光在两种介质界面上传播特性分析

第一章引言

1.1课题的目的和意义

光入射到不同介质的表面时会发生反射与折射，反射与折射时振动相位的变化；入射光与折射光的振幅与光强的关系；倏逝波和全反射时的能量流动情况；以及界面反射与折射对光的偏振态的影响；还有光在正负折射率介质上的传播情况。该课题的要求是分别对以上几个方面的问题进行探讨，并得出结论。

1.2目前的状况及前景

首先从问题的本身来说，光在两种介质界面上传播机理，是光学里非常普遍的现象。随着光学的反展，使得它由古典几何光学问题，发展成为现代光学问题。由以往的以几何光学理论进行研究，发展到现在的以电磁波的理论去研究。因研究方法的改变，研究的层次也在改变，由以往的简单的光路问题，延展到振幅与光强问题、振动相位问题、偏振态问题以及在新材料上的应用（出现了负折射率的材料）。受传统教材的限制，这些问题常常没有得到全面的研究。

1.3课题研究的内容

为了更好的学习和研究两种介质表面上光的传播特性。总的来说，本文分别在五个大的部分进行深入的探讨：

第一部分：利用费马原理从光程的角度来阐述光的传播规律，使得其更简明更具有普遍意义。费马原理指出光线从A点到B点，是沿着光程为极值的路径传播的。

第二部分：利用菲涅耳公式对反射、折射时的振动相位变化关系进行了探讨，从菲涅耳公式出发，分两种情况进行了讨论。第一种情况：光由光疏介质入射到光密介质时光振动矢量的相位变化；第二种情况：光由光密介质入射到光疏介质时光振动矢量的相位关系。

第三部分：对入射光与折射光的振幅、光强进行了分析。利用菲涅耳公式和电磁场能量、能流理论，分析光在两种同性介质分界面上的入射、反射和折射时的现象，并得出了两个结论：（1）在一定条件下，折射光的振幅可大于入射光的

振幅；（2）在一定条件下，折射光的光强可以大于入射光的光强。

第四部分：探讨全反射时出现的倏逝波，并应用Maxwell的电磁理论，对光的全反射现象进行了推导，并得到与全反射密切相关的倏逝波，并对倏逝波进行了详细的讨论。

第五部分：对在界面上反射与折射时光的偏振态的问题进行研究。讨论了线偏振光经介质界面反射、折射后偏振态的变化；部分偏振光经介质面反射、折射后的偏振态；以及椭圆（圆）偏振光经介质界面反射、折射后的偏振态的变化。

第六部分：分析了光在正负折射率介质面上的折射与反射的情况。当一束光入射到两种不同介质表面上时，它的路径将根据两种介质的折射率之差而改变的。对于自然界中所有已知的介质来说，折射率均取正值，但事实上并不是这样的。这里将详细的研究了光在正负折射率介质界面上的折射规律和反射规律。并与经典的电磁学中已有的常规介质分界面上的折射与反射规律进行了比较，找出它们的不同之处。

总之，光在两种介质界面上传播是自然界中普遍发生的现象，而且还经过许多人的研究探讨，得出了不少重要的结论，形成了一套相当完整的理论体系。为了适应信息社会的要求，古老的几何光学几经演变，如今已经形成了一门充满活力的现代光学，然而，传统的光学教材却面貌依旧，远远脱离了光学的发展现状。传统教材没有去挖掘更深层次的内涵。当我们自己探讨这些问题，我们将会发现不少新的问题。就像本文所研究的几个问题：光在介质面上反射与折射时会产生振动矢量位相的变化，振幅和光强的变化关系，及半波损失产生条件的分析与讨论，甚至光在正负介质面上反射与折射的奇特现象。

随着科学技术的发展，光在两种介质表面上的反射折射现象大放异彩。在许多领域都显示出了它特有的魅力，例如现今非常热门的两大技术：激光技术、光纤技术。本文就是利用现有的理论基础，对光的反射与折射现象做些探讨，使自己所学知识得到巩固，同时激起大家对光反射折射现象更深厚的兴趣，也使大家对这个普遍的现象有了更深的了解。

第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验

定律进行推证

2.1 反射定律和折射定律

在教材中我们早就学习了折射定律和反射定律]1[，反射定律的传统表达为：入射光线与反射光线在同种介质中，且对称分居于法线两侧，即入射角i 等于反射角i '，或i ＝i '。折射定律的传统表达为：光折射时，折射光线、入射光线、法线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两侧。折射角随入射角的改变而改变：入射角增大时，折射角也增大；入射角减小时，折射角也减小。这两个定律通俗易懂，但它们在教材中都是通过实验推出，并没有从理论的角度进行推证。本章利用费马原理从理论角度对反射定律和折射定律进行推导。

我们已经学过nds 称为光程，并且当两列波在同一点相遇并叠加时，其光强取决于相位差，而相位差又取决于光程差。可以证明，几何光学中，有关光线的实验事实也可以归结为光程问题，即不考虑光的波动性，而只从光线的观点出发通过光程的概念。

2.2费马原理

费马原理是费马在1650年概括光线传播的实验定律提出的[2]，其内容为：连结给定两点P 和Q 可以有许多路径，而光线只遵循两点间光程为极值的路径，数学表达形式为：

Q

P

nds =⎰极值（极小值、极大值或恒值） （2-1）

费马原理要求光程为极值，可以是最小值，这是最常见的，也可以是最大值，还可以是稳定值。

几何光学的核心就是费马原理，虽然几何光学被看作是波动光学的近似，但现在光学设计中的光线追迹及光学成像等还是利用由费马原理推出的几何光学的知识，费马原理是物理学和数学的精妙结合。

2.3 折射定律的推导

设光线由P 点传播到Q 点， P 和Q 两点分别在折射率为1n 和2n 的均匀媒质

中，首先建立笛卡儿空间直角坐标系，选两种介质的分界面为x y 平面，选过P 和Q 两点并与媒质分界面垂直的平面为yz 平面，如果P 和Q 两点的连线与分界面不垂直，yz 平面选取为唯一，否则yz 平面的选取不唯一，任选一个即可，如图2-1所示。设光线交xy 平面于A 点，由于在均匀媒质中光线沿直线传播，任意可能的路径是光线沿着直线PA 传播到A 点，并沿着直线AQ 前进到Q 点。设p 点坐标为()110,,y z ，Q 点坐标为()220,,y z ，A 点坐标为(,,0)x y ，P 和Q 分别在两种均匀媒介中，不在xy 平面上，即，10z ≠ ，20z ≠。令：

222111()l PA x y y z ==+-+

222222()l PQ x y y z ==+-+

光程 ：

2222221122111222()()()PAQ n l n l n x y y z n x y y z =+=+-+++-+

光程()PAQ 是x ， y 的二元函数，实际光线所走路径的光程为极值，则其对x ，y 的偏导数为零，这时的A 点设为0A ，即实际光线与媒质分界面得交点为0A ，

图2-1光线在折射中任意可能路径示意图

坐标标为(,,0)x y ，则00x =，即0A 点在yz 平面上，因此光线沿着yz 平面传播，

111122(,)()0x f x y n l n l --=+=

过0A 点作xy 平面得垂线OM 即为法线，其也在yz 平面上，由此得出折射光线，法线，入射光线在同一平面上，如图2-2所示。图2-2中的1i 为入射角，2i 为折射角。光程()PAQ 在0A 点对y 的偏导数也为0。