圆内接三角形复习讲义
圆的相关证明与计算(复习讲义)(原卷版)-中考数学重难点题型专题汇总
题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。
圆的内接三角形的面积-定义说明解析
圆的内接三角形的面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容：圆的内接三角形是指一个三角形的三个顶点都位于同一个圆的圆周上，而且三角形的三条边都与圆的圆周相切。
在数学中，这种特殊的三角形具有一些独特的性质和特点。
本文将探讨圆的内接三角形的面积计算方法，并深入研究其特性与规律。
这些知识对于几何学和计算数学具有重要的意义，并在实际生活中的各个领域得到广泛的应用。
在接下来的章节中，我们将首先介绍圆的内接三角形的定义，包括它的构成要素和几何特性。
然后，我们将详细讨论计算内接三角形的面积的方法，包括直接计算和间接计算两种常见的方法。
最后，我们将总结内接三角形的特性，并探讨其在实际问题中的应用和进一步研究的展望。
通过深入研究圆的内接三角形的面积计算方法和特性，我们将更好地理解这一几何形状的本质和规律，并能够应用于实际问题的解决中。
我希望本文能够为读者提供有益的知识和启发，并促进对圆的内接三角形领域的深入探索和研究。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述圆的内接三角形的面积问题：1. 引言：介绍圆的内接三角形及其面积的问题背景和重要性。
2. 正文：详细讨论圆的内接三角形的定义、特性和计算面积的方法。
2.1 圆的内接三角形的定义：解释什么是圆的内接三角形，以及如何确定一个内接三角形。
2.2 内接三角形的特性：系统介绍内接三角形的特点，包括边长关系、角度关系等。
2.3 计算内接三角形的面积的方法：提供几种计算内接三角形的面积的方法，如海伦公式、利用三角函数等。
3. 结论：对前文中讨论的内接三角形的特性进行总结，并探讨结论和应用。
3.1 总结内接三角形的特性：回顾内接三角形的特性，强调其中的关键点。
3.2 结论和应用：总结内接三角形的面积问题，并讨论该问题在实际生活中的应用和意义。
3.3 对进一步研究的展望：展望关于内接三角形及其面积的研究方向，指出可能的拓展和深入研究的问题。
通过以上结构，本文将系统地介绍圆的内接三角形的面积问题，并为读者提供全面的信息和计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。
中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
几何语言：若弦CD AB ，交于点P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅。
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PB PA PD PC ⋅==22。
2. 弦切角定理：（1）弦切角的定义：如图像∠ACP 这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。
等于这条弧所对的圆周角。
即∠PCA=∠PBC 。
3. 切线长定理：（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
4. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。
5. 三角形的内切圆与内心：内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。
练习题1、（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣正方形CEOD的面积﹣⊙O面积的，代入数据计算即可．【解答】解：作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥AB于点F，连接OA、OC、OB，如图，∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，∴四边形CEOD是正方形，∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝S△AOC+S△COB+S△BOA，∴＝，解得OD＝OE＝OF＝1，∴图中阴影部分的面积为：﹣1×1﹣π×12×＝5﹣π，故答案为：5﹣π．2、（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为．【分析】连接BO，CO，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当DE＝CD+BE时，DE∥BC，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．【解答】解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，∵O为△ABC的内心，∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，∴∠BCO＝∠COD，∴BC∥DE，∴∠CBO＝∠BOE，∴BE＝OE，则DE＝CD+BE，设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴，即，解得，∴CD＝2，过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，∵点O为△ABC的内心，∴OD＝OE′，在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，，∴△ODD′≌△OE′E（ASA），∴OE＝OD′，∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，在△AD′E′和△ABC中，，∴△AD′E′∽△ABC，∴，∴，解得：AD′＝，∴CD′＝AC﹣AD′＝，故答案为：2或．3、（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案为：．4、（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（负值舍去），∴大正方形的面积为289．故答案为：289．。
人教版初三数学上册 圆 复习专题 讲义
圆知识回顾：1、圆的半径_______，所以圆心三角形是一个_______三角形2、直径d与半径r的关系：_______3、直径所对圆周角等于_____；90°的圆周角所对的弦是______4、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的_____所对的弧_____、所对的弦_____、所对的弦心距_____5、圆周角定理：1、在同圆或等圆中，相等的_____所对的弧_____、所对的弦_____、所对的弦心距_____2、同弧所对圆周角是圆心角的_________垂径定理：一条直线，只要具备下列5条中的2条作为条件，就可以推出其他三条结论。
称为：知二推三1、经过圆心2、垂直于弦3、平分弦（不是直径）4、平分弦所对的优弧5、平分弦所对的劣弧圆的常见辅助线：1、____________________________________2、____________________________________3、____________________________________例1、如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B。
AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E（1）求证：CB平分∠ACE（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径2，AC=CD=12例2、⊙O是四边形ABCD的外接圆，OB⊥AC，OB与AC相交于点H，BC=10（1）求⊙O半径（2）求AD的长（3）若E为弦CD上的一个动点，过点E作EF//AC，EG//AD，EF与AD相交于点F，EG与AC相交于点G。
试问四边形AGEF的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由知识回顾：圆内接四边形对角________切线的判定：①____________________ 、②____________________切线定理：圆的切线______于过其切点的半径切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，________________________________________________ 三角形的内接圆圆心，是这个三角形三条_________________的交点三角形的外接圆圆心，是这个三角形三条_________________的交点圆的周长：____________ 圆的面积：____________弧长公式：____________ 扇形面积：____________圆柱侧面积：____________ 圆锥侧面积：____________圆柱体积：____________ 圆锥体积：____________点与圆的位置关系（d是点到圆心距离，r是圆的半径）：1、点在圆内⇔ ____________2、点在圆上⇔ ____________3、点在圆外⇔ ____________直线与圆的位置关系（d是直线到圆心距离，r是圆的半径）：1、相交⇔ ____________2、相切⇔ ____________3、相离⇔ ____________圆与圆的位置关系（d是两圆的圆心距离，R、r分别是两圆的半径）：1、外离⇔ ____________2、外切⇔ ____________3、相交⇔ ____________4、内切⇔ ____________5、内含⇔ ____________1、若⊙O的半径为6cm，PO＝8cm，则点P的位置是（）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定2、如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（）A．点D在⊙C上B．点D在⊙C内C．点D在⊙C外D．不能确定3、已知圆锥的侧面积为16πcm2，圆锥的母线长8cm，则其底面半径为cm．4、圆锥的底面半径是1，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是．5、如图，△ABC的周长为8，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为．6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，且△ABC的三边都与⊙O相切，则AO＝．7、⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，AB=10，⊙O的内接正六边形DGHIJK的边长为2．则△ABC的面积是（）A．24B．48C．20D．188、如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣2上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．9、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG=8，EF=2．求⊙O的半径．10、如图，已知：AB为⊙O直径，PQ与⊙O交于点C，AD⊥PQ于点D，且AC为∠DAB的平分线，BE⊥PQ于点E．（1）求证：PQ与⊙O相切；（2）求证：点C是DE的中点．11、如图，圆C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点，已知点B为圆C圆周上一动点，且∠ABO=30°，点D的坐标为（0，2 ）（1）直接写出圆心C 的坐标；（2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；（3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标．12、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD交边BC于点D．O为边AB上一点，⊙O经过点A、D 并且交AB于另一点E（1）作出⊙O并标出点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，①证明：直线BC是⊙O的切线②若⊙O与AC交于点F，且AE＝26，CD＝12，求AF的长。
【专项复习】2022年中考数学专项 第27讲 三角函数与圆的综合
第27讲三角函数与圆的综合知识导航1．明确同弧所对的弦、圆周角和圆的半经三者的关系：AB＝2RsinC，如图所示两种常用辅助线．C图1 图22．三角函数值形式上是两条线段的比值，往往可以转化为两个相似三角形的相似比．【板块一】求与圆有关的角的三角函数值方法技巧1．将所求角转化到直角三角形中；2．利用相似比进行转化。
题型一遇斜三角形作垂线构直角【例1】如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB，连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值．【解析】过点C作CD⊥TA于点D，设⊙O的半径为r，则AT＝AB＝2r，∴OT r，TC＝－1)r，∵CD∥OA，∴△TCD∽△TOA，∴CDOA＝TCTO＝TDTA，∴CD＝r，∴DA＝r，∴tan∠TAC＝CDDA＝．D【例2】如图，已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC是⊙O的直径，连接BC，PC，若PB＝6，PC＝10，求sin ∠PCB的值．【解析】连OP，AB，则OP⊥AB，BC⊥AB，∴OP∥BC，∴∠PCB＝∠OPC，过点O作OM⊥PC于点M，∴sin∠PCA＝PAPC＝610＝35＝4OM，∴OM＝125，又OPsin∠PCB＝sin∠OPM＝．【点评】当所求锐角不在直角三角形中时，常作参线构造直角或利用等角特接求其三角函数值．题型二遇切线，连圆心切点构直角【例3】如图，BE，BC，CG分别与⊙O相切于E，F，G三点，且BE∥CG，延长BO交CG的延长线于点D，连接FG，若FGBD＝45，求sin∠CFG的值．【解析】易证OC⊥BD，OC⊥FG，∴FG∥BD，∴∠CFG＝∠CBD，连接OF，则OF⊥BC，可证△CFG∽△CBD，∴CF CB＝FGBD＝45，设CF＝4x，BC＝5x，∴BF＝x，易证OF2＝BF·FC＝4x2，∴OF＝2x，∴OB x，∴sin∠CFG＝sin∠OBF＝OFOB．【点评】注意等角转换与等比转换．题型三遇直径，利用直径构直角【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E，若AEEB＝12，求cos∠BED的值．【解析】连接CE．由AEEB＝12，可设AE＝x，EB＝2x，易证上进△ACE∽△CBE，得CE2＝AE·BE＝2x2，∴CE，∴BC，由∠BEC＝90°，D是BC的中点可得DE＝BD，∴∠BED＝∠B，∴cos∠BED＝cos∠B＝BEBC＝．题型四遇弧的中点，利用垂径构直角【例5】如图，CD是△ABC的外角∠ECA的平分线，CD与过A，B，C三点的⊙O相交于点D．(1)求证：BD＝AD;(2)若AB＝CD，ABAC＝，求sin∠ACB的值。
人教版九年级数学上册思维特训(十四) 圆内接正三角形的一个性质的拓展应用-精选文档
思维特训(十四) 圆内接正三角形的一个性质的拓展应用方法点津 ·基本图形与结论：解题原理：正三角形的性质、圆周角的性质以及全等三角形的性质结合．解题方法：截长补短法．典题精练 ·1．已知：如图14－1，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，P 为BC ︵上一点(不与点B ，C 重合)．(1)如图①，若P 是BC ︵的中点，则PB ＋PC ________P A (填“＞”“＝”或“＜”)；(2)如图②，当点P 在BC ︵上移动时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．图14－12．如图14－2，等边三角形ABC 内接于⊙O ，P 为⊙O 上异于A ，B ，C 的动点．当P 为弦BC 所对的优弧上一点时，连接P A ，PB ，PC ，猜想P A ，PB ，PC 之间的数量关系．图14－23．2019·广州如图14－3，C 为△ABD 的外接圆上的一动点(点C 不在BAD ︵上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB ＝∠ABD ＝45°.(1)求证：BD 是该外接圆的直径；(2)连接CD ，求证：2AC ＝BC ＋CD .图14－34．如图14－4，正方形ABCD 内接于⊙O ，P 为BC ︵上一点，试判断PC ，P A ，PB 之间的数量关系，并证明．图14－45．阅读理解：(1)如图14－5(a)，若在已知△ABC 所在平面内存在一点P ，使它到三角形各顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时P A ＋PB ＋PC 的值为△ABC 的费马距离；(2)如图(b)，若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB ·CD ＋BC ·AD ＝AC ·BD . 此为托勒密定理．图14－5知识迁移：(1)请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图14－6(a)，已知点P 为等边三角形ABC 外接圆的BC ︵上任意一点．求证：PB ＋PC＝P A ；(2)根据(1)中的结论，我们有如下探寻△ABC (其中∠A ，∠B ，∠C 均小于120°)的费马点和费马距离的方法：第一步：如图14－6(b)，在△ABC 的外部以BC 为边作等边三角形BCD 及△BCD 的外接圆；第二步：在BC ︵上任取一点P ′，连接P ′A ，P ′B ，P ′C ，P ′D .易知P ′A ＋P ′B ＋P ′C ＝P ′A＋(P ′B ＋P ′C )＝P ′A ＋________；第三步：请你根据上面“阅读理解”(1)中的定义，在图14－6(b)中找出△ABC 的费马点P ，并指出线段________的长度即△ABC 的费马距离．图14－6知识应用：已知三村庄A ，B ，C 构成了如图14－7所示的△ABC (其中∠A ，∠B ，∠C 均小于120°)，现选取一点P 打水井，使从水井P 到三村庄A ，B ，C 所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．图14－7典题讲评与答案详析1．解：(1)＝(2)成立．理由如下：方法1：如图①，在P A 上截取PE ＝PC ，连接CE .∵∠APC ＝∠ABC ＝60°，且PE ＝PC ，∴△PEC 为等边三角形，∴CE ＝PC ，∠PCE ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠ACE ＝∠BCP .在△ACE 和△BCP 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCP ，CE ＝CP ，∴△ACE ≌△BCP ，∴EA ＝PB ，∴PB ＋PC ＝P A .方法2：如图②，延长BP 至点E ，使PE ＝PC ，连接CE .∵△ABC 为等边三角形，∴AC ＝BC ，∠BAC ＝∠ACB ＝60°.∵A ，B ，P ，C 四点共圆，∴∠BAC ＋∠BPC ＝180°.又∵∠BPC ＋∠CPE ＝180°，∴∠CPE ＝∠BAC ＝60°.又∵PE ＝PC ，∴△PCE 是等边三角形，∴EC ＝PC ，∠E ＝∠PCE ＝60°.∵∠BCE ＝60°＋∠BCP ，∠ACP ＝60°＋∠BCP ，∴∠BCE ＝∠ACP .在△BEC 和△APC 中，⎩⎨⎧BC ＝AC ，∠BCE ＝∠ACP ，EC ＝PC ，∴△BEC ≌△APC (SAS)，∴EB ＝P A .又∵EB ＝PB ＋PE ，PE ＝PC ，∴P A ＝PB ＋PC .2．解：当点P 在劣弧AB 上时，有PC ＝P A ＋PB ；当点P 在劣弧AC 上时，有PB ＝P A ＋PC .3．证明：(1)∵AB ︵＝AB ︵，∴∠ADB ＝∠ACB ＝45°.又∵∠ABD ＝45°，∴∠BAD ＝90°，∴BD 是该外接圆的直径．(2)如图，在CD 的延长线上截取DE ＝BC ，连接AE .∵∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD .∵∠ADE ＋∠ADC ＝180°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE .在△ABC 与△ADE 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△ADE (SAS)，∴∠BAC ＝∠DAE ，从而∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE ＝90°.∵AD ︵＝AD ︵，∴∠ACD ＝∠ABD ＝45°，∴△CAE 是等腰直角三角形， ∴2AC ＝CE .又∵CE ＝CD ＋DE ，DE ＝BC ， ∴2AC ＝BC ＋CD .4.解：P A ＝PC ＋2PB .证明如下：如图，过点B 作BE ⊥BP ，交AP 于点E ，连接AC .∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝45°.∵∠ABE ＋∠CBE ＝90°，∠CBP ＋∠CBE ＝90°，∴∠ABE ＝∠CBP .∵∠ACB ＝45°，∴∠APB ＝45°，∴∠BEP ＝45°，从而EB ＝PB ，EP ＝2PB .在△ABE 和△CBP 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBP ，EB ＝PB ，∴△ABE ≌△CBP (SAS)，∴EA ＝PC .又∵P A ＝EA ＋EP ，EP ＝2PB ，∴P A ＝PC ＋2PB .5．解：知识迁移：(1)证明：由托勒密定理可知PB ·AC ＋PC ·AB ＝P A ·BC .∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴PB＋PC＝P A.(2)第二步：P′D第三步：连接AD，交圆于点P，点P即为所求，线段AD的长度即△ABC的费马距离．知识应用：如图，以BC为边在△ABC的外部作等边三角形BCD，连接AD，则线段AD的长即为输水管总长度的最小值．∵△BCD为等边三角形，BC＝4 km，∴∠CBD＝60°，BD＝BC＝4 km.∵∠ABC＝30°，∴∠ABD＝90°.在Rt△ABD中，∵AB＝3 km，BD＝4 km，∴AD＝AB2＋BD2＝5 km，∴从水井P到三村庄A，B，C所铺设的输水管总长度的最小值为5 km.。
初三数学圆的经典讲义-复习巩固
【典型例题】 例 1 如图 AB、 CD是⊙ O的弦， M、 N 分别是 AB、CD的中点，且
AMN
CNM ．
求证： AB=CD．
A
C
M
N
·
O
B
D
例 2 已知，不过圆心的直线 l 交⊙ O于 C、D 两点， AB 是⊙ O的直径， AE⊥ l 于 E，BF⊥ l 于 F。求证： CE=DF．
B O?
2． D 是半径为 5cm的⊙ O内的一点，且 D0=3cm，则过点 D的所有弦中，最小的弦 AB= cm.
3. 若圆的半径为 2cm，圆中一条弦长为 2 3 cm，则此弦所对应弓形的弓高是
.
4. 已知⊙ O的弦 AB=2cm,圆心到 AB 的距离为 n, 则⊙ O的半径 R=
，⊙ O的周长为 .
⊙ O的面积
.
D
A
P
。
O
B
C
【考点速练】
1. 已知⊙ O的半径为 2cm，弦 AB 长 2 3cm ，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（
）.
A ． 1cm B.2cm C.
2cm D.
3cm cm
3．如图 1，⊙ O的半径为 6cm， AB、 CD为两弦，且 AB⊥ CD，垂足为点 E，若 CE=3cm，DE=7cm，则 AB的长 为（ ）
求 CD的长．
C
30 ，
A
·E B
O
D
例 6. 已知：⊙ O的半径 0A=1，弦 AB、 AC的长分别为 2 , 3 ，求 BAC 的度数．
【考点速练】
1. 下列命题中，正确的是（
）
A ．三点确定一个圆
B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆
圆的内接三角形和四边形
一、知识讲解1．圆的内接三角形2．圆的内接四边形二、解题方法技巧圆的内接三角形和四边形（）定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．（）性质①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．【补充】锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部．（）定义：四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形．（）性质①圆内接四边形对角互补；②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即外角等于内对角．如图：，，．【补充】圆的内接四边形的性质可以由同一条对角线（同一条弦）所对的两种圆周角互补得到．、若四个点到同一点的距离相等，则这四点共圆．、若两个直角三角形共斜边，则这两个直角三角形在同一个圆上，圆心即为斜边中点．、若两个三角形有一条公共边，且它们所对的角在这条边的同侧且相等，则这两个三角形共圆（当虚线省略的时候即为我们常见的八字形．这个不能直接用，要注意证明第四点在圆上）爱智康2018/06/121212∠B +∠D =180∘∠A +∠2=180∘∠A =∠1123三、易错点辨析、若四边形的对角互补或者它的任意一个外角都等于他的内对角，则可判断这四点共圆．（这个不能直接用，要注意证明第四点在圆上）如图：，，．5、等边三角形中，外接圆的半径和边长的关系为：、三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；而三角形的内心是指角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等；、如下图所示，四边形不是的内接四边形，要补充圆周角，四边形才是．爱智康 2018/06/124∠B +∠D =180∘∠A +∠2=180∘∠A =∠1R a R =a 3√312AOCB ⊙O ABCD。
初中数学圆内接三角形问题_概述说明以及解释
初中数学圆内接三角形问题概述说明以及解释1. 引言1.1 概述圆内接三角形问题是初中数学中一个非常有趣且重要的问题。
其主要研究内容为描述当一个三角形的顶点恰好在一个圆上时，该三角形可能存在的各种特性和性质。
因为圆与三角形本身都具有很多特点和定理，所以圆内接三角形问题涉及了许多重要的数学概念和推理方法。
1.2 文章结构本文将分为五个部分进行论述。
第一部分是引言，主要介绍本文的概述、组织结构和目标。
第二部分是关于圆内接三角形问题背景知识的介绍，包括圆的定义与性质、三角形内接圆的概念及性质，以及与圆内接三角形相关的重要定理或公式。
第三部分是对圆内接三角形问题进行详细分析与解释，包括一般思路和方法论、边长和面积之间关系的探究，以及圆心角、弧度、弧长与圆内接三角形之间的关联性。
第四部分是实例分析与演算，针对具体题目进行详细解答和计算过程展示，并分析不同类型的圆内接三角形问题在解题过程中的特点和难点。
最后，第五部分是结论与拓展，总结了圆内接三角形的基本概念、性质和解题方法，并指出了本文未涉及但相关的内容，并提供拓展阅读推荐，以及探讨了圆内接三角形问题在高中数学学习中的进一步应用和研究方向。
1.3 目的通过本文的撰写，旨在帮助读者全面了解圆内接三角形问题，并掌握解题方法和技巧。
通过对背景知识、分析与解释以及实例演算的介绍，读者将能够深入理解圆内接三角形存在的各种特性和性质，并能够灵活运用所学知识进行具体问题的求解。
同时，本文也为读者提供额外习题供其练习巩固对圆内接三角形问题的理解和应用能力。
最终目标是引发读者对数学思维和推理方法的兴趣，并为进一步深入研究高级数学领域打下坚实的基础。
2. 圆内接三角形问题的背景知识：2.1 圆的定义与性质在数学中，圆是由平面上距离某个固定点（圆心）相等的所有点组成的集合。
圆的一些重要性质包括：- 圆心：圆的中心点，通常表示为O。
- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段长度，通常表示为r。
沪科版九年级下册数学第24章 圆 三角形的内切圆 (2)
知2－练
4在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它 的内切圆与外接圆半径分别为( )
A．1.5，2.5B．2，5 C．1，2.5D．2，2.5 5如图，正三角形ABC的内切圆半径为1，那么这个正
三角形的边长为( ) A．2 B．3
C. 3 D．2 3
知2－练
6在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则
则S＝lr. 1
2
(2)直角三角形内切圆的半径r＝
1(直角边长a＋直角
2
边长b－斜边长c)．
知2－讲
例2如图,在△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是
△ABC的内心，求∠BIC的度数.
解：连接IB，IC.
因为点I是△ABC的内心，所以IB，
IC分别是∠B、∠C的平分线.
在△IBC中，有
∠BIC=180°－(∠IBC1+∠ICB)
它的内切圆半径是( )
A.
3
B．1 2
C．2
D. 2
3
1．会作各种三角形的内切圆； 2．定义三角形的内切圆、内心及圆的外切三角形； 3．内心是谁的交点？位置如何？它有什么位置关系？
1.必做:完成教材P44-45习题24.5T2-5 2.补充:
知1－练
知1－练
5 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、 E、F，那么点O是△DEF的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心(三条高的交点)
知识点 2 三角形内切圆的性质
知2－讲
三角形的内心的性质：
三角形的内心到三角形的三边距离相等．
拓展：
(1)若三角形的面积为S，周长为l，内切圆半径为r，
2
知1－讲
内接三角形知识点总结
内接三角形知识点总结一、内接三角形的定义内接三角形是指一个三角形内部存在一个圆与三条边都相切的情况。
这个圆称为三角形的内切圆，它与三条边的切点分别称为三角形的内切点。
每个三角形都有唯一的内切圆，这个内切圆的半径称为三角形的内切圆半径。
内接三角形的性质非常有趣，它们对于解决各种几何问题非常有用。
二、内接三角形的特性1. 内切三角形的切点在一个内接三角形中，圆与三条边的相切点分别称为三角形的内切点，这些内切点分别与三角形的顶点相连构成三个角平分线。
这些角平分线的交点称为三角形的内切圆心，它是三角形的内切圆的圆心。
2. 内切三角形的性质内接三角形有许多有趣的性质，其中一些包括以下几点：- 内切三角形的内切圆半径等于三角形的面积除以半周长。
- 内切三角形的内切角相等，内切角相等的三角形就是等腰三角形。
- 内切三角形的内切线与三角形的边平行，构成的四边形称为内接四边形。
三、内接三角形的性质内接三角形有许多性质，其中一些包括以下几点：1. 内切三角形的内角平分线相交于三角形的内切圆心。
2. 内切三角形的内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
3. 内切三角形的内角平分线相交于三角形的内切圆心。
4. 内切三角形的内角平分线相交于三角形的内切圆心。
5. 内切三角形的内角平分线相交于三角形的内切圆心。
四、内接三角形的应用内接三角形有很多实际的应用，其中一些包括以下几点：1. 内接三角形在建筑中的应用在建筑设计中，内接三角形可以被用来确定建筑物的最佳布局。
内接三角形的性质可以帮助建筑师确定建筑物的外观和结构。
2. 内接三角形在工程中的应用在工程设计中，内接三角形可以被用来确定构件的最佳尺寸和形状。
内接三角形的性质可以帮助工程师设计出更加稳定和高效的结构。
3. 内接三角形在数学中的应用在数学领域中，内接三角形的性质可以帮助解决各种几何问题。
许多数学问题都可以通过利用内接三角形的性质来解决。
五、结论内接三角形是一个非常有趣和有用的几何形状。
同圆的内接正三角形与内接正方形的面积-概述说明以及解释
同圆的内接正三角形与内接正方形的面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面进行展开：概述部分是整篇文章的开场白，主要是对文章的主题进行简要介绍，并引起读者的兴趣。
首先，可以简要介绍同圆的内接正三角形和内接正方形的概念及其性质。
同圆的内接正三角形指的是一个三角形的三个顶点都位于同一个圆的圆周上，并且三个顶点所对应的圆心角都为60的特殊三角形。
内接正方形指的是一个正方形的四个顶点都位于同一个圆的圆周上的特殊方形。
这两种几何形体具有独特的性质，对于解决某些几何问题有着重要的作用。
其次，可以提及本文的目的和意义。
研究同圆的内接正三角形和内接正方形的面积，旨在探究它们之间的数学关系和几何特性。
通过分析和比较它们的面积计算方法，可以深入理解几何形体的性质和几何学的基本原理。
这对于提升数学思维、加深对几何学的理解以及应用数学知识解决实际问题具有重要意义。
最后，可以简要介绍文章的结构和内容安排。
本文将分为引言、正文和结论三部分。
其中，引言部分介绍了同圆的内接正三角形和内接正方形的概念、目的和意义。
正文部分将详细探讨同圆的内接正三角形和内接正方形的定义、性质、构造方法以及面积计算等内容。
结论部分将对文章进行总结，并提出一些讨论和思考的问题。
通过以上的概述，读者可以对本文的主题和内容有一个初步的了解，为接下来的阅读打下基础。
接下来，我们将进入正文部分，详细介绍同圆的内接正三角形和内接正方形的相关知识点。
文章结构（Article Structure）本文将从引言、正文和结论三个部分来探讨同圆的内接正三角形与内接正方形的面积。
以下是各部分的详细内容：1. 引言（Introduction）1.1 概述：在这一部分，我们将介绍同圆的内接正三角形和内接正方形，并强调它们在几何学中的重要性。
1.2 文章结构：这一小节将详细说明本文的结构和各个部分的内容，以帮助读者更好地理解文章的整体框架。
1.3 目的：在这一段，我们将明确本文的目标和研究问题，即探讨同圆的内接正三角形和内接正方形的面积计算方法。
中考复习讲义 第2章对称图形 2.4 圆周角定理与圆内接图形(含参考答案)
圆周角定理与圆内接图形圆心角和圆周角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．5. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．6. 圆的基本性质有：⑴ 直径所对的圆周角是直角． ⑵ 同弧所对的圆周角相等．⑶ 经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦． 7. 不在同一直线上的三个点确定一个圆 8. 圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角模块一 圆周角定理【例1】 若O e 的一条弧所对的圆周60︒，则这条弧所对的圆心角是（ ）A ．30︒B ．60︒ Ｃ．120︒Ｄ．以上答案都不对【答案】Ｃ【例2】 如图，BC 是圆O 的弦，圆周角50ABC ∠=︒,则OCA ∠的度数是_______BCAO【答案】40︒【例3】 如图，O e 正方形ABCD 的外接圆，点P 在O e 上，则APB ∠等于（ ）自检自查必考点中考必做题OP DCBAA ．30︒B ．45︒C ．55︒D ．60︒ 【答案】45︒【例4】 如图，点C 在O e 上，将圆心角AOB ∠绕点O 按逆时针方向旋转到''A OB ∠,旋转角为α，（0α︒<<180︒）．若30AOB ∠=︒,'40BCA ∠=︒,则α∠=_______OA'BA【答案】110︒【例5】 如图，AB 是O e 的直径，CD 是O e 的弦。
解三角形完整讲义（精心整理）
解三⾓形完整讲义（精⼼整理）正余弦定理知识要点：1、正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2、余弦定理：2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C=+-=+-=+-或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??+-?=+-=.3、解斜三⾓形的常规思维⽅法是：（1）已知两⾓和⼀边（如A 、B 、C ），由A+B+C=π求C ，由正弦定理求a 、b ；（2）已知两边和夹⾓（如a 、b 、c ），应⽤余弦定理求c 边；再应⽤正弦定理先求较短边所对的⾓，然后利⽤A+B+C=π，求另⼀⾓；（3）已知两边和其中⼀边的对⾓（如a 、b 、A ），应⽤正弦定理求B ，由A+B+C=π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C=π，求⾓C 。
4、判定三⾓形形状时，可利⽤正余弦定理实现边⾓转化，统⼀成边的形式或⾓的形式.5、解三⾓形问题可能出现⼀解、两解或⽆解的情况，这时应结合“三⾓形中⼤边对⼤⾓定理及⼏何作图来帮助理解”。
6、已知三⾓形两边a,b,这两边夹⾓C ，则S ＝1/2*absinC7、三⾓学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ?+?=，… 8、两内⾓与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sinA ．cosA>sinB 且cosB>sinA B ．cosAC ．cosA>sinB 且cosBD ．cosAsinA 9、三⾓形内切圆的半径：2S r a b c ?=++，特别地，2a b c r +-=斜直正弦定理专题：公式的直接应⽤ 1、已知ABC △中，a =b =60B =，那么⾓A 等于（）A ．135B ．90C ．45D ．30 2、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ C ）A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150°3、ABC △的内⾓A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ===，则等于（）AB．2CD4、已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则a 等于（B ） A ．4B.5、在△ABC 中，＝10，B=60°,C=45°,则c 等于（ B ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3106、已知ABC ?的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若31si n =A ，B b sin 3=，a则a 等于．（33） 7、△ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于（A ）A.3212D.28、△ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三⾓形⾯积分成3:2两部分，则cos A =（C ）A.13B.12C.34D.0 9、在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos b a b B a A -=-。
高三复习-内接三角形性质
内接三角形性质
性质：在同圆内，等边三角形将圆分成相等的三段弧。
三角形的三个顶点为圆的三等分点。
三角形的一个角等于它所对的边与圆心相连所形成的夹角的一半。
在同圆或等圆内，三角形的三个顶点均在同一个圆上的三角形叫做圆内接三角形。
三顶点都在一个圆周上的三角形，叫做这个圆周的内接三角形，而这个圆周叫做该三角形的外接圆。
任何一个三角形都有且仅有一个外接圆，外接圆的中心是三角形三边中垂线的交点；如果三角形是锐角三角形时，那么外接圆的中心在三角形的内部，如果是钝角三角形时，那么外接圆的中心则在三角形的外部，在直角三角形时，外接圆的中心则是斜边的中点。
三角形的外接圆有关定理：三角形各边垂直平分线的交点，是外心。
外心到三角形各顶点的距离相等。
外心到三角形各边的垂线平分各边。
三角形的内切圆有关定理：三角形各内角平分线的交点，是内心。
内心到三角形各边的距离相等。
三角形任一顶点到内切圆的两切线长相等。
三角形顶点到内切圆的切线长，是这点到圆心的距离与它圆外部分的比例中项。
圆的内接三角形性质
圆的内接三角形性质圆的内接三角形是指三角形的三个顶点都在同一圆周上的三角形。
在圆的内接三角形中，有一些特殊的性质。
1. 定理1：圆的内接三角形的三条边的垂足都在圆的直径上。
证明：设三角形ABC的内心为I，垂足分别为D、E、F。
过I的垂线交边AB、AC、BC分别于D'、E'、F'。
根据正弦定理，有：$\\frac{ID'}{sin\\angle AIB}=\\frac{BD'}{sin\\angleABI}=\\frac{CD'}{sin\\angle CBI}=\\frac{BD'+CD'}{sin\\angle BCI}$又因为$\\angle BID'+\\angle CID'=180^\\circ$，因此$\\angleCBI=\\angle ABI$，所以上述式子可以变为：$\\frac{ID'}{sin\\angle AIB}=\\frac{BD'+CD'}{sin\\angle ABI}$同理，可以得到$\\frac{IE'}{sin\\angle BIC}=\\frac{CE'+AE'}{sin\\angle BCI}$和$\\frac{IF'}{sin\\angle CIA}=\\frac{AF'+BF'}{sin\\angle ABI}$。
将三式相加，得到：$\\frac{ID'}{sin\\angle AIB}+\\frac{IE'}{sin\\angleBIC}+\\frac{IF'}{sin\\angleCIA}=\\frac{AF'+BF'+CE'+AE'+BD'+CD'}{sin\\angle ABI}$又因为$\\angle AIB+\\angle BIC+\\angle CIA=180^\\circ$，因此上式可以变为：$\\frac{ID'}{sin\\angle AIB}+\\frac{IE'}{sin\\angleBIC}+\\frac{IF'}{sin\\angle CIA}=2$又因为$\\angle AIB=\\angle BIC=\\angle CIA=90^\\circ$，因此上式可以变为：$ID'+IE'+IF'=2$因此，D、E、F三点共线，且都在圆的直径上。
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圆内接三角形复习讲义
一、基础知识点
[顶点]三个顶点 [圆] 圆内接三角形的三个顶点在圆上
[边]三条边 [弦]圆内接三角形的每条边都是圆的弦
[公共点]每相邻的边有公共点
[角]三个角 [圆周角] 圆内接三角形的每个角都是一个圆周角
[邻角] 每相邻两角有一条公共边
[和] 三个角的和为180度
[顶点在圆上]如果一个三角形的顶点在圆上，则这个三角形是圆内接三角形
[边是弦]如果一个三角形的边都是一个圆的弦，则这个三角形是圆内接三角形
圆的内接多边形
圆的外切三角形
二、知识的应用（例题）
模型三：圆内接等腰三角形模型
构成部分：如图1、1—1、2 ，⊙O、等腰△ABC（AB=AC）
本质：
角度一：位置关系
等腰△ABC的三个顶点在⊙O上
角度二：圆心O
1、如图1、1—1、2，过A作AD⊥BC于D过A作AD⊥BC于D，交⊙O于E，设⊙O的半径为
R，AD=h，底边BC=a，则
（1）△ABC为锐角△⇔圆心O在三角形的内部（如图1、1）
△ABC为钝角△⇔圆心O在三角形的外部（如图1、2）
（2）圆和它的内接等腰三角形组成的图形是轴对称图形，对称轴是底边的中垂线（1条）
→圆心O 在直线AD 上（垂径定理模型）⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-===→2222a R h R BE CE AC ，AB 弧弧弧弧 （3）∠BOD=∠BAC=ACB ∠-︒2180（如图1、1）
∠BOD=2∠ACB （如图1、2）
2、 延长BO 交⊙O 于F ，连结CF →FC OD BCF OD 2
1平行且等于的中位线为→∆
3、 连结OC ，若∠BAC=为菱形四边形ABOC →︒120
模型四：圆内接三角形内角平分线模型
构成部分：如图1，⊙O ，△ABC ，∠BAC 的角平分线AE ，
本质 ：
角度一：位置关系（如图1）
1、 △ABC 的三个顶点在⊙O 上→点O 为△ABC 的外心→外心到三个顶点的距离相等 →外心是三角形三边垂直平分线的交点
2、∠BAC 的角平分线与BC 交于点D ，与⊙O 交于点E ，
角度二：角平分线与⊙O 的交点E
1、如图1，连结BE 、CE ，则 （1） ⎪⎩
⎪⎨⎧=→→DC BD AC AB EC =BE EC 弧=BE 弧 （2） 母子相似三角形模型 和相交弦模型
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧•-•=→•=••=→∆∆∆•=→∆∆∆→CD BD AC AB AD AE AD AC AB EA ED EC EDC ECA BDA EA ED EB EDB EBA CDA 222相似于相似于相似于相似于
2、如图2，过E 作直线GF ，交直线AB 于G ，交直线AC 于F ，则
（1）BC ∥GF ⇔GF 与⊙O 切于点E
说明：在①AE 平分∠BAC ，②BC ∥GF ，③GF 与⊙O 切于点E 中，任取两个可以推出第三
个
（2）BC ∥GF 或GF 与⊙O 切于点E
⎩⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆→EAB
EBD CAD FAE FEC EAC ECD BAD GAE GEB 相似于相似于相似于相似于相似于相似于相似于相似于
（3）如图6，EM 为切线，AB 为直径
→AF ⊥EF ()⎪⎩⎪⎨⎧•=→∆∆→AF
AB AE ABE Rt AEF Rt A EF BC 2相似于字模型平行平行于 说明：在 ① AE 平分∠BAC ②EM 为切线 ③ AF ⊥EF 中，任意两个成立可以推出第三个
（4）如图5，过B 作切线BK 交AE 的延长线于点K
⎩⎨⎧←••∠→AKB
∽BKE △ BE AK =BK AB CBK BE 平分
3、如图3，过E 作EN ⊥AB 于N ，作EM ⊥AC 于M ，
→ △BNE ≌△CME ⇒BN=CM →AB+AC=2AM=2AN
角度三：△ABC 的内心
如图4， I 为内心，AI 交BC 于D ，交⊙O 于E ，则
⎪⎩
⎪⎨⎧•===→DE AE IE CE IE BE 2 三、练习题
1、等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的（ ）
A 、2倍
B 、3倍
C 、4倍
D 、5倍
2、、以三角形内切圆在三边上的切点为顶点的三角形一定是（ ）
A 、锐角三角形
B 、钝角三角形
C 、直角三角形
D 、无法唯一确定
3、如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，
直线OP 交⊙O 于点D 、E ，交AB 于C ，请你根据已知条件，
写出图中五个成立的结论。
（半径相等除外）
1、如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC，
求证：DE是⊙O的切线。
5、已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，CD是△ABC中AB边上的高，
求证：AC·BC=AE·CD
第七步：对知识的重要下位分析。