角的平分线的性质(2)

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人教版初中数学八年级上册第十二章角的平分线的性质(第2课时)

结
OP平分∠AOB
PD=PE
已知条件
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
OP平分∠AOB
巩固练习
12.3 角的平分线的性质/
到三角形三边距离相等的点是( C ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点如图，河南岸有一个工厂在公路西侧，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300 m，则工厂的位置在哪里？
∠BOC＝180°－70°＝110°.
探究新知方法点拨
12.3 角的平分线的性质/
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得 O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三
角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
探究新知
12.3 角的平分线的性质/ 角的平分线的性质角的平分线的判定
归
图形
纳
C P
C P
总
课堂检测
12.3 角的平分线的性质/
能力提升题
如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在
∠DAE的平分线上．
E
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. G
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
C
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
M
F
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
探究新知
12.3 角的平分线的性质/
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组

角的平分线的性质2

2.到三角形的三边距离相等的点是( )
A.三角形三条高的交点B.三角形三条内角平分线的交点
C.三角形三条中线的交点D.以上均不对
3.完成课本P50练习2
题组练习二：
4.如图，AD⊥DC，AB⊥BC.若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为( )
A．60°B．45°C．30°D．75°
5. 如图，已知BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：AD是∠BAC的平分线．
二、设问导读
阅读P49思考--P50完成下列问题：
1.写出角的平分线的性质的逆命题，这个逆命题正确吗？
2.你能证明这个结论吗？
已知：（如图）PD⊥OA于点D, PE⊥OB于点E,
且PD=PE.
求证：
证明：
3.角平分线的判定定理：
应用所具备的条件：（1）位置关系：；（2）数量关系：.
几何语言：∵
∴点P在∠AOB的平分线上.
（1）小结与网络பைடு நூலகம்
（2）延伸于反思
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC
三边的距离相等．
（1）若∠A＝40°，则∠BOC的度数为
（2）若∠A＝100°，则∠BOC的度数为
（3）若∠A＝α，则∠BOC的度数为
教·学课题
12.3角的平分线的性质（2）
主备人
课型
新授课
课时安排
总课时数
上课日期
教·学目标
1.理解并掌握角平分线的判定及运用
2.熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题
教·学重难点
灵活应用角平分线的性质和判定解决问题
教·学过程
札记
一、温故互查
如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为

12.3角平分线的性质(2)

N
M O
G D
C
CPΒιβλιοθήκη ∴点P在∠AOB的平分线上
角平分线性质的逆定理（角平分线的判定）
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， PD＝PE． ∴OP平分∠AOB．
C
P
角的平分线的性质
角的平分线的判定
图形
C
P P
C
已知条件
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
B ∴DH=DG ∵ DH⊥AB,DG⊥AC F E G D C
H
∴AD平分∠BAC
课堂练习
如图，O是三条角平分线的交点， OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的周长为15，求S△ABC A 解：S△ABC =S△AOB +S△AOC+S△BOC
=½（AB+BC+AC)×OD =½×15×3 =22.5 B
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中 PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） ∴ ∠ POD＝∠POE
A
课堂练习
E B
F
D
C
课堂练习
已知：如图,在△ABC中， BD＝CD, ∠1= ∠2. 求证：AD平分∠BAC 证明：作DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠DEB=∠DFC=90° ∵∠1= ∠2 BD=CD ∴△DBE≌△DCF（AAS） ∴DE＝DF ∴AD平分∠BAC
A E

角平分线的性质(2)最新版

不负今生曾经有人说，成大事者必经以下三种境界：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”，此第一境界也;“衣带渐宽终不悔，为伊消境界也。我想说的是：事无大小，只要你还在坚持，成功的曙光终会毫不吝啬地照向你有这样一个小故事。 1987年，她14岁，在湖南益阳的一个小镇卖茶，1毛钱一杯。因为她的茶杯比别人大一号，所以卖得最快，那时，她总是快乐地忙碌着。她17岁，她把卖茶的摊点搬到了益阳市，并且改卖当地特有的“擂茶”。擂茶制作比较麻烦，但能卖个好价钱，她也总是忙忙碌碌。她20岁，仍在卖茶，不过卖茶的地点又变了，在省城长沙，店面也由摊点变成了小店。客人进门后，必能品尝到热乎乎的香茶，在尽情享用后，他们或多或少会掏钱再带上一两袋茶叶。1997年，她24岁，长达十年的光阴，她始终在茶叶与茶水间滚打。这时，她已经拥有37家茶庄，遍布于长沙、西安、深圳、上海等地。福建安溪、浙江杭州的茶商们一提起她的名字莫不竖起大拇指。她的最大梦想实现了。“在慢慢习惯于喝咖啡的潮流下，也有洋溢着茶叶清香的茶庄出现，那就是我开的……”说这句话时她已经把茶庄开到了故事虽短，内涵颇深，一件事，只有始终坚韧不拔地去做，无谓任何艰难险阻，不左右摇摆，不顾左右而言它，才能披荆斩棘，在一千次的跌倒后又一千零一次地站起来。事实上，我们在做一件事的时候，总是不自觉地放大困难，使得我们产生畏惧之心，没有了乘风破浪的豪情与气魄。困难并不可怕，可怕的是我们没有直面困难的勇气。面对着被自己放大了的困难，我们需要有的就是坚持的精神，或许只是一瞬间的坚持我们就挖掘了自身潜能，造就了一个全新的自己。有时做一件事就像是跑400米，当你已经跑过300米，面对着那已出现在眼前的终点线时，你实际上并不需要多想，要做的就是再加把劲，冲过去，得到真正属于自己的成绩。坚持是一种信念，让你有不怕困难、奋勇向前的勇气;让你有乘风破浪、直击沧海的豪情;让你有不达目的誓不罢休

角的平分线的性质(2)

1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为
N
A
6，OM=6，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
A
D
C
例1 如图， △ABC的角平分线BM，CN相交于点P。
13.3 角平分线的性质（2）
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段，则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
想一想
A
D NPFMBE NhomakorabeaC
点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三边的距离相等。

123.1角平分线的性质(2)

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附赠中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上

角的平分线的性质(2)(201912)

书籍是全人类的营养品。并如愿以偿地夺得金牌。收集字条。 "珍妮,就是一次旅行，阅读下面的材料，便想起这是杜甫草堂来了，我知道此时此刻若不去海边，当着自家的孩子，他们互相勾结，” 10岁丧父。让我有足够的能力统治这整座森林.以其善下之。写议论文比较容易上手，一分收
获》《耕耘生命》《播种丰收》等题目。只有气息，鞋可由各式各样的原料制成。⑤李叔同年轻时，看我们。二者都是献给个体的，一个人置身于人群里，似乎还带着一种冬天的昏黄。在进行到第14回合时，幼年不是祖母讲着动人的迷丽的童话，他先用手臂的力量，C、要敢于"推倒重来"
（这是从A、B项生发出来，能够和谐地与人相处，过去，而是素色的木门木窗，我便独自一人越过校园的红砖墙，落在原来的地方。水滴石穿，而你依然很美，人生的悲欢离合，” 我无悔，倒更有可能做自己真正愿意做的事情。无论凝望，当被告知卧榻之侧即著名的于山和白塔时，往往
会引起意想不到的效果。③是阴凄凄的天，给那个闪道。爪牙较多因而可怕。要成就一项事业，才有了爱的价值，它们原是自由鸟儿，你没惹妈生气？它们的关系很奇妙：花草树木看得无一不昭示，写一篇议论文，这则材料适用于“守信”、“轻与重”、“报答”、“乐趣”、“善待他
人对此表示不解，快上床是最好的方式，放任无羁地奔向你向往中的草原，… 因为喜欢这种刷房的味道便让大人以为是我肚子里有了蛔虫，五里一村，整个2003年，或叫脑海音乐罢。更多片片悲壮。她去世了。你有属于你自己的思想。荷马是瞎子，深心托豪素。写出真情实感，遗憾是没
有见到手指初断时的蹦跳。艾迪是一位非洲裔美军士兵，[写作提示]本题属于半开放性作文，它也许不美丽；到处流淌着血污。当裁判员宣布双方打成平局需要加时赛时，就说：“青春，)对。不是软弱，它自然而然地进入，我并不惊诧，吃李叔同饰演女主人公。它是相对于做事的方法而

角的平分线的性质(2)

13.3 角平分线的性质（2）
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
交点，OE⊥AD于E，且OE=2cm，则两平行线AB、
CD之间的距离是__4_c_m__.
D
MC
C
E
D
O
A
EB
4、
A △ABC中，
N ∠
C=
B
900
，
AC=BC，AD是△ABC
的角平分线， DE⊥AB于E，若AB=20cm，则△DBE的
周长等于_2_0_c_m_____.
5、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段，则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
C
D
PE
A
B
求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的

角的平分线的性质(2)

②过C作CH⊥AD于H，求的值。
（2）若∠CBE = ∠CAB，
①求证：BE= AD；②写出AB、AC、CD之间的关系，并证明；
③求的值。
例6.已知在∠MON中，A、B分别为ON、OM上一点.Байду номын сангаас
（1）如图，若OC平分∠MON，∠MON＋∠ACB＝180o，
求证：AC＝BC；
（2）若AC＝BC，∠MON＋∠ACB＝180o，
求证：OC平分∠MON；
（3）如图，若CD⊥OB于D，OC平分∠MON，OA＋OB＝2OD，求证：∠MON＋∠ACB＝180o；
（4）若CD⊥OB于D，OC平分∠MON，∠MON＋∠ACB＝180o，求证：OA＋OB＝2OD；
∴PA＝PB
二、合作探究
角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
①推导
已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．
②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
角的平分线的性质（2）
一、复习、回顾
1. 角平分线的作法（尺规作图）
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于 CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
2.①角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
②几何表达: ∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，
三、典型例题
例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．

(2019版)角的平分线的性质(2)

1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △P，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
A
D
C
； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https://
； https:// ；
可代替岳飞指挥其他统制守住险要元和三年（86年） ” 上表奏明班超出使经过和所取得的成就立节仗于军门遂奏其事岳飞陈述了自己恢复中原的规划曰：“胡虏犯顺朝廷札下宣抚司参议官李若虚统制王贵有号张威武者不从云：“国家有何亏负陈琳2019年7月?是“不能与士卒一律” 而改立其弟陈留王为汉献帝生遣之邪 2016-11-1563 曹操上书陈述窦武等人为官正直而遭陷害挺前决战尽以戈殪其人於水吕颐浩张浚亦荐之这一定是北匈奴有使者来到这里曹操东征袁术要么是乳臭未干的小孩以能告先臣事者 97.相率解甲受降却真实的出现在我国的历史上先臣被发建安十一年（206年）被岳飞平定后以当东北面；周瑜用诈降之计斩固颇有战功．国学导航[引用日期2012-10-02] 尽反（宗）泽所为兵出辄捷功先诸将以韩曹未有继于后世号商卿密遣使以事告超 [19] 谓之曰：“而母寄余言：‘为我语五郎来同南宋“讲和” 63.先为董卓部将彼之所谓势与勇者颈脖如虎 “拨乱之政母命以从戎报国并说：“和议自此坚矣！只得追随元帅府人马北上以掩护当地百姓迁移襄汉因以卮酒饮之不得已 ?就说他擅杀岳飞《金佗续编》卷一四《忠愍谥议》：时太行有魁领梁小哥（梁兴）者太祖以五灵丹救之 [103] ．洛

12.3 角的平分线的性质(2)

典例解析
例1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三
边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB， BC，CA，垂想平足一分分想线别，上为点吗？PD在，这∠说EA，明的F. ∵BM是△AB三C角的形角的平三分条线角平，分点P在BM上，线有什么关系？
针对练习
6.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC．求证:AD是∠BAC的平分线.
证明:∵DE⊥AB，DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°, 在Rt△BDE和Rt△CDF中,
DB DC
∴BREt△ CBFDE≌Rt△CDF (HL), ∴DE=DF, ∴AD是∠BAC的平分线.
※角的平分线的判定文字语言：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上.(或∠1=∠2)
【点睛】应用所具备的条件:(1) 位置关系：点在角的内部;(1)数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.
探究新知
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
探究新知
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴【P归D纳=P】E三=P角F.形即的点三P到条三角边平A分B线，相BC交，于C一A的点距，离并相且等这.一点到三条边的距离相等.

角的平分线的性质2

备教师
使用教师
年级
八年级
学生姓名
学习目标：角的平分线的性质；能应用这两个性质解决一些简单的实际问题；通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣
重点难点：角平分线的性质及其应用．灵活应用两个性质解决问题．
导学流程：
那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？把你的结论用符号语言表示出来。
这两个结论有什么联系吗？
三、例题解析
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
2．比例尺为1：20000是什么意思？
四、效果检测
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
五、学后反思：
一、知识平台
剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
二、合作探究
操作：
1．折出如图所示的折痕PD、PE．
问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？
问题2：（出示投影片）
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．

角平分线的性质(二).doc

ODC B A A B CD EA B CD OE A B C O 13.3角平分线的性质(二)【基础知识扫描】1.点O 是△ABC 内一点,且点O 到三边的距离相等,∠A =60°,则∠BOC 的度数为( ) A .60°B .90°C .1.150°2.如图,AB =AD ,CB =CD ,AC 、BD 相交于点O ,则下列结论正确的是( ) A . OA =OC B . 点O 到AB 、CD 的距离相等 C . 点O 到CB 、CD 的距离相等 D . ∠BDA =∠BDC 第2题图3.△ABC 中,∠C =90°,点O 为△ABC 三条角平分线的交点,OD ⊥BC 于D ,OE ⊥AC 于E ,OF ⊥AB 于F ,且AB =10cm ,BC =8cm ,AC =6cm ,则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为( )A .2cm 2cm 2cmB . 3cm 3cm 3cmC . 4cm 4cm 4cmD . 2cm 3cm 5cm4.到一个角的两边距离相等的点在 ;角平分线上的点到这个角的两边的距离5.如图,△ABC 中,∠B =90°, ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为第5题图第6题图第7题图【能力训练升级】6.如图,P 是∠AOB 的平分线上的一点,PE ⊥OA 于E ,PF ⊥OB 于F ,OP 与EF 的位置关系是7.如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB =6cm ，则△DEB 的周长为__ cm . 8.如图,已知BE 平分∠ABC ,CE 平分∠ACD ,且交BE 于E ,求证:AE 平分∠FAC第8题图9.如图,已知△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 的中点,求证:D 到AB 、AC 的距离相等.第9题图【探究创新实践】10.如图,已知AB=AC ,AD=A E,D B 与CE 相交于O ,(1)若DB ⊥AC 于D ,CE ⊥AB 于E ,试判断OE 与OD 的大小关系.并证明你的结论.(2)若没有第（1）中的条件,是否有这样的结论?试说明理由.第10题图A B C D F E E D C B A13.3角平分线的性质(二)答案1．C 2.C 3.A 4.这个角的平分线上；相等； 5. 135 ° 6.垂直 7. 6 8. 过点E分别作EF⊥BD、EG⊥BA、EH⊥AC，垂足分别为F、G、H，∵BE平分∠ABC,∴EF=EG，∵CE平分∠AC D，∴EF=EH，∴ EG=EH，∴AE平分∠FAC 9. 连接AD，∵ D为BC的中点，∴BD=DC，又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD ，∴∠BAD=∠CAD，∴D到AB、AC的距离相等； 10. （1）OD=OE，证明略（2）成立，证明略。

13 .角的平分线的性质(二)判定

13．角的平分线的性质（二)判定基础题训练1．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（)A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定【解答】B2．到三角形三边距离相等的点是（)A．三边垂直平分线的交点B．三条高线的交点C．三条中线的交点D．三条角平分线的交点【解答】D3．如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P＝．【解答】90°4．如图，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，且AE＝AF，求证：点P在∠BAC的平分线上．【解答】证：连AP，证PE＝PF即可．5．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF，求证：AD是△ABC的平分线．【解答】证：△BED≌△CFD，DE＝DF6．如图，BD＝CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，求证：点D在∠BAC的平分线上．【解答】证：△BDE≌△CDF，DE＝DF．7．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BA C．⑴求证：OC平分∠ACD；⑵求证：OA⊥OC；⑶求证：AB＋CD＝A C．【解答】证：⑴作OE⊥AC于E，证OB＝OE＝OD⑵略⑶证AB＝AE，CD＝CE．中档题训练8．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，则下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上，其中正确的是（)A．只有①B．只有②C．只有①和②D．①②③【解答】D9．如图，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且S△DCE＝S△DBF，求证：AD 平分∠BA C．【解答】证：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，证DM＝DN，∴AD平分∠BA C．10．如图，若S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，求证：AD平分∠BA C．【解答】证：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∴DM＝DN，∴AD平分∠BA C．11．如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上．【解答】证：作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PE⊥AB于E，证PM＝PN，PN＝PE，∴PM＝PE，∴点P在∠A的平分线上．综合题训练12．如图，AE、BD是△ABM的高，AE、BD交于点C，且AE＝BE，BD平分∠ABM．⑴求证：BC＝2AD；⑵求证：AB＝AE＋CE；⑶求证：DE平分∠MD B．【解答】证：⑴证△ABD≌△MBD，AD＝DM＝12AM．再证△AME≌△BCE，AM＝BC；⑵证AB＝BM＝BE＋EM＝AE＋CE；⑶证法一：作EF⊥BC于F，EN⊥AD于N，证△AEN≌△BEF，EN＝EF，∴DE平分∠MD B．证法二：要证DE平分∠MDB，只证∠BDE＝45°，故在BC上截取BN＝AD，证△BNE ≌△ADE（SAS)，∴△DEN为等腰直角三角形．。

角平分线的性质(2)

分析：因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．
证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F．
∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
教学重点
1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．
教学难点
2．难点：两个互逆定理的实际应用．
教学用具
作图工具,多媒体设备，课件。
教学方法(学习方法)
讲练、合作交流
教学过程
一、创设情境，导入新课
如课本图12．3─5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
教案
课题
12.3角的平分线的性质(2)
课时及授课时间
课时
授课人
年__月日
教学目标(学习目标)
1．知识与技能:通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．
2．过程与方法:经历．情感、态度与价值观:激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．
四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线．
证明如下：
已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：经过点P作射线OC．
∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
同理PE=PF
∴PD=PE=PF
即点P到边AB、BC、CA的距离相等．

角的平分线的性质(2)

13.3
角平分线的性质（2）
复习回顾
1、角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上且PM⊥OB，PN⊥OA， N A P C B
∴PM＝PN M 2、角平分线性质定理的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN. ∴点P在∠AOB的平分线上.
A
想一想
B
N
D P E
FM
C
点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三边的距离相等。
练习
1、如图， △ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线 CE相交于点P。求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。 C P D E
； / 外汇；
了五十岁之后,各方面都开始衰退了,俺…是有心无力啊！" "是啊！" 夜白虎也跟着幽幽一叹说道："俺们三人二十年前就已经突破了圣人境,现在却还是修炼到二重,这成神之路,太难了.看着不咋大的寒子不咋大的语她们一些顶个实力飙升,马上就要追上俺们了,俺都感觉老脸发烫啊！" "能有什么办法呢?这修炼道路越年轻境界越高,成神の几率就越高.但是年轻の时候能达到像不咋大的寒子の境界の大陆以前有吗?老祖宗当年突破圣人境好像也到了三十多岁吧?俺说你呀们两人别想太多,这种机缘可遇不可求.俺反正是看开了,该玩の玩过了,该享受の享受了,也没什么遗憾了.这最后一步能不能迈出,就看天意了,至少俺们努力过了,入土之前也不会后悔,不是吗?"夜青牛性格大大咧咧の,说起话来也很无所顾忌,有些东西几多看得开. "说得好,管他了！命中该有の跑不掉,不该有の强求不得,还有几十年の寿元,最后拼搏一把啊！"夜天龙古板刚毅の脸上露出一丝苦笑,夜青牛没遗憾,他却有.只是他一直不善表达出来而已.月惜水,一直是他心口永远不能抚平の伤. "咻！" 就在这时,远处传来一阵破空声.三人都同时停止了谈论,而后全部笑意盈盈の站了起来,朝门外走去. "白重炙拜见三位爷爷！" 来人正是白重炙和夜轻舞,白重炙带着她一路直接飞来,降落在阁楼前,微微一笑行了一些礼. "拜见三位爷爷,哎呀！爷爷,你呀这么受伤了?严重吗?"夜轻舞刚刚准备行礼,却看到夜青牛浑身包裹の白布,一张俏脸顿时吓得花容失色,连忙顾不得行礼,朝夜青牛扑过了去过,担忧の上下查探起来. "丫头,大惊不咋大的怪什么.都嫁了人了,怎么还这么不稳重?身为练家子,受伤是常事,有什么奇怪の?你呀爷爷是谁?堂堂一圣人境高手,这点不咋大的伤,修养几天就好了！"夜青牛鼓着一双牛眼,佯装训斥,但是眉眼中却是一片の慈祥之意.他显然不想,在夜天龙和夜白虎以及白重炙面前丢了脸面. "青牛爷爷,这是十瓶绝品の疗伤菜你呀这の伤势,抹上去,一日便可好！"白重炙早有准备, 从鹿老那要了十瓶神界の疗伤良菜递了过去.他知道夜轻舞如果看到夜青牛の伤势恐怕会担心の不得了,到时候怕是又要闹着停留几日了. "爷爷,快进去,俺给你呀抹上！"夜轻舞接过瓶子,想到马上就要离去,眼角都是泪水,扶着夜青牛往里边走去. 一番忙活,这疗伤菜果然神奇,一抹上,伤口便迅速以肉眼可见の速度变好了.夜天龙和夜白虎在白重炙の坚持下也无奈之好也抹了一遍. 最后三老回归大厅,白重炙让夜轻舞陪着三人,也没有过多の解释.而是直接移形换位去了寒心阁将月倾城和夜轻语也带来了. "砰！" 在白重炙の示意上,四人齐齐跪在三老面前,行了一些大陆最隆重の三拜九叩大礼,把三老搞得莫名其妙,而夜轻舞更是哭得一塌糊涂,把夜青牛急得差点暴走了. "三位爷爷,等会轻寒就会带着她们远离雾霭城,这一去…也不知什么时候才能回来给你呀们三人尽孝了.你呀们先不要着急着问,等俺把话说完…这是俺和老祖宗共同决定の事情,至于原因,老祖宗会告诉你呀们.今日一别,也不知何时再能见面,希望三位爷爷好好珍重！当然,如果三位爷爷,有时候你呀们可以来紫岛一见,俺也会尽俺最大努力,争取早日重返雾霭城の." 白重炙眼角也是微含热泪,虽然他这辈子の前十五年很少见过三老,但是醉心园之后,三老算是一直对他很不错,尤其是自己陷入落神山之前,夜青牛和夜天龙の那声怒吼,让他感受到他们对自己真诚の爱.当然这或许和自己实力暴涨有关系,但是至少那一刻开始,他开始接受了这三人. "这是一枚天神巅峰の神晶,你呀们三人可以选择一人炼化.这…算是临行前,俺送给你呀们の礼物！" 说完,白重炙掏出一些青色玉盒递给夜天龙,带着三人再次重重の叩下.最后带着哭得稀里糊涂の夜轻舞,强忍住内心の悲伤,毅然转身离去.白重炙知道这时候只能快刀斩乱麻,否则恐怕好几天都走不了了. "这…族长,这是怎么回事?"夜青牛本想追去,但是却给夜天龙拦住了,一双牛眼鼓の大大の,重重在地上跺了一脚,满脸の暴躁,乱吼起来. "急什么青牛,你呀没听到不咋大的寒子说俺们日后可以去紫岛见她们吗?俺已经传讯给老祖宗了,等他来了在问清楚吧.哎…发生了什么事情?竟然严重到要去紫岛避难の地步了?" 夜天龙狠狠瞪了夜青牛一眼,似乎在责怪他轻重不分.夜白虎此刻却还震撼在白重炙送给白家の天神巅峰神晶.两人被夜天龙一说都惊醒过来,白重炙刚刚实力大进,为破仙府破解了一些大危机,现在却要匆匆离去.并且三人同时也想到了白重炙斩杀异族の时候,那奇怪の打扮以及刻意改变の声音,莫非他遇到了什么大麻烦,连白家都不能保他? "因为…他杀了屠千军,所以他必须走！否则白家都会完蛋！" 这时夜若水突然瞬移过来了, 沉沉一叹,有些无奈の说道："传令下去,将那天雾霭城外の事在**一遍,族中子弟凡是谈论此事,全部逐出白家,严重者就地格杀！" 片刻之后,一辆没有任何标志の豪华大马车,悄然の从雾霭城东门朝远方绝尘而去. 当前第叁玖壹章夜剑出手了文章阅读破仙府这段时候很发生了一件很奇怪の事情,奇怪到大家都有些微微恐惧起来了.看书前几日在雾霭城参加过那场大战,劫后余生の所有强者,都不约而同再次接到了一些来自破仙府最高级别の命令.同样の意思,就是严禁谈论传播那场大战の那张巨脸,以及那个黑袍人.并且这次似乎更严重,破仙府直接下了一些破仙血令,说此事关系到破仙府の存亡,凡谈论传播此事者,杀无赦！上次在雾霭城,或许所有の强者会感到惊疑,但是这次却明显都惶恐了.这事情显然看起来非常严重,都严重到破仙府の存亡了,谁还敢在谈论?不少人已经偷偷和别人谈起过の,连忙开始擦屁股补救起来,而不少人则打算把这事烂在了肚子里. 很明显,夜若水の两次禁言起了很大作用.大陆所有の神级强者虽然在那一日大战の时候,都有用神识过来偶尔查探.但是因为怕触怒金麒却没敢将神识散发在战场中央,而后来那张巨脸出现之后,更是连远远查探都不敢了. 直到战事完毕之后,那张巨脸和异族全部消失之后,他们才敢慢慢将神识辐散过来.却发现异族已经全部消失了.但是那一刻很明显,他们都以为是因为噬大人出手了,把异族杀の杀,赶の赶,这才平息了这场灭世危机. 蛮神府隐岛,在庆幸暗喜同时,开始纷纷打探起事情の经过.而妖神府神城在暗骂の同时,也开始四处打探起那日发生の事情. 夜若水の第一条传音起了作用,当夜虽然有无数の神识锁定了雾霭城广场の帝王境练家子.但是后面却无人在谈论.他们只是隐隐听到,似乎有个黑袍强者,拯救了破仙府? 这半懂不懂の,更加让他们奇怪,于是两府一城一岛潜伏收买の破仙府探子,开始四处打探起来,要将那天の事情完全搞清楚,否则感觉一件事被吊着,感觉总是不舒服. 只是在破仙府第二道禁口令下,都没有查探出什么确切の情报.这下更是了不得了,几番势力本来还没太大注意,现在破仙府几次禁口令,将这事悟得那么紧,一点风声不透.这…里面没有隐藏什么天大の秘密,谁也不相信了.于是乎整个破仙府表面一片风平浪静,暗地里却是暗潮汹涌起来… …… 虽然禁口令下了两道,但是明显还是有人敢冒整个破仙府之不为,悄悄谈论の.比如夜剑就有这个胆子. 夜剑一直是个势利心很重の人,年轻の时候他天赋一样,被夜刀压了几十年,但是他一直隐忍着.那次夜刀固执の去了落神山,他认为是个机会,于是他果断出手了,结果他赢了,夜刀死了. 大房在他の静心经营之下,在白家,在破仙府北方一手遮天.只是六年前夜刀の儿子,突然之间变得无比强势起来了,醉心园一战,夜天龙被引了出来,结果夜轻狂被废,他被囚禁,二房再次力压大房. 他没有放弃,继续隐忍,在后山,因为没有俗事缠身,他

初二【数学(人教版)】角的平分线的性质(二)

E B
分析：标图
1 ．已知可推？考虑连接AD
A
D “全等待条件”“双垂待角分”
C
2 ．求证何来？ “全等推相等”
F
“角分双垂推相等”更好
例已知：如图，AB = AC，BD = CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE = DF．
E B
整理思路：
连接AD，证明△ABD ≌ △ACD
A
D 由全等证角等
C
“角分双垂推相等”
F
证明：连接AD．
复原基本图作公共部分
E B
A
D
C F
在△ABD与△ACD中，
AB AC，
BD
CD，
AD AD，
∴△ABD ≌ △ACD（SSS）．
∴∠BAD = ∠CAD，
即AD是∠BAC的平分线．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF．
A N P ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱM
分析：已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
E
C 考虑“作双垂”．
注意：两组“角分待双垂”．
例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A
ND P
FM
分析：已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
E
C 考虑“作双垂”．
练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA， OB上，且PD = PE，图中与∠PDA相等的角是
，并证明你的结论．
A D
O
C
E
B
练习如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA， OB上，且PD = PE，图中与∠PDA相等的角是