最新届高考数学一轮复习教案51向量的概念向量的加法与减法汇总

2012届高考数学一轮复习教案51向量的概念向量的加法与减

法

第五章平面向量

●网络体系总览

«Skip Record If...»

●考点目标定位

1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.

2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.

3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.

4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

●复习方略指南

向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有：

（1）与“定比分点”有关的试题；

（2）平面向量的加减法运算及其几何意义；

（3）平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题；

（4）正、余弦定理的应用.

复习本章时要注意：

（1）向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.

（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.

（3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直.

（4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.

（5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.

（6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.

5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积

●知识梳理

1.平面向量的有关概念：

（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.

（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，…表示.

（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|«Skip Record If...»|.

（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.

（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.

（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.

（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

2.向量的加法：

（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.

（3）运算律：a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）.

3.向量的减法：

（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.

4.实数与向量的积：

（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行.

（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.

5.两个重要定理：

（1）向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a«Skip Record If...»b=λa（a≠0）.

（2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.

●点击双基

1.（2004年天津，理3）若平面向量b与向量a=（1，－2）的夹角是180°，且|b|=3«Skip Record If...»，则b等于

A.（－3，6）

B.（3，－6）

C.（6，－3）

D.（－6，3）

解析：易知a与b方向相反，可设b=（λ，－2λ）（λ＜0）.又|b|=3«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，解之得λ=－3或λ=3（舍去）.∴b=（－3，6）.

答案：A

2.（2004年浙江，文4）已知向量a=（3，4），b=（sinα，cosα），且a∥b，则tan α等于

A.«Skip Record If...»

B.－«Skip Record If...»

C.«Skip Record If...»

D.－«Skip Record If...»

解析：由a∥b，∴3cosα=4sinα.∴tanα=«Skip Record If...».

答案：A

3.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且«Skip Record If...»=a，«Skip Record If...»=b，则«Skip Record If...»等于

A.b+«Skip Record If...»a

B.b－«Skip Record If...»a

C.a+«Skip Record If...»b

D.a－«Skip Record If...»b

解析：«Skip Record If...»=«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»－«Skip Record If...»=b－«Skip Record If...»a.

答案：B

4.e1、e2是不共线的向量，a=e1+k e2，b=k e1+e2，则a与b共线的充要条件是实数k等于

A.0

B.－1

C.－2

D.±1

解析：a与b共线«Skip Record If...»存在实数m，使a=m b，

即e1+k e2=mk e1+m e2.又e1、e2不共线，∴«Skip Record If...»∴k=±1.

答案：D

5.若a=“向东走8 km”，b=“向北走8 km”，则｜a+b|=_______，a+b的方向是_______.

解析：|a+b|=«Skip Record If...»=8«Skip Record If...»（km）.

答案：8«Skip Record If...» km 东北方向

●典例剖析

【例1】已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于

A.1

B.«Skip Record If...»

C.«Skip Record If...»

D.«Skip Record If...»

剖析：欲求|a+b|，一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算.

解法一：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则x12+y12=1，x22+y22=4，a－b=（x1－x2，y1－y2），

∴（x1－x2）2+（y1－y2）2=4.

∴x12－2x1x2+x22+y12－2y1y2+y22=4.

∴1－2x1x2－2y1y2=0.∴2x1x2+2y1y2=1.

∴（x1+x2）2+（y1+y2）2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6.

∴|a+b|=«Skip Record If...».

解法二：∵|a+b|2+|a－b|2=2（|a|2+|b|2），

∴|a+b|2=2（|a|2+|b|2）－|a－b|2=2（1+4）－22=6.

∴|a+b|=«Skip Record If...».故选D.

深化拓展

此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理.

【例2】如图，G是△ABC的重心，求证：«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=0.