其他不等式的解法

主 题 其他不等式的解法

教学内容

1. 掌握分式不等式的解法；

2. 掌握含绝对值不等式的解法。

一、分式不等式：

解一元二次不等式0)1)(4(<-+x x ，我们还可以用分类讨论的思想来求解

因为满足不等式组⎩⎨⎧<->+0104x x 或⎩⎨⎧>-<+0

104x x 的x 都能使原不等式0)1)(4(<-+x x 成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集．

试着用这种方法解下列三个不等式，你发现和我们用图像解的答案一样吗？

（1）0)3)(2(>-+x x

（2）0)2(<-x x

（3）)(0))((b a b x a x >>--

让学生说说是怎么讨论的，最终大家会发现，无论是哪种理解方法，最终的结论是一样的，当二次项系数为正时，小于零是两根之间，大于零是两根之外。

（1）

()()303202

x x x x ->-->-与解集是否相同，为什么？ （2）()()303202x x x x -≥--≥-与解集是否相同，为什么？

通过转化为一元一次不等式组，进而进行比较。会发现（1）的解集是相同的，（2）的解集是不同的，由于分母不能为零，分式的不等式端点2不能取等。

练习：解不等式

（1）

073<+-x x （2）025152≤+-x x

解：（1）07

3<+-x x 与(3)(7)0x x -+<的解集相同， 解(3)(7)0x x -+<得：73x -<<

所以原不等式解集为：(7,3)-

（2）025152≤+-x x 与(215)(52)0520x x x -+≤⎧⎨+≠⎩

的解集相同 解(215)(52)0520x x x -+≤⎧⎨

+≠⎩

得：51522x -<≤ 二、绝对值不等式：

1. a x >与a x <型的不等式的解法。

当0>a 时，不等式x a >的解集是 {},x x a x a ><-或

不等式a x <的解集是 {}x a x a -<<；

引导学生结合绝对值的几何意义，通过数轴求解 当0的解集是 R

不等式

a x <的解集是 ； φ 用绝对值的非负性很容易理解

2. c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。

当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,

不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;

当0

c b ax >+的解集是{}R x x ∈

不等式

c bx a <+的解集是∅; 注意引导学生把 b ax + 看作一个整体的意义，这样我们就很容易去掉绝对值了。 练习：求不等式|32|1x -<的解集

解：由|32|1x -<得：1321x -<-<，

解得： 113

x << 所以原不等式的解集为1(,1)3

例1. 解不等式：

2113x x ->+

解：由2113x x ->+得：21103

x x -->+，403x x ->+，

所以原不等式解集为(,3)

(4,)-∞-+∞

试一试：解不等式：302x x

-≥-

答案：(2,3]

注意系数符号和分母不为零

例2. 解不等式：

22331

x x x ->++ 解：由22331x x x ->++得：223301x x x -->++ 2236101x x x x --->++，2236101

x x x x ++<++

分母21x x ++的∆<0，因此2

10x x ++>恒成立，所以 2236101x x x x ++<++得23610x x ++<，解得：363633

x ---+<<

所以原不等式解集为3636(

,)33

---+ 点评：

试一试：解不等式：

2320(1)(1)x x x x +≤-++

答案：2[,1)3-

例3. 解关于x 的不等式10832<-+x x

解：原不等式等价于1083102<-+<-x x ，

即⎩⎨⎧<-+->-+10

83108322x x x x ⇒⎩⎨⎧<<--<->3621x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(---

试一试：解关于x 的不等式23

21>-x 解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧<-≠-2

132032x x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≠474523x x ∴ 原不等式的解集为5337(,)

(,)4224

例4. 解关于x 的不等式212+<-x x

十字相乘法分解因式受阻

△≥0 △＜0

求根公式法分解因式

恒正或恒负

解：原不等式可化为22)2()12(+<-x x

∴

0)2()12(22<+--x x 即 0)13)(3(<+-x x

解得：33

1<<-x ∴ 原不等式的解集为)3,31(-

两边只有绝对值的不等式，可以同时平方。

试一试：解不等式|x ＋1|＞2－x ．

解： 原不等式等价于：

①201212x x x x x -≥⎧⎨+>-+<-⎩或或②20x x R -<⎧⎨∈⎩

由①得212

x x ≤⎧⎪⎨>⎪⎩所以122x <≤ 由②得x ＞2．

综合①②得12x >

，所以不等式解集为1(,)2

+∞ （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1. 不等式1|1

1|≥-+x x 的解集是 ． 答案：[01)

(1)⋃+∞,， 2. 不等式02

111>+-x 的解为____________. 答案：),1()1,(∞+--∞

3. 解不等式22

x x x x >++。