2021年中考数学必会专题系列10：直角三角形的存在性问题探究(有讲解答案)

专题十：直角三角形的存在性问题探究

引入：

x＋b交线段引例．如图，在平面直角坐标系中，点C(0，4)，射线CE∥x轴，直线y＝－1

2

OC于点B，交x轴于点A，D是射线CE上一点．若△ABD恰为等腰直角三角形，则b的值为．

方法梳理

是否存在一点，使之与另外两个定点构成直角三角形的问题：首先弄清题意，注意区分直角顶点；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程(组)，求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点．

解决方法如下

方法一：利用勾股定理进行边长的计算，从而来解决问题；

方法二：往往可以利用到一线等三角之K字（90°）类型和母子相似型类型，尝试建构相应的相似来进行处理；

方法三：可利用直径所对的圆周角为90°来处理．

导例解析：分三种情况讨论：①当∠ABD＝90°时，如图1，b＝4

；②当∠ADB＝90°时，如

3

；③当∠DAB＝90°时，如图3，b＝2

图2，b＝8

3

精讲精练

类型一：利用勾股定理来解决直角三角形的存在性问题

例1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.

(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；

(2)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

第2题图

【分析】（1）首先由题意，根据抛物线的对称称轴公式，待定系数法，建立关于a，b，c 的方程组，解方程组可得答案；

（2）首先利用勾股这事不师古求得BC，PB，PC的长，然后分别从点B为直角顶点，点C 为直角顶点，点P为直角顶点去分析求得答案．

类型二：构造相似来解决直角三角形存在性问题

x2＋bx＋8与x轴交于点A(－6，0)，点B(点A在点B左侧)，例2.如图①，抛物线y＝－1

3

与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE,EC.

(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(2)如图②，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使△AEG是以

AE为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式，令x=0时，求出y轴交点坐标；

（2）先求出点P的坐标，再分两种情况计算：当∠AEG=90°时，判断出△EMG∽△APE，得出比例式求解即可；当∠EAG=90°时，判断出△GNA∽△APE，得到比例式计算．

专题练习

1. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；

(3)点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．

x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，过点B作直线BC⊥x 2.如图，抛物线y＝1

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轴，交直线y＝－2x于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求该抛物线的顶点D的坐标，并判断顶点D是否在直线y＝－2x上；

(3)点P是抛物线上一动点，是否存在这样的点P(点A除外)，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

4．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2O B，tan∠ABC＝2，点B的坐标为(1，

0)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，

DE.

使PE＝1

2

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

5．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，4）．

（1）试写出b，c之间的关系式；

（2）当a＞0时，若一次函数y=x+4的图象与y轴及该抛物线的交点依次为D，E，F，且E，F的横坐标x1与x2之间满足关系x2=6x1．

①求△ODE与△OEF的面积比；

②是否存在a，使得∠EPF=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

6.已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴的交点为A，B两点（点A在点B的左边），与y轴的交点为C，OC＝3OA．

（1）请直接写出该抛物线解析式；

（2）如图，D为抛物线的顶点，连接BD，BC，P为对称轴右侧抛物线上一点．若∠ABD＝∠BCP，求点P的坐标

（3）在（2）的条件下，M，N是抛物线上的动点．若∠MPN＝90°，直线MN必过一定点，请求出该定点的坐标．

答案