外接球半径常见的求法
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.多面体几何性质法例1 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法 例2，则其外接球的表面积是 . 解正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例3 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，CDAB SO 1图3于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.公式法例4 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 小结：巩固练习： 1.三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2.在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ABC ⊥平面,12,2AA BC BAC π==∠=，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）A O DB图4A．323πB．16π C．253πD．312π3.四面体ABCD中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD的外接球的表面积（）A．25π B．45π C．50π D．100π4.已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为．5.已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。
例谈多面体外接球半径的常见求法
例谈多面体外接球半径的常见求法湖北省荆州市沙市第五中学张胜言求棱锥、棱柱的外接球半径、表面积、体积的问题在近几年各地的高考模拟题和全国高考试题中经常出现，这是高考的重点，也是学生学习的难点.困难表现在两个方面：一是找不到外接球球心的位置，二是如何采用适当的方法求外接球的半径.下面例谈几类多面体外接球半径的常见求法.方法一：首先构造简单的几何体，如长方体、正方体、三棱柱等，易作出这些简单几何体的外接球，从而求解.定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.一、长方体、正方体外接球的半径1.长方体：因为长方体外接球半径是体对角线长的一半，设长方体长、宽、高分别为c b a ,,，外接球半径为R ，则2222c b a R ++=（如图1）.2.正方体：设正方体棱长为a ，外接球半径为R ，则a R 23=（如图2）.二、三棱柱外接球半径1.底面是直角三角形的直三棱柱：把三棱柱补成长方体，易求（如图3）.设底面三角形两直角边长分别为b a ,，直三棱柱高为c ，则外接球半径为R ，则2222c b a R ++=.2.正三棱柱：（如图4），正三棱柱球心O 在两底面中心21O O ，的中点处，设底面边长为a ，高为h ，外接球半径为R ，构造11OO A Rt ∆，则，，R OA hOO ==112a a D A O A 33233232111=⨯==，22233⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=h a R 三、三棱锥外接球半径c bO a 图1O a图2c b O aACB A 1C 1B 1图3AC BO B 1DC 1A 1O 1O 2a h R 图4AB DC图51.三条棱互相垂直的三棱锥：把它补成以这三条互相垂直的棱为长、宽、高的长方体，易求.（如图5）2.三组相对棱分别相等的三棱锥：（如图6），把它补成以这三组棱分别为面对角线的长方体，设c BD AC b AD BC a CD AB ======,,，设长方体长、宽、高分别为z y x ,,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222c x z b z y a y x ，2222222c b a z y x ++=++，()422222222c b a z y x R ++=++=.3.正四面体：设棱长为a ，外接球半径为R ，由2易知a R 46=.例题1：如图7，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，FA 折成一个三棱锥AEF B -（使点D C B ,,重合于点B ），则三棱锥AEF B -的外接球半径为.【解】在正方形ABCD 中，︒=∠=∠=∠90EBA FCE ADF ，所以折成三棱锥后，可将其转化为以)(,,DF BF BE AB 为棱的长方体，62224222=++=∴R 练习1：已知四面体ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，若⊥PB 平面ABC ，AC AB ⊥，且1=AC ，2==AB PB ，则球O 的体积为.例题2：已知正三棱柱111C B A ABC -的体积为2,32==AB V ，则该三棱柱外接球的表面积为.【解】如图8，设三棱柱的高为h ，3243S 2111=⨯=∆C B A ，2,332,=∴=∴=h h Sh V 11=∴OO ，3322233232111=⨯⨯==D A O A ，3713322221211=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∴OO O A R ，ππ32842==∴R S 练习2：已知三棱柱111C B A ABC -侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱体积Cc b O a D A B x y z图6AB FE图7（2）ACB 1B O DC 1A 1O 1O 2R 图8︒=∠===602AB ,1,62BAC AC V ，，则该球表面积为.方法二：由定义法求多面体外接球半径.这类问题关键是找出球心O 位置：一般地，先在一个面上找到一点1O 到其余各点距离相等，球心O 就在经过点1O 并垂直于该平面的直线l 上，构造出两个直角三角形，利用勾股定理解方程组求出R .例题3：已知三棱锥ABC S -所有顶点都在球O 的球面上，且⊥SC 平面ABC ，若1===AC AB SC ，︒=∠120BAC ，则球O 的表面积为.【解】如图9，作菱形ABCD ，则︒=∠=∠6021BAC DAC 易得ACD∆为正三角形D ∴为ABC ∆外接圆的圆心，⊥∴OD 平面ABC ，又⊥SC 平面ABC ，SC OD ∥∴，过点O 作SC OE ⊥，垂足为E ，R OS OC ==，设x CE OD ==，则x SE -=1，在OSE Rt OCD Rt ∆∆,中有：()⎩⎨⎧=-+=+222222111R x R x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2521R x 所以球的表面积为πππ5254422=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==R S .练习3：若三棱锥ABC P -的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为（）A.64π B.32π C.16π D.8π方法三：对于一些特殊的图形，利用其特有的性质找到外接球球心，直接求解.例题4：在三棱锥ABC S -中2==BC AB ，2==SA SC ，6=SB ，若C B A S ,,,在同一球面上，则该球的表面积是（）A.68 B.π6C π24 D.π6【解】如图10，2==BC AB ，2==SA SC ，6=SB ，在SAB ∆中，由于222SB AB SA =+，故︒=∠90SAB ，同理︒=∠90SCB ，故SB 的中点是三棱锥ABC S -外接球的球心O ，从而半径为26=R ，所以该球的表面积为ππ62642=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=S ，选D.练习4：已知三棱锥ABC -S 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面⊥SCA 平面SCB ，BC SB AC SA ==，，三棱锥ABC -S 的体积为9，则球O 的表面积为.图9SCRRE BAO D图10AOS CB A FE D CB 图7（1）（附练习题答案：1、29π=V ；2、π36=S ；3、选A ；4、π36）。
多面体外接球半径常见的5种求法
多面体外接球半径常见的5种求法公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离2d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =.练习1 （2003，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）3π B. 4πC. D. 6π2（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.A. 27B. 2C. 8D. 243 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，O 的体积等于 .4（2008年安徽高考题）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若6,AB =，则B 、C 两点间的球面距离是 .寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截CDAB SO 1图3面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C.外接球内切球问题1. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ． 43 D ．123答案 B2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
内接球和外接球半径计算公式
内接球和外接球半径计算公式
内接球和外接球是几何学中的概念，它们分别是指一个多面体内部最大的（最小的）球和一个多面体外部最小的（最大的）球。
下面是内接球和外接球的半径计算公式。
（以下解释中，我们以正四面体为例）
内接球半径计算公式：
正四面体的内接球是四面体内部最大的球，它的半径可以通过正四面体的棱长计算得出。
设正四面体的棱长为a，则正四面体的内接球半径R为：
R = a / (2√3)
其中√3表示根号下3，也就是3的平方根。
该公式适用于所有正多面体内接球的半径计算。
外接球半径计算公式：
正四面体的外接球是四面体外部最小的球，它的半径可以通过正四面体的边长计算得出。
设正四面体的边长为a，则正四面体的外接球半径r为：
r = a / (2√6)
其中√6表示根号下6，也就是6的平方根。
该公式同样适用于所有正多面体外接球的半径计算。
需要注意的是，以上公式仅适用于正多面体，对于其他不规则多面体，内接球和外接球的半径计算需要用到其他方法。
多面体外接球半径常见的求法
多面体外接球半径常见求法知识回顾：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
一、公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .小结本题是运用公式222R r d=+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.三、补形法例3，则其外接球的表面积是 .小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R=变式1：变式2：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）A ．26a πB ．29a πC ．212a πD ．224a π四、寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积变式2：正三棱锥的高为 1，底面边长为 。
三棱锥外接球半径常见解法
特殊三棱锥外接球半径的常见求法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
ππ642
6
2===
R S R ，
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、 寻找底面△PBC 的外心；
2、 过底面的外心作底面的垂线；
3、 外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：),,(z y x O .由→
→
→
→
===OC OB OA OP 可得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、 补形法；
2、轴截面法；
3、向量法.
【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】【轴截面法】
【轴截面法】
练习3 【补形法】。
多面体外接球半径常见的五种求法
例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为３，则这个球的体积为.
解设正六棱柱的底面边长为 ，高为 ，则有
∴正六棱柱的底面圆的半径 ，球心到底面的距离 .∴外接球的半径 . .
小结本题是运用公式 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
寻求轴截面圆半径法
例4正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点 都在同一球面上，则此球的体积为.
解设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为 ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得 .
又 ，∴球心 必在 所在的直线上.
∴ 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在 中，由 ，得 .
确定球心位置法
例5在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一Leabharlann 直二面角 ，则四面体 的外接球的体积为
A. B. C. D.
解设矩形对角线的交点为 ，则由矩形对角线互相平分，可知 .∴点 到四面体的四个顶点 的距离相等，即点 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径 .故 .选C.
∴ .
∴ 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故 .
小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
多面体几何性质法
例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A. B. C. D.
解设正四棱柱的底面边长为 ，外接球的半径为 ，则有 ，解得 .
外接球半径求法
外接球半径求法
外接球半径是指一个几何体的外接球的半径，它可以通过该几何体的某些特征来求解。
以下是几种常见的求解方法：
1. 对于正四面体、正六面体、正八面体等正多面体，其外接球半径可以直接通过公式计算得出。
例如，对于正四面体，其外接球半径R等于边长a乘以根号2除以4，即R=a√2/4。
2. 对于任意三角形ABC，其外接圆的半径R可以通过三角形的三边长度a、b、c来计算。
具体而言，可以使用海伦公式计算三角形的面积S，然后通过公式R=abc/4S求解外接圆半径R。
其中a、b、c分别为三角形的三边长度。
3. 对于任意四面体ABCD，其外接球半径可以通过四个顶点之间的距离来计算。
具体而言，假设四个顶点分别为A、B、C和D，则可以先计算出任意两个顶点之间的距离（如AB、AC等），然后使用这些距离来计算四面体各个侧面上三角形的面积，并使用这些面积来计算四面体总表面积S。
最后使用公式R=abc/4S求解出外接球半径R。
以上是几种常见的求解外接球半径的方法，不同的几何体可能需要使
用不同的方法来求解。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来计算外接球半径。
三棱锥外接球半径常见解法含答案解析
三棱锥外接球半径常见解法含答案解析在立体几何中，求三棱锥外接球半径是一个常见且重要的问题。
掌握有效的解法不仅能够帮助我们解决具体的数学题目，还能加深对空间几何关系的理解。
下面将为大家介绍几种常见的求解三棱锥外接球半径的方法，并通过具体的例子进行答案解析。
一、补形法补形法是一种常用的技巧，通过将三棱锥补成一个特殊的几何体，如长方体、正方体等，然后利用这些特殊几何体的外接球半径与原三棱锥外接球半径的关系来求解。
例如，对于墙角三棱锥（三条侧棱两两垂直的三棱锥），我们可以将其补成长方体。
设三棱锥的三条侧棱长分别为＼（a\）、＼（b\）、＼（c\），则长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径＼（2R\），根据长方体体对角线公式可得：＼＼begin{align}2R&＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}＼＼R&＝＼frac{＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}｝｛2}＼end{align}＼例 1：已知三棱锥＼（P ABC\）中，＼（PA\perp PB\），＼（PB\perp PC\），＼（PC\perp PA\），且＼（PA ＝ 3\），＼（PB ＝4\），＼（PC ＝ 5\），求其外接球半径。
解：将三棱锥＼（P ABC\）补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径。
＼＼begin{align}2R&＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2 ＋ 5^2}＼＼＆＝＼sqrt{9 ＋ 16 ＋ 25}＼＼＆＝＼sqrt{50}＼＼＆＝5\sqrt{2}＼end{align}＼所以，外接球半径＼（R ＝＼frac{5\sqrt{2}｝｛2}＼）二、确定球心位置法通过寻找三棱锥外接球的球心位置，利用球心到各顶点的距离等于外接球半径来求解。
对于正三棱锥，球心通常在高线上。
设正三棱锥底面边长为＼（a\），高为＼（h\），底面外接圆半径为＼（r\）（可由正弦定理求得＼（r ＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}a\）），球心到底面距离为＼（d\），则根据勾股定理有：＼＼begin{align}R^2&＝d^2 ＋ r^2\＼d&＝h R＼end{align}＼联立可得＼（R\）的表达式。
多面体外接球半径常见的五种求法
多面体外接球半径常见的5种求法文/xx如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为３，则这个球的体积为.86x3,1x,x2解设正六棱柱的底面边长为，高为h，则有932xh,64h3．8∴正六棱柱的底面圆的半径r31，球心到底面的距离d.∴外接球的半径22R r2d21.V球4.3222小结本题是运用公式R r d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32解设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有4x16，解得x2.∴2R 222224226,R6.∴这个球的表面积是4R224.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有2R223232329.∴R29.4故其外接球的表面积S4R9.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R a2b2c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得OO1平面ABCD.DCO1图3BS又SO1平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线xx.∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASCxx，由SA SC A2，AC2，得SA2SC2AC2.∴ASC是以AC为斜边的Rt.∴AC4.1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球23小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为125125A.B.C.D.12963解设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD.∴点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半541253.选C.径R OA.故V 球R236DCBAO图4。
高中三棱锥外接球半径万能公式
高中三棱锥外接球半径万能公式在三棱锥中，底面三角形的边长是指连接三个底面顶点的线段的长度，通常用a、b和c来表示。
三棱锥的高指从顶点到底面的垂直距离，通常用h来表示。
外接球是指与三棱锥的底面三角形相切于三个顶点的球。
外接球半径的求法有个万能公式，即利用三角形的边长和高来计算。
推导过程如下：设外接球的半径为R，并连接三棱锥底面三角形的三个顶点到球心分别得到三个半径，分别记作R1、R2和R3、根据三棱锥底面三角形的任意一边的中线，可以得到如下等式：R1^2+R^2=h1^2R2^2+R^2=h2^2R3^2+R^2=h3^2其中，h1、h2和h3分别表示从球心到三个顶点的距离。
在三棱锥中，底面三角形的边长与高的关系可以用海伦公式表示：S = sqrt(p×(p-a)×(p-b)×(p-c))其中，S表示底面三角形的面积，a、b和c表示底面三角形的边长，p表示底面三角形的半周长，即：p=(a+b+c)/2由于底面三角形是一个等边三角形，所以a=b=c，可以将上述海伦公式进一步简化为：S = sqrt(3a(a-x))其中，x表示三角形的高。
通过上述公式，我们可以得到底面三角形的高x的表达式：x = (sqrt(3)/2)a将x代入前面求R1、R2和R3的等式中：R1^2 + R^2 = (sqrt(3)/2)a^2R2^2 + R^2 = (sqrt(3)/2)a^2R3^2 + R^2 = (sqrt(3)/2)a^2对上述等式进行整理，得到：R1^2 = (sqrt(3)/2)a^2 - R^2R2^2 = (sqrt(3)/2)a^2 - R^2R3^2 = (sqrt(3)/2)a^2 - R^2将R1、R2和R3带入外接球的半径公式中：R^2 + R^2 + R^2 = (sqrt(3)/2)a^2 - R^23R^2 = (sqrt(3)/2)a^2R = (sqrt(3)/2)a/√3R=√3a/6综上所述，高中三棱锥外接球的半径R的万能公式为：R=√3a/6，其中a表示底面三角形的边长。
求外接球的半径的八种模型
求外接球的半径的八种模型介绍在几何学中，求解外接球的半径是一个常见的问题。
外接球是指完全包含一个立体形状的球，这个球的半径与这个形状的属性有关。
在这篇文章中，我们将讨论求解外接球半径的八种模型。
模型1：立方体立方体是指所有边长相等的长方体。
通过立方体的对角线长度可以求得外接球的半径。
半径 R = d / 2，其中 d 为立方体的对角线长度。
这公式也适用于正四面体。
模型2：正六面体正六面体的外接球半径 R 可以通过下列公式计算：R = √3s/2，其中 s 为正六面体边长。
这个公式也同样适用于正八面体和正十二面体。
模型3：正方体十二面体正方体十二面体可以看作是一个立方体的扩展形态。
可以使用下列公式计算外接球的半径：R = s√2/2，其中 s 为正方体十二面体的边长。
同样的公式也可以用于正八面体。
模型4：跨踞立方体所谓跨踞立方体是指一个立方体围绕着对角线进行了旋转。
这个形状的外接球半径可以使用下列公式计算：R = √3s，其中 s 为跨踞立方体的边长。
模型5：圆锥圆锥的外接球半径可以使用下列公式计算：R = √(h² + r²)，其中 h 是圆锥的高度，r 是底面的半径。
这个公式也适用于棱锥。
模型6：圆柱圆柱的外接球半径可以使用下列公式计算：R = √(h² + r²)，其中 h 为圆柱的高度，r 是底面的半径。
这个公式同样适用于棱柱。
模型7：三棱锥三棱锥是一个底面为三角形，侧面为三角形和三条棱的多面体。
外接球半径可以使用下列公式计算：R = abc/√(a＋b＋c)×(b＋c−a)×(c＋a−b)×(a＋b−c)其中 a、b、c 分别为三角形各边的边长。
模型8：平面多边形平面多边形的外接球半径可以使用下列公式计算：R = abc / 4 K，其中 a、b、c 分别为多边形的各边的边长，K 为多边形的面积。
总结通过这八种模型，我们可以求解出不同形状下的外接球半径。
多面体外接球半径常见的五种求法
多面体外接球半径常见的5种求法文/xx如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为３，则这个球的体积为.86x3,1x,x2解设正六棱柱的底面边长为，高为h，则有932xh,64h3．8∴正六棱柱的底面圆的半径r31，球心到底面的距离d.∴外接球的半径22R r2d21.V球4.3222小结本题是运用公式R r d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32解设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有4x16，解得x2.∴2R 222224226,R6.∴这个球的表面积是4R224.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有2R223232329.∴R29.4故其外接球的表面积S4R9.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R a2b2c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得OO1平面ABCD.DCO1图3BS又SO1平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线xx.∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASCxx，由SA SC A2，AC2，得SA2SC2AC2.∴ASC是以AC为斜边的Rt.∴AC4.1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球23小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为125125A.B.C.D.12963解设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD.∴点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半541253.选C.径R OA.故V 球R236DCBAO图4。
求外接球的半径的八种模型
求外接球的半径的八种模型求外接球的半径是几何学中的一个重要问题，它涉及到多种不同的模型和方法。
在本文中，我将介绍八种常见的模型来求解外接球的半径。
第一种模型是三角形外接球模型。
对于给定的三角形，我们可以通过三角形的三条边来求解外接球的半径。
根据三角形的边长，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积，进而求解外接球的半径。
第二种模型是四面体外接球模型。
对于给定的四面体，我们可以通过四面体的四个顶点来求解外接球的半径。
通过计算四面体的体积和表面积，我们可以应用相关公式来求解外接球的半径。
第三种模型是正多边形外接球模型。
对于给定的正多边形，我们可以通过正多边形的边长来求解外接球的半径。
利用正多边形的边长和边数，我们可以应用特定公式来求解外接球的半径。
第四种模型是圆锥外接球模型。
对于给定的圆锥，我们可以通过圆锥的底面半径和高度来求解外接球的半径。
通过计算圆锥的侧面积和底面积，我们可以利用相关公式来求解外接球的半径。
第五种模型是圆柱外接球模型。
对于给定的圆柱，我们可以通过圆柱的底面半径和高度来求解外接球的半径。
通过计算圆柱的侧面积和底面积，我们可以应用特定公式来求解外接球的半径。
第六种模型是圆锥台外接球模型。
对于给定的圆锥台，我们可以通过圆锥台的上底面半径、下底面半径和高度来求解外接球的半径。
通过计算圆锥台的侧面积和底面积，我们可以利用相关公式来求解外接球的半径。
第七种模型是圆柱台外接球模型。
对于给定的圆柱台，我们可以通过圆柱台的上底面半径、下底面半径和高度来求解外接球的半径。
通过计算圆柱台的侧面积和底面积，我们可以应用特定公式来求解外接球的半径。
第八种模型是球冠外接球模型。
对于给定的球冠，我们可以通过球冠的底面半径和高度来求解外接球的半径。
通过计算球冠的表面积和底面积，我们可以利用相关公式来求解外接球的半径。
通过以上八种模型，我们可以根据不同几何形状的特点来求解外接球的半径。
这些模型涵盖了常见的几何形状，可以应用于不同的求解问题。
几何体外接球半径常见的求法
多面体外接球、内切球半径的求法 与球有关的问题，一种是内切，一种是外接。
作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。
解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。
一：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。
注：1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
r S V 表31= 练习：设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则cb a S r ++=2，类比这个结论：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于（ ）A ．4321S S S S V +++B ．43212S S S S V +++C ．43213S S S S V +++D ．43214S S S S V +++ （等体积法：()R S S S S V V V V V SBC O SAC O SAB O ABC O ⨯+++=+++=----432131，所以43213S S S S V R +++=．） 二：1、球的表面积公式 ，球的体积公式 。
2、球的截面性质：截面圆的半径r 与球心到截面的距离d 和球的半径R 的关系是 。
例1.(1)．用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）A ．320πB ．3520π C ．π520 D ．3100π （2）在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π．求球的表面积． （3） 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．（4）已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．(5)．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比（ ）A ．316B ．916C ．38D ．932（6）棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ．22 B ．1 C ．212+ D ．2[（7）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3C 、1372π3cm 3D 、2048π3cm 3(8)已知正三角形C AB 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面C AB 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是（ ）A ．74π B ．2π C ．94π D ．3π 三：平面图形外接圆半径的求法a 、直角三角形的外接圆半径b 、等边三角形的外接圆半径c 、三角形外接圆半径的公式（正弦定理）d 、矩形的外接圆半径e 、是不是任何平面四边形都有外接圆（内对角互补的平面四边形有外接圆）f 、若平面四边形有外接圆，则求其中三点构成的三角形的外接圆即可（正弦定理）g 、三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，则正弦定理：r Cc B b A a 2sin sin sin === 余弦定理： abc b a C ac b a c B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+= 练习： 平面四边形ABCD 中，AB=1，AD=3，∠BAD=60º,AB ⊥BC,AD ⊥CD,则四边形ABCD 外接圆的半径r= . 四：几个结论1、空间四边形OABC 中，若0A=0B=0C,在O 在平面ABC 内的射影是△ABC 的 心。
长方体外接球半径公式是什么
长方体外接球半径公式是什么
长方体外接球半径公式是一种用来计算长方体外接球半径的公式，它可以帮助我们计算出长方体外接球的半径。
长方体外接球半径公式是：R=√(a²+b²+c²)/3，其中a、b、c分别代表长方体的三个边长。
长方体外接球半径公式的应用非常广泛，它可以用来计算出长方体外接球的半径，从而帮助我们更好地了解长方体的特性。
例如，如果我们想计算一个长方体的外接球半径，我们可以使用长方体外接球半径公式，将长方体的三个边长输入公式中，就可以得到长方体外接球的半径。
此外，长方体外接球半径公式还可以用来计算出长方体的体积，从而帮助我们更好地了解长方体的特性。
总之，长方体外接球半径公式是一种非常有用的公式，它可以帮助我们计算出长方体外接球的半径，从而更好地了解长方体的特性。
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多面体外接球半径常见求法
知识回顾：
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系：
．
球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ．
球与棱柱的组合体问题
1． 正方体的内切球：
球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2
a R =； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2
2=。
3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2
31==。
一、公式法
例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
98
，底面周长为３，则这个球的体积为 .
小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 图3 图4 图5
二、多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
三、补形法
例3
，则其外接球的表面积是 .
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R
，则有2R =
变式1：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）
A ．26a π
B ．29a π
C ．212a π
D ．2
24a π
四、寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥S ABCD -
S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .
而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思
想方
法值得我们学习.
变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
C D A B S O 1图3
变式1
：底面边长为3的正三棱柱外接球的体积为
3
32π
，则该三棱柱的体积为
五、确定球心位置法
1：三棱锥P ABC
-中，底面ABC
∆是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，且2
PA=，则此三棱锥外接球的半径为（）
A．2B．5C．2D．
3
21
六．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。
例4.已知三棱柱
1
1
1
C
B
A
ABC-的六个顶点在球
1
O上，又知球
2
O与此正三棱柱的5个面都相切，
求球
1
O与球
2
O的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
练习
1、球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18
=
AB，24
=
BC、30
=
AC，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
2、.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且a
PC
PB
PA=
=
=,那么这个球的表面积是______.
图6
3：一棱长为a 2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。
（答案为()332
6243
a a V ==）
4、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
5 、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
6、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 32π
7、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，，则其外接球的表面积是 .
8、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3π
B. 4π
C.
D. 6π
9、已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，，则球O 的体积等于 .
10、已知球面上的三点A 、B 、C ，AB =6，BC =8，AC =10，球的半径为13，求球心到平面ABC 的距离.
11、已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =2，则球面面积是（ ） A.
9π16 B.3π8 π D.9π64。