成才之路高中数学人教B,选修22练习： 第1课时

第一章 1.4 第1课时
一、选择题
1．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列结论中正确的个数是( )
①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大小S ；
④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系不确定 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[答案] A
[解析] 只有①正确．故选A.
2．求由曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )
A ．[0，e 2]
B ．[0,2]
C ．[1,2]
D ．[0,1]
[答案] B
[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e x
y ＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0
y ＝1
.所以积分区间为[0,2]．故选B.
3.⎠⎛0
11d x 的值为( )
A ．0
B ．1 C.1
2 D ．2
[答案] B
[解析] 由定积分的几何意义可得⎠⎛0
11d x 是由x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝1围成的矩形的
面积．
4．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：
①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积
的和；
②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫
i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤
i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛
⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在
⎣⎡⎦
⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．
其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[答案] C [解析] 用f ⎝
⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.
5．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛0
1x d x
B ．⎠⎛0
1(x ＋1)d x
C.⎠⎛0
11d x
D ．⎠⎛0
11
2
d x
[答案] C
[解析] ⎠
⎛0
11d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其
值为1.故选C.
6．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛a
b f (x )d x 是( )
A.lim n →＋∞
∑i ＝0n －1
f (ξi ) B ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1
f (ξi
)·b －a
n C.lim n →＋∞∑i ＝0
n －1f (ξi )·ξi D ．lim n →＋∞
∑i ＝0n －1
f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B
[解析] 由定积分的定义可知B 正确．
7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛0
1f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )
A.
3
3
B ．
32
C.
34
D ．1
[答案] A
8．下列命题不正确的是( )
A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－a
a f (x )d x ＝0
B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a
a f (x )d x ＝2⎠⎛0
a f (x )d x
C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛a
b f (x )d x >0
D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛a
b f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正
[答案] D
[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.
二、填空题
9.lim n →＋∞ ⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n 写成定积分是________． [答案] ⎠
⎛0
1x d x
10．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛0
2[f (x )＋6]d x ＝________.
[答案] 15
11．定积分⎠⎛2
43d x 的几何意义是________．
[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积 三、解答题
12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．
[解析] 由曲线所围成的区域图形
一、选择题
1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤
i －1n ，i n 上的值，
可以用________近似代替．( )
A ．f ⎝⎛⎭⎫1n
B ．f ⎝⎛⎭⎫2n
C ．f ⎝⎛⎭⎫i n
D ．f (0)
[答案] C
2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)
C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])
D ．以上答案均不正确 [答案] C
3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a
b f (x )d x ( )
A ．一定为正
B ．一定为负
C ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负
D ．以上结论都不对 [答案] A [解析] ∵f (x )>0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛a
b f (x )d x >0.故选A.
4．(2014·太原模拟)已知t >0，若⎠⎛0
t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )
A ．1
B ．－2
C ．－2或4
D ．4
[答案] D
[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，
∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛0
1(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，
∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝1
2×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.
二、填空题
5．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．
[答案] ∫2π0|sin x |d x
6．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛a
b 6f (x )d x 等于________．
[答案] 36
7．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛a
b f (x )d x 等于________．
[答案] 8 三、解答题
8．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛－2
2 4－x 2d x ；(2)⎠⎛0
11－x 2d x .
[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，
∴有⎠
⎛2－2
4－x 2d x ＝
π·22
2
＝2π. (2)∵被积函数为y ＝
1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，
由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．
∴⎠⎛0
1
1－x 2d x ＝14π·12＝1
4
π.
9．求⎠⎛0
1x 3d x 的值．
[解析] (1)分割
0＜1n ＜2
n ＜…＜n －1n ＜n n ＝1. (2)求和
⎝⎛⎭⎫1n 3·1n ＋⎝⎛⎭⎫2n 3·1n ＋…＋⎝⎛⎭⎫n n 3·1n . ＝∑i ＝1
n ⎝⎛⎭⎫i n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1
n i 3＝1n 4·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n (n ＋1)22 ＝(n ＋1)2
4n 2.
(3)取极限
lim n →∞ (n ＋1)24n 2＝1
4lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＝14. ∴⎠
⎛0
1x 3d x ＝1
4.。