第四章 随机变量的数字特征和特征函数
论随机变量与随机变量的数字特征
论随机变量与随机变量的数字特征
随机变量是随机试验的结果，它可以取不同的取值，并且
每个取值都有相应的概率与之对应。
随机变量的数字特征
是对其分布进行度量和描述的统计量。
常见的随机变量的数字特征包括：
1. 期望值（均值）：用于表示随机变量平均取值的数字特征。
对于离散型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为每
个取值乘以其概率的加权平均值。
对于连续型随机变量X，其期望值为E(X)，定义为函数f(x)乘以其概率密度函数的加权积分。
期望值可以理解为随机变量对应分布的中心位置。
2. 方差：用于表示随机变量取值的离散程度。
方差越大，
随机变量的取值波动越大。
方差的计算公式为Var(X) =
E((X - E(X))²)，其中E表示期望值。
3. 标准差：标准差是方差的平方根，用于衡量随机变量取
值的波动程度。
标准差越大，随机变量的取值波动越大。
4. 偏度：偏度衡量随机变量的离散程度和分布的对称性。
正偏表示分布右尾比左尾重，负偏表示分布左尾比右尾重，偏度为0表示分布左右对称。
5. 峰度：峰度衡量随机变量分布的尖峰程度。
正态分布的峰度为3，大于3表示比正态分布尖峰，小于3表示比正态分布平坦。
这些数字特征可以帮助我们更好地理解和描述随机变量的分布特点，从而进行数据分析和统计推断。
第四章 随机变量的数字特征与特征函数
+
0
x 2 e x dx
+ 0
x e
2 x 0
2 xe x dx
+ 2 x x xe e dx 0 0 2 x 2 2 e 0 2
所以 D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 1/ 2
e dt 2
概率论基础 Foundations of Probability Theory
例4.14已知随机变量 X ~ e( ) 。求方差 D( X ).
解: X 的概率密度为 e x f ( x) 0
x0 x0
从而 E ( X )
© 徐 钊 2013
概率论基础 Foundations of Probability Theory
例4.10已知随机变量X的分布律为 求方差 D( X ) 解： D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 pq
X pi
0
1
q
p
例4.11已知随机变量 X ~ P( ) 。求方差 D( X ).
P( X xk ) pk
k
k 1, 2, ,
k
连续型
设连续型随机变量X的分布密度为 f (x)
则 D( X ) ( x E( X )) f ( x)dx
2
x 2 f ( x)dx [ E ( X )]2
三、方差的意义 随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程 度，是随机变量随机性的一种度量。
三、数学期望的性质 (1)设c为一个常数，则E (c) c; (2)设a为一个常数，则E (aX ) aE ( X ); (3)设X 为随机变量，g1 ( x), g 2 ( x)是实连续函数，则有 E ( g1 ( X ) g 2 ( X )) E ( g1 ( X )) E ( g 2 ( X ))
数字特征与特征函数
第四章 数字特征与特征函数1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中p A P =)(，再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD 。
2、袋中有k 号的球k 只，n k ,,2,1Λ=，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。
3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p nn =，已知a E =μ，试决定A 与B 。
4、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。
5、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞=≥=1}{k k P E ξξ。
6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(||∞<<∞-=--x e x p x λμλ0>λ。
试求ξE ，ξD 。
7、若21,ξξ相互独立，均服从),(2σa N ，试证πσξξ+=a E ),max (21。
8、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。
9、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求n S 。
10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。
11、若ξ的密度函数是偶函数，且2E ξ<∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。
12、若,ξη的密度函数为22221,1(,)0,1x y p x y x y π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。
13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。
随机变量的数字特征 PPT课件
计算乙的平均成绩：
8 20 9 65 10 15 8 20 9 65 10 15 8.95 100 100 100 100
所以甲的成绩好于乙的成绩。
5
4.1 数学期望 (一) 数学期望定义 定义：设离散型随机变量X的分布律为
xk pk , 则称级数 xk pk 若级数 k 1 k 1 的值为X的数学期望，记为E(X)，即
23
0.1 sin
(1 0)
0.15
例1.9 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为：
x (1 y ) x e , x 0, y 0, f ( x, y ) 其他, 0,
求E(X),E(XY).
解：E ( X )
解：N的分布函数为FN ( x) 1 (1 F ( x))2 ,
2 e 2 x , x 0, 因此，密度函数为f N ( x) x 0. 0,
由上例，E ( N ) E (min( X , Y )) 1 . 2
14
M的分布函数为FM ( x) (F ( x)) ,
求E(X),E(XY).
解：E ( XY )
0
xyf ( x, y)dydx
0
xy xe x (1 y ) dydx
0
0
xe [
x
y xe xy dy]dx
0
xe
x
1 dx e x dx 1. 0 x
25
xf ( x, y)dydx
0
随机变量的数字特征与特征函数.
定义：设X为一随机变量，如果 E X E X 2 存在，则称其 为X的方差，记为D(X) ,即 而称
D X
D X EX E X 2
为均方差或标准差。
2 2 D X E X E X 计算公式：
方差性质→
分析：对于相互独立的随机变量X,Y，有E(XY)=E(X)E(Y),从而
EX E X Y E Y
EXY YE X XE Y E X E Y
E XY E X E Y
0
反之则说明，当E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}≠0时，X与Y
定义 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),
如果 收敛，则称 xf ( x )dx | x | f ( x ) dx
为随机变量X的数学期望或均值，记为E(X)或 EX,即
E X x f ( x )dx
2
例6( p140) : 设X ~ N , , 求E X .
解：f x
1 e 2
x 2
2 2
, x
1 EX x e 2
x
2 2
2
dx
可见，X~N(μ,σ2),则其数 学期望为μ。后面例题的 计算使用了这一结论。
函数的数学期望→
三、随机变量函数的数学期望
k 1 k k
E Y E g X g x p
k 1 k
P141例8
k
(2)设连续型随机变量X的概率密度为f (x),又Y = g (X),若
E Y g x f ( x )dx
第4章数字特征与特征函数
( ) a0 ( ) a0 1 ( ) ( )
例: 有5个相互独立的电子装置串联组成整机,它们每一个 的寿命 X kபைடு நூலகம்(k 1, 2,3, 4,5) 服从同一指数分布,其概率密度为
e x , x 0 f ( x) 0, x 0
y0 y0
于是Y的数学期望为
fY ( y )
0,
y0
E (Y ) y fY ( y )dy y5 e y dy
0
1 5
例: 随机变量X服从柯西分布,其分布密度为
1 f ( x) , x 2 (1 x )
求E(X)。 解:
xf ( x, y )dxdy
yf ( x, y )dxdy
xf X ( x) dx
yfY ( y ) dy
推广: E (c1 X1 c2 X 2 cn X n ) c1E ( X1 ) c2 E ( X 2 ) ④设X与Y相互独立,则 E ( XY ) E ( X ) E (Y )
所以X的数学期望不存在。
1 1 x dx 2 x dx 2 2 0 (1 x ) (1 x ) 1 ln(1 x 2 ) 0
三、随机变量函数的数学期望 定理: 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是单值连续函数), 当X是离散型随机变量时,若 g ( x ) p 绝对收敛，则
推广: n个相互独立的随机变量 E ( X1 X 2
X n ) E ( X1 ) E ( X 2 )
第四章 随机变量的数字特征
7
7
7
7
7
79.3
以频率为权重的加权平均
数学期望E(X)
Mathematical Expectation 离散型随机变量
定义 设离散型随机变量的概率分布为
P( X xk ) pk k 1, 2,
若级数 pk xk 绝对收敛， 则称此级数为
k
随机变量X的数学期望，记作E（X），即
E( X ) p1x1 p2x2 pk xk pk xk
若广义积分 xf ( x)dx 绝对收敛, 则称此积分为
X的数学期望
即 E(X ) x f (x)dx
数学期望的计算
例 已知随机变量X的密度函数为
1
f (x) 1 x2
0
x 1 x 1
求数学期望。
解
E(X )
xf (x)dx
1
1
x 0 dx x
1
dx x 0 dx
x f (x, y)dxdy,
E(Y )
y fY ( y)dy
y f (x, y)dxdy.
例 设(X,Y)的联合密度为
kxy x [0,1], y [1, 3]
f (x, y)
0
其它
(1) 求k
(2) 求X和Y的边缘密度 (3) 求E(X), E(Y).
解 (1)由
f ( x, y)dxdy 1
E(Y ) E[g( X )] g( xk ) pk k 1
➢ 连续型 概率密度为f (x)
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
例 已知 X 服从0,2 上的均匀分布，求
Y sin X 的数学期望。
解
E(Y
第4随机变量的数字特征知识课件
n
n p
(n 1 )!
pq k 1(n 1 ) (k 1 )
k 1 (k 1 )[! n ( 1 ) (k 1 )]!
= 令rk1
mn1
m
npCmr r 0
prqmr
np
(2). Poisson分布
X的概率分布为：P{Xk}k k0,1,2，
k!
k
E(X)k
k0 k!
k1
k1(k 1)!
第4章：随机变量的数字特征 §1.数学期望 §2.方差 §3.几种重要随机变量的数学期望与方差 §4.协方差及相关系数 §5.矩、协方差矩阵
例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工
小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如
何定义X的平均值呢？
32天没有出废品;
统计100天,可得这100天 每天的平均废品数为
一般来说,若统计n天,
ni表示每天出i件废品
(假定小张每天至多出三件废品)
i=0,1,2,3.
得n天中每天的平均废品数为
以频率为权
0n01n12n23n3
的加权平均
nn n n
当统计天数趋于时，才是小张每天的平均废品数
由频率和概率的关系，用概率代替频率：
0 p 0 1 p 1 2 p 2 3 p 3
(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y) (4).当X与Y相互独立时： E(XY)=E(X)E(Y) (其中X，Y为随机变量；a为常数。)
例5.某机器有3个部件,各部件需要调整的概率分 别为0.1, 0.2, 0.3记X为需要调整的部件数.求E(X).
解法1：先求X的概率分布： 设：Ai为第i个部件不需要调整 P{X=0}=P(A1A2A3)=0.9×0.8×0.7=0.504 P{X=1}=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)
概率论答案 - 李贤平版 - 第四章
第四章 数字特征与特征函数1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中p A P =)(，再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD 。
2、袋中有k 号的球k 只，n k,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。
3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。
4、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。
5、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞=≥=1}{k k P E ξξ。
6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(||∞<<∞-=--x e x p x λμλ0>λ。
试求ξE ，ξD 。
7、若21,ξξ相互独立，均服从),(2σa N ，试证πσξξ+=a E ),max(21。
8、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。
9、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求n S 。
10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。
11、若ξ的密度函数是偶函数，且2E ξ<∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。
12、若,ξη的密度函数为22221,1(,)0,1x y p x y x y π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。
13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。
第四章 数字特征与特征函数
复旦大学《概率论基础》习题答案（第一版）第四章 数字特征与特征函数1、解：∑∑∞=∞=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=011111)1(,k k kk k a a a a a k E ξ，令p a a =+)1(，则10<<p ，且∑∑∞=∞=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛=121)1(1k k k k p p a a p p p kp ，a a a a aa E =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅+=∴211111ξ。
采用同样的方法并利用a E =ξ得[]∑∑∞=∞=+-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=11221)1(11111k k k kp k k a a a k a E ξ∑∑∞=∞=-+++=11)1(1111k k k kp k k a kp a"⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++="⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∞=)1(11212p p a p a p a p a k k 2322)1(21a a p a p a +=-⋅++= )1()2()(2222a a a a a E E D +=-+=-=ξξξ。
2、解：设n μμμμ+++= 21，其中⎩⎨⎧=出现次试验若第出现次试验若第A i ，A i i 0,1μ，则∑∑====ni i ni i p E E 11μμ，由试验独立得诸i μ相互独立，由此得)1(11i ni i n i i p p D D -==∑∑==μμ。
3、解：η服从两占分布，由第二章第29题得，P P ==}1{η{事件A 出现奇数次}===--}0{,)21(2121ηP p n P{事件A 出现偶数次}n p )21(2121-+=，所以 n p E )21(2121--=η，n n n p p p D 2)21(4141)21(2121)21(2121--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=η.4、解：设ξ表取一球的号码数。
概率论习题及解答-第四章特征函数
的一个新分割, 且
∑n ∑ m
ξ +η =
(xi + yj )1AiBj .
i=1 j=1
所以由数学期望的定义和概率的有限可加性得
∑n ∑ m
∑n ∑ m
∑n ∑ m
E(ξ + η) =
(xi + yj)P(AiBj) =
xiP(AiBj) +
yj P(AiBj )
i=1 j=1
i=1 j=1
i=1 j=1
概率论习题解答
李勇 张余辉
May 30, 2018
1 第四章 数字特征与特征函数
§4.1.4 练习题
练习4.1.1 设 ξ 和 η 均为简单随机变量, 试证明 E(ξ + η) = E(ξ) + E(η).
证明: 不妨假设
∑n ξ = xi1Ai ,
i=1
∑ m η = yj 1Bj ,
j=1
其中 {Ai} 和 {Bj} 均为样本空间的分割. 记 Cij = AiBj, 则 {Cij : 1 i n, 1 j m} 构成样本空间
解: 记 ξ = min{ξ1, ξ2, · · · , ξn}, η = max{ξ1, ξ2, · · · , ξn}, 则 (ξ, η) 的联合密度函数
p(ξ,η)(x, y) = n(n − 1)(y − x)n−2, 0 < x < y < 1,
所以 ξ 和 η 的边缘密度函数分别为 ∫∞
∑n
∑ m
= xiP(Ai) + yjP(Bj) = E(ξ) + E(η).
i=1
j=1
练习4.1.2 假设简单随机变量 ξ 和 η 相互独立, 试证明
第四章数字特征与特征函数2精品PPT课件
33
0.994
34
1.0016
四、连续型场合
定义 设ξ是连续型随机变量，其密度函数 为 p (ξ),如果
| x |p(x)dx
有限,定义ξ的数学期望为
E()
xp(x)dx
例：某新产品在未来市场上的占有率ξ是 (0,1)上取值的r.v.，其概率密度为
令ξ表示每个人的血需要化验的次数，则其分布列为
ξ
1/k
1+1/k
P
(1-p)k
1- (1-p)k
E()1(1p)k111(1p)k 1(1p)k1
k
k
k
选k择 使得 E()1(1p)k11 (1p)k1
k
k
例如我们可以计算p=0.1时，不同k对应的E(ξ) 值
k E(ξ)
2 3 4 5 8 1 0 30
4(1x)3 0x1
f(x)
0
其它
试求平均市场占有率。
求均匀分布，正态分布，指数分布的期望
➢ξ~U(a,b),则E(ξ)=(a+b)/2 ➢ξ~N(μ,σ2),则E(ξ)=μ ➢ξ~Eξp(λ),则E(ξ)=1/λ
例：某商店对某种家用电器的使用采取先使用后付 款的方式，记使用寿命为ξ(年)，规定
这是
频率，得平均值为
以概率为权的加权平均
0 p 0 1 p 1 2 p 2 3 p 3
这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为 随机变量ξ的平均值 .
二、离散型场合
定义 设ξ是离散型随机变量，它的分布律是:
P{ξ=ξk}=pk , k=1,2,…
如果 x k p k 绝对收敛,定义ξ的数学期望为， k 1
第四章 随机变量的数字特征
Xi ~
100 100 a
0.98 0.02
22
由题设 E(Xi ) 1000.98 (100 a)0.02 100 0.02a 0
100 a 5000
公司每笔赔偿小于5000元, 能使公司获益. 公司期望总收益为
1000
1000
E( Xi ) E(Xi ) 100000 20a.
E(e X )
e
x
f
(x)dx
， e x
(x)2
e 2 2 dx
2
令
x
t
，
则 E(e X ) e t
． 1
t2
e2
dt
e 2
2
1
t2
e2
dt
e 2
2
2
2
16
数学期望的性质
E (C ) = C
设离散 r.v. X 的概率分布为
P(X xi ) pi , i 1,2,
若无穷级数 g(xi ) pi 绝对收敛，则
i1
E(Y ) g(xi ) pi
设连续 r.v. i的1 d.f. 为f (x)
若广义积分
g
(x)
f
(
x)dx
绝对收敛, 则
1
N(, 2)
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
11
分布
概率密度
期望
伽玛分布
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第四章 随机变量的数字特征和特征函数
一、填空题
1、已知连续型随机变量X 的概率密度为()1
22
1
-+-=
x x
e x p π
，则_______=EX ；
________=DX 。
2、设X 表示10次独立重复射击时命中目标的次数，每次射击命中目标的概率为0.4，则________2=EX 。
3、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且()()[]121=--X X E ，则
______=λ。
4、设随机变量X 的概率分布为{} ,2,1,0,!
==
=k k C
k X P ，则_______
=C ；________2=EX 。
5、设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，0==EY EX ，222==EY EX ，则
()_________2
=+Y X E 。
6、设随机变量X 和Y 独立同分布，记Y X Y X +=-=ηξ,，则ηξ与的相关系数为____________。
7、已知
4
.0,36,25===XY DY DX ρ，则
()_______
,=Y X C o v ；()________=-Y X D ；()________=+Y X D 。
8、设()()ρσσμμ,,,,~,2
22121N Y X ，则()Y X ,的协方差矩阵为____________
，X 与Y 相互独立当且仅当____________。
二、单项选择题
1、如果随机变量X 与Y 满足()()Y X D Y X D -=+，则必有 （ ）
A 、X 与Y 相互独立
B 、X 与Y 不相关
C 、0=DY
D 、0=⋅DY DX
2、设随机变量X 服从参数为p n ,的二项分布，已知44.1,4.2==DX EX ，则参数n 和p 的值是 （ ）
A 、5.0,4==p n
B 、4.0,6==p n
C 、3.0,8==p n
D 、1.0,24==p n
3、将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 与Y 的相关系数等于 （ ）
A 、1-
B 、0
C 、21
D 、1
4、设随机变量()()4,1~,1,0~N Y N X ，且相关系数1=XY ρ，则 ( )
A 、{}112=--=X Y P
B 、{}112=-=X Y P
C 、{}112=+-=X Y P
D 、{}112=+=X Y P
5、设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差02
>σ，令=Y ∑=n
i i X n 1
1，
则 （ ）
A 、()n
Y X Cov 2
1,σ= B 、()21,σ=Y X Cov
C 、()212σn n Y X
D +=
+ D 、()2
11σn
n Y X D -=- 三、计算题
1、已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。
从甲箱中仅取3件产品放入乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数X 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
2、今有两封信欲投入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3个邮筒，设Y X ,分别表示投入第Ⅰ号和第Ⅱ号邮筒的信的数目，试求：（1）()Y X ,的联合分布；（2）X 与Y 是否独立？（3）令()Y X U ,m ax =，()Y X V ,m in =，求EU 、EV 。
3、设()Y X ,服从区域D 上的均匀分布，其中D 为x 轴，y 轴及直线12
=+y
x 所围成的三角形区域，求XY Y X ,,的数学期望及方差。
4、设n X X X ,,,21 相互独立，概率密度函数为()()⎩⎨⎧≤>=-θθ
θx x e x p x ,0,22，()0>θ，
求（1）()n i X i ,,2,1 =的分布函数；（2）{}n X X X Y ,,,m in 21 =的分布函数；（3）
EY 。
四、证明题
设A 和B 是两个事件，且()()0>B P A P ，令
⎩⎨⎧=不发生若，发生若A A X 0,1，⎩⎨⎧=不发生若，发生若B B Y 0,
1
证明：B A ,独立的充要条件是0=XY ρ。
参考答案： 一、填空题
1、1，2
1
2、18.4
3、1
4、2,21==-EX e C
5、6
6、0
7、 12, 37, 85
8、⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2
2212121σσ
ρσσρσσ，0=ρ 二、单项选择题
1、B
2、B
3、A
4、D
5、A 三、计算题
1、（1）23;(2)4
1
2、（1）
；（2）不独立；（3）
92,910==
EV EU 。
3、601
,92,181,61,32,31======DXY DY DX EXY EY EX
4、（1）()()⎩⎨⎧≤>-=-θθθx x e x F x ,0,12；（2）()()⎩⎨
⎧≤>-=-θ
θθy y e y F y n Y ,0,
12；（3）n EY 21
+
=θ 四、证明题略。