数学文化研究的几个案例
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数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
进一步的工作
中学教研（数学）2005（6）
数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
张维忠教授简介
张维忠博士，1964年12月生于甘肃省 天水市。1986年7月毕业于西北师范 大学数学系，获理学学士学位；1992 年、1997年于西北师范大学获教育学 硕士、博士学位。曾任西北师范大学 教育学院副教授；现为浙江师范大学 数理学院教授，数学教育研究所所长， 硕士生导师，浙江省高等学校中青年 学科带头人。兼任全国高师数学教育 研究会常务理事，《数学教育学报》 编委、浙江师范大学《中学教研（数 学）》主编。主要从事数学课程与教 学论的研究与教学工作。
教学案例：适合中学教师写作 ⑴特点 ①具体、实在、有用。 ②连接实践与理论的桥梁。 ③中学教师可以写，也能写好的文 章形式。
教学案例：适合中学教师写作 ⑵模式 引言 教学过程 案例分析（反思） 结尾
Leabharlann Baidu
教学案例：适合中学教师写作 ⑶要求 ①有一定先进理论的指导， ②教学过程设计新颖， ③必要的理论分析和自我反省， ④对中学教学有一定借鉴意义。
张维忠教授的三本专著
《数学 文化与数学课程》 上海教育出版社 1999 《文化视野中的数学与数学教育》 人民教育出版社 2005 《文化传统与数学教育现代化》 北京大学出版社 2006
数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
案例四：圆锥曲线的三个教学 设计
设计1：《圆锥曲线· 椭圆》的 传统教学
1 引出课题：汽车油罐的横截面的轮廓， 行星和卫星运行的轨迹等。 2 探讨椭圆的本质特征，给椭圆下定义： 教师利用两个图钉，一条一定长的细线， 一根粉笔，在小黑板上演示一个椭圆的 过程；要求学生注意观察该画图过程， 思考椭圆与圆有那些相同与不同的特征。 3 根据椭圆定义，推导椭圆的标准方程。 4 例题讲解和练习 5 小结
1.2类比、猜想、实验
1 V 1 a2 b2 h
2
1 2 2 2 V a b h 3
1 2 2 3 V a ab b h 3
1.3推导公式
a h b
b h a = h a + h b
b
x
b h
a
a
b h a = h + h
b
b h a b
1.4展示成果1
1 教学案例 1.1提出问题 1.2类比、猜想、实验 1.3推导公式 1.4展示成果 1.5教师总结 2 案例简析
1.1提出问题
师：我们已经学过了棱锥，我手上拿 着的是一个正四棱锥的模型。如果我 们在它顶部截去一个小的正四棱锥， 就得到一个正四棱台（模型演示）。 假如这个正四棱台下底面正方形边长 为a，上底面边长为b，高为h，那么 它的体积该如何表示呢？今天我们就 来研究这个问题。 生1：既然正四棱台可以由一个大的 正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到， 我就可以通过大正四棱锥体积减去小 正四棱锥体积来求 。。。
朱哲.余弦定理——一则体现数学联系与 历史的教学案例.数学通讯,2005(17). 朱哲.由韦达定理引发的方程求根公式的 数学之旅.数学传播,2006(2).(第30卷第2 期总第118期). 朱哲.弦图及其在数学教学中的应用.数 学教学,2006(11). 朱哲.“两角和与差的三角函数”的一个 教学设计.数学传播,2008(3).(第32卷第3 期总第127期).
张维忠教授简介
代表性专著《数学文化与数学课程— —文化视野中的数学与数学课程的重 建》1999年9月由上海教育出版社出 版，并于2000年获浙江省教育厅哲学 社会科学优秀成果奖一等奖；2002年 又获浙江省第十届哲学社会科学优秀 成果著作类三等奖。已主持完成全国 教育科学“九五”规划重点课题1项， 于2000年6月通过鉴定；目前正在主 持全国教育科学“十五”规划教育部 重点课题“文化传统与数学教育现代 化”（DHA010276）的研究。
D A D' B
C
C'
A' B'
C A D' C' D' D' A
C A
C D C A B
D'
B' A' B' B'
B'
1.4展示成果2
1.4展示成果3
1.5教师总结
1 a b 2 h a b 2 1 a b 2 ab 2 V 4( ) h2 ( ) ( ) ( ) h 3 4 2 2 3 2 4
案例简析
1台体及其体积公式这块内容背后所 蕴涵的思维价值远远大于这个公式 本身的实用价值。 2教师能认识到平淡的教学内容背后 也隐含着波澜壮阔的教学过程。 3让学生从多角度思考问题，用多种 方法来解决问题。 4引入了实验。 5数学史知识的渗透。
数学史知识的渗透
不仅介绍了这个公式的最早记载，同 时在教学过程中隐含了对不同文化背 景下的数学的比较。 多元文化背景下的数学教育让学生欣 赏各种数学，而不管它是否属于自己 的传统文化：包含各种文化根源的数 学可以让学生形成丰富的体验，明白 其他文化所做的伟大贡献。这种教育 意义已经超出了数学课的目标，但这 确实是数学可以给予的。
张维忠教授简介
曾单独或与他人合作出版学术专著3 部，在《教育研究》、《课程· 教 材· 教法》、《比较教育研究》、《数 学教育学报》等学术刊物发表论文80 余篇。主持完成的科研课题曾获省哲 学社会科学优秀成果奖三等奖2项， 省高等学校哲学社会科学优秀成果奖 一等奖3项，二等奖1项。曾为研究生 和本科生开设《课程论》、《数学教 学论》、《数学方法论》、《数学与 文化》和《数学教育哲学》等课程。
对设计1的反思
这一内容通常以椭圆的机械画法引入。也有教 师先讲海尔· 波普彗星的现象，或者拿出一个 圆锥模型让学生观察截面的形状，再由机械画 法引出椭圆的定义以及焦点的概念。这样的教 学，教师直接地、生硬地把概念“抛”给了学 生。尤其是“焦点”，更象是“从天而降”； 而焦点之所以为焦点，学生却是不明所以。当 前，我们倡导“转换教师的教学观念、改变学 生的学习方式”这一教与学的新理念，就是要 使学生成为学习的主体，把教学真正建立在学 生自己探索、思考、理解的基础上。换言之， 就是要给学生独立探索的时间，给他们自由想 象的空间，让他们有机会经历数学知识发生、 发展的全过程。在这一观念指导下，教师和专 家共同设计了新颖的案例2。
一些案例文章
朱哲,张维忠.中国古代数学思想方法在 数学课堂教学中的渗透.中学数学杂志 (初中),2003(1). 朱哲,陈良照.“等比数列前n项和”教学 设计及其分析.中学教研(数学),2003(7). 刘智强,朱哲.圆锥曲线概念教学重新设 计.数学教学,2003(10). 朱哲,张维忠.一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式.中学数学教学参 考,2004(3). 朱哲,张维忠.算24点引发的思考.中学数 学教学参考,2004(10).
案例一：由韦达定理引发的方 程求根公式的数学之旅
一元三次方程的韦达定理
ax bx cx d 0
3 2
b x x x 1 2 3 a c x1 x 2 x1 x3 x 2 x3 a d x1 x 2 x3 a
用韦达定理解一元二次方程
历史上三次方程求根公式方法
历史上四次方程求根公式方法
迁移一
迁移二
反思
回过头看整个过程，笔者觉得，这是师生 二人一起经历了一次奇妙的数学之旅。在 这个过程中，对数学的兴趣，对知识的渴 求，使学生全身心地投入其中。虽然也经 历了挫折和失败，最后的结果也未必很有 实用价值（他得到的一元二次方程新解法 就没多大实用价值），但是，整个过程表 现出的发现问题的意识和解决问题的方法， 对学生来讲是一笔十分珍贵的财富。所以， 作为教师，应该保护学生的好奇心，并适 时地引导学生进行探索。
数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
案例二：一节基于数学史的教 学案例:正四棱台体积公式
引言
对中西古代数学文化的深入研究， 特别是这种历史的挖掘，目的还 是为了指向现实、着眼于未来。 本文给出的一则基于数学史的教 学案例，正是笔者设想的在数学 教育中通过数学史的渗透，在传 统与现代之间架起一座桥梁，从 而实现数学教育的现代化。
教学案例：适合中学教师写作
⑷推荐书目 《数学教育个案学习》 李士锜、
李俊 华东师范大学出版社
《中学数学课例分析》罗增儒
西师范大学出版社
陕
推荐书店
枫林晚 （浙江师范大学新校门口大街、 丽泽花园营业房。） 杭州书林教育书店 （浙江大学西溪校区门口。） 九章书店 （北京海淀）
教学案例：适合中学教师写作 ⑸一些杂志
案例三：余弦定理可以怎么教
网址
数学传播： http://www.math.sinica.edu.tw/m edia/default.jsp HPM通讯： http://math.ntnu.edu.tw/~horng/l etter/hpmletter.htm
能不能由三次方程的韦达公式 来求它的求根公式？
x1 x 2 x3 A x1 x 2 x3 B x x x C 2 3 1
x1 x 2 x3 A 2 2 2 x1 x 2 x3 B x 3 x 3 x 3 C 2 3 1
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
进一步的工作
中学教研（数学）2005（6）
数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
张维忠教授简介
张维忠博士，1964年12月生于甘肃省 天水市。1986年7月毕业于西北师范 大学数学系，获理学学士学位；1992 年、1997年于西北师范大学获教育学 硕士、博士学位。曾任西北师范大学 教育学院副教授；现为浙江师范大学 数理学院教授，数学教育研究所所长， 硕士生导师，浙江省高等学校中青年 学科带头人。兼任全国高师数学教育 研究会常务理事，《数学教育学报》 编委、浙江师范大学《中学教研（数 学）》主编。主要从事数学课程与教 学论的研究与教学工作。
教学案例：适合中学教师写作 ⑴特点 ①具体、实在、有用。 ②连接实践与理论的桥梁。 ③中学教师可以写，也能写好的文 章形式。
教学案例：适合中学教师写作 ⑵模式 引言 教学过程 案例分析（反思） 结尾
Leabharlann Baidu
教学案例：适合中学教师写作 ⑶要求 ①有一定先进理论的指导， ②教学过程设计新颖， ③必要的理论分析和自我反省， ④对中学教学有一定借鉴意义。
张维忠教授的三本专著
《数学 文化与数学课程》 上海教育出版社 1999 《文化视野中的数学与数学教育》 人民教育出版社 2005 《文化传统与数学教育现代化》 北京大学出版社 2006
数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
案例四：圆锥曲线的三个教学 设计
设计1：《圆锥曲线· 椭圆》的 传统教学
1 引出课题：汽车油罐的横截面的轮廓， 行星和卫星运行的轨迹等。 2 探讨椭圆的本质特征，给椭圆下定义： 教师利用两个图钉，一条一定长的细线， 一根粉笔，在小黑板上演示一个椭圆的 过程；要求学生注意观察该画图过程， 思考椭圆与圆有那些相同与不同的特征。 3 根据椭圆定义，推导椭圆的标准方程。 4 例题讲解和练习 5 小结
1.2类比、猜想、实验
1 V 1 a2 b2 h
2
1 2 2 2 V a b h 3
1 2 2 3 V a ab b h 3
1.3推导公式
a h b
b h a = h a + h b
b
x
b h
a
a
b h a = h + h
b
b h a b
1.4展示成果1
1 教学案例 1.1提出问题 1.2类比、猜想、实验 1.3推导公式 1.4展示成果 1.5教师总结 2 案例简析
1.1提出问题
师：我们已经学过了棱锥，我手上拿 着的是一个正四棱锥的模型。如果我 们在它顶部截去一个小的正四棱锥， 就得到一个正四棱台（模型演示）。 假如这个正四棱台下底面正方形边长 为a，上底面边长为b，高为h，那么 它的体积该如何表示呢？今天我们就 来研究这个问题。 生1：既然正四棱台可以由一个大的 正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到， 我就可以通过大正四棱锥体积减去小 正四棱锥体积来求 。。。
朱哲.余弦定理——一则体现数学联系与 历史的教学案例.数学通讯,2005(17). 朱哲.由韦达定理引发的方程求根公式的 数学之旅.数学传播,2006(2).(第30卷第2 期总第118期). 朱哲.弦图及其在数学教学中的应用.数 学教学,2006(11). 朱哲.“两角和与差的三角函数”的一个 教学设计.数学传播,2008(3).(第32卷第3 期总第127期).
张维忠教授简介
代表性专著《数学文化与数学课程— —文化视野中的数学与数学课程的重 建》1999年9月由上海教育出版社出 版，并于2000年获浙江省教育厅哲学 社会科学优秀成果奖一等奖；2002年 又获浙江省第十届哲学社会科学优秀 成果著作类三等奖。已主持完成全国 教育科学“九五”规划重点课题1项， 于2000年6月通过鉴定；目前正在主 持全国教育科学“十五”规划教育部 重点课题“文化传统与数学教育现代 化”（DHA010276）的研究。
D A D' B
C
C'
A' B'
C A D' C' D' D' A
C A
C D C A B
D'
B' A' B' B'
B'
1.4展示成果2
1.4展示成果3
1.5教师总结
1 a b 2 h a b 2 1 a b 2 ab 2 V 4( ) h2 ( ) ( ) ( ) h 3 4 2 2 3 2 4
案例简析
1台体及其体积公式这块内容背后所 蕴涵的思维价值远远大于这个公式 本身的实用价值。 2教师能认识到平淡的教学内容背后 也隐含着波澜壮阔的教学过程。 3让学生从多角度思考问题，用多种 方法来解决问题。 4引入了实验。 5数学史知识的渗透。
数学史知识的渗透
不仅介绍了这个公式的最早记载，同 时在教学过程中隐含了对不同文化背 景下的数学的比较。 多元文化背景下的数学教育让学生欣 赏各种数学，而不管它是否属于自己 的传统文化：包含各种文化根源的数 学可以让学生形成丰富的体验，明白 其他文化所做的伟大贡献。这种教育 意义已经超出了数学课的目标，但这 确实是数学可以给予的。
张维忠教授简介
曾单独或与他人合作出版学术专著3 部，在《教育研究》、《课程· 教 材· 教法》、《比较教育研究》、《数 学教育学报》等学术刊物发表论文80 余篇。主持完成的科研课题曾获省哲 学社会科学优秀成果奖三等奖2项， 省高等学校哲学社会科学优秀成果奖 一等奖3项，二等奖1项。曾为研究生 和本科生开设《课程论》、《数学教 学论》、《数学方法论》、《数学与 文化》和《数学教育哲学》等课程。
对设计1的反思
这一内容通常以椭圆的机械画法引入。也有教 师先讲海尔· 波普彗星的现象，或者拿出一个 圆锥模型让学生观察截面的形状，再由机械画 法引出椭圆的定义以及焦点的概念。这样的教 学，教师直接地、生硬地把概念“抛”给了学 生。尤其是“焦点”，更象是“从天而降”； 而焦点之所以为焦点，学生却是不明所以。当 前，我们倡导“转换教师的教学观念、改变学 生的学习方式”这一教与学的新理念，就是要 使学生成为学习的主体，把教学真正建立在学 生自己探索、思考、理解的基础上。换言之， 就是要给学生独立探索的时间，给他们自由想 象的空间，让他们有机会经历数学知识发生、 发展的全过程。在这一观念指导下，教师和专 家共同设计了新颖的案例2。
一些案例文章
朱哲,张维忠.中国古代数学思想方法在 数学课堂教学中的渗透.中学数学杂志 (初中),2003(1). 朱哲,陈良照.“等比数列前n项和”教学 设计及其分析.中学教研(数学),2003(7). 刘智强,朱哲.圆锥曲线概念教学重新设 计.数学教学,2003(10). 朱哲,张维忠.一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式.中学数学教学参 考,2004(3). 朱哲,张维忠.算24点引发的思考.中学数 学教学参考,2004(10).
案例一：由韦达定理引发的方 程求根公式的数学之旅
一元三次方程的韦达定理
ax bx cx d 0
3 2
b x x x 1 2 3 a c x1 x 2 x1 x3 x 2 x3 a d x1 x 2 x3 a
用韦达定理解一元二次方程
历史上三次方程求根公式方法
历史上四次方程求根公式方法
迁移一
迁移二
反思
回过头看整个过程，笔者觉得，这是师生 二人一起经历了一次奇妙的数学之旅。在 这个过程中，对数学的兴趣，对知识的渴 求，使学生全身心地投入其中。虽然也经 历了挫折和失败，最后的结果也未必很有 实用价值（他得到的一元二次方程新解法 就没多大实用价值），但是，整个过程表 现出的发现问题的意识和解决问题的方法， 对学生来讲是一笔十分珍贵的财富。所以， 作为教师，应该保护学生的好奇心，并适 时地引导学生进行探索。
数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
数学文化研究的几个案例
数学文化：浙江师范大学数学教育 研究的一个关键词 数学文化的两个载体：数学思想方 法、数学史 案例一：由韦达定理引发的方程求 根公式的数学之旅 案例二：一节基于数学史的教学案 例:正四棱台体积公式 案例三：余弦定理可以怎么教 中学教师可以多写写教学案例的文 章 案例四：圆锥曲线的三个教学设计
案例二：一节基于数学史的教 学案例:正四棱台体积公式
引言
对中西古代数学文化的深入研究， 特别是这种历史的挖掘，目的还 是为了指向现实、着眼于未来。 本文给出的一则基于数学史的教 学案例，正是笔者设想的在数学 教育中通过数学史的渗透，在传 统与现代之间架起一座桥梁，从 而实现数学教育的现代化。
教学案例：适合中学教师写作
⑷推荐书目 《数学教育个案学习》 李士锜、
李俊 华东师范大学出版社
《中学数学课例分析》罗增儒
西师范大学出版社
陕
推荐书店
枫林晚 （浙江师范大学新校门口大街、 丽泽花园营业房。） 杭州书林教育书店 （浙江大学西溪校区门口。） 九章书店 （北京海淀）
教学案例：适合中学教师写作 ⑸一些杂志
案例三：余弦定理可以怎么教
网址
数学传播： http://www.math.sinica.edu.tw/m edia/default.jsp HPM通讯： http://math.ntnu.edu.tw/~horng/l etter/hpmletter.htm
能不能由三次方程的韦达公式 来求它的求根公式？
x1 x 2 x3 A x1 x 2 x3 B x x x C 2 3 1
x1 x 2 x3 A 2 2 2 x1 x 2 x3 B x 3 x 3 x 3 C 2 3 1