2019年人教版高中数学必修二综合测试题(含答案)
2019高中数学必修二(人教A版)模块综合测试 含解析
人教版高中数学必修精品教学资料模块综合试题时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1．下列命题正确的是( )A ．四条线段顺次首尾连接,所得的图形一定是平面图形B ．一条直线和两条平行直线都相交,则三条直线共面C ．两两平行的三条直线一定确定三个平面D ．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线解析：此题主要考查三个公理及推论的应用,两条平行线确定一个平面,第三条直线与其相交,由公理1可知,这三条直线共面,故B 正确．答案：B2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行,则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－45D.45解析：由题意可知两直线的斜率存在,且－a －2a ＝－23,解得a ＝6. 答案：B3．圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( )A ．3πa 2B ．4πa 2C ．5πa 2D ．6πa 2解析：设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,如图所示,∠ASO ＝30°,在Rt △SA ′O ′中,r SA ′＝sin30°,∴SA ′＝2r.在Rt △SAO 中,2rSA ＝sin30°, ∴SA ＝4r.∴SA －SA ′＝AA ′, 即4r －2r ＝2a,r ＝a.∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r)2＝5πr 2＝5πa 2. 答案：C4．若直线l 过点A(3,4),且点B(－3,2)到直线l 的距离最远,则直线l 的方程为( )A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0 C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0 解析：当l⊥AB时,符合要求．∵k AB＝4－23＋3＝13,∴l的斜率为－3,∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3),即3x＋y－13＝0.答案：D5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A. 3 B．2C. 6 D．2 3解析：直线方程为y＝3x,圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4,圆心(0,2)到直线y＝3x的距离d＝|3×0－2|(3)2＋(－1)2＝1.故所求弦长l＝222－12＝2 3.答案：D6．如图,在三棱锥S－ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能题图答图解析：连接SG1，SG2并延长分别交AB于点M，交AC于点N.∵SG1G1M＝SG2G2N，∴G1G2∥MN.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.故G1G2∥BC.答案：B7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1，S2，S3，则() A．S1<S2<S3B．S3<S2<S1C．S2<S1<S3D．S1<S3<S2解析：设棱锥的底面面积为S.由截面的性质，可知SS1＝⎝⎛⎭⎪⎫2121＝14S；SS2＝212＝12S；⎝⎛⎭⎪⎫SS33＝213＝134S，故S1<S2<S3.答案：A8．在圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＝E2>4F，则圆的位置满足()A．截两坐标轴所得弦的长度相等B．与两坐标轴都相切C．与两坐标轴相离D．上述情况都有可能解析：在圆的方程中令y＝0得x2＋Dx＋F＝0.∴圆被x轴截得的弦长为|x1－x2|＝D2－4F.同理得圆被y轴截得的弦长为E2－4F＝D2－4F.故选A.答案：A9．在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②解析：由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在底面射影是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.故选D.答案：D10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和正方形ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A ．120°B ．90°C ．75°D ．60°解析：根据异面直线所成角的定义知α＋β＝90°. 答案：B11．已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点．若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212 C ．2 2 D ．2 解析：圆心C(0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1. ∴四边形面积的最小值为2(12×1×d 2－1)＝2，∴k 2＝4，即k ＝±2.又k>0，∴k ＝2. 答案：D12．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12B.125π9C.125π6D.125π3 解析：取AC 的中点O.由O 到各顶点距离相等，知O 是球心． 设外接球的半径为R ，则2R ＝5，R ＝52.故外接球的体积V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π6.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．解析：由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A(－2,2)．因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23.由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.答案：2x ＋3y －2＝014．长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为________．解析：由三视图可知这个长方体的长、宽、高分别为3,4,4，所以长方体的体积为3×4×4＝48.答案：4815．侧棱长为a的正三棱锥P－ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．解析：侧棱长为a的正三棱锥P－ABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a，2该球的表面积为3πa2.答案：3πa216．若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：由题知O1(0,0)，O2(m,0)，且5<|m|<35，又O1A⊥AO2，＝4. 则有m2＝(5)2＋(25)2＝25，得m＝±5.故|AB|＝2×5×205答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．解：设l：3x＋4y＋m＝0.当y＝0时，x＝－m；3当x ＝0时，y ＝－m4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24. ∴m ＝±24.∴直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.18．(12分)已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：上部圆锥的体积V 圆锥＝13π×22×2＝8π3，中部圆柱的体积V 圆柱＝π×22×10＝40π，下部圆柱的体积V ′圆柱＝π×42×1＝16π，故此组合体的体积V ＝8π3＋40π＋16π＝176π3.19．(12分)求过点A(－2，－4)且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心C(－D 2，－E2)．∴k CB ＝6＋E 28＋D 2.∵k CB ·k l ＝－1，∴6＋E 28＋D 2·(－13)＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，② 82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0，③所以解①②③可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.20．(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，△PAB 是正三角形，四边形ABCD 是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝2，PC ＝4.(1)若点E 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDE ；(2)若点F 在线段PA 上，且FA ＝λPA ，当三棱锥B －AFD 的体积为43时，求实数λ的值．解：(1)证明：如图(1)，连接AC ，设AC ∩BD ＝Q ，连接EQ.因为四边形ABCD 是矩形，所以点Q 是AC 的中点．又点E 是PC 的中点，则在△PAC 中，中位线EQ ∥PA ， 又平面BDE ，平面BDE ，所以PA ∥平面BDE.(2)依据题意可得：PA ＝AB ＝PB ＝2，取AB 中点O ，连接PO.所以PO ⊥AB ，且PO ＝ 3.又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，平面PAB ，则PO ⊥平面ABCD(如图(2))；作FM ∥PO 交AB 于点M ，则FM ⊥平面ABCD.因为四边形ABCD 是矩形，所以BC ⊥AB.同理，可证BC ⊥平面PAB ，平面PAB ，则△PBC 是直角三角形．所以BC ＝PC 2－PB 2＝2 3.则直角三角形ABD 的面积为S △ABD ＝12AB·AD ＝2 3.所以43＝V B －AFD ＝V F －ABD ＝13S △ABD ·FM ＝233FM`FM ＝233.由FM ∥PO ，得FM PO ＝FA PA ＝2333＝＝23.21．(12分)如图，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB<CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ＝a ，SD ＝2a.(1)求证：平面SAB ⊥平面SAD.(2)设SB 的中点为M ，当CD AB 为何值时，能使DM ⊥MC ？请给出证明．解：(1)证明：∵∠BAD ＝90°，∴AB ⊥AD.又∵SD ⊥平面ABCD ，平面ABCD ，∴SD ⊥AB.又∵SD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面SAD.又∵平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面SAD.(2)当CD AB ＝2时，能使DM ⊥MC.证明：连接BD，∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝a，∴BD＝2a，∠BDA＝45°，∴SD＝BD.又∵M为SB的中点，∴DM⊥SB.①设CD的中点为P，连接BP，∴DP∥AB，且DP＝AB.故四边形ABPD是平行四边形．∴BP∥AD.故BP⊥CD.因而BD＝BC.又∵∠BDC＝90°－∠BDA＝45°，∴∠CBD＝90°，即BC⊥BD.又∵BC⊥SD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面SBD.又∵平面SBD，∴DM⊥BC.②由①②知DM⊥平面SBC，又∵平面SBC，∴DM⊥MC.22．(12分)如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y ＝3x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C ，D 两点．(1)求圆M 与圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．解：(1)∵点M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，则圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连接MA ，NC ，OM ，则MA ⊥x 轴，NC ⊥x 轴，由题意知：M ，N 点都在∠COD 的平分线上，∴O ，M ，N 三点共线．由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ON ＝MA NC ，即23＋r ＝1r ＝3，则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N到该直线的距离d＝3，2则弦长为2r2－d2＝33.。
2019年人教版高中数学必修二综合测试题(含答案)
第 1 页 共 9 页必修2综合测试题一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．21 B ．23 C ．22 D ．223 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是( )． A ．2x ―y ―1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋21y －1＝0 4．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程是( )． A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y ＋1＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝05．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )．A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台（4（3（1（2第 2 页 共 9 页6．直线3x ＋4y －5＝0与圆2x 2＋2y 2―4x ―2y ＋1＝0的位置关系( )． A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心7．过点P (a ，5)作圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝4的切线，切线长为32，则a 等于( )． A ．－1B ．－2C ．－3D ．08．圆A : x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0与圆B : x 2＋y 2―2x ―6y ＋1＝0的位置关系是( )． A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含9．已知点A (2，3，5)，B (－2，1，3)，则|AB |＝( )． A ．6B ．26C ．2D ．2210．如果一个正四面体的体积为9 dm 3，则其表面积S 的值为( )． A ．183dm 2B ．18 dm 2C ．123dm 2D ．12 dm 211．正六棱锥底面边长为a ，体积为23a 3，则侧棱与底面所成的角为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°12．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的23，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为(5＋2)( )． A ．2B ．32 ＋4 C ．32 ＋5 D ．37二、填空题13．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是______．14．若圆B : x 2＋y 2＋b ＝0与圆C : x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，则b 的取值范围是________________．15．已知△P 1P 2P 3的三顶点坐标分别为P 1(1，2)，P 2(4，3)和P 3(3，－1)，则这个三第 3 页 共 9 页角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________．16．已知三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为___________．三、解答题 17．求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．18.已知三角形三顶点A(4,0), B(8,10), C(0,6),求：(1)AC 边上的高所在的直线方程；(2)过A 点且平行与BC 的直线方程；19.如图，1111ABCD A B C D 是正四棱柱。
2019年人教版A数学必修二模块综合测评
模块综合测评(建议用时：120分钟)(教师独具)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．关于空间直角坐标系O -xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法： ①OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32；②点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ③点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ④点P 关于xOy 平面对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确说法的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．1A [①显然正确；点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故②错；点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故③错；④显然正确．]2．直线的方程为x －3y ＋2 016＝0，则直线的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°A [设直线的倾斜角为α，则tan α＝33，又α∈[0°，180°)，∴α＝30°.选A.]3．直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )【导学号：07742343】A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定C [将直线ax －y ＋2a ＝0化为点斜式得y ＝a (x ＋2)，知该直线过定点(－2,0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所以直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9必相交．故选C.]4．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．2 2B ．223C ．423D ．433D [设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则43πR 3＝323π，∴R ＝2.又∵3a ＝2R ＝4，∴a ＝433.]图15．如图1所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D ．PC 1与平面AB 1D 1平行 D [连BC 1和DC 1(图略)， ∵BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1， ∴平面AB 1D 1∥平面C 1BD ， 而PC 1⊂平面C 1BD ， ∴PC 1∥平面AB 1D 1.选D.]6．直线2ax ＋y －2＝0与直线x －(a ＋1)y ＋2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65C [依题意得，2a ×1＋1×[－(a ＋1)]＝0，∴a ＝1， 代入方程可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，x －2y ＋2＝0，解得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65.选C.]7．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A.23B.76C.45D.56D [如图，去掉的一个棱锥的体积是13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12×12×12＝148，剩余几何体的体积是1－8×148＝56.]8．一个动点在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12D ．(2x －3)2＋4y 2＝1D [设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1. 故选D.]9．已知定点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R )，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3B ．10C ．14D ．215B [将(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ变形，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，所以l 经过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0的交点．设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，得交点Q (1,1)，所以直线l 恒过定点Q (1，1)，于是点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝10，即点P 到直线l 的距离的最大值为10.]10．球O 的一个截面圆的圆心为M ，圆M 的半径为3，OM 的长度为球O 的半径的一半，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．323π C ．12πD ．16πD [设截面圆的直径为AB ，∵截面圆的半径为3，∴BM ＝3，∵OM 的长度为球O 的半径的一半，∴OB ＝2OM ，设球的半径为R ，在直角三角形OMB 中，R 2＝(3)2＋14R 2. 解得R 2＝4，∴该球的表面积为16π，故选D.]11．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、B 1C 的中点，则EF 与平面ABCD 所成的角的正切值为( )图2A ．2B ． 2C ．12 D ．22D [取BC 中点O ，连接OE ， ∵F 是B 1C 的中点，∴OF ∥B 1B ，∴FO ⊥平面ABCD ， ∴∠FEO 是EF 与平面ABCD 所成的角， 设正方体的棱长为2，则FO ＝1，EO ＝2， ∴EF 与平面ABCD 所成的角的正切值为22. 故选D.]12．过直线y ＝2x 上一点P 作圆M: (x －3)2＋(y －2)2＝45的两条切线l 1，l 2，A ，B 为切点，当直线l 1，l 2关于直线y ＝2x 对称时，则∠APB 等于( )【导学号：07742345】A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°C [连接PM 、AM ，可得当切线l 1，l 2关于直线l 对称时， 直线l ⊥PM ，且射线PM 恰好是∠APB 的平分线，∵圆M 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝45，∴点M 坐标为(3, 2), 半径r ＝255， 点M 到直线l ：2x －y ＝0的距离为PM ＝|2×3－2|22＋(－1)2＝455，由P A 切圆M 于A ，得Rt △P AM 中，sin ∠APM ＝AM PM ＝12， 得∠APM ＝30°， ∴∠APB ＝2∠APM ＝60°. 故选C.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．△ABC 中，已知A (2, 1)，B (－2,3)，C (0,1)，则BC 边上的中线所在的直线的一般式方程为________. 【导学号：07742346】x ＋3y －5＝0 [线段BC 的中点D (－1,2)． 可得BC 边上的中线所在的直线的方程： y －1＝2－1－1－2(x －2)，一般式方程为x ＋3y －5＝0. 故答案为：x ＋3y －5＝0.]14．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为________．3π [如图，把四面体ABCD 补成正方体，则正方体的棱长为1，正方体的体对角线长等于外接球的直径，球的直径2R ＝3，球的表面积S ＝4πR 2＝3π.]15．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________.【导学号：07742347】(π－2)∶4π [设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x .横放时水桶底面在水内的面积为⎝⎛⎭⎫14πR 2－12R 2，水的体积为V 水＝⎝⎛⎭⎫14πR 2－12R 2h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x ∶h ＝(π－2)∶4π.]16．若曲线C 1：y ＝1＋－x 2＋2x 与曲线C 2：(y －1)·(y －kx －2k )＝0有四个不同的交点，则实数k 的取值范围为________．图3⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 [由y ＝1＋－x 2＋2x 得(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，曲线C 1表示以(1,1)为圆心以1为半径的上半圆，显然直线y ＝1与曲线C 1有两个交点，交点为半圆的两个端点． ∴直线y ＝kx ＋2k ＝k (x ＋2)与半圆有2个除端点外的交点， 当直线y ＝k (x ＋2)经过点(0,1)时，k ＝12， 当直线y ＝k (x ＋2)与半圆相切时，|3k －1|k 2＋1＝1，解得k ＝34或k ＝0(舍)， ∴当12＜k ＜34时，直线y ＝k (x ＋2)与半圆有2个除端点外的交点， 故答案为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知三角形ABC 的顶点坐标为A (－1，5)、B (－2，－1)、C (4,3)，M 是BC 边上的中点．(1)求AB 边所在的直线方程；(2)求中线AM的长. 【导学号：07742348】[解](1)由两点式得方程为y－5－1－5＝x＋1－2＋1，即6x－y＋11＝0.或直线AB的斜率为k＝－1－5－2－(－1)＝－6－1＝6，直线AB的方程为y－5＝6(x＋1)，即6x－y＋11＝0.(2)设M的坐标为(x0，y0), 则由中点坐标公式得x0＝－2＋42＝1，y0＝－1＋32＝1，故M(1,1)，AM＝(1＋1)2＋(1－5)2＝2 5.18．(本小题满分12分)如图6，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．图4(1)当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；(2)求证：平面BED⊥平面SAC. 【导学号：07742349】[证明](1)连接OE，当E为侧棱SC的中点时，OE为△SAC的中位线，所以SA∥OE，因为SA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以SA ∥平面BDE .(2)因为SB ＝SD ，O 是BD 中点， 所以BD ⊥SO ，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ， 因为AC ∩SO ＝O ，所以BD ⊥平面SAC . 又因为BD ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面SAC .19．(本小题满分12分)在△ABC 中，点B (4,4)，角A 的内角平分线所在直线的方程为y ＝0，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋2＝0.(1)求点C 的坐标； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由题意知BC 的斜率为－2，又点B (4,4)，∴直线BC 的方程为y －4＝－2(x －4)，即2x ＋y －12＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0，x －2y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0，∴点A 的坐标为(－2,0)．又∠A 的内角平分线所在直线的方程为y ＝0，∴点B (4,4)关于直线y ＝0的对称点B ′(4，－4)在直线AC 上，∴直线AC 的方程为y ＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y ＋4＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －12＝0，2x ＋3y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－8，∴点C的坐标为(10，－8)．(2)∵|BC|＝(10－4)2＋(－8－4)2＝65，又直线BC的方程是2x＋y－12＝0，∴点A到直线BC的距离是d＝|2×(－2)＋0－12|22＋12＝165，∴△ABC的面积是S＝12×|BC|×d＝12×65×165＝48.20．(本小题满分12分)如图7所示，在Rt△ABC中，已知A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，点C在x轴上．图5(1)求Rt△ABC外接圆的方程；(2)求过点(0,3)且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程. 【导学号：07742350】[解](1)由题意可知点C在x轴的正半轴上，可设其坐标为(a,0)(a＞0)，又AB⊥BC，则k AB·k BC＝－1，即－222·22a＝－1，解得a＝4.则所求圆的圆心为(1,0)，半径为3，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.(2)由题意知直线的斜率存在，故设所求直线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0.当圆与直线相切时，有d＝|k＋3|k2＋1＝3，解得k＝0或k＝34，故所求直线方程为y＝3或y＝34x＋3，即y－3＝0或3x－4y＋12＝0. 21．(本小题满分12分)如图8，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．图6(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．[解] (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ，∴平面AEC ⊥平面PDB .(2)设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE ∥PD ，OE ＝12PD ，又∵PD ⊥底面ABCD ，∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，在Rt △AOE 中，OE ＝12PD ＝22AB ＝AO ，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°.22．(本小题满分12分)已知圆M 过两点A (1, －1)，B (－1，1)，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值. 【导学号：07742351】[解] (1)设圆心M (a ，b )，则a ＋b －2＝0，①又A (1，－1)，B (－1,1)，∴k AB ＝1－(－1)－1－1＝－1，∴AB 的垂直平分线l 的斜率k ＝1, 又AB 的中点为O (0,0)，∴l 的方程为y ＝x ，而直线l 与直线x ＋y －2＝0的交点就是圆心M (a ，b )， 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，又r ＝|MA |＝2， ∴圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)如图：S PCMD ＝|MC |·|PC |＝2|PM |2－|MC |2＝2|PM |2－4，又点M (1,1)到3x ＋4y ＋8＝0的距离d ＝|MN |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以|PM|min＝d＝3，所以(S PCMD)min＝232－4＝2 5.。
2019-2020高中数学必修二综合测试卷及答案解析
1 2019-2020数学必修二综合检测试卷 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为 ( ) A ．3 B ．－2 C ．2 D ．不存在 2、下列命题正确的是( ) A ．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形 B ．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面 C ．两两平行的三条直线一定确定三个平面 D ．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线 3、已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．－45 D.45 4、下列四个说法(其中a ，b ，c 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同的平面)： ①若a ⊥b ，c ⊥b ，则a ∥c ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； ④若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 其中正确的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5、已知圆C 方程为(x －2)2＋(y －1)2＝9，直线l 的方程为3x －4y －12＝0，在圆C 上到直线l 的距离为1的点有几个 ( )A ．4B ．3C ．2D ．16、已知点A (1,2,2)、B (1，－3,1)，点C 在yOz 平面上，且点C 到点A 、B 的距离相等，则点C 的坐标可以为 ( ) A ．(0,1，－1) B ．(0，－1,6) C ．(0,1，－6) D ．(0,1,6)7、过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．238、圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( ) A ．3πa 2 B ．4πa 2 C ．5πa 2 D ．6πa 29、点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则PA 与BD 所成角的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 10、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ( )班级姓名考号密封线内不要答题。
人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第九章 统计 综合测试(附答案与解析)
第九章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某公司从代理的,,,A B C D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知,,,A B C D 四种产品的数量比是2:3:2:4，则该样本中D 类产品的数量为（ ） A .22件 B .33件 C .40件 D .55件2.已知总体容量为106，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号最方便的是（ ） A .1，2，…，106 B .0，1，2，…，105 C .00，01，…，105 D .000，001，…，1053.一个容量为200的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：则样本数据落在[20,60)内的频率为（ ） A .0.11 B .0.5 C .0.45 D .0.554.如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96,98)，[98,100)，100,[102)，102,[104)，104,[106]，则在区间[98,100)内的频数为（ ）A .10B .30C .20D .405.图甲和图乙分别表示某地区中小学生人数和近视情况.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取了2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）图甲图乙A .100，10B .100，20C .200，10D .200，206.某学校高一年级有1 802人，高二年级有1 600人，高三年级有1 499人，现采用分层随机抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（ ） A .33，33，30 B .36，32，30C .36，33，29D .35，32，31 7.若数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1235,35,,35n x x x +++的平均数和标准差分别为（ ）A . ,x sB .35,x s +C .35,3x s +D .3x +8.如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s 则（ ）ABA .,AB A B x x s s ＞＞B .,A B A B x x s s ＜＞C .A ,B A B x x s s ＞＜D .,A B A B x x s s ＜＜9.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg ），将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（ ）A .4:3:1B .5:3:1C .5:3:2D .3:2:110.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数为1234,,,x x x x ，且满足324123x x x x x x ==，后6组的频数123456,,,,,y y y y y y ，且后6组各频数之间差值相同，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则,a b 的值分别为（ ）A .0.27，78B .0.27，83C .2.7，78D .2.7，83二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ）A .成绩在[70,80)分的考生人数最多B .不及格的考生人数为1 000C .考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D .考生竞赛成绩的中位数为75分12.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） A .平均数3x ≤B .平均数3x ≤且标准差2s ≤C .平均数3x ≤且极差小于或等于2D .众数等于1且极差小于或等于4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命（单位：年）跟踪调查结果如下： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：3，3，4，7，9，10，11，12.两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲：________，乙：________.（本题第一空2分，第二空3分）14.1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土.经考证，这些头盖骨的主人死于1665~1666年的大瘟疫.人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度（单位：mm ），数据如下：146 141 139 140 145 141 142 131 142 140 144 140 138 139 147 139 141 137 141 132 140 140 141 143 134 146 134 142 133 149 140 140 143 143 149 136 141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137 142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153 158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138 148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139 149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148 138 145 145 142 143 143 148 141 145 141则95%分位数是________mm.15.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组，单位：人）：16.从一堆苹果中任取20个称其重量，它们的质量（单位：克）数据分布如下：则这堆苹果中，质量不少于120克的苹果数约占苹果总数的________%.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某市化工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工人的可能性是0.15.（1）求x的值；（2）现用分层随机抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？18.（本小题满分12分）从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.试利用频率分布直方图估算：（结果保留小数点后一位）（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生的平均成绩.19.（本小题满分12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查.某中学,A B两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分分别为5，8，9，9，9；B班5名学生得分分别为6，7，8，9，10（单位：分）.请你估计A，B两个班中哪个班的预防知识的问卷得分要稳定一些。
人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第六章 平面向量及其应用 综合测试(附答案与解析)
第六章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC △中，内角,A B C ,的对边分别为,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B 等于（ ）D.62.已知两个单位向量a 和b 的夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为（ ）A.12a B.aC.12-aD.-a3.已知点(2,1),(4,2)A B -，点P 在x 轴上，当PA PB 取最小值时，P 点的坐标是（ ） A.(2,0) B.(4,0)C.10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(3,0)4.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若有OA OC OB +=，圆O 的半径为2，则OB CB =（ ） A.1- B.2- C.1 D.25.已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则||()OA tOB t +∈R 的最小值为（ ）A. B.5 C.36.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，那么a 的取值范围为（ ） A.(8,10)B.C.D.7.已知圆的半径为4,,,a b c 为该圆的内接三角形的三边，若abc =，则三角形的面积为（ ）A.B.8.已知向量,a b 满足(2)(54)0+⋅-=a b a b ，且1==a b ，则a 与b 的夹角θ为（ ）A.34π B.4π C.3π D.23π 9.已知sin 1sin cos 2ααα=+，且向量(tan ,1)AB α=，(tan ,2)BC α=，则AC 等于（ ）A.(2,3)-B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)10.在ABC △中，E F ,分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任意一点，实数,x y 满足PA xPB yPC ++=0，设,,,ABC PBC PCA PAB △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，记(1,2,3)ii S i Sλ==，则23λλ⋅取到最大值时， 2x y +的值为（ ）A.1-B.1C.32-D.32二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,3B a c π=+，则ac=（ ） A.2 B.3C.12D.1312.点P 是ABC △所在平面内一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则ABC △的形状不可能是（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上） 13.已知,12e e 是平面内的单位向量，且12⋅=12e e .若向量b 满足1⋅=⋅=12b e b e ，则=b ________.14.已知向量,a b 满足5,1==a b ，且4-a b ⋅a b 的最小值为________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，2DC A A B D ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λ=________，μ=________.（本题第一空2分，第二空3分）16.如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60︒的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60︒的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速的大小为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，以向量,OA OB ==a b 为邻边作OADB ，11,33BM BC CN CD ==，用,a b 表现,,OM ON MN .18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3cos 5B =. （1）若4b =，求sin A 的值； （2）若4ABC S ∆=，求,b c 的值.19.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-， （1）求sin C 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为(4π+，试求AC BC 的取值范围.20.（本小题满分12分）某观测站在城A 南偏西20︒方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40︒，距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时,C D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ？21.（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F 、分别是CD AD 、的中点，BE CF 、交于点P ，连接AP .用向量法证明： （1）BE CF ⊥； （2）AP AB =.22.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )x x =a ，sin ,sin 6x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，函数()2f x =⋅a b ，()4g x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出相应的x 的值；（2）计算(1)(2)(3)(2014)g g g g ++++的值；（3）已知t ∈R ，讨论()g x 在[,2]t t +上零点的个数.第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a ∴=可化为sin sin A B =.又sin 22sin cos 2,sin sin 2B B B A B B B =∴==，cos B ∴. 2.【答案】A【解析】由已知可得111122⋅=⨯⨯=a b ，211()122-⋅=-⋅=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-⋅⋅=a b a a a a . 3.【答案】D【解析】点P 在x 轴上，∴设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x ∴=--=-，22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x ∴⋅=---=-+=--，∴当3x =时，PA PB ⋅取最小值.P ∴点的坐标是(3,0).4.【答案】D 【解析】OA OC OB +=，OA OC =，∴四边形OABC 是菱形，且120AOC ∠=︒，又圆O 的半径为2，22cos602OB CB ∴⋅=⨯⨯︒=. 5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t ∴+=+++=++=++≥，∴当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +取得最小值6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ∠∠∠，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ⎧+-=⎪⨯⨯⎪⎪+-=⎨⨯⨯⎪⎪+-=⎪⨯⨯⎩＞＞＞即()()222100,280,680,a a a a a ⎧-⎪⎪-⎨⎪+⎪⎩＞＞＞解得a ，故选B . 7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====，sin 8cC∴=，1sin 216ABC abc S ab C ∆∴===8.【答案】C 【解析】22(2)(54)5680+⋅-=+⋅=-a b a b a a b b ，又11,63,cos 2θ==∴⋅=∴=a b a b ，又[0,],3πθπθ∈∴=，故选C .9.【答案】D【解析】sin 1sin cos 2ααα=+，cos sin αα∴=，tan 1α∴=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC α∴=+==.故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P ∴到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S λλ++===.由此可得223231216λλλλ+⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF ∴+=.由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，两式相加，得20PA PB PC ++=.0PA xPB yPC ++=，∴根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=. 二、11.【答案】AC【解析】3B π=，a c +=，2222()23a c a c ac b ∴+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb π+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ac=或12a c =.故选AC .12.【答案】ACD 【解析】P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，|||()()|0CB PB PA PC PA ∴--+-=，即||||CB AC AB =+，||||AB AC AC AB ∴-=+，两边平方并化简得0MC AB ⋅=，AC AB ∴⊥，90A ︒∴∠=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、13.【解析】解析令1e 与2e 的夹角为θ.1cos cos 2θθ∴⋅=⋅==1212e e e e ，又0θ︒︒≤≤180，60θ∴=︒.()0⋅-=12b e e ，∴b 与,12e e 的夹角均为30︒，从而1||cos30︒=b . 14.【答案】52【解析】|4|-a b ，52⋅≥a b ，即⋅a b 的最小值为52. 15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=，,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB λμλμ=+∴-=-+，22,22,λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6,52.5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩16./h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE ∠=︒，150EAC ∠=︒.在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AE EAC C=∠， sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x︒∠∴===. 在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC =︒，14sin sin120x BC C AB ⋅∴===︒. 在ABE △中，由余弦定理得22216312cos30252533BE AB AE AB AE︒=+-=+-=，故BE ∴船速的大小为/h)3BE t==. 四、 17.【答案】解：BA OA OB =-=-a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA ∴=+=+=+=+a b . 又OD =+a b ，222333ON OC CN OD ∴=+==+a b ， 221511336626MN ON OM ∴=-=+--=-a b a b a b . 18.【答案】解：3cos 05B =＞，且0B π＜＜， 4sin 5B ∴=. 由正弦定理得sin sin a b A B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯∴===. （2）1sin 42ABC S ac B ∆==， 142425c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=. 由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin 2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C =-， sin 02C ＞，1cos sin 222C C ∴-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =. （2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sin cos 22C C ＞，24C π∴＞， 2C π∴＞，cos C ∴=. 易得2sin c R C =，22294sin (44c R C ∴==，由余弦定理得，222977(4221444c a b ab ab⎛⎫⎛⎫=+=+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，902ab ∴＜≤，cos 8AC BC ab C ⎡⎫∴=∈-⎪⎢⎪⎣⎭，即AC BC 的取值范围是8⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 20.【答案】解：如图所示，设ACD α∠=，CDB β∠=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD β+-+-===-⨯⨯，sin 7β∴=()411sin sin 60sin cos60sin 60cos 27αβββ︒︒︒⎛⎫∴=-=-=--= ⎪⎝⎭在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin AD α=︒， 21sin 15sin60AD α∴==︒（千米）. ∴这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F .（1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=-，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=--，(1)(2)2(1)0BE CF ∴⋅=-⨯-+⨯-=，BE CF ∴⊥，即BE CF ⊥.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =-，(2,)BP x y =-，由（1）知(2,1)CF =--，(1,2)BE =-，FP CF ∥，2(1)x y ∴-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-⎧∴⎨=-+⎩解得6,58,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即68,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ||||AP AB ∴=，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x π⎫=⋅=-+=+=⎪⎭a b1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 252333x πππ∴-≤≤，1sin 23x π⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭≤，∴当3232x ππ-=，即1112x π=时，()f x 1-，当2233x ππ-=，即2x π=时，()f x（2）由（1）得()sin 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. ()sin 423g x f x x πππ⎛⎫⎛⎫∴==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4T ∴=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g ∴+++=+++==+++.又(1)(2)(3)(4)gg g g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g ∴++++=⨯+=.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =.在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ∈Z 时，由图象可知，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与2y =-两图象无交点，即()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++∈Z ＜≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++∈Z ≤≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =2个交点，即()g x 有2个零点.。
人教版B版(2019)高中数学必修第二册：第五章 统计与概率 综合测试(附答案与解析)
第五章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法正确的是（）A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲一定会胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指明天降水的可能性是90%2.小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）图1图2A.1%B.2%C.3%D.5%3.如图是容量为100的某样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为（）A.11B.11.5C.12D.12.54.从一批羽毛球中任取一个，如果取到质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是（）A.0.62B.0.38C.0.70D.0.685.空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的标准，AQI指数与空气质量对应如表所示：下图是某城市2018年11月全月的AQI变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（）A.从整体上看，这个月的空气质量越来越差B.从整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C.从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差D.从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值6.AQI（Air Quality Index，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度.AQI 共分六级：一级优（0~50）；二级良（51~100）；三级轻度污染（101~150）；四级中度污染（151~200）；五级重度污染（201~300）；六级严重污染（大于300）.如图是某市2019年4月份随机抽取10天的AQI指数的茎叶图，利用该样本估计该市2020年4月份空气质量为优的天数为（）A .3B .4C .12D .217.黄冈市的天气预报显示，大别山区在今后的三天中，一天有强浓雾的概率为40%，现用随机模拟的方法计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生0~9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，表示没有强浓雾，用6，7，8，9表示有强浓雾，再以每个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如20组随机数：779 537 113 730 588 506 027 394 357 231 683 569 479 812 842 273 925 191 978 520则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（ ） A .14B .25C .310D .158.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A .310B .15C .110D .1209.洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从4个阴数中随机抽取2个数，则能使这2个数与居中阳数之和等于15的概率是（ ）A .12B .23C .14D .1310.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1210,,,x x x L ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A .22,100x s +B .22100,100x s ++C .2,x sD .2100,x s +二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.如图是某电视台主办的歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0～9中的一个），则下列结论中不正确的是（ ）A .甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等B .甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高C .甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低D .甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高12.如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A .2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B .2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C .2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D .2019年3月全国居民消费价格环比变化最快三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取50名职工的年龄作为样本，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取________人.14.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________.15.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈L .若||1a b −≤，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为________.16.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.由图中数据可知a = ________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示.（1）直接根据茎叶图判断哪个班学生的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.18.（12分）改革开放40年来，体育产业的蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及.如图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图.其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）.（1）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率；（2）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（只写结论，不要求证明）19.（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的情况，通过抽样，获得了100位L分成9组，制成了如图所示的频率居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1),[4,4.5]分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.20.（12分）一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每枝2元，云南空运来的百合花每枝进价1.6元，本地供应商处百合花每枝进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的日需求量（单位：枝）依次为251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（1）求今年四月前10天订单中百合花日需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（2）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（1）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250枝还是255枝百合花，才能使四月后20天百合花销售总利润更大？21.（12分）2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是新时代全民健身动起来.某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄（单位：岁）分成7段：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）试求这40人年龄的平均数和中位数的估计值；（2）①若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；②已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2 000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.,两道题目22.（12分）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A B中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001—900.（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）采用分层抽样的方法按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计总体，求900名考生选做题得分的平均数与方差。
2019-2020高中数学必修二综合考试试卷及答案解析
12019-2020数学必修二综合检测试卷（总分：150分 时间：120分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于 ( )A ．－2B ．2C ．－12D ．132、若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是 ( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝53、下列四个说法(其中a ，b ，c 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同的平面)：①若a ⊥b ，c ⊥b ，则a ∥c ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； ④若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 其中正确的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46、若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝1的外部，则有直线ax ＋by ＋1＝0与圆C 的位置关系是 ( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．相交或相切7、圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上的动点P 到直线y ＝－x 的最小距离为 ( )A ．22－1B ．2 2C ． 2D ．18、如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是 ( )9、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的体积为 ( )A ．3πB ．3π3C ．3πD ．3π211、光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有 ( )A ．a ＝13，b ＝6 B ．a ＝－13，b ＝－6 C ．a ＝3，b ＝－16 D ．a ＝－3，b ＝16班级 姓名 考号密封线内不要答题。
人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第八章 立体几何初步 综合测试(附答案与解析)
第八章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是（ ）A .三角形的直观图仍然是一个三角形B .90︒角的直观图为45︒角C .与y 轴平行的线段长度变为原来的一半D .原来平行的线段仍然平行2.已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m β⊥的是（ ）A .αβ∥，且m α⊂B .m n ∥，且n β⊥C .m n ⊥，且n β⊂D .m n ⊥，且n β∥3.圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？这个问题的答案为（注：1丈等于10尺）（ ）A .29尺B .24尺C .26尺D .30尺4.设,,αβγ为三个不同的平面，,m n 为两条不同的直线，则下列命题中为假命题的是（ ）A .当αβ⊥时，若βγ∥，则αγ⊥B .当m α⊥，n β⊥时，若αβ∥，则m n ∥C .当m α⊂，n β⊂时，若αβ∥，则,m n 是异面直线D .当m n ∥，n β⊥时，若m α⊂，则αβ⊥5.已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为4，底面边长为.若点M 是线段11A C 的中点，则直线BM 与底面ABC 所成角的正切值为（ ）A .53B .43C .34D .456.如图所示，表面积为 ）AB .13πC .23πD7.已知三棱锥P ABC -中，PA =3AB =，4AC =，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABC ，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为（ ）A .16B .28C .64D .968.如图，在边长为1的正方形ABCD 中，点,E F 分别为边,BC AD 的中点，将ABF △沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE △沿DE 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是（ ）A .无论翻折到什么位置，A C 、两点都不可能重合B .存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C .存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D .存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒9.等体积的球和正方体的表面积的大小关系是（ ）A .S S 正方体球＞B .S S 正方体球＜C .S S =正方体球D .无法确定10.1111ABCD A B C D 内有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC ，为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）A .B .CD 二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.下列命题为真命题的是（ ）A .若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B .若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C .垂直于同一条直线的两条直线相互平行D .若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直12.如图所示，在四个正方体中，l 是正方体的一条体对角线，点M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥平面MNP 的图形为（ ）A B C D 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________.（本题第一空2分，第二空3分）14.已知正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为60︒，则该四棱锥的高为________.15.如图所示，直线a ∥平面α，点A 在α另一侧，点,,B C D a ∈，线段,,AB AC AD 分别交α于点,,E F G .若44,5,BD CF AF ===,则EC =________.16.如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 是CD 的中点，沿AE 将DAE △向上折起，使D 到'D 的位置，且平面'AED ⊥平面ABCE ，则直线'AD 与平面ABC 所成角的正弦值为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 也相等，用a 将h 表示出来。
新人教版(2019A版)高中数学必修第二册综合测试卷(含答案解析)
新人教版(2019A 版)高中数学必修第二册综合测试卷(时间:120分钟 分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若复数z =2i3-i ,则z 的共轭复数z =( ) A.-15-35I B.-15+35I C.15+35I D.15-35i 答案:A2.某公司生产三种型号的轿车,其中型号Ⅰ的轿车的月产量为 1 200辆,型号Ⅱ的轿车的月产量为6 000辆,型号Ⅲ的轿车的月产量为2 000辆,现用分层抽样的方法抽取92辆车进行检验,则型号Ⅲ的轿车应抽取( )A.12辆B.36辆C.20辆D.60辆答案:C3.2010-2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示,根据折线图,下列结论正确的个数为 ( )①每年的营收额逐年增长;②营收额增长最快的一年为2013-2014年;③2010-2018年的营收额增长率约为40%;④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳.A.1B.2C.3D.4答案:C4.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为( )A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4答案:B5.盒子中有若干个大小和质地完全相同的红球和黄球,从中任意取出2个球,都是红球的概率为328,都是黄球的概率为514,则从盒子中任意取出2个球,恰好是同一颜色的概率为( )A.1328B.57C.1528D.37 答案:A6.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则后一球投进的概率为34;若他前一球投不进,则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第3球投进的概率为( ) A.34 B.58 C.116 D.916 答案:D7.已知数据x 1,x 2,x 3的中位数为k ,众数为m ,平均数为n ,方差为p ,下列说法中,错误的是( )A.数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB.数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC.数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD.数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为2p答案:D8.一个圆柱的轴截面是正方形,如果这个圆柱的侧面积与一个球的表面积相等,那么圆柱的体积与球的体积之比为( )A.1∶3B.3∶1C.2∶3D.3∶2答案:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.如图,已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心,下列结论中正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ -DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CB⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BC10.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合该标志的是( )甲地:中位数为2,极差为5;乙地:总体平均数为2,众数为2;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地答案:AD11.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以下四个选项正确的是( )A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1答案:AD12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=c cos A,A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=18,以下结论正确的是()A.AC=34B.AB=8C.CDBD =1 8D.△ABD的面积为3√74答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).14.从分别写有1,2,3,4,5的五张质地相同的卡片中,任取两张,这两.张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为2515.(本题第一空2分,第二空3分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照身高依次分成六组:[155,160),[160,165), [165,170),[170,175),[175,180),[180,185),并得到样本身高的频率分布直方图如图所示,则频率分布直方图中的x的值为0.06;若将身高区间[170,175),[175,180),[180,185)依次记为A,B,C三组,并用分层抽样的方法从这三组中抽取6人,则从A,B,C三组中依次抽取的人数为3,2,1.16.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形, PA⊥平面ABC,PA=2 AB.则下列命题中正确的有②④.(填序号)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD 与平面ABC所成的角为45°.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为A1B,AC的中点.(1)证明:EF∥平面A1C1D;(2)求三棱锥C-A1C1D的体积.(1)证明:如图,连接BD.因为四边形ABCD为正方形,所以BD交AC于点F,且F为BD的中点.因为E为A1B的中点,所以EF∥A1D.因为EF⊄平面A1C1D,A1D⊂平面A1C1D,所以EF∥平面A1C1D.(2)解:三棱锥C-A1C1D的体积V=V棱锥A1-CC1D =13S△CC1D·A1D1=13×12×2×2×2=43.18.(12分)从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出所有可能的结果组成的样本空间.(2)求取出的两件产品中,恰有一件次品的概率.解:(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其所有可能的结果有6个,即Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.(2)用A 表示事件“取出的两件产品中,恰好有一件次品”,则A ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},所以P (A )=46=23. 19.(12分)某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内读书者进行年龄调查, 随机抽取了一天中40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计在这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名,求这两名读书者年龄在区间[30,40)上的人数恰为1的概率.解:(1)由频率分布直方图知,年龄在区间[40,70)上的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75.所以40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数为40×0.75=30.(2)40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+ 65×0.25+75×0.1=54.设40名读书者年龄的中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在区间[20,30)上的读书者有2人,分别记为a,b,年龄在区间[30,40)上的读书者有4人,分别记为A,B,C,D.从上述6人中选出2人,有如下样本点:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B), (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15个,记选取的两名读书者中恰好有1人年龄在区间[30,40)上为事件A,则事件A包含8个样本点:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C), (b,D),故P(A)=8.1520.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知3c2=16S+3(b2-a2).(1)求tan B 的值;(2)若S =42,a =10,求b 的值.解:(1)因为3c 2=16S +3(b 2-a 2),所以3(c 2+a 2-b 2)=16S ,即3×2ac cos B =16×12ac sin B , 所以3cos B =4sin B ,即tan B =34. (2)由(1)可得sin B =35,cos B =45, 所以S =12ac sin B =12×10c ×35=3c =42, 所以c =14.由余弦定理可得,45=100+196-b 22×10×14,整理可得,b =6√2.21.(12分)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,|xa +b |=√3|a -xb |(x >0,x ∈R).(1)求a ·b 关于x 的解析式f (x );(2)求向量a 与b 夹角的最大值;(3)若a 与b 平行,且方向相同,试求x 的值. 解:(1)由题意得|xa +b |2=3|a -xb |2,即x 2a 2+2xa ·b +b 2=3a 2-6xa ·b +3x 2b 2. 因为|a |=|b |=1,所以8xa ·b =2x 2+2, 所以a ·b =x 2+14x (x >0),即f (x )=14(x +1x ) (x >0). (2)设向量a 与b 夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=f (x )=14[(√x -√x )2+2], 当√x =√x ,即x =1时,cos θ有最小值12.因为0≤θ≤π,所以θmax =π3. (3)因为a 与b 平行,且方向相同,|a |=|b |=1,所以a =b ,所以a ·b =14(x +1x )=1, 解得x =2±√3.22.(12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,AA 1⊥平面ABCD ,AC 与BD 交于点O ,∠BAD =60°,AB =2,AA 1=√6.(1)证明:平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1;(2)求二面角A -A 1C -B 的大小.(1)证明:由AA 1⊥平面ABCD ,得AA 1⊥BD ,AA 1⊥AC. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为AC ∩AA 1=A ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1.因为BD ⊂平面A 1BD ,所以平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)解:如图,过点O 作OE ⊥A 1C 于点E ,连接BE ,DE. 由(1)知BD ⊥平面ACC 1A 1,所以BD ⊥A 1C.因为OE ⊥A 1C ,OE ∩BD =O ,所以A 1C ⊥平面BDE ,所以A 1C ⊥BE. 因为OE ⊥A 1C ,BE ⊥A 1C ,所以∠OEB 为二面角A -A 1C -B 的平面角. 因为△ABD 为等边三角形且O 为BD 中点, 所以OB =12AB =1,OA =OC =√32AB =√3. 因为AA 1⊥AC ,所以A 1C =√AA 12+AC 2=3√2. 因为△A 1AC ∽△OEC ,所以OE AA 1=OC A 1C ,所以OE =OC ·AA 1A 1C =√3×√63√2=1. 在△OEB 中,OB ⊥OE ,所以tan ∠OEB =OBOE =1,即∠OEB =45°. 综上,二面角A -A 1C -B 的大小为45°.。
人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第十章 概率 综合测试(附答案与解析)
6 B. 1
13.一个袋子中有 5 个红球，4 个绿球，8 个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件 A = 摸出黑球 ，事件
B = 摸出绿球 ，事件 C = 摸出红球 ，则 P( A) = ________； P(B UC) = ________.（本题第一空 2 分，
第二空 3 分）
14.袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平” 两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整 数值的随机数，分别用 0，1，2，3 代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第十章综合测试
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1.从含有 10 件正品、2 件次品的 12 件产品中任意抽取 3 件，则必然事件是（ ） A.3 件都是正品 B.3 件都是次品 C.至少有 1 件次品 D.至少有 1 件正品 2.下列说法正确的是（ ） A.甲、乙两人比赛，甲胜的概率为 3 ，则比赛 5 场，甲胜 3 场
3 / 13
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
“第二次摸到白球”
C.袋中有 3 白、2 黑共 5 个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件 M “第一次摸到白球”，事件 N “第二次摸到黑球”
人教A版(2019)必修第二册学期综合测评- 2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册
学期综合测评时间：120分钟满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z＝2i1＋i(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为( )A．68 B．38 C．32 D．303．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为( ) A．(3，－2) B．(3,2)C．(－3，－2) D．(－3,2)4．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生在普通高校招生体检中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某专业对视力要求在0.9及以上，则该班学生中能报该专业的人数为( )A．10 B．20 C．8 D．165．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4π C．2π D.4π36．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为( )A.13B.23C.14D.297．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为S ，且a ＝1,4S ＝b 2＋c 2－1，则A ＝( )A.π6 B.π4 C.π2 D.2π38．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 与平面A 1BC 1所成角的正弦值为( ) A.12 B.32 C.33 D.63二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下： 91 89 90 92 94 87 93 96 91 85 89 93 88 98 93则下列关于这组数据的说法中正确的是( ) A ．第60百分位数为92.5 B ．第60百分位数为92 C ．第90百分位数为95 D ．第90百分位数为9610．下面四个命题中的真命题是( ) A ．若复数z 满足1z∈R ，则z ∈RB ．若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈RC ．若复数z ∈R ，则z －∈RD ．若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －211．为比较甲、乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据制成统计表如下：地区温度(℃)编号1234 5甲2629283131乙2830312932从表中能得到的结论有( )A．甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温B．甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温C．甲地该月14时气温的标准差小于乙地该月14时气温的标准差D．甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝12，则下列结论中错误的是( )A．AC⊥AFB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A－BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，c＝(3，x)，若a∥b，则|b＋c|＝________.14．已知三棱锥P－ABC，若PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝BC，则异面直线PB 与AC所成角的余弦值为________．15．甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为________．16．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上，若∠BDC ＝45°，则BD ＝________；cos ∠ABD ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ，b ，c 是同一平面的三个向量，其中a ＝(1，3)．(1)若|c |＝4，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎪⎫a －52b ，求a 与b 的夹角θ.18．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝π6，a ＝2，△ABC 的面积为3，F 为边AC 上一点．(1)求c ；(2)若CF ＝2BF ，求sin ∠BFC .19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ∥平面PAD ，∠ABC ＝90°，PA ＝PB ＝22AB ， 求证：(1)AD ∥平面PBC ； (2)平面PBC ⊥平面PAD .20．(本小题满分12分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚，现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人迟到，处罚时，得到如下数据：处罚金额x (单位：元) 50 100 150 200迟到的人数y504020若用表中数据所得频率代替概率．(1)当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？ (2)将选取的200人中会迟到的员工分为A ，B 两类：A 类员工在罚金不超过100元时就会改正行为：B 类是其他员工．现对A 类与B 类员工按比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类员工的概率是多少？21．(本小题满分12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)若从第3,4,5组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第5组志愿者有被抽中的概率．22．(本小题满分12分)如图在△AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是OA 上靠近O 的三等分点，AD 与BC 交于M 点，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示OM →；(2)过点M 的直线与边OA ，OB 分别交于E ，F .设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →，求1p ＋2q的值．学期综合测评时间：120分钟满分：150分一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z＝2i1＋i(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 A解析∵z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝2i1－i2＝1＋i，∴其对应的点(1,1)位于第一象限．故选A.2．某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为( )A．68 B．38 C．32 D．30答案 D解析由题意可得，比例分配的分层随机抽样在各层中的抽样比为1001000＝110.则应抽取高二年级学生的人数为300×110＝30.故选D.3．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为( ) A．(3，－2) B．(3,2)C．(－3，－2) D．(－3,2)解析 设c ＝(x ，y )，则由c ⊥a ，b ·c ＝1可得⎩⎨⎧2x －3y ＝0，x －2y ＝1.解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2.所以c ＝(－3，－2)，故选C.4．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生在普通高校招生体检中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某专业对视力要求在0.9及以上，则该班学生中能报该专业的人数为( )A ．10B ．20C ．8D ．16 答案 B解析 由频率分布直方图，可得视力在0.9及以上的频率为(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝0.4，人数为0.4×50＝20.故选B.5．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4π C．2π D.4π3答案 D解析 因为正四棱柱的各项点均在同一球面上，所以该正四棱柱的体对角线即为球的直径．由题意可得该正四棱柱的体对角线长为12＋12＋22＝2.所以球的半径为1.所以该球的体积为4π3.故选D. 6．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为( )A.13B.23C.14D.29解析甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所以可能出现的结果列表如下：甲乙锤剪子包袱锤(锤，锤)(锤，剪子)(锤，包袱)剪子(剪子，锤)(剪子，剪子)(剪子，包袱)包袱(包袱，锤)(包袱，剪子)(包袱，包袱)其中平局的有3种：(锤，锤)，(剪子，剪子)，(包袱，包袱)．设事件A为“甲和乙平局”，则P(A)＝39＝13.7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则A＝( )A.π6B.π4C.π2D.2π3答案 B解析由余弦定理，得b2＋c2－a2＝2bc cos A，又a＝1，所以b2＋c2－1＝2bc cos A，又S＝12bc sin A,4S＝b2＋c2－1，所以有4×12bc sin A＝2bc cos A，即sin A＝cos A，又0＜A＜π，所以A＝π4.故选B.8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为( )A.12B.32C.33D.63答案 C解析 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 与B 1C 1平行，则直线AD 与平面A 1BC 1所成角的正弦值即为B 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值．因为△A 1BC 1为等边三角形，则B 1在平面A 1BC 1上的投影即为△A 1BC 1的中心O ，则∠B 1C 1O 为B 1C 1与平面A 1BC 1所成角．可设正方体边长为1，显然BO ＝33×2＝63，因此B 1O ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫632＝33，则sin ∠B 1C 1O ＝B 1O B 1C 1＝33.二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下： 91 89 90 92 94 87 93 96 91 85 89 93 88 98 93则下列关于这组数据的说法中正确的是( ) A ．第60百分位数为92.5 B ．第60百分位数为92 C ．第90百分位数为95 D ．第90百分位数为96 答案 AD 解析将这组数据由小到大排列为85,87,88,89,89,90,91,91,92,93,93,93,94,96,98.因为15×60%＝9,15×90%＝13.5，所以这组数据的第60百分位数为92＋932＝92.5，第90百分位数为96.故选AD.10．下面四个命题中的真命题是( ) A ．若复数z 满足1z∈R ，则z ∈RB ．若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈RC ．若复数z ∈R ，则z －∈RD ．若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2 答案 AC解析 对于A ，不妨设z ＝a ＋b i(a ，b 不同时为0)，则1z＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2.若1z∈R ，则b ＝0且a ≠0.从而z ＝a ∈R ，所以A 是真命题；对于B ，也不妨设z ＝a ＋b i ，则z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.若z 2∈R ，则a ＝0或b ＝0.而当a ＝0，且b ≠0时，z ＝b i ∉R ，所以B 不是真命题；对于C ，也不妨设z ＝a ＋b i ，则z －＝a －b i.若z ∈R ，则b ＝0.从而z －∈R ，所以C 是真命题；对于D ，不妨设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，则z 1z 2＝(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝a 1a 2－b 1b 2＋(a 1b 2＋a 2b 1)i.若z 1z 2∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.满足该等式的不一定有a 1＝a 2且b 1＝－b 2，所以z 1＝z －2不一定成立，所以D 不是真命题．故选AC.11．为比较甲、乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据制成统计表如下：从表中能得到的结论有( )A ．甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温B ．甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温C ．甲地该月14时气温的标准差小于乙地该月14时气温的标准差D ．甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差 答案 AD解析 甲地该月5天14时的平均气温为15×(26＋28＋29＋31＋31)＝29，乙地该月5天14时的平均气温为15×(28＋29＋30＋31＋32)＝30，故可得甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月5天14时温度的方差为s 2甲＝15×[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6；乙地该月5天14时温度的方差为s2乙＝15×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2，故可得甲地该月14时气温的方差大于乙地该月14时气温的方差，所以甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差．12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝12，则下列结论中错误的是( )A．AC⊥AFB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A－BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等答案AD解析对于A，因为AC⊥BD，而BD∥B1D1，所以AC⊥B1D1，即AC⊥EF，若AC ⊥AF，则AC⊥平面AEF，即可得AC⊥AE，由图分析显然不成立，故A不正确；对于B，因为EF∥BD，EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，故B正确；对于C，V A－BEF＝13×S△BEF×12AC＝13×12×EF×BB1×12AC＝112×EF×BB1×AC，所以体积是定值，故C正确；对于D，设B1D1的中点是O，点A到直线EF的距离是AO，而点B到直线EF的距离是BB1，因为AO＞BB1，S△AEF＝12×EF×AO，S△BEF＝12×EF×BB1，所以△AEF的面积与△BEF的面积不相等，D不正确．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，c＝(3，x)，若a∥b，则|b＋c|＝________.答案5 2解析因为a∥b，所以x－2×2＝0，解得x＝4，则b＋c＝(2,1)＋(3,4)＝(5,5)，所以|b＋c|＝5 2.14．已知三棱锥P－ABC，若PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝BC，则异面直线PB与AC 所成角的余弦值为________．答案24解析 过B 作BD ∥AC ，且BD ＝AC ，连接AD ，PD ，则四边形ADBC 为菱形，如图所示，∴∠PBD (或其补角)即为异面直线PB 与AC 所成角． 设PA ＝AB ＝AC ＝BC ＝a ， ∴AD ＝a ，BD ＝a ， ∵PA ⊥平面ABC ，∴PB ＝PD ＝PA 2＋AD 2＝2a ，∴cos ∠PBD ＝PB 2＋BD 2－PD 22×PB ×BD ＝2a 2＋a 2－2a 22×2a ×a ＝24.∴异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为24. 15．甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为________．答案 0.492解析 设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A ，B ，C ，依题意，A ，B ，C 相互独立，故所求事件概率为P ＝[P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )]×0.2＋[P (AB C －)＋P (A －BC )＋P (A B －C )]×0.6＋P (ABC )＝(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8)×0.2＋(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8＋0.4×0.5×0.8)×0.6＋0.4×0.5×0.8＝0.492.16．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上，若∠BDC ＝45°，则BD ＝________；cos ∠ABD ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)答案1225 7210解析 在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB＝BD sin ∠BAC，而AB ＝4，∠ADB＝135°，AC ＝AB 2＋BC 2＝5，sin ∠BAC ＝BC AC ＝35，cos ∠BAC ＝AB AC ＝45，所以BD ＝1225.cos ∠ABD ＝cos(∠BDC －∠BAC )＝cos π4cos ∠BAC ＋sin π4sin ∠BAC ＝7210. 四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ，b ，c 是同一平面的三个向量，其中a ＝(1，3)．(1)若|c |＝4，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，求a 与b 的夹角θ.解 (1)因为c ∥a ，所以存在实数λ(λ∈R )， 使得c ＝λa ＝(λ，3λ)，又|c |＝4，即λ2＋3λ2＝4，解得λ＝±2. 所以c ＝(2,23)或c ＝(－2，－23)．(2)因为(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，所以(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ＝0，即a 2－32a ·b －52b 2＝0，所以4－32×2×1×cos θ－52＝0，所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.18．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝π6，a ＝2，△ABC 的面积为3，F 为边AC 上一点．(1)求c ；(2)若CF ＝2BF ，求sin ∠BFC .解 (1)因为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2b ×sin π6＝3，所以b ＝2 3. 由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋12－2×2×23×cos π6＝4，所以c ＝2.(2)由(1)得a ＝c ＝2，所以A ＝C ＝π6， ∠ABC ＝π－A －C ＝2π3. 在△BCF 中，由正弦定理，得CF sin ∠CBF＝BF sin ∠BCF，所以sin ∠CBF ＝sinπ6·CF BF.又因为CF ＝2BF ，所以sin ∠CBF ＝22， 又因为∠CBF ≤2π3，所以∠CBF ＝π4， 所以sin ∠BFC ＝sin(∠CBF ＋∠BCF )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝2＋64.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ∥平面PAD ，∠ABC ＝90°，PA ＝PB ＝22AB ， 求证：(1)AD ∥平面PBC ； (2)平面PBC ⊥平面PAD .证明(1)∵BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD.∵AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD∥平面PBC.(2)∵PA＝PB＝22AB，满足PA2＋PB2＝AB2，∴PA⊥PB.由∠ABC＝90°知BC⊥AB.又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PAB.又PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.又PB∩BC＝B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴PA⊥平面PBC.又PA⊂平面PAD，∴平面PBC⊥平面PAD.20．(本小题满分12分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚，现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人迟到，处罚时，得到如下数据：若用表中数据所得频率代替概率．(1)当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为：B类是其他员工．现对A类与B类员工按比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是多少？解(1)设“当罚金定为100元时，某员工迟到”为事件A，则P(A)＝40200＝15，不处罚时，某员工迟到的概率为80200＝25.∴当罚金定为100元时，比不制定处罚，员工迟到的概率会降低1 5 .(2)由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别从A类员工和B类员工各抽出两人，设从A类员工抽出的两人分别为A1，A2，从B类员工抽出的两人分别为B1，B2，设“从A类与B类员工按比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，则事件M中首先抽出A1的基本事件有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6种，同理，首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种，故事件M共有4×6＝24(种)基本事件，设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)，共4种基本事件，∴P(N)＝424＝16，∴抽取4人中前两位均为B类同工的概率是1 6 .21．(本小题满分12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)若从第3,4,5组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第5组志愿者有被抽中的概率．解 (1)第3组的人数为0.3×100＝30，第4组的人数为0.2×100＝20，第5组的人数为0.1×100＝10， 因为第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用按比例分配的分层随机抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组3060×6＝3；第4组2060×6＝2；第5组1060×6＝1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人． (2)设“第5组的志愿者有被抽中”为事件A .记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1，B 2，等5组的1名志愿者为C 1，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有15种等可能情况．其中第5组的志愿者被抽中的有5种情况， 所以P (A )＝515＝13.所以第5组的志愿者有被抽中的概率为13.22．(本小题满分12分)如图在△AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是OA 上靠近O 的三等分点，AD 与BC 交于M 点，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示OM →；(2)过点M 的直线与边OA ，OB 分别交于E ，F .设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →，求1p ＋2q的值．解 (1)设OM →＝x a ＋y b ，则AM →＝OM →－OA →＝(x －1)OA →＋yOB →＝(x －1)a ＋y b ， AD →＝OD →－OA →＝－a ＋12b ， ∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →，AD →共线，从而12(x －1)＝－y ，①又C ，M ，B 三点共线， ∴BM →，BC →共线，同理可得13(y －1)＝－x ，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝25，故OM →＝15a ＋25b .(2)∵EM →＝OM →－OE →＝15a ＋25b －p a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－p a ＋25b .EF →＝OF →－OE →＝q b －p a .∵EM →，EF →共线，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫15－p q ＝－25p ，整理，得1p ＋2q＝5.。
2019版高中数学人教B版必修2：模块综合检测 含解析
1 相交、平行或异面 B.相交或平行异面D.平行或异面解析：a 与c 可以相交、平行或异面,分别如图中的①,②,③.答案：A2已知直线l 1:(k-3)x+(4-2k )y+1=0与l 2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k 的值是( )或3 B.1或 C.3或 D.1或252523四棱台 D.三棱台解析：由三视图知该几何体为四棱锥,其中有一侧棱垂直于底面,底面为直角梯形.答案：B4在直线3x-4y-27=0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标为( )A .(5,-3)B .(9,0)C .(-3,5)D .(-5,3)解析：过P (2,1)向此直线引垂线,其垂足即为所求的点,过点P 作直线3x-4y-27=0的垂线方程为4x+3y+m=0.因为点P (2,1)在此垂线上,所以4×2+3×1+m=0.所以m=-11.由联立求解,得所求的点的坐标为(5,-3).{3x -4y -27=0,4x +3y -11=0,答案：A5A.216C.108 cm3D.138 cm3此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的,其体积为答案：B7若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是( B.3C.4D.62解析：圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,则圆心为(-1,2),半径为.因为圆关于直线ax+by+6=0对称,所以圆心在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即b=a-3,点(a,b)到圆心的距离为d=+1)2+(b-2)2=(a+1)2+(a-3-2)2=2a2-8a+26=2(a-2)2+18.所以当182(32)2-(2)2=16时,d有最小值=3,此时切线长最小,为=4,故选C.答案：C8球的半径等于D.4石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半由题意可知主视图三角形的内切圆的半径即为球的半径=2.-10答案：B9垂直于直线y=x+1且与圆x 2+y 2=4相切于第三象限的直线方程是( )A.x+y+2=0 B.x+y+2=02x+y-2=0D.x+y-2=02解析：由题意设所求直线方程为y=-x+k (k<0),又圆心(0,0)到直线y=-x+k 的距离为2,即=2,∴k=±2,又k<0,∴k=-2.|k |1+122故直线方程为y=-x-2,即x+y+2=0.2210D 1中,AB=3,BB 1=为3R 在棱BB 1上移动11则这个球的表面积是A.16πB.20πC.12πD.8π解析：这四点可看作一个正方体的四个顶点,且该正方体的八个顶点都在球面上,即球为正方体的外接球,所以2=2R ,R=,S=4πR 2=12π,故选C .33答案：C12已知A (-2,0),B (0,2),实数k 是常数,M ,N 是圆x 2+y 2+kx=0上两个不同点,P 是圆x 2+y 2+kx=0上的动点,如果点M ,N 关于直线x-y-1=0对称,则△PAB 面积的最大值是( B.4C.3+D.622解析：依题意得圆x 2+y 2+kx=0的圆心位于直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,(-k2,0)k2此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2,直线AB 的方程是=1,即x-y+2=2x-2+y21314解析：如图,因为|AB|=8,所以|OC|==2.当直线AB 的斜率存在时,设AB 所在直线方20-16程为y+3=k (x-2),即kx-y-2k-3=0,圆心O 到AB 的距离为=2,解得k=-.此时,AB所|-2k -3|k 2+(-1)2512在的直线方程为5x+12y+26=0.当直线AB 的斜率不存在时,可知AB 所在的直线方程为时,符合题意.故所求弦AB 所在直线的方程是5x+12y+26=0或x=2.答案：5x+12y+26=0或x=215设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S ,S ,体积分别为V ,V .若它们的侧面积相等,且S 1=16锥的最大体积为距离最大时体积最大,此时平面PD=2 cm .所以V=×4×2(cm 3).23×42=63答案： cm 3263三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1:4x+3y+1=0与l 2:4x+3y+6=0得的线段长|AB|=,求直线l 的方程.2由题意可知l 与l 1,l 2不垂直,则设直线l 的方程为y-2=k (x-1).由{y =kx +2-k ,4x +3y +1=0,解得A ;(3k -73k +4,-5k +83k +4)18是圆柱的轴截面AA 1=AB=2.求证:平面A 1AC ⊥平面BA 1C ;求的最大值.V A1-ABC 证明∵C 是底面圆周上异于A ,B 的一点,且AB 为底面圆的直径,∴BC ⊥AC.又AA 1⊥底面ABC ,∴BC ⊥AA 1,又AC ∩AA 1=A ,∴BC ⊥平面A 1AC.又BC ⊂平面BA 1C ,∴平面A 1AC ⊥平面BA 1C.解在Rt △ACB 中,设AC=x ,19在四棱锥P-ABCD 中,AP ⊥平面PCD 分别为线段AD ,PC 的中点BE ⊥平面PAC.证明(1)设AC ∩BE=O ,连接OF ,EC.因为E 为AD 的中点,AB=BC=AD ,AD ∥BC ,12所以AE ∥BC ,AE=AB=BC ,所以O 为AC 的中点.又在△PAC 中,F 为PC 的中点,所以AP ∥OF.又OF ⊂平面BEF ,AP ⊄平面BEF ,20(1)求圆{-D2-E+1=0,4-2E+F=0,10+3D+E+F=0,则有{D=-6,E=4,F=4.故圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0.(2)设符合条件的实数a存在,因为l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上,所以l的斜率k PC=-2.21(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为PA的中点.求证:PC∥平面EBD;求三棱锥C-PAD的体积V C-PAD;在侧棱PC上是否存在一点M,满足PC⊥平面MBD,若存在,求PM的长;若不存在,说明理由.证明设AC,BD相交于点F,连接EF,为菱形,∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA.∵AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.2在△PBC内,可求PB=PC=2,BC=2,在平面PBC内,作BM⊥PC,垂足为M,2设PM=x,则有8-x2=4-(2-x)2,22轴交于点设圆C 的方程是(x-t )2+=t 2+,(y -2t )24t 2令x=0,得y 1=0,y 2=;4t 令y=0,得x 1=0,x 2=2t ,∴S △OAB =OA ·OB=×|2t|=4,1212×|4t|即△OAB 的面积为定值.解∵OM=ON ,CM=CN ,∴OC 垂直平分线段MN.∵k MN =-2,∴k OC =.12圆C与直线y=-2x+4不相交,因此,t=-2不符合题意,舍去.故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.。
【高中数学单元测试】2019年高中数学(人教A版)必修二章末综合检测(一) 含答案及解析
2019年高中数学（人教A 版）必修二章末综合检测（一）(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．过棱柱不相邻的两条侧棱的截面是( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．梯形D ．平行四边形解析：选D ．棱柱的侧棱平行且相等，故截面为平行四边形． 2．正方体的表面积与其外接球的表面积的比为( ) A ．3∶π B ．2∶π C ．1∶2πD ．1∶3π解析：选B ．设正方体的棱长为a ，则球的直径为2R ＝3a ，所以R ＝32a ．正方体的表面积为6a 2．球的表面积为4πR 2＝4π·⎝⎛⎭⎫32a 2＝3πa 2，所以它们的表面积之比为6a 2∶3πa 2＝2∶π． 3．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1-ABCD 的体积与长方体AC 1的体积的比值为( )A ．12B ．16C ．13D ．15解析：选C ．设长方体过同一顶点的棱长分别为a ，b ，c ，则长方体的体积为V 1＝abc ，四棱锥A 1-ABCD 的体积为V 2＝13abc ，所以棱锥A 1-ABCD 的体积与长方体AC 1的体积的比值为13． 4．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( ) A ．2 3 B ．3 C ． 3D ．4解析：选A ．当正视图的面积达到最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为23．5．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为( )A ．1B ．12C ．13D ．16解析：选C ．由几何体的三视图可知，该几何体是底面边长为1的正方形、高为1的四棱锥，所以该几何体的体积为V ＝13×1×1×1＝13，故选C ．6．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为( )A ．13＋23πB ．13＋23πC ．13＋26πD ．1＋26π 解析：选C ．由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积V 1＝13×12×1＝13．设半球的半径为R ，则2R ＝2，即R ＝22，所以半球的体积V 2＝12×4π3R 3＝12×4π3×⎝⎛⎭⎫223＝26π．故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝13＋26π．故选C ． 7．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积( )A ．缩小到原来的一半B ．扩大到原来的两倍C ．不变D ．缩小到原来的16解析：选A ．设变化前的圆锥的高为h ，底面半径为r ，变化后的高为h ′，底面半径为r ′， 则V ′V ＝13πr ′2h ′13πr 2h ＝14r 2·2hr 2h ＝12． 8．正六棱台的两底边长分别为1 cm ，2 cm ，高是1 cm ，则它的侧面积为( ) A ．972 cm 2B ．97 cm 2C ．233 cm 2D ．3 2 cm 2解析：选A ．棱台的斜高为72cm ， 所以S 侧＝6×12×(1＋2)×72＝972(cm 2)．9．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 也相等，则ha等于( )A ．12B ．22C ．32D ．2解析：选C ．V 圆锥液＝πh 2·h3，V 圆柱液＝π·⎝⎛⎭⎫a 22·h ， 由已知得πh 33＝π·⎝⎛⎭⎫a 22h ，所以h a ＝32．故选C ．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π解析：选A ．原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V ＝4×2×2＋12π×22×4＝16＋8π． 11．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，AD ＝4，AA 1＝3，分别过BC ，A 1D 1的两个平行截面将长方体分成三部分，记V 1＝V AEA 1DFD 1，V 3＝V B 1E 1B C 1F 1C ，其余部分的体积为V 2，若V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，则截面A 1EFD 1的面积为( )A ．410B ．8 3C ．413D ．16解析：选C ．三部分都是棱柱，分别为三棱柱AA 1E DD 1F 、三棱柱B 1BE 1 C 1CF 1和四棱柱A 1EBE 1 D 1FCF 1，显然它们等高，设为h ，三棱柱的底面面积分别为S 1，S 3，四棱柱的底面面积为S 2，由V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，得(S 1h )∶(S 2h )∶(S 3h )＝1∶4∶1． 所以S 1∶S 2∶S 3＝1∶4∶1， 所以S 四边形A 1EBE 1＝4S △A 1AE ＝4S △BB 1E 1，设AE ＝a ，则BE ＝6－a ， 所以(6－a )×3＝4×12×a ×3，所以a ＝2．所以A 1E ＝22＋32＝13． 所以S 四边形A 1EFD 1＝13×4＝413．12．已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋43，则球O 的体积等于( ) A ．423πB ．823πC ．1623πD ．3223π解析：选B ．由题意可知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r ，且四棱锥的高h ＝r ，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为2r 的正三角形，底面为边长为2r 的正方形，所以该四棱锥的表面积为S ＝4×34(2r )2＋(2r )2＝23r 2＋2r 2＝(23＋2)r 2＝4＋43，因此r 2＝2，r ＝2，进而球O 的体积V ＝43πr 3＝43π×22＝82π3，故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测画法)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝1，则四边形ABCD 的面积是__________．解析：把图还原，四边形ABCD 为直角梯形，AB ＝A 1B 1＝2，CD ＝C 1D 1＝3，AD ＝2A 1D 1＝2．其面积为12×(2＋3)×2＝5．答案：514．如果用半径为R ＝23的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是__________． 解析：设圆锥筒的底面半径为r ，则2πr ＝πR ＝23π，则r ＝3，所以圆锥筒的高h ＝R 2－r 2＝（23）2－（3）2＝3． 答案：315．某简单组合体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图相同(尺寸如图，单位：cm)，则该组合体的体积是________cm 3(结果保留π)．解析：由题知该组合体的底部为正四棱柱，上部为圆锥，其中四棱柱的底面边长为1 cm ，高为1 cm ，圆锥的底面圆半径为1，高为1，故该组合体的体积为V ＝12×1＋13π×12×1＝⎝⎛⎭⎫1＋π3 cm 3． 答案：1＋π316．如图，球O 的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O 在圆台的两底面之间)，则圆台的体积为________．解析：作经过球心的截面(如图)，O 1A ＝3，O 2B ＝4， OA ＝OB ＝5．则OO 1＝4，OO 2＝3，O 1O 2＝7， V ＝π3(32＋32×42＋42)×7＝2593π． 答案：2593π三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶(无底)，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2 m ，高为7 m ，制造这个塔顶需要多少铁板？解：如图所示，连接AC 和BD 交于点O ，连接SO ．作SP ⊥AB ，连接OP ．在Rt △SOP 中，SO ＝7 m ，OP ＝12BC ＝1 m ，所以SP ＝2 2 m ，则△SAB 的面积是12×2×22＝22(m 2)．所以四棱锥的侧面积是4×22＝82(m 2)，即制造这个塔顶需要8 2 m 2铁板． 18．(本小题满分12分)如图，在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，求几何体EFC 1-DBC 的体积．解：如图，连接DF ，DC 1，则几何体EFC 1-DBC 被分割成三棱锥D -EFC 1及四棱锥D -CBFC 1，所以几何体EFC 1-DBC 的体积V ＝VD -EFC 1＋VD -CBFC 1＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66，故几何体EFC 1-DBC 的体积为66．19．(本小题满分12分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥P -EFGH ，下半部分是长方体ABCD -EFGH ．该标识墩的正视图和俯视图如图所示．(1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积； (3)求该安全标识墩的侧面积．解：(1)侧视图和正视图一样，如图所示．(2)该安全标识墩的体积V ＝V P -EFGH ＋V ABCD -EFGH＝13×402×60＋402×20＝64 000(cm 3)． (3)如图，连接EG ，HF 交于点O ，连接PO ，结合三视图可知OP ＝60 cm ， OG ＝12EG ＝20 2 cm ， 可得PG ＝602＋（202）2 ＝2011(cm)．于是四棱锥P -EFGH 的侧面积S 1＝ 4×12×40×（2011）2－202 ＝1 60010(cm 2)，长方体ABCD -EFGH 的侧面积S 2＝4×40×20 ＝3 200(cm 2)，故该安全标识墩的侧面积S ＝S 1＋S 2＝1 600(10＋2)(cm 2)．20．(本小题满分12分)在棱长为1的正方体内，有两球相外切，并且又分别与正方体内切． (1)求两球的半径之和；(2)球的半径是多少时，两球的体积之和最小？解：(1)如图所示，ABCD 为过球心的对角面，AC ＝3， 设两球半径分别为R 、r ， 则有R ＋r ＋3(R ＋r )＝3， 所以R ＋r ＝3－32．(2)设两球的体积之和为V ，则 V ＝43π(R 3＋r 3)＝43π(R ＋r )(R 2－Rr ＋r 2) ＝43π(R ＋r )[(R ＋r )2－3Rr ] ＝43π(R ＋r )·[(R ＋r )2－3R (R ＋r －R )] ＝43π·3－32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322－3R ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32－R ＝2（3－3）3π⎣⎢⎡⎦⎥⎤3R 2－3（3－3）2R ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322， 所以当R ＝3－34时，V 有最小值．21．(本小题满分12分)用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24 cm ，下底半径为16 cm ，母线长为48 cm ． (1)求矩形铁皮长边的最小值； (2)求该铁桶的容积． 解：(1)如图，设OA ＝x cm ，由相似三角形的知识可得x x ＋48＝1624，由此得x ＝96． 又2π×242π×（96＋48）＝16，所以∠AOA ′＝16×360°＝60°，于是△BOB ′为正三角形， 那么BB ′＝OB ＝144 cm ，即矩形铁皮长边的最小值为144 cm ．(2)由第一问中图可知O 1O 2＝482－（24－16）2 ＝835(cm)．那么该铁桶的容积V ＝13(242π＋162π＋242π×162π)×835＝9 728353π(cm 3)．22．(本小题满分12分)如图，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥的侧面转到A 点．求 (1)绳子的最短长度的平方f (x )；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离．解：将圆锥的侧面沿SA 展开在一个平面上，如图，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆锥底面圆的周长，所以L ＝2πr ＝2π，所以∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°． (1)由题意知绳子的最短长度为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)， 所以f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，在△SAM 中，S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ，所以SR ＝SA ·SM AM ＝4xx 2＋16(0≤x ≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4xx2＋16(0≤x≤4)．【高中数学单元测试】2019年高中数学（人教A版）必修二章末综合检测（一）含答案及解析。
2019-2020学年高中数学必修二综合测试卷及答案
2019-2020学年高中数学必修二综合测试卷(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若直线经过A(1,0),B(4,√3)两点,则直线AB的倾斜角为()B.45°C.60°D.120°AB的斜率为k AB=√33,所以直线AB的倾斜角为30°.,已知A(2,-3,1)关于xOy平面的对称点为B,则点B到点C(1,1,-2)的距离为()√3B.√14C.3√2D.√34B的坐标为(2,-3,-1),所以|BC|=√(2-1)2+(-3-1)2+(-1+2)2=3√2.ABCD在平面α内,PC⊥α,则PA与对角线BD的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直D.异面垂直PC⊥平面α,∴PC⊥BD.又在菱形ABCD中,AC⊥BD,PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC.又PA⊂平,∴BD⊥PA.显然PA与BD异面,故PA与BD异面垂直.x2+y2-4x+4y=0的圆心,且和直线2x-y+1=0垂直的直线方程为()A.2x-y-6=0B.x+2y+2=02=0 D.x-2y-6=0x+2y+c=0,因为圆的方程为x2+y2-4x+4y=0,所以圆心坐标为(2,-2).代入直线0,得c=2.故所求直线方程为x+2y+2=0.y轴上,半径长为5,且过点(-5,8)的圆的方程为()A.x2+(y-8)2=25B.x2+(y+8)2=25C.(x+5)2+(y-8)2=252+y2=25(0,b),则由题意得圆的方程为x2+(y-b)2=25.又点(-5,8)在圆上,所以(-5)2+(8-b)2=25,8.故圆的方程为x2+(y-8)2=25.,则该几何体的体积为()A.13+2π B.13π6C.7π3D.5π2,其中左边是半个圆锥,底面半径为1,高为1,所以其体积V1=3π×12×1×12=π6;右边是一个圆柱,底面半径为1,高为2,所以其体积V2=π×12×2=2π.故该几何体的体积为V=V1+V2=π6+2π=13π6.O1:x2+y2=4与圆O2:(x+3)2+(y-4)2=r2外切时,直线x+y+1=0截圆O2所得的弦长为()B.2√7C.2√5D.√7O1的圆心为O1(0,0),半径r1=2,圆O2的圆心为O2(-3,4),因为两圆外切,所以|O1O2|=2+r,即5=2+r,r=3.圆心(-3,4)到直线x+y+1=0的距离为d=√2=√2.2√r2-d2=2√9-2=2√7.,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上,且AB=AC=1.若球O的表面积为3π,则这个三棱柱的体积是()A.16 B.13C.12D.1,将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为长方体ABDC-A1B1D1C1.设球O的半径为R,由球O的表面积为3π,得4πR2=3π,∴R=√32,∴长方体的体对角线BC1=√3,∴CC1=√(√3)2-(√2)2=1.故直三棱柱的体积V=12×1×1×1=12.答案:C9.已知直线l1:x−√3y+2=0与l2:x−√3y−6=0被圆C截得的线段长均为2,则圆C的面积为()B.4πC.3πD.2πl1与l2的距离h=√1+(-√3)=4,∴圆心C到直线l1的距离为d=ℎ2=2.C截得的弦长为2,∴圆C的半径r=√d2+12=√5,∴圆C的面积S=πr2=5π.10.已知矩形ABCD,AB=1,BC=√2,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直解析:找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.对于选项A,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F,在图①中,由边AB,BC不相等可知点E,F不重合.在图②中,连接CE,若直线AC与直线BD垂直,又因为AC∩AE=A,所以BD⊥平面ACE,所以BD⊥CE,与点E,F不重合相矛盾,故A错误.对于选项B,若AB⊥CD,又因为AB⊥AD,AD∩CD=D,所以AB⊥平面ADC,即AB⊥AC.由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形,使得直线AB与直线CD垂直,故B正确.对于选项C,若AD ⊥BC ,又因为DC ⊥BC ,AD ∩DC=D , 所以BC ⊥平面ADC ,所以BC ⊥AC. 已知BC =√2,AB =1,BC >AB,所以不存在这样的直角三角形.故C 错误. D 错误,故选B .(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知直线m :y=k 1x+2与直线n :y=k 2x +√3+1的倾斜角分别为45°和60°,m 与n 的交点坐标为___________________.m :y=k 1x+2与直线n :y=k 2x +√3+1的倾斜角分别为45°和60°,所以k 1=1,k 2=√3,即直线m :y=x+2,直线n :y =√3x +√3+1.由{y =x +2,y =√3x +√3+1,解得{x =-1,y =1,故直线m 与n 的交点(-1,1).-1,1)y=x 上的任意点P 与圆x 2+y 2-10x-2y+24=0上的任意点Q 间距离的最小值为 .(x-5)2+(y-1)2=2, (5,1),半径为r =√2. 圆心到直线y=x 的距离d =√2=2√2,的最小值为d-r=2√2−√2=√2. √2,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心,E 为C 1C 的中点,则异面直线D 1A 与EO 所成角的余弦值为 .解析:如图,取BC 的中点G ,连接BC 1,EG ,OG.设正方体的棱长为2a ,则AD 1BC 12EG=2√2a,OG =a,∠OEG 为直线D 1A 与EO 所成的角.OG ⊥平面BCC 1B 1,则OG ⊥EG. 因为OE =√3a, 所以cos ∠OEG =EG OE =√2a√3a=√63.(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm 2,体积是 cm 3.解析:由三视图,可知该几何体由两个相同长方体组合而成,其中每个长方体的长、宽、高分别为4 所以其体积为2×(2×2×4)=32(cm3).由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方2×(2×2×2+4×2×4)-2×(2×2)=72(cm2).3215.已知直线l:x−√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=_______________.l的倾斜角为30°,坐标原点O到直线l|6|√1+(-√3)=3.设直线l与x轴交于点E,结合题意知E(-6,0),不妨令B(0,2√3),则|BE|=√62+(2√3)2=4√3.因为|AB|=2√12-32=2√3,所以A为EB的中点.由题意知AC∥BD,所以C为DE的中点,即|CE|=|CD|=|AE|cos30°=|AB|cos30°=√3√32=4.(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,边AB所在直线的方程为2x-y-2=0,点C(2,0).(1)求直线CD的方程;AB边上的高CE所在直线的方程.因为四边形ABCD为平行四边形,AB∥CD,所以k CD=k AB=2.故CD的方程为y=2(x-2),即2x-y-4=0.(2)因为CE⊥AB,所以k CE=−1k AB =−12.所以直线CE的方程为y=−12(x−2),即x+2y-2=0.17.(8分)求与已知圆x2+y2-7y+10=0相交,所得公共弦平行于已知直线2x-3y-1=0,且过点(-2,3),(1,4)的.23,已知圆的圆心坐标为(0,72),故两圆圆心所在直线的方程为y −72=−32x, 即3x+2y-7=0.设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由{(-2)2+32-2D +3E +F =0,12+42+D +4E +F =0,3(-D2)+2(-E2)-7=0,解得{D =2,E =-10,F =21.故所求圆的方程为x 2+y 2+2x-10y+21=0.18.(9分)将长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥得到如图甲所示的几何体,已知该几何体的正视图与俯视图如图乙.(1)画出该几何体的侧视图; .解:(1)该几何体的侧视图如图所示.(2)对于所截去的三棱锥B 1-CC 1D 1,其体积为V 三棱锥B 1-CC 1D 1=13B1C1·S △CC 1D 1=13×5×12×3×4=10, V 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1=5×4×3=60.故所求几何体的体积为V 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1−V 三棱锥B 1-CC 1D 1=60−10=50. 19.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AP ⊥平面PCD ,AD ∥BC ,AB=BC =12AD,E,F 分别为线段AD,PC 的中点.求证:(1)AP ∥平面BEF ;平面PAC.证明:(1)如图,设AC ∩BE=O ,连接OF ,EC.由于点E 为AD 的中点,AB=BC=12AD ,AD ∥BC , 所以AE ∥BC ,AE=AB=BC , 所以O 为AC 的中点.又在△PAC 中,F 为PC 的中点, 所以AP ∥OF.又OF ⊂平面BEF ,AP ⊄平面BEF , 所以AP ∥平面BEF.(2)由题意知,ED ∥BC ,ED=BC ,所以四边形BCDE 为平行四边形,所以BE ∥CD. 又AP ⊥平面PCD ,所以AP ⊥CD ,所以AP ⊥BE.因为四边形ABCE 为菱形,所以BE ⊥AC. 又AP ∩AC=A ,AP ,AC ⊂平面PAC , 所以BE ⊥平面PAC.20.(10分)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B. (1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,.由x 2+y 2-6x+5=0,得(x-3)2+y 2=4, C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB 的中点M (x ,y ),由弦的性质可知C 1M ⊥AB ,即C 1M ⊥OM. 故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C (32,0),半径r=12|OC 1|=12×3=32, 其方程为(x -32)2+y 2=(32)2,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内, 所以√(x -3)2+y 2<2. 又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>53. 易知x ≤3,所以53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0(53<x ≤3). (3)存在实数k 满足题意.由(2)知点M 的轨迹是以C (32,0)为圆心,32为半径的圆弧EF⏜(如图所示,不包括两个端点), 且E (53,2√53),F (53,-2√53).又直线L :y=k (x-4)过定点D (4,0), 当直线L 与圆C 相切时,|k (32-4)-0|√k +1=32,得k=±34.又k DE=-k DF=-0-(-2√53)4-53=-2√57.结合上图可知当k∈{-34,34}∪[-2√57,2√57]时,直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.。
人教版B版(2019)高中数学必修第二册：第六章 平面向量初步 综合测试(附答案与解析)
第六章综合测试
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）
1.已知平面向量 a = (−1, 2) ； b = (1,0) ，则向量 3a + b 等于（ ）
A. (−2,6)
C.若 a 和 b 都是单位向量，则 a = b 或 a = −b
D.零向量与任何向量都共线
uuur uuur uuur
uuur
4.在四边形 ABCD 中，设 AB = a, AD = b, BC = c ，则 DC 等于（ ）
D. (2, −6) uuur
D. DB
A. a − b + c
B. b − (a + c)
（1）求 3a + b − 3c 的值； （2）求满足 a = mb + nc 的实数 m,n 的值；
uuur （3）若线段 AB 的中点为 M ，线段 BC 的三等分点为 N （点 N 靠近点 B ），求 MN .
6 / 15
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 22.（12 分）如图，已知河水自西向东流，流速为 v0 = 1 m / s ，设某人在静水中游泳的速度为 v1 ，在水中的
C.外心
D.内心
uuur uuur
uuur
9.已知 O, A, B 是平面内的三个点，直线 AB 上有一点 C ，满足 AB + AC = 0 ，则 OC = （ ）
uur uuur A. 2OA − OB
uur uuur B. −OA + 2OB
C.
2
uur OA
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：各章测验及模块综合测验(共6套)
第六章 平面向量及其引用章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4解析：选C.因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.2．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A 等于( ) A ．135° B ．90° C ．45°D ．30°解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒2sin A ＝3sin B ，则sin A ＝23sin B ＝22.因为a <b ，所以A <B ，所以A ＝45°.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 3解析：选C.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，所以b ＝2.4．在△ABC 中，已知D 是边AB 上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.由已知得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，因此λ＝23，故选B.5．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( ) A ．(2，16)B ．(－2，－16)C ．(4，16)D ．(2，0)解析：选A.设D (x ，y )，由题意可知AD →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3，1)，BC →＝(1，－4)．所以2AB →－3BC →＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3，y －2＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则b sin Aa 的值为( )A ．1 B.12 C.22D.32解析：选D.由余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，得2ac ·sin B ＝3ac ，得sin B ＝32，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin A a ＝sin B ＝32，故选D.7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ，且a >c ，cos B ＝14，则ac＝( )A ．2 B.12 C ．3D.13解析：选A.因为sin 2B ＝2sin A sin C ，所以由正弦定理，得b 2＝2ac .又a >c ，cos B ＝14，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac ×14＝2ac ，即2×⎝⎛⎭⎫a c 2－5×a c ＋2＝0，解得a c ＝2或12(舍去)，故选A.8．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形D ．直角梯形解析：选C.由AB →＋CD →＝0，即AB →＝DC →，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0，即DB →·AC →＝0，可得DB →⊥AC →，所以四边形一定是菱形，故选C.9．在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，BC ＝26，则AB →·AC →＝( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1解析：选 C.AB →·AC →＝(AD →＋DB →)·(AD →＋DC →)＝(AD →＋DB →)·(AD →－DB →)＝AD →2－DB →2＝4－6＝－2.10．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC →|BC →|＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：选B.由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.11．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积等于( )A ．16B ．352C ．18D ．32解析：选A.设AB ＝CD ＝a ，AD ＝BC ＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋b ）＝18，65＋17＝2（a 2＋b 2），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4. 所以cos ∠BAD ＝52＋42－172×5×4＝35，所以sin ∠BAD ＝45，S ＝4×5×45＝16.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a cos C ＝4c sin A ，已知△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4，则a 的值为( )A.233B.253C.263D.283解析：选B.由3a cos C ＝4c sin A 得a sin A ＝4c 3cos C ，又由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得csin C ＝4c 3cos C ⇒tan C ＝34，由S ＝12bc sin A ＝10，b ＝4⇒c sin A ＝5，由tan C ＝34⇒sin C ＝35，又根据正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝535＝253.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )＝t a ＋2t b ，又向量a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，所以⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：1214．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．解析：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b3，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.答案：2π315．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.若sin B ＝2sinA ，则△ABC 的面积为________．解析：因为sin B ＝2sin A ，所以b ＝2a . 又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝4. 所以a ＝233，b ＝433.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝233.答案：23316．某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为________米．解析：示意图如图，设塔高x 米，则BC ＝x 米，BD ＝3x 米(x >0)． 因为CD ＝100米，∠BCD ＝80°＋40°＝120°，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ，所以3x 2＝x 2＋1002－2×100×x ×⎝⎛⎭⎫－12， 所以2x 2－100x －10 000＝0.所以x 2－50x －5 000＝0.所以x ＝100或x ＝－50(舍去)． 答案：100三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ； (2)c ⊥d .解：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d 时，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． 所以3λ＝5，且kλ＝3，所以k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. 所以15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， 所以k ＝－2914.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积为4，求b ，c 的值． 解：(1)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为a ＝2，b ＝4，所以sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)因为S △ABC ＝4＝12×2c ×45，所以c ＝5，所以b ＝4＋25－2×2×5×35＝17.19．(本小题满分12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB →＝2e 1＋e 2，BE →＝－e 1＋λe 2，EC →＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求BC →的坐标；(3)已知点D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE →＝AB →＋BE →＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.因为A ，E ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AE →＝kEC →，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2.因为e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，k －1－λ＝0，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC →＝BE →＋EC →＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)因为A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD →＝BC →.设A (x ，y )，则AD→＝(3－x ，5－y )．因为BC →＝(－7，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10，7)．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．解：(1)因为c ＝2，C ＝60°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得a sin A ＝bsin B ＝a ＋b sin A ＋sin B ＝c sin C ＝2sin 60°＝433， 所以a ＋b sin A ＋sin B＝433.(2)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即 4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab .因为a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)． 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.21．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )． 上式两边平方，整理得 17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517 ＝4. 所以b ＝2.22．(本小题满分12分)(2019·河南、河北重点中学第三次联考)如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD ＝CD ，∠BAE ＝∠CAE .(1)求线段AD 的长； (2)求△ADE 的面积．解：(1)因为c ＝4，b ＝2，2c cos C ＝b ， 所以cos C ＝b 2c ＝14.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4－164a ＝14，所以a ＝4，即BC ＝4.在△ACD 中，CD ＝2，AC ＝2，所以AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ＝6， 所以AD ＝ 6.(2)因为AE 是∠BAC 的平分线，所以S △ABE S △ACE＝12AB ·AE ·sin ∠BAE12AC ·AE ·sin ∠CAE ＝AB AC ＝2，又S △ABE S △ACE ＝BE EC，所以BEEC ＝2，所以CE ＝13BC ＝43，DE ＝2－43＝23.又因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.所以S △ADE ＝S △ACD －S △ACE ＝12×DC ×AC ×sin C －12EC ×AC ×sin C ＝12×DE ×AC ×sin C＝156.第七章 复数 章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i解析：选C.i 3－2i ＝－i －2ii2＝－i ＋2i ＝i.2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1·z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：选D.z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i ，对应的点(4，－2)在第四象限．3．已知复数z ＝(m 2－m －6)＋(m 2＋2m －8)i(i 为虚数单位)，若z <6，则实数m ＝( ) A ．2 B ．2或－4 C ．4D ．－2或4解析：选A.因为z <6，所以z ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6<6，m 2＋2m －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－3<m <4，m ＝－4或m ＝2.所以m ＝2，故选A.4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 上的点，且AC →＝3 CB →，则点C 对应的复数是( )A ．4iB ．2＋4i C.72i D ．1＋72i解析：选C.两个复数对应的点分别为A (6，5)，B (－2，3)，设点C 的坐标为(x ，y )(x ，y ∈R )，则由AC →＝3CB →，得AB →＝4CB →，即(－8，－2)＝4(－2－x ，3－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝72，故点C 对应的复数为72i ，故选C.5．设i 为虚数单位，若复数z 满足z －1＋i ＝i ，其中z －为复数z 的共轭复数，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C.22D ．2解析：选B.由题意得z －＝i(1＋i)＝－1＋i ，所以z ＝－1－i ，所以|z |＝（－1）2＋（－1）2＝2，故选B.6．设i 是虚数单位，z －是复数z 的共轭复数．若z ·z －i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，又z ·z －i ＋2＝2z ，所以(a 2＋b 2)i ＋2＝2a＋2b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.7．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝2a ＋1＋2i 的模为( )A. 2B. 3C. 6D.11解析：选C.2－i a ＋i ＝（2－i ）（a －i ）（a －i ）（a ＋i ）＝2a －1－（2＋a ）ia 2＋1.若2－ia ＋i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝0－（2＋a ）≠0， 解得a ＝12，则z ＝2a ＋1＋2i ＝2＋2i ，则复数z 的模为22＋（2）2＝ 6.8．i 是虚数单位，复数z ＝a ＋i(a ∈R )满足z 2＋z ＝1－3i ，则|z |＝( ) A.2或 5 B ．2或5 C. 5D ．5解析：选 C.依题意，得z 2＋z ＝(a ＋i)2＋a ＋i ＝a 2－1＋a ＋(2a ＋1)i ＝1－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＋a ＝1，2a ＋1＝－3，解得a ＝－2， 所以|z |＝|－2＋i|＝（－2）2＋12＝ 5.9．复数cos π3＋isin π3经过n 次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n 的值等于( )A ．3B ．12C ．6k －1(k ∈Z )D ．6k ＋1(k ∈Z )解析：选C.由题意，得⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3n＝cos n π3＋isin n π3＝cos π3－isin π3由复数相等的定义，得⎩⎨⎧cos n π3＝cos π3＝12，sin n π3＝－sin π3＝－32.解得n π3＝2k π－π3，(k ∈Z )，所以n ＝6k －1(k ∈Z )．故选C.10．已知复数z 1的实部为2，复数z 2的虚部为－1，且z 1z 2为纯虚数，z 1·z 2为实数，若z 1＋z 2对应的点不在第一象限，则z 1－z 2对应的点在( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选D.设z 1＝2＋b i ，z 2＝a －i ，a ，b ∈R ，则z 1z 2＝2＋b i a －i ＝2a －b ＋（2＋ab ）ia 2＋1为纯虚数，所以2a －b ＝0且2＋ab ≠0.因为z 1·z 2＝(2＋b i)(a －i)＝(2a ＋b )＋(ab －2)i 为实数，所以ab ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，ab ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.又z 1＋z 2＝(2＋a )＋(b －1)i 对应的点不在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2不符合，于是z 1－z 2＝(2－a )＋(b ＋1)i ＝3－i 对应的点在第四象限．11．已知z 1与z 2是共轭复数，有4个命题：①z 21<|z 2|2；②z 1z 2＝|z 1z 2|；③z 1＋z 2∈R ；④z 1z 2∈R .其中一定正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①②③解析：选B.z 1与z 2是共轭复数，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R ，b ≠0)．①z 21＝a 2－b2＋2ab i ，|z 2|2＝a 2＋b 2，虚数不能比较大小，因此不正确；②z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，正确； ③z 1＋z 2＝2a ∈R ，正确；④z 1z 2＝a ＋b i a －b i ＝（a ＋b i ）2（a －b i ）（a ＋b i ）＝a 2－b 2a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2i 不一定是实数，因此不一定正确，故选B.12．已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z ＝( ) A ．－2－2i B ．2＋2i C ．－2＋2iD ．2－2i解析：选D.因为x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，所以b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0，即b 2＋4b ＋4＋(a ＋b )i ＝0.根据复数相等的充要条件，得b 2＋4b ＋4＝0且a ＋b ＝0，解得a ＝2，b ＝－2.故复数z ＝2－2i ，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．复数2＋i1＋i的共轭复数是________．解析：2＋i 1＋i ＝（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ，其共轭复数为32＋12i.答案：32＋12i14．已知z 1＝32⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6，z 2＝2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3，则z 1z 2的代数形式为________．解析：z 1z 2＝32⎝⎛⎭⎫cos π6＋isin π6×2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3＝32×2⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫π6＋π3＋isin ⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝3⎝⎛⎭⎫cos π2＋isin π2＝3i.答案：3i15．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹为________． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， |x ＋1＋y i|＝（x ＋1）2＋y 2，|1＋i z |＝|1＋i(x ＋y i)|＝（y －1）2＋x 2， 则（x ＋1）2＋y 2＝（y －1）2＋x 2.所以复数z ＝x ＋y i 对应点(x ，y )的轨迹为到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线． 答案：到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线16．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．解析：|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3.如图所示，⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3.答案： 3三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是： (1)是实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或2， 即m ＝1或2时，z 为实数．(2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i（2＋i ）2，求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2.解：因为z 2＝15－5i （2＋i ）2＝15－5i 3＋4i ＝（15－5i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－75i25＝1－3i. (1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝（2－3i ）（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ）＝11＋3i 10＝1110＋310i. 19．(本小题满分12分)已知复数z 1＝－2＋i ，z 1z 2＝－5＋5i(其中i 为虚数单位)． (1)求复数z 2；(2)若复数z 3＝(3－z 2)[(m 2－2m －3)＋(m －1)i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．解：(1)因为z 1z 2＝－5＋5i ， 所以z 2＝－5＋5i z 1＝－5＋5i －2＋i ＝3－i.(2)z 3＝(3－z 2)[(m 2－2m －3)＋(m －1)i] ＝i[(m 2－2m －3)＋(m －1)i] ＝－(m －1)＋(m 2－2m －3)i ，因为z 3在复平面内所对应的点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（m －1）>0，m 2－2m －3<0，解得－1<m <1，故实数m 的取值范围是(－1，1)．20．(本小题满分12分)设z －为复数z 的共轭复数，满足|z －z －|＝2 3. (1)若z 为纯虚数，求z ； (2)若z －z －2为实数，求|z |.解：(1)设z ＝b i(b ∈R )，则z －＝－b i ， 因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ， 因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，z －z －2＝a ＋b i －(a －b i)2＝a －a 2＋b 2＋(b ＋2ab )i. 因为z －z －2为实数，所以b ＋2ab ＝0， 因为|b |＝3，所以a ＝－12，所以|z |＝⎝⎛⎭⎫－122＋（±3）2＝132. 21．(本小题满分12分)满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的辐角的主值是3π4的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，说明理由．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋5aa 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i ，因为z ＋5z ∈R ，所以b －5ba 2＋b 2＝0，因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5，又z ＋3＝a ＋3＋b i 的辐角的主值为3π4，所以a ＋3＝－b .把a ＋3＝－b 与a 2＋b 2＝5联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i ，此时z ＋3＝2－2i 或z ＋3＝1－i 的辐角的主值均为7π4.所以满足条件的虚数z 不存在．22．(本小题满分12分)复数z ＝⎝⎛⎭⎫12－32i 2是一元二次方程mx 2＋nx ＋1＝0(m ，n ∈R )的一个根．(1)求m 和n 的值；(2)若(m ＋n i)u －＋u ＝z (u ∈C )，求u . 解：(1)因为z ＝⎝⎛⎭⎫12－32i 2＝－12－32i ， 所以z －＝－12＋32i ，由题意，知z ，z －是一元二次方程mx 2＋nx ＋1＝0(m ，n ∈R )的两个根，所以⎩⎨⎧－n m ＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i ，1m ＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1.(2)设u ＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则(1＋i)(c －d i)＋(c ＋d i)＝－12－32i ，即2c ＋d ＋c i ＝－12－32i ，所以⎩⎨⎧2c ＋d ＝－12，c ＝－32，解得⎩⎨⎧c ＝－32，d ＝－12＋3，所以u ＝－32＋⎝⎛⎭⎫3－12i.第八章 立体几何初步 章末检测（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.空间中有三条线段AB ，BC ，CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是（ ）A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能 解析：选D.如图可知AB ，CD 有相交，平行，异面三种情况， 故选D.2.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这个平面图形的面积为（ ）A.14＋24 B.2＋22C.14＋22D.12＋ 2 解析：选 B.将直观图 ABCD 还原后为直角梯形 A ′BCD ′，其中 A ′B ＝2AB ＝2，BC ＝1＋22， A ′D ′＝AD ＝1.所以平面图形的面积 S ＝12×（1＋1＋22）×2＝2＋22.3.对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得（ ） A.a ⊂α，b ⊂α B.a ⊂α，b ∥α C.a ⊥α，b ⊥αD.a ⊂α，b ⊥α解析：选B.因为已知两条不相交的空间直线a 和b ，所以可以在直线a 上任取一点A ，则A ∉b ，过A 作直线c ∥b ，则过直线a ，c 必存在平面α且使得a ⊂α，b ∥α.4.正方体的表面积与其外接球的表面积的比为（ ） A.3∶π B.2∶π C.1∶2πD.1∶3π解析：选B.设正方体的棱长为a ，则球的直径为2R ＝3a ，所以R ＝32a .正方体的表面积为6a 2.球的表面积为4πR 2＝4π·⎝⎛⎭⎫32a 2＝3πa 2，所以它们的表面积之比为6a 2∶3πa 2＝2∶π.5.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1ABCD 的体积与长方体的体积的比值为（ ）A.12B.16C.13D.15解析：选C.设长方体过同一顶点的棱长分别为a ，b ，c ，则长方体的体积为V 1＝abc ，四棱锥A 1ABCD 的体积为V 2＝13abc ，所以棱锥A 1ABCD 的体积与长方体的体积的比值为13.6.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点Q 是棱DD 1上的动点，则过A ，Q ，B 1三点的截面图形是（ ）A.等边三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能解析：选D.当点Q 与点D 1重合时，截面图形为等边三角形AB 1D 1，如图（1）；当点Q 与点D 重合时，截面图形为矩形AB 1C 1D ，如图（2）；当点Q 不与点D ，D 1重合时，令Q ，R 分别为DD 1，C 1D 1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB 1，如图（3）.故选D.7.给出下列命题：①过平面外一直线有且仅有一个平面和这个平面平行；②如果一个平面经过另一个平面的斜线，那么这两个平面不可能垂直； ③若直角三角形ABC 在平面α内的射影仍是直角三角形，则平面ABC ∥平面α. 其中正确命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2D.3解析：选A.对于①，平面外的直线有两类，其一是与平面相交的直线，其二是与平面平行的直线，显然①不正确；对于②，容易判断②是错误的；对于③，平面ABC 与平面α也有可能相交，因此③不正确.故选A.8.如图，在三棱锥D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A.平面ABC ⊥平面ABDB.平面ABD ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED.平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：选C.因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC .同理，DE ⊥AC ，又DE ∩BE＝E ，于是AC ⊥平面BDE .又AC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ADC ，所以平面ABC ⊥平面BDE ，平面ADC ⊥平面BDE .故选C.9.若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（ ）A.l 1⊥l 4B.l 1∥l 4C.l 1与l 4既不垂直也不平行D.l 1与l 4的位置关系不确定解析：选D.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若l 4＝DC 1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.10.在等腰Rt △A ′BC 中，A ′B ＝BC ＝1，M 为A ′C 的中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C -BM -A 的大小为（ ）A.30°B.60°C.90°D.120°解析：选C.如图所示，由A ′B ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°，得A ′C ＝2.因为M 为A ′C 的中点，所以MC ＝AM ＝22.且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ，所以∠CMA 为二面角C -BM -A 的平面角.因为AC ＝1，MC ＝AM ＝22，所以∠CMA ＝90°.11.如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是（ ）A.PB ⊥ADB.平面P AB ⊥平面PBCC.直线BC ∥平面P AED.直线PD 与平面ABC 所成的角为45°解析：选D.选项A ，B ，C 显然错误.因为P A ⊥平面ABC ，所以∠PDA 是直线PD 与平面ABC 所成的角.因为ABCDEF 是正六边形，所以AD ＝2AB .因为tan ∠PDA ＝P A AD ＝2AB2AB ＝1，所以直线PD 与平面ABC 所成的角为45°.故选D.12.已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋43，则球O 的体积等于（ ）A.423πB.823πC.1623πD.3223π解析：选B.由题意可知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r ，且四棱锥的高h ＝r ，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为2r 的正三角形，底面为边长为2r 的正方形，所以该四棱锥的表面积为S ＝4×34（2r ）2＋（2r ）2＝23r 2＋2r 2＝（23＋2）r 2＝4＋43，因此r 2＝2，r ＝2，所以球O 的体积V ＝43πr 3＝43π×22＝82π3，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.如果用半径R ＝23的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是 Ｗ.解析：设圆锥筒的底面半径为r ，则2πr ＝πR ＝23π，则r ＝3，所以圆锥筒的高h ＝R 2－r 2＝（23）2－（3）2＝3. 答案：314.已知a ，b 表示不同的直线，α，β，γ表示不重合的平面. ①若α∩β＝a ，b ⊂α，a ⊥b ，则α⊥β；②若a ⊂α，a 垂直于β内任意一条直线，则α⊥β； ③若α⊥β，α∩β＝a ，α∩γ＝b ，则a ⊥b ； ④若a ⊥α，b ⊥β，a ∥b ，则α∥β. 上述命题中，正确命题的序号是 Ｗ.解析：对①可举反例，如图，需b ⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a ，b 不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确.答案：②④15.已知直二面角α-l -β，A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足.若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离为 Ｗ.解析：如图，作DE ⊥BC 于点E ，由α-l -β为直二面角，AC ⊥l ，得AC ⊥β，进而AC ⊥DE ，又BC ⊥DE ，BC ∩AC ＝C ，于是DE ⊥平面ABC ，故DE 为D 到平面ABC 的距离.在Rt △BCD 中，利用等面积法得DE ＝BD ·DC BC ＝1×23＝63. 答案：6316.如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱P A，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OM⊥P A；④直线PD与直线MN所成角的大小为90°.其中正确结论的序号是Ｗ.解析：连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确.同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确.由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝P A2＋PC2＝AC2，所以PC⊥P A，又PC∥OM，所以OM⊥P A，结论③正确.由于M，N分别为侧棱P A，PB 的中点，所以MN∥AB.又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD与直线MN 所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即为∠PDC.又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，故④错误.答案：①②③三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.（1）求证：BD⊥PC；（2）若平面PBC与平面P AD的交线为l，求证：BC∥l.证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又因为PB＝PD，O为BD的中点，所以BD⊥PO.因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面P AC，因为PC⊂平面P AC，所以BD⊥PC.（2）因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.因为BC⊄平面P AD，AD⊂平面P AD.所以BC∥平面P AD.又因为BC⊂平面PBC，平面PBC与平面P AD的交线为l.所以BC∥l.18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥平面P AC，∠APC＝90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N在PB上，且PB＝4PN.（1）求证：平面PCE⊥平面P AB；（2）求证：MN∥平面P AC.证明：（1）因为AB⊥平面P AC，所以AB⊥PC.又∠APC＝90°，所以AP⊥PC，又AB∩AP＝A，所以PC⊥平面P AB.又PC⊂平面PCE，所以平面PCE⊥平面P AB.（2）取AE的中点Q，连接QN，QM，在△AEC中，因为M是CE的中点，所以QM∥AC.又PB＝4PN，AB＝4AQ，所以QN∥AP，又QM∩QN＝Q，AC∩AP＝A，所以平面QMN∥平面P AC.又MN⊂平面QMN，所以MN∥平面P AC.19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点.（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C-A1DE的体积.解：（1）证明：连接AC交A1C于点F，连接DF，则F为AC1的中点.又D是AB中点，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.（2）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.因为AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面ABB1A1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2， 即DE ⊥A 1D .所以V 三棱锥C -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，N 是PB 的中点，E 为AD 的中点，过A ，D ，N 的平面交PC 于点M .求证：（1）EN ∥平面PDC ； （2）BC ⊥平面PEB ； （3）平面PBC ⊥平面ADMN .证明：（1）因为AD ∥BC ，BC ⊂平面PBC ， AD ⊄平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC .又平面ADMN ∩平面PBC ＝MN ， 所以AD ∥MN . 又因为AD ∥BC ， 所以MN ∥BC .又因为N 为PB 的中点， 所以M 为PC 的中点， 所以MN ＝12BC .因为E 为AD 的中点， DE ＝12AD ＝12BC ＝MN ，所以DE ═∥MN ， 所以四边形DENM 为平行四边形， 所以EN ∥DM .又因为EN ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， 所以EN ∥平面PDC .（2）因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠BAD ＝60°，E 为AD 的中点， 所以BE ⊥AD .又因为PE ⊥AD ，PE ∩BE ＝E ， 所以AD ⊥平面PEB . 因为AD ∥BC ， 所以BC ⊥平面PEB . （3）由（2）知AD ⊥PB .又因为P A ＝AB ，且N 为PB 的中点， 所以AN ⊥PB . 因为AD ∩AN ＝A ， 所以PB ⊥平面ADMN . 又因为PB ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面ADMN .21.（本小题满分12分）如图（1），在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将△ABE 沿BE 折起到图（2）中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .（1）求证：CD ⊥平面A 1OC ；（2）当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值. 解：（1）证明：在题图（1）中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝90°，所以BE ⊥AC ，BC ＝ED ，即在题图（2）中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC . 又BC ═∥ED ，所以四边形BCDE 是平行四边形， 所以CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .（2）由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高.由题图（1），可知A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1BCDE 的体积V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a 3＝362，得a ＝6.22.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA1＝ 2.（1）求证：B1C∥平面A1BM；（2）求证：AC1⊥平面A1BM；（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BNBB1的值；如果不存在，请说明理由.解：（1）证明：连接AB1交A1B于O，连接OM.如图所示.在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OM∥B1C.又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM.（2）证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM.因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.又AA1∩AC＝A，所以BM⊥平面ACC1A1，所以BM⊥AC1.因为M为棱AC的中点，AC＝2，所以AM＝1.又AA1＝2，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝2，所以∠AC1C＝∠A1MA，所以∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以A1M⊥AC1.因为BM∩A1M＝M，所以AC 1⊥平面A 1BM .（3）存在点N ，且当点N 为BB 1的中点， 即BN BB 1＝12时，平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C . 设AC 1的中点为D ，连接DM ，DN .如图所示. 因为D ，M 分别为AC 1，AC 的中点， 所以DM ∥CC 1，且DM ＝12CC 1.又N 为BB 1的中点，所以DM ∥BN ，且DM ＝BN ， 所以四边形DMBN 是平行四边形， 所以BM ∥DN .因为BM ⊥平面ACC 1A 1， 所以DN ⊥平面ACC 1A 1. 又DN ⊂平面AC 1N ，所以平面AC 1N ⊥平面ACC 1A 1.第九章 统计 章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n ＝( )A ．96B ．72C ．48D ．36解析：选B.由题意得39n －29n ＝8，所以n ＝72.故选B.2．从某一总体中抽取一个个体数为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15)，6；[15，20)，8；[20，25)，13；[25，30)，35；[30，35)，46；[35，40)，34；[40，45)，28；[45，50)，15；[50，55)，10；[55，60]，5.则样本在[35，60]上的频率是( )A ．0.69B ．0.46C ．1D ．不存在解析：选B.由题可知，样本在[35，60]上的频率应为(34＋28＋15＋10＋5)÷200＝0.46.3．2019年高考某题的得分情况如下：其中众数是(A．37.0% B．20.2%C．0分D．4分解析：选C.因为众数出现的频率最大．4．如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过21%的为()A．网易与搜狗的访问量所占比例之和B．腾讯和百度的访问量所占比例之和C．淘宝与论坛的访问量所占比例之和D．新浪与小说的访问量所占比例之和解析：选A.本题考查扇形统计图中部分占总体的百分比的大小．由访问网站的扇形比例图得，网易与搜狗的访问量所占比例之和为18%，不超过21%；腾讯和百度的访问量所占比例之和为23%，超过21%；淘宝与论坛的访问量所占比例之和为22%，超过21%；新浪与小说的访问量所占比例之和为22%，超过21%.故选A.5．(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如图所示，则这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为()A．15.5 B．15.6C．15.7 D．16解析：选B.由频率分布直方图可以计算出各组频率分别为0.1，0.2，0.25，0.25，0.15，0.05，频数分别为3，6，7.5，7.5，4.5，1.5，所以平均值为11×3＋13×6＋15×7.5＋17×7.5＋19×4.5＋21×1.530＝15.6.故选B.6．若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，则3x 1＋5，3x 2＋5，…，3x n ＋5的平均数和标准差分别为( )A.x －，s B ．3x －＋5，sC ．3x －＋5，3sD ．3x －＋5，9s 2＋30s ＋25解析：选C.因为x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －， 所以3x 1＋5，3x 2＋5，…，3x n ＋5的平均数为3x －＋5， s ′2＝1n [(3x 1＋5－3x －－5)2＋…＋(3x n ＋5－3x －－5)2]＝1n ×32[(x 1－x －)2＋…＋(x n －x －)2]＝9s 2. 所以s ′＝3s .7．某地区某村前三年的经济收入分别为100，200，300万元，其统计数据的中位数为x ，平均数为y ，经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这四年里收入的统计数据中，下列说法正确的是( )A ．中位数为x ，平均数为1.5yB ．中位数为1.25x ，平均数为yC ．中位数为1.25x ，平均数为1.5yD ．中位数为1.5x ，平均数为2y解析：选C.依题意，前三年经济收入的中位数x ＝200，平均数y ＝100＋200＋3003＝200，第四年收入为600万元，故这四年经济收入的中位数为200＋3002＝250＝1.25x ，平均数为100＋200＋300＋6004＝300＝1.5y .故选C.8．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是( )①甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值； ②甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值； ③乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平； ④甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④解析：选B.对于①，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，故①正确；对于②，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故②错误；对于③，甲的六维能力指标值的平均值为16×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝236，乙的六维能力指标值的平均值为16×(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4，236<4，故③正确；对于④，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故④错误．所以正确为①③，故选B.9．在一次20千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部介于13分钟到18分钟之间，将其比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]，其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15)之间的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为( )A ．39B ．35C ．15D ．11解析：选D.由频率分布直方图知，成绩在[13，15)内的频率为1－0.38－0.32－0.08＝0.22，所以成绩在[13，15)内的人数为50×0.22＝11，所以获奖的人数为11.故选D.10．小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()A．1% B．2%C．3% D．5%解析：选C.由图1所示，食品开支占总开支的30%.由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的3030＋40＋100＋80＋50＝110，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×110＝3%.故选C.11．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确的结论是()A．甲批次的总体平均数与标准值更接近B．乙批次的总体平均数与标准值更接近C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定解析：选A.计算可得甲批次样本的平均数为0.617，乙批次样本的平均数为0.613，由此估计两个批次的总体平均数分别为0.617，0.613，则甲批次的总体平均数与标准值更接近．故选A.12．对“小康县”的经济评价标准：①年人均收入不小于7 000元；②年人均食品支出不大于收入的35%.某县有40万人，调查数据如下：则该县( ) A ．是小康县B ．达到标准①，未达到标准②，不是小康县C ．达到标准②，未达到标准①，不是小康县D ．两个标准都未达到，不是小康县解析：选B.由图表可知：年人均收入为7 050＞7 000，达到了标准①；年人均食品支出为2 695，而年人均食品支出占收入的2 6957 050×100%≈38.2%＞35%，未达到标准②，所以不是小康县．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为________．解析：由题意知，1245＋15＝30120＋a ，解得a ＝30.答案：3014．数据148，149，154，154，155，155，157，157，158，159，161，161，162，163的第25百分位数为________，第75百分位数为________．解析：因为14×25%＝3.5，14×75%＝10.5，所以第25百分位数为第4个数据154，第75百分位数为第11个数据161.答案：154 16115．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x ，5，10，其中x ≠5，已知该组数据的中位数是众数的32倍，则该组数据的标准差为________．解析：由题意，可得该组数据的众数为2，所以2＋x 2＝32×2＝3，解得x ＝4，故该组数据的平均数为1＋2＋2＋4＋5＋106＝4.所以该组数据的方差为16×[(1－4)2＋(2－4)2＋(2－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9，即标准差为3.答案：316．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为________．解析：在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，设[70，80)的小长方形面积为x ，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x ＝1， 解得x ＝0.3， 即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：71三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)某校高三年级在5月份进行了一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：其中文科考生抽取了2名．(1)求z 的值；(2)若不低于550分的6名文科考生的语文成绩分别为111，120，125，128，132，134.计。
人教A版(2019)高中数学必修第二册第六章、第七章检测试题及参考答案
高中数学必修第2册第六章、第七章综合测试一、单选题（共8小题）1. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )A. a2＝b2＋c2＋2bc cos AB. a2＝b2＋c2＋bc cos AC. a2＝b2＋c2－2bc cos AD. a2＝b2＋c2－bc cos A2. 如果将直角三角形的三边分别增加同样的长度，那么新三角形的形状是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 由增加的长度确定3. 已知复数z＝－i，则复平面内对应的点Z的坐标为( )A. (0，－1)B. (－1,0)C. (0,0)D. (－1，－1)4. 设复数z1＝，z2＝6，则z1z2为( )A. 3iB. 3C. －3iD. 35. “复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点位于第三象限”是“a≥0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若(1＋i)＝1－i，则z＝( )A. 1－iB. 1＋iC. －iD. i7. 在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则等于()A. B. C. D.8. 已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于( )A. (－1，－2)B. (1，－2)C. (－1,2)D. (1,2)二、多选题（共4小题）9. 如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是( )A. ||＝||B. 与共线C. 与共线D. ＝10. 已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的值可能是( )A. －2a2B. －a2C. －a2D. －a211. 下列各式中结果为零向量的是( )A. ＋＋＋B. ＋＋C. ＋＋＋D. －＋－12. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有( )A. sin(B＋C)＝sin AB. cos(B＋C)＝cos AC. 若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形D. 若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形三、填空题（共4小题）13. 已知|a|＝|b|＝1，且a⊥b，若|a＋b＋m|≤1恒成立，则|m|的取值范围是________．14. 方程x2－2x＋5的复数根为________．15. 设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是________.16. 小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则S△OAB＝|x1y2－x2y1|.试用上述成果解决问题：已知A(1，1)，B(2，3)，C(4，5)，则S△ABC＝______.四、解答题（共6小题）17. 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.18. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．19. 在△ABC中，已知A＝15°，B＝45°，c＝3＋，解这个三角形．20. 如图所示，四边形ABCD是矩形，点A和B对应的复数分别为－1＋2i,1＋i，并且|BA|∶|DA|＝1∶，求点C和点D分别对应的复数．21. 设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R；(2)z 是纯虚数；(3)z是零．22. 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)＋＋；(2)＋＋＋.参考答案1. 【答案】C【解析】由余弦定理的结构特征易知选C.2. 【答案】A【解析】设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三条边均增加同样的长度m，三边长度变为a＋m，b＋m，c＋m，此时最长边为c＋m，设该边所对角为θ，则由余弦定理，得cosθ＝＝.因为m2>0，a＋b－c>0，所以cosθ>0，所以θ为锐角，其他各角必为锐角，故新三角形是锐角三角形．3. 【答案】A【解析】由z＝－i可知，复平面内对应的点Z的坐标为(0，－1)．4. 【答案】A【解析】z1z2＝×6＝3＝3i.5. 【答案】A【解析】易得z＝＝－a－3i，则z在复平面内对应的点位于第三象限⇔a>0.又a>0⇒a≥0，a≥0D⇒/a>0，所以“a>0”是“a≥0”的充分不必要条件，即“z在复平面内对应的点位于第三象限”是“a≥0”的充分不必要条件．6. 【答案】D【解析】由(1＋i)＝1－i，得＝＝＝－i，故z＝i.7. 【答案】A【解析】=-=8. 【答案】D【解析】为使物体平衡，则合力为零，即F4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．9. 【答案】ABD【解析】由向量相等及共线的概念，由∠EDB与∠HED不一定相等可知C选项不一定正确．10. 【答案】BCD【解析】建立如图所示的平面直角坐标系．设P(x，y)，因为A(0，a)，B(－a,0)，C(a,0)，则＝(－x，a－y)，＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y)．所以·(＋)＝(－x，a－y)·[(－a－x，－y)＋(a－x，－y)]＝(－x，a－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y2－2ay＝2x2＋22－a2≥－a2，当且仅当x＝0，y＝a时取等．故选项B，C，D满足，故选BCD.11. 【答案】BD【解析】由向量加法的法则得A：＋＋＋＝＋＋＝，故结果不为零向量；B：＋＋＝＋＝0，结果为零向量；C：＋＋＋＝＋＝，结果不为零向量；D：－＋－＝＋－(＋)＝－＝0，结果为零向量．12. 【答案】AC【解析】依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B不正确；因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cos C＝＝0，而0<C<π，即有C＝，则△ABC为直角三角形，C正确；因为a2＋b2<c2，则cos C＝<0，而0<C<π，即有<C<π，则△ABC为钝角三角形，D不正确．13. 【答案】[－1，＋1]【解析】建立平面直角坐标系(图略)，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，a＋b＝(1,1)，m＝(x，y)，a＋b＋m＝(x＋1，y＋1)．由题意可知(x＋1)2＋(y＋1)2≤1，|m|表示以点(－1，－1)为圆心，1为半径的圆面(包括边界)上的动点与原点连线段的长度，易知|m|的最大值为＋1，最小值为－1.14. 【答案】1±2i【解析】由求根公式得x＝＝＝1±2i.15. 【答案】[0，3]【解析】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，d min＝0，当点A与点C(2，0)重合时，d max＝3，所以0≤|z＋1|≤3.16. 【答案】1【解析】因为A(1,1)，B(2,3)，C(4,5)，所以＝(1,2)，＝(3,4)，又当＝(x1，y1)，＝(x2，y2)时，S△OAB＝|x1y2－x2y1|，所以S△ABC＝×|1×4－3×2|＝1.17. 【答案】证明方法一设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE.方法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0，2)，E(1,0)，F(2,1)，则＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0.所以⊥，即AF⊥DE.18. 【答案】解(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴cos A＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝，∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，∴∴b＝c＝，又∵a＝，∴△ABC为等边三角形．19. 【答案】解由三角形内角和定理，得C＝180°－(A＋B)＝180°－(15°＋45°)＝120°.由正弦定理，得a＝＝＝＝＝，b＝＝＝＝＝＝＋.20. 【答案】解要求出点C对应的复数，即求出向量对应的复数，结合图形并注意到＝＋，可以先求向量对应的复数．向量可以看成向量的长度扩大为原来的倍，并绕点B按顺时针方向旋转90°后得到，又向量对应的复数为(－1＋2i)－(1＋i)＝－2＋i，故向量对应的复数为(－2＋i)··[cos(－90°)＋isin(－90°)]＝＋2i.于是点C对应的复数为(＋2i)＋(1＋i)＝(＋1)＋(2＋1)i.同理可得点D对应的复数是(－1)＋(2＋2)i.21. 【答案】解(1)z∈R，只需a2－7a＋6＝0，所以a＝1或a＝6.(2)z是纯虚数，只需所以a＝－2.(3)因为z＝0，所以所以a＝1.22. 【答案】解(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.。
2019年人教版高中《数学必修2》精选试题及答案64
2019年人教版高中《数学必修2》精选试题及答案单选题（共5道）1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1ACC1所成的角为（）ABCD2、（2015秋•天水校级期末）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1-BD-C的大小为（）A30°B45°C60°D90°3、已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )A16B24或C14D204、不共面的三条定直线l1，l2，l3互相平行，点A在l1上，点B在l2上，C、D两点在l3上，若CD=a（定值），则三棱锥A-BCD的体积（）A由A点的变化而变化B由B点的变化而变化C有最大值，无最小值D为定值5、已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是[]A平面ABC必平行于αB平面ABC必与α相交C平面ABC必不垂直于αD存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内简答题（共5道）6、(本小题满分12分)如图，点为圆柱形木块底面的圆心，是底面圆的一条弦，优弧的长为底面圆的周长的.过和母线的平面将木块剖开，得到截面，已知四边形的周长为.（Ⅰ）设，求⊙的半径（用表示）；（Ⅱ）求这个圆柱形木块剩下部分(如图一)侧面积的最大值.（剩下部分几何体的侧面积=圆柱侧面余下部分的面积+四边形的面积）7、如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°2AC=AA1=BC=2。
（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；（Ⅱ）若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长。
8、如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，∠BAD=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=AB=AD，E，F分别为AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAB（Ⅱ）求证：EF⊥平面PBD（Ⅲ）若AB=2，求直线AD与平面PBD所成的角的正弦值．9、正方体ABCD-中,求直线与平面所成的角。
2019年人教版高中《数学必修2》精选试题及答案98
2019年人教版高中《数学必修2》精选试题及答案单选题（共5道）1、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中,异面直线AA’与BC所成的角是（）A300B450C600D9002、若一条直线与平面成45°角，则该平面内与此直线成30°角的直线的条数是（）A0B1C2D33、已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )A16B24或C14D204、△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕AC边所在直线旋转一周所得几何体的体积为V，表面积为S，则（）AV=12π，S=24πBV=36π，S=15πCV=15π，S=24πDV=12π，S=15π5、若α，β为不重合的两个平面，m，n为不重合的两条直线，则下列命题中正确的是（）A苦m∥n，n⊂α，则m∥αB若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥βC若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nD若α⊥β，m⊂α，则m⊥β简答题（共5道）6、(本小题满分12分)如图，点为圆柱形木块底面的圆心，是底面圆的一条弦，优弧的长为底面圆的周长的.过和母线的平面将木块剖开，得到截面，已知四边形的周长为.（Ⅰ）设，求⊙的半径（用表示）；（Ⅱ）求这个圆柱形木块剩下部分(如图一)侧面积的最大值.（剩下部分几何体的侧面积=圆柱侧面余下部分的面积+四边形的面积）7、在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，分别是的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．8、如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，平面ABC1⊥平面A1ACC1，又∠AA1C1=∠BAC1=60°，AC1与A1C相交于点O．（Ⅰ）求证：BO⊥平面A1ACC1；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必修2综合测试题一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( )． A ．21 B ．23 C ．22 D ．223 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是( )． A ．2x ―y ―1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋21y －1＝0 4．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程是( )． A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y ＋1＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝05．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )．A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台（4（3（1（26．直线3x＋4y－5＝0与圆2x2＋2y2―4x―2y＋1＝0的位置关系( )．A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心7．过点P(a，5)作圆(x＋2)2＋(y－1)2＝4的切线，切线长为32，则a等于( )．A．－1 B．－2 C．－3 D．08．圆A : x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0与圆B : x2＋y2―2x―6y＋1＝0的位置关系是( )．A．相交B．相离C．相切D．内含9．已知点A(2，3，5)，B(－2，1，3)，则|AB|＝( )．A．6B．26C．2D．2210．如果一个正四面体的体积为9 dm3，则其表面积S的值为( )．A．183dm2B．18 dm2C．123dm2D．12 dm211．正六棱锥底面边长为a，体积为23a3，则侧棱与底面所成的角为( ) A．30°B．45°C．60°D．75°12．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的23，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为(5＋2)，则旋转体的体积为( )．A．2B．32＋4C．32＋5D．37二、填空题13．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是______．14．若圆B : x2＋y2＋b＝0与圆C : x2＋y2－6x＋8y＋16＝0没有公共点，则b的取值范围是________________．15．已知△P1P2P3的三顶点坐标分别为P1(1，2)，P2(4，3)和P3(3，－1)，则这个三角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________．16．已知三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为___________．三、解答题 17．求斜率为43，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．18.已知三角形三顶点A(4,0), B(8,10), C(0,6),求：(1)AC 边上的高所在的直线方程；(2)过A 点且平行与BC 的直线方程；19.如图，1111ABCD A B C D 是正四棱柱。
(1)求证：BD ⊥平面11ACC A (2)若O 是11A C 的中点，求证：AO ∥平面1BDC20. 如图，在棱长为a 的正方体ABCD D C B A 1111中，（1）证明1B D ⊥面11A BC ；（2）求线AC 到面11A BC 的距离；（3）建立空间直角坐标系，试写出1,B B 两点的坐标.21．求半径为4，与圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．22．如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为26． (1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；(3)问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由．(21)B参考答案一、选择题 1．D2．A3．B4．B5．C6．D7．B8．C9．B10．A 11．B 12．D二、填空题13．y ＝3x －6或y ＝―3x ―6． 14．－4＜b ＜0或b ＜－64． 15．17，10． 16．－1． 三、解答题17．解：设所求直线的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－34b ，由已知，得21 34 － ⎪⎭⎫⎝⎛b b ·＝6，即32b 2＝6， 解得b ＝±3．故所求的直线方程是y ＝43x ±3，即3x －4y ±12＝0． 18．解：（1）直线AC 的斜率K=1-2它的高的斜率为23，因C 此直线还过A （4，0），则方程为2-0=(x-4)3y , 化简得2x-3y+14=0(2) 直线BC 的斜率K=12过A 点且平行与BC 的直线方程为1-0=(x-4)2y , 化简得x-2y-4=019．（1）∵1111ABCD A B C D -是正四棱柱 ∴1CC ⊥平面ABCD ∴BD ⊥1CC∴ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AC 又∵AC ，1CC 平面11ACC A ，且AC ∩1CC =C ，∴BD ⊥平面11ACC A （2）连结AO ，设AC 与BD 交于点E 则1OC 平行且等于AE∴四边形1AEC O 是平行四边形 ∴AO ∥1EC ∴AO ∥平面1BDC20. 解：（1）易证11A C ⊥面11DBB D ，∴11A C ⊥1B D ， 同理可证1A B ⊥1B D ，又11A C ⋂1A B =1A ，∴1B D ⊥面11A BC .（2）线AC 到面11A BC 的距离即为点A 到面11A BC 的距离，也就是点1B 到面11A BC 的距离，记为h ，在三棱锥111B BA C -中有111111B BA C B A B C V V --=，即1111111133A BC ABC S h S BB ∆∆⋅=⋅，∴3a h =.（3）1(,,0),(,,)C a a C a a a21．解：由题意，所求圆与直线y ＝0相切，且半径为4， 则圆心坐标为O 1(a ，4)，O 1(a ，－4)．又已知圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0的圆心为O 2(2，1)，半径为3， ①若两圆内切，则|O 1O 2|＝4－3＝1．即(a －2)2＋(4－1)2＝12，或(a －2)2＋(－4－1)2＝12． 显然两方程都无解．②若两圆外切，则|O 1O 2|＝4＋3＝7．即(a －2)2＋(4－1)2＝72，或(a －2)2＋(－4－1)2＝72． 解得a ＝2±210，或a ＝2±26． ∴所求圆的方程为(x ―2―210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16；或(x ―2―26)2＋(y ＋4)2＝16或(x ―2＋26)2＋(y ＋4)2＝16． 22．解：(1)取AD 中点M ，连接MO ，PM ， 依条件可知AD ⊥MO ，AD ⊥PO ，则∠PMO 为所求二面角P －AD －O 的平面角． ∵ PO ⊥面ABCD ，∴∠PAO 为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角． ∴tan ∠PAO ＝26． 设AB ＝a ，AO ＝22a ， 23a ， ∴ PO ＝AO ·tan ∠POA ＝tan ∠PMO ＝MOPO＝3． ∴∠PMO ＝60°．(2)连接AE ，OE ， ∵OE ∥PD ，∴∠OEA 为异面直线PD 与AE 所成的角．∵AO ⊥BD ，AO ⊥PO ，∴AO ⊥平面PBD ．又OE 平面PBD ，∴AO ⊥OE ． ∵OE ＝21PD ＝2122 ＋ DO PO ＝45a ， ∴tan ∠AEO ＝EOAO ＝5102．(3)延长MO 交BC 于N ，取PN 中点G ，连BG ，EG ，MG ．∵BC ⊥MN ，BC ⊥PN ， ∴BC ⊥平面PMN ．MDBA CO EP(第21题(1))MDBACO EP(第21题(2))M DBACOE PN GF(第21题(3))∴平面PMN⊥平面PBC．又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN ∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC．1MA＝EG，∴EF∥MG．取AM中点F，∵EG∥MF，∴MF＝2∴EF⊥平面PBC．点F为AD的四等分点．。