电路分析基础-7 正弦稳态功率的计算
正弦稳态电路的计算
第3章 正弦稳态电路的计算
正弦交流电的优越性： 便于传输；易于变换 易于传输和控制 交流电机结构更简单
第3章 正弦稳态电路的计算
3.1 正弦量的三要素及相位 3.2 正弦量的相量表示法及计算法 3.3 正弦电路中的电阻、感抗、容抗 3.4 正弦电路中电阻、电感、电容的串联 3.5 正弦电路中电阻、电感、电容的并联 3.6 阻抗的串并联及正弦电路的相量图 3.7 正弦电流电路的功率 3.8 功率因数的提高 3.9 正弦电流电路中的谐振
内容简介
本教材理论推导从简，计算思路交待详细，概念述 明来龙去脉，增加例题数量和难度档次，章节分 “重计 算”及“重概念”两类区别对待，编排讲究逐步引深的 递进关系，联系工程实际，训练动手能力，尽力为后续 课程铺垫。借助类比及对偶手法，语言朴实简练，图文 印刷结合紧密，便于自学与记忆，便于节省理论教学时 数。适用于应用型本科及高职高专电力类、自动化类、 机电类、电器类、仪器仪表类、电子类及测控技术类专 业。
设 u(t)=Umsin( t+ u), i(t)=Imsin( t+ i)
等于初相位之差
相位差 ： = ( t+ u)- ( t+ i) = u- i
规定： | | (180°)
若 u i 0 电压超前电流
两个正弦量之间的超前或滞后关系
u i 0
电压滞后电流
u i 0 电压电流同相
3.1 正弦量的三要素及相位
3.1 正弦量的三要素及相位
稳恒电流：电流的大小和方向都不变的直流电流。 交流电流：电流的大小和方向都随时间变化的电流。
常见的交流电波形
i
i
O
tO
tO
t
(a)
正弦电路的功率
《电工技术》
知识点：正弦交流电路的功率
1. 瞬时功率
=⋅+ωωϕI U p t t sin sin()m m =-+ϕωϕI U t 2
[cos cos(2)m
m （设电感性电路）
=⋅p i u
2 . 平均功率（有功功率）P
u与i 的相
位差角
总电压总电流
1 UI
pdt ϕ
cos
T
P T =
=⎰
上述公式为有功功率的一般表达式，可推广到任何复杂交流电路，其有功功率等于电阻上消耗的功率。
===2
R R
P P U I I R
功率因数
ϕ
cos
=-=-=L C L C Q I X I X I U U IU 22sin ϕ
)(Q ＝Q L +（-Q C ） 3 . 无功功率 Q
单位：V A 、kV A
4. 视在功率 S。
电源（发电机、变压器等）可能提供的最大功率（额定电压×额定电流）
ϕ U U R U L -U C S=UI
---功率三角形
5 . 有功功率、无功功率与视在功率间的关系
=S U I
视在功率 =Q U I sin ϕ无功功率
=P U I cos ϕ有功功率
---功率三角形 S
Q P 功率三角形 U R
U
+ U U L C 电压三角形
阻抗
三角
形 R X L -X C ϕ
THE END。
07第七章正弦稳态电路的分析功率部分详解
1
ω
Z
Z R j(ωL 1 )
ωC
当 ω 0
1 即 ω0 L 0C
时
Im[ Z ( j )] 0
•
I
R
jL
•
•
•U I
U
U
Z RR
u
•
电压电流同相位。
U
1
jC
谐振：当满足一定条件(对RLC串联电路，使 ( L=1/ C)， 电
路中电压、电流同相，电路的这种状态称为谐振。
串联谐振：
ω
0L
使功率因数提高到0.9 , 求并联电容C。
•
I
+
• P=20kW
U cos1=0.6
C
_
•
•
IL
IC
R
•
U
L 解：
并电容前： Q QL Ptg1
并电容后： Q QL QC
Q Ptg2
C
P U
2
( tgφ1
tgφ2 )
QC Q QL QC CU 2
cosφ1 0.6 得： φ1 53.13 cosφ2 0.9 得： φ2 25.84
有：
•
•
U ZI
•
(R jX ) I
或：
•
•
I YU
•
(G jB)U
复功率 或：
• •
SU I
• •
ZII
(R jX )I 2
• •
SU I
•
U (Y
•
U
)
(G
jB)U
2
R、L、C元件的复功率为：
•
•
SR UR I R
• •
电路分析基础正弦稳态电路的功率
电路分析基础
对指标点1-2的贡献： • 掌握正弦稳态功率的基本知识，能够应用基本理论分 析计算正弦稳态功率问题。 对指标点2-2的贡献： • 能够运用电路网络的基本定理，准确描述二端网络的 等效阻抗、阻抗匹配等工程问题。
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电路分析基础
10.1 二端网络的功率
1、瞬时功率
设端口电压、电流，且 u(t) Um cos(t u )V
S
显然 cos(u i ) 功率因数角：u i
有功功率、无功功率、视在功率的关系：
SQ
S2 P 2 Q2
P
功率三角形
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电路分析基础
S UI
P UI cos(u i ) Q UI sin(u i )
5、复功率
，
设：U Uu I Ii
定义： S~ UI 伏安（VA）
视在功率： S UI 复功率： S~ UI
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电路分析基础
测试题2 有功功率、无功功率、视在功率、复功率、 功率因素之间有何联系？
S~ P 2 Q2 S
P Re S
S~ P jQ
P
S
Q Im S
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电路分析基础
测试题3 填空题
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电路分析基础
例1 电路如图所示，已知 is (t) 20 cos100tmA 求三条支路的有功功率、视在功率和功率因数。
（2）电容
z 90o
Q UI CU 2 I 2 C
（3）电感 z 90 o
Q
UI
U2
LI 2
（4）若二端网络不含受控源，则 L
Q 网络内各电容和电感元件的无功功率之和。
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电路分析基础
电路设计--正弦稳态电路的功率讲解
2I cos( t i )
UI cos( u i ) UI cos(2t u i )
u i
为电压和电流之间的相位差
p UI cos UI cos(2t u i )
瞬时功率有两个分量： 第一个为恒定分量，第二个为正弦分量。
§9.4 正弦稳态电路的功率
一、瞬时功率
一端口内部不含独立电 源，仅含电阻、电感和 电容等无源元件。
+ u i N0
它吸收的瞬时功率 p 等于电压 u 和电流 i 的乘积 p =u i 在正弦稳态情况下，设
u
2U cos( t u )
i
2I cos( t i )
瞬时功率 p= 令
另一种解法
而 R = 30 Ω I R 30 Z R 2 (L) 2
2
故可求得： L 502 302 = 40Ω 40 L = 127 mH
解：
u 10
i 50 2 sin(314t 45 )=50 2 cos(314t 45 )
i 45
故：P UI cos(u i )=300 50cos55 8610(W )
例9－17：测量电感线圈R、L的实验电路，已知电压 表的读数为50V，电流表的读数为1A，功率表读数为 30W，电源的频率f =50Hz。试求R、L之值。
PC=UIcos =UIcos(-90)=0
电容不消耗有功 且QC<0
1 2 QC UI I wCU 2 wC
* 电感、电容的无功功率具有互相补偿的作用
例9-16： 求平均功率P。 已知u, i关联取向，且： u 300 2 cos(314t 10 )(V) i 50 2 sin(314t 45 )(A)
正弦稳态的功率要点
其相量图如图(d)所示。单口网络吸收的平均功率为
P UI cos φ 10 2 cos(53.1 ) 12W
此时的功率因数=cos=0.6，功率的利用效率很低。
为了提高功率因数，可以在ab两端上并联一个电容， 如图(b)所示。为分析方便，先将电阻与电感串联等效变换 为电阻和电感的并联，如图(c)所示，其电导和电纳值由下 式确定
能量。
值得注意的是在用UIcos计算单口网络吸收的平均功 率时，一定要采用电压电流的关联参考方向，否则会影响 相位差的数值，从而影响到功率因数cos以及平均功率 的正负。
二、功率因数
从式(9-19)可见，在单口网络电压电流有效值的乘积 UI一定的情况下，单口网络吸收的平均功率P与cos的大 小密切相关，cos表示功率的利用程度，称为功率因数，
时，功率因数角=090以及功率因数cos<1，以致于 P<UI。为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施 力求提高功率因数。
例9-15 图(a)表示电压源向一个电感性负载供电的电路模 型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。
解：图(a)电路中的电流为
U 10 0 I S I 2 53 . 1 A 1 Z 3 j4
其波形如下图所示。
图9-24 电阻的瞬时功率和平均功率
瞬时功率p(t)在任何时刻均大于或等于零，电阻始终吸 收功率和消耗能量。此时平均功率的表达式为
U P UI I R R
2
2
(9 20)
p(t ) UI cos UI cos(2t 2 u ) (9 - 18)
下面我们讨论单口网络的几种特殊情况。 1. 单口网络是一个电阻，或其等效阻抗为一个电阻。 此时单口网络电压与电流相位相同，即=u-i=0, cos=1，式(9-18)变为
7.3 正弦稳态电路的功率
cos t ω无源网络(1cos2φ+第一种分解形式()()cos cos 2p t UI φt φω=+-⎡⎤⎣⎦UI cos j 恒定分量UI cos (2ωt －j )为正弦分量ωtiOu p (t )∙p 有时为正,有时为负；∙p >0,电路吸收功率；∙p <0，电路发出功率；ωtOp（2）平均功率（有功功率）P第 2 页第二种分解形式：()()cos 1+cos2sin sin 2p t UI φt UI tωj ω=+UI cos j (1+cos2ωt )≥0为不可逆分量UI sin j sin2ωt 为可逆分量ωto能量在电源和一端口之间来回交换（3）无功功率Q可逆分量的最大值定义为无功功率sin Q UI φ=单位：var (乏)Q >0，表示网络吸收无功功率Q <0，表示网络发出无功功率无功功率第 4 页有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）（4）R 、L 、C 元件及阻抗Z 的有功功率和无功功率P R =UI cos j =UI cos0︒=UI =I 2R =U 2/R Q R =UI sin j =UI sin0︒=0P L =UI cos j =UI cos90︒=0Q L =UI sin j =UI sin90︒=UI=I 2X LP C =UI cos j =UI cos(-90︒)=0Q C =UI sin j =UI sin (-90︒)= -UI=I 2X Cu i R+-i u C+-i u L+-电感的无功功率>0吸收无功电容的无功功率<0发出无功第 5 页u i Z+-P Z =UI cos j Q Z =UI sin j 2L L 2C C 00Q I X Q I X ⎧=>⎪⎨=<⎪⎩=I |Z|I cos j =I 2|Z|cos j =I 2R =I |Z |I sin j =I 2|Z |sin j =I 2X＝I 2(X L ＋X C )=Q L ＋Q C发出无功吸收无功电感和电容具有无功互相补偿的作用第 6 页以感性负载为例R cos P UI U I j ==G cos P UI φUI ==jIUBI GI X sin Q UI U Ij ==Bsin Q UI φUI ==RX +_+_+_U RU XU I GB+_GI IBI U jIURU XU XU 电压的无功分量RU 电压的有功分量GI 电流的有功分量BI 电流的无功分量（3）电压、电流三角形第8 页R P U I =GP UI =X Q U I=BQ UI =jSPQj⎥Z ⎪RX相似三角形jII GI BjUU RU XRX +_+_+_U RU XU I GB+_GI I BI U P =I 2RQ =I 2XRX +_+_+_U RU XU I第9 页3、复功率*S UI= U I负载+_定义：()u iS UI j j =∠- *S UI = 也可表示为：**()S UI U UY ==j P Q =+cos j sin UI φUI φ=+UI φS φ=∠=∠2ZI=有功功率无功功率视在功率*ZII = ***2UU Y Y U == 复数第10 页有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）()R L C P P Q Q Q =∑⎧⎨=+∑⎩总总视在功率不守恒=+j S P Q 总总总()R L C j P Q Q =++∑∑()RL C j P Q Q ⎡⎤=++∑⎣⎦=S ∑ =S S∑ 总复功率守恒无功功率守恒有功功率守恒=S S∑总第11 页求电流源发出的复功率o o 100 236(37.1)VU Z =∠⨯=∠- 例题解法1()()o10j25//5j1523.6(37.1)Z =+-=∠-W()*o o 236(37.1)100 1.88j1.42 kVAS UI ==∠-⨯∠=- +_U 10∠0oA10W j25W5W -j15W第12 页o o 100 236(37.1)VU Z =∠⨯=∠- 解法2()()o10j25//5j1523.6(37.1)Z =+-=∠-W23610 2.36 kVAS UI ==⨯≈+_U 10∠0oA10W j25W5W -j15W()o 2.36(37.1) 1.88j1.42 kVAS =∠-=- 第13 页21I Z =+_+ A_= 8.77* AW V+_D I30⨯4、功率因数的提高设备容量S (额定)向负载送多少有功由负载的阻抗角决定。
正弦稳态电路分析和功率计算
仍为感性。
(5) 导纳三角形
Y G B
2 2
|Y|
|Y|
|B| G
(6) 导纳是频率的函数
Y(j) = G() + jB()
例 已知 R = 15 , L = 10mH , C = 100µ F , 求 uS(t)分别 2 cos 500 t V 2 cos 3000 t V 为 120 与 120 时的稳态电 流 i(t)，并画出相量图。
1 I 记为 Y。 即 Y 。单位：西门子（S）. Z U
元件
I
Y
U
I Y U
—— 欧姆定律的相量形式
U Z I
1 I Y Z U
一端口
+ U
I
N0
—— 输入阻抗 (导纳)
N 只含阻抗与受控源
3. 分析
I Y U
(1) 元件与不含独立源的一端口的 VCR 统一表达为： ，不再表现为微积分的关系； I Y U I (2) Y 为一复数，记为 Y = G + jB . U 其中： G — 电导分量 (S)； B — 电纳分量 (S) 1 BL — 感纳 BC = C — 容纳； L I I I 2 2 (3) Y Y i u Y G B U U U
正弦稳态电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
Z Im Im2 Z Im m U 11 1 Z 12 1 m S 11 I Z I Z I U Z 21 m 1 22 m 2 2m m m S22 Z I Z I Z I U 1 m 1 m 2 m 2 m mm m Sm m m
电路分析基础-7正弦稳态功率的计算-精选文档
上 页
下 页
7.2.2 无功功率 Q (reactive power)
Q UIsin φ
def
单位：var (乏)。
P UI cos 单位：W
单位：var Q UI si n
S UI 单位：VA
Q P tan
S P Q
2 2
S
P
Q
功率三角形
上 页 下 页
7.2.4-6 R、L、C元件的有功功率和无功功率 i + u i + u i + u C L R
2 2 P UI cos UI cos 0 UI I RU / R
X
P UI cos U I R
U R
I G
P UI cos φ UI G
U
+
U
I G
G
IB
_
B
I B
I
Q UI sin φ UI B
为 的有功分量 称 I I G 为 的无功分量 称 I I
B
上 页
下 页
例
+
U _
三表法测线圈参数。 已知 f =50Hz，且测得U=50V， I=1A，P=30W。 I * A * W 方法一 解 R V S UI 50 1 50 V A Z LΒιβλιοθήκη 吸收无功为正 吸收无功为负
2 2 2 2
S P Q IR X I Z
2 2
电路原理 正弦稳态电路的计算
j10Ω I
A
A
I1
I2 C1
B
5Ω j5Ω V
分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数
求总电流和电压 解题方法有两种： (1) 用相量(复数)计算
(2) 利用相量图分析求解
15
j10Ω I
A
I1
A I2 C1
B
5Ω j5Ω V
已知：I1= 10A、 UAB =100V，
求：A、V 的读数
解法1: 用相量计算
•
US 1
+
•
U s1 -
j
X
L
I2
I3
R
•
US
2
- I1 I2 I3 0
- j2I1 5I3 100
j5I2 5I3 j100
R
•
I3
②
3.6.2图(b)
•
I2 +
•
U s2 -
8
(2)回路电流法
•
I
1
jX C
jX L
+
•
•
U s1
Ia
-
•
Ib
R
•
I3
R - j X C
Ia
RIb
IC2 UC1
IR2 UR1 1
U2C 2 I1 C 1
U2 R2
I1 R1
•
I1
R1
C1
•
IC2
U + +
•
U1
•
-
3
R2
C2
•
+ •
U2
-
I R2
-
3.6.4例5图(a)
•
正弦稳态电路的功率公式
正弦稳态电路的功率公式1.有功功率：有功功率表示电路中能转化为其他形式的功率，通常是用于实现有用功能的功率。
在正弦稳态电路中，有功功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，有功功率的公式如下：P = V × I × cos(θ)其中，P表示有功功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
在三相电路中，有功功率的公式如下：P = √3 × V × I × cos(θ)其中，P表示有功功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
2.无功功率：无功功率表示电路中产生的电能不能被转化为其他形式的功率，它主要是用来提供电路元件的无效功率。
在正弦稳态电路中，无功功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，无功功率的公式如下：Q = V × I × sin(θ)其中，Q表示无功功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
在三相电路中，无功功率的公式如下：Q = √3 × V × I × sin(θ)其中，Q表示无功功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值，θ表示电压和电流之间的相位差。
3.视在功率：视在功率表示电路中的总功率，它等于有功功率和无功功率的向量和。
在正弦稳态电路中，视在功率可以通过电压和电流的乘积来计算。
对于单相电路，视在功率的公式如下：S=V×I其中，S表示视在功率，V表示电流的有效值，I表示电压的有效值。
在三相电路中，视在功率的公式如下：S=√3×V×I其中，S表示视在功率，V表示电压的有效值，I表示电流的有效值。
4.功率因数：功率因数表示有功功率和视在功率之间的比率，它反映了电路中有效功率的利用率。
功率因数通常用cos(θ)表示，在正弦稳态电路中，功率因数可以通过有功功率和视在功率的比值来计算。
正弦稳态的功率
2
PL UocI I 2 Ro
再对电流求导数，并令其等于零
dPL U oc 2 IR o 0 dI
次导数，并令其小于零
U oc 2 Ro RL ＝Ro I
得到极大值或极小值的条件是RL=Ro。再对电流I求一
d 2 PL 2 Ro 0 2 dI
上式表明在Ro>0的前提下，负载获得最大功率的条件 是
复功率的虚部Q=UIsin称为无功功率，它反映电源和 单口网络内储能元件之间的能量交换情况，为与平均功率
相区别，单位为乏(var)。
复功率的模称为视在功率，它表示一个电气设备的容
量，是单口网络所吸收平均功率的最大值，为与其它功率
相区别，用伏安(VA)为单位。例如我们说某个发电机的容 量为100kVA，而不说其容量为100kW。
当单口网络呈现纯电阻时，功率因数角为零以及功 率因数cos=1，功率利用程度最高。当单口网络等效为一
个电阻与电感或电容连接时，即单口呈现电感性或电容性
时，功率因数角=090以及功率因数cos<1，以致于 P<UI。为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施 力求提高功率因数。
例11-1 图(a)表示电压源向一个电感性负载供电的电路模 型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。
由上可见，采用共轭匹配网络，负载获得的平均功率
将大大增加。
例11-2 图(a)电路工作于正弦稳态，已知电压源电压为
uS (t ) 2 2 cos t V ，求电压源发出的平均功率。
解：图a)电路的相量模型，如图(b)所示。先求出连接电压
源单口网络的等效阻抗
Z 0.5 j1.5 ( j1)(j1 1 j1) 0.5 j1.5 0.5 j0.5 (1 j1) 1 j1
电路分析基础正弦稳态电路功率
功率因数 cos 1 和总电压U。 I + I 解： 令 U U 0 V U 1 Z cos 0.9 25.84 u i I 16 25.84 A 2 cos1 0.8 36.9 2u 2i I 2 10 36.9 A 根据KCL: I1 I I2 16 25.84 10 36.9
P PRk
k
根据功率守恒法则：网络的总瞬时功率守恒，网络的 总平均功率守恒，网络的总无功功率守恒。
p pk 0 P Pk 0
k k
Q Qk 0
k
Sk 0 视在功率不满足功率守恒法则，即：
k
X
例题1 两个阻抗并联的单口网络如下图所示，已知
cos 0.9 I 16 A ， Z1 吸收的功率 P1 500W， （感性）， I2 10A ，cos 2 0.8 （感性）。试求通过 Z1 的电流 I1 、
视在功率(apparent power):单口网络端口电压和电流 有效值的乘积。用S表示. S UI 单位:伏安（VA），千伏安（kVA） 视在功率表示了设备的容量，即可能发出的最大有 功功率。 S S、P、Q之间满足直角三角关系。 Q 2 2
S P Q
P
功率三角形 返回
X
5.特殊性质电路中的功率和能量
X
例题2 已知 i (t ) 5 2 sin(104 t 20 ) A, s 试求电路的P、S和。 i 解： 画出电路的相量模型 s u(t ) 4 is (t ) 5 2 cos(10 t 110 ) A
1 4 3 Z串 j10 6 10 j 4 6 10 2.5 10 j60 j40 j20 20 j20 总阻抗： Z 10 245 20 j20
物理电路分析正弦稳态功率和能量
300
I =
U
R2 + ( 1C)2
I· R
+ U·= 1000˚V
1
jC
–
20
P = I2R =
U2
R2 + ( 1C)2
R=
2C2RU2 1 + 2C2R2
1 RC
= 300
－－－－－－
(1)
= 100
I· +
R
U·= 1000˚V
2C2RU2 1 + 2C2R2
= 100 －－－(2)
–
1
（2） P UI cosj 220 4.4 cos(53 )
220 4.4 0.6 580.8W
Q UI sinj 220 4.4 sin(53 )
220 4.4 (0.8) 774.4 var
电路为电容性
25
课堂练习：
P-86 练习题：9－9 P-86 练习题：9－10
u·i·p
p
u
i0
π
2π
t
二. 平均功率
p UI cosj UI cos(2t u i )
∫ P
=
1 T
Tpdt
0
P UI cosj
n
P = ∑PK 平均功率守恒 K=1
PK
I
2 k
Rk
=cosj：功率因数 j ：功率因数角 13
§9-5 单口网络的无功功率和视在功率
在无独立源的单口网络交流电路中，可将电路等效 为RLC的串联。
单位为乏尔(var) 。
（4）贮能
w(t) =
1 2
Li2(t) =
12i(tL) I=mI2mscions2(t
《电路基础》第23讲 正弦稳态电路的功率
Z
cos
Z 2 2 Zo Z [coso cos sino sin ]
U
2 oc
cos
Zo Z
2
Z
2 Zo
cos ( o
)
18
P
U
2 oc
cos
Zo Z
2
Z
2 Zo
cos(o
)
显然, 当 Zo 2 Z 最小时, P最大。
i
Zo
+
+u
Uoc - -
Z
Z
令
d
Zo
2
Z
0
d Z Z
即：
Z Zo
10
复功率守恒
b S~k 0
k 1
b
(Pk jQk ) 0
k 1
b • •*
UkIk 0
k 1
b
k 1 b
Pk
0
k
1
Qk
0
* 复功率守恒, 不等于视在功率守恒.
一般情况下：
b
S Sk
k 1
11
例. 已知如图，求各支路的复功率。
I2
10∠0o A
+ I1
U
_
10W j25W
5W -j15W
第23讲 正弦稳态电路的功率
学习重点： 1、基本概念： 2、各种功率的计算
1
一、 基本概念
无源一端口网络吸收的功率( u, i 关联)
i
+
u _
无 源
u(t) 2U cos(t u ) i(t) 2I cos(t φi )
2I cos(t φu )
u i 为电压u超前于电流 i 的相位差。
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功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。
功率因数。 纯电阻
纯电抗
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例+
_
解
已知：电动机 PD=1000W，
D
CHale Waihona Puke cos D=0.8（感性），U=220，
f =50Hz，C =30F。
求电路总的功率因数。
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功率因数提高
功率因数低带来的问题 (1) 设备不能充分利用
S 75kVA
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2.结论
（1） 是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量； （2） 把P、Q、S 联系在一起，它的实部是平均功率，虚
部是无功功率，模是视在功率； （3）复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所
有支路吸收的复功率之和为零。即
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例 电路如图，求各支路的复功率。 +
10W
解一
5W _ 10∠0o A j25W
电路分析基础 Fundamental Circuits Analysis
杨飞
feiyounger@
1
第七章 正弦稳态功率的计算
重点
1. 有功功率； 2. 无功功率； 3. 视在功率； 4. 复功率
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7.1 正弦稳态电路的瞬时功率 （instantaneous power）
无源一端口网络吸收的功率( u, i 关联)
单位：W 单位：var 单位：VA
S
Q
P
功率三角形
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7.2.4-6 R、L、C元件的有功功率和无功功率
i
+
u
R
-
i
+
u
L
-
i
+
u
C
-
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任意阻抗的功率计算
i
+
u
Z
-
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电压、电流的有功分量和无功分量
+_
+
R+
_
X _
(以感性负载为例)
+
_
GB
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例
+ _
三表法测线圈参数。
-j15W
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解二
+
10W
5W
_ 10∠0o A j25W
-j15W
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7.4 最大功率传输
有
源
负
等效电路 Zi
网
载
+
ZL
络
-
Zi= Ri + jXi， ZL= RL + jXL
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讨论正弦交流电路中负载获得最大功率Pmax的条件。
(1) ZL= RL + jXL可任意改变 (a) 先设RL不变，XL改变
例 已知：f =50Hz, U=220V, P=10kW, cos1=0.6，要使功率
因数提高到0.9 , 求并联电容C，并联前后电路的总电流
各为多大？
解
+R
C
_L
未并电容时： 并联电容后：
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若要使功率因数从0.9再提高到0.95 , 试问还应增加多少
并联电容，此时电路的总电流是多大？
解
并联电容也可以用功率三角形确定
QC
QL Q
1 2
P 从功率角度来看
并联电容后，电源向负载输送的有功功率UILcos1=UI cos2不变，但是电源向负载输送的无功功率UIsin2减少了，
减少的这部分无功功率是由电容“产生”的无功功率来补偿的， 使感性负载吸收的无功功率不变，而功率因数得到改善。
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分析
+R C
_L
1 2
特点
并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的 有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。 但电路的功率因数提高了。
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并联电容的确定
1 2
补偿容 量不同
欠 全——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显) 过——使功率因数又由高变低(性质不同)
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负载
设备容量 S (额定)向负载送多少有功功率要由负载的 阻抗角决定。
异步电机 空载 cos =0.2~0.3 满载 cos =0.7~0.85
日光灯
cos =0.45~0.6
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(2) 线路压降损耗大 当输出相同的有功功率时，线路上电流大。
解决办法： （1）高压传输 （2）改进设备 （3）并联电容，提高功率因数 。
显然，当Xi + XL=0，即XL =－Xi 时，P 获得最大值 (b) 再讨论RL改变时，P的最大值
当 RL= Ri 时，P获得最大值
综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：
RL= Ri XL =－Xi
ZL= Zi*
平均功率实际上是网络内电阻消耗的功率，亦称为有功 功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效
值有关，而且与 cos 有关，这是交流和直流的主要区别,
主要由于电压、电流存在相位差。
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7.2.2 无功功率 Q (reactive power)
def
Q UI sinφ 单位：var (乏)。
* A *W
V
Z
已知 f =50Hz，且测得U=50V， I=1A，P=30W。
解
R
方法一
L
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A +
V
_
* *W
R Z
L
方法二
f =50Hz，U=50V， I=1A，P=30W。
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A +
V
_
* *W
R Z
L
方法三
f =50Hz，U=50V， I=1A，P=30W。
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7.2.7 功率因数
Q > 0 ，表示网络吸收无功功率； Q < 0 ，表示网络发出无功功率。 Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元
件L、C的性质决定的。
7.2.3 视在功率S
def
S UI 单位: VA (伏安)
反映电气设备的容量。
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有功，无功，视在功率的关系：
有功功率: 无功功率: 视在功率:
i
+
u _
无 源
第一种分解方法
第二种分解方法
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第一种分解方法： o
p
UIcos 恒定分量
u i
t UIcos (2 t －)
为正弦分量
• p 有时为正, 有时为负； • p>0, 电路吸收功率； • p<0，电路发出功率。
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第二种分解方法：
UIcos (1-cos2 t)
为不可逆分量
显然功率因数提高后，线路上总电流减少，但继续 提高功率因数所需电容很大，增加成本，总电流减小 却不明显。因此一般将功率因数提高到0.9即可。
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思考题
（1）是否并联电容越大，功率因数越高？
（2）能否用串联电容的方法来提高功率因数cos ?
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1. 复功率
7.3 复功率
+
负
定义：
_
载
复功率也可表示为：
t
o
UIsin sin2 t
为可逆分量
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7.2 有功功率（平均功率）和无功功率
7.2.1平均功率P (average power)
P 的单位：W（瓦）
功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。
功率因数。 纯电阻
纯电抗
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一般地 , 有 0cos1 X>0, >0 , 感性， X<0, <0 , 容性 cos =0.5 （感性）， 则 =60o （电压领先电流60o）。