2021年中考数学必会专题系列10：直角三角形的存在性问题探究(有讲解答案)

专题十：直角三角形的存在性问题探究引入：x＋b交线段引例．如图，在平面直角坐标系中，点C(0，4)，射线CE∥x轴，直线y＝－12OC于点B，交x轴于点A，D是射线CE上一点．若△ABD恰为等腰直角三角形，则b的值为．方法梳理是否存在一点，使之与另外两个定点构成直角三角形的问题：首先弄清题意，注意区分直角顶点；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程(组)，求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点．解决方法如下方法一：利用勾股定理进行边长的计算，从而来解决问题；方法二：往往可以利用到一线等三角之K字（90°）类型和母子相似型类型，尝试建构相应的相似来进行处理；方法三：可利用直径所对的圆周角为90°来处理．导例解析：分三种情况讨论：①当∠ABD＝90°时，如图1，b＝4；②当∠ADB＝90°时，如3；③当∠DAB＝90°时，如图3，b＝2图2，b＝83精讲精练类型一：利用勾股定理来解决直角三角形的存在性问题例1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．第2题图【分析】（1）首先由题意，根据抛物线的对称称轴公式，待定系数法，建立关于a，b，c 的方程组，解方程组可得答案；（2）首先利用勾股这事不师古求得BC，PB，PC的长，然后分别从点B为直角顶点，点C 为直角顶点，点P为直角顶点去分析求得答案．类型二：构造相似来解决直角三角形存在性问题x2＋bx＋8与x轴交于点A(－6，0)，点B(点A在点B左侧)，例2.如图①，抛物线y＝－13与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE,EC.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)如图②，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使△AEG是以AE为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式，令x=0时，求出y轴交点坐标；（2）先求出点P的坐标，再分两种情况计算：当∠AEG=90°时，判断出△EMG∽△APE，得出比例式求解即可；当∠EAG=90°时，判断出△GNA∽△APE，得到比例式计算．专题练习1. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，过点B作直线BC⊥x 2.如图，抛物线y＝13轴，交直线y＝－2x于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点D的坐标，并判断顶点D是否在直线y＝－2x上；(3)点P是抛物线上一动点，是否存在这样的点P(点A除外)，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2O B，tan∠ABC＝2，点B的坐标为(1，0)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，DE.使PE＝12①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，4）．（1）试写出b，c之间的关系式；（2）当a＞0时，若一次函数y=x+4的图象与y轴及该抛物线的交点依次为D，E，F，且E，F的横坐标x1与x2之间满足关系x2=6x1．①求△ODE与△OEF的面积比；②是否存在a，使得∠EPF=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．6.已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴的交点为A，B两点（点A在点B的左边），与y轴的交点为C，OC＝3OA．（1）请直接写出该抛物线解析式；（2）如图，D为抛物线的顶点，连接BD，BC，P为对称轴右侧抛物线上一点．若∠ABD＝∠BCP，求点P的坐标（3）在（2）的条件下，M，N是抛物线上的动点．若∠MPN＝90°，直线MN必过一定点，请求出该定点的坐标．答案例1. (1)由题意得{−b 2a =−1，a +b +c =0，c =3，解得{a =−1，b =−2，c =3. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为直线x ＝－1，抛物线经过A(1，0)，∴B(－3，0)．设直线BC 的解析式y ＝mx ＋n ，把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y ＝mx ＋n,得{−3m +n =0，n =3.解得{m =1，n =3.∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3．∴M(－1，2)； (2)设P(－1，t)，∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2； ②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4； ③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3+√172，t 2＝3−√172.综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3+√172)，P 4(－1，3−√172)．例2(1)∵点A(－6，0)在抛物线y ＝－13x 2＋bx ＋8上， ∴0＝－13×(－6)2＋(－6b)＋8，解得b ＝－23．∴抛物线的解析式为y ＝－13x 2－23x ＋8，令x ＝0，得y ＝8，∴C(0，8)；(2))存在．如图①，连接EG ，AG ，过点G 作GM ⊥l ，GN ⊥x 轴，垂足分别为M ，N ，图①∵EC ∥x 轴，∴EP ＝CO ＝8．把y ＝8代入y ＝－13x 2－23x ＋8，则8＝－13x 2－23x ＋8，解得x ＝0(舍去)或x ＝－2．∴P(－2，0) ．∴AP ＝AO －PO ＝4．(ⅰ)如图①，当∠AEG ＝90°时，∵∠MEG ＋∠AEP ＝90°，∠AEP ＋∠EAP ＝90°， ∴∠MEG ＝∠EAP ．又∵∠APE ＝∠EMG ＝90°，∴△EMG ∽△APE ．∴EM AP =MG EP ．设点G(m ，－13m 2－23m ＋8)(m ＞0)，则GN ＝MP ＝－13m 2－23m ＋8．∴EM ＝EP －MP ＝8－(－13m 2－23m ＋8)＝13m 2＋23m ， MG ＝PN ＝PO ＋ON ＝2＋m ． ∴13m 2+23m 4=2+m8＝，∴m ＝－2(舍去)或m ＝32．∴G(32，254)； (ⅱ)如图②，当∠EAG ＝90°时，图② ∵∠NAG ＋∠EAP ＝90°，∠AEP ＋∠EAP ＝90°，∴∠NAG ＝∠AEP ．∵∠APE ＝∠GNA ＝90°，∴△GNA ∽△APE ．∴GN AP =AN EP ．设点G(n ，－13 n 2－23n ＋8)(n ＞4)，∴GN ＝13n 2＋23n －8，AN ＝AO ＋ON ＝6＋n ． ∴2128334+-n n ＝68+n ．∴n ＝－6(舍去)或n ＝112．∴G(112，－234) ．综上，符合条件的G 点的坐标为(32，254)或(112，－234)． 专题练习答案1．(1)由题意得{32+3b +c =0，c =3.，解得{b =−4，c =3.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3； (2)如图①，过点P 作PG ∥CF 交CB 与点G ．图①由题可知，直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，OC ＝OB ＝3，∴∠OCB ＝45°.同理可知∠OFE ＝45°．∴△CEF 为等腰直角三角形．∵PG ∥CF ，∴△GPE 为等腰直角三角形．∵F(0，m)，C(0，3)，∴CF ＝3－m ．∵△CEF ∽△GEP ，∴EF ＝√22CF ＝√22 (3－m), PE ＝√22PG ． 设P(t ，t 2－4t ＋3)(1<t<3), 则G(t ，－t ＋3)PE ＝√22PG ＝√22 (－t ＋3－t －m)＝√22 (－m －2t ＋3) ．∵点P 是直线y ＝x ＋m 与抛物线的交点，∴t 2－4t ＋3＝t ＋m ．∴PE ＋EF ＝√22 (3－m)＋√22 (－m －2t ＋3)＝√22 (－2t －2m ＋6)＝－√2 (t ＋m －3)＝－√2 (t 2－4t)＝ －√2 (t －2)2＋4√2．∴当t ＝2时，PE ＋EF 最大，最大值为4√2；(3)由(1)知对称轴x ＝2，设点D(2，n)，如图②.图②当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：(ⅰ)D 在C 上方D 1位置时，由勾股定理得CD 12＋BC 2＝BD 12，即(2－0)2＋(n －3)2＋(3√2)2＝(3－2)2＋(0－n)2 ，解得n ＝5；(ⅱ)D 在C 下方D 2位置时，由勾股定理得BD 22＋BC 2＝CD 22即(2－3)2＋(n －0)2＋(3√2)2＝(2－0)2＋(n －3)2 ，解得n ＝－1，综上所述，当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 为(2，5)或(2，－1)．2.：(1)∵y ＝13x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点， ∴{13×32+3b +c =0，13×（−1）2−b +c =0.解得{b =−23c =−1.，∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－23x －1； (2)由y ＝13x 2－23x －1=13（x-1）2－43，∴抛物线的顶点D 的坐标为(1，－43)． 把x ＝1代入y ＝－2x 中得y ＝－2． ∵－43≠－2，∴顶点D 不在直线y ＝－2x 上；(3)存在．理由如下：如图，过点C 作x 轴的平行线，与该抛物线交于点P 1，P 2，连接BP 1，BP 2.∵直线BC ⊥x 轴，∴△P 1BC 、△P 2BC 都是直角三角形．把x ＝－1代入y ＝－2x 中得y ＝－2×(－1)＝2．∴C(－1，2)．∴把y ＝2代入y ＝13x 2－23x －1中，得13x 2－23x －1＝2， 解得x 1＝√10＋1，x 2＝－√10＋1.∴P 1(√10＋1，2)，P 2(－√10＋1，2)．3. (1)设抛物线解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，即y ＝ax 2－2ax －3a ． ∴－2a ＝2，解得a ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.当x ＝0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝3，则C(0，3)．设直线AC 的解析式为y ＝px ＋q ，把A(－1，0)，C(0，3)代入得{−p +q =0，q =3.解得{p =3，q =3.∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. (2)∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点D 的坐标为(1，4)．如图，作B 点关于y 轴的对称点B′，则B′(－3，0)，连接DB′交y 轴于M.∵MB＝MB′，∴MB＋MD ＝MB′＋MD ＝DB′，此时MB ＋MD 的值最小．∵BD 的值不变，∴此时△BDM 的周长最小．易得直线DB′的解析式为y ＝x ＋3.当x ＝0时，y ＝x ＋3＝3，∴点M 的坐标为(0，3)．(3)存在，符合条件的点P 的坐标为(73，209)或(103，－139)．4．(1)在Rt△ABC 中，由点B 的坐标可知OB ＝1.∵OC＝2OB ，∴OC＝2，则BC ＝3.又∵tan∠ABC＝2，∴AC＝2BC ＝6，则点A 的坐标为(－2，6)．把点A ，B 的坐标代入抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 中，得{−4−2b +c =6,−1+b +c =0.解得{b =−3，c =4.∴该抛物线的解析式为y ＝－x 2－3x ＋4. (2)①由点A(－2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB 的解析式为y ＝－2x ＋2.如图，设点P 的坐标为(m ，－m 2－3m ＋4)，则点E 的坐标为(m ，－2m ＋2)，点D 的坐标为(m ，0) ．则PE ＝－m 2－m ＋2，DE ＝－2m ＋2，由PE ＝12DE 得－m 2－m ＋2＝12(－2m ＋2)，解得m ＝±1.又∵－2＜m ＜1，∴m＝－1，∴点P 的坐标为(－1，6)．②∵M 在直线PD 上，且P(－1，6)，设M(－1，y)，∴AM 2＝(－1＋2)2＋(y －6)2＝1＋(y －6)2，BM 2＝(1＋1)2＋y 2＝4＋y 2，AB 2＝(1＋2)2＋62＝45. 分三种情况：(ⅰ)当∠AMB＝90°时，有AM 2＋BM 2＝AB 2，∴1＋(y －6)2＋4＋y 2＝45，解得y ＝3±√11． ∴M(－1，3＋√11)或(－1，3－√11)；(ⅱ)当∠ABM＝90°时，有AB 2＋BM 2＝AM 2，∴45＋4＋y 2＝1＋(y －6)2，解得y ＝－1，∴M(－1，－1)．(ⅲ)当∠BAM＝90°时，有AM 2＋AB 2＝BM 2，∴1＋(y －6)2＋45＝4＋y 2，解得y ＝132，∴M(－1，132)．综上所述，点M 的坐标为(－1，3＋√11)或(－1，3－√11)或(－1，－1)或(－1，132)． 5．（1）∵抛物线顶点坐标为（2，4），∴抛物线解析式为y=a （x ﹣2）2+4=ax 2﹣4ax+4a+4，∴b=﹣4a ，c=4a+4．∴b+c=4；（2）①由题意可知△ODE 和△ODF 的底边DE 、DF 边上的高相同，∴S △ODE ：S △ODF =DE ：DF=x 1：x 2=1：6．∴S △ODE ：S △OEF =1：5；②如图，分别过E ，F 作x 轴的垂线，垂足分别为G 、H ，交直线DP 于点M 、N ， ∵直线y=x+4，∴设点E 坐标为（m ，m+4），则点F 的坐标为（6m ，6m+4）．∴EM=EG ﹣MG=m+4﹣4=m ，FN=FH ﹣NH=6m+4﹣4=6m ，PM=PD ﹣MD=2﹣m ，PN=DN ﹣PD=6m ﹣2， ∵∠EPF=90°，∴∠EPM+∠FPN=90°，且∠FPN+∠PFN=90°．∴∠EPM=∠PFN ． ∴△EPM ∽△PEN ．∴EM PN =PM FN ，即m 6m−2=2−m 6m ．整理可得6m 2+7m+2=0，解得m=12或m=23， 当m=12时，点E （12，92），F （3，7），把F 点坐标代入抛物线解析式可得a+4=7，解得a=3， ∴抛物线解析式为y=3（x ﹣2）2+4，当x=12时，代入可求得y=434≠92，即点E 不在该抛物线图象上，不符合题意．当m=23时，点E （23, 143），F （4，8），把F 点坐标代入抛物线解析式可求得a=1．∴抛物线解析式为y=（x ﹣2）2+4．当x=23时，代入可求得y=529≠143，即点E 不在抛物线图象上，不符合题意，综上可知不存在满足条件的a 的值．6.（1）当x＝0时，y＝ax2﹣2ax+3＝3，∴C（0，3），OC＝3OA＝3．∴OA＝1，A（﹣1，0）．把点A（﹣1，0）代入抛物线解析式,得：a+2a+3＝0，解得a＝﹣1．∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，若点P在抛物线对称轴右侧且在x轴上方，过点P作PE∥y轴交BC于点E，PF⊥BC于点F，过点D作DH⊥x轴于点H，∴∠CFP＝∠BHD＝90°．∵当y＝﹣x2+2x+3＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝3．∴A（﹣1，0），B（3，0）．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D（1，4）．∴DH＝4，BH＝3﹣1＝2．∴BD==．∴Rt △BDH 中，sin ∠ABD ＝DH BD ==∵C （0，3）∴BC PC 设直线BC 解析式为y ＝kx+b ，∴30,0 3.k b b +=⎧⎨+=⎩解得：1,3.k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 解析式为y ＝﹣x+3．设P （p ，﹣p 2+2p+3）（1＜p ＜3），则E （p ，﹣p+3），∴PE ＝﹣p 2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p 2+3p ． ∵S △BCP ＝12PE•OB＝12BC•PF，∴PF ＝22PE OB BC ⋅==．∵∠ABD ＝∠BCP ，∴Rt △CPF 中，sin ∠BCP ＝PE PC ＝sin ∠ABD ．∴PF ．∴PF 2＝45PC 2．解得p 1＝﹣1（舍去），p 2＝53． ∴﹣p 2+2p+3＝329．∴点P 坐标为（53，329）． 如图2，若点P 在x 轴下方，∵tan ∠ABD ＝DH BH＝2＞tan45°，∴∠ABD ＞45°．∵∠BCP ＜∠BOC 即∠BCP ＜45°，∴∠ABD 与∠BCP 不可能相等． 综上所述，点P 坐标为（53，329）； （3）如图3，过P 作PH ∥y 轴，分别过点M 、N 作MG ⊥PH 于G ，NH ⊥PH 于H ．设直线MN 的解析式为y ＝kx+n ，M （x 1，y 1）、N （x 2，y 3），令kx+n ＝﹣x 2+2x+3，即＝x 2+（k ﹣2）x+n ﹣3＝0，∴x 1+x 2＝2﹣k ，x 1x 2＝n ﹣3．∴y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+2n ＝k （2﹣k ）+2n ．y 1y 2＝（kx 1+n ）（kx 2+n ）＝k 2x 1x 2+nk （x 1+x 2）+n 2＝﹣3k 2+2nk+n 2，∵∠G ＝∠MPN ＝∠H ，∴△MPG ∽△PNH ．∴MG GP PH HN= ． ∵P 坐标为（53，329），MG ＝53﹣x 1，PH ＝y 1﹣329，HN ＝253x -，GP ＝2329y -． ∴12115323932593x y y x --=--．整理，得12121212255321024()()93981x x x x y y y y -++=++-． ∴222255321024(2)3(22)3293981k n y k k n k nk n --+-=-++---． 解得 k 1＝﹣3n+233，k 2＝332515n -+．∴直线MN；y＝（﹣3n+233）x+n＝（﹣3x+1）n+233，过定点（13，239）；或y＝（332515n-+）x+n＝（513x-+）n+3215，过定点（53，329）即P点，舍去．∴直线MN过定点（13，239）．。