离散时间随机过程的功率谱密度

离散时间
X
(t)
lim
N
N nN
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
平稳随机过程
X (n)
自相关函数
Rc ( )
FT 功率谱密度
Sc ()
自相关函数
R(m)
DFT
功率谱密度
S ( )
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三 功率谱密度的采样定理
若平稳连续时间实随机过程 Xc (t)，其自相关函数
和功率谱密度分别记为Rc ( )和Sc()，对 Xc (t)采样后所 得离散时间随机过程 X (n) X (nTs )， X (n) 的自相关函 数和功率谱密度分别记为R(m)和 S()，则有
)
(3)
lim E
N
X (t) Xˆ (t) Xˆ (t)
0
(4)
lim E
N
X (t) Xˆ (t) X (t)
0
(5)
lim E
N
X
(t
)
Xˆ
(t
2
)
0
X
(t)
lim
N
N n
N
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
17
连续时间 平稳随机过程
X (t)
采样 X (n) X (nT )
这说明，[X (t) Xˆ (t)] 正交 X (mT)
又
Xˆ
(t)
N nN
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
是 X (mT) 的线性组合，
[X (t) Xˆ (t)]
正交
N
Xˆ (t)
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即
lim E
N
X (t) Xˆ (t) Xˆ (t)
0
(4)
又
lim E
20
lim
N
N nN
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
平稳随机过程的采样定理
平稳随机过程
X (n)
自相关函数
Rc ( )
R(m) Rc (mT)
自相关函数
R(m)
功率谱密度的采样定理
FT
功率谱密度
S ( )
1 Ts
Sc ( 2nq )
n
DFT 功率谱密度
Sc ()
q
Ts
S ( )
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2
2 平稳离散时间随机过程的功率谱密度
序列 RX的(m傅) 里叶变换存在的充要条件是满 足绝对可和条件：即
RX (m)
m
定义 X的(n功) 率谱密度为序列
换，并记为
S X ()
的R傅X (m里)叶变
SX ()
RX (m)e jmT
m
RX
()
1
2
SX
()e
jmT
d
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2.3 离散时间随机过程的功率谱密度
前面讨论连续时间随机过程的功率谱密度及其相关 性质，并得出重要的关系式:(维纳—辛钦公式)
随着快速傅里叶变化(FFT)算法出现以及数字信号 处理(DSP)芯片的飞速发展，对离散时间随机过程的研 究就显得非常重要。
一 离散时间随机过程的功率谱密度
1 平稳离散时间随机过程的相关函数
R(m) E[X (n)X (n m)] E[Xc (nTs )X c (nTs mT )]
Rc (mTs ) Rc ( ) | mTs
S ( )
1 Ts
Sc (
n
2nq )
q
Ts
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连续时间 平稳随机过程
X (t)
采样 X (n) X (nT )
离散时间
X
(t)
3
T是随机序列相邻各值的时间间隔。
SX ()是频率为 的周期性连续函数，其周期为
2
T
2q
奈奎斯特频率
因为 SX (为)周期函数，周期为 2q
RX
(m)
1
2q
q q
S
X
()e
jmT
d
在 m 时0
E[ X
(n)]
RX
(0)
1
2q
q q
SX
()d
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4
3 谱分解
① z变换定义
在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散
(t)
lim
N
N nN
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
lim是均方意义下的极限（均方极限）：
若 X (t) lim，Y则(t表) 示
lim E[(X，(t)即Y，(t在))2 ] 0 时，
N
N
Y(t)和X(Nt) 的均方误差趋于零。
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证明 第一步：
RX ( ) 是确知函数，维纳-辛钦定理：RX ( ) SX () SX ()带宽有限，RX ( )是带限确定信号，由香农 采样定理可知
)
sin(ct n ct n
)
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第一步
第二步 第三步
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RX
(
)
n
RX
(nTs
)
sin(c n c n
)
(1)
RX
(
a)
n
RX
(nTs
a)
sin(c n c n
)
(2)
RX
(
)
n
RX
(nTs
a)
sin(c ( a) n c ( a) n
时间随机过程的功率谱密度定义为
并记为
，S即X z SX z RX (m)z m
R的X (zm变) 换，
m
式中 z e jT , SX (e jT ) SX ()
RX (m)为 SX z 的逆z变换
RX
(m)
1
2
j
D SX (z)zm1dz
式中，D为在 SX 的z收敛域内环绕z平面原点逆时
N
X (t) Xˆ (t) X (t)
0
(5)
第三步：
lim E
N
X (t) Xˆ (t)2
lim E[(X (t) Xˆ (t))X (t)] lim E[( X (t) Xˆ (t)) Xˆ (t)] 0
N
N
即
X
(t)
lim
N
Xˆ
(t)
lim
N
N nN
X
(nTs
连续时间 平稳随机过程
X (t)
采样
离散时间 平稳随机过程
X (n)
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2 平稳随机过程的采样定理
若X (t)为平稳随机过程，具有零均值，其
功率谱密度为
S
X
(
)
S
X
(
0
)
c，则当满足
其它
条件
Ts
1 2 fc
X (nTs ) 展开为
c
X
时，可将 X (t)按它的振幅样本
针旋转的一条闭合围线。
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5
② 性质：SX (z) SX ( 1 z)（因为RX (m) R）X (m) ③ 谱分解定理
设X(n)是广义平稳实离散随机过程，具有有理
功率谱密度函数 S。X 则z 可S分X解z为 ：
SX z B(z)B(z 1)
其中
B(
z)
C
( (
z z
1 1
)( )(
RX
(
)
n
RX
(nTs
)
sin(c n c n
)
(1)
对a ，RX ( a) SX ()e ja , SX ()e ja的带宽也是有限。
对RX ( a) 应用香农采样定理
RX
(
a)
n
RX
wk.baidu.com(nTs
a)
sin(c n c n
)
(2)
令 a ' ，则
RX
(
)
n
RX
(nTs
a)
m
m0
az z (1 a2 )z 1 az z a (z a)(1 az)
(1 a2 )
a1 a
(1 az1)(1 az) (a1 a) (z1 z)
将 z e jT 代人上式，即可求得
SX
()
a 1
a 1 a
a
2 cosT
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连续时间 平稳随机过程
离散时间 平稳随机过程
z z
M M
) )
B(
z
1
)
C
( (
z z
1
1
1
)( )(
z z
1
M
1
) )
1
M
包含了单位圆之内 的全部零点和极点
包含了单位圆之外 的全部零点和极点
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例 设 RX (m) a m , a 1，求 SX (z) 和 SX ()
1
解 SX (z)
amzm amzm
其中，Ts 为采样周期，s(nTs )为在 t nT时对 s(t) 的采样。
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连续时间
采样 S(n) S(nT ) 离散时间
确知信号
S (t)
香农采样定理
确知信号
S (n)
s(t)
n
s(nTs
)
c
sin(c (t nTs )) c (t nTs )
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sin(c ( a) n c ( a) n
)
(3)
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第二步：
令
Xˆ
(t)
N nN
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
，则
lim E
N
X (t) Xˆ (t) X (mT )
RX
(t
mTs
)
n
RX
(nTs
mTs
)
sin(ct n ct n
)
0
设X(n)为广义平稳离散时间随机过程，或简称
为广义平稳随机序列，具有零均值。 X(n)可以看
作对连续时间随机过程进行采样得到的信号，采
样间隔 ，Ts即
X (n) 。 X (t) |tnTs
X(n)自相关函数为:
RX (m) E[X (nT)X (nT mT )]
简写为： RX (m) E[X (n)X (n m)]
X (t)
X (n)
自相关函数
Rc ( )
FT
功率谱密度
Sc ()
自相关函数
R(m)
DFT
功率谱密度
S ( )
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连续时间
确知信号
S (t )
采样 香农采样定理
离散时间 确知信号
S (n)
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二 平稳随机过程的采样定理
1 确知信号的采样定理(香农采样定理)
设s(t)为一确知、连续、带限的实信号，其
频带范围 (c,c ) ，当采样周期 Ts 1/ 2 fc 时
即频率 fs 2 fc (c 2 fc ) 时， s(t) 可唯一由其
抽样点 s(nTs ) 确定（恢复）。
s(t)
n
s(nTs
)
c
sin(c (t nTs )) c (t nTs )
n
s(nTs
)
c
Sa(c (t
nTs ))