函数与导数解答题训练

函数与导数解答题训练2

1．设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a . （1）求)(x f 的单调区间；

（2）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．

2．已知函数322()4361,f x x tx t x t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；

（3）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．

3．设01a <<，集合{|0}A x R x =∈>，2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>，D A

B =.

（1）求集合D （用区间表示）； （2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.

4．已知函数3

21()3

f x x x ax =

++． （1）讨论()f x 的单调性； （2）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值.

5．已知函数32()f x x ax bx c =+++在2

3

x =-

与1x =时都取得极值. （1）求a 、b 的值与函数()f x 的单调区间；

（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.

6．设函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2.

（1）求,a b 的值； （2）证明：()2 2.f x x ≤-

1．设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a . （1）求)(x f 的单调区间；

（2）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数．

解：（1）因为2

2

()ln .0f x a x x ax x =-+>其中，所以2()(2)()2a x a x a f x x a x x

-+'=-+=-

由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞

（2）证明：由题意得，(1)11,f a c a c =-≥-≥即，由（1）知()[1,]f x e 在内单调递增，

要使2

1()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立，只要222

(1)11,

()f a e f e a e ae e

=-≥-⎧⎨=-+≤⎩解得.a e = 2．已知函数322()4361,f x x tx t x t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；

（3）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 解：（1）当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-

(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-

（2）22

()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2

t

x t x =-=

或

0t ≠，以下分两种情况讨论：（1）若0,,

t

t t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：

()f x ∴的单调递增区间是(,)2-∞,(),t -+∞，单调递减区间是(,)2

t -.

（2）若0,t

t t >-<则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：

∴()f x 的单调递增区间是(),t -∞-，(,)2t +∞，单调递减区间是(,)2

t

t -。

（3）证明：由（2）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛

⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减，在,2t ⎛⎫

+∞

⎪⎝⎭

内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当1,22

t

t ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减， 2(0)10,(1)643644230.f t f t t =->=-++≤-⨯+⨯+<

所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.

（2）当01,022t t <

<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫

⎪⎝⎭

内单调递增，若33177(0,1],10.244t f t t t ⎛⎫

∈=-+-≤-< ⎪⎝⎭

2(1)643643230.f t t t t t =-++≥-++=-+>

所以(),12t f x ⎛⎫

⎪⎝⎭

在内存在零点.若()3377(1,2),110.244t t f t t t ⎛⎫

∈=-+-<-+< ⎪⎝⎭

(0)10f t =->

所以()0,

2t f x ⎛

⎫

⎪⎝⎭

在内存在零点. 所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点.

综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.

3．设01a <<，集合{|0}A x R x =∈>，2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>，D A B =.

（1）求集合D （用区间表示）； （2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 解：（1）对于方程223(1)60x a x a -++= 判别式29(1)483(3)(31)a a a a ∆=+-=--

因为1a <，所以30a -< ① 当1

13

a >>时，0∆<，此时B R =，所以D A =； ② 当1

3

a =时，0∆=，此时{|1}B x x =≠，所以(0,1)(1,)D =+∞； 当13

a <

时，0∆>，设方程2

23(1)60x a x a -++=的两根为12,x x 且12x x <，则

1x =

，2x =

12{|}B x x x x x =<>或

③ 当103a <<时，123

(1)02

x x a +=+>，1230x x a =>，所以120,0x x >>