线面所成角的求法
线面角的求法总结
线面角的求法总结一．直接法：平面的斜线与斜线在平面的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （如图1 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
解:（1）∵SC⊥SB,SC⊥SA,图1∴SC⊥平面SAB 故SB是斜线BC 在平面SAB上的射影，∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。
（2）连结SM,CM，则SM⊥AB,又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM,∴面ABC⊥面SCM过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC∴CH即为SC 在面ABC的射影。
∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。
sin ∠SCH=SH／SC∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）二利用公式sinθ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （如图2）长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面AB1C1D 所成的角。
解：设点B 到AB1C1D的距离为h,=V A﹣BB1C1∴1／3S△AB1C1·h= 1／3 S△BB1C1·AB，易得h=12／5∵V B﹣AB1C1设AB 与面A B1C1D 所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／5图2∴AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin 4／5三. 利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2（如图3）若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α的射影，OC为面α的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，图3θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ=cosθ1·cosθ2（同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC所成的角的余弦值。
线面所成角的正弦值公式
线面所成角的正弦值公式
正弦值公式是一种通过线面所成角来求出正弦值的方法。
它是一个数学工具，常用于计算曲线和曲面的角度和长度。
正弦值公式是数学中一种非常重要的概念，它可以用来计算角度和长度，并能够提供准确的结果。
正弦值公式可以通过三角函数来计算。
在三角函数中，正弦函数就是根据给定的角度求出正弦值的函数。
因此，正弦值公式就是根据给定的角度求出正弦值的公式。
它的公式为：sinθ=a/b，其中θ为线面所成的角度，a为线段的长度，b为线段的宽度。
正弦值公式在很多领域中都有应用。
它可以用来计算复杂的几何图形的角度和长度，也可以用来计算地理学中的曲线和曲面的角度和长度。
此外，正弦值公式还可以用于物理学中的力学计算，以及电磁学、声学和光学等领域的应用。
正弦值公式是一种简单有效的数学工具，可以用来计算线面所成角的正弦值。
它提供了一种可靠的方法来计算角度和长度，并可以应用于多个领域。
因此，正弦值公式在数学中具有重要的作用，并且在很多领域中都有广泛的应用。
线面角的求法总结
线⾯⾓的求法总结线⾯⾓的三种求法1．直接法：平⾯的斜线与斜线在平⾯内的射影所成的⾓即为直线与平⾯所成的⾓。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平⾯内的射影所组成的直⾓三⾓形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作⽤。
例1 （如图1 ）四⾯体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平⾯SAB 所成的⾓。
（2）SC 与平⾯ABC 所成的⾓。
解:（1）∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平⾯SAB 故 SB 是斜线BC 在平⾯SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平⾯SAB 所成的⾓为60°。
（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,⼜∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平⾯SCM, ∴⾯ABC ⊥⾯SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平⾯ABC ∴CH 即为 SC 在⾯ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平⾯ABC 所成的⾓。
sin∠SCH=SH ／SC∴SC 与平⾯ABC 所成的⾓的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是⾯ SAB 的垂线，⼜是⾯ ABC 的斜线. 作⾯的垂线常根据⾯⾯垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平⾯垂直的平⾯，然后⼀⾯内找出或作出交线的垂线，则得⾯的垂线。
） 2. 利⽤公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平⾯所成的⾓， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到⾯的距离）既是关键⼜是难点，为此可⽤三棱锥的体积⾃等来求垂线段的长。
例2 （如图2）长⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与⾯ AB 1C 1D 所成的⾓。
解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与⾯ A B 1C 1D 所成的⾓为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H4C123BAD图2∴AB 与⾯AB 1C 1D 所成的⾓为arcsin 4／5 3. 利⽤公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3）若 OA 为平⾯的⼀条斜线，O 为斜⾜，OB 为OA 在⾯α内的射影，OC 为⾯α内的⼀条直线，其中θ为OA 与OC 所成的⾓，B αOAC图3θ1为OA 与OB 所成的⾓，即线⾯⾓，θ2为OB 与OC 所成的⾓，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可⾃⼰证明），它揭⽰了斜线和平⾯所成的⾓是这条斜线和这个平⾯内的直线所成的⼀切⾓中最⼩的⾓（常称为最⼩⾓定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的⾓为60°, ，求直线OA 与⾯OBC 所成的⾓的余弦值。
线面直线所成的角
线面直线所成的角
“线面直线所成的角”通常是指空间中两条直线与一个平面所成的角。
这个概念在几何学中非常重要，因为它涉及到空间中的几何关系和角度测量。
当两条直线与一个平面相交时，它们会形成一个夹角。
这个夹角的大小取决于这两条直线的方向和它们与平面的相对位置。
如果这两条直线在平面内，那么它们所成的角就是 0 度；如果这两条直线与平面垂直，那么它们所成的角就是 90 度；如果这两条直线与平面平行，那么它们所成的角就是 180 度。
在实际应用中，常常需要计算线面直线所成的角。
例如，在建筑设计中，需要计算两条墙壁之间的夹角，以确保房间的布局合理；在机械工程中，需要计算两个零件之间的夹角，以确保它们能够正确地装配在一起。
线面直线所成的角是一个非常重要的概念，它在几何学和实际应用中都有广泛的应用。
线面角的求法
线面角的求法xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•线面角的定义•线面角的求法•线面角的应用01线面角的定义直线与平面的交点是求解线面角的关键，可以通过向量数量积的运算求得交点。
直线与平面的交点与平面内的点构成有向线段，可以表示为$\overset{\longrightarrow}{n} \cdot\overset{\longrightarrow}{r}$，其中$\overset{\longrightarrow}{n}$是平面法向量，$\overset{\longrightarrow}{r}$是直线上的向量。
两个平面相交于一条直线，这条直线可以用两个平面的法向量求解。
设两个平面分别为$\alpha$和$\beta$，其法向量分别为$\overset{\longrightarrow}{n1}$和$\overset{\longrightarrow}{n2}$，则两个平面的交线为$\overset{\longrightarrow}{n1} \times\overset{\longrightarrow}{n2}$。
线面角的范围是$\lbrack 0,\frac{\pi}{2}\rbrack$，其中$0$表示直线与平面重合，$\frac{\pi}{2}$表示直线与平面垂直。
当直线与平面平行时，线面角为$0$；当直线与平面垂直时，线面角为$\frac{\pi}{2}$。
线面角的范围02线面角的求法首先确定直线和平面的向量，通常用向量表示为$\mathbf{a},\mathbf{b}$。
夹角公式通过向量数量积和向量模长的计算，得到线面角的正弦值，即$\sin\theta =|\frac{\mathbf{a} \cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}| $。
确定向量利用向量求线面角VS1利用坐标系求线面角23建立适当的坐标系，确定直线和平面的方程。
建立坐标系通过求解直线和平面方程的交点，得到交线向量。
直线与平面所成角公式
正弦值公式为：直线和平面所成的角的正弦=两个向量的乘积除两个向量模的乘积。
（也就是：两向量是法向量和直线所在的向量）。
先做平面的法向量，然后求直线和法向量所成的角的余弦=两向量的乘积除两向量模的乘积。
则直线和平面所成的角=90度-直线和法向量所成的角。
直线和平面所成的角是一个数学名词。
或曰：线面所成角，直线与平面所成角。
1、定义：当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角。
当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角。
2、范围：0°≤θ≤90°（斜线与平面所成的角θ的范围是0\u003cθ\u003c90°。
）3、求法：作出斜线在平面上的射影；4、斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。
直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种。
相交，汉语词汇。
释义为两条直线互相交叉在一起、交于一点。
交朋友，做朋友。
直线与曲线交于两点，且这两点无限相近，趋于重合时，该直线就是该曲线在该点的切线。
初中数学中，若一条直线垂直于圆的半径且过圆的半径的外端，称这条直线与圆相切。
相切是平面上的圆与另一个几何形状的一种位置关系。
相离，就是互相分离的意思。
求线面角的方法 总结
求线面角的方法总结一、概述线面角是指一条直线与一个平面的夹角，常见于几何学、物理学等领域。
在实际应用中，求解线面角是非常重要的，因为它可以帮助我们计算出很多物理量，如反射角、折射角等。
本文将详细介绍如何求解线面角的方法。
二、基本概念1. 直线：在平面上无限延伸的一条连续的点。
2. 平面：在空间中无限延伸的一个连续的点集。
3. 线面角：由直线与平面之间所夹成的角度称为线面角。
三、求解方法1. 通过余弦定理求解余弦定理是指三边已知时，可以通过余弦函数来计算出任意一个角度大小。
因此，在已知直线和平面之间距离以及直线与平面夹角大小时，可以通过余弦定理来求解线面角。
具体步骤如下：（1）确定直线和平面之间距离d以及直线与平面夹角θ；（2）根据余弦定理公式cosθ = a²+b²-c²/2ab来计算出θ。
2. 通过正弦定理求解正弦定理是指在已知一个角度和它对应的两条边的长度时，可以通过正弦函数来计算出另外两个角度的大小。
因此，在已知直线和平面之间距离以及直线与平面夹角大小时，可以通过正弦定理来求解线面角。
具体步骤如下：（1）确定直线和平面之间距离d以及直线与平面夹角θ；（2）根据正弦定理公式sinα/a = sinβ/b = sinθ/d来计算出θ。
3. 通过向量求解在三维空间中，我们可以用向量来表示一条直线或者一个平面。
因此，在已知直线和平面的向量表达式时，可以通过向量的点积公式来求解它们之间的夹角。
具体步骤如下：（1）确定直线和平面的向量表达式L和N；（2）根据向量的点积公式cosθ = L·N/|L||N|来计算出θ。
四、注意事项1. 在使用余弦定理或正弦定理求解时，需要注意单位一致性问题。
通常情况下，我们需要将所有长度单位转换为相同的单位进行计算。
2. 在使用向量求解时，需要注意向量之间的坐标系一致性问题。
如果两个向量不在同一个坐标系中，则需要将它们转换到同一个坐标系中进行计算。
线面角的求法总结
线面角的三种求法直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角(1)取值范围0°≤θ≤90° (2)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②解含θ的三角形，求出其大小.1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。
线线角-线面角的向量求法--
线线角-线面角的向量求法--
在几何中，线段与面的角度是指两个线段在空间上的夹角，一条线段穿过一个平面，产生了一个线面角。
它的计算是利用空间线段的垂直向量来求解的，它与传统的线线角的求法有所不同。
线面角的求法主要有以下三种：
（1）直接求解线段的垂直向量。
利用空间线段的垂直向量，可以比较容易地求出线面角，其具体步骤是：（1）确定两个空间线段，并计算出每条线段的斜率；（2）由斜率计算出线段的垂直向量；（3）通过两个垂直向量的夹角来求出线面角的余弦值，然后将余弦值转化为角度值，即，线面角的值。
（2）转换为线线角的求法。
首先，由空间线段可以构造出一个平面；然后，可以将两个空间线段在这个平面上展开，其中一条线段是斜45°展开，另一条线段则与它垂直，这样，就可以计算出展开后的两条线段间的夹角，这个夹角就是原来空间中的线面角。
（3）空间坐标描述求解法。
空间线段可以根据它的端点坐标来描述，给定每条线段的端点坐标，可以用端点坐标计算出空间线段的方向向量，由此可以计算出这两条线段的夹角，即空间中的线面角。
线面角的求法总结
线面角的求法总结三种求解线面角的方法1.直接法：当平面的斜线与斜线在平面内的射影相交时，它们所成的角即为直线与平面所成的角。
一般通过解直角三角形来计算，其中垂线段是最重要的元素，它可以联系各线段。
例如，在四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，且∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
解：（1）由于SC垂直于SB和SA，因此SB是BC在平面SAB上的射影，∴∠XXX为60°。
2）连接SM和CM，得到SM垂直于AB。
由于SC垂直于AB，因此AB垂直于平面SCM，从而面ABC垂直于面SCM。
过S作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC，∴CH即为SC在面ABC内的射影。
因此，∠SCH为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为√7／7.2.利用公式sinθ=h／ι，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长。
求出垂线段的长是关键也是难点，可以使用三棱锥的体积相等来求解。
例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A1A=4，求AB与面AB1C1D1所成的角的正弦值。
解：设点B到AB1C1D1的距离为h，由于VAB1C1D1=VA1B1C1D，因此1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，解得h=12／5.设AB与面AB1C1D1所成的角为θ，则sinθ=h／AB=4／5.3.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2已知，其中AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂直于平面α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内的射影。
设AC是平面α内的任意一条直线，且OBC垂直于AC，垂足为C，则∠BAO=θ1，∠BAC=θ2.例如，如图所示，求直线AB与平面α所成的角的余弦值。
解：由于OB垂直于平面α，因此∠XXX即为直线AB与平面α所成的角。
线面角的三种求法
长方体ABCD A1B1C1D1 , AB 3，BC 2, A1A 4，求AB与面AB1C1D 所成的角的正弦值
设点B到平面 AB1C1D的距离为 h 1
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
成角，B是A在上的射影,OD是内的
直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6
解:
3
由最小角原理得ຫໍສະໝຸດ cosAOD cosBODcos
即cos 60 cos30 cos
。
A
O
B
C
D
cos 3
3
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面 的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂 直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知
∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且 PA= 2 ，求PB与平面PAC所成的角.
A
B
α
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
VB AB1C1 VABB1C1 3 SBB1C1 • AB 得h 12
线面角的求法
03
线面角的应用
平面几何中的应用
01
直线和平面的交点
02
三角形的高线
通过线面角，可以确定一条直线和一 个平面的交点位置。
在三角形中，可以使用线面角确定高 线的位置，从而求得三角形的面积。
03
圆和直线的位置关系
通过线面角，可以确定一条直线和一 个圆的位置关系。
空间几何中的应用
确定空间中点的位置
通过线面角，可以确定一个点在 三个平面上的位置。源自空间几何体的表面积 和体积
通过线面角，可以确定一个几何 体的表面积和体积。
异面直线的距离
通过线面角，可以确定两条异面 直线之间的距离。
物理学中的应用
弹性碰撞
在弹性碰撞中，可以通过线面 角确定入射和反射的角度。
光的反射和折射
在光学中，可以通过线面角确定 光的反射和折射角度。
波的传播
在波的传播过程中，可以通过线面 角确定波的方向。
利用圆的性质
在圆中，利用圆的性质可以求出圆的半径和 圆心坐标等。
利用向量求解的技巧
01
02
03
向量的数量积
利用向量的数量积可以求 出两个向量的夹角，进而 求出线面角。
向量的向量积
利用向量的向量积可以求 出两个向量的外积，进而 求出线面角。
向量的模长
利用向量的模长可以求出 线段或平面的长度等。
06
计算点的坐标
根据题目所给条件，计算出线 段或平面上的点的坐标。
计算向量
利用向量的坐标运算性质，计 算出线段或平面上的向量的坐
标。
利用几何定理求解的技巧
利用勾股定理
在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线 段或平面上的点到原点的距离。
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★线面所成角的求法：［。
勺
1•作图一一证明一一计算
求角的关键在于找出平面的垂线及斜线的射影。
一般地通过斜线上某个特殊点 作出平面的垂线来找角。
角的计算一般是把已知条件归结到同一个或归结到几个有 关的三角形中，从而把空间的计算转变为平面图形内的解直角三角形或斜三角形的 边长相等，则AB i 与侧面ACC i A i 所成角的正弦值等于
A 亞
B 血
C 边 A. 4
B. 4
C.
2
4.如图，在长方体 ABCD — A i B i C i D i 中，AB = BC = 2,
7
僅―
A
a
问题。
A i D
n
与BC i所成的角为2,则BC i与平面BB I D I D所成角的正弦值为()代£B? C.^5 D¥
5..正四棱锥S-ABCD中，0为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO
=0D，则直线BC与平面PAC所成的角是 _____________ .
6. 如图，已知点P在正万体ABC B A B‘ C D的对角线BD上，/ PDA F60° .
(1)求DP与CC所成角的大小；
⑵求DP与平面AA D D所成角的大小.
1
7. 已知三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC, AB丄AC，PA= AC= qAB, N为
AB上一点，AB = 4AN，M，S分别为PB、BC的中点. “
(1)证明：CM丄SN;
⑵求SN与平面CMN所成角的大小. ' ；
8 如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA丄平面ABCDE，AB - // CD，
AC// ED，AE // BC，/ ABC = 45°, AB = 2迈，BC = 2AE = 4,三角形FAB 是等腰三角形.
(1)求证：平面PCD丄平面PAC;
⑵求直线PB与平面PCD所成角的大小；
(3)求四棱锥P-ACDE的体积.
9.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E 是棱DD的中点.
(1) 求直线BE和平面ABBA1所成的角的正弦
值；
(2) 在棱CD上是否存在一点F，使BF//平面ABR证明你的结论.
10.如图，四棱锥PABC中，底面ABCD为矩形，PDL底面ABCD AXPD, E, F分别为CD PB的中点.
(1)求证：EF丄平面PAB
⑵设AB = 2BC，求AC与平面AEF 的正弦
值.
11.如图，四棱锥P-ABCD中，底面
ABCD是矩形，PA丄底面ABCD，PA =AB=
1, AD = 3,点F是PB的中点，点E在边BC
上移动.
(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面
PAC的位置关系.并说明理由；⑵证明：无论
点E在BC边的何处，都有PE!AF;
⑶当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45 °?。