连续信号的正交分解
3 连续信号的正交分解1-2
∫
g r (t )dt
2
1 = kr
∫
t2
t1
f (t ) g r (t )dt
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
如果一正交信号空间可以精 无误差）地表示任一函数， 确（无误差）地表示任一函数， 则称该正交空间为完备的正交信 则称该正交空间为完备的正交信 号空间或正交函数集。 号空间或正交函数集。
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
选择C 的准则亦也使近似误差ε(t) ε(t)的方 选择C12的准则亦也使近似误差ε(t)的方 均值最小，即使： 均值最小，即使：
1 t2 2 1 t2 ε (t ) = ε (t )dt = [ f1 (t ) − C12 f 2 (t )]2 dt t 2 −t1 ∫t1 t 2 −t1 ∫t1
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
为了更好地说明两个信号间相似的程 从功率的角度， 度，从功率的角度，引入了相关系数的概 t2 念： ∫t1 f1 (t ) f 2 (t )dt ρ12 = 1 t2 t2 2 2 [ ∫ f 2 (t )dt ∫ f 2 (t )dt统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
与正交向量集相在似， 与正交向量集相在似，任何一个函 f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用 在区间[t1 内可近似地用n 数f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用n维正 交信号空间中的各正交分量来表示， 交信号空间中的各正交分量来表示，即：
§3.2 正交函数集与信号分解
可知： 完全相同时： 可知：当 A1 与 A2 完全相同时：C12=1 垂直时： =0。 当 A1 与 A2 垂直时： C12=0。即 A1 上的分量为0 此时， 在 A2 上的分量为0。此时，这两个互相垂 直的矢量组成一个正交矢量集 正交矢量集。 直的矢量组成一个正交矢量集。 方向上的分量， E 也是 A1 在 E 方向上的分量， A2 与 E
信号处理 第3章连续时间信号的正交分解(文正)
)
F (j )
/2
/ 2
e
j t
dt
e
j
e j
2
j
2
2 sin(
2
1
gτ (t)
)
Sa(
2
)
2
0
2
t
频谱图
F j
2π
O 2π
F j
4π
幅度频谱
2π
O
频宽：
2π 4π
第3 章 连续信号的正交分解
目录
周期信号的傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的傅里叶变换 典型信号的傅里叶变换
傅里叶变换的性质
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制等重要概念。
f(t) ←→F(jω)
或
F(jω) = F [f(t)]
f(t) = F –1[F(jω)]
F(jω)一般是复函数，写为 F(jω) = | F(jω)|e j (ω) = R(ω) + jX(ω)
2、常用函数的傅里叶变换
Sa( 例：矩形脉冲 (门函数） G (t )
F
2
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便， 因而经常采用指数形式的傅里叶级数。
信号与系统第三章 连续信号的正交分解
f (t ) Ci gi (t )
i 1
n
第三章连续信号的正交分解
13
理论上讲
f (t ) lim Ci gi (t )
n i 1
n
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
t t1 f (t ) gi (t )dt Ci t 2 gi2 (t )dt t1
均方误差
n t2 2 ( t ) [ f ( t ) crgr ( t )]2 dt t 2 t 1 t 1 r 1
第三章连续信号的正交分解 23
1
若令 n 趋于无限大， 2 (t )的极限等于零 lim 2 (t ) 0
n
则此函数集称为完备正交函数集
第三章连续信号的正交分解
15
定义2：
如果在正交函数集 g1( t ), g 2( t ), gn( t ) 之外， 不存在函数x（t）
t2 2 0 x ( t )dt t1 t2 满足等式 x( t ) gi ( t )dt 0 t1
第三章连续信号的正交分解 8
信号的分量和信号的分解
信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 函数的分解。 1、函数的分量 设在区间
t 1 t t 2 内，用函数 f 1(t )
在另一
函数 f 2(t ) 中的分量 C 12 f 2(t ) 来近似的代表 原函数 f 1(t ) 。
f 1(t ) C12 f 2(t )
1 jnt f (t ) An e cn e jnt 2 n n
cn
1 An 称为复傅里叶系数。 2
表明任意周期信号可以表示成 e jn t 的线性组合，加权因 子为 cn 。
连续信号的正交分解
信号的分解
▪ 多个标准信号下的分解：将信号表示为多 个标准信号的线性组合：
▪ 这之里间的两同两样正难 交以 ，确 则定 可。 以但 证是 明如：果标准函数 ccffiii( (t t) ) tt1t1t22c ff1 if ((1 tt( ))tff) ii* *((ttc ))2 ddft2 t( t) . .c n .fn ( t) i n 1 c ifi( t)
标准信号集两例
▪ 三角函数： ▪ 指数函数： ▪ ， 1 en , nc t 0t ,, s o 1, t ,c is 2 n t , o s2 t i , sn . c. k , o s .t k ,i , s. n t..
▪ 对标准信号集的要求： ▪ 归一化： ▪ 正交化：， it1 t2 fji(t)f▪ij**((tt))dd完t t10备性：可以用其线性组合表示任意信号。
连续信号的正交分解信号的正交分解信号正交分解力的正交分解10e0力的正交分解法向量的正交分解矩阵的正交分解力的正交分解法习题平面向量的正交分解力的正交分解练习
第三章 连续信号的正交分解源自 §3-1 引 言▪ 线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信 号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应 求解系统对复杂信号的响应。
▪ 如何确定最佳的系数？对于特定的i而言，不仅 与特定的有关，与其它的标准矢量也有关系。 但是如果矢量两两正交，可以证明：
▪
矢量分解
▪ 标准矢量基的几个限制条件： ▪ 归一化：标准矢量的模等于1——方便计
算 ▪ 正交化：标准矢量两两正交 ▪ 完备性：可以不失真地组合出任意矢量
cc(ft1112 1((f,(tt1tt))(2)t)tt) 1t1t22 tff12((1 tt))t1 ff11((tt1 tt2))dd2tt(t)dt
信号与系统_第三章连续信号的正交分解_ppt课件
信号与系统_第 三章连续信号 的正交分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
学习内容及要求
内容：
信号的分量与分解、正交函数集的概念，信号 的傅立叶级数分解
周期信号的频谱分析 非周期信号的频谱分析，常用典型信号的傅立 叶变换，掌握傅立叶变换的技巧 傅立叶变换的性质，帕塞瓦尔定理与能量频谱
示任何的复杂信号;
找到---信号如何分解，如何将信号分解或表示为该函数集中单 元函数的组合(付里叶级数（三角付里叶级数，指数付里叶级 数）) –从信号分量组成情况讨论信号特性
周期信号频谱； 非周期信号频谱；
–信号时域特性与频域特性的关系
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
§3.1 引言
t 2
2 (t) min 1 2 1 t 1 2 2 f ( t ) dt 1 t1 t t 2 1
1 2
12
t2 t1
t2
t1
f1(t)f2(t)dt
t2 t1 2 2 1 2
[ f (t)dt ] f (t)dt
2 1
A n C 1V 1 C 2V 2 C rV r C nV n 并且： V V K V 2 m m m m V ,l m m 0 l V
为使近似误差矢量的模 或是模的平方最小，
Cr AV r V r V r AV r V r
t2
t1
f1(t) f2(t)dt
t2 t1
f2 (t)dt
2
§3.2 正交函数集与信号分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
第3章_正交分解
– 将复杂信号分解成组成该信号的简单的单元函 数，先求得这些信号分量的系统响应，再利用 叠加原理求得总响应。
• 单元函数选择
时域
频域 – 冲激函数、阶跃函数 – 正交函数集：三角函数集、指数函数集
• 信号域变换
– 时域↔频域 – 时域↔复频域 •从本章开始由时域转入变换域分析。
t 0 T
2 t 0 T f (t ) cos(nt ) dt T t0
t0
正弦分量系数
bn
t 0 T
t0
f (t ) sin(nt )dt sin 2 (nt )dt
t 0 T
2 t 0 T f (t ) sin(nt )dt t0 T
t0
第三章 连续信号的正交分解
则称此函数集为在区间（t1,t2）内的正交函数集。
于是信号 f (t ) 在区间（t1,t2）内可以用n个互相正交的 函数表示为： n f (t ) C1 g1 (t ) C 2 g 2 (t ) C r g r (t ) C n g n (t ) C r g r (t )
其中
an An cos n bn An sin n
可证: an an 偶函数 A n An
A a 2 b 2 n n n bn n arctan an
b n bn 奇函数 n n
10
1
第三章 连续信号的正交分解
3.2.1 矢量的正交分解
1. 正交矢量 2. 矢量的正交分解
90° o V1 V2
V c1V1 c2V2
V cos1 V V1 c1 V1 V1 V1 V cos 2 V V2 c2 V2 V2 V2
第三章 连续信号的正交分解-2
c
n
Ae T
2
dt
T
Sa(
2
)
A f (t ) T
n jnt Sa( 2 )e n
第三步：频谱分析
An
a
2 n
bn
2
a
n
Cn
A
1 n 与 T 之比值有关，取 T 5
A n Sa ( ) T 2
2 A n 2 A n Sa( ) Sa( ) T 2 T 2
由周期信号f (t )
n
Ce
n
jnt
， 2 2 d
当T ， d，n ，T f (t ) lim TCn jnt Te T n
1 d T , ， T 2 2
讨论：
讨论：
f (t )
1
0
F ( j ) cos t ( )d
从上式可以看出： 1. 非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。
2. 不同的是，由于非周期信号的 T , 0,于是它包含了从零到无限高的所 有频率分量。
3. 同时，三角函数振幅 函数作出。
n
n
n
相位频谱图
An
Ae
n
j
2 A n 2 Sa ( ) Cn
N
T
2
n
0
n )0 2 n Sa( )0 2 Sa (
即 Cn>0 即 Cn<0
Cn
1 j An e n — —称复数频谱 2
此例中 为一实数。振幅频谱与 相位频谱可以和画在一张图上。
连续信号的正交分解
• 三角傅里叶级数还可以表示为
f
(t)
a0 2
n 1
An
c os (nt
n )
其中 An
a
2 n
bn2
, n
tg 1 bn an
或 an An cosn , bn An sin n
有上式可以看出An，an为n的偶函数，bn，φn为n 的奇函数。（这个关系在三角级数中用不到，
因为频率不会是负的，但在今后会用到）
t2
的内积为： gl (t), gm (t) g1(t)gm* (t)dt
t1
如果函数集 {g1(t), g2 (t), gn (t)} 满足以下条件
则称为正交函数集。
t2
gm
(t
)
g
* m
(t)dt
Km
t1 t2
gl
(t
)
g
* m
(t)dt
0
t1
Km 为常数，l, m 1,2, , n, l m
若Km=1则称归一化正交函数集。如果在该函 数空间中的任意函数f(t)可表示为：
f (t) C1g1(t) C2g2 (t) Cn gn (t) 那么称函数集 {g1(t), g2 (t), gn (t)} 为正交
完备函数集。即它们构成一个n维的函数空间。
其中的C1,C2,…,Cn称为f(t)在 g1(t), g2 (t), gn (t)
T0
T
2
T
bn
2 T
T 0
f (t)sin ntdt
2 [ 2 sin ntdt T sin ntdt]
T0
T
2
T
T
2
2
[ sin ntdt
3 连续信号的正交分解3
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.3 信号表示为傅立叶级数
• a0/2,an,bn都是分量系数 都是分量系数 • a0/2是函数 /2是函数 f(t)在该区间内的平均值,称为直流分量。 f(t)在该区间内的平均值,称为直流分量。 在该区间内的平均值 直流分量 合成一个角频 • n=1时，即a1cos t+b1sin t合成一个角频 n=1时 =2π/T的正弦分量 称为基波分量 的正弦分量， 基波分量； 率为 =2π/T的正弦分量，称为基波分量； • N〉1时，ancos t+bnsin t合成一个角频 率为n 的正弦分量，称为f(t) f(t)的 率为n 的正弦分量，称为f(t)的n次谐波 分量; 分量; • 称为基波频率，n 称为谐波频率。 称为基波频率 基波频率， 称为谐波频率 谐波频率。
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
bn an
§3.3 信 ∫ =
t1 +T
t1
f (t ) cos( nΩt ) dt cos 2 ( nΩt ) dt
∫ ∫
t1 + T
2 = T 2 = T
∫ ∫
t1 +T
t1
f (t ) cos( nΩt ) dt
t1
t1 +T
t1
f (t ) sin( nΩt ) dt sin 2 ( nΩt ) dt
t1 + T
t1 +T
t1
f (t ) sin( nΩt ) dt
t1
2 n = 0时， a0 = T
∫
t1 + T
t1
f (t )dt
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
第3章 连续信号的正交分解
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
2. 复指数傅里叶级数
指数函数具有如下关系
e e dt T
t 0 T jnt jnt * t0
e
t 0 T t0
jmt
e dt 0
jnt *
mn
t 因此，指数函数 e jn， n 0,1,2, 为一完备的 正交函数集
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
根据欧拉公式
cos
1 j e e j 2
且考虑到An是n或频率的偶函数，而 n 是奇函数
a0 1 f (t ) An e j nt n An e j nt n 2 2 n 1 1 1 jnt An e j nt n An e 2 n 2 n
则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果
t2
t1
0 * gi (t ) g j (t )dt 1
则称该函数集为归一化正交函数集。
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
例如,三角函数集 ｛ 1,cosΩt,cos2Ωt,…,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…,sinnΩt,… ｝ 在区间（t0,t0+Ｔ）(式中T=2π/Ω)组成正交函数集,而且 是完备的正交函数集。这是因为
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
3.3 信号表示为傅里叶级数
1.三角傅里叶级数
周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函 数的代数和，即f(t)在(t0, t0+T)区间的三角傅里叶级 数展开。 f(t)应满足狄利克雷条件。
连续信号的正交分解
扩大器与扬声器有效带宽约为 15~20,000Hz
3). 频谱随参数的变化
（1）设f(t)中的 E不变，不变，当周期
变化时，频谱如何变化？
(1)
1 s 20
T1
1 4
s
Fn
E 5
Sa
n 5
(2)
1 s 20
1 T1 2 s
Fn
E 10
Sa
n
10
(3)
1 s
20
T1 1s Fn
结论：当周期变大时
n
tg1
bn an
• Ａn和ω的关系表示在一张图里，称为振幅谱；
• θn和ω的关系表示在一张图里，称为相位谱。
• 由三角Ｆourier级数得的谱图为单边谱。
T T
2
f (t)
E
解f:(t)在一个周期内可写为如下形式
2E t 0 t T
TT t
f (t) T
2
2
2E t T t 0
n 5
2).频谱特点
(1)
频 谱 包 络 服 从 抽 样 函 数Sa
(x)
sin x
x
(3) 其最大值在 n=0 处
（4）
存在使得Fn=0的频率。
n m n 2 m
2
（5）
有效频谱宽度：第一个零分量频率。B
2
占有频带
例：语音信号频率约为 300 ~ 3400Hz
音乐信号频率约为 50 ~15,000Hz
Ee j t dt
0
E
j
E
j
j
2E 2
2
F( j )
6、符号函数信号
f
6
(t
)
正交分解定理
正交分解定理正交分解定理（Orthogonal Decomposition Theorem）是线性代数中的一个重要定理，其描述了一个向量空间可以表示为两个正交子空间直和的形式。
正交分解定理被广泛应用于信号处理、图像压缩和最小二乘解等领域。
在线性代数中，一个向量空间V的两个子空间U和W被称为正交的，如果对于U中的任意向量u和W中的任意向量w，它们的内积为零，即<u,w>=0。
正交的子空间意味着其中的向量在空间中是互相垂直的。
根据正交分解定理，对于任意一个向量空间V，它可以表示为两个正交子空间U和W的直和形式，即V=U⊕W。
其中，U是一个U空间的基的生成子空间，W是一个W空间的基的生成子空间。
直和符号⊕表示V中的任意向量可以唯一地表示为空间U和空间W中的向量的和。
正交分解定理的一个重要应用是最小二乘解（Least Square Solutions）。
最小二乘解是一种对于超定方程组的解的近似方法。
当一个方程组存在无解或者解不唯一的情况时，最小二乘解可以找到一个向量使得方程组的残差最小。
最小二乘解可以通过正交分解定理来推导。
设A为m×n的矩阵，其中m>n，对于任意向量b∈ℝ^m，我们希望找到一个解x∈ℝ^n，使得Ax≈b。
根据正交分解定理，我们将A分解为两个正交子空间的直和形式，即A=[U|W]，其中U∈ℝ^m×n，W∈ℝ^m×(m-n)。
则最小二乘解可以表示为x=(U^TU)^-1U^Tb。
在信号处理领域，正交分解定理被广泛应用于信号压缩和噪声去除等问题上。
对于一个信号，可以将其正交分解为不同频率的分量信号。
利用这种分解，可以将信号的主要信息保留下来，而滤除掉无关的噪声或者干扰。
例如，将一个音频信号进行正交分解，可以得到频谱图。
频谱图展示了信号在不同频率上的能量分布情况，可以帮助我们分析和理解信号的特性。
在图像压缩方面，也可以利用正交分解定理将图像分解为不同类别的子图像，然后根据子图像的重要性进行压缩，从而实现对图像的高效压缩和传输。
信号正交分解
信号空间：将信号看做空间里的向量内积：（jiang2）内积为0—正交范数：（jiang3）/zh-cn/%E6%AD%A3%E4%BA %A4/jsjy/kc/xhyjs/chap6/chap6_1/chap6_1_1.htm第一讲信号的正交分解把实际的信号分解为信号单元是信号分析和处理中常用的方法。
一方面，信号的分解使我们能了解它的性质与特征，有助于我们从中提取有用的信息，这一点，在信号的傅里叶变换中就已经体现出来了。
另一方面，把信号分解之后，可以按照我们的意愿对它进行改造，对于信号压缩、分析等都有重要的意义。
信号分解的方法有很多。
例如，对一离散信号，我们可把它分解成一组函数的组合，即，式中，。
但这种分解无实用意义，因为的权重即是信号自己。
另一种分解的方法是把N点数据看成是N维空间的一个向量，我们选择该空间的单位基向量作为分解的“基”，也就是按照这种分解方法，各正交向量的权仍是信号自己的各个分量，也无太大意义，但这一分解已经体现了“正交”分解的概念。
一般，我们可把信号看成N维空间中的的一个元素，可以是连续信号，也可以是离散信号。
N可以是有限值也可以是无穷大。
设是由一组向量所张成，即这一组向量可能是线性相关的，也可能是线性独立的。
如果它们线性独立，我们则称它们为空间中的一组“基”。
各自可能是离散的，也可能是连续的，这视而定。
这样，我们可将按这样一组向量作分解，即(6-1-1)式中是分解系数，它们是一组离散值。
因此，上式又称为信号的离散表示（Discrete Representation）。
如果是一组两两互相正交的向量，则（6-1-1）式称为的正交展开（或正交分解）。
分解系数是在各个基向量上的投影。
若N=3，其含意如图6-1-1所示。
图6-1-1 信号的正交分解为求分解系数，我们设想在空间中另有一组向量：，这一组向量和满足：（6-1-2）这样，用和（6-1-1）式两边做内积，我们有，即：(6-1-3a)或(6-1-3b)(6-1-3a)式对应连续时间信号，(6-1-3b)式对应离散时间信号。
信号在正交函数集中的分解.
§3-1 引 言● ● 线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。
● ● 在上一章介绍的时域法中，将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。
●● 在本章以及下一章将要介绍的频域法中，将信号分解为一系列正弦函数的和（或积分），通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。
● ● 频域在工程中也有很重要的意义。
很多信号的特性与频域都有很重要的关系。
研究频域可以得到很多具有实用价值的结论。
●● 在进行频域法时,，首要问题就是如何将信号分解为一系列正弦信号的和（或者积分）。
这就是本章要讨论的信号分析问题。
§3-2 信号在正交函数集中的分解为了形象地说明信号的分解，首先我们复习矢量的分解。
一、 矢量的分解1） 矢量的一维分解：用一个标准矢量1A 乘以一个标量1c 得到的新矢量11A c ，去近似近似矢量A ，并要求误差尽可能小，1c 应该取多少？下图通过几何方法表示了1c 的确定方法。
111ε+=11A A c● ● 从几何或者解析角度，都可以得到使误差最小的系数为：1111A A A A =c其中的1c 称为矢量A 和1A 的相似系数。
● ● 如果01=c （或01=A A ），则表明A 和1A 相垂直（又称为正交）。
1） 2） 矢量的二维分解用两个标准矢量1A 、2A 的线性组合2211A A c c +，去近似近似矢量A ，并要求误差尽可能小，1c 、2c 各应该取多少？下图通过几何方法表示了1c 、2c 的确定方法。
1112c● ● 在上图表示的情况下，1c 、2c 的取值都同时与1A 、2A 有关，计算公式可能比较复杂。
如果标准向量1A 、2A 相互垂直（正交），计算就很简单了：11122A c容易得到此时的系数计算公式为：1111A A A A =c ，2222A A AA =c此时每一个系数只与其相关的标准矢量有关，系数计算公式与一维情况下的计算公式相似。
管致中《信号与线性系统》(第5版)(课后习题 连续信号的正交分解)
第3章 连续信号的正交分解3.1 已知在时间区间上的方波信号为(0,2)π1,0()1,2t f t t πππ<<⎧=⎨-<<⎩（1）如用在同一时间区间上的正弦信号来近似表示此方波信号，要求方均误差最小，写出此正弦信号的表达式；（2）证明此信号与同一时间区间上的余弦信号（n 为整数）正交。
cos()nt 答：（1）设在（0，2π）区间内以均方误差最小为原则来逼近，则最佳系数c12为：所以，当时，均方误差最小。
（2）所以，在此区间内和余弦信号（n 为整数）正交。
3.2 已知，。
求在上的分量系数及此1()cos sin f t t t =+2()cos f t t =1()f t 2()f t 12c 二信号间的相关系数。
12ρ答：（1）分量系数（2）相关系数3.3 证明两相互正交的信号与同时作用于单位电阻上产生的功率，等于每1()f t 2()f t 一信号单独作用时产生的功率之和。
以与分别为下列两组函数来验证此结论。
1()f t 2()f t （1）12()cos(),()sin()f t wt f t wt ==（2）12()cos(),()sin(30)f t wt f t wt ==+o证明：在单位电阻上产生的功率：在单位电阻上产生的功率：同时作用于单位电阻上产生的功率：当相互正交时，有所以，可证。
（1）当时，相互正交。
二者单独作用时，有同时作用时，有（2）当时，相互不正交。
二者单独作用时，有同时作用时，有命题得证。
3.4 将图3-1所示的三角形信号在时间区间上展开为有限项的三角傅里叶级(,)ππ-数，使其与实际信号间的均方误差小于原信号总能量的1％。
写出此有限项三角傅里()f t 叶级数的表达式。
图3-1答：由在上的偶对称特性知。
又展开的时间区间为，故()f t (,)ππ-0n b =(,)ππ-，从而。
下面求系数和。
2Tπ=1Ω=a na直流分量：余弦分量：因此，信号可表示为：信号的总能量：只取有限项表示信号，均方误差为：只取直流项时，均方误差为：此时，有：取直流分量和基波分量时，均方误差为：此时，有：满足题意要求，所以可以用直流分量和基波分量来近似表示f （t ），即。
第三章 连续信号的正交分解
t2
t1
f (t ) g i (t )dt
t2 t1
g i2 (t )dt
这个式子被称作：欧拉傅立叶公式或广义傅立叶级数
正交函数集举例
已知余弦函数集{cos t , cos 2t , , cos nt（n为整数） } (1)证明该函数集在区间(0,2 )内为正交函数集 (2)该函数集在区间(0,2 )内是完备正交函数集吗？ (3)该函数集在区间(0, 2)内是正交函数集吗？
从正交矢量到正交函数
两个矢量正交的条件是：A1 A2 0 两个矢量正交的实质是：矢量A1在矢量A2上的 垂直投影为零。
垂直投影的实质是：A1与其垂直投影之间的误差矢 量的距离最短。
t2 t1 1 2
类比，两个实变函数正交的条件是： f (t ) f (t )dt 0 两个函数正交的实质是：函数f1在函数f2上的 垂直投影为零。
2
0
cos it cos rtdt
1 i2 r 2
i r i r i sin cos r cos sin 2 2 2 2
结论：
一个函数集是否正交，与它所在区间有关，在某一区间可能 正交，而在另一区间又可能不正交。 在判断函数集正交时，是指函数集中所有函数应两两正交， 不能从一个函数集中的某n个函数相互正交，就判断该函数 集是正交函数集。
n
jnt
以欧拉公式为桥梁，可以证明指数傅里叶级数与三角傅里叶 级数是等价的。 关于负频率
对称信号的傅里叶级数
偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数 奇偶分解
f (t ) f (t )
直流+余弦项 f (t ) f (t ) 正弦项 f (t T 2) f (t ) 只含有奇次谐波 f (t T 2) f (t ) 只含有偶次谐波
信号分解为正交函数
3
t
2
3
的周期T2
=
6
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12
第 28 页
f
(t)
1
1 2
cos
4
t
3
1 4
cos
3
t
2
3
1 2
cos
4
t
3
是f(t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；
1 4
cos
n的奇函数: bn ，n
第 18 页
四、周期信号的功率——Parseval等式
f
(t)
A0 2
An
n1
cos(nt
n
)
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
1
T
T 0
f
2 (t )dt
( A0 )2 2
1
n1 2
An2
| Fn
n
|2
直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。
直流功率
Parseval定理
第7页
小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t) Cii (t)
i 1
Ci
1 Ki
t2 t1
f
(t)i (t) d t
Ki
t2 t1
i2
(t
)
d
t
巴塞瓦尔能量公式
t2 t1
f
2 (t) d t
Ci2 Ki
i 1
第8页
§4.2 傅里叶级数
• 傅里叶级数的三角式 • 傅里叶级数的指数形式 • 周期信号的功率
An
n1
推荐-信号与系统第三版第三章课后答案 2 精品
fT (t) Fne jnt n
Fn
1 T
t0 T t0
fT (t)e jnt
dt
称为周期信号的指数型傅立叶级数展开式或复系数傅叶级数
3.2.3 傅立叶系数关系
比较两种展开式，得： A0 a0 2F0
An 2 Fn
n n
令An＝Ane jn 考 虑 到Fn Fn e jn
统一表示为A 2Fn
f
* 2
(t
)dt
0
2 信号的正交分解
*正交函数集：设一函数集 g(t) g1(t), g2 (t),..., gN (t),
t (t1, t2 )
若
t2 t1
gi (t)g j*(t)dt
0 ki
ii jj i,
j
1,2,3 N
则称g(t)为正交函数集，t (t1, t2 )
当Ki=1时，称为归一化正交函数集。
fT (t) cigi(t) (an cosnt bn sin nt) a0 (an cosnt bn sin nt)
n0
n1
该函数系数
an
t0 T t0
fT (t) cos* ntdt
t0 T cosnt 2 dt
1 t0T
T t0 2 t0T T t0
fT (t )dt fT (t )cosntdt
n0 n 1,2..
t0
bn
f t0 T
t0
T
t0 T
(t)sin* ntdt sin nt 2 dt
2 T
t0 T t0
fT (t)sin ntdt
t0
n 1,2...
将a0包含在an中则有：
fT
【优】频域分析信号的正交分解PPT资料
V1 Ve
c12V 1V co 2s
V 1V 2cos V 2V 2
V 1V 2 V 2V 2
o
V2
c12V2 V2
图 0.0-2 矢量的近似表示及误差
用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，则误差矢量
VeV1c12V2
显然，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。
3. 矢量的分解
(1). 实域正交分解
fe(t)f(t)cg(t)
如何选择系数c 使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小?
通常使误差最小,即
E e t1 t2fe(t)2 d t= t1 t2 f(t) cg (t)2 d t m in
Ee t2[f(t)cg(t)]2dt 0
c c t1
0.1 周期信号的连续时间傅里叶级数
0.1.1 三角形式的傅里叶级数
三角函数集｛cosnΩt, sinnΩt|n=0,1,2,…｝是一个正交函数集，正交 区间为(t0, t0+T)。这里T=2π/Ω是各个函数cosnΩt，sinnΩt的周期。
三角函数集正交性的证明可利用如下公式：
t0T12dt T,相当于cosnt的n0时） t0
r1
r1
t 1 t2 [f( t) 2 d t r N 1 c rt 1 t2 f* ( t) g r ( t) d t r N 1 c r * t 1 t2 f( t) g r * ( t) d t r N 1 c r2t 1 t2 g r ( t) 2 d t
t 1 t 2 [f( t ) 2 d t r N 1 [ c rt 1 t 2 f* ( t ) g r ( t ) d t c r * t 1 t 2 f( t ) g r * ( t ) d t c r 2 t 1 t 2 g r ( t ) 2 d t ]
信号的正交分解
§3.1 引言
线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。
在时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。
在频域法中，将信号分解为一系列正弦函数的和(或积分)，通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。
频域分析在工程中也有很重要的意义。
很多信号的特性与频域都有很重要的关系。
研究频域可以得到很多具有实用价值的结论。
代表一个基波或一个谐波分量，谱线的高度即谱线的顶端的纵坐标
位置代表这一正弦分量的振幅。
谱线所在的横坐标的位置代表这一正弦分量的连接谱线顶点的曲线称为包络线。
P108 图3-12
其频谱中的幅度分量对应与复指数函数形式的傅里叶级数的各个分量
0.5n
A
τ
π
4P108图3-12 (c)。
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Fn
1 2
A
n
1 2
an2 bn2
Fn n
•
由指数Ｆourier级数可得信号的双边谱。
周期矩形脉冲的频谱（教材中3-4）
以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。
1）频谱的结构
1
Fn T
T / 2 f (t)e jnt dt
T / 2
E
T
sin n
2
n
2
1 s
20
T 1s 4
Fn
E 5
Sa
Amplitude
Frequency
(b) Frequency Domain
f1
f2
Frequency
Amplitude
Time
(c) Time Domain Time
§３－1 周期信号的频谱分析 ――Ｆourier级数（教材中3-3、3-4）
• 一、三角Ｆourier级数：
• １、三角Ｆourier级数的基本形式：
• 周期信号f(t),其重复周期为Ｔ，角频率为ω1。当 它满足Dirichlet条件时，它可以展开成三角形式 的Ｆourier级数，即：
f t
a0 2
a n
n1
c os n1t
bn
sin n1t
a n
2 T
T f tcosn1tdt
bn
2 T
T f tsin n1tdt
• 注意：
•
１）对一周期积分，为方便起见，起点常常
T
2 0
T 2 0
1
n1
sin
1tdt]
2E
(n )2
[( 1)n
1]
4E
(n )2
0
(n为奇数) (n为偶数)
f
(t)
E 2
4E
2
n1,3,5
1 n2
cos
2n
T
t
f (t) 1
Tt
例2，有一奇函数，其波形如图所示， 求其傅立叶展开式并画出其频谱图
解:
f (t)在一个周期内可写为如下形式
f (t) 2 t T
T tT
2
2
f (t)是奇函数，故an 0
An
2
2
3
21
41
0 11
31
1
1
2
bn 4 T
T 2 0
f (t) sin n1tdt
(1
2
T
)
4 T
T 2 0
2t T
sin
n1tdt
T
8 T2
(
t
n1
ห้องสมุดไป่ตู้c os n1t
1
(n1 ) 2
sin
n1t)
2 0
2 (1)n1
n
f (t ) 2 (1)n1 1 sin 2n t
-
-
其中：T 2
bn
2 T
t sin ntdt 2 (1)n1
n
n 1,2,3,
傅里叶级数展开式为：
f t 0 2[sin t 1 sin 2t 1 sin 3t ]
2
3
直流 基波
谐波
３、周期信号的谱图：
f t
a0 2
An
n 1
cos(n1t n )
An an2 bn2
T
2 T
f (t)e jnt dt
2
(2)
（2）可写为：
TFn
T
2 T
f (t)e jnt dt
Fn Fn
1T
f
2
令 T 则： n
单位频带上的频谱值
TFn T
f (t)e j tdt
F( j )
f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数。
（1）可写为：
f (t) TFn
n
Fn
E 2
S
a
n 2
不变，谱线间距相等；
零分量频率减小：B 或Bf变小； 有效谱带内谐波分量减少；
谱线振幅较大，减小变化急速。
讨论：
(1) T
幅度
谱线间隔
2
T
（2）矩形脉冲信号的频带宽度：B
2
占有带宽与脉宽成反比
或
Bf
1
1
对于一般信号，频带宽度定义为幅值下降为 10 F n max
n1
nT
.f=sin(2*3.14*50t)+4sin(2*3.14*500t)+4sin(2*3.14*800t)
(P^2+888p+628)y=394384f(t)
(P^2+888p+628)y=394384f(t)
• f0=100; • wc=2*pi*f0; • a=[1 sqrt(2)*wc wc]; • b=[wc^2]; • p=0.0005; • t=0:p:1/5; • x=sin(2*pi*50*t)+4*sin(2*pi*500*t)+4*sin(2*pi*800*t); • subplot(2,1,1) • plot(t,x); • y=lsim(b,a,x,t) • subplot(2,1,2) • plot(t,y);
3、偶双边指数信号
f
3 t
Eet Eet
t 0 t 0
0
F3( j)
0 Ee te j t dt
Ee j t dt
0
E
E
2E
j
j
2
2
4、直流信号
f4t E
F4 j 2E
1 2
5、奇双边指数信号
f5
t
Ee
t
t 0
Ee t t 0
0
F5(
j )
0 Ee te j t dt
例： f (t) U(t) 1 1 sgnt
22
1
2
0
t
1
2
1 sgnt 1
2
j
1 sgnt
12
0
0
F( j) 1
2
0 1 t
2
j
二、折叠性 若f (t) F ( j)，
则有:
f
(t)
F( j)
F(
j )
（f (t)为实函数）
三、对称性
F( j) （f (t)为虚函数）
n
tg1
bn an
• Ａn和ω的关系表示在一张图里，称为振幅谱；
• θn和ω的关系表示在一张图里，称为相位谱。
• 由三角Ｆourier级数得的谱图为单边谱。
T T
2
f (t)
E
解f:(t)在一个周期内可写为如下形式
2E t 0 t T
TT t
f (t) T
2
2
2E t T t 0
第三章 连续信号的正交分解
•
前
言
• “频域”中信号分解为正弦和余弦信号（又称 为复指数信号）的叠加。
• 数学工具：Ｆourier级数和Ｆourier变换。
正交分解的特点和优点：
• １、分析信号的频域特点：如信号的 带宽，信号的谱含量等等。
• ２、系统频域分析方法：线性时不变 系统对给定频率的正弦信号的零状态响 应是同样频率的正弦信号，系统的作用 只体现在振幅和相位上。
T
2
f (t)是偶函数，故bn 0
a0 2 T
T
2 T
2
f (t)dt 2 [
T 2
2Etdt
T 0T
0 T
2
2Etdt] T
E
An E
11 31
51
0
4E 2
4E 4E 25 2
9 2
an 4
T
T 2 0
2Et T
cosn1tdt
(1
2
T
)
8E T2
[
t
n1
sin
n1t
1 e jnt T
TFne jnt
n
2
令 T 则：n
2 d
T
TFn F( j )
f
(t) TFne jnt
n
2
T
1
2
F ( j )e jt d
T
周期信号 非周期信号 离散谱 连续谱，幅度无限小
二. 傅立叶变换对 f t F 或 F f t
正变换： F ( j ) f (t)e jt dt F f (t) 象函数
选在（－Ｔ／２）或０。
•
２）函数f(t)的Ｆourier级数除了不连续点外，
都唯一的收敛于f(t)。在不连续点，Ｆourier级数收敛
于左右极限的平均值。（用有限项逼近时会出现
Gibbs现象。）
•
３）对非周期信号，在某个时间区间内展成
Ｆourier级数，则在此区间，收敛于原函数，而在别
的区间收敛于此函数的周期延拓。
二、指数Ｆourier级数：
• 1、指数Ｆourier级数的形式：
f t
Fn e jn1t
n
Fn
1 T
f
T
t e jn1tdt
2、指数Ｆourier级数和三角Ｆourier
级数的关系：
cos(n1t n )
1 2
e jn1tn
e jn1tn
f t Fne jn1t
•
４）在Ｆourier级数中，ω1为基波频率
（fundamental frequency），２ω1，３ω1，……为谐
波频率(harmonic frequency)。
２、三角Ｆourier级数的其他形式：