三年级下册数学试题-暑假提升-第2讲 等差数列(一)(解析版)全国通用

（3） 5 、10 、（15 ）、（ 20 ）、25 、30 ；

（4） 28 、（ 24 ）、20 、16 、12 、8 ；

（5） 88 、79 、70 、（ 61 ）、52 、（ 43 ）；

（6） 2 、4 、6 、12 、14 、（ 28 ）、30 、60 。 第二讲 等差数列（一）

知识要点：

数列

按照一定次序排列的一列数叫数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）、第2 项、第3 项、……、第n 项、……。

数列的一般形式可以写成：a 1 、a 2 、a 3 、……、a n 、……；其中a n 是数列的第 n 项；这个数列可以简记作{a n }（ n 为正整数）。

等差数列

如果一个数列{a n }，从第2 项起的每一项 a n 与它的前一项a n -1 的差等于同一个 常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示。

等差数列的几个计算公式：

等差数列求和公式：和= （首项+ 末项） ⨯ 项数÷2

字母公式： S = (a 1 + a n )⨯ n ÷ 2

等差数列的通项公式：第n 项= 首项+ （项数-1） ⨯ 公差

a n = a 1 + (n -1)⨯ d

字母公式： 等差数列的项数公式：项数= （末项- 首项） ÷ 公差+1

字母公式： n = (a n - a 1 )÷ d +1

一、基础应用：

【例1】 在括号里填上合适的数。

）

、 4 、5 、（ （1）1、2 、（ ）； ）、16 ；

（2） 4 、6 、8 、10 、（ ）、（ （3） 5 、10 、（ （4） 28 、（

）、25 、30 ；

）、（ ）、20 、16 、12 、8 ；

（5） 88 、79 、70 、（ ）、52 、（ ）；

（6） 2 、4 、6 、12 、14 、（ ）、30 、60 。

【解析】填法如下：

（1）1、2 、（ 3 ）、4 、5 、（ 6 ）；

（2） 4 、6 、8 、10 、（ 12 ）、（14 ）、16 ；

4+2 6×2 12+2 14×2 28+2 30×2 60 。

规律为：2×2

小结：按一定次序排列的一列数称为等差数列。数列中的每一个数都叫做这个等列的项。排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第二项，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

【例2】判断下面的数列中，哪些是等差数列？

a ：6 ，10 ，14 ，18 ，22 ，……；

b ：1，2 ，1，2 ，3 ，4 ，5 ，……，99 ，100 ；

c ：1，2 ，4 ，8，16 ，32 ，64 ；

d ：9 ，8 ，7 ，6 ，5 ，4 ，3 ，2 ，1；

e ：2011，2011，2011，2011，2011，2011；

f ：1，0 ，1，0 ，1，0 ，1，0 ，1。

【解析】数列a 中，我们可以发现从第二项开始，后一个数减前一个数的差都是4 ，所以符合等差数列的定义，所以该数列是等差数列，且公差为4 。

数列b 中，我们可以发现从第二项开始，后一个数减前一个数的差不为同

一个常数，所以不符合等差数列的定义，所以该数列不是等差数列。

数列c 中，我们可以发现从第二项开始，后一个数减前一个数的差不为同一个常数，所以不符合等差数列的定义，所以该数列不是等差数列。

数列d 中，我们可以发现从第二项开始，前一个数减后一个数的差都是 1，所以符合等差数列的定义，所以该数列是等差数列，且公差为 1。

数列e 中，我们可以发现从第二项开始，后一个数减前一个数的差都是 0，所以符合等差数列的定义，所以该数列是等差数列，且公差为 0。

数列f 中，我们可以发现从第二项开始，后一个数减前一个数的差不为同一个常数，所以不符合等差数列的定义，所以该数列不是等差数列。

【例3】计算：

（1）2+4+6+8+10+12

（2）5+10+15+20+25+30+35+40

（3）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30

【解析】偶数项的等差数列求和，我们可以采用彩虹法，如下：

（1）

依次类推，每组两个数，每组的和都相等，均2+12=14，一共有6÷2=3（组），总和为14⨯3=42 。

45

（2）5+10+15+20+25+30+35+40，两个数一组，每组的和为5+40=45 ，一共有8 ÷ 2=4（组），总和为45⨯ 40=1800 。

45

45

45

33

（3）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30，两个数一组，每组的和为30+3=33 ，一共有10 ÷ 2=5（组）， 总和为33⨯5=165 。

小结：偶数项的等差数列求和公式为：（首项+ 末项） ⨯ （项数÷2 ）。

【例4】 计算：

（1）1+5+9+13+17

（2） 2+7+12+17+22+27+32+37+42

（3） 3+10+17+24+31+38+45+52+59+66+73

【解析】奇数项的等差数列求和，采用彩虹法，如下

18

（1） 1+5+9+13+17发现中间数落单，而每组的和相等且是中间数的两倍，因此

18

原式也可表示为 9+9+ 9+ 9+ 9，即和为9⨯5=45。

44 44 （2） 2+7+12+17+22+27+32+37+42，可转换为 22+22+22+22+22+22+22+22+22，即和为22⨯9=198 。

76 76

（3，可转换为 38+38+38+38+38+38+38+38+38+38+38即和为38⨯11=418 。

小结：奇数项等差数列求和公式为：中间项⨯ 项数，而

中间项= （首项+ 末项） ÷2 ，故奇数项的等差数列求和公式为：

（首项+ 末项） ÷2 ⨯ 项数。不难发现，不论是奇数项还是偶数项的等差数列，

它们的求和公式都可经过适当的调整，最后转换成：（首项+ 末项） ⨯ 项数÷2 。

二、拓展训练：

【例5】 在1和73 之间插入5 个数，使这些数构成等差数列，这些数的和是多少？

【解析】这些数的和为（1+73)÷2⨯(5+2)=259 。

【例6】计算：（1）1+4+7+10+13+ +118

（2） 7+11+15+19+23+ +103

【解析】（1）要求和，得先知道项数是多少。

在等差数列中，两个数之间隔1个公差，三个数之间隔2 个公差， 4 个数之间隔

3 个公差，……，依次类推，不难发现，项数比首项与末项这两个数隔的公差个数

76

76

76

76 76 76 76

76

44

44 44 44

44

44 18

18 33

33

33

33