数值计算方法
数值计算方法及算法
b a
(
x
x0
)
(
x
xn
)
xdx
n is odd n is even
特别，梯形公式和Simpson公式的误差为
E1
f ( ) (b a)3
12
代数精度＝1
E2
f (4) ( ) (b a)5
2880
代数精度＝3
复化数值积分
b
f (x)dx
f (x)dx
构造n-1次插值多项式φ1(x)和 φ2(x)，则有
(x)
x xn x0 xn
1(x)
x x0 xn x0
2 ( x)
对n用归纳法。
• f[x0,…,xn]与x0,…,xn的顺序无关。
误差估计：
R(x)
f (x) (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(n 1)!
Hermite插值
给定平面上n+1个插值点(xi,yi,mi), 构造 2n+1次多项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, φ’(xi)=mi, i=0,1,…,n.
单项式 基函数
Lagrange 基函数
(x) a0 a1x an1x2n1
1
1 2
1 n1
nh (nh)
(nh)
2 n1
0
1
1
1
1
1
1
n
0 0
1 1n
数值计算方法总结
模型误差 数据误差 截断误差 计算误差 在建立数学模型时，忽略次要因素而造成的 由于问题中的值通过观察得到的，从而产生误差 通过近似替代，简化为较易求解的问题 由于计算机中数的位数限制而造成的
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2 误差
~ x 设 为真值, x 为真值的近似值
绝对误差 绝对误差：是指近似值与真正值之差或差的绝对 值，即 x x x,或 x 绝对误差界：用一个满足 绝对误差的大小，并记为 的数 ,来表示
分为n -1步, 第k步变换n - k 行 : 求倍数, 再从n 1- k 个元素中减去第k 行 对应列的倍数,因此所需乘除次数: n3 n 2 5n N1 (n k )(n 1 k 1) 3 2 6 k 1
n
2.回代运算量
求xn需做1次除法, 求xn-1需做1次乘法和1次除法,..., 求x1需n -1次 乘法和1次除法,因此所需乘除次数: n(n 1) N 2 1 2 ... n n3 2 2 n 因此,N N1 N 2 n 3 3
j i, i 1,..., n j i 1, i 2,..., n 1
第2章 解线性代数方程的直接法
2.2 三角分解法 2.2.3 追赶法
b1 a 1 A A b
作克洛特分解
c1 b2 a2
c2 b3 c3 an 1 bn 1 cn 1 an
选主元方法分为行主元法与全主元法
第2章 解线性代数方程的直接法
2.2 三角分解法 2.2.1 杜里特尔分解法 高斯消去法的消去过程,实质上是把系数矩阵A分解为单位下三角矩 阵L与上三角矩阵R的乘积,并且求解方程组Ly=b的过程,回代过程是求解 上三角形方程组Rx=y
数值计算方法
1.题目造倒数表，并例求 18 的倒数。
（精度为 0.0005)2.算法原理2.1 牛顿迭代法牛顿迭代法是通过非线性方程线性化得到迭代序列的一种方法。
对于非线性方程f x( ) = 0 ，若已知根x* 的一个近似值x k ，将f (x) 在x k 处展成一阶泰勒公式后忽略高次项可得：f (x) ≈f x( k ) + f '(x k )(x −x k )右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程f (x) 。
将非线性方程f x( ) = 0的根x*代入f x( *) = 0 ，即f x( k ) + f '(x k )(x* −x k ) ≈ 0* x k−f (x k ) 解出x ≈f '(x k )将右端取为x k+1 ，则x k+1 是比x k 更接近于x* 的近似值，即f (x k )x k+1 ≈x k −f '(x k ) 这就是牛顿迭代公式，相应的迭代函数是f (x)ϕ(x) = x −f '(x)2.2 牛顿迭代法的应用1 1算是求cx− =1 0的解，解出计x，即得到。
取c c 有牛顿迭代公式精品文档cx k −11 x k+1 = x k −= c c 这样就失去了迭代的意义，达不到迭代的效果。
1f (x) = cx−1，f '(x)= c，故重新构造方程：cx2 −x = 0 ，也是该式的解。
故取f (x) = cx2 −x ，cf '(x) = 2cx −1，则有牛顿迭代公式x k+1 = x k −cx k2 −x k = cx k2 , k = 0,1,...2cx k −1 2c k −11 1的值在~ 之间，取初值x0 = 0.1。
20 103.流程图0 ,,N x ε读入 1 k⇒ ( ) 0?0x f ′ = 1x 输出 01 1 k kx x ⇒ + ⇒ ( ) ( )0 10 0f x x x f x ⇒ − ′ 1 0 ?x x ε − < ≠=<=≥≠4.输出结果5.结果分析当k= 3时，得 5 位有效数字 0.05 564。
数值计算方法
数值计算方法的特点1.面向计算机，要根据计算特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。
2.有可能的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
3.要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。
4.要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。
误差来源模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。
设计算法的注意事项1.要注意简化计算步骤，减少运算次数。
2.要避免两相近数相减。
3.要注意浮点数运算的特点，防止大数“吃掉”小数。
4.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。
5.要设法控制误差的传播，选取数值稳定的计算公式。
二分法局限性是只能用于求实根，不能用于求复根及偶数重根。
牛顿法X n+1=x n-[f(x1)]/[f’(x1)],n=1,2,3……例：用牛顿法求方程f(x)=x3+4x2-10=0在[1，2]内一个实根，取初始近似值x0=1.5解：f’(x)=3x2+8x所以迭代公式为X n+1=x n-(x n3+4x n2-10)/(3x n2+8x n),n=0,1,2……拉格朗日插值多项式l0(x)=(x-x1)/(x0-x1),l1(x)=(x-x0)/(x1-x0)L1(x)=y0l0(x)+y1l1(x)例：已知y=,x0=4,x1=9,用线性插值求的近似值。
解：y0=2,y1=3,基函数分别为l0(x)=(x-9)/(4-9)=…….L1(x)=(x-4)/(9-4)=……..L1(x)= y0l0(x)+y1l1(x)=……所以L1(x)=……多项式拟合解题步骤：1.由已知数据画出函数粗略的图形—散点图，确定拟合多项式的次数n。
数值计算方法第一章 误差
1 10n1 2a1
所以 1 10n1 是 x* 的相对误差限。
2a1
若
r
1
2a1
1
10n1,
由式（1-4）
21
绝对误差、相对误差和有效数字
e x* x*er x* 0.a1a2 L an L 10mr
a1
1
10m1
2
1 a1
1
10n1
1 10mn 2
由式(1-6)，x* 至少有n位有效数字。
1.3.1 基本运算中的误差估计
本节中所讨论的基本运算是指四则运算与 一些常用函数的计算。
由微分学，当自变量改变量（误差）很小时， 函数的微分作为函数改变量的主要线性部分可以 近似函数的改变量， 故利用微分运算公式可导出 误差运算公式。
24
数值计算中误差的传播
设数值计算中求得的解与参量（原始数据）
由以上各式还可得出
ex1 x2 ex1 ex2 ex1 ex2 (1-14)
er x1x2 er x1 er x2 er x1 er x2 (1-15)
er
x1 x2
er x1 er x2
er x1
er x2
(1-16)
29
数值计算中误差的传播
因此，和、差的误差限不超过各数的误差限之 和，积、商的相对误差限不超过各数的相对误 差限之和。
定义： 若x的某一近似值 x* 的绝对误差限是某一位 的半个单位， 则称其“准确”到这一位，且从该位直到
x* 的第一位非零数字共有q位，则称近似值 x* 有q
位有效数字。
16
绝对误差、相对误差和有效数字
例如， 2 的近似值1.414准确到小数点后第3位， 它具有4位有效数字。
物理计算中常用数值计算方法解析
物理计算中常用数值计算方法解析在物理学研究中，数值计算方法是解决复杂问题的重要工具。
它们通过将连续的物理过程离散化为离散的数值计算，从而使得问题变得更易于处理。
本文将介绍一些常用的数值计算方法，并探讨它们在物理计算中的应用。
一、有限差分法有限差分法是一种常见的数值计算方法，它将连续的物理过程离散化为离散的差分方程。
通过将空间和时间划分为离散的网格点，有限差分法可以将微分方程转化为差分方程，并通过迭代求解差分方程来获得数值解。
有限差分法在物理计算中有广泛的应用。
例如，在流体力学中，有限差分法可以用来模拟流体的运动和变形。
在电磁学中，有限差分法可以用来计算电场和磁场的分布。
此外，有限差分法还可以用于求解热传导方程、波动方程等。
二、有限元法有限元法是一种常用的数值计算方法，它将连续的物理过程离散化为离散的有限元。
通过将物理区域划分为有限个小区域，有限元法可以将偏微分方程转化为代数方程，并通过求解代数方程来获得数值解。
有限元法在物理计算中有广泛的应用。
例如，在结构力学中，有限元法可以用来计算结构的应力和变形。
在电磁学中，有限元法可以用来计算电场和磁场的分布。
此外，有限元法还可以用于求解热传导方程、流体力学方程等。
三、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于统计的数值计算方法，它通过随机抽样和概率统计的方法来获得数值解。
蒙特卡洛方法的核心思想是通过大量的随机抽样来近似计算复杂的数学问题。
蒙特卡洛方法在物理计算中有广泛的应用。
例如，在统计物理学中，蒙特卡洛方法可以用来模拟粒子的随机运动和相互作用。
在量子力学中，蒙特卡洛方法可以用来计算量子系统的性质。
此外，蒙特卡洛方法还可以用于求解复杂的积分和优化问题。
四、快速傅里叶变换快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的数值计算方法，它可以将一个信号从时域转换到频域。
FFT算法的核心思想是通过递归和分治的方法将一个大规模的离散傅里叶变换分解为多个小规模的离散傅里叶变换。
FFT在物理计算中有广泛的应用。
《数值计算方法》教学大纲
河北联合大学第2012-2013-1学期《数值计算方法》教学大纲依据我校章程，特制定了适合我校理工科各专业本科生的《数值计算方法》教学大纲。
一、课程计划课程名称：数值计算方法Numerical Calculation Methods开课单位：理学院课程类型：专业必修课开设学期：第五学期讲授学时：共15周，每周4学时，共60学时学时安排：课堂教学44学时+实验教学16学时适用专业：信科、数学、统计理科专业本科生教学方式：讲授（多媒体为主）+上机考核方式：闭卷40% +上机实验20%+课程报告20% +平时成绩10%学分：4学分与其它课程的联系预修课程：数学分析、高等代数、常微分方程、计算机高级语言等。
后继课程：偏微分方程数值解及其它专业课程。
二、课程介绍数值计算方法也称为数值分析，是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。
随着计算科学与技术的进步和发展，科学计算已经与理论研究、科学实验并列成为进行科学活动的三大基本手段，作为一门综合性的新科学，科学计算已经成为了人们进行科学活动必不可少的科学方法和工具。
数值计算方法是科学计算的核心内容，它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程。
主要介绍数值计算的误差、插值法、函数逼近与曲线拟合、线性方程组迭代解法、数值积分与数值微分、非线性方程组解法、矩阵特征值与特征向量数值计算以及常微分方程数值解，并特别加强实验环节的训练以提高学生动手能力。
通过本课程的学习，不仅能使学生初步掌握数值计算方法的基本理论知识，了解算法设计及数学建模思想，而且能使学生具备一定的科学计算能力和分析与解决问题的能力，不仅为学习后继课程打下良好的理论基础，也为将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
教学与实验教学课堂教学实验教学论文报告机动课内学时课外学时学时数44 16 8 2 60 10三、重点难点课程重点：理解各种常用数值计算方法的数学原理和理论分析过程，掌握各种数值计算方法的示范性上机程序，学会设计数值算法的基本思路、一般原理和各种数值算法的程序实现。
应用数学研究中数值计算方法的使用注意事项
应用数学研究中数值计算方法的使用注意事项数值计算方法是应用数学的一种重要手段，它通过将数学问题转化为数值计算问题，并利用计算机进行求解，可以应用于各个领域的科学研究和工程实践。
然而，在使用数值计算方法时，我们需要注意一些关键问题，以确保计算结果的准确性和可信度。
本文将介绍应用数学研究中数值计算方法的使用注意事项。
首先，选择合适的数值计算方法是十分重要的。
在面对实际问题时，我们需要根据具体情况选择适用的数值计算方法。
对于线性方程组，常见的数值解法有高斯消去法、LU分解以及迭代法等；对于非线性方程，可以使用二分法、牛顿迭代法等。
在选择数值计算方法时，我们需要综合考虑计算复杂度、收敛速度以及计算稳定性等因素，确保所选择的方法能够更好地解决问题。
其次，合理选择计算精度也是非常重要的。
在进行数值计算时，我们需要从数值编程和计算机浮点运算的角度来考虑计算精度的选择。
一般来说，计算机的浮点运算精度有单精度和双精度两种，分别对应32位和64位浮点数。
在进行高精度计算时，可以使用任意精度计算库，以提高计算精度。
但需要注意的是，提高计算精度会增加计算的复杂度和耗时。
因此，在实际应用中，我们需要根据问题的需求，合理选择计算精度以达到正确和高效的数值计算。
第三，数值计算中的舍入误差需要引起我们的注意。
在计算过程中，计算机的有限精度运算会引入舍入误差。
舍入误差可以分为绝对误差和相对误差，绝对误差是指实际值与计算结果之间的差距，而相对误差是指绝对误差与实际值之间的比值。
为了减小舍入误差，我们可以采取一些措施，例如使用更高精度的数值算法，避免大数或小数的相减操作，避免连续进行大数乘法或小数除法等。
此外，我们还可以通过增加计算步骤，提高计算的稳定性。
因此，在使用数值计算方法时，我们需要时刻关注舍入误差，合理评估计算结果的可靠性。
第四，数值计算的稳定性是需要特别关注的问题。
稳定性一般分为条件数稳定性和数值稳定性。
条件数稳定性描述的是原问题和扰动问题之间的差距，而数值稳定性是指数值计算过程中算法演算所引入的误差和舍入误差在计算过程中是否会被放大。
数值计算方法教案
数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与意义介绍数值计算的概念解释数值计算在科学研究与工程应用中的重要性1.2 数值计算方法分类介绍数值逼近、数值积分、数值微分、数值解方程等基本方法分析各种方法的适用范围和特点1.3 误差与稳定性解释误差的概念及来源讨论数值计算中误差的控制与减小方法介绍稳定性的概念及判断方法第二章：插值与逼近2.1 插值法的基本概念介绍插值的概念及意义解释插值函数的性质和条件2.2 常用的插值方法介绍线性插值、二次插值、三次插值等方法分析各种插值方法的优缺点及适用范围2.3 逼近方法介绍切比雪夫逼近、傅里叶逼近等方法解释逼近的基本原理及应用场景第三章：数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本概念介绍数值积分的概念及意义解释数值积分的原理和方法3.2 常用的数值积分方法介绍梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式等方法分析各种数值积分方法的适用范围和精度3.3 数值微分的基本概念与方法介绍数值微分的概念及意义解释数值微分的原理和方法第四章：线性方程组的数值解法4.1 线性方程组数值解法的基本概念介绍线性方程组数值解法的概念及意义解释线性方程组数值解法的原理和方法4.2 常用的线性方程组数值解法介绍高斯消元法、LU分解法、迭代法等方法分析各种线性方程组数值解法的优缺点及适用范围4.3 稀疏矩阵技术解释稀疏矩阵的概念及意义介绍稀疏矩阵的存储和运算方法第五章：非线性方程和方程组的数值解法5.1 非线性方程数值解法的基本概念介绍非线性方程数值解法的概念及意义解释非线性方程数值解法的原理和方法5.2 常用的非线性方程数值解法介绍迭代法、牛顿法、弦截法等方法分析各种非线性方程数值解法的优缺点及适用范围5.3 非线性方程组数值解法介绍消元法、迭代法等方法讨论非线性方程组数值解法的特点和挑战第六章：常微分方程的数值解法6.1 常微分方程数值解法的基本概念介绍常微分方程数值解法的概念及意义解释常微分方程数值解法的原理和方法6.2 初值问题的数值解法介绍欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等方法分析各种初值问题数值解法的适用范围和精度6.3 边界值问题的数值解法介绍有限差分法、有限元法、谱方法等方法讨论边界值问题数值解法的特点和挑战第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程数值解法的基本概念介绍偏微分方程数值解法的概念及意义解释偏微分方程数值解法的原理和方法7.2 偏微分方程的有限差分法介绍显式差分法、隐式差分法、交错差分法等方法分析各种有限差分法的适用范围和精度7.3 偏微分方程的有限元法介绍有限元法的原理和步骤讨论有限元法的适用范围和优势第八章：数值模拟与计算可视化8.1 数值模拟的基本概念介绍数值模拟的概念及意义解释数值模拟的原理和方法8.2 计算可视化技术介绍计算可视化的概念及意义解释计算可视化的原理和方法8.3 数值模拟与计算可视化的应用讨论数值模拟与计算可视化在科学研究与工程应用中的重要作用第九章：数值计算软件与应用9.1 数值计算软件的基本概念介绍数值计算软件的概念及意义解释数值计算软件的原理和方法9.2 常用的数值计算软件介绍MATLAB、Mathematica、Python等软件的特点和应用领域9.3 数值计算软件的应用案例分析数值计算软件在科学研究与工程应用中的典型应用案例第十章：数值计算方法的改进与新发展10.1 数值计算方法的改进讨论现有数值计算方法的局限性介绍改进数值计算方法的研究现状和发展趋势10.2 新的数值计算方法介绍近年来发展起来的新型数值计算方法分析新型数值计算方法的优势和应用前景10.3 数值计算方法的未来发展探讨数值计算方法在未来可能的发展方向和挑战重点和难点解析一、数值计算概述难点解析：对数值计算概念的理解，误差来源及控制方法的掌握。
第三章基本数值计算方法一
1.0000 0 0 -1.6757 1.0676
U0
0 1.0000
0
-1.8378
-1.2162
,
0 0 1.0000 0.9820 0.3018
0
0
0
0
0
这个最简行阶梯形式说明原 来的方程组是欠定的。
欠定方程组解的特点
它等价于下列方程组：
x1
-1.6757 x4 = 1.0676
1
0
3
0
0
（柠檬酸）x1
1 1
,（小苏打）x2
8 6
（, 碳酸钠）x3
0 6
,
（水）x4
2 0
,
（二氧化碳）x5
0 1
,
3
8
7
1
2
• 按四种元素左右平衡列出四个方程，得：
1 0 3 0 0 0
1
1
x1
8
6
x2
0 6
x3
2 0
x4
0 1
x5
0 0
Ax
=
b
=
0
3
8
7
1
2
0
化学方程配平程序
X4 = 8.66
为什么要提出这种新的计算方法？
把上例中第四个方程改为：
4x1 + 2x2 + 7x3 -778/222 x4 877 / 222
，求其解。
解：输入新参数
A=[6,1,6,-6;1,-1,9,9;-2,4,0,4;4,2,7,-778/222];
b=[7;5;-7;877/222]; 键入U=rref([A,b])，得到
4x1 + 2x2 + 7x3 -5x4 9
数值计算方法第01章误差
1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
绝对误差/* Absolute error */
定义1. 设x为准确值 , x*为x的一个近似值 , 称 e(x*) x* x
为近似值x*的绝对误差 ,简称误差 ,可简记为E.
因为准确值 x 往往是未知甚至是无法 知道的
因此 E(x* ) x* x 往往也无法求出
例：计算
In
1 e
1 xne xdx ,
0
n 0,1, 2, ......
公式一：In 1 n In1
I0
1 e
1 e xdx
0
1
1 e
0.63212056
记为
I
* 0
则初始误差 E0 I0 I0* 0.5108
注意此公式精确成 立
1
e
1 0
x1=0.0315 x2=0.3015 x3=31.50 x4=5000
1.2.2 有效数字
有效数字是近似值的一种表示法。它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。
若x*作为x的近似值, 其绝对误差的绝对值不 超过某一位数字的半个单位, 而该位数字到 x*的第 一位非零数字共有n位, 则称用x*近似x时具有n位 有效数字, 简称x*有n位有效数字.
1.3数值计算中误差的传播
1.3.1 基本运算中的误差估计 在数值运算中，参加运算的数若有误差，那
么一定会影响到计算结果的准确性.
例、设y=xn,求y的相对误差与x的相对误差之间的关 系。
1.3.2 算法的数值稳定性
计算一个数学问题，需要预先设计好由已知 数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
且 x* x x* 准确值 x 的范围
《数值计算方法》复习资料
实用文档《数值计算方法》复习资料第一章数值计算方法与误差分析第二章非线性方程的数值解法第三章线性方程组的数值解法第四章插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1.知道产生误差的主要来源。
2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3.知道四则运算中的误差传播公式。
实用文档三例题例 1 设x*= =3.1415926⋯近似值 x=3.14 ＝ 0.314× 101,即 m=1，它的绝对误差是－ 0.001 592 6 ，⋯有即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字 .x=3.14准确到小数点后第 2 位 .又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074 ⋯，有即 m=1,n＝ 5， x=3.1416 有 5 位有效数字 .而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926 ⋯，有即 m=1,n＝ 4， x=3.1415 有 4 位有效数字 .这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；例 2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4－0.002 009 0009 000.00解因为 x1=2.000 4＝ 0.200 04× 101, 它的绝对误差限 0.000 05=0.5 × 10 1―5，即m=1,n=5, 故 x=2.000 4 有 5 位有效数字 . a1=2，相对误差限x2=－ 0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为 m=－2，n=3 ，x2=－ 0.002 00 有 3 位有效数字 . a1=2 ，相对误差限r ==0.002 5实用文档x3=9 000 ，绝对误差限为0.5× 100，因为 m=4, n=4, x3=9 000 有 4 位有效数字， a=9 ，相对误差限r＝＝ 0.000 056x4=9 000.00 ，绝对误差限0.005，因为 m=4， n=6， x4=9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为r＝＝ 0.000 000 56由 x3与 x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例 3 ln2=0.69314718⋯，精确到10－3的近似值是多少？解精确到 10－3＝ 0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
数值计算方法 代数精度 - 代数精度
A1x1n
An xnn
bn1 an1 n1
这是关于 Ak的线性方程组，其系数矩阵
1
x0
x02
x0n
1 1
x1
xn
x12
xn2
x1n xnn
是范得蒙德矩阵,当 xk (k 0,1,, n) 互异时非奇异,故 Ak 有唯一解。
典型例题
例2
试确定一个至少具有2次代数精度的公式
f
(1)
20
f
(3)
结构分析
2 .如 果 参 数 x k 和 Ak均 未 知 ， 则 方 程 组 为 非线 性 的
A0 A1 An b a
A0 x0 A0 x0n
A1x1
An xn
b2
2
a2
A1x1n
An xnn
bn1 an1 n1
非线性方程组求解很困难
定理
n+1个节点的求积公式
1
2
左右相等
典型例题
当 f ( x )分 别 为 常 数x 2或 x 3时 ,
2 f ( x) x2 1 f ( x )dx 1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] f ( x )x2 1
3
1
2
1 f ( x) x3 1 f ( x )dx 1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] f ( x )x3 0
n
Ak
x
m k
k0
1 m 1
bm1 a m1
b x mdx
a
构 造 求 积 公 式, 原 则 上 是 确 定 参 数x k和 Ak的 代 数 问 题.
结构分析
A0 A1 An b a
1.如
数值计算法求解一元三次方程
数值计算法求解一元三次方程一元三次方程是数学中常见的方程形式，求解一元三次方程的方法有多种，其中一种常用的方法是数值计算法。
数值计算法利用数值逼近的原理，通过迭代计算来逐步逼近方程的解。
本文将介绍数值计算法求解一元三次方程的具体步骤和示例。
步骤一：确定初始解在使用数值计算法求解一元三次方程前，首先需要确定一个初始解，作为迭代计算的起点。
一般可以通过观察方程的图像或者利用一些特殊的性质来确定一个合适的初始解。
步骤二：迭代计算在确定初始解之后，可以开始进行迭代计算。
迭代计算的思想是通过反复迭代逼近方程的解，直到满足一定的精度要求为止。
具体的迭代计算公式可以根据不同的数值计算方法来确定，下面以牛顿法为例进行说明。
牛顿法是一种常用的数值计算法，适用于求解多种方程。
求解一元三次方程时，牛顿法的迭代公式为：x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))其中，x(n)表示第n次迭代得到的解，f(x)表示方程的函数表达式，f'(x)表示f(x)的导数，也就是方程的斜率。
通过不断地使用上述迭代公式，可以逐步逼近方程的解。
步骤三：判断迭代终止条件在进行迭代计算时，需要设置一个迭代的终止条件。
一般来说，可以通过判断当前迭代得到的解与前一次迭代得到的解之间的差值是否小于给定的精度来判断迭代是否终止。
步骤四：验证解的正确性在得到最终的迭代解之后，需要验证解的正确性。
方法可以直接将解代入原方程，判断是否满足方程的等式关系。
如果解满足方程，则验证成功，否则需要重新调整初始解，重新进行迭代计算。
示例：我们以求解方程x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0为例，来演示数值计算法的求解过程。
首先，我们可以通过观察方程的图像或者利用一些特性，估计出一个初始解x(0)为2。
接下来，我们使用牛顿法进行迭代计算。
根据牛顿法的迭代公式，我们可以得到：x(1) = x(0) - (x(0)^3 - 6x(0)^2 + 11x(0) - 6)/(3x(0)^2 - 12x(0) + 11)带入x(0) = 2，我们可以得到：x(1) = 2 - (2^3 - 6*2^2 + 11*2 - 6)/(3*2^2 - 12*2 + 11)计算得到x(1) = 1.6364。
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3.4 向量和矩阵范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5
目录
3.4.1 向量范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4.2 矩阵范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5 误差分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
第三章 线性方程组的直接解法
25
3.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Gauss 消去法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.1.2 插值型求积公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.5 高斯主元消去法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 直接三角分解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 不动点迭代 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 迭代法的收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4.1 一般收敛定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4.2 对角占优矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1 牛顿迭代公式及几何意义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.2 牛顿迭代法的收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 割线法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 逐次超松弛迭代法 (SOR 方法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 迭代法的收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
第六章 数据拟合
57
6.1 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1.1 最小二乘法的基本原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.3 迭代法的改善（选学） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 牛顿迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
第五章 代数插值
43
5.1 插值多项式的存在唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1 插值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.2 插值多项式的存在唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Lagrange 插值多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
第二章 方程求根
13
2.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 根的存在性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 误差的传播 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 数值计算的若干原则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.3 牛顿插值多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4 埃尔米特 (Hermite) 插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.5 分段三次埃尔米特插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.6 三次样条插值函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
第七章 数值积分与数值微分
61
7.1 数值积分的基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.1.1 一般求积公式及代数精度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.1.2 根的分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 根的精确化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
数值计算方法
冯玉明1 编著
2009 年 6 月 15 日
1E-mail: yumingfeng25928@
2
致谢
在本书的编写过程中, 得到重庆三峡院数学与计算机科学学院 06 数学与应用数学部分同 学的大力支持和帮助, 他们帮助完成了本书部分章节的 LATEX编写. 在此表示衷心的感谢.
如果您在阅读本书过程中, 发现任何错误, 请发邮件到 yumingfeng25928@
3
4
目录
第一章 引论
9
1.1 计算方法研究的对象与特点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 误差理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 误差的来源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 误差的度量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.1 基本思想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2 高斯消去法计算公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.1.2 多项式拟合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 超定方程组的最小二阶乘解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.1 Jacobi 迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34