二项分布
二项分布的概率
二项分布的概率引言二项分布是概率论中一个常见的离散概率分布，它描述了在给定一定的试验次数和成功概率下，成功事件发生的次数。
本文将详细介绍二项分布的定义、概率质量函数、期望和方差等基本概念，并探讨其应用以及与其他概率分布的关系。
二项分布的定义二项分布是指在n个相互独立的、拥有相同成功概率p的伯努利试验中，成功事件发生k次的概率分布。
每次试验只有两个可能的结果，成功和失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=C n k⋅p k⋅(1−p)n−k。
其中，C n k表示组合数，C n k=n!k!(n−k)!二项分布的性质二项分布具有以下几个重要的性质：性质1：期望和方差设X服从二项分布B(n,p)，则其期望和方差分别为： - 期望：E(X)=np - 方差：Var(X)=np(1−p)性质2：独立性在二项分布中，每次试验都是相互独立的，即一次试验的结果不受前一次试验结果的影响。
这意味着二项分布满足独立性的性质。
性质3：期望的线性性若X1和X2分别服从二项分布B(n1, p)和B(n2, p)，则有E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=(n1+n2)p。
这意味着二项分布的期望具有线性性。
二项分布的应用二项分布在实际应用中有着广泛的应用，尤其在统计学、生物学和工程学等领域。
应用1：统计学中的假设检验在统计学中，二项分布可以用于假设检验问题。
假设检验的目的是基于样本数据对总体的某个特征进行推断。
假设检验中常常使用二项分布来计算在零假设成立的情况下，观察到的样本数据的概率。
通过计算这个概率，我们可以判断观察到的样本数据是否与理论上的预期相符。
应用2：生物学中的基因型分析在生物学中，二项分布被广泛应用于基因型分析。
基因型分析是研究个体或种群基因型频率的方法。
通过对基因型进行分析，我们可以了解特定基因的分布情况以及与遗传疾病的相关性。
二项分布可以用来计算不同基因型频率的概率，并进行比较和推断。
二项分布
例 设某放射性物质平均每分钟放射计数为 5。 X3。则 Xi～P(5)，i=1,2,3。据Poisson分布的可
加性可得X1+X2+X3～P(15)。
现考虑测3个1分钟的放射计数，分别记为X1, X2,
0.2
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12
0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16
即该放射性物质平均每 30 分钟脉冲计数 的95%可信区间为322.8～397.2个。
样本均数与总体均数的比较
直接计算概率法 正态近似法
u
X 0
0
直接计算概率法
例5.16
H 0： 此地区患病率与一般患病率相等，即 0
H 1： 此地区患病率高于一般患病率，即 0
从某学校随机抽取 26 名学生，发现有 4 名
感染沙眼，试求该校沙眼感染率 95%可信区间
本例 n=26， X =4，查附表 3 的可信度为 95%的 可信区间为(4%，35%)。
总体率的可信区间(正态近似法）
p u
S , p u S p p
例5.4
估计显效率的95%的可信区间
10
20
Poisson分布的正态近似
当20时已接近正态分布，当50时则非 常接近正态分布。
Poisson分布的性质
当20时已接近正态分布，当50时则 非常接近正态分布。 方差等于均数: 2= 泊松分布资料的可加性
服从Poisson分布也有三个条件
二项分布知识点
二项分布知识点对于很多人来说，二项分布可能是一个比较陌生的概念。
但实际上，它是概率论中非常重要的一种概率分布，常常被应用于实际问题的解决中。
一、二项分布的定义二项分布（Binomial distribution）是一种离散型概率分布，它描述的是独立重复试验中成功次数的概率分布。
其中，“独立”指的是每次试验不会受到前一次试验结果的影响，“重复”指的是试验可以进行多次，“成功”指的是每次试验成功的概率。
二项分布的数学表达式为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功的次数为k的概率，n表示试验次数，p 表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。
二、二项分布的性质1. 期望值与方差二项分布的期望值与方差分别为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
2. 大数定理大数定理是概率论中的一条基本定理，用于描述随机事件的平均值会随着实验次数的增加而趋于稳定。
在二项分布中，当试验次数n越大，成功概率p越小时，二项分布越趋近于正态分布。
3. 中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一条重要定理，用于描述当随机事件独立重复多次时，这些事件的和的分布趋近于正态分布。
在二项分布中，当试验次数n越大时，二项分布的形状趋近于正态分布。
三、二项分布的应用二项分布常常应用于实际生活中的问题中，例如：1. 产品合格率问题假设一个工厂制造的产品合格率为90%，每生产100个产品取样检验，成功率不变，求生产的100个产品中至少有95%产品合格的概率。
解：由于每个产品是否合格是一个二项分布，因此可以使用二项分布来求解。
令X为合格的数量，n=100，p=0.9，由于要求至少95%的合格率，因此可以计算X≥95的概率：P(X≥95) = 1 - P(X<95) = 1 - Σ i=0…94 (100 i) * 0.9^i * 0.1^(100-i) ≈ 0.021因此，生产的100个产品中至少有95%产品合格的概率为2.1%左右。
二项分布计算公式
二项分布计算公式
《二项分布计算公式》
二项分布（binomial distribution）是把某次独立随机试验的取值结果作为一个分布的一种概率分布，由微观经济学家P.S. 哈克（P.S. Hacke）最早提出。
它是统计学最具代表性和应用最广泛的分布之一，可以描述各种社会、经济、工业和生物学等多学科中的事件，是进行统计抽样的重要分布形式。
二项分布定义：对于满足关于以下参数的独立试验：n次试验；每次成功的概率为p；则这n次试验中成功次数的概率分布满足二项分布，记为 X＝X（n，p）。
二项分布的概率质量函数：
P(X=x)＝Cxn px（1－p）n－x
其中Cxn＝n！/[x！（n－x）！
- 1 -。
二项分布概念与图表和查表方法
二项分布概念与图表二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
目录1 定义▪统计学定义▪医学定义2 概念3 性质4 图形特点5 应用条件6 应用实例）。
如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：二项分布公式二项分布公式P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
那么就说这个属于二项分布。
其中P称为成功概率。
记作ξ~B(n,p)期望：Eξ=np；方差：Dξ=npq；其中q=1-p证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。
因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。
设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).因X(k)相互独立，所以期望：方差：证毕。
如果1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；2．每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关；3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验。
在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。
二项分布可二项分布，即x变量具有μ =np，的正态分布。
式中n为独立试验的次数，p为成功事件的概率，q=1- p。
由于n很大时二项分布逼近正态分布，其平均数，标准差是根据理论推导而来的，故用μ和σ而不用X和S表示。
它们的含意是指在二项试验中，成功的次数的平均数μ =np，成功次数的分散程。
二项分布
二项分布科技名词定义中文名称：二项分布英文名称：binｏｍｉal distribution定义:描述随机现象得一种常用概率分布形式,因与二项式展开式相同而得名。
所属学科:大气科学(一级学科);气候学(二级学科)本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布二项分布二项分布即重复ｎ次得伯努里试验。
在每次试验中只有两种可能得结果,而且就就是互相对立得，就就是独立得,与其它各次试验结果无关,结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验。
目录概念医学定义二项分布得应用条件二项分布得性质与两点分布区别编辑本段概念二项分布（Biｎoｍial Distｒibｕtion),即重复n次得伯努力试验(Ｂｅrnouｌli Experiment),用ξ表示随机试验得结果、如果事件发生得概率就就是P,则不发生得概率ｑ=1-p,N次独立重二项分布公式复试验中发生Ｋ次得概率就就是P(ξ=K）=Cｎ（k）P(ｋ）q(n-k)注意!:第二个等号后面得括号里得就就是上标，表示得就就是方幂。
那么就说这个属于二项分布、、其中Ｐ称为成功概率。
记作ξ～B(n，ｐ)期望:Eξ=np方差:Dξ=npq如果1、在每次试验中只有两种可能得结果，而且就就是互相对立得;2、每次实验就就是独立得，与其它各次试验结果无关;３、结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验、在这试验中,事件发生得次数为一随机事件，它服从二次分布、二项分布可二项分布以用于可靠性试验、可靠性试验常常就就是投入n个相同得式样进行试验T 小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验得概率、若某事件概率为p,现重复试验n次,该事件发生k次得概率为:P=C(k,n)×p^k×(1－p)^(n-ｋ)、C(ｋ,ｎ)表示组合数，即从n个事物中拿出k个得方法数、编辑本段医学定义在医学领域中，有一些随机事件就就是只具有两种互斥结果得离散型随机事件,称为二项分类变量(diｃｈotｏmｏｕs vaｒiable）,如对病人治疗结果得有效与无效,某种化验结果得阳性与阴性,接触某传染源得感染与未感染等。
二项分布的概念
二项分布的概念在统计学和数学中，二项分布是一种离散概率分布，它用来描述某一实验或某一过程中，出现二个结果中任意一个结果的次数。
二项分布也称为伯努利分布，是由美国数学家兼数学生物学家艾伦伯努利首次提出的，描述的是实验的“成功”和“失败”的发生情况。
一般来说，二项分布可以用来描述一实验或一过程中，实验者观察到的二个结果的概率。
其中，“成功”指的是结果为正的情况，而“失败”则指的是结果为负的情况。
例如，一个实验者正在进行一个抛掷硬币试验，其中，正面朝上表示“成功”，反面朝上表示‘失败”。
在这个试验中，实验者可以通过计算正面朝上次数与反面朝上次数之间的概率来明确二项分布的适用性。
二项分布可以进一步细分为两个独立的概率分布：一种是几何分布，另一种是二项分布。
几何分布专注于计算实验中连续试验中“成功”的概率；而二项分布则聚焦于实验中独立试验中“成功”的概率。
几何分布用于描述实验者在进行连续独立试验时观察到的“成功”数量的概率分布。
例如，实验者正在进行一次抛硬币尝试，而它可以将这次实验分解为多次试验，以便计算抛8次硬币出现正面朝上的概率。
这要求实验者试验中每次抛硬币出现正面的概率是一定的，也就是说，把8次试验看作一个整体，它们无论如何都不会对几何分布产生影响。
二项分布则更加聚焦于实验中独立试验中“成功”的概率。
它也可用于描述独立实验中出现正面的概率，但是与几何分布不同的是，实验者在计算概率时，必须考虑每次试验的概率是不一定的，也就是说，把8次试验看作一个整体，它们无论如何都会对二项分布产生影响。
为了计算二项分布的概率，我们可以采用伯努利概率假设，即独立试验中每次“成功”的概率都相同。
然后，可以使用二项函数计算独立试验中指定次数成功的概率。
二项分布在统计学和金融中有着广泛的应用。
例如，在金融投资中，投资者可以使用二项分布来估计某一项目投资的可能性；在计算机科学中，二项分布可以用于建立概率模型以预测某种程序失败的概率；在生物学上，二项分布常用于研究群体中的病症的发病率、致病率以及诊断结果的可能性。
常用离散分布-二项分布
(一)常用离散分布这里将给出三个常用的离散分布：二项分布、泊松分布与超几何分布。
1 .二项分布我们来考察由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件：⑴重复进行n次随机试验。
比如，把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量，对一个目标连续射击n次等。
2 2) n次试验间相互独立，即任何一次试验结果不会对其他次试验结果产生影响。
⑶每次试验仅有两个可能的结果，比如，正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有某特性，以下统称为“成功”与“失败工(4)每次试验成功的概率均为p,失败的概率均为1-p。
在上述四个条件下，设X表示n次独立重复试验中成功出现的次数，显然X是可以取0,1,..., n等n+1个值的离散随机变量，且它的概率函数为：n= x) = /(1一。
)1 , x=O,l,…3(1.2-4)W'G这个分布称为二项分布，记为父乩，)，其中是从n个不同元素中取出/个的蛆合数，它的计算公式为：\X)G、_ n\㈤%!(« - x)!二项分布的均值、方差与标准差分别为：E(X) = npVar{X}-4>(1 - p)—=加(1-0)特例：n=i的二项分布称为二点分布。
它的概率函数为：产= —, x = O,l或列表如下：x | 0 1 ____________P P它的均值、方差与标准差分别为跃© = P，gr(X) = Hl-⑼，6X)=［pQ-p)［例1.2-10］在一个制造过程中，不合格品率为0.1，如今从成品中随机取出6个，记X为6个成品中的不合格品数，则x服从二项分布8(6 ,0.1),简记为X〜堆，0.1) o现研究如下几个问题：(1)恰有1个不合格品的概率是多少?这里规定抽到不合格品为“成功” > 则事件XE的概率为：P{X = 1) = x0.1x(l-0.1)6-i = 6x0.1x0.95 =0.3543Uz这表明, 6个成品中恰有一个不合格品的概率为0. 3543-类似可计算X=0 , X=1 ,…'X=6的概率，计算结果可列出一张分布列，具体如下：X 0 1 2 3 4 5 6P 0.5314~0.3543 0.0984 0.0146 0.0012 0.0001 0.0000这里0. 0000表示X=6的概率取前4位小数的有效数字为零,实际上，它的概率为P 0(=6)=0. 000001 ,并不严格为零。
二项分布分布函数
二项分布分布函数二项分布分布函数是概率论中常见的一种分布函数。
它是指在一系列独立重复的试验中，成功的次数符合二项分布的概率函数。
在实际生活中，二项分布分布函数的应用非常广泛，比如在统计学、生物学、物理学、工程学等领域都有重要的应用。
二项分布分布函数的定义二项分布分布函数是指在n次独立重复的试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，成功的次数为X，则X的概率函数为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个物体中取k个物体的组合数。
即C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)二项分布分布函数的性质1.期望值二项分布X的期望值为：E(X)=np其中，n为试验次数，p为每次试验成功的概率。
2.方差二项分布X的方差为：Var(X)=np(1-p)3.特殊情况当n=1时，二项分布就是伯努利分布。
伯努利分布的概率函数为：P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k)当n趋近于无穷大时，二项分布趋近于正态分布。
二项分布分布函数的应用1.质量控制在生产过程中，为了保证产品质量，需要进行质量控制。
如果每个产品的不良率为p，则在n个产品中有k个不良品的概率就可以用二项分布分布函数来计算。
这样可以帮助企业及时发现产品质量问题，提高产品质量。
2.投资分析在投资分析中，需要对投资收益进行概率分析。
如果每次投资的成功率为p，失败率为1-p，则在n次投资中成功k次的概率可以用二项分布分布函数来计算。
这样可以帮助投资者制定合理的投资策略，降低投资风险。
3.医学研究在医学研究中，需要进行药物试验。
如果每次试验的成功率为p，失败率为1-p，则在n次试验中成功k次的概率可以用二项分布分布函数来计算。
这样可以帮助医学研究者评估药物的疗效，提高药物疗效。
4.市场调查在市场调查中，需要对市场研究结果进行概率分析。
如果每个被调查者购买产品的概率为p，则在n个被调查者中有k个人购买产品的概率可以用二项分布分布函数来计算。
二项分布表示形式
二项分布表示形式
二项分布是一种离散型概率分布，其表示的是在 n
次独立重复试验中，成功的次数 X 的概率分布。
其中每次试验中成功的概率为 p，失败的概率为 1-p，即：
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中，C(n,k) 表示从 n 次试验中 k 次成功的组合数，即：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!) 。
此处的 k 取值范围为 0 <= k <= n，表示 0 到 n
次成功的情况。
另外，二项分布也可以表示为伯努利分布的 n 次独立重复。
伯努利分布表示的是单次试验中成功的概率分布，即 X = 1 或 X = 0，而二项分布表示重复 n 次试验中成功的次数 X 的概率分布，相当于对多次独立的伯努利试验的结果进行统计分析。
二项分布
假设检验过程
1.建立假设：
H0 ： 1 = 0.01 H1 ： 1 <0.01 2.确定显著性水平， 取0.05。 3.计算统计量：P（0）＋P（1）直接得到概率P。 4.求概率值P： 5.做出推论：
例6-4 已知输卵管结扎的育龄妇女实施 壶腹部-壶腹部吻合术后的受孕率为0.55。 今对10名输卵管结扎了的育龄妇女实施 峡部-峡部吻合术，结果有9人受孕。问 实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率是否 高于壶腹部-壶腹部吻合术的受孕率？
样本率的总体标准差p:
样本率的标准差（标准误)Sp:
Sp
p (1 p ) n
二项分布的应用：统计推断
总体率区间估计 样本率与总体率的比较 两样本率的比较
六、总体率区间估计
查表法
n 50
正态分布法
n , n(1 ) 5
公式：pµ Sp
n≤50
例6-2 在对13名输卵管结扎的育龄妇女 经壶腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕 情况，发现有6人受孕，试据此资料估计 该吻合术受孕率的95%可信区间。 查附表6
0.05
p 0.582 , n 251, 0.07 (1 0.07 ) p 0.016 n 251 p 0.582 0.07 u 32 .0, u0.05 1.645 , p 0.016 接受H1，即可认为污染后氟斑牙的患病率有所增加。
H 0： 0.1326 H 1： 0.1326
0.05
p 0.0935 , n 460 , p 0 0.0935 0.1326 u 0 (1 0 ) / n 0.1326 (1 0.1326） 460 / 2.4727 u0.05 1.645 , u 2.4727 1.645 , p 0.05， 在 0.05的水准上拒绝H 0，接受H 1， 即可认为该人群高血压患病率低于一般人群。
二项分布
二项分布一、二项分布的概念及应用条件1. 二项分布的概念:如某实验中小白鼠染毒后死亡概率P为0.8,则生存概率为=1-P=0.2，故对一只小白鼠进行实验的结果为：死（概率为P）或生（概率为1-P）对二只小白鼠（甲乙）进行实验的结果为：甲乙均死（概率为P2）、甲死乙生[概率为P(1-P)]、乙死甲生[概率为(1-P）P]或甲乙均生[概率为(1-P）2]，概率相加得P2+P(1-P)+(1-P）P+(1-P）2=[P+(1-P)]2依此类推，对n只小白鼠进行实验，所有可能结果的概率相加得Pn+cn1P(1-P)n-1+...+cnxPx(1-P)n-x+...+(1-P)x=[P+(1-P)]n 其中n为样本含量,即事件发生总数，x为某事件出现次数,cnxPx(1-P)n-x为二项式通式，cnx=n!/x!(n-x)!, P为总体率。
因此，二项分布是说明结果只有两种情况的n次实验中发生某种结果为x次的概率分布。
其概率密度为：P(x)=cnxPx(1-P)n-x, x=0,1,...n。
2. 二项分布的应用条件:医学领域有许多二分类记数资料都符合二项分布(传染病和遗传病除外)，但应用时仍应注意考察是否满足以下应用条件：(1) 每次实验只有两类对立的结果；(2) n次事件相互独立；(3) 每次实验某类结果的发生的概率是一个常数。
3. 二项分布的累计概率二项分布下最多发生k例阳性的概率为发生0例阳性、1例阳性、...、直至k例阳性的概率之和。
至少发生k例阳性的概率为发生k例阳性、k+1例阳性、...、直至n例阳性的概率之和。
4. 二项分布的图形二项分布的图形有如下特征：(1)二项分布图形的形状取决于P 和n 的大小；(2) 当P=0.5时，无论n的大小，均为对称分布；(3) 当P<>0.5 ,n较小时为偏态分布,n较大时逼近正态分布。
5. 二项分布的均数和标准差二项分布的均数µ=np，当用率表示时µ=p二项分布的标准差为np(1-p)的算术平方根，当用率表示时为p(1-p)的算术平方根。
二项分布 分布律公式
二项分布分布律公式二项分布是概率论中的一种离散概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中，成功次数的概率分布。
它的分布律公式可以表达为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功次数为k的概率，C(n,k)表示组合数，表示从n次试验中选取k次成功的组合数，p表示每次试验成功的概率，(1-p)表示每次试验失败的概率。
二项分布可以用来解决很多实际问题，比如在进行n次独立重复的试验中，成功次数为k的概率是多少？或者在进行n次独立重复的试验中，成功次数不超过k的概率是多少？下面我们通过几个例子来说明二项分布的应用。
例子1：某医院进行了100次独立的手术，手术成功的概率为0.9。
现在我们想知道，在这100次手术中，成功次数为80的概率是多少？根据二项分布的分布律公式，可以得到：P(X=80) = C(100,80) * 0.9^80 * (1-0.9)^(100-80)计算得到的结果为0.000169，即手术成功次数为80的概率约为0.0169%。
例子2：某超市每天有100个顾客来购物，每个顾客购买商品的概率为0.3。
现在我们想知道，在一天里，购买商品的顾客不超过30个的概率是多少？根据二项分布的分布律公式，可以得到：P(X<=30) = P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=30)P(X=0) = C(100,0) * 0.3^0 * (1-0.3)^(100-0)P(X=1) = C(100,1) * 0.3^1 * (1-0.3)^(100-1)...P(X=30) = C(100,30) * 0.3^30 * (1-0.3)^(100-30)将上述各项概率相加，可以得到购买商品的顾客不超过30个的概率。
通过计算，可以得到购买商品的顾客不超过30个的概率约为0.0738，即约为7.38%。
通过以上两个例子，我们可以看到二项分布可以用来解决许多实际问题。
二项分布函数
二项分布的分布函数公式：s^2=((m-x1)^2+(m-x2)^2+......+(m-
xn)^2)/n。
在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。
用X 表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n，且对每一个k（0≤k≤n），事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k 次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布。
图形特点
对于固定的n以及p，当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少。
可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且:
1、当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值。
2、当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。
二项分布 公式
二项分布公式摘要：I.引言- 介绍二项分布的概念- 阐述二项分布的重要性II.二项分布的定义与性质- 定义二项分布- 解释二项分布的概率质量函数- 描述二项分布的期望与方差III.二项分布的公式- 详细阐述二项分布的公式- 解释公式中的参数含义- 举例说明如何使用公式计算二项分布的概率IV.二项分布的应用- 介绍二项分布在各领域的应用- 重点阐述在实际问题中的应用场景V.总结- 回顾二项分布的概念、性质、公式及应用- 强调二项分布的重要性正文：【引言】二项分布，作为离散概率分布的一种，广泛应用于各个领域。
无论是在统计学、概率论还是实际问题中，二项分布都占据着重要地位。
本文将详细介绍二项分布的概念、性质、公式及其应用。
【二项分布的定义与性质】二项分布，是指在n次独立重复试验中，成功次数的概率分布。
假设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则二项分布的概率质量函数（PMF）可以表示为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功次数为k的概率，C(n, k)表示从n个试验中选择k 个成功的组合数。
二项分布具有以下性质：1.期望：E(X) = n * p2.方差：Var(X) = n * p * (1-p)【二项分布的公式】二项分布的公式主要包括概率质量函数、累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）。
1.概率质量函数：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)2.累积分布函数：P(X≤k) = Σ P(X=i)（i从0到k）3.概率密度函数：f(x) = Σ P(X=k)（k从x到n，包括x）【二项分布的应用】二项分布在实际问题中有着广泛的应用，例如：1.伯努利试验：在科学研究、医学试验等领域，常常需要对某一事件进行多次独立重复试验，通过二项分布可以计算事件发生的概率。
2.概率论：二项分布是概率论中的基本分布之一，与其他分布如泊松分布、正态分布等结合，可以解决更复杂的概率问题。
二项分布函数公式
二项分布函数公式为：P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)，其中：
•X 表示随机试验的结果
•n 表示试验次数
•k 表示指定事件发生的次数
•p 表示指定事件在一次试验中发生的概率
•C(n,k) 表示组合数，即从n 个不同项中取出k 个的不同方式的数目
•p^k 表示事件发生的次数的概率
•(1-p)^(n-k) 表示事件未发生的次数的概率
二项分布描述了在n 次独立重复的伯努利试验中，事件 A 恰好发生k 次的概率分布。
伯努利试验指的是每次试验中事件 A 只有两种可能的结果（通常表示为“成功”和“失败”），并且每次试验中事件 A 发生的概率p 保持不变，各次试验之间也相互独立。
使用这个公式，我们可以计算在给定试验次数n 和单次试验成功概率p 的情况下，事件 A 发生特定次数k 的概率。
这对于分析诸如抛硬币、抽取有奖卡片等具有固定成功概率和重复次数的随机事件非常有用。
《二项分布》知识点整理
•精品文档・《二项分布》知识点整理《二项分布》知识点整理:二项分布的定义二项分布即重复n次的伯努力试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验-：超几何分布在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有件次品，抽检n件时所得次品数X=k,则P (X=k)此时我们称随机变量X服从超几何分布1)超几何分布的模型是不放回抽样2)超几何分布中的参数是,N,n 上述超几何分布记作X~H (n, , N) o二项分布：—般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p,则,k=0, 1, 2, ••- n,此时称随机变量X服从二项分布，记作X〜B (n, p),并独立重复试验：(1) 独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.(2) —般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每件试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称P为成功概率.(3) 独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.(4) 独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数, 需要弄清公式中n, p, k的意义，才能正确运用公式.二项分布的判断与应用：(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2, ••- , n)是第i次试验的结果.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好” “恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n, p, k的意义。
二项分布的计算公式
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二项分布的计算公式
二项分布（Binomial Distribution ）是离散概率分布的一种，描述了在一系列独立的二元实验中成功的次数的概率分布。
在每次实验中，只有两种可能的结果，通常被标记为成功（Success ）和失败（Failure ）。
二项分布的计算公式如下：
其中：
• P(X=k) 是成功的次数恰好为 k 的概率。
• C(n,k) 是组合数，表示从 n 次实验中取 k 次成功的组合数。
计算公式为!(,)!()!
n C n k k n k =− • p 是每次实验成功的概率。
• n 是实验的总次数。
• (1)n k p −−表示失败的概率，即不成功的次数。
这个公式描述了在进行 n 次独立的二元实验中，成功恰好 k 次的概率。
这个概率质量函数适用于二项分布。
例如，如果你进行了10次独立的硬币投掷实验（每次成功的概率为0.5），并想要知道正好有3次正面的概率，你可以使用二项分布的计算公式。
在这种情况下， n=10， k=3， p=0.5，然后使用上述公式计算概率。
二项分布的分布列公式
二项分布的分布列公式
二项分布是一种离散型概率分布，描述的是重复进行n次独立的是/非实验，每次实验中成功的概率为p，失败的概率为1-p，而在这n次实验中成功的次数的概率分布。
二项分布的分布列公式可以表示为：
P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中，X表示成功的次数，k表示成功的次数取值，n表示实验次数，p表示每次实验成功的概率，1-p表示每次实验失败的概率，C(n,k)表示从n次实验中取出k次成功的组合数，可以计算为：
C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)
这个公式可以用于计算二项分布的概率分布，也可以用于计算二项分布的期望和方差。
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【模块标题】二项分布 【模块目标】★★★★★☆ 迁移【模块讲解】知识回顾：1.定义：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,,n ⋅⋅⋅，并且()()1n kk kn P k C p p ξ−==−（其中0,1,2,,k n =⋅⋅⋅），即分布列为()n p B ，2.二项分布的期望与方差：若()n p B ξ，，则()=E np ξ，()()1D np p ξ=−【教材内容1】利用二项分布的计算式求解问题(3星)<讲解指南>一.题型分类：1.二项分布基本概念题型；2.根据二项分布求某一事件的概率；3.根据二项分布求某一范围的概率；4.根据二项分布求EX 、DX 及其变形；5.根据EX 求概率p 及某一事件的概率6.根据EX 和DX 求np 二.方法步骤：1.根据条件判断是否服从二项分布；2.根据二项分布的性质列出相应的分布列3. 根据二项分布的公式求解数学期望及方差； 三.难点：本节的难点在于根据二项分布的公式进行某一事件或某一范围求概率的题型，需要教会学生求解二项分布里面的参数，然后套用公式进行求解。
<题目讲解>例1. 下列随机变量ξ服从二项分布的是（ ）。
（1）随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数； （2）某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；（3）有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数()M N ＜；（4）有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数()M N ＜A. ()2 ()3B. ()1 ()4C. ()3 ()4D.()1 ()3练1. 下面随机变量X 的分布列不属于二项分布的是（）A 、据中央电视台新闻联播报道，一周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒的概率是0.65，设在这一周内，某电脑从该网站下载数据n次中被感染这种病毒的次数为XB 、某射手射击击中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需要的射击次数为XC 、某射手射击击中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，射击n 次命中目标的次数为XD 、位于某汽车站附近有一个加油站，汽车每次出站后到这个加油站加油的概率为0.6，国庆节这一天有50辆汽车开出该站，假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的，去该加油站加油的汽车数为X例⎛ ⎝A B练2. 若随机变量X 服从二项分布24,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（ ） A 、()()13P X P X === B 、()()221P X P X === C 、()()23P X P X === D 、()()341P X P X ===例3. 若1~10,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2P ξ≥=( )A 、111024 B 、501512 C 、 10131024 D 、 507512练3. 已知随机变量~6,2X B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()5P X ≤=（ ）A 、78B 、18C 、6364D 、3132例4. 已知随机变量ξ服从二项分布1~34B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则E ξ=（ ）A 、964B 、34C 、916D 、43练4. 某班有14名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出 5名学生，其中数学成绩优秀的学生数例5. 已知随机变量()~36,B p ξ，且()12E ξ=，则()D ξ＝________.练5 若()~B p ξ6，，且()3E ξ=，则()1P ξ=的值为（ ） A 、32 B 、14 C 、332 D 、116例6. 随机变量ξ服从二项分布()~B n p ξ，，且()()=300=200E D ξξ，，则p 等于（ ）A 、23 B 、 13 C 、 14 D 、12练<讲解小结>通过本章节的学习，着重需要注意以下几个方面：①授课思路：这部分内容讲解的时候，首先需要先针对二项分布的概念进行细致讲解，然后解决二项分布某一值和某一范围的概率问题，之后根据二项分布的性质解决数学期望和方差的题型，最后进行变形式的讲解与分析。
②这章节的难点在于根据二项分布的公式进行某一事件或某一范围求概率的题型，需要教会学生求解二项分布里面的参数，然后套用公式进行求解。
【深度拓展】<拓展讲解>除了二项分布基本概念、求概率和数学期望、方差的题型外，还可以结合独立重复试验，下面我们针对这种类型进行讲解<题目讲解><拓展小结>遇到这种类型题，先根据已知的条件求解概率p ，然后带入另一个二项分布进行求解。
备选题库： 1.已知随机变量X服从二项分布1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2P X =等于（）A 、80243B 、4243C 、13243D 、13162.若随机变量1~5,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，那么(1P X ≤4.已知随机变量()~4,X B p ，若()2E X =，则(D X5.设X 为随机变量，1~,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，若随机变量X 的数学期望()2E X =，则()2P X =等于( )A 、80243B 、13243C 、4243D 、13166.随机变量ξ服从二项分布()~,B n p ξ，且()()60,15E D ξξ==，则p =__________.7. 设随机变量()~2,X B p ，随机变量()~3,Y B p ，若()519P X ≥=，则()31D Y += ．【教材内容2】二项分布在实际问题中的应用(4星)<讲解指南>一.题型分类：1.求某一事件的二项分布概率表示形式；2.根据二项分布求分布列；3.根据二项分布求数学期望及方程；4.根据统计图像求二项分布的分布列及数学期望5.最佳方案选择。
二.方法步骤：1.根据条件判断是否服从二项分布；2.根据二项分布的性质列出相应的分布列3. 根据二项分布的公式求解数学期望及方差；4.利用二项分布的数学期望进行最佳方案的选择。
三.难点：本节的难点在于根据二项分布进行最佳方案的选择，需要教会学生求二项分布的分布列及数学期望，然后套用公式进行求解。
<题目讲解>例8.已知某品种的幼苗每株成活率为p ，则栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为（ ）2A p 、 B 、()21p p − C 、223C p D 、()2231C p p −练8. 小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A 、49B 、29C 、427D 、227例9. 某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社会医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地A B C三家社区医院，并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，区有,,求X的分布列．练9. 9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种的费用，写出X的分布列．例10. 射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7,假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（）A、2.1B、2C、0.9D、0.63练10. “微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己及好友每日行走的步数、排行榜，也可以与其他用户进行运动量的PK或点赞.现从某用户的“微信运动”朋友圈中随机选取40人，记录他们某一天的行走步数，并将数据整理如下：规定：用户一天行走的步数超过8000步时为“运动型”，否则为“懈怠型”.将这40人中“运动型”用户的频率看作随机抽取1人为“运动型”用户的概率.从该用户的“微信运动”朋友圈中随机抽取4人，记X为“运动型”用户P X≤和X的数学期望；的人数，求()3例11. 北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能AlphaGo 与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，AlphaGo 获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在1:4．人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．（1）根据已知条件完成如图列联表，并据此资料判断你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？ （2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记所抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望()EX 和方差()D X ．附：()()()()()22n ad bc Ka b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++．练11. 在一次体能测试中，某研究院对该地区甲、乙两学校做抽样调查，所得学生的测试成绩如下表所示：（1）将甲、乙两学校学生的成绩整理在所给的茎叶图中，并分别计算其平均数；（2）若在乙学校被抽取的10名学生中任选3人检测肺活量，求被抽到的3人中，至少2人成绩超过80分的概率；（3）以甲学校的体能测试情况估计该地区所有学生的体能情况，则若从该地区随机抽取4名学生，记测试成绩在80分以上（含80分）的人数为X，求X的分布列及期望.<讲解小结>通过本章节的学习，着重需要注意以下几个方面：①授课思路：这部分内容讲解的时候，首先需要先针对二项分布某一事件的概率进行专门的求值，然后列出分布列，计算数学期望和方差，之后根据数学期望和方差进行方案的选择；②本节的难点在于根据二项分布进行最佳方案的选择，需要教会学生求二项分布的分布列及数学期望，然后套用公式进行求解。
【深度拓展】<拓展讲解>除了利用二项分布求某一事件的概率、分布列和数学期望、方差之外，还可以利用数学期望和方差解决方案选择问题，下面我们针对这部分进行讲解与分析.<题目讲解>不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X 的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累X Y,求3,计的得分的数学期望较大?练12. 移动公司进行促销活动，促销方案是：顾客消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为20%，中奖后移动公司返还顾客现金1000元。