln a －a 5＋a 3－2a 2.20．解： (1)由f (x )＝e x －ax －1，得f ′(x )＝e x －a .当a ≤0时，对∀x ∈R ，有f ′(x )＞0，所以函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞ln a ；由f ′(x )＜0，得x ＜ln a ，此时函数f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)，单调减区间为(－∞，ln a )．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a ＞0时，函数f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)，单调减区间为(－∞，ln a )．(2)函数F (x )＝f (x )－x ln x 的定义域为(0，＋∞)，由F (x )＝0，得a ＝e x－1x －ln x (x ＞0)，令h (x )＝e x －1x －ln x (x ＞0)，则h ′(x )＝（e x －1）（x －1）x 2，由于x ＞0，e x －1＞0，可知当x ＞1时，h ′(x )＞0；当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，故函数h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故h (x )≥h (1)＝e －1.(随着x ＞0的增长，y ＝e x －1的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x 的增长速度，而y ＝ln x 的增长速度则会越来越慢．则当x ＞0且x 无限接近于0时，h (x )趋向于正无穷大．)故当a ＞e －1时，函数F (x )有两个不同的零点；当a ＝e －1时，函数F (x )有且仅有一个零点；当a ＜e －1时，函数F (x )没有零点.(3)由(1)知当a ＝1时，对∀x ＞0，有f (x )＞f (ln a )＝0，即e x －1＞x ，当x ＞0时，e x －1＞x ，故对∀x ＞0，g (x )＞0，先用分析法证明：∀x ＞0，g (x )＜x .要证对∀x ＞0，g (x )＜x ，只需证对∀x ＞0，e x －1x ＜e x，即证对∀x ＞0，x e x －e x ＋1＞0，构造函数H (x )＝x e x －e x ＋1(x ＞0)，则H ′(x )＝x e x ＞0，故函数H (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以H (x )＞H (0)＝0，则对∀x ＞0，x e x －e x ＋1＞0成立．当a ≤1时，由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则f (g (x ))＜f (x )在(0，＋∞)上恒成立；当a ＞1时，由(1)知，函数f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减，故当0＜x ＜ln a 时，0＜g (x )＜x ＜ln a ，所以f (g (x ))＞f (x )，则不满足题意．所以满足题意的a 的取值范围是(－∞，1]．21．解： (1)∵x ∈[0，＋∞)，∴f (x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 2， ∴f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2x 2－ax ＋1 .由题意，f ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，当a ＝0时，f ′(x )＝e x >0恒成立，即满足条件．当a ≠0时，要使f ′(x )≥0，而e x >0恒成立，故只需－a2x 2－ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＞0，－a 2·02－a ·0＋1≥0，解得a <0. 综上，a 的取值范围为a ≤0.(2)证明：由题知f (x )≤x ＋1即为e x －a2x 2e |x |≤x ＋1.在x ≥0时，要证明e x－a 2x 2e |x |≤x ＋1成立，只需证e x ≤a 2x 2e x ＋x ＋1，即证1≤a2x 2＋x ＋1e x ，①令g (x )＝a 2x 2＋x ＋1e x ，得g ′(x )＝ax ＋1·e x －（x ＋1）e x （e x ）2＝ax －xe x ，整理得g ′(x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1e x ，∵x ≥0时，1e x ≤1，结合a ≥1，得g ′(x )≥0，∴g (x )在[0，＋∞)上是增函数，故g (x )≥g (0)＝1，从而①式得证．在x ≤0时，要使e x －a2x 2e |x |≤x ＋1成立，只需证e x ≤a 2x 2e －x ＋x ＋1，即证1≤a2x 2e －2x ＋(x ＋1)e －x ，②令m (x )＝ax 22e －2x＋(x ＋1)e －x ，得m ′(x )＝－x e －2x [e x ＋a (x －1)]，而φ(x )＝e x ＋a (x －1)在x ≤0时为增函数，故φ(x )≤φ(0)＝1－a ≤0，从而m ′(x )≤0，∴ m (x )在x ≤0时为减函数，则m (x )≥m (0)＝1，从而②式得证．综上所述，原不等式e x －a2x 2e |x |≤x ＋1，即f (x )≤x ＋1在a ≥1时恒成立．(3)要使f (x 0)>x 0＋1成立，即e x 0－a 2x 20e x 0＞x 0＋1，变形为ax 202＋x 0＋1e x 0－1<0，③要找一个x 0>0使③式成立，只需找到函数t (x )＝ax 22＋x ＋1e x －1的最小值，满足t (x )min ＜0即可．∵t ′(x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1e x ，令t ′(x )＝0得e x ＝1a ，则x ＝－ln a ，在0<x <－ln a 时，t ′(x )＜0，在x >－ln a 时，t ′(x )＞0，即t (x )在(0，－ln a )上是减函数，在(－ln a ，＋∞)上是增函数，∴ 当x ＝－ln a 时，t (x )取得最小值t (－ln a )＝a2(ln a )2＋a (－ln a ＋1)－1.下面只需证明：a2(ln a )2－a ln a ＋a －1＜0在0＜a ＜1时恒成立即可．令p (a )＝a2(ln a )2－a ln a ＋a －1,则p ′(a )＝12(ln a )2≥0，从而p (a )在(0，1)上是增函数，则p (a )＜p (1)＝0，从而a2(ln a )2－a ln a ＋a －1＜0，得证．于是t (x )的最小值t (－ln a )＜0，因此可找到一个常数x 0＝－ln a (0＜a ＜1)，使得③式成立．22．解： (1)由题意得，f ′(x )＝1－1x ，∴f ′(2)＝1－12＝12，f (2)＝1－ln 2，∴曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y －(1－ln 2)＝12(x －2)⇒x －2y －2ln 2＝0.(2)当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥ax －2恒成立，∴a ≤1＋1x －ln xx ，令g (x )＝1＋1x －ln xx ，则g ′(x )＝ln x －2x 2，令g ′(x )＝0⇒x ＝e 2，可得g (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即a ≤1－1e 2，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－1e 223．解： (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x，由f ′(x )＞0得x ＜12或x ＞1，由f ′(x )＜0得12＜x ＜1，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.∴f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－54－ln 2；极小值为f (1)＝－2.(2)由题意知f ′(x )＝2x －3＋ax ≥22a －3＝1，∴a ＝2，此时2x ＝a x ，即2x ＝2x ，∴x ＝1，切点为(1，－2), ∴此时的切线l 的方程为x －y －3＝0.24．解： (1)由不等式f (x )－g (x )＝p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x －2e x ＞0对x ∈[2，e]恒成立， ∴p ＞2x ln x ＋2e x 2－1对x ∈[2，e]恒成立．令h (x )＝2x ln x ＋2ex 2－1，x ∈[2，e]，则p ＞h (x )max .∵h ′(x )＝－2（1＋x 2）ln x －2x （2e －x ）－2（x 2－1）2＜0.∴h (x )在区间[2，e]上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝4ln 2＋2e 3，故p ＞4ln 2＋2e3.(2)依题意f (x )min ＞g (x )min .∵f ′(x )＝p ＋p x 2－2x ＞0，∴f (x )在[2，e]上单调递增，故f (x )min ＝f (2)．又g (x )＝2ex 在[2，e]上单调递减，故g (x )min ＝g (e)，由f (2)>g (e)，解得p ＞4＋4ln 23. 25．解： (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－ln xx 2，由f ′(x )＝0得x ＝1，当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f (x )在x ＝1处取得唯一的极值，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14＞2a －1，2a －1＜1＜a ＋14⇒34＜a ＜1，故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.(2)x ≥1时，不等式f (x )≥k x ＋1化为1＋ln x x ≥kx ＋1⇒k ≤（x ＋1）（1＋ln x ）x ，令g (x )＝（x ＋1）（1＋ln x ）x，由题意知k ≥g (x )在[1，＋∞)上恒成立，g ′(x )＝x －ln x x 2，再令h (x )＝x －ln x (x ≥1)，则h ′(x )＝1－1x ≥0，当且仅当x ＝1时取等号，因此h (x )＝x －ln x 在[1，＋∞)上递增，所以h (x )≥h (1)＝1＞0，故g ′(x )＝x －ln xx 2＞0，所以g (x )在[1，＋∞)上递增，g (x )min ＝g (1)＝2，因此k ≤2，即k 的取值范围为(－∞，2]．(3)由(2)知，当x ≥1时，f (x )≥2x ＋1恒成立，即1＋ln x x ≥2x ＋1，∴ln x ≥1－2x ＋1＞1－2x .令x ＝k (k ＋1)，k ∈N *，则有ln[k (k ＋1)]＞1－2k （k ＋1）＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1，分别令k ＝1，2，3，…，n ，。

高一数学函数与导数练习题及答案

高一数学函数与导数练习题及答案一、单选题1. 设函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，下列哪个命题是正确的？A. f(x) 是奇函数B. f(x) 是偶函数C. f(x) 是周期函数D. f(x) 是单调递增函数答案：D2. 已知函数 f(x) 的导函数为 f'(x) = 3x^2 + 2x - 1，下列哪个命题是正确的？A. f(x) 的图像在点 (-1, 0) 处有极小值B. f(x) 的图像在点 (1, 0) 处有极大值C. f(x) 的图像在点 (0, 0) 处有拐点D. f(x) 的图像在点 (0, 0) 处有水平切线答案：C二、填空题1. 设函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4，则 f'(x) = ______。

答案：3x^2 - 4x + 32. 已知函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 - 6x + 12，其中 a 是常数，若 f(x) 在x = 1 处取得极值，则 a 的值为 ______。

答案：-3三、计算题1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x + 2 的导函数。

解答：f'(x) = 3x^2 - 32. 求函数 f(x) = (3x - 1) / (2x + 3) 的导函数。

解答：通过分子分母求导法则计算得到 f'(x) = (3(2x + 3) - (3x - 1) * 2) / (2x + 3)^2四、解答题1. 已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求 f(x) 的极大值和极小值点。

解答：首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 和 x = 2。

再求二阶导数得到 f''(x) = 6x - 6，代入 x = 0 和 x = 2，得到 f''(0) = -6 和 f''(2) = 6。

高中数学总复习函数与导数专题练习

一、选择题1.设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩(B)等于（）A.{2}B.{2，3}C.{3}D.{1，3}2.设有三个命题，甲：相交直线l 、m 都在平面α内,并且都不在平面β内；乙：直线l 、m 中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交.那么，当甲成立时（） A.乙是丙的充分而不必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件 C.乙是丙的充分且必要条件D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件3.已知命题p ：“|x -1|＞2”，命题q ：“x ∈Z ”，如果“p 且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x 为（）A.{x|x≥3或x≤-1,x ∉Z }B.{x|-1≤x≤3,x Z }C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1,2}4.有限集合 S 中元素的个数记作card(S)，设 A,B 都为有限集合，给出下列命题,其中真命题的序号是（）①A∩B=φ的充要条件是card(A ∪B)=card(A)+card(B) ②A ⊆B 的必要条件是card(A)≤ card(B) ③A ⊄B 的充分条件是card(A)≤card(B) ④A=B 的充要条件是card(A)=card(B)A.③④B.①②C.①④D.②③5.（理）已知集合A={t|使{x|x 2+2tx-4t-3≠0}=R }，B={t|使{x|x 2+2tx-2t=0}≠φ}，其中x ，t ∈R ，则A∩B 等于（）A.[-3，-2]B.（-3，-2）C.（-3，-2）D.（-∞，0）∪[2，-∞)（文）已知集合M={（x,y ）|y-1=k(x-1),x 、y ∈R }，集合N={(x,y)|x 2+y 2-2y=0,x 、y ∈R }，那么M∩N 中（）A.恰有两个元素B.恰有一个元素C.没有元素D.至多有一个元素6.已知f(x)=-24x -在区间M 上的反函数是其本身，则M 可以是（） A.[-2，2] B.[-2，0] C.[0，2] D.(-2，2)7.设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤++.0,2,0,2x x c bx x 若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )A.1B.2C.3D.48.（理）已知x ∈(-∞,1)时，不等式1+2x +(a-a 2)4x >0恒成立，则a 的取值范围是（） A.(-1,14) B.(-12,32) C.(-∞,14] D.(-∞,6］（文）函数f(x)=ax 2-(3a-1)x+a 2在区间（1，+∞）上是增函数，那么实数a 的取值范围是( )A.[0,1]B.(-∞,-1)C.{-1}D.(-∞,5］ 9.若x<0，则函数y=x 2+21x-x-x1的最小值是（）A.-94B.0C.2D.410.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x 2+1，值域为{5，19}的“孪生函数”共有( ) A.10个 B.9个 C.8个 D.7个 11.已知函数f(x)=log 2x,F(x,y)=x+y 2，则F （f(41),1）等于（）A.-1B.5C.-8D.312.(理)指数函数f(x)=a x （a ＞0，且a≠1）的图象如图所示，那么方程［f -1(x)］2-2f -1(x)-3=0的解集为（）A.｛-1，3｝B.｛271，3｝C.｛271｝ D.｛31，27｝（文）已知函数f(x)=3x-1，则它的反函数y=f -1(x)的图象是（）13.定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x ∈［0,2π］时，f(x)=sinx ，则f(35π)的值为( )A.-21 B.21 C.-23 D. 2314.函数y=(21)x与函数y=-162x的图象关于（）A.直线x=2对称B.点（4，0）对称C.直线x=4对称D.点（2，0）对称15.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥<,1x,log 1,x 1),-0.5)(x -(a a x 在(-∞,+∞)内是减函数，则a 的取值范围是（）A.（0，1）B.（0，0.5）C.（-∞，0.5）D.（0.5，1） 16.函数f(x)=32x 3-2x+1在区间[0,1]上是（）A.单调递增的函数B.单调递减的函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数 17.曲线y=31x 3-x 2+5在x=1处的切线的倾斜角是（）A.6πB.3πC.4πD.34π18.函数y=2x 3-3x 2-12x+5在［0,3］上的最大值和最小值分别是( ) A.5,-15 B.5,4 C.-4,-15 D.5,-16 19.下列图象中，有一个是函数f(x)=31x 3+ax 2+(a 2-1)x+1(a ∈R ，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(-1)等于（）A.31 B.-31 C.37 D.-31或3520.点P 的曲线y=x 3-x+32上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（）A.［0,2π］ B.［0,2π］∪［43π,π］C.［43π,π］ D.(2π,43π］21.已知f(x)=-x 3-x,x ∈［m,n ］且f(m)·f(n)<0，则方程f(x)=0在区间［m,n ］上( )A.至少有三个实数根B.至少有两个实根C.有且只有一个实数根D.无实根22.函数f(x)的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与y=log 21x 的图象重合，则f(x)是（）A.y=2-xB.y=2log 4xC.y=log 2(x+1)D.y=21·4x23.已知函数 f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞，1)上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在间(1，+∞)上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数24.已知函数f(x)=x 2(ax+b)(a,b ∈R )在x=2时有极值，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f(x)的单调减区间为（） A.（-∞，0） B.（0，2） C.（2，+∞） D.（-∞，+∞）25.设点P 是曲线：y=x 3-3x+b(b 为实常数)上任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（） A.［32π,π］B.(2π,65π) C.［0,2π］∪［65π,π］ D.［0,2π)∪［32π,π)二、填空题26.下列判断：（1）命题“若q 则p”与命题“若」p 则」q”互为逆否命题；（2）“am 2<bm 2”是“a<b”的充要条件；（3）“矩形的两条对角线相等”的否命题为假；（4）命题“⊂φ{1，2}”为真.则正确说法的序号为_________________.27.（理）已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0，要使同时满足①和②的所有x 的值都满足③，则实数m 的取值范围是___________.（文）已知二次函数f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p 2-p+1,若在区间［-1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_______________.28.已知定义在区间[0，1]上的函数y=f(x)，图象如图所示.对满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1，x 2，给出下列结论：①f(x 1)-f(x 2)＞x 1-x 2； ②x 2f(x 1)＞x 1f(x 2)； ③2)()(21x f x f +＜f(221x x +).其中正确结论的序号是________________（把所有正确结论的序号都填上）.29.若函数y=f(x)=ax 3-bx 2＋cx 的图象过点A(1，4)，且当x=2时，y 有极值0，则f(-1)=_______. 30.写出一个函数的解析式f(x)=_________,使它同时满足下列条件：①定义域为R ，②是偶函数，③值域是（0，1］，④不是周期函数.（只写出满足条件的一个答案即可）三、解答题31.在M={x||x-1|>4}，P={x|x 2+(a-8)x-8a≤0}的前提下：（1）求a 的一个值，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件；（2）求a 的取值范围，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要不充分条件.32.在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ,S m+2,S m+1成等差数列，则a m ,a m+2,a m+1成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真，并给出证明.33.已知函数f(x)=4x 2-4ax+a 2-2a+2在[0，2]上有最小值3，求a 的值.34.已知对于x 的所有实数值，二次函数f(x)=x 2-4ax+2a+12(a ∈R)的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x =|a-1|+2的根的取值范围.35.已知函数y=f(x)是R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)=193x+x-21.（1）判断并证明y=f(x)在(-∞,0)上的单调性；（2）求y=f(x)的值域；（3）求不等式f(x)>31的解集.36.定义在（-1，1）上的函数f(x)，①对任意x ，y ∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(xyy x ++1)；②当x ∈（-1，0）时，f(x)>0，回答下列问题:（1）判断f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由; （2）判断函数f(x)在（0，1）上的单调性，并说明理由; （3）（理）若f(51)=21，试求f(21)-f(111)-f(191)的值．37.已知函数f(x)=x 3+3ax 2-3b ，g(x)=-2x 2+2x+3(a≠0)(1)若f(x)的图象与g(x)的图象在x=2处的切线互相平行，求a 的值；(2)若函数y=f(x)的两个极值点x=x 1,x=x 2恰是方程f(x)=g(x)的两个根，求a 、b 的值；并求此时函数y=f(x)的单调区间．38.一水渠的横截面如下图所示，它的横截面曲线是抛物线形，AB 宽2m ，渠OC 深为1.5m ，水面EF 距AB 为0.5m.（1）求截面图中水面宽度；（2）如把此水渠改造成横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下边长为多大时，才能使所挖的土最少？ 39.已知平面向量a=(23,-21),b=(21,23).(1)证明:a ⊥b;(2)若存在不为零的实数t,x,y ,使得c=a+2xb,d=-ya+(t-2x 2)b,且c ⊥d,试求函数y=f(x)的表达式； (3)若t ∈［6,+∞］,当f(x)在区间［0,1］上的最大值为12时,求此时t 的值. 40.(理)已知函数f(x)=bx ax +2，在x=1处取得极值为2.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间（m ，2m ＋1）上为增函数，求实数m 的取值范围；（3）若P （x 0，y 0）为f(x)=bx ax +2图象上的任意一点，直线l 与f(x)=bx ax +2的图象相切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围.（文）已知三次函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(1)=0,f′(2)=3,f′(3)=12. （1）求f(x)-f(0)的表达式；（2）若对任意的x ∈［-1,4］,都有f(x)>f′(x)成立，求f(0)的取值范围.高中总复习数学函数与导数专题练习参考答案一、选择题 1. D解析：∵B={1,3,4}，∴A∩(B)={1,3}.2. C解析：乙成立时，平面α、β有交点，即丙成立；当丙成立时，若直线l 、m 均不相交，则l 、m 与平面α、β的交线平行，此时l ∥m ，与甲矛盾，故乙也成立，即乙是丙的充要条件. 3. C解析：∵“p 且q”与“非q”同时为假命题⇒p 为假，q 为真，又|x-1|＞2⇔x<-1或x>3， ∴满足条件的x 为-1≤x≤3,x ∈Z ，即x=-1,0,1,2,3. 4. B解析：令A={1},B={2}，则card(A)=card(B)，故④为假，排除A 、C ；又令A={1},B={1,2}，则card(A)≤card(B),A ⊆B ，排除③，故选B. 5.（理）B解析：{x|x 2+2tx-4t-3≠0}=R 等价于方程x 2+2tx-4t-3=0无解，故Δ1=(2t)2+4(4t+3)<0,-3<t<-1,∴A={t|-3<t<-1}. {x|x 2+2tx-2t=0}≠φ等价于方程x 2+2tx-2t=0有解，故Δ2=4t 2+8t≥0,t≤-2或t≥0， ∴B={t|t≤-2或t≥0}，A∩B=(-3,-2]. （文）A解析：直线y-1=k(x-1)过圆x 2+y 2-2y=0上的点（1,1）且斜率存在，故直线与圆相交（不相切），即选A.6. B解析：∵-4-x 2∈［-2,0］,∴M ⊆［-2,0］,故选B. 7. C 解析：⎩⎨⎧-=-=-2)2()0()4(f f f ⇒f(x)=x 2+4x+2(x≤0)，f(x)=x ⇒x=2,-1,-2.8.（理）B解析：设t=2x,t ∈(0,2］，则1+2x+(a-a 2)4x>0⇔a 2-a<21tt +=(t1+21)2-41.∵t ∈(0,2)，t 1∈［21,+∞］, ∴(t 1+21)2-41∈［43,+∞］，∴ a 2-a<43⇔-21<a<23.（文）A解析：令a=-1，则f(x)=-x 2+4x+1，易知不满足题意，排除B 、C 、D ，选A. 9. D 解析：y=(x+x 1)2-(x+x1)-2=(x+x1-21)2-49，令t=x+x1，因x<0，故t≤-2. 又y=(t-21)2-49在（-∞,-2）递减，∴ y min =(-2-21)2-49=4.10. B解析：令2x 2+1=5，则x=±2；令2x 2+1=19，则 x=±3.则集合A={-2,2},B={-3,3}中各至少有一个元素为定义域中的元素，故定义域有)()(22122212C C C C +⨯+×=9种，即“孪生函数”有9个. 11. A 解析：f(41)=log 241=-2,F(f(41),1)=F(-2,1)=-2+1=-1.12.(理) B 解析：f(x)=(31)x ,f -1(x)=31log x ，由原方程得 f -1(x)=-1或3，故x=3或271.（文）D解析：根据 f -1(x)=log 3x+1的定义域及值域观察可得. 13. D 解析：f(535π)=f(32π)=f(-32π)=f(3π)=sin3π=23.14. D解析：设点(x 0,y 0)是y=(21)x图象上的点，关于点（2，0）对称点为（x,y ），则x 0=4-x,y 0=-y,又y 0=(21)x0，故-y=(21)4-x,即y=-2x-4=-162x,故选D.15. B解析：⎩⎨⎧<<<-1005.0a a ⇒0<a<0.5.16. B解析：f′(x)=2x 2-2，当 x ∈［0,1］时，f′(x)<0，故函数f(x)在区间[0,1]上单调递减.17. D 解析：∵y′|x=1=（x 2-2x ）|x=1=1-2=-1,由导数的几何意义知,曲线在该点的切线斜率为-1,∴倾斜角为43π.18. A解析：y′=6x 2-6x-12=6(x-2)(x+1), 令y ′=0,得x=2或x=-1（舍）.∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,∴y max =5,y min =-15. 19. B 解析：∵f′(x)=x 2+2ax+a 2-1=(x+a)2-1，又a≠0, ∴f′(x)的图象为第三个，知f′(0)=0，故a=-1，f(-1)=-31+a+1=-31.20. B解析：设点P(x 0,y 0)，在点P 处的切线的斜率为k=tanα=(x 3-x+32)′|x=x0=3x 02-1≥-1,又∵0≤α≤π，∴α∈［0,2π］∪［43π,π］.21. C解析：f′(x)=-3x 2-1<0,故f(x)在［m,n ］单调递减，又f(m)·f(n)<0,故f(m)>0,f(n)<0, ∴f(x)=0在区间［m,n ］上有且只有一个实数根. 22. D解析：y=2-x 与y=21logx 的图象关于直线y=x 对称；y=2log 4x=log 2x 与y=21log x 的图象关于x 轴对称；y=log 2(x+1)的图象向右平移一个单位即为y=21logx 的图象，故排除A 、B 、C ，选D.23. C解析：f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞，1)上有最小值，故a<1，而g(x)=x+xa -2a ，g′(x)=1-2xa .∵x>1，a<1,∴g′(x)<0,即g(x)在（1，+∞）递减. 24. B解析：∵f(x)=ax 3+bx 2,f′(x)=3ax 2+2bx, ∴⎩⎨⎧-=+=⨯+⨯,323,022232b a b a即⎩⎨⎧-==.3,1b a令f′(x)=3x 2-6x<0,则0<x<2,即选B. 25. D解析：∵y′=3x 2-3≥-3，∴tanα≥-3，又α∈［0,π］，∴α∈［0,2π］∪［32π,π］.二、填空题26.（1）（3）（4）解析：（2）错在当m=0时不成立，其他根据概念即可判断. 27.（理）m≤9解析：同时满足①②的x 的范围为2<x<3，要令f(x)=2x 2-9x+m<0在(2,3)上恒成立，则f(x)=0的两根x 1、x 2(x 1≤x 2)应满足x 1≤2且x 2≥3.则f(2)≤0且f(3)≤0，解得m≤9. （文）(-3，23)解析：只需f(1)=-2p 2-3p+9>0或f(-1)=-2p 2+p+1>0 即-3＜p ＜23或21-＜p ＜1,∴p ∈(-3,23).28.②③解析：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)由图象知k PQ ∈(0,+∞),k OP >k OQ ，故①错，②对，又直线x=221x x +与函数f(x)的图象的交点在线段PQ 的中点上方，故③正确. 29. -4解析：∵f′(x)=3ax 2-2bx+c,∴f′(2)=12a -4b+c=0. 又f(1)=a-b+c=4, ∴b=5411+a ,c=51616a-.所以f(-1)=-(a+b+c)=-(a+5411+a +51616a-)=-4.30.（21）|x|等解析：f(x)=(21)|x|或y=(31)|x|或y=a |x|(0<a<1).三、解答题31.解：由题意，M={x|x<-3或x>5}，P={x|(x+a)(x-8)≤0}.则 M∩P={x|5<x≤8}⇔-3≤-a≤5⇔-5≤a≤3.（1）只要是满足-5≤a≤3的一个数即可作为答案.（2）只要使集合{x|-5≤a≤3}成为所得范围集合的真子集即可作为答案. 32.解：（1）逆命题：在等比数列 {a n }中，前n 项和为S n ，若a m ,a m+2,a m+1成等差数列，则S m ,S m+2,S m+1成等差数列；（2）设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则2a m+2=a m +a m+1，于是2a 1q m+1=a 1q m-1+a 1q m . 由a 1≠0,q≠0，化简上式得2q 2-q-1=0，解得q=1或q=-21,当q=1时，∵S m =ma 1,S m+2=(m+2)a 1,S (m+1)=（m+1）a 1, ∴S m +S m+1≠2S m+2,即S m ,S m+2,S m+1不成等差数列；当q=-21时,∵S m +S m+1=])21(1[34211])21(1[211])21(1[21111++--=+--++--m m ma a a而2S m+2=])21[(34211])21(1[2221212+++-=+--=m m m a a S ，∴S m +S m+1=2S m+2，即S m ,S m+2,S m+1成等差数列；综上得，当公比q=1时，逆命题为假，当q=-21时，逆命题为真.33.解：函数图象的对称轴为x=2a ，①当2a <0即a<0时，f(0)=3,即a 2-2a+2=3,∴a=1-2或a=1+2（舍），②当0≤2a ≤2即0≤a≤4时，f(2a )=3,∴a=-21（舍），③当2a >2即a>4时，f(x)min =f(2)=3即a 2-10a+18=3，∴a=5+10或5-10（舍），综上可知a=1-2或a=5+10.34.解析:由条件知Δ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴-23≤a≤2,(1)当-23≤a ＜1时，原方程化为x=-a 2+a+6,∵-a 2+a+6=-(a-21)2+425, ∴当a=-23时，x min =49,当a=21时,x max =425.∴49≤x≤425.(2)当1≤a≤2时，x=a 2+3a+2=(a+23)2-41,∴当a=1时，x min =6,当a=2时，x max =12,∴6≤x≤12. 综上所述，49≤x≤12.35.解：（1）设 x 1<x 2<0，则31x <32x ,321x x +<1，∵f(x 1)-f(x 2)=19311+x x -19311+x x =)1)(1(3993332122112122++-+-++x x x x x x x x =)1)(1()1)((99333112121++--+x x x x x x <0,∴f(x 1)<f(x 2)，即y=f(x)在(-∞,0)上是增函数. （2）∵0<193+xx =xx3131+≤21，∴当x≤0时， f(x)=193+x x-21∈(-21,0]；当x>0时，f(x)=21-193+xx+1∈(0,21).综上得y=f(x)的值域为(-21,21).（3）∵f(x)=(-21,21)，又∵f(x)>31，∴f(x)∈(31,21)，此时f(x)=21-193+xx(x>0)，令21-193+xx>31，即193+xx<61⇒32x-6·3x +1>0⇒3x>3+22⇒x>log 3(3+22)， ∴不等式 f(x)>31的解集是(log 3(3+22),+∞).36.解：（1）令x=y=0⇒f(0)=0，令y=-x ，则f(x)+f(-x)=0⇒f(-x)=-f(x)⇒f(x)在（-1,1）上是奇函数.(2)设0<x 1<x 2<1，则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(21211x x x x --)，而x 1-x 2<0,0<x 1x 2<1⇒-1<21211x x x x --<0⇒f(21211x x x x --)>0.即当x 1<x 2时，f(x 1)>f(x 2)． ∴f （x ）在（0，1）上单调递减．（3）（理）由于f(21)-f(51)=f(21)+f(-51)=f(52115121⨯--)=f(31)，f(31)-f(111)=f(41),f(41)-f(191)=f(51)，∴f(21)-f(111)-f(191)=2f(51)=2×21=1．37.解：f′(x)=3x 2+6ax,g′(x)=-4x+2. （1）f′(2)=12+12a,g′(2)=-6. ∵12+12a=-6,∴a=-23.（2）令f′(x)=0得x 1=0或x 2=-2a,分别代入g(x)=-2x 2+2x+3得g(0)=3或g(-2a)=-8a 2-4a+3, ∴⎩⎨⎧-+-=+---=.3128348,33332b a a a a b ∴⎩⎨⎧-=-=.1,1a b此时f′(x)=3x 2-6x=0,得x=0或x=2,∴f(x)的单调递减区间是［0，2］，递增区间是（-∞,0）,［2,+∞］. 38.解：（1）建立如图所示坐标系，则抛物线方程为x 2=32(y+23)，当y=-0.5时，x=±36，∴水面宽EF=362m.（2）如上图，设抛物线一点M(t,23t 2-23)（t>0），因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M 与抛物线相切的切线挖土.由y=23x 2-23,求导得y′=3x ，∴过点M 的切线斜率为3t ，切线方程为y-(23t 2-23)=3t(x-t).令y=0，则x 1=tt 212+,令y=-23,则x 2=2t ,故截面梯形面积为S=21(2x 1+2x 2)·23=23(t21+t)≥223,当且仅当t=22时所挖土最少，此时下底宽22m.答：故截面梯形的下底边长为0.707米宽时，才能使所挖的土最少. 39.(1)证明：∵a·b=23⨯21-21⨯23=0，∴a ⊥b.(2)解：c·d=-y+2x(t-2x 2)=0⇒f(x)=2tx-4x 3.(3)解：若存在t 满足条件，则f′(x)=2t -12x 2(t≥0),由f′(x)=0⇒x=6t ,当0≤x<6t ,f′(x)>0,f(x)在［0，6t ］上递增;当x>6t时，f′(x)<0,f(x)在（6t ,+∞）上递减.∴t≥6时，f(x)在［0，1］递增，f(x)max =f(1)=2t-4=12,∴t=8∈［6,+∞).综上，存在常数t=8，使f(x)有最大值为12. 40.(理)解：（1）已知函数f(x)=bx ax +2，∴f′(x)=222)()2()(b x x ax b x a +-+,又函数f(x)在x=1处取得极值2，∴⎩⎨⎧==',2)1(,0)1(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(ba ab a ⇒⎩⎨⎧==.1,4b a ∴f(x)=142+x x .（2）∵f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x =222)1(44+-x x.由f′(x)>0，得4-4x 2>0，即-1<x<1, 所以f(x)=142+x x 的单调增区间为（-1，1）.因函数f(x)在（m ，2m ＋1）上单调递增，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-≥,12,112,1m m m m 解得-1<m≤0，即m ∈(-1,0)时，函数f(x)在（m ，2m ＋1）上为增函数. （3）f(x)=142+x x ,∴f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x ,直线l 的斜率为k=f′(x 0)=220220)1(8)1(4+-+x x x =4［11)1(220220+-+x x ］.令1120+x =t ，t ∈(0,1),则直线l 的斜率k=4(2t 2-t),t ∈(0,1)∴k ∈［-21,4］，即直线l 的斜率k 的取值范围是［-21,4］［或者由k=f′(x 0)转化为关于x 02的方程，根据该方程有非负根求解］. （文）解：（1）设f(x)=ax 3+bx 2+cx+d,则f′(x)=3ax 2+2bx+c. ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,12627,3412,023c b a c b a c b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=-==.3,3,1c b a ∴f(x)-f(0)=x 3-3x 2+3x.（2）f′(x)=3x2-6x+3.对任意的x∈［-1,4］,f(x)>f′(x)⇔f(x)-f′(x)=x3-6x2+9x+f(0)-3>0⇔f(0)>F(x)=-x3+6x2-9x+3.∵F′(x)=-3x2+12x-9,当x∈［-1,1)时，F′(x)<0;当x=1或3时，F′(x)=0,当x∈(1,3)时，F′(x)>0;当x∈(3,4］时，F′(x)<0,又F（-1）>F(3),F(-1)>F(1),F(-1)>F(4).∴F(x)在［-1，4］上的最大值为F（-1）=19，f(0)的取值范围是（19，+∞）.。

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函数与导数解答题训练21．设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a . （1）求)(x f 的单调区间；（2）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．2．已知函数322()4361,f x x tx t x t x R =+-+-∈，其中t R ∈．（1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（3）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．3．设01a <<，集合{|0}A x R x =∈>，2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>，D AB =.（1）求集合D （用区间表示）；（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.4．已知函数321()3f x x x ax =++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值.5．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值. （1）求a 、b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.6．设函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2.（1）求,a b 的值；（2）证明：()2 2.f x x ≤-1．设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a . （1）求)(x f 的单调区间；（2）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．解：（1）因为22()ln .0f x a x x ax x =-+>其中，所以2()(2)()2a x a x a f x x a x x-+'=-+=-由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（2）证明：由题意得，(1)11,f a c a c =-≥-≥即，由（1）知()[1,]f x e 在内单调递增，要使21()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立，只要222(1)11,()f a e f e a e ae e=-≥-⎧⎨=-+≤⎩解得.a e = 2．已知函数322()4361,f x x tx t x t x R =+-+-∈，其中t R ∈．（1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（3）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．解：（1）当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-（2）22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2tx t x =-=或0t ≠，以下分两种情况讨论：（1）若0,,tt t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：()f x ∴的单调递增区间是(,)2-∞,(),t -+∞，单调递减区间是(,)2t -.（2）若0,tt t >-<则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间是(),t -∞-，(,)2t +∞，单调递减区间是(,)2tt -。

（3）证明：由（2）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减，在,2t ⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增，以下分两种情况讨论：（1）当1,22tt ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减， 2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-⨯+⨯+<所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.（2）当01,022t t <<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，若33177(0,1],10.244t f t t t ⎛⎫∈=-+-≤-< ⎪⎝⎭2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+>所以(),12t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点.若()3377(1,2),110.244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+< ⎪⎝⎭(0)10f t =->所以()0,2t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点. 所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点.综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.3．设01a <<，集合{|0}A x R x =∈>，2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>，D A B =.（1）求集合D （用区间表示）；（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 解：（1）对于方程223(1)60x a x a -++= 判别式29(1)483(3)(31)a a a a ∆=+-=--因为1a <，所以30a -< ① 当113a >>时，0∆<，此时B R =，所以D A =； ② 当13a =时，0∆=，此时{|1}B x x =≠，所以(0,1)(1,)D =+∞；当13a <时，0∆>，设方程223(1)60x a x a -++=的两根为12,x x 且12x x <，则1x =，2x =12{|}B x x x x x =<>或③ 当103a <<时，123(1)02x x a +=+>，1230x x a =>，所以120,0x x >>此时，12(,)(,)D x x x =+∞()=+∞（2）2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--，1a <所以函数()f x 在区间[,1]a 上为减函数，在区间(,]a -∞和[1,)+∞上为增函数①1x =是极点1113B a ⇔∈⇔<< ②x a =是极点,01a A a B a ⇔∈∈⇔<< 得： 103a <≤时，函数()f x 极值点为a ，113a <<时，函数()f x 极值点为1与a4．已知函数321()3f x x x ax =++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值.解：（1）依题意可得2()2f x x x a '=++ 当440a ∆=-≤即1a ≥时，220x x a ++≥恒成立，故()0f x '≥，所以函数()f x 在R 上单调递增；当440a ∆=->即1a <时，2()20f x x x a '=++=有两个相异实根1211x x ==-=-+12x x <故由2()20f x x x a '=++>⇒(,1x ∈-∞-或(1)x ∈-+∞，此时()f x 单调递增由2()2011f x x x a x '=++<⇒-<<-()f x 单调递增递减综上可知当1a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当1a <时，()f x 在(,1x ∈-∞-上单调递增，在(1)x ∈-+∞单调递增，在(11--单调递减.（2）由题设知，12,x x 为方程()0f x '=的两个根，故有2211221,2,2a x x a x x a <=--=--322211111111111111112122()(2)(2)(1)33333333a f x x x ax x x a x ax x ax x a ax a x =++=--++=+=--+=--同理222()(1)33a f x a x =--因此直线l 的方程为2(1)33ay a x =--设l 与x 轴的交点为0(,0)x ，得02(1)a x a =-而22322031()()()(12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+---- 由题设知，点0(,0)x 在曲线()y f x =的上，故0()0f x =，解得0a =或23a =或34a = 所以所求a 的值为0a =或23a =或34a =.5．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值. （1）求a 、b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围. 解：（1）322(),()32.f x x ax bx c f x x ax b '=+++=++由2124()0393f a b '-=-+=，(1)320f a b '=++=得1, 2.2a b =-=- 2()32(32)(1)f x x x x x '=--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：∴()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞，递减区间是(,1)3-.（2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，22()27f x c =+为极大值，而(2)2f c=+为最大值.要使2()([1,2])f x c x <∈-恒成立，只需2(2)2c f c >=+，解得1c <-或 2.c > 6．设函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2.（1）求,a b 的值；（2）证明：()2 2.f x x ≤- 解：（1）()12.bf x ax x '=++由已知条件得(1)0,10,(1) 2.12 2.f a f a b =+=⎧⎧⎨⎨'=++=⎩⎩即解得1, 3.a b =-= （2）()(0,)f x +∞的定义域为，由（I ）知2()3ln .f x x x x =-+设2()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+则3(1)(23)()12.x x g x x x x-+'=--+=- 01,()0;1,()0.()(0,1),(1,).x g x x g x g x ''<<>><+∞当时当时所以在单调增加在单调减少而(1)0,0,()0,()2 2.g x g x f x x =>≤≤-故当时即。