角的平分线的性质(2)

角的平分线的性质（二）教案

教学目标

1 •掌握角的平分线判定定理的的内容。即：至蛹两边距离相等的点在角的平分线上

2 •会用角的平分线的判定定理解决一些简单的实际问题.

教学重点

角平分线的判定定理及其应用.

教学难点

灵活应用角平分线的判定定理解决问题.

教学过程

I .复习巩固，弓I入新课

回顾一下角平分线的性质，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

反过来，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？

现在，我们来证明“到角的两边的距离相等的点是在角的平分线上”。看看是否能证明出来。

前面我们学过，要证明一个几何命题，首先要明确命题中的已知和求证，现在我们一起来看看这个命题的已知和求证。

U.导入新课

证明命题：“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”

［师］这个命题的已知是什么？求证是什么？

［生］已知：一个点到角的两边距离相等，求证：这个点在角的平分线上接下来，我们根据题意，作出图形，用数学符号表示已知和结论。

已知：如图，PD丄OA PE!OB 点D E为垂足，PD= PE 求证：点P在/ AOB的平分线上证明：经过点P作射线OC

••• PDL OA PE丄OB

••• / PDO=Z PEd 90°

在Rt△ PDC和Rt △ PEO中

PO = PO

PD=PE

• Rt △ PDO2 Rt△ PEO( HL)

• / POD=Z POE

•••点P在/ AOB的平分线上

通过上题可以得到角平分线判定定理：

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

前面我们学习了角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。现在我们学习了角平分线的判定定理：至V角的两边距离相等的点在角的平分线上.

［师］角平分线的性质和判定有什么联系？

总结：角平分线的性质和判定命题的已知条件和所推出的结论可以互换，它们是互逆定理. 新知应用：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，？离公路与铁路交叉处500m 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?

1 .集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个定理来解决这个问题？

2 .比例尺为1：20000是什么意思？

结论：

1 .应该是用角平分线判定定理.？这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处.

2.在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，？这就涉及一个单位换算问题了. 1m=100cm所以比例尺为1: 20000，其实就是图中1cm?表示实际距离200m的意思.作图如

下：

第一步：尺规作图法作出/ AOB勺平分线OP

第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm确定C点，C点就是集贸市场所建地了.

总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题.

III 例题与练习

例如图，△ ABC勺角平分线BM CN相交于点P

求证：点P到三边AB BC CA的距离相等.

分析：点P到AB BC CA的垂线段PD PE、PF的长就是P点到三边的距离，？也就是说要证：

PD=PE=P.F而BM CN分别是/ B /C的平分线，？根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.

证明：过点P作PD丄AB PEIBC PF丄AC,垂足为 D E、F.

••• BM>^ ABC的角平分线，点P在BM上.

••• PD=PE

同理PE=PF

••• PD=PE=P.F

即点P到三边AB BC CA的距离相等.

想一想，点P在/A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系?

结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等练习：

1.课本P55习题1

2. 3—5

如图，在△ ABC中，D是BC的中点，DE丄AB，DF丄AC，垂

足分别是E，F,且BE = CF。

求证：AD是厶ABC的角平分线

2.课本P55习题12. 3—6.

如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地

上修建一个度假村•

要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？

IV ．课时小结

这节课，我们学习了角平分线的判定方法：到角的两边距离相等的

点在角的平分线上。角平分线的性质和判定，它们具有互逆性，随着学

习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相

等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．

V.课后作业

课本P51习题12. 3—3题.