三角函数恒等变换(整理)
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三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+b cosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。
三角函数恒等变换知识点总结
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三角函数 三角恒等变换知识点总结
一、角的概念和弧度制:
（1)在直角坐标系内讨论角:
角的顶点在原点,始边在 轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。
2．图像
3、图像的平移
对函数y=Aｓｉn(ωx＋)＋k（A＞0,ω>0,≠0,k≠0),其图象的基本变换有:
(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的．A＞1,伸长;Ａ＜1，缩短.
(2)周期变换（横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω>1，缩短;ω＜1，伸长.
（3）相位变换（横向平移变换):是由φ的变化引起的.＞0,左移;<０,右移.
（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用:
①已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。
注意：用平方关系，有两个结果,一般可通过已知角所在的象限加以取舍,或分象限加以讨论。
②求任意角的三角函数值。
步骤:
③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的,而是有无数多个.
步骤:①确定角 所在的象限;
如:角 的终边上一点 ，则 。注意r>0
(2)在图中画出角 的正弦线、余弦线、正切线;
比较 , ， , 的大小关系:。
(３）特殊角的三角函数值:
０
sin
cｏs
三、同角三角函数的关系与诱导公式:
（１）同角三角函数的关系
作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
三角函数的恒等变换总结
三角函数的恒等变换总结三角函数的恒等变换，是运用三角公式，变换三角表达式中的函数、角度和结构，把一个表达式变换成另一个与它等价的表达式．三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展，进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方祛，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握下列最基本最常见的变换：（1）公式变换三角公式是三角恒等变换的基础，必须深刻理解公式、抓住公式的特点，熟练地将三角公式正向、逆向、变形和综合使用。
①正确理解公式中和、差、倍的相对性例如单角可以看成是和角的差，又可以看成与角的和，可以看成是的半角，又可以看成是的倍角这样我们在三角恒等变换的过程中，就能整体地把握角之间的关系，灵活使用公式。
③抓住公式中角、函数、结构的特点．例如在公式中，角减半则函数次数翻倍．第一种变形便于和因式分解相联系，后两种变形直接地将用的余弦或正弦表示出。
又如在公式中，涉及到、的和与积，这个公式常常和韦达定理联用．③公式的正向使用要特别注意一个三角函数式的多种表达形式和几个三角公式的联用。
例如：④公式的逆向使用．如⑤公式的变形使用．如：，，，（2）角度变换角度变换是三角函数恒等变换的首选方法。
在进行三角恒等变换时，对角之间关系必须进行认真的分析。
①分析角之间的和、差、倍、分关系。
如，，，②在数值角的三角函数式化简中，要特别注意是否能够产生特殊角。
③熟悉两角互余、互补的各种形式，如，，正确使用诱导公式。
④引入辅助角进行角的变换。
如其中辅助角在哪个象限，由、的符号确定，的值由确定。
下列特殊情况必须熟记：；；；（3）函数变换函数变换是指“弦化切”法和“切化弦”法。
在同角三角函数变换中，弦切互化主要是应用公式；在非同角三角变换中，函数变换往往依赖于角度变换。
（4）1的变换。
如：，，，，，（5）幂的变换公式，常用来升幂和降幂，所便根据需要将三角函数式按一定方向进行变形。
三角恒等变换的基本题型三角恒等变换主要包括求值、化简、证明．（1）求值常见的有给用求值、给值求值、给值求角．①给角求值的关键是正确地分析角间关系，准确地选用公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数值相约或相消，从而求出三角函数式的值；③给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值；③给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断该角对应函数的单调区间，最后求出角．（2）化简化简有两种常见的形式①未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式②根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．（3）证明它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．①无条件恒等式的证明．证明时要认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．③有附加条件的恒等式的证明/证明的关键是恰当地利用附加条件，要认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．消元法即用代入加减、乘除、平方后相加减等手段消去某些量；基本量方法就是适当选择其中可以独立取值的量作为基本量，把其它的量都用基本量表示出来，从而将问题归结为研究这些量之间的关系．。
三角恒等变换知识点总结
三角恒等变换专题-、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴ cos ： - ： = cos ： cos 1 sin ： sin ：:⑵ cos ： 二 cos ： cos ； -sin ： sin ：；⑶ sin ： - - =sin ： cos ； -cos ： sin ： ；（4） sin ： : =sin ： cos ： cos ： sin ：；⑸ tan —J an -tan〔1 +tanot tan P形式―曲氏。
…,2 Sin ：「，其中聞「迁（tan ： - tan ： = tan ： - - 1 tan ： tan ：）；⑹tan ：—旦匹1 -tan 。
tan P（tan 二 1 tan ：二 tani* T"； ]1「tan ： tan ：）.2、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴ sin2： =2sin : cos ：.= 仁sin2：2 2 2=si n ： cos ；二 2si n _：〉cos 「 - （s in ：二⑵ cos2：二 cos :「sin 2 ： = 2cos 2 < -1 二 1「2sin 2: 2 ：' =升幕公式 1 cos ： - 2cos ,1 - cos ： =2sin 2cos2-：i }12 ：'=■降幕公式cos2:■21 一：⑶tan2,西二1 -ta n «万能公式半角公式a cos -21 cos a sintan -21 - cos a-1 cos a. a;sin 2sin a 1 cos a1「cos a sin a4、合一变形=把两个三角函数的和或差化为"一个三角函数, a2 tan2 ;cos2a(后两个不用判断符号，更加好用) 2atan —2 tan 2 a2一个角，一次方”的y = A sin() B5. （1）积化和差公式1 sin 用 cos - = [sin （-：匚 + - ）+sin （二--）]2 1cos -：： cos ，，-'= [cos （：+ - ）+cos （-：i --）]2（2）和差化积公式ct + P a - P sin 、’+sin - = 2 sin ---------------- COS ------1cos/ sin - = [sin （二I + - ）-sin （-：i --）]2 1sin -：： sin= -[cos （二i + - ）-cos （二i -a + P a - Psin 、’ - sin = 2 COS ----- s in --------21 cos2：cos -■二 ------------2 sin c os 、£ =1 sin2-f27、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公 式，掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下：（1 ）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差, 倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如: ①2是〉的二倍；4是2'的二倍；:-是 '的二倍；2 '是一的二倍；24② 15° =45° -30°30ooo=60 - 45.问： sin —二:cos —21212—―TTTT^TT③〉=（二：亠「）_ _ :④ _ . = 一 _（一 _：.）.4 2 4'⑤ 2：二（黒亠卩）（）=（_：）_（_-：）.等等（2） 函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
复杂的三角恒等变换
复杂的三角恒等变换三角恒等变换（Trigonometric Identity Transformation）是初级数学中的重要章节之一，通过对三角函数间的恒等式进行变形和化简，加深对三角函数的理解和掌握，提高解题能力。
以下是一些常见的三角恒等变换及其演化过程：1. 和差公式$\sin(a+b)=\sin a\cos b + \cos a\sin b$$\cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a\sin b$$\tan(a+b)=\frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\tan b}$2. 镜像公式$\sin(\pi - a)=\sin a$$\cos(-a)=\cos a$$\tan(-a)=-\tan a$3. 反三角函数公式$\sin(\arcsin a)=a$$\cos(\arccos a)=a$$\tan(\arctan a)=a$4. 积分与微分公式$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$ $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ $\int\cos x\,dx=\sin x+C$ 5. 简化公式$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ $\sec^2 x = \tan^2 x +1$ $\csc^2 x = \cot^2 x +1$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$\tan^2 x = \sec^2 x -1$6. 和积公式$\sin a\sin b = \frac{1}{2}(\cos(a-b) - \cos(a+b))$ $\cos a\cos b = \frac{1}{2}(\cos(a-b) + \cos(a+b))$ $\sin a\cos b = \frac{1}{2}(\sin(a-b) + \sin(a+b))$ 7. 特殊角度公式$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\tan 45^\circ =1$$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$以上是一些常见的三角恒等变换，希望能对初学者有所帮助。
三角恒等变换公式大全
三角恒等变换公式大全三角函数恒等变换是指将一个三角函数用其他三角函数表示的等式，称为三角函数的恒等变换公式。
通过恒等变换可以将复杂的三角函数表达式转化为简化的形式，从而方便计算和求解。
以下是一些常用的三角函数恒等变换公式：1.正弦函数的恒等变换公式：- 正余弦关系：$\sin^2x+\cos^2x=1$- 正弦的平方变换：$1-\cos^2x=\sin^2x$- 余弦的平方变换：$1-\sin^2x=\cos^2x$- 和差化积：$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$2.余弦函数的恒等变换公式：- 正余弦关系：$\sin^2x+\cos^2x=1$- 余弦的平方变换：$1-\sin^2x=\cos^2x$- 正弦的平方变换：$1-\cos^2x=\sin^2x$- 和差化积：$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$3.正切函数的恒等变换公式：- 正切的定义：$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$- 正切的倒数关系：$\tan x=\frac{1}{\cot x}$- 倍角公式：$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$- 和差化积：$\tan(x\pm y)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}$4.余切函数的恒等变换公式：- 余切的定义：$\cot x=\frac{1}{\tan x}$- 余切的倒数关系：$\cot x=\frac{1}{\tan x}$- 倍角公式：$\cot 2x=\frac{\cot^2 x - 1}{2\cot x}$- 和差化积：$\cot(x\pm y)=\frac{\cot x\cot y \mp 1}{\cot y \pm \cot x}$5.正割函数的恒等变换公式：- 正割的定义：$\sec x=\frac{1}{\cos x}$- 正割的倒数关系：$\sec x=\frac{1}{\cos x}$- 平方关系：$\sec^2x=1+\tan^2x$6.余割函数的恒等变换公式：- 余割的定义：$\csc x=\frac{1}{\sin x}$- 余割的倒数关系：$\csc x=\frac{1}{\sin x}$- 平方关系：$\csc^2x=1+\cot^2x$7.和差化积公式：- $\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$- $\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$- $\tan(x\pm y)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}$ - $\cot(x\pm y)=\frac{\cot x\cot y \mp 1}{\cot y \pm \cot x}$8.二倍角公式：- $\sin 2x=2\sin x\cos x$- $\cos 2x=\cos^2 x - \sin^2 x$- $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$9.平方关系公式：- $\sin^2 x+\cos^2 x=1$- $1+\tan^2 x=\sec^2 x$- $1+\cot^2 x=\csc^2 x$10.二分公式：- $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$- $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$- $\tan^2 x=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$以上是一些常用的三角函数恒等变换公式，这些公式在三角函数的计算和求解中经常被使用。
三角函数的恒等变换总结
三角函数的恒等变换总结三角函数是数学中的重要概念，涉及到三角学和解析几何等多个领域。
在解决各种数学问题和实际应用时，经常需要使用到三角函数的恒等变换。
三角函数的恒等变换指的是将一个三角函数表示为另外一个或多个三角函数的等价形式，这种变换可以简化问题的求解过程，扩展问题的应用范围。
本文将对常用的三角函数的恒等变换进行总结，以便读者了解和掌握。
1.正弦函数的恒等变换：-正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1：sin²(x) + cos²(x) = 1-正弦函数的余角与余弦函数的关系：sin(π/2 - x) = cos(x)-正弦函数的反函数与余弦函数的关系：sin^(-1)(x) = arcsin(x) = π/2 - cos^(-1)(x)2.余弦函数的恒等变换：-余弦函数的平方和正弦函数的平方等于1：cos²(x) + sin²(x) = 1-余弦函数的补角与正弦函数的关系：cos(π/2 - x) = sin(x)-余弦函数的反函数与正弦函数的关系：cos^(-1)(x) = arccos(x) = π/2 - sin^(-1)(x)3.正切函数的恒等变换：-正切函数可以表示为正弦函数与余弦函数的比值：tan(x) = sin(x) / cos(x)-正切函数的平方与余切函数的平方等于1：tan²(x) + cot²(x) = 1-正切函数的倒数与余切函数的关系：tan^(-1)(x) = arctan(x) = π/4 - cot^(-1)(x) 4.余切函数的恒等变换：-余切函数可以表示为余弦函数与正弦函数的比值：cot(x) = cos(x) / sin(x)-余切函数的平方与正切函数的平方等于1：cot²(x) + tan²(x) = 1-余切函数的倒数与正切函数的关系：cot^(-1)(x) = arccot(x) = π/4 - tan^(-1)(x) 5.正割函数和余割函数的恒等变换：-正割函数可以表示为1与余弦函数的商：sec(x) = 1 / cos(x)-余割函数可以表示为1与正弦函数的商：csc(x) = 1 / sin(x)-正割函数和余割函数与正弦函数和余弦函数的关系：sec(x) = 1 / cos(x) = 1 / (1 / tan(x)) = cos^(-1)(x) /sin^(-1)(x)csc(x) = 1 / sin(x) = 1 / (1 / cot(x)) = sin^(-1)(x) /cos^(-1)(x)以上是常见的三角函数的恒等变换，可以应用于三角函数的化简、解方程、证明等各种数学问题的求解中。
三角函数的恒等变换
三角函数的恒等变换三角函数是数学中重要的一类函数，它们在几何、物理以及工程等领域都有广泛的应用。
在进行数学推导和计算时，使用三角函数的恒等变换是非常常见的技巧。
本文将介绍常见的三角函数恒等变换，以及它们的应用。
一、正弦和余弦的恒等变换1. 正弦函数的恒等变换正弦函数的恒等变换之一是正弦函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB该公式可以将正弦函数的和差转化为乘积形式，方便进行进一步的计算和推导。
同时，也可以通过该公式将乘积形式转化为和差形式。
2. 余弦函数的恒等变换余弦函数的恒等变换之一是余弦函数的和差化积公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB该公式与正弦函数的和差化积公式类似，可以将余弦函数的和差转化为乘积形式，并且也可以通过该公式将乘积形式转化为和差形式。
二、正切和余切的恒等变换1. 正切函数的恒等变换正切函数的恒等变换之一是正切函数的和差化积公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)该公式可以将正切函数的和差转化为乘积形式，方便进行进一步的计算和推导。
2. 余切函数的恒等变换余切函数的恒等变换之一是余切函数的和差化积公式：cot(A ± B) = (cotAcotB ∓ 1) / (tanA ± tanB)该公式与正切函数的和差化积公式类似，可以将余切函数的和差转化为乘积形式。
三、正弦、余弦和正切的恒等变换1. 正弦函数的平方与余弦函数的平方的关系：sin²A + cos²A = 1这是三角函数中最为著名的恒等变换之一，称为三角恒等式。
它表明了正弦函数的平方与余弦函数的平方之和始终等于1。
2. 正切函数与余切函数的关系：tanA = 1 / cotA这个恒等变换表明了正切函数和余切函数互为倒数关系。
三角函数恒等变换知识点总结
三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。
来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式1.余弦的平方公式：cos^2θ + sin^2θ = 1这是最为基本的三角恒等变换，它表示余弦函数平方加正弦函数平方等于12.余弦的二倍角公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ这个公式表示一个角的余弦的二倍等于该角的余弦平方减去正弦平方。
3.正弦的二倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示一个角的正弦的二倍等于两倍该角的正弦函数和余弦函数的乘积。
4.余弦的和差公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ - sinθsinφ这个公式用于求两个角的和或差的余弦。
5.正弦的和差公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ这个公式用于求两个角的和或差的正弦。
6.正切的和差公式：tan(θ ± φ) = (tanθ ± tanφ) / (1 ∓ tanθtanφ)这个公式用于求两个角的和或差的正切。
7.余弦的和公式：cos(θ + φ) = cosθcosφ - sinθsinφ这个公式表示两个角的和的余弦等于两个角的余弦乘积减去两个角的正弦乘积。
8.余弦的差公式：co s(θ - φ) = cosθcosφ + sinθsinφ这个公式表示两个角的差的余弦等于两个角的余弦乘积加上两个角的正弦乘积。
9.正弦的和公式：sin(θ + φ) = sinθcosφ + cosθsinφ这个公式表示两个角的和的正弦等于两个角的正弦乘积加上两个角的余弦乘积。
10.正弦的差公式：sin(θ - φ) = sinθcosφ - cosθsinφ这个公式表示两个角的差的正弦等于两个角的正弦乘积减去两个角的余弦乘积。
11.三角函数的平方公式：sin^2θ = (1 - cos2θ) / 2cos^2θ = (1 + cos2θ) / 2这些公式表示正弦函数和余弦函数的平方可以用角的余弦的二倍来表示。
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式三角恒等变换是指三角函数之间相互转化的一系列公式，利用这些公式可以简化三角函数的计算与证明。
下面是一些常用的三角恒等变换公式（完整版）：1.倍角公式：- $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$- $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta =2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$2.半角公式：- $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$- $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$- $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$3.和差公式：- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta$- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp\sin\alpha\sin\beta$- $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm\tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4.二倍角公式：- $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$- $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$- $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$5.和差化积公式：- $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$- $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))$- $\sin\alpha\cos\beta =\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$6.积化和差公式：- $\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\sin\alpha-\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$7.和差化积与积化和差的关系：- $\sin\alpha\pm\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha\pm\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha \mp\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$8.和差化积的平方形式：- $\sin^2\alpha+\sin^2\beta = 1 -\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$- $\cos^2\alpha+\cos^2\beta = 1 +\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$这些公式在解三角方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等方面有重要应用。
三角恒等变换公式
三角恒等变换公式三角恒等变换公式如下：1、二倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]2、三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα3、半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα4、万能公式：半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]5、积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 6、和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]三角函数的起源：早期对于三角函数的研究可以追溯到古代，古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯，他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同），对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。
三角函数的恒等变换
三角函数的恒等变换近年来，随着科技进步和人们对数学领域的深入研究，三角函数在各个领域得到了广泛的应用。
在不同应用场景中，选择不同的三角函数恒等变换方法能够更好地满足需求并简化计算。
本文将介绍主要的三角函数恒等变换和应用场景。
一、正弦函数的恒等变换1. 正弦函数的和差公式$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$2. 正弦函数的二倍角公式$\sin(2x)=2\sin x\cos x$3. 正弦函数的半角公式$\sin(\frac{x}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$应用场景：正弦函数的恒等变换在求解三角形等式和积分等问题中应用广泛，也可以用于优化计算和简化三角函数的表达式。
二、余弦函数的恒等变换1. 余弦函数的和差公式$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$2. 余弦函数的二倍角公式$\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1$3. 余弦函数的半角公式$\cos(\frac{x}{2})=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$应用场景：余弦函数的恒等变换在三角函数的求导、极值、周期解析和测量误差修正等方面都具有广泛的应用。
三、正切函数的恒等变换1. 正切函数的和差公式$\tan(x\pm y)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp\tan x\tan y}$2. 正切函数的二倍角公式$\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$3. 正切函数的半角公式$\tan(\frac{x}{2})=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$应用场景：正切函数的恒等变换在三角学、三维几何分析、电学和声学等领域广泛应用，尤其在计算机图形学、计算机渲染、人脸识别和计算机动画等方面具有重要作用。
三角函数恒等变换
三角函数恒等变换是一组变换，它们可以使三角函数的形式不变。
这些变换包括平移、缩放和旋转。
1.平移变换是指将函数在坐标轴上向左或向右移动一定距离。
例如，对于函数y=sin(x)，
将其平移π/2单位，可得到y=sin(x+π/2)。
2.缩放变换是指将函数在坐标轴上按照一定比例缩放。
例如，对于函数y=sin(x)，将其按
照比例缩放2倍，可得到y=2*sin(x)。
3.旋转变换是指将函数在坐标轴上逆时针旋转一定角度。
例如，对于函数y=sin(x)，将其
逆时针旋转90°，可得到y=cos(x)。
通过这些变换，我们可以将三角函数转化为不同的形式，但是它们的性质是不变的。
高一数学上期三角函数恒等变换知识归纳与整理
《三角函数恒等变换》知识归纳与整理一、基本公式1、必须掌握的基本公式（ 1）两角和与差的三角函数C() S() T ()CC SSSC CST T1 T T同名乘积的和与差异名乘积的和与差（ 2）二倍角的三角函数S22S CC 2222C22C S1 1 2 S差点等于 1T 22T21 T （ 3）半角的三角函数S21C2C 21C 2T 21CT s i n1 c o s1C2 1 c o s s i n2、理解记忆的其他公式（ 1）积化和差C C 1C(2[C())]同名相乘用余弦；S S1[C(C()]2- )异名相乘用正弦。
S C 1[S(S()]留首项，用加法；剩尾项，用减法。
2)C S 1[ S(S()] 2)（ 2）和差化积S S2[S 2C 2]S S2[S 2C 2]正弦加减得异名；余弦加减得同名。
C C2[C2C2]加法得 2 倍首项；减法得 2 倍尾项。
C C2[S2 S2]（ 3）万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式）2T2S1T2221T C1T 2 2 2T 2T22 1T2（ 4）辅助角公式22ba s i nxbc o sx a b s i nx( )其中： tan a常见的几种特殊辅助角公式：①sinx cos x 2 sin( x)4②sinx 3 cos x 2sin( x)3③3sinx cos x 2 sin( x)6④s i nx c o sx 2 s i nx()4⑤s i nx 3 c o sx 2s i nx()3⑥3s i nx c o sx 2s i nx()6二、理解证明1、两个基本公式的证明①C C C S S 的证明方法：()在单位圆内利用两点间的距离公式证明。
计算繁杂。
在化简中注意使用“221”sin cos②C()CC SS的证明方法：在单位圆内利用向量的数量积证明。
计算简便。
运用向量数量积与两向量的夹角关系来证明。
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高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ⊆∈，有D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题：①函数xx f -=2)(为R 上的1高调函数；②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数；③如果定义域为),1[+∞-的函数2)(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞；④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数.其中真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时)(x f 的图像如图，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是（ ）A ．)3,2()1,0()2,3(ππ⋃⋃-- B ．)3,2()1,0()1,2(ππ⋃⋃--C ．)3,1()1,0()1,3(⋃⋃--D ．)3,1()1,0()2,3(⋃⋃--π4. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b ab 2sin 2sin log log ,22<>，bc a c b 3222+=+,若0<⋅BC AB ，则C B sin cos +的取值范围是（ ）A.)23,23(B.)23,23(-C.)3,23(D.)23,23(- 5. 复数()在坐标平面中对应的点分别是,若函数（为坐标原点），则下列命题正确的是（）A ．)(x f 最大值为2B ．)(x f 的图像向左平移4π个单位后对应的函数是奇函数 C ．)(x f y =的周期为π2D ．)(x f 的图像向左平移4π后对应函数图像关于0=x 对称 6.给出下列的四个式子：①b a -1，②b a +1，③a b +1，④ab-1；已知其中至少有两个式子的值与的值相等，则（ ）A ．θθ2sin ,2cos ==b aB ．θθ2cos ,2sin ==b aC ．2cos ,2sinθθ==b a D ．2sin ,2cos θθ==b a7. 已知集合{})(|),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈)(1,1，存在M y x ∈)(2,2，使得02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：①⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x M 1|),( ②{}2|),(-==xe y y x M③{}x y y x M cos |),(==④{}x y y x M ln |),(==其中所有“好集合”的序号是A ．①②④B ．②③C ．③④D ．①③④ 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且＝(b －c ，cosC)，＝(a ，cosA)，，则cosA 的值等于（ ）9.已知函数（为常数，且），对于定义域内的任意两个实数、，恒有成立，则正整数可以取的值有（ ）A ．4个B ．5个C ．6 个D ．7个10. 直线与函数的图像相切于点，且，为坐标原点，为图像的极大值点，与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为，则（ ）A. B. C. D. 211.函数（ω＞0），在区间[a ，b]上是增函数，且，则函数在[a ，b]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M 12、下图展示了一个由区间到实数集R 的映射过程：区间中的实数x 对应轴上的点M （如图1）：将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合（从A 到B 是逆时针，如图2）：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在x 轴上，点A 的坐标为(1,0)（如图3），图3中直线OM 的斜率为k ，则x 的象就是k ，记作)(x f k =。
有下列判断：(1))(x f 是奇函数；(2) )(x f 是存在3个极值点的函数；(3) )(x f 的值域是；(4) )(x f 是区间上的增函数。
其中正确的是( )A 、(1)(2)B 、(1)(3)C 、(2)(3)D 、(1)(4)13.设. 若当时，恒成立，则实数M 的取值范围是（ ） A ．B.C ．D.14. 函数xx x x f sin 2cos 231sin )(---=)20(π≤≤x 的值域是( )A.]0,22[-B. ]0,1[-C. ]0,2[-D. ]0,3[- 15. 如图, l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线, l 1与l 2间的距离是1, l 2与l 3间的距离是2, 正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上, 则△ABC 的边长是( )A.32B.364 C.4173 D. 3212 16.已知函数xxx f sin )(=，下列命题正确的是 .（写出所有正确命题的序号） ①)(x f 是奇函数； ②对定义域内任意x ，)(x f <1恒成立； ③当23π=x 时，)(x f 取得极小值； ④)3()2(f f >； ⑤当0>x 时，若方程k x f =)(有且仅有两个不同的实数解)(,βαβα>，则βαβsin cos -=.17.在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是___.18.给出以下四个命题： ①已知命题；命题则命题是真命题；②过点且在轴和轴上的截距相等的直线方程是；③函数在定义域内有且只有一个零点；④若直线和直线垂直，则角其中正确命题的序号为______．（把你认为正确的命题序号都填上） 19.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数，下列函数：①; ②；③;④;其中是一阶格点函数的有_______.20. 已知函数)(11sin )(R x x x x x f ∈++-=的最大值为M ，最小值为m ，则M+m 的值_______. 21. 在△中，角的对边分别为，已知，且，则△的面积的最大值为________.22.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且c A b B a 21cos cos =-，当)tan(B A -取最大值时,角C 的值为 .23.如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为 .24.满足条件AB=2, AC=BC 的三角形ABC 的面积的最大值是 .25. 在△ABC 中, D 为边BC 上一点,CD BD 21=， ∠ADB=120°, AD=2. 若△ADC 的面积为3-, 则∠BAC= .26.在△ABC 中, B=60°, AC=, 则AB+2BC 的最大值为 .27. 已知)0)(3sin()(>+=ωπωx x f ，)3()6(ππf f =，且f(x) 在区间)3,6(ππ内有最小值, 无最大值, 则ω= .28. 在中角的对边分别为且，（1）判断的形状；（2）求sinA+sinB 的取值范围；（3）若，试确定的取值范围.29. 在一个特定时段内, 以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域. 点E正北55海里处有一个雷达观测站A. 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B, 经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sinθ=, 0°<θ<90°) 且与点A相距10海里的位置C.(Ⅰ) 求该船的行驶速度(单位:海里/小时) ;(Ⅱ) 若该船不改变航行方向继续行驶, 判断它是否会进入警戒水域, 并说明理由.答案1.A2.D3.B4. A5. D6. A7. B8. C9. B 10. B 11. C12. B 13.D 14.B15. D16.②④⑤①中，函数的定义域是，且，所以函数是偶函数，所以①不正确；②中，设，则，所以函数是增函数，所以，所以，所以当时，，即，又函数是偶函数，所以当时，，所以，综上所得，对定义域内任意x，<1恒成立，所以②正确；③中，由于，所以，所以不是的极值点，所以③不正确；④中，当时，，所以恒成立，所以函数在区间上是减函数，又,所以，所以④正确；⑤中，当时，，所以关于的方程即有且仅有两个不同的实数解，在同一坐标系中画出函数和函数的图象，如图所示，则这两个图象仅有两个交点，且右边的交点是直线与函数的图象相切的切点，所以是切点，并且切线斜率，所以切线方程是，又点在切线上，所以，即，所以⑤正确.17.，18. ①③19.③④20.221.22.23.(2-sin 2,1-cos 2)24.225.60°26.227.28.（1）∵，∴，----1分由正弦定理，得，∴，∴，----------2分又，∴，∴，∴即，∴，------------3分∴△ABC是直角三角形.------------------------------4分(2)由（1）知，∴=，---6分又，即的取值范围是.---------------------------8分(3)∵，∴，由正弦定理，得，-------------9分设=，则,∴，------------------------------------------10分∴，，设，，则恒成立，∴在上是减函数，∴的值域是，即，∴的取值范围为.----------------------------------12分29、(Ⅰ) 如图, AB=40, AC=10, ∠BAC=θ, sin θ=.由于0°<θ<90°,所以cos θ==.由余弦定理得BC==10.所以船的行驶速度为=15(海里/小时) .(Ⅱ) 解法一:如图所示, 以A为原点建立平面直角坐标系,设点B、C的坐标分别是B(x1, y1) , C(x2, y2) , BC与x轴的交点为D.由题设有, x1=y1=AB=40,x2=ACcos∠CAD=10cos(45°-θ) =30,y2=ACsin∠CAD=10sin(45°-θ) =20.所以过点B、C的直线l的斜率k==2,直线l的方程为y=2x-40.又点E(0, -55) 到直线l的距离d==3<7.所以船会进入警戒水域.解法二:如图所示, 设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中, 由余弦定理得cos∠ABC===.从而sin∠ABC===.在△ABQ中, 由正弦定理得,AQ===40.由于AE=55>40=AQ, 所以点Q位于点A和点E之间, 且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP⊥BC 于点P, 则EP为点E到直线BC的距离.在Rt△QPE中, PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC) =15×=3<7.所以船会进入警戒水域.37.(Ⅰ) f '(x) ==.当2kπ-<x<2kπ+(k∈Z) 时,cos x>-, 即f '(x) >0;当2kπ+<x<2kπ+(k∈Z) 时,cos x<-, 即f '(x) <0. 因此f(x) 在每一个区间(k∈Z) 是增函数, f(x) 在每一个区间(k∈Z) 是减函数.。