第四章 随机变量的数字特征和特征函数

第四章 随机变量的数字特征和特征函数

一、填空题

1、已知连续型随机变量X 的概率密度为()1

22

1

-+-=

x x

e x p π

，则_______=EX ；

________=DX 。

2、设X 表示10次独立重复射击时命中目标的次数，每次射击命中目标的概率为0.4，则________2=EX 。

3、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且()()[]121=--X X E ，则

______=λ。

4、设随机变量X 的概率分布为{} ,2,1,0,!

==

=k k C

k X P ，则_______

=C ；________2=EX 。

5、设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，0==EY EX ，222==EY EX ，则

()_________2

=+Y X E 。

6、设随机变量X 和Y 独立同分布，记Y X Y X +=-=ηξ,，则ηξ与的相关系数为____________。

7、已知

4

.0,36,25===XY DY DX ρ，则

()_______

,=Y X C o v ；()________=-Y X D ；()________=+Y X D 。

8、设()()ρσσμμ,,,,~,2

22121N Y X ，则()Y X ,的协方差矩阵为____________

，X 与Y 相互独立当且仅当____________

。 二、单项选择题

1、如果随机变量X 与Y 满足()()Y X D Y X D -=+，则必有 （ ）

A 、X 与Y 相互独立

B 、X 与Y 不相关

C 、0=DY

D 、0=⋅DY DX

2、设随机变量X 服从参数为p n ,的二项分布，已知44.1,4.2==DX EX ，则参数n 和p 的值是 （ ）

A 、5.0,4==p n

B 、4.0,6==p n

C 、3.0,8==p n

D 、1.0,24==p n

3、将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 与Y 的相关系数等于 （ ）

A 、1-

B 、0

C 、21

D 、1

4、设随机变量()()4,1~,1,0~N Y N X ，且相关系数1=XY ρ，则 ( )

A 、{}112=--=X Y P

B 、{}112=-=X Y P

C 、{}112=+-=X Y P

D 、{}112=+=X Y P

5、设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差02

>σ，令=Y ∑=n

i i X n 1

1，

则 （ ）

A 、()n

Y X Cov 2

1,σ= B 、()21,σ=Y X Cov

C 、()212σn n Y X

D +=

+ D 、()2

11σn

n Y X D -=- 三、计算题

1、已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中仅取3件产品放入乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数X 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。

2、今有两封信欲投入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3个邮筒，设Y X ,分别表示投入第Ⅰ号和第Ⅱ号邮筒的信的数目，试求：（1）()Y X ,的联合分布；（2）X 与Y 是否独立？（3）令()Y X U ,m ax =，()Y X V ,m in =，求EU 、EV 。

3、设()Y X ,服从区域D 上的均匀分布，其中D 为x 轴，y 轴及直线12

=+y

x 所围成的三角形区域，求XY Y X ,,的数学期望及方差。

4、设n X X X ,,,21 相互独立，概率密度函数为()()⎩⎨⎧≤>=-θθ

θx x e x p x ,0,22，()0>θ，

求（1）()n i X i ,,2,1 =的分布函数；（2）{}n X X X Y ,,,m in 21 =的分布函数；（3）

EY 。

四、证明题

设A 和B 是两个事件，且()()0>B P A P ，令

⎩⎨⎧=不发生若，发生若A A X 0,1，⎩⎨⎧=不发生若，发生若B B Y 0,

1

证明：B A ,独立的充要条件是0=XY ρ。

参考答案： 一、填空题

1、1，2

1

2、18.4

3、1

4、2,21==-EX e C

5、6

6、0

7、 12, 37, 85

8、⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛2

2212121σσ

ρσσρσσ，0=ρ 二、单项选择题

1、B

2、B

3、A

4、D

5、A 三、计算题

1、（1）23;(2)4

1

2、（1）

；（2）不独立；（3）

92,910==

EV EU 。 3、601

,92,181,61,32,31======DXY DY DX EXY EY EX

4、（1）()()⎩⎨⎧≤>-=-θθθx x e x F x ,0,12；（2）()()⎩⎨

⎧≤>-=-θ

θθy y e y F y n Y ,0,

12；（3）n EY 21

+

=θ 四、证明题略