平均数、中位数、众数、极差、方差_课件1
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平均数、中位数和众数的使用PPT课件
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
11
2020年10月2日
2
问题1
七年级某班级教室里，三个同学正在为谁的数学成绩最好而 争论，他们五次数学成绩分别是：
小华：62、94、95、98、98 小明：62、62、98、99、100 小丽：40、62、85、99、99 他们都认为自己的成绩比另两位同学好,你看呢?
想一想:各自的理由在哪里?
平均数
2020年10月2日
8
要点总结：
1、选择特征数表示一组数据的集中趋势时，我们用得最多的 是平均数。
2、若一组数据中有个别数据异常（特别大或特别小）时，我 们常常选用中位数或众数。
3、若一组数据中众数的频数比较大，并且与其他数据的频数 相差较大时，我们一般选用众数。
4、具体情况应视各题的实际情况而定。
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§10.3.1数、中位数和众数的选用
表示
“一 般水 平”
表示
“中 等水 平”
表示
“多 数水 平”
2020年10月2日
1
从上一节的学习内容我们知道，平均 数、中位数和众数都是用来代表一组数据 的，而且，它们互相之间可以相等也可以 不相等，没有固定的大小关系．当它们不 全相等的时候，就产生了最终选用哪一个 数来代表一组数据的问题了．
2020年10月2日
11
2020年10月2日
2
问题1
七年级某班级教室里，三个同学正在为谁的数学成绩最好而 争论，他们五次数学成绩分别是：
小华：62、94、95、98、98 小明：62、62、98、99、100 小丽：40、62、85、99、99 他们都认为自己的成绩比另两位同学好,你看呢?
想一想:各自的理由在哪里?
平均数
2020年10月2日
8
要点总结：
1、选择特征数表示一组数据的集中趋势时，我们用得最多的 是平均数。
2、若一组数据中有个别数据异常（特别大或特别小）时，我 们常常选用中位数或众数。
3、若一组数据中众数的频数比较大，并且与其他数据的频数 相差较大时，我们一般选用众数。
4、具体情况应视各题的实际情况而定。
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§10.3.1数、中位数和众数的选用
表示
“一 般水 平”
表示
“中 等水 平”
表示
“多 数水 平”
2020年10月2日
1
从上一节的学习内容我们知道，平均 数、中位数和众数都是用来代表一组数据 的，而且，它们互相之间可以相等也可以 不相等，没有固定的大小关系．当它们不 全相等的时候，就产生了最终选用哪一个 数来代表一组数据的问题了．
2020年10月2日
_众数,中位数,平均数与频率分布直方图 ppt课件
2.02t.
2020/12/27
8
频率分布直方图如下：
频率 组距
中位数
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
2020/12/27
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
月均用水量 /t
4.5
9
说明:
2.02这个中位数的估计值,与样本 的中位数值2.0不一样,这是因为样本数 据的频率分布直方图,只是直观地表明 分布的形状,但是从直方图本身得不出 原始的数据内容,所以由频率分布直方 图得到的中位数估计值往往与样本的 实际中位数值不一致.
2020/12/27
10
3、平均数是频率分布直方图的“重 心”.
是直方图的平衡点. n 个样本数据的平均 数的估计值等于频率分布直方图中每个 小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横 坐标之和。 给出.下图显示了居民月均用水量的平 均数: x=2.02
2020/12/27
11
频率分布直方图如下：
频率 组距
例 某工厂人员及工资构成如下：
人员
经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
周工资 2200 250
220
200 100
人数
16
5
10 1 23
合计
2200 1500
1100
2000 100 6900
（1）指出这个问题中周工资的众数、中
位数、平均数 （2）这个问题中，工资的平均数能客观
2地020/1反2/27 映该厂的工资水平吗？为什么？
14
3、由于平均数与每一个样本的
数据有关，所以任何一个样本数据的
改变都会引起平均数的改变，这是众
数、中位数都不具有的性质。也正因
2020/12/27
8
频率分布直方图如下：
频率 组距
中位数
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10
2020/12/27
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
月均用水量 /t
4.5
9
说明:
2.02这个中位数的估计值,与样本 的中位数值2.0不一样,这是因为样本数 据的频率分布直方图,只是直观地表明 分布的形状,但是从直方图本身得不出 原始的数据内容,所以由频率分布直方 图得到的中位数估计值往往与样本的 实际中位数值不一致.
2020/12/27
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3、平均数是频率分布直方图的“重 心”.
是直方图的平衡点. n 个样本数据的平均 数的估计值等于频率分布直方图中每个 小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横 坐标之和。 给出.下图显示了居民月均用水量的平 均数: x=2.02
2020/12/27
11
频率分布直方图如下：
频率 组距
例 某工厂人员及工资构成如下：
人员
经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
周工资 2200 250
220
200 100
人数
16
5
10 1 23
合计
2200 1500
1100
2000 100 6900
（1）指出这个问题中周工资的众数、中
位数、平均数 （2）这个问题中，工资的平均数能客观
2地020/1反2/27 映该厂的工资水平吗？为什么？
14
3、由于平均数与每一个样本的
数据有关，所以任何一个样本数据的
改变都会引起平均数的改变，这是众
数、中位数都不具有的性质。也正因
平均数、中位数、众数PPT教学课件
x2 y2 =
1/4 .
10.化简：(
x
1
1
1
1 x
2
)
3x x1
1 3(x 1)
➢ 典型例题解析
【例1】 当a取何值时，分式 a2 3a 4
2a 3
(1)值为零；(2)分式有意义?
解：a 3a 4= (a 4)(a 1)
2a 3
2a 3
(1)当(2aa43)(a0 1) 时0 ，有
a
4a
= (a 1) = a 1
➢ 典型例题解析
【例4】 (2002年·山西省)化简求值：
(
a2 a2 2a
a2
a1 )
4a 4
÷
a 4，其中a满足：a2-2a-1=0.
a2
解：原式=［a(aa22)
a1 (a 2)
2］×
a2 a4
=
(a 2
4) (a2 a(a 2)2
a×)
；
(3)［(1 4 )( a 4 4 )-3］÷( 4 1 ).
a2
a
a
解：(1)原式= a 2 4
1 a2
=
a2 4 4 a2 a2
= a2 8
a2
➢ 典型例题解析
(2)原式=
1
x3
x 1 ( x 1)( x 1)
• ( x 1)2 ( x 1)( x 3)
1 x1
a 4或a 1
a
3 2
即a=4或a=-1时，分式的值为零. (2)当2a-3=0即a=3/2时无意义. 故当a≠3/2时，分式有意义.
思考变题：当a为何值时， a 2 的值 (1)为正；(2)为零. a 3
➢ 典型例题解析
1/4 .
10.化简：(
x
1
1
1
1 x
2
)
3x x1
1 3(x 1)
➢ 典型例题解析
【例1】 当a取何值时，分式 a2 3a 4
2a 3
(1)值为零；(2)分式有意义?
解：a 3a 4= (a 4)(a 1)
2a 3
2a 3
(1)当(2aa43)(a0 1) 时0 ，有
a
4a
= (a 1) = a 1
➢ 典型例题解析
【例4】 (2002年·山西省)化简求值：
(
a2 a2 2a
a2
a1 )
4a 4
÷
a 4，其中a满足：a2-2a-1=0.
a2
解：原式=［a(aa22)
a1 (a 2)
2］×
a2 a4
=
(a 2
4) (a2 a(a 2)2
a×)
；
(3)［(1 4 )( a 4 4 )-3］÷( 4 1 ).
a2
a
a
解：(1)原式= a 2 4
1 a2
=
a2 4 4 a2 a2
= a2 8
a2
➢ 典型例题解析
(2)原式=
1
x3
x 1 ( x 1)( x 1)
• ( x 1)2 ( x 1)( x 3)
1 x1
a 4或a 1
a
3 2
即a=4或a=-1时，分式的值为零. (2)当2a-3=0即a=3/2时无意义. 故当a≠3/2时，分式有意义.
思考变题：当a为何值时， a 2 的值 (1)为正；(2)为零. a 3
➢ 典型例题解析
第一章 §4 4.1 - 4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差
在这五场比赛中得分的方差为________． 解析： 依题意知，运动员在 5 次比赛中的分数依次为
8＋9＋10＋13＋15 8,9,10,13,15，其平均数为 ＝11. 5 1 由方差公式得 s ＝ [(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－ 5
2
1 11) ＋(15－11) ]＝ (9＋4＋1＋4＋16)＝6.8. 5
x1＋x2＋„＋xn ， n
[点睛]
如果有几个数据出现的次数相同，并且比其
他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据 的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多， 则认为这组数据没有众数．
2．极差、方差、标准差 (1)极差 一组数据中 最大值与最小值的差 称为这组数据的极差． (2)方差 标准差的平方 s2 叫作方差． 1 2 s ＝ [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋„＋(xn－ x )2] n
2 2
答案：6.8
中位数、众数、平均数的计算及应用
[典例] 如下： 据报道，某公司的 33 名职工的月工资(以元为单位)
职务
人数 工资
董事 长 1 5 500
副董事 长 1 5 000
董事
2 3 50 500
管理 员 3 2 000
职员
20 1 500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； (2)假设副董事长的工资从 5 000 元提升到 20 000 元，董事 长的工资从 5 500 元提升到 30 000 元，那么新的平均数、中位 数、众数又是什么？(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平， 结合此问题谈一谈你的看法．
[解]
(1)平均数是
1 x ＝1 500＋ (4 000＋3 500＋2 000× 2＋1 500＋1 000× 5 33 ＋500× 3＋0×20)≈1 500＋591＝2 091(元)， 中位数是 1 500 元，众数是 1 500 元．
平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差
平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差说明6个基本统计量（平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差）的内涵，学生学习过程中可能产生的困难及主要原因、应对策略.首先，结合简单实例认真把握这6个基本统计量的内涵。
一、平均数、众数、中位数是刻画一组数据的“平均水平”的数据代表。
（八上《第八章数据的代表》）平均数分算术平均数和加权平均数，算术平均数是指n个数据的和的平均值，学生理解与计算都不成问题，只要注意细心运算就是其中的取标准值后的简便算法也都是在小学早已熟练的（公式：x=1/n(x1+x2+x3+……+xn)；而加权平均数是一组数据里的各个数据乘各自的“权”之后的平均数。
此处理解“权”的概念可能产生很大困难，因为“权”的理解的确不易，若是照搬教材直接给出其定义，学生会迷惑成团，再进行应用更是不可思议。
所以应对措施：讲好、用好加权平均数就要先举例、后分析、再给出定义，比如：某同学的一次考试各科成绩如下：语文110、数学105、英语106、物理95、化学90、政治86、历史98、地理66、生物89，你可以先让学生算算各科的平均数，再按中考计分法将语、数、英各取120%，物、化、政各取100%，史、地、生各取40%后的平均值算出，两个结果一比较，学生就会很容易发现不同的原因是加入了所谓的“权”，这样，不仅通俗易懂，而且对“权”内涵的理解和应用就不再困难。
众数是一组数据中出现次数最多的数。
其内涵很好理解和掌握，就是结合实际应用也顺理成章，如商店老板进货号多大的男鞋好？那当然是“众数”（调查数据最多的号）所代表的。
中位数顾名思义是一组数据中间位置的数，但考虑一组数可能有偶数个或奇数个，所以要注意强调取中位数的方法。
教材上给出的内涵很好：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
如一组数据1.5,1.5,1.6,1.65,1.7,1.7,1.75,1.8的中位数是1/2（1.65+1.7），即1.675。
平均数、中位数和众数PPT优选课件
5
想一想
1.如何求出这组数据的平均数？ 先算出这31个数据的和.于是平均数就是 937÷31≈30.2 2.如何求出这组数据的中位数？
中位数就是一组数据按照从小到大的顺序重新 排列后（相同的数据也要排列）所得到的新数 组的正中间的数据.所以我们不难求出这组数据 的中位数.
2020/10/18
6
3.如何求出这组数据的众数？
么数据x=
。
2020/10/18
10
反思收获
1.平均数的计算方法：所有的数据之和除以 所有数据的个数所得到的商就是平均数.
2.一组数据按照从小到大的顺序重新排列 后（相同的数也要排列）所得到的新数组 的正中间的数据就是这组数据的中位数. 3.一组数据中重复出现次数最多的数据就是 这组数据的众数.
4.掌握平均数、中位数和众数的计算方法.
2020/10/18
11
谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
平均数、中位数 和众数（一）
2020/10/18
1
做一做
一名警察在高速公路上随机地观察了6辆车的 车速，然后，他给出了这份报告：
调查时间：2005年5月16日9：00---9：15.
调查地点：高速公路一路段 调查车辆数目：6辆 调查结果如下：66、57、71、54、69、58.
（单位：千米／小时）
7
问题探究
1.如果一组数据有4个或10个数据，又 如何求这组数据的中位数？
由于这些数据的个数是偶数，所以可 全部划光，一个都不剩或者剩两个数 据。一个都不剩明显不对，那就剩两 个。为了公平，应该取这两个数的平 均数作为中位数2020/10/18 Nhomakorabea8
高中数学课件- 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差 课
2．在一次射击训练中，一小组的成绩如下表所示：
环数
7
8
9
人数
2
3
已知该小组的平均成绩为 8.1 环，那么成绩为 8 环的人数是
() A．5 C．4
B．6 D．7
解析：选 A.设成绩为 8 环的人数为 x，
则有7×2x＋＋82x＋＋39×3＝8.1，
解得 x＝5，故选 A.
3．甲、乙两个小组各 8 名同学的英语口语测试成绩的茎叶图如 图所示，则甲、乙两组的平均数与中位数之差较大的组是 ________．
(12 分)
第一章 统 计
栏目 导引
第一章 统 计
栏目 导引
第一章 统 计
栏目 导引
第一章 统 计
栏目 导引
(1)对实际问题的分析评价，不仅要依据单个样本数字特征，还 要综合考虑样本分布的影响，养成从多角度看问题的习惯． (2)本例题仅涉及一些简单的样本数字特征的计算，但在没有任 何提示的情况下，要根据这些数据进行分析和判断，会令人束 手无策．要正确解答这道题，首先要抓住问题中的关键词语， 全方位地进行评价，如本例中的“满分人数”．注意要在恰当 的评估后，组织正确的语言作出结论．
明理由．
【解】 (1)甲组成绩的众数为 90 分，乙组成绩的众数为 70 分，
从成绩的众数看，甲组成绩较好．
(2 分)
(2)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是 80 分．其中，甲组
成绩在 80 分以上(包括 80 分)的有 33 人，乙组成绩在 80 分以
上(包括 80 分)的有 26 人，从这一角度看，甲组成绩较好．
解析：
－ x
＝10＋6＋58＋5＋6＝7，
所以 s2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝156
众数中位数(PPT课件)
x=
1 ( x1 x2 xn ) n
3
练习: 在一次中学生田径运动会上，参加 男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
成绩 (单位:米)
1．50 2
1．60 1．65 1．70 3 2 3
1．75 1．80 1．85 1．90 4 1 1 1
人数
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与 平均数 解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的 次数最多，即这组数据的众数是1.75． 上面表里的17个数据可看成是按从小到大 的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间 的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；
6
2、中位数是样本数据所占频率 的等分线，它不受少数几个极端值的 影响，这在某些情况下是优点，但它 对极端值的不敏感有时也会成为缺点。
7
3、由于平均数与每一个样本的 数据有关，所以任何一个样本数据的 改变都会引起平均数的改变，这是众 数、中位数都不具有的性质。
也正因如此 ，与众数、中位数比较起 来，平均数可以反映出更多的关于样 本数据全体的信息，但平均数受数据 中的极端值的影响较大，使平均数在 估计时可靠性降低。
S 2的数量单位与原数据的数量单位不
一致了，因此在实际应用时常将求出的方差 再开平方，这就是标准差
（standard deviation）．
标准差 方差
方差出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.
(1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; (2) 4, 4, 4, 5 , 5, 5, 6, 6, 6; (3) 3 , 3 , 4 , 4 , 5, 6 , 6, 7 , 7; (4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ;
众数中位数平均数与频率分布直方图ppt
数，因此，在频率分布直方图中，中位数 例 某工厂人员及工资构成如下：
一 众数、中位数、平均数的概念
02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.
左边和右边的直方图的面积应该相等，由 25t,它告诉我们,月均用水量为2.
例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2. 02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。
因平均数为300，由表格中所列 出的数据可见，只有经理在平均数以 上，其余的人都在平均数以下，故用 平均数不能客观真实地反映该工厂的 工资水平。
中位数
0.50
0.40
0.30
0.200.10来自月均用水量/t
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
说明:
2.02这个中位数的估计值,与样本 的中位数值2.0不一样,这是因为样本数 据的频率分布直方图,只是直观地表明 分布的形状,但是从直方图本身得不出 原始的数据内容,所以由频率分布直方 图得到的中位数估计值往往与样本的 实际中位数值不一致.
3平均数 (1) x = (x1+x2+……+xn) /n
(2) x =(x1f1+x2f2+……xkfk)/n
练习: 在一次中学生田径运动会上， 参加男子跳高的17名运动员的成绩如下 表所示：
成绩 (单位：米)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
一 众数、中位数、平均数的概念
02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.
左边和右边的直方图的面积应该相等，由 25t,它告诉我们,月均用水量为2.
例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2. 02这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。
因平均数为300，由表格中所列 出的数据可见，只有经理在平均数以 上，其余的人都在平均数以下，故用 平均数不能客观真实地反映该工厂的 工资水平。
中位数
0.50
0.40
0.30
0.200.10来自月均用水量/t
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
说明:
2.02这个中位数的估计值,与样本 的中位数值2.0不一样,这是因为样本数 据的频率分布直方图,只是直观地表明 分布的形状,但是从直方图本身得不出 原始的数据内容,所以由频率分布直方 图得到的中位数估计值往往与样本的 实际中位数值不一致.
3平均数 (1) x = (x1+x2+……+xn) /n
(2) x =(x1f1+x2f2+……xkfk)/n
练习: 在一次中学生田径运动会上， 参加男子跳高的17名运动员的成绩如下 表所示：
成绩 (单位：米)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
高中数学平均数中位数众数极差方差标准差讲义共68页文档
高中数学平均数中位数众数极差方差
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
标准差讲义
谢谢！
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
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27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
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28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
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29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
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30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
标准差讲义
谢谢！
平均数1中位数1众数课稿
平均数,中位数,众数这三个概念的区别和联系分别是什么？平均数、众数、中位数这三个统计量的各自特点是:平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；众数则着眼于对各数据出现的次数的考察,其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量；中位数则仅与数据排列位置有关，当一组数据从小到大排列后，最中间的数据为中位数(偶数个数据的最中间两个的平均数)。
因此某些数据的变动对它的中位数影响不大。
在同一组数据中，众数、中位数和平均数也各有其特性:(1)中位数与平均数是唯一存在的，而众数是不唯一的;(2)众数、中位数和平均数在一般情况下是各不相等，但在特殊情况下也可能相等。
具体来说，平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，但描述的角度和适用范围有所不同。
平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会引起平均数的相应变动；众数着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关；中位数则仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。
般来说，平均数、中位数和钟书都是一组数据的代表，分别代表这组数据的“一般水平”、“中等水平”和“多数水平”。
平均数涉及所有的数据，中位数和众数只涉及部分数据。
它们互相之间可以相等也可以不相等，没有固定的大小关系。
其实，它们三者有关联也有区别。
在一组数据中出现次数最多的数就是这组数据众数，众数和平均数一样，也是描述一组数据集中趋势的统计量，但它和平均数有以下两点不同：一是平均数只是一个“虚拟” 的数，即一组数据的和除以该组数据的个数所得的商，而众数不是“虚拟”的数，是一组数据中出现次数最多的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据；二是平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数大小的改变，而众数则仅与一组数据的出现的次数有关，某些数据的变动对众数没有影响，所以在一组数据中，如果个别数据变动较大，但某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”比较合适。
σ统计学基本概念课件
2
i1 i
n1
总体标准偏差由 表示 样本标准偏差由 s 表示
s
x x n
2
i1 i
n1
用来判定一个数据 集合离散程度或宽度的恒量尺度
6σ 统计学基本概念
15
正态分布
直方图块的中点
中心光滑连接形成曲线
Units of Measure
大多数（但不是所有）数 据是正态分布或钟形曲线
.001
3.5
Average: 4.89048 StDev: 0.824563 N: 21
23
4.5
5.5
6.5
D e ltIA
Anderson-Darling Normality T est A-Squared: 0.339 P-Value: 0.467
如何做正态性检验？
方法2：从Minitab的菜单选项里, 选择: Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Statistics 打开数据文件: DOT-BOX-HISTOGRAM . MTV
打开数据文件: DOT-BOX-HISTOGRAM . MTV
6σ 统计学基本概念
21
如何做正态性检验？
从Minitab的菜单选项里, 选择 Stat > Basic Statistics > Normality Test. 我们可以看到下图的对话框。
6σ 统计学基本概念
22
如何做正态性检验？
变量：选择一列数据用于X轴。
进一步解释：正态性检验属于根据样本来检验关于总体分布的检验方法，属 于数学中的非参数检验方法。对于正态检验，
原 假 设 为： H0：总体的分布与正态分布无显著差异； 对立假设为： H1：总体的分布与正态分布有显著差异。
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数据的数字特征
【课标要求】 1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的
特点。 2.要重视数据的计算，体会统计思想。
【核心扫描】 1.各种数字特征的意义以及计算。(重点) 2.学习标准差的概念，通过实例理解样本标准差的意义
和作用，会由方差求标准差。(重点、难点)
自学导引
1. 平均数、中位数、众数、极差 (1)平均数：样本数据 x1，x2，…，xn 的平均数是－x ＝n1(x1＋ x2＋…＋xn)； (2)中位数：将一组数据按__大小__顺序排列，处__在___中间位___置____ __的_ 数__(或__中间__两___个___数__ 的平均_数_ _____)叫做这组数据的中位数； (3)众数：在一组数据中， 出现次___数___最___多_____的数据叫做这组数据的众数； (4)极差：一组数据中_最___大___值与最___小___值___的差称为极差。
分数的茎叶图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别
为
( )。
79 844467 93
A.84.4，84
B.84，1.6
C.85，1.6
D.85，4
[思路探索] 利用茎叶图列出数据，根据平均数、方差的公式求解。
解析 这组数据去掉一个最高分和一个最低分后为 84，84，
84，86，87，平均数为－x ＝84＋84＋854＋86＋87＝85，方差
则这个样本的方差是
( )。
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 x2－5x＋4＝0 的两根是 x1＝1，x2＝4. 当 a＝1 时，a，3，5，7 的平均数是 4；当 a＝4 时，a，3， 5，7 的平均数不是 1.
故 a＝1，b＝4，则方差 s2＝14×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2 ＋(7－4)2]＝5.
2. (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小。标准差、方差越大，
数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小。 (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)。 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没 有离散性。 (3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以 虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问 题时，一般多采用标准差。
(2)标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即：
想一想：一组数据的众数可以是一个或几个，也可以没有，那么中位数是否 也具有相同的结论？
提示 中位数在一组数据中一定存在且是唯一的。
名师点睛
1. 平均数、中位数、众数的异同
(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量； (2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起 平均数的变动； (3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能 出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时， 可用中位数描述其集中趋势； (4)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中 有某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题； (5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位。 方差与标准差的区别与联系
－
100)2
＋
(98
－
100)2
＋
(100
－
100)2
＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73(cm2)，
s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋ (100－100)2＋(100－100)2]＝1(cm2)． (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又 s2甲>s2乙，所 以乙机床加工零件的质量更稳定．
审题指导:平均数与方差都是重要的数学特征数，是对总 体的一种简明的描述。它们所反映的情况有着重要的实际 意义，所以，不仅需要掌握其计算公式和方法，还要学会 通过这些数据分析其含义，从而为正确决策提供依据。
[解题流程] 数据 → 画茎叶图 → 求平均数、方差等 → 结论
[规范解答](1)茎叶图如下图所示
(1)平均数－x 1＝17(4＋8＋11＋4＋11＋11＋11)＝670， －x 2＝17(11＋11＋5＋11＋9＋8＋6)＝671；
(2)两者的众数都是11； (3)甲的中位数是11；乙的中位数是9。
规律方法 理解并掌握平均数、众数、中位数的概念，平 均数、众数、中位数可能相同，也可能不同，注意某几个 数据的平均数就是这些数的算术平均数，样本平均数代表 了数据更多的信息，在实际问题中计算时，应按照实际要 求进行计算。
试一试：已知一组数据从大到小为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位 数为5，求这组数据的众数。
提示 由4＋2 x＝5 得 x＝6，故数字 6 出现了两次，所以众数 为 6. 2. 方差与标准差
(1)方差：一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的 平均数，叫做这组数据方差，表示为
答案 C
题型三 平均数、方差的应用
【例3】(12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们培训期间参加的
若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲：82，91，79，78，95，88，83，84 乙：92，95，80，75，83，80，90，85 (1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图； (2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学角度看，你认为应派哪位学生 参加数学竞赛，请说明理由。
甲
乙
9 875
8 4 3 280035
4分
5 19025
(2)因为－x 甲＝18(82＋91＋79＋78＋95＋88＋83＋84) ＝85(分)， －x 乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85(分)，
所以－x 甲＝－x 乙；
6分
又 s2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(82－85)2＋(83－85)2＋(84－ 85)2＋(88－85)2＋(91－85)2＋(95－85)2]＝30.5(分 2)， 8 分
＋
9.4
＋
9.6
＋
9.5)
＝
9.5(分)．在这组数据中，9.5 出现了 2 次，出现的次数最多，
所以 6 位评委打分的众数是 9.5 分，将这组数据按照从小到
大的顺序排列后，位于最中间的两个数都是 9.5，所以 6 位
评委打分的中位数是 9.5 分．
题型二 方差、标准差的计算
【例2】2009年底CCTV举办的全国钢琴、小提琴大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的
[正解] (1)同错解。 (2)由于该单位员工月工资的中位数和众数与平均数比较接近，所以考虑把月 工资的平均数1 320元作为月工资的代表，这样以该单位月平均工资1 320元与 同类单位的工资待遇作比较即可。
平均数是将所有的数据都考虑进去得到 的特征数，它是反映数据集中趋势最常用的量。 中位数可靠性较差，当一组数据中个别数据变动 较大时，常用中位数表示数据的集中趋势。而众 数求法较简便，也经常被用到。考查一组数据的 特征时，这三个数字特征要结合在一起考虑，不 明确各概念的特点就会产生应用错误。
3. 极差与方差、标准差的关系
数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述。其中极差是数据组的 最大值与最小值的差，它反映了一组数据的变化的最大幅度，它对一组数据 中的极端值非常敏感。方差与标准差则反映一组数据围绕平均数波动的大小， 为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常采用标准差。
题型一 求一组数据的平均数、中位数和众数
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定。 解 (1)－x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100(cm)，
－x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100(cm)，
s
2
甲
＝
1 6
[(99
－
100)2
＋
(100
[错解] (1)该单位员工的月工资的平均数为510×(5×800＋ 10×1 000＋20×1 200＋7×1 500＋5×2 000＋3×2 500)＝ 1 320(元)，中位数为 1 200 元，众数为 1 200 元．
(2)用该单位的最高工资与同类单位工资待遇比较即可。
在研究实际问题时，根据实际要解决的问题与 平均数、中位数、众数的特点分别作以比较，应用相关知 识求出有关量。
【例1】 2010年青年歌手大奖赛民族唱法组中，6位评委现场给每位歌手打
分，去掉一个最高分和一个最低分后，其余分数的平均数作为歌手的成绩， 已知6位评委给某位歌手的打分是：
9.2 9.4 9.6 9.8 9.5 求这位歌手的得分及6位评委打分的众数和中位数。
解
这
位
歌
手
的
得
分
为
－x
＝
1 4
(9.5
s2
＝
1 5[(84
－
85)2
＋
(84
－
85)2＋
(84
－
85)2
＋
(86
－
85)2
＋
(87
－
85)2]＝1.6，故选 C.
答案 C
规律方法 (1)求样本数据 x1，x2，…，xn 的标准差的计算步骤． ①求样本数据的平均数－x ； ②求每个样本数据与样本平均数－x 的差：(xi－－x )，其中 i＝1，2，…，n； ③求出(2)中(xi－－x )的平方，其中 i＝1，2，…，n； ④求出(3)中 n 个平方数的平均数，即为样本方差；
误区警示 对样本特征理解不透，造成应用错误
【示例】某单位员工的月工资情况如下(单位：元)：
【课标要求】 1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的
特点。 2.要重视数据的计算，体会统计思想。
【核心扫描】 1.各种数字特征的意义以及计算。(重点) 2.学习标准差的概念，通过实例理解样本标准差的意义
和作用，会由方差求标准差。(重点、难点)
自学导引
1. 平均数、中位数、众数、极差 (1)平均数：样本数据 x1，x2，…，xn 的平均数是－x ＝n1(x1＋ x2＋…＋xn)； (2)中位数：将一组数据按__大小__顺序排列，处__在___中间位___置____ __的_ 数__(或__中间__两___个___数__ 的平均_数_ _____)叫做这组数据的中位数； (3)众数：在一组数据中， 出现次___数___最___多_____的数据叫做这组数据的众数； (4)极差：一组数据中_最___大___值与最___小___值___的差称为极差。
分数的茎叶图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别
为
( )。
79 844467 93
A.84.4，84
B.84，1.6
C.85，1.6
D.85，4
[思路探索] 利用茎叶图列出数据，根据平均数、方差的公式求解。
解析 这组数据去掉一个最高分和一个最低分后为 84，84，
84，86，87，平均数为－x ＝84＋84＋854＋86＋87＝85，方差
则这个样本的方差是
( )。
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 x2－5x＋4＝0 的两根是 x1＝1，x2＝4. 当 a＝1 时，a，3，5，7 的平均数是 4；当 a＝4 时，a，3， 5，7 的平均数不是 1.
故 a＝1，b＝4，则方差 s2＝14×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2 ＋(7－4)2]＝5.
2. (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小。标准差、方差越大，
数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小。 (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)。 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没 有离散性。 (3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以 虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问 题时，一般多采用标准差。
(2)标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即：
想一想：一组数据的众数可以是一个或几个，也可以没有，那么中位数是否 也具有相同的结论？
提示 中位数在一组数据中一定存在且是唯一的。
名师点睛
1. 平均数、中位数、众数的异同
(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量； (2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起 平均数的变动； (3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能 出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时， 可用中位数描述其集中趋势； (4)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中 有某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题； (5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位。 方差与标准差的区别与联系
－
100)2
＋
(98
－
100)2
＋
(100
－
100)2
＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73(cm2)，
s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋ (100－100)2＋(100－100)2]＝1(cm2)． (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又 s2甲>s2乙，所 以乙机床加工零件的质量更稳定．
审题指导:平均数与方差都是重要的数学特征数，是对总 体的一种简明的描述。它们所反映的情况有着重要的实际 意义，所以，不仅需要掌握其计算公式和方法，还要学会 通过这些数据分析其含义，从而为正确决策提供依据。
[解题流程] 数据 → 画茎叶图 → 求平均数、方差等 → 结论
[规范解答](1)茎叶图如下图所示
(1)平均数－x 1＝17(4＋8＋11＋4＋11＋11＋11)＝670， －x 2＝17(11＋11＋5＋11＋9＋8＋6)＝671；
(2)两者的众数都是11； (3)甲的中位数是11；乙的中位数是9。
规律方法 理解并掌握平均数、众数、中位数的概念，平 均数、众数、中位数可能相同，也可能不同，注意某几个 数据的平均数就是这些数的算术平均数，样本平均数代表 了数据更多的信息，在实际问题中计算时，应按照实际要 求进行计算。
试一试：已知一组数据从大到小为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位 数为5，求这组数据的众数。
提示 由4＋2 x＝5 得 x＝6，故数字 6 出现了两次，所以众数 为 6. 2. 方差与标准差
(1)方差：一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的 平均数，叫做这组数据方差，表示为
答案 C
题型三 平均数、方差的应用
【例3】(12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们培训期间参加的
若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲：82，91，79，78，95，88，83，84 乙：92，95，80，75，83，80，90，85 (1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图； (2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学角度看，你认为应派哪位学生 参加数学竞赛，请说明理由。
甲
乙
9 875
8 4 3 280035
4分
5 19025
(2)因为－x 甲＝18(82＋91＋79＋78＋95＋88＋83＋84) ＝85(分)， －x 乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85(分)，
所以－x 甲＝－x 乙；
6分
又 s2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(82－85)2＋(83－85)2＋(84－ 85)2＋(88－85)2＋(91－85)2＋(95－85)2]＝30.5(分 2)， 8 分
＋
9.4
＋
9.6
＋
9.5)
＝
9.5(分)．在这组数据中，9.5 出现了 2 次，出现的次数最多，
所以 6 位评委打分的众数是 9.5 分，将这组数据按照从小到
大的顺序排列后，位于最中间的两个数都是 9.5，所以 6 位
评委打分的中位数是 9.5 分．
题型二 方差、标准差的计算
【例2】2009年底CCTV举办的全国钢琴、小提琴大赛比赛现场上七位评委为某选手打出的
[正解] (1)同错解。 (2)由于该单位员工月工资的中位数和众数与平均数比较接近，所以考虑把月 工资的平均数1 320元作为月工资的代表，这样以该单位月平均工资1 320元与 同类单位的工资待遇作比较即可。
平均数是将所有的数据都考虑进去得到 的特征数，它是反映数据集中趋势最常用的量。 中位数可靠性较差，当一组数据中个别数据变动 较大时，常用中位数表示数据的集中趋势。而众 数求法较简便，也经常被用到。考查一组数据的 特征时，这三个数字特征要结合在一起考虑，不 明确各概念的特点就会产生应用错误。
3. 极差与方差、标准差的关系
数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述。其中极差是数据组的 最大值与最小值的差，它反映了一组数据的变化的最大幅度，它对一组数据 中的极端值非常敏感。方差与标准差则反映一组数据围绕平均数波动的大小， 为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常采用标准差。
题型一 求一组数据的平均数、中位数和众数
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定。 解 (1)－x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100(cm)，
－x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100(cm)，
s
2
甲
＝
1 6
[(99
－
100)2
＋
(100
[错解] (1)该单位员工的月工资的平均数为510×(5×800＋ 10×1 000＋20×1 200＋7×1 500＋5×2 000＋3×2 500)＝ 1 320(元)，中位数为 1 200 元，众数为 1 200 元．
(2)用该单位的最高工资与同类单位工资待遇比较即可。
在研究实际问题时，根据实际要解决的问题与 平均数、中位数、众数的特点分别作以比较，应用相关知 识求出有关量。
【例1】 2010年青年歌手大奖赛民族唱法组中，6位评委现场给每位歌手打
分，去掉一个最高分和一个最低分后，其余分数的平均数作为歌手的成绩， 已知6位评委给某位歌手的打分是：
9.2 9.4 9.6 9.8 9.5 求这位歌手的得分及6位评委打分的众数和中位数。
解
这
位
歌
手
的
得
分
为
－x
＝
1 4
(9.5
s2
＝
1 5[(84
－
85)2
＋
(84
－
85)2＋
(84
－
85)2
＋
(86
－
85)2
＋
(87
－
85)2]＝1.6，故选 C.
答案 C
规律方法 (1)求样本数据 x1，x2，…，xn 的标准差的计算步骤． ①求样本数据的平均数－x ； ②求每个样本数据与样本平均数－x 的差：(xi－－x )，其中 i＝1，2，…，n； ③求出(2)中(xi－－x )的平方，其中 i＝1，2，…，n； ④求出(3)中 n 个平方数的平均数，即为样本方差；
误区警示 对样本特征理解不透，造成应用错误
【示例】某单位员工的月工资情况如下(单位：元)：