第9讲方阵问题
方阵问题
方阵问题同学们要参加运动会入场式，要实行队列操练，解放军排着整齐的方队接受检阅等，无论是训练或接受检阅，都要按一定的规则排成一定的队形，于是就产生了这个类的数学问题，今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点：(1)方阵不论哪一层，每边上的人(或物)数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系；四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4例1.三年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，问方阵最外层每边的人数是多少？这个方阵共有多少人？分析：根据四周人数与每边人数的关系可知：每边人数=四周人数÷4+1，能够求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就能够求了。
解：(1)方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数：6×6=36(人)答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。
例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子？分析：(1)方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，能够求出最里层每边的个数，就能够求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数，再乘以层数，再乘以4，计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
解：(1)最里层一周棋子的个数是：(15-2-2-1)×4=40(个)(2)这个空心方阵共用的棋子数是：(15-3)×3×4=144(个)答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。
方阵问题-北京版四年级数学上册教案
方阵问题-北京版四年级数学上册教案一、教学目标1.了解方阵的概念。
2.掌握方阵中行和列的概念。
3.能够根据题目要求用方阵进行简单的计算。
二、教学内容1. 方阵的定义方阵是一个n×n的矩形，其中n为正整数。
方阵中有n行和n列。
如果一个矩形既有n行又有n列，那么它就是一个方阵。
2. 方阵中的行和列一个n×n的方阵中，第i行指的是该方阵中从上到下的第i行，第j列指的是该方阵中从左到右的第j列，其中i和j均为正整数且i和j的取值范围均为1到n。
3. 利用方阵解决问题方阵在解决一些简单的数学问题时非常有用。
比如在加减法练习中，我们可以使用方阵的形式将问题简化。
例如，有以下一道题目：77 + 48 =我们可以使用方阵的形式来解决这个问题：十位数个位数7 7 74 4 8通过上表的方阵形式，我们可以得到解答：77 + 48 = 125同样，我们可以使用方阵的形式来解决更复杂的问题。
1.多媒体教学法在教学过程中，引入多媒体教学法，辅以多种形式的动态展示来促进学生的兴趣和理解。
2.探究式学习法在教学过程中，引导学生主动探究和发现问题的方法，培养学生的学习兴趣和思考能力。
3.个案阐述法在教学过程中，通过具体的例子来展示方阵的应用场景，帮助学生更好地理解和掌握方阵的概念和应用。
四、教学步骤1.导入引出方阵的概念，通过生活实际例子来预习方阵的概念。
2.示范让学生通过课本上的例子来感受方阵的形式和特点。
3.小组探究学生分小组协作探究一些小问题，从而加深对方阵的理解。
4.分享小组分享探究结果，相互借鉴和补充，进一步理解方阵的应用。
5.巩固通过多种形式，让学生练习方阵的运算技巧，加深对方阵的练习和理解。
6.总结让学生总结方阵的应用场景和运用方法。
通过考察学生在教学过程中的表现，综合评价学生掌握方阵的程度和应用能力。
除此之外，还可以开展小测验等评价方式。
六、教学方法1.以多媒体教学法为主，引导学生探究和发现问题。
四年级方阵问题知识点总结
四年级方阵问题知识点总结一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个由若干数构成的矩形数表，它是数学中的一种重要工具，用来表示多个数的集合。
矩阵通常用大写字母表示。
2. 矩阵的元素矩阵的每个数称为矩阵的元素。
矩阵中的元素按照行列的顺序排列，可以用下标表示。
3. 矩阵的行和列矩阵中的横向排列的数字构成矩阵的一行，纵向排列的数字构成矩阵的一列。
二、加减乘除运算1. 加法两个相同阶数（即行数和列数相同）的矩阵相加时，只需对应位置上的元素相加即可。
2. 减法两个相同阶数的矩阵相减时，也是对应位置上的元素相减。
3. 数与矩阵相乘一个数与矩阵相乘时，只需把这个数与矩阵中的每一个元素相乘。
4. 矩阵相乘两个矩阵相乘时，首先要保证第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等，然后按照矩阵乘法的定义进行计算。
5. 矩阵的转置将原矩阵的行变为列，列变为行。
6. 矩阵的逆如果一个方阵乘以它的逆矩阵等于单位矩阵，则该方阵有逆矩阵。
三、矩阵的性质1. 矩阵的相等当且仅当两个矩阵的相同位置上的元素都相等时，这两个矩阵相等。
2. 矩阵的零元素矩阵中所有元素都为零的矩阵称为零元素矩阵，一般用O表示。
3. 矩阵的单位元素主对角线上元素全为1，其它元素全为0的矩阵称为单位元素矩阵，一般用E表示。
4. 矩阵的相加和相乘的结合律矩阵的相加和相乘满足结合律。
四、特殊矩阵1. 对称矩阵矩阵A的转置矩阵与原矩阵相等，即A的转置矩阵等于A，称为对称矩阵。
2. 上三角矩阵主对角线以下的元素全为0的矩阵称为上三角矩阵。
3. 下三角矩阵主对角线以上的元素全为0的矩阵称为下三角矩阵。
以上就是四年级方阵问题的知识点总结。
通过掌握这些知识点，学生可以更好地解决方阵问题，提高数学问题的解决能力和逻辑思维能力。
小学数学《方阵问题》
小学数学《方阵问题》方阵问题[含义]将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
[数量关系](1)方阵每边人数与四周人数的关系:四周人数=(每边人数-1)x4每边人数=四周人数÷4+1(2)方阵总人数的求法:实心方阵:总人数=每边人数x每边人数空心方阵:总人数=(外边人数)-(内边人数)内边人数=外边人数-层数x2(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则:总人数=(每边人数-层数)x层数x4[解题思路和方法]方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人?解22x22=484(人)答:参加体操表演的同学一共有484人。
例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解10*10-(10-3x2)*(10-3x2)=84(人)答:全方阵84人。
练习题1.同学们围成一个正方形做游戏，每边站20人，四个顶点都有人，最外圈一共有()人.A. 72B.76C.802.一个8x8的方阵(每列8人，有8列)，如果想增加两行、两列，排成一个10x10的方阵，那么需要增加()人。
A.32B. 36C.40D.443.王大爷在一个正方形鱼池边上植树，每隔4米种一棵，每边等距离植10棵树(四个角上都植有树)，鱼池的一周长()米。
A.160B.156C.164D.1444.四年级同学举行队列表演，共组成4个方队，每个方队排成6行，每行6人。
最外圈的同学穿蓝色运动服，其余同学穿红色运动服。
一共要准备()套红色运动服。
A.80B.64C. 36D. 165.若干名学生排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么，原有学生()人.A.902B.136C.240D.3606.一张正方形餐桌配4把椅子，一张圆形餐桌配6把椅子，某饭店买了5张正方形餐桌配把椅子，又买了4张圆形餐桌配-_把椅子，两次一共配了____把椅子。
第九讲 方阵问题
第九讲方阵问题教室姓名学号【知识要点】在方阵问题中横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，这就是所谓的“方阵”。
解决方阵问题时，要搞清楚方阵中的一些量（如层数、最外层个数、最里层个数、总个数）之间的关系，解题时要开动脑盘，用多种方法来解题。
【经典例题】★例1：同学们举行团体操表演，排成了一个10行10列的正方形方队，如果去掉一行一列要减少多少人？★例2：育新小学召开秋季运动会，准备在正方形的操场周围插上彩旗。
如果4个角上都要插上一面彩旗，要使每边有7面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗才行？★例3：晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，外层每边有8个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？★★例4：某小区要对一块空地进行绍绿化，把这些树种成方阵的样子。
最外面一周有36棵树。
问这个方阵外层每边有多少棵树？★★例5：一群学生排成一个空心方阵，最外层有36人，最内层有20人，这群学生一共有多少人？【池中戏水】★1、育红小学学生进行管乐队排练，学生排成一个正方形，一共11行，每行11人。
后来由于服装不够，只好去掉一行一列，去掉了多少个学生？★2、48个同学在操场上做游戏，他们站成一个正方形，4个点上都有人，每条边上站几个同学？★3、要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有4盆花，最少需要几盆花？★4、三（1）班进行广播操比赛时，排成一个实心方阵，最外边一层总人数是20人，这个方阵共有多少人?★5、三（2）班同学庆“六一”活动，排成外层每边6人的两层空心方阵，共有多少人？【江中畅游】★★1、亮亮用石子围成一个3层空心方阵，最外一层每边有石子17个，亮亮摆这个方阵用了多少个石子？★★2、学校有32人，排成一个两层中空方阵，这个方阵的外层每边站多少个同学？★★3、小明用围棋子摆一个方阵，这个方阵的横、竖各一列的棋子之和为21枚。
他摆这个方阵共用了多少枚棋子？【海中冲浪】★★★1、有学生若干人，如列成3层中空方阵，就多9人；如中空部分再加两层，则少15人，有多少学生？【温馨提示】下节课我们将学习长方形与正方形的周长，请作好预习。
三年级知识点：方阵问题
三年级知识点：方阵问题方阵问题同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点:(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4春天绿叶分割线例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。
解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。
儿童节气球可爱gif 动图分割线贴纸例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
数学【常规秋季班】第3册 PC 第09讲 方阵问题 (下) 教师版
PC 第09讲方阵问题（下）教学目标：1、学会分析方阵中一些量之间的关系，提高学员分析问题的能力，培养学员转化的数学思想；2、学员自己总结出一些关于方阵问题的规律和特点，加深对于方阵问题的认识；3、进一步通过方阵问题的学习激发学员的求知欲。
教学重点：通过尝试用不同方法解决方阵问题，学会分析方阵中量与量之间的关系。
教学难点：掌握方阵问题中涉及的公式。
教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】----参考时间-2分钟1、士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数和列数相等，正好排成一个正方形，这就是一个方阵。
方阵有实心和空心两种，像这样将人或物按一定条件排成正方形，再根据已知条件求人数或物数的问题叫做方阵问题。
2、解决方阵问题时，要搞清楚方阵中的一些量（如层数、最外层个数、最里层个数、总个数）之间的关系，解题时要开动脑筋。
3、方阵的基本特点：（1）对于实心方阵，无论哪一层，每边上的人（或物）的数量都相等，每向里一层，每边上的人数都少2；每层会少8；（2）每层人（或物）数＝（每边人（或物）数－1）×4；（3）实心方阵的总人（或物）数＝行的人（或物）数×列的人（或物）数。
【知识回顾——上期巩固】----参考时间-3分钟迷你猫参加学校组织的团体节目，她看了看队伍，是一个实心方阵，最外层有28人，迷你猫问：同学们，这个实心方阵最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？解析部分：最外层每边的人数＝最外层的人数÷4＋1；实心方阵的总人数＝最外层每边的人数×最外层每边的人数。
给予新学员的建议：引导学员先求出最外层每边有多少人；哈佛案例教学法：鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。
参考答案：最外层每边的人数：28÷4＋1＝8（人）实心方阵的总人数：8×8＝64（人）答：实心方阵最外层每边有8人，这个方阵一共有64人。
【预习题分析——本期预习】----参考时间-7分钟至慧学堂组织活动，108人排成一个空心方阵，如果这个方阵最外层每边有12人，那么这个方阵共有几层？解析部分：思路一：计算出每一层的人数，总人数减去从最外层依次向里的每一层的人数，如果结果是零，就意味着方阵那一层没有人，就可以计算出层数。
方阵问题(简案)
方阵问题教学目标：1、使学生认识方阵中的数学问题，培养学生从实际问题中探索规律，寻求解决问题的有效方法的能力。
2、通过学生动手操作、讨论交流等，引导学生经历探索过程，发现方阵排列的规律，体验解决问题策略的多样性。
3、让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
教学重点：探索方阵排列的规律，寻找解决问题的有效方法。
教学难点：应用规律灵活解决实际问题。
（一）情境引入，激活思维。
1、播放阅兵式录像，简介方阵。
2、出示其它方阵情境图片，感受其在生活中的广泛应用，揭示课题。
（二）动手操作，探究新知：1、例题准备。
想象：最外层每边站5人的方阵是什么样子？学生描述后出示方阵图片和问题：一个方阵的最外层每边站了5人，这个方阵一共有多少人？2、计算中实方阵总数。
师：你能解决这个问题吗？是怎么想的？（5×5=25人引导：也就是几个几？）3、计算中空方阵总数（1）出示改编后的准备题：一个方阵的最外层每边站了5人，这个方阵的最外层一共站了多少人？（2）比较问题：这个问题与上个问题有什么不同？（学生回答后出示中空方阵图片）这个问题怎么解决？请同学们动手试一试，看谁最有办法！（3）尝试解决。
出示学习要求，并明确：A 在学具纸上圈一圈，要求能让人一眼就看出你是怎么想的。
B 把你的想法用算式表示出来。
C 把你的想法和同桌交流交流，再想想还有没有不同的算法？学生自主解决问题，完成“学习表1”，师巡视指导。
（4）展示交流算法。
投影学生的图示和算式，根据学生的汇报作相应的板书，估计大致会有以下几（ 观察和比较这些方法，你觉得哪种方法最简便？（6）寻找规律并应用。
A 出示问题：将“每边5人”改成“每边8人”，求最外层一圈一共有多少人？B 学生尝试解决，完成“学习表2”。
C 交流汇报，说算理，对比表1和表2，揭示规律。
D 应用：独立解决课本上例3中的问题。
三、拓展延伸，提炼方法。
1、课本P121“做一做”中的第2题。
方阵问题教案
方阵问题教案一、教学目标1. 了解方阵的概念和性质；2. 掌握方阵的基本运算法则；3. 熟练运用方阵解决实际问题。
二、教学重点1. 方阵的基本概念和性质；2. 方阵的基本运算法则。
三、教学难点1. 熟练运用方阵解决实际问题。
四、教学内容1. 方阵的概念和性质方阵是指行数和列数相等的矩阵，即 n 行 n 列的矩阵。
方阵的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。
方阵有以下性质：1. 对角线上的元素称为主对角线元素，其余元素称为副对角线元素；2. 方阵的转置是将其行和列互换得到的矩阵；3. 方阵的行列式是一个数值，用于判断方阵是否可逆；4. 方阵的逆矩阵是一个矩阵，满足原矩阵与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
2. 方阵的基本运算法则方阵的基本运算包括加法、减法和乘法。
方阵的加法和减法与普通矩阵的加法和减法相同，即对应元素相加或相减。
方阵的乘法有以下规则：1. 两个 n 行 n 列的方阵 A 和 B 相乘得到的矩阵 C 也是 n 行 n 列的方阵；2. C 的第 i 行第 j 列元素等于 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列元素对应相乘后的和，即 C ij =∑A ik n k=1B kj 。
3. 方阵解决实际问题方阵可以用于解决实际问题，例如：1.线性方程组的求解：将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵组成增广矩阵，通过高斯消元法或矩阵求逆法求解；2.矩阵变换：将一个向量或点通过矩阵乘法进行变换，例如旋转、缩放、平移等；3.图像处理：将图像表示为矩阵，通过矩阵运算实现图像的变换、滤波、压缩等。
五、教学方法1.讲授法：通过讲解方阵的概念、性质和运算法则，让学生掌握方阵的基本知识；2.实例法：通过实际问题的解决，让学生了解方阵的应用；3.练习法：通过练习题的训练，让学生熟练掌握方阵的运算和应用。
六、教学过程1. 方阵的概念和性质1.讲解方阵的概念和性质，包括对角线元素、转置、行列式和逆矩阵；2.通过例题讲解方阵的性质和应用。
方阵问题知识点总结
方阵问题知识点总结一、方阵的定义与基本概念1. 方阵的定义方阵是一个矩阵，其行数等于列数。
即如果一个矩阵的行数和列数相等，那么它就是一个方阵。
例如，一个3×3的矩阵就是一个3阶方阵。
2. 方阵的性质（1）对角线元素：方阵的主对角线上的元素称为主对角线元素。
（2）对角元素：方阵的非主对角线上的元素称为对角元素。
（3）上三角矩阵：方阵中主对角线以下的元素都是0的方阵称为上三角矩阵。
（4）下三角矩阵：方阵中主对角线以上的元素都是0的方阵称为下三角矩阵。
（5）对称矩阵：如果矩阵A的转置矩阵等于它本身，即A^T=A，那么矩阵A就是对称矩阵。
（6）单位矩阵：主对角线上的元素全为1，其余元素全为0的方阵称为单位矩阵，记为I。
3. 方阵的阶数一个n×n的方阵，我们称其为n阶方阵。
4. 方阵的转置对于一个m×n的矩阵A，转置矩阵记为A^T，即将矩阵A的行列互换得到的新矩阵。
5. 方阵的行列式方阵的行列式是一个重要的概念。
给定一个n阶方阵A，对其行列式记作|A|。
行列式是一个数学上的概念，其代表了一个矩阵的某种性质，具体来说，它代表了一个线性方程组的解的好坏程度。
6. 方阵的逆矩阵对于一个n×n的方阵A，如果存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=I，那么我们称矩阵B 是矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
只有可逆的方阵才有逆矩阵，即行列式不为0的方阵才有逆矩阵。
7. 方阵的秩一个矩阵的秩即为矩阵的行最简形的非零行数。
对于一个n×n的方阵A，记其秩为r(A)。
8. 方阵的特征值和特征向量对于一个n×n的方阵A，如果存在一个实数λ和一个非零向量x，使得Ax=λx，那么我们称λ是矩阵A的特征值，x是矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
二、方阵问题的求解方法1. 方阵的加法和减法对于两个n×n的方阵A和B，它们的加法和减法均为将对应位置的元素相加和相减。
方阵问题
（一）方阵问题一、知识点含义：方阵问题也叫乘方问题，是许多人或许多事物，按一定条件排成正方形。
这类问题一般分为实心方阵和中空方阵（如图）。
按规律摆的话，最里面不能再摆，就是实心的。
还有空可以摆的，就是空心的。
特点：（1）方阵每边的实物数量相等；（2）同边上相邻两层的实物数量相差2；（3）相邻两层的实物数量相差8。
基本的数量关系：（设最外层每边人数为a , 中空方阵层数为n , 最内层每边人数为b）（1）方阵每边人数和每层总数的关系：每层总数=（每边人数－1）×4每边人数=每层总数÷4＋1（2）方阵总人数：①实心方阵：总人数= 每边人数×每边人数，即总人数= a×a②空心方阵：总人数= 外边人数×外边人数－内边人数×内边人数, 即总人数= a×a－（b－2）×(b－2)总人数= 4×（外边人数－层数）×层数,即总人数= 4×（a－n）×n总人数= 4×（b－2＋n）×n空心方阵求总人数，画出示意图，将总人数分成四个等腰梯形每一个等腰梯形，下底=最外层每边人数-1，高=层数，每向内一层，人数少2，上底=最外层每边人数-1-2*(层数-1)=最外层每边人数-2*层数+1，面积=1/2*[上底+下底]*高=1/2*[最外层每边人数-2*层数+1+最外层每边人数-1]*层数=1/2*[2*最外层每边人数-2*层数]*层数=(最外层每边人数-层数)*层数总人数=(最外层每边人数-层数)*层数*4举例：某空心方阵，最外层每边人数100，层数5最内层每边人数92总人数=1/2*(99+91)*5*4=1900 人（3）在方阵中如果去掉一行一列，则：去掉的人数= 最外层人数×2-1二、例题精讲例题1：在正方形鱼塘四周等距离种树，四个角都种上一棵树，这样没边都有6棵，这个鱼塘四周共种了多少棵树？例题2：有一队士兵，排成一个方阵，最外层一周共有240人，问这个方阵共有多少人？例题3：某校少先队员可以排成一个四层空心方阵，如果最外层每边有20个学生，问这个空心方阵最里边一层有多少个学生？这个四层空心方阵共有多少个学生？例题4：军训的学生进行队列表演，排成7行7列的正方形方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？三、练习题1、四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
三年级数学方阵问题讲解
三年级数学方阵问题讲解三年级数学中，方阵是一个常见的概念。
方阵是一个由数字组成的矩阵，其中每一行、每一列和每一条对角线上的数字相加都相等。
方阵的大小用n表示，即n×n的矩阵。
方阵问题是指在方阵中进行各种数学操作的问题。
在这篇文章中，我们将重点讲解三年级数学方阵问题，包括方阵的特点、方阵的加法和乘法等。
让我们来了解方阵的特点。
方阵的大小可以是任意的，但每个方阵都有一些共同的特点。
接下来，我们将讨论方阵的加法运算。
方阵的加法运算是指将两个方阵中对应位置的数字相加，得到一个新的方阵。
为了进行方阵的加法运算，我们需要确保两个方阵的大小相同。
例如，如果有两个3×3的方阵，我们可以将它们相加得到一个新的3×3的方阵。
具体的计算方法是将两个方阵中对应位置的数字相加，并将结果填入新的方阵中相应的位置。
类似地，我们还可以进行方阵的乘法运算。
方阵的乘法运算是指将两个方阵进行乘法运算，得到一个新的方阵。
方阵的乘法运算与方阵的加法运算略有不同，需要注意的是，两个方阵的大小必须满足一定的条件才能进行乘法运算。
具体来说，如果有两个方阵，一个是m×n的方阵，另一个是n×p的方阵，那么它们可以进行乘法运算，得到一个新的m×p的方阵。
乘法运算的具体步骤是将第一个方阵的每一行与第二个方阵的每一列进行相乘，并将结果相加得到新方阵中对应位置的数字。
除了加法和乘法运算外，方阵还有一些其他的特点和应用。
例如，方阵可以表示线性方程组，通过方阵的运算可以解线性方程组。
方阵还可以用于描述二维空间中的旋转和缩放变换等。
总结起来，三年级数学方阵问题是一个涉及方阵的特点、加法和乘法运算等内容的问题。
方阵是一个由数字组成的矩阵，具有特定的规则和运算法则。
方阵的加法运算是将两个方阵中对应位置的数字相加，得到一个新的方阵。
方阵的乘法运算是将两个方阵进行乘法运算，得到一个新的方阵。
方阵还有一些其他的特点和应用，如表示线性方程组和描述二维空间中的变换等。
【通用】三年级数学奥数《方阵问题》知识点及解题思路
三年级数学奥数知识点：方阵问题方阵问题同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点:(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4例 1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。
解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。
例 2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
方阵问题PPT课件
一个方阵最外层每边站8人。最外层一共站多少人？
（8－1）×4 = 28 19
如果一个三角形每边站4人，一共有多少人？ 五边形呢？
（4-1）×3=9 （4-1）×5=15 20
一个方阵的最外层每边站了5人。 这个方阵一共有多少人?
5
5
5×5=25（人）
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学校楼前摆放了一个方阵花坛 。这个花坛的最外层每边各摆放7盆花，
最外层共摆了多少盆花？ 22
(7-1) ×4=24
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为迎接六一儿童节，学校举行团体操表演。四年级 学生排成一个方阵，最外层每边站了15个人，最外层
一共有多少名学生？整个方阵一共有多ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ名学生？
24
(15-1)×4=56 15×15=225
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学生48名在操场上做游戏。大家围 成一个正方形，每边人数相等。四个
执教者:贾然
1
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方阵问题
方阵：学生排队，士兵列队，横着排叫
做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都 相等，则正好排成一个正方形，这种图形 就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
14
教学目标
1、认识数学中的方阵问题。会求最简单的 方阵问题。 2、通过猜想、计算、观察发现方阵排列的 规律。 3、培养学生仔细观察、认真思考的学习习 惯。
顶点都有人，每边各有几名学生?
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48÷4+1=13
27
•同学们，这节课 你有什么收获？
28
再见
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一个方阵的最外层每边站了5人。
这个方阵的最外层一共站了多少人？
方阵问题公式
方阵问题公式方阵问题是线性代数中的一个重要内容，它涉及到矩阵的性质和运算。
在本文中，我们将介绍方阵的定义、特征以及相关的计算方法。
第一节：方阵的定义和性质方阵是指行数等于列数的矩阵，即n行n列的矩阵，其中n为正整数。
可以用以下形式表示：\[ A = (a_{ij})_{n×n} = \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{bmatrix} \]其中，a_{ij}表示第i行第j列的元素。
方阵具有以下性质：1. 对角线元素：方阵A的主对角线上的元素称为对角元素，即a_{11}、a_{22}、...、a_{nn}。
2. 上三角和下三角：若i > j，则称a_{ij}为上三角元素；若i < j，则称a_{ij}为下三角元素。
3. 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的方阵称为单位矩阵，记作I。
4. 转置矩阵：如果A是一个方阵，将A的行和列互换后得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
第二节：方阵的运算方阵有多种运算，包括加法、减法和乘法。
1. 方阵的加法：如果A和B都是n阶方阵，则它们的和A + B也是n阶方阵，其中的元素满足(a_{ij} + b_{ij})。
2. 方阵的减法：如果A和B都是n阶方阵，则它们的差A - B也是n阶方阵，其中的元素满足(a_{ij} - b_{ij})。
3. 方阵的乘法：如果A是一个m阶方阵，B是一个n阶方阵，那么它们的乘积AB是一个m×n阶方阵，其中的元素满足(a_{ik} * b_{kj})。
方阵问题的公式
方阵问题的公式 方阵问题是数学领域中一个经典的问题，其公式可以用来解决方阵的一些特殊性质和计算。
在方阵问题中，我们研究的是一个n x n 的方阵，其中n表示方阵的维度。
方阵的定义是一个正方形的矩阵，即行数和列数相等。
在方阵中，每一个元素都有唯一的坐标表示( i, j )，其中i表示行索引，j表示列索引。
例如，方阵中第一个元素的坐标为(1, 1)，第二个元素的坐标为(1, 2)，以此类推。
方阵问题的公式包括方阵的行列式、伴随矩阵、逆矩阵等。
下面将详细介绍方阵问题的各个公式。
1、方阵的行列式公式： 方阵的行列式用来表示一个方阵的特征值，其计算方法是按照某一行或某一列展开，然后通过递归的方式计算。
行列式记作det(A)，其中A表示方阵。
2、方阵的伴随矩阵公式： 方阵的伴随矩阵是通过方阵的代数余子式构成的矩阵，记作adj(A)。
方阵的伴随矩阵可以用来计算方阵的逆矩阵。
3、方阵的逆矩阵公式： 方阵的逆矩阵是一个与原方阵相乘等于单位矩阵的方阵。
方阵的逆矩阵记作A^(-1)，其中A表示方阵。
方阵的逆矩阵可以通过伴随矩阵公式计算得出。
方阵问题的公式在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
它们可以用来解决线性方程组、矩阵变换、数据压缩等问题。
例如，在计算机图形学中，方阵的逆矩阵可以用来实现图形的旋转、缩放和平移等变换。
总之，方阵问题的公式是解决方阵特性和计算的重要工具。
通过方阵的行列式、伴随矩阵和逆矩阵公式，可以研究和解决方阵相关的各种问题。
这些公式在数学和计算机科学等领域都有着广泛的应用，对于理解方阵的特性和运用具有重要意义。
方阵问题带答案版PPT课件
或 36-2×8=20（人）
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14
小结：
方阵的特点
1、相邻两层，每边个数差2，每层个数差8 （除心为1时，最里两层差7）
2、每边个数为偶数：层数=每边个数÷2
每边个数为奇数：层数=（每边个数-1）÷2+1
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组二：空心方阵
最外层有（ ）个 最外层有（ ）个
共有（ ）个
共有（ ）个
最外层有（ ）个 共有（ ）个
方阵问题
许朝娟老师
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1
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2
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3
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4
在排队时，横着排叫行，竖着排叫列，当行 数和列数相等，正好排成一个正方形，这样的 方队我们就叫做方阵。方阵有中实方阵（即实 心方阵）和中空方阵（即空心方阵）。
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5
每边有（ ）个 共（ ）个 最外层有（ ）个
每边有（ ）个 共（ ）个 最外层有（ ）个
每边个数= 最外层总数÷4+1 实心方阵总数= 行数×列数 最外层总数=（每边个数-1）×4
去掉人数：7×2-1=13（人）
剩余人数：7×7-13=36（人） 或 （7-1）×（7-1）=36（人）
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5、参加小学生运动会团体操表演的运动员排成一个正 方形队列，如果要使这个正方形队列减少一行一列， 则要减少33人。参加团体操表演的运动员原来有多少 人？
每边人数：（33+1）÷2=17（人）
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18
3、四（1）班的学生进行队列训练，排成两层空 心方阵，已知最外层每边有6人，求这个班共有多 少人？
最外层人数 ： （6-1）×4=20（人）
总人数 ： 20+（20-8）=32（人）
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方阵问题课件
5
5×5=25（人）
一个方阵的最外层每边站了5人。 这个方阵的最外层一共站了多少人？
5
5
一个方阵最外层每边站5人。最外层一共站多少人？
（5－1）×4 = 16（人）
5×4－ 4 = 16（人）
3×4 + 4=16（人）
5×2 + 3×2=16(人)
练习：一个方阵最外层每边站8人。最外层一共 站多少人？
28＋站了30人。
（1）这个方阵一共有多少人？ 30×30＝900（人）
（2）最外面一圈共有多少人？ （30－1）×4=116（人）
（3）从外往里数第二圈共有多少人？ 116－8＝108（人）
（4）如果在这个方阵外面再站上一圈，需要再 来多少人？
116＋8＝124（人）
答：这个方阵最外层每边需要栽18棵树。
● ● ● ●
●●●●
例：五边形的水池边上摆上花盆，使每一 边都有4盆花，可以怎样摆放？最少需要 几盆花？
（4－1）×5=15（盆）
答：最少需要15盆花。
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（19－1）×4 = 72（颗）
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1、为迎接六一儿童节，学校举行团体操表 演。四年级学生排成方阵，最外层每边站了 15个人，最外层一共有多少名学生？整个方 阵一共有多少名学生？
（15－1）×4=56（名） 15×15=225（名）
答：最外层一共有56名学生，整 个方阵一共有225名学生。
反之，如果告诉我们一层共有72颗棋子，怎么求 它每边有多少颗棋子呢？
（1792－÷14）＋×1=41＝9（72颗（）颗）
2、48名学生在操场上做游戏。大家围成一 个正方形，每边人数相等。四个顶点都有人， 每边各有几名学生？
第9讲方阵问题
第9讲方阵问题第9讲方阵问题知识要点:学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题)。
核心公式：1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层总人数比内一层总人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－11.学校学生排成一个方阵,最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？解：方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。
2.某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。
问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？解：方阵最外层每边人数:60÷4＋1=16(人)整个方阵共有学生人数：16×16=256(人）答:方阵最外层每边有16人,此方阵中共有256人。
3.晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数。
知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解法1：最外边一层棋子个数：（14—1)×4=52（个）第二层棋子个数:(14-2-1)×4=44（个)第三层棋子个数：（14-2×2—1)×4=36（个)。
摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数)×层数×4进行计算。
(14—3)×3×4=132（个)答：摆这个方阵共需132个围棋子。
4.一个正方形的队列横竖各减少一排共27人,求这个正方形队列原来有多少人?解析:依据：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1可知每边的人数是：142)127(=÷+（人)原人数是：1961414=⨯（人）5.小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚,最外边的一层共多少枚棋子？解析：这要用到方阵的公式逆运算，100必然是一个数的平方数因为1001010=⨯（人），并且是实心的方阵,所以最外层有10人。
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第9讲 方阵问题知识要点：学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心） 2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1 3．方阵外一层总人数比内一层总人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－11. 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人? 解： 方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人） 整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。
2. 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？ 解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。
3. 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）. 摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4进行计算。
（14-3）×3×4=132（个）答：摆这个方阵共需132个围棋子。
4. 一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？ 解析：依据：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1可知每边的人数是：142)127(=÷+（人）原人数是：1961414=⨯（人） 5. 小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？解析：这要用到方阵的公式逆运算，100必然是一个数的平方数因为1001010=⨯（人），并且是实心的方阵，所以最外层有10人。
6. 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人？解析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。
从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人， 因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 解 ：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
原题中去掉一行、一列的人数是33， 则去掉的一行（或一列） 人数＝172)133(=÷+ 人 方阵的总人数为最外层每边人数的平方， 所以总人数为2891717=⨯（人）7. 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？ 解析：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列，从图中可看出正方形队列的特点：（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数＝每行人数×每列人数。
（2）去掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点A 所示。
因此去掉的总人数＝原每行人数×2－1，或去掉的总人数＝减少后每行人数×2＋1。
本题中所求，即去掉的人数＝7×2－1＝13（人） 或去掉的人数＝（7－1）×2＋1＝13（人） 还剩的人数＝（7－1）×（7－1）＝36（人） 或还剩的人数＝7×7－13＝49－13＝36（人）8. 解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？解法1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。
（1）中实方阵总人数：12×12=144（人）（2）第四层每边人数：12-2×（4-1）=6（人） （3）空心方阵人数：（6-2）×（6-2）=16（人） （4）中空方阵人数：144-16=128（人）小结：中空方阵总人数=外边人数×外边人数-（内边人数-2）×（内边人数-2） 解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。
（1）每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8（人） （2）每个长方形的宽是层数：4人 （3）总人数：8×4×4=128（人）小结：中空方阵总人数=（每边人数-层数）×层数×49. 学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。
四个角上都插一面，每边插7面。
一共要准备多少面旗子？解析：依据求外层个数的公式：（边数-1）×4 244)17(=⨯-（面）10. 一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？· · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·解析：①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵 数为：17129=-⨯（棵）。
②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的， 所以大三角形三条边上共栽花：483)117(=⨯-（棵）。
③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算 大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上 栽花棵数为：729=-（棵）解：大三角形三条边上共栽花：483)1129(=⨯--⨯（棵） 中间画斜线小三角形三条边上栽花：213)29(=⨯-（棵） 整个花坛共栽花：692148=+（棵）11. 同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第5个，这个方阵共有多少人？解析：如图，实心圆表示小明的位置，可以知道， 这个队列每行都是9人。
解：每行每列数：9125=-⨯（人） 共有：8199=⨯（人）12. 小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？解析1：利用“相邻两层之间，每层的总数相差8”的特点， 可知最外层共有棋子数：（200+8+8×2+8×3+8×4）÷5＝56（个） 最外层每边的棋子数：56÷4+1＝15（个）解析2：如练习中的图，把棋子分成相等的四部分。
每一部分的棋子数：200÷4＝50（个） 每一部分每排的棋子数：50÷5＝10（个） 最外层每边的棋子数：10＋5＝15（个） 综合列式为：200÷4÷5＋5＝15（个）13. 游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？解析1：请同学们自己画一个图，下图是一个三层中空方阵的示意图，不难发现， 有如下特点：（1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2；（2）每相邻两层之间，点的总数相差8个。
最外层队员的总数：444412=-⨯（人）三层共有队员的总数：)2844()844(44⨯-+-+=283644++=108（人）解析2：如下图可分成相等的四部分，每一部分的人数：（12－3）×3＝9×3＝27（人） 三层共有队员数：27×4＝108（人） 答：彩车周围的少先队员共有108人。
14. 若干名同学排成中实方阵则多12人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满，请问：原有学生多少人？解析：由于纵横两个方向各增加1人，因此不但将剩余12人摆上，而且还差9人，说明一横行与一竖行的人数总和是12＋9＝21人。
又由于纵横两个方向各增加1人，因此只有1人同属于横行与纵行，在数每边上的人数时，总被多数一次，因此可以用21人先加上被重复数过的1人，再除以2，也就得到每边人数。
列式为（21＋1）÷2＝11人。
求出每边人数，就可求出假设排满后的人数，列式为11×11＝121人，用121人减去差的9人就是原来人数，列式为121－9＝112人。
也可以根据原来的方阵再加上12，请你试一试。
答：原有学生112人。
15. 有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：方阵中一共有士兵多少人？解析：要想求出方阵中一共有多少士兵，就应先求出方阵的最外层每边有多少人。
已知方阵最外一层有100人，用100÷4＝25人，每边是不是25人呢？不是的，因为平均分成4份后，还需要再加上1，才正好是每边上的人数，列式应该为100÷4＋1＝26人。
因此方阵中一共有26×26＝676人。
答：一共有676人。
16. 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？ 解析：如图，最外一层每边摆6枚，根据方阵每行每列个数相等特点，因此一共有6×6＝36枚棋子。
最外一层每边有6枚，如果用6×4＝24枚，就认为是最外一层棋子数的答案的话，那就错了。
因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列，这样棋子在计算总数时就被多数了一次，这样的顶点一共有4个，需要把多数的减去，才能得到正确的结果。
列式是6×4－4＝20枚。
说明：这道题还可以这样想：数每边棋子时，可以按上图先划分成4个相等的块，这样每边就有5枚了，因此用5×4＝20枚，也可以得到正确答案。
按照划分块的方法不同，至少还有两种方法，请同学们试一试。
17. 一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？ 解析1：把去掉4行4列转化为一行一列的去掉，就可用例6的结论：去掉一行一列的总人数＝原每行人数×2－1反复利用4次这个公式，只要注意“原每行人数”的变化，即可列式为： 去掉4行4列的总人数＝20×2－1+（20－1）×2－1＋（20－2）×2－1+（20－3）×2－1 ＝40－1=38－1+36－1+34－1＝144（人）解析2：我们还可以这样想：原来是一个7行7列的方阵，若去掉4行4列后，仍剩下一个小正方形方阵，因此去掉4行4列的总人数＝原正方形方阵每边人数－4，即去掉的总人数＝20×20－（20－4）×（20－4）＝400－256＝144（人）答：去掉4行4列，要减少144人。