最新届高考数学一轮复习教案51向量的概念向量的加法与减法汇总

2012届高考数学一轮复习教案51向量的概念向量的加法与减
法
第五章平面向量
●网络体系总览
«Skip Record If...»
●考点目标定位
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.
2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.
3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.
4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
●复习方略指南
向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有：
（1）与“定比分点”有关的试题；
（2）平面向量的加减法运算及其几何意义；
（3）平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题；
（4）正、余弦定理的应用.
复习本章时要注意：
（1）向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.
（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.
（3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直.
（4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.
（5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.
（6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.
5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积
●知识梳理
1.平面向量的有关概念：
（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…表示.
（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|«Skip Record If...»|.
（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.
（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.
（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.
（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.
2.向量的加法：
（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.
（3）运算律：a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）.
3.向量的减法：
（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.
4.实数与向量的积：
（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行.
（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.
5.两个重要定理：
（1）向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a«Skip Record If...»b=λa（a≠0）.
（2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.
●点击双基
1.（2004年天津，理3）若平面向量b与向量a=（1，－2）的夹角是180°，且|b|=3«Skip Record If...»，则b等于
A.（－3，6）
B.（3，－6）
C.（6，－3）
D.（－6，3）
解析：易知a与b方向相反，可设b=（λ，－2λ）（λ＜0）.又|b|=3«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，解之得λ=－3或λ=3（舍去）.∴b=（－3，6）.
答案：A
2.（2004年浙江，文4）已知向量a=（3，4），b=（sinα，cosα），且a∥b，则tan α等于
A.«Skip Record If...»
B.－«Skip Record If...»
C.«Skip Record If...»
D.－«Skip Record If...»
解析：由a∥b，∴3cosα=4sinα.∴tanα=«Skip Record If...».
答案：A
3.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且«Skip Record If...»=a，«Skip Record If...»=b，则«Skip Record If...»等于
A.b+«Skip Record If...»a
B.b－«Skip Record If...»a
C.a+«Skip Record If...»b
D.a－«Skip Record If...»b
解析：«Skip Record If...»=«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=b－«Skip Record If...»a.
答案：B
4.e1、e2是不共线的向量，a=e1+k e2，b=k e1+e2，则a与b共线的充要条件是实数k等于
A.0
B.－1
C.－2
D.±1
解析：a与b共线«Skip Record If...»存在实数m，使a=m b，
即e1+k e2=mk e1+m e2.又e1、e2不共线，∴«Skip Record If...»∴k=±1.
答案：D
5.若a=“向东走8 km”，b=“向北走8 km”，则｜a+b|=_______，a+b的方向是_______.
解析：|a+b|=«Skip Record If...»=8«Skip Record If...»（km）.
答案：8«Skip Record If...» km 东北方向
●典例剖析
【例1】已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于
A.1
B.«Skip Record If...»
C.«Skip Record If...»
D.«Skip Record If...»
剖析：欲求|a+b|，一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算.
解法一：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则x12+y12=1，x22+y22=4，a－b=（x1－x2，y1－y2），
∴（x1－x2）2+（y1－y2）2=4.
∴x12－2x1x2+x22+y12－2y1y2+y22=4.
∴1－2x1x2－2y1y2=0.∴2x1x2+2y1y2=1.
∴（x1+x2）2+（y1+y2）2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6.
∴|a+b|=«Skip Record If...».
解法二：∵|a+b|2+|a－b|2=2（|a|2+|b|2），
∴|a+b|2=2（|a|2+|b|2）－|a－b|2=2（1+4）－22=6.
∴|a+b|=«Skip Record If...».故选D.
深化拓展
此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理.
【例2】如图，G是△ABC的重心，求证：«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=0.
«Skip Record If...»
剖析：要证«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=0，只需证«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=－«Skip Record If...»，即只需证«Skip Record If...»+«Skip Record If...»与«Skip Record If...»互为相反的向量.
证明：以向量«Skip Record If...»、«Skip Record If...»为邻边作平行四边形GBEC，则«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=2«Skip Record If...».又由G为△ABC的重心知
«Skip Record If...»=2«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»=－2«Skip Record If...».
∴«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=－2«Skip Record If...»+2«Skip Record If...»=0.
评述：向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性.
深化拓展
此题也可用向量的坐标运算进行证明.
【例3】设«Skip Record If...»、«Skip Record If...»不共线，点P在AB上，求证：«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»+μ«Skip Record If...»且λ+μ=1，λ、μ∈R.
剖析：∵点P在AB上，可知«Skip Record If...»与«Skip Record If...»共线，得«Skip Record If...»=t«Skip Record If...».再用以O为起点的向量表示.
证明：∵P在AB上，∴«Skip Record If...»与«Skip Record If...»共线.
∴«Skip Record If...»=t«Skip Record If...».∴«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=t （«Skip Record If...»－«Skip Record If...»）.
∴«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+t«Skip Record If...»－t«Skip Record If...»=（1－t）«Skip Record If...»+t«Skip Record If...».
设1－t=λ，t=μ，则«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»+μ«Skip Record If...»且λ+μ=1，λ、μ∈R.
评述：本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.
深化拓展
①本题也可变为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»不共线，若«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»+μ«Skip Record If...»，且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求证：A、B、P三点共线.
提示：证明«Skip Record If...»与«Skip Record If...»共线.
②当λ=μ=«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»（«Skip Record If...»+«Skip Record If...»），此时P为AB的中点，这是向量的中点公式.
【例4】若a、b是两个不共线的非零向量（t∈R）.
（1）若a与b起点相同，t为何值时，a、t b、«Skip Record If...»（a+b）三向量的终点在一直线上?
（2）若|a|=|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－t b|的值最小?
解：（1）设a－t b=m［a－«Skip Record If...»（a+b）］（m∈R），化简得（«Skip Record If...»－1）a=（«Skip Record If...»－t）b.
∵a与b不共线，∴«Skip Record If...»
∴t=«Skip Record If...»时，a、t b、«Skip Record If...»（a+b）的终点在一直线上.
（2）|a－t b|2=（a－t b）2=|a|2+t2|b|2－2t|a||b|cos60°=（1+t2－t）|a|2，∴t=«Skip Record If...»时，|a－t b|有最小值«Skip Record If...»|a|.
评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题.
两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?
●闯关训练
夯实基础
1.（2004年广东，1）已知平面向量a=（3，1），b=（x，－3）且a⊥b，则x等于
A.3
B.1
C.
－1 D.－3
解析：由a⊥b，则3x－3=0，∴x=1.
答案：B
2.若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有
A.a∥b且a、b方向相同
B.a=b
C.a=－b
D.以上都不对
解析：a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，∴a∥b且方向相同.
答案：A
3.在四边形ABCD中，«Skip Record If...»－«Skip Record If...»－«Skip Record If...»等于
A.«Skip Record If...»
B.«Skip Record If...»
C.«Skip Record If...»
D.«Skip Record If...»
解析：«Skip Record If...»－«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...».
答案：C
4.设四边形ABCD中，有«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»且|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|，则这个四边形是
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
解析：∵«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，∴DC∥AB，且DC ≠AB.又|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|，∴四边形为等腰梯形.
答案：C
5.l1、l2是不共线向量，且a=－l1+3l2，b=4l1+2l2，c=－3l1+12l2，若b、c为一组基底，求向量a.
解：设a=λ1b+λ2c，即－l1+3l2=λ1（4l1+2l2）+λ2（－3l1+12l2），
即－l1+3l2=（4λ1－3λ2）l1+（2λ1+12λ2）l2，∴«Skip Record If...»
解得λ1=－«Skip Record If...»，λ2=«Skip Record If...»，故a=－«Skip Record If...»b+«Skip Record If...»c.
6.设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2t e1+7e2与向量e1+t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
解：e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°=1，
∴（2t e1+7e2）·（e1+t e2）=2t e12+（2t2+7）e1·e2+7t e22=2t2+15t+7.∴2t2+15t+7＜0.
∴－7＜t＜－«Skip Record If...».设2t e1+7e2=λ（e1+t e2）（λ＜0）«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»2t2=7«Skip Record If...»t=－«Skip Record If...»，∴λ=－«Skip Record If...».
∴当t=－«Skip Record If...»时，2t e1+7e2与e1+t e2的夹角为π.
∴t的取值范围是（－7，－«Skip Record If...»）∪（－«Skip Record If...»，－«Skip Record If...»）.
向量a、b的夹角为钝角，则cos〈a，b〉＜0，它们互为充要条件吗?
培养能力
7.已知向量a=2e1－3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线，向量c=2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d=λa+μb与c共线?
解：∵d=λ（2e1－3e2）+μ（2e1+3e2）=（2λ+2μ）e1+（－3λ+3μ）e2，
要使d与c共线，则应有实数k，使d=k c，
即（2λ+2μ）e1+（－3λ+3μ）e2=2k e1－9k e2，由«Skip Record If...»得λ=－2μ.
故存在这样的实数λ、μ，只要λ=－2μ，就能使d与c共线.
8.如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知«Skip Record If...»=a，«Skip Record If...»=b，试用a、b分别表示«Skip Record If...»、«Skip Record If...»和«Skip Record If...».
«Skip Record If...»
解：由三角形中位线定理，知DE«Skip Record If...»«Skip Record If...»BC.
故«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»a.
«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=－a+b+«Skip Record If...»a=－«Skip Record If...»a+b，
«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»=－«Skip Record If...»a+«Skip Record If...»a－b=«Skip Record If...»a－b.
探究创新
9.在△ABC中，AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，BN与CM交于点E，«Skip Record If...»=a，«Skip Record If...»=b，用a、b表示«Skip Record If...».
«Skip Record If...»
解：由已知得«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...».
设«Skip Record If...»=λ«Skip Record If...»，λ∈R，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+λ«Skip Record If...».
而«Skip Record If...»=«Skip Record If...»－«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+λ（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»）=«Skip Record If...»«Skip Record If...»+λ（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»«Skip Record If...»）.
∴«Skip Record If...»=（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»）«Skip Record If...»+λ«Skip Record If...».
同理，设«Skip Record If...»=t«Skip Record If...»，t∈R，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»+t«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»+t（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»）=«Skip Record If...»«Skip Record If...»+t（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»«Skip Record If...»）.
∴«Skip Record If...»=（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»）«Skip Record If...»+t«Skip Record If...».
∴（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»）«Skip Record If...»+λ«Skip Record If...»=（«Skip Record If...»－«Skip Record If...»）«Skip Record If...»+t«Skip Record If...».
由«Skip Record If...»与«Skip Record If...»是不共线向量，得«Skip Record If...»
解得«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»，
即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»a+«Skip Record If...»b.
评述：此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难.通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用.
●思悟小结
1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.
2.共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.
3.对于两个向量平行的充要条件：
a∥b«Skip Record If...»a=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.
4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题.
5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力.
●教师下载中心
教学点睛
1.本课复习的重点是：理解向量的基本概念，掌握向量的加法、减法运算，掌握实数与向量的积的运算.
2.复习时要构建良好的知识结构.
3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算.
4.强化数学思想的教学，尤其是数形结合思想、化归思想等.
拓展题例
【例题】对任意非零向量a、b，求证：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
证明：分三种情况考虑.
（1）当a、b共线且方向相同时，|a|－|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|－|b|=|a－b|＜|a|+|b|.
（2）当a、b共线且方向相反时，∵a－b=a+（－b），a+b=a－（－b），利用（1）的结论有||a|－|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|－|b|＜|a－b|=|a|+|b|.
（3）当a，b不共线时，设«Skip Record If...»=a，«Skip Record If...»=b，作«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=a+b，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=a－b，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a|－|b||＜|a±b|＜|a|+|b|.
综上得证.。