12排列与组合121排列第一课时排列的概念及排列数公式
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3
第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m8；(3)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (4)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. [解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21(不符合题意，舍去)．∴C m 8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！及C mn ＝A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法． 拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．。
排列与组合的基本概念
排列与组合的基本概念排列与组合是组合数学中的基本概念，它们是用来描述对象排列顺序和选择方式的数学方法。
在数学和计算机科学领域中，排列与组合经常被应用于概率统计、密码学、信息理论等方面。
本文将介绍排列与组合的基本概念及其应用。
一、排列的概念和应用排列是指从N个不同元素中选取M个元素，按照一定的顺序进行排列，共有多少种不同的排列方式。
排列的计算公式为P(N,M)=N!/(N-M)!，其中N!表示N的阶乘，即N! = N*(N-1)*(N-2)*...*1。
排列的应用广泛，比如在密码学中用于生成密码，还可以用于组织活动时的座位安排等。
二、组合的概念和应用组合是指从N个不同元素中选取M个元素，不考虑其排列顺序的选择方式，共有多少种不同的组合方式。
组合的计算公式为C(N,M)=N!/(M!(N-M)!)。
组合也有广泛的应用，比如在概率统计中用于计算事件发生的可能性，还可用于开发适用于多个不同场景的算法等。
三、排列与组合的区别排列与组合的区别主要在于排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
以选取3个人从5个人中进行排列和组合为例：- 排列的结果为选取3个人从5个人中按照一定顺序进行排列，共有5*4*3=60种不同的排列方式。
- 组合的结果为选取3个人从5个人中进行组合，不考虑顺序，共有5*4*3/(3*2*1)=10种不同的组合方式。
四、排列与组合的应用举例1. 在概率统计中，排列与组合被广泛应用于计算事件发生的可能性。
比如在抽奖活动中，如果有10个人参与抽奖，每个人的中奖概率相同，那么中奖的排列数为P(10,1)=10，中奖的组合数为C(10,1)=10。
2. 在密码学中，排列与组合被用于生成密码。
通过将字符排列组合，可生成不同的密码，提高密码的复杂度，增加密码破解的难度。
3. 在信息理论中，排列与组合可以用于计算编码和压缩算法的效率。
通过组合不同的编码方式，可实现更高效的数据传输和存储。
综上所述，排列与组合是组合数学中的重要概念，它们用于描述对象排列顺序和选择方式的数学方法。
第1章-1.2-1.2.1-第1课时 排列与排列数公式
A．6 个
【解析】 符合题意的商有 A2 4＝4×3＝12. 【答案】 C
3．某段铁路所有车站共发行 132 种普通车票，那么这段 铁路共有的车站数是( A．8 B．12 ) C．16 D．24
【解】 设车站数为 n，则 A2 n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.
【答案】 B
4．写出下列问题的所有排列． (1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排； (2)从编号为 1,2,3,4,5 的五名同学中选出两名同学任正、 副班长．
沿途有四个车站，求这四个车 要确定一种车票，即是从四个车站中任意选出 2 个车站，按起点站在前、终点站在后进行排列，共有 A2 4种 不同的排法，即共有 A2 4 种不同的车票，由排列数公式可得 A2 4＝4×3＝12.
树形图法在解决简单排列问题中的应用 (12 分)从 0,1,2,3 这四个数字中，每次取出三个 不同的数字排成一个三位数． (1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数． (2)若组成这些三位数中，1 不能在百位，2 不能在十位， 3 不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三 位数．
【提示】 不是．
排列的概念 一般地，从 n 个不同元素中取出 m( 按照 一定的顺序
m≤n )个元素，
排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取
出 m 个元素的一个排列．
排列数及排列数公式
【问题导思】 两个同学从写有数字 1,2,3,4 的卡片中选取卡片进行组数 字游戏．
1． 从这 4 个数字中选出两个能构成多少个无重复数字的 两位数？
【解】 (1)四名同学站成一排， 共有 A4 4＝24 个不同的排 列，它们是： 甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙， 甲丁丙乙； 乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙， 乙丁丙甲；
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列
答案:6
12
2.排列数公式 (1)排列数公式:A������������ = (���������-������!���)!=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),这里 n,m∈ N+,并且 m≤n. (2)一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元 素的一个全排列. A������������ =n!. (3)规定:0!=1.
12
(2)排列数公式的阶乘表示为
Amn
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n
·(n -1)·(n -2)·…·(n -m +1)·(n -m )·…·2·1 (n -m )·(n -m -1)·…·3·2·1
=(nn-m! )!,即Amn
=
n! (n -m
.
)!
在一般情况下,排列数的第一个公式Amn =n(n-1)·(n-2)…(n-m+1)
∴④式不正确.
答案:C
排列应用题的常见类型及解法有哪些? 剖析排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问 题,绝大多数排列问题都可转化为这两种形式. (1)无限制条件的排列应用题,直接利用排列数公式计算. (2)有限制条件的排列应用题,采用直接法或间接法.应注意以下 几种常见类型:
①含有特殊元素或特殊位置的,通常优先安排特殊元素或特殊位
=
������(������-1)! (������-������)!
=
������! (������-������)!
=
A������������ ,
∴②式正确;③式显然正确;
∵
A������������--11
=
(������-1)! [(������-1)-(������-1)]!
最新高中数学排列与组合知识点
高中数学排列与组合知识点排列组合是高中数学教学内容的一个重要组成部分,但由于排列组合极具抽象性,使之成为高中数学课本中教与学的难点.加之高中学生的认知水平和思维能力在一定程度上受到限制,所以在解题中经常出现错误.以下本人搜集整合了高中数学排列与组合相关知识点，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学排列与组合知识点汇编如下：一、排列1定义(1)从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。
(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Amn.2排列数的公式与性质(1)排列数的公式：Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)特例：当m=n时，Amn=n!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1规定：0!=1二、组合1定义(1)从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。
2比较与鉴别由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。
排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。
因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。
三、排列组合与二项式定理知识点1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)2.排列(有序)与组合(无序)Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n-m)!Ann=n!Cnm=n!/(n-m)!m!Cnm=Cnn-m Cnm+Cnm+1=Cn+1m+1k•k!=(k+1)!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+…+Cn n-1abn-1+Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。
12排列与组合121排列第一课时排列的概念及排列数公式
2.从1,2,3,4中任取两个数字组成平面直角坐标系中一个点的 坐标,则组成不同点的个数为( ) 答案:C
A.2
B.4
C.12
D.24
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第一章 计数原理
3.全排列 (1)定义:n 个不同元素全部取出的2)×…×3×2×1＝n！. (3)阶乘:正整数 1 到 n 的连乘积. (4)规定:0！＝1.
是全排列数的一半. 【解】 (1)五名同学站成一排,不同的排列对应不同的站法,
故站法种数为 A55＝5×4×3×2×1＝120. (2)五名同学站好后,甲位于乙右侧或左侧必属其一,故这时的站
法种数为A255＝60.
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第一章 计数原理
【名师点评】 有关基本排列问题的解法:
(1)明确选出的元素有无顺序要求;
第一章 计数原理
解:1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n!
＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
2.证明:Ann＋＋11＝Ann＋1＝(n＋1)Ann.
证明:∵Ann＋＋11＝(n＋1)·n·(n－1)…3·2·1,
Ann＋1＝(n＋1)·n(n－1)…3·2·1,
【名师点评】 判定是不是排列问题,要抓住排列的本质特征,
第一取出的元素无重复性,第二选出的元素必须与顺序有关才
是排列问题.元素相同且排列顺序相同才是相同的排列.元素有
序还是无序是判定是否是排列的关键.
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变式训练 1.判断下列问题是否为排列问题.
第一章 计数原理
(1)从五名同学中选两人分别担任正、副组长;
个排列. (2)两个排列相同,当且仅当两个排列的元素__完__全__相__同__,且元素的 __排__列__顺__序__也相同.
_1.2.1排列第1课时排列与排列数公式 学案-高二数学下学期人教A版选修2-3 第一章计数原理
1．2 排列与组合1．2.1排列第1课时排列与排列数公式[目标] 1.理解排列和排列数的特征.2.正确运用排列数公式进行计算．[重点] 理解排列的概念，会用排列数公式进行计算．[难点] 对排列的有序性的正确理解，排列数公式的逆用．知识点一排列的概念[填一填]1．排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．相同排列两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．[答一答]1．排列的定义中包括哪两个基本内容？提示：排列定义包括两个基本内容：一是“取出的元素不能重复”；二是“按照一定的顺序排列”．2．两个排列若为相同的排列需具备哪些条件？提示：需要具备两个条件：一是元素完全相同，二是元素的排列顺序完全相同．3．判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么？提示：判断一个具体问题是不是排列问题，关键看在安排取出的元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列．知识点二排列数公式[填一填][答一答]4．“排列数”与“一个排列”是否为同一个概念？提示：不是同一概念．“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数；“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”．例如，从a，b，c中任取2个元素的排列有ab，ba，ac，ca，bc，cb，共6个，6就是从a，b，c中任取2个元素的排列数．5．对于排列数A m n中，m，n有什么要求？提示：m、n∈N＋，且m≤n.6．在A m n＝n(n－1)…(n－m＋1)中右边共多少项的乘积．提示：从n，(n－1)，…，(n－m＋1)以上m个数相乘，可得共m项．7．为什么规定0！＝1?提示：为了使公式A m n＝n！(n－m)！在m＝n时也能成立，规定0！＝1，这种规定说明：若一个元素都不取，则构成排列的情形只有1种．1．对排列定义的四点说明(1)定义的两个要素：一是“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素”，要求取出的元素不能重复；二是“按照一定的顺序排列”．(2)定义中“一定顺序”就是说与位置有关，选取的元素相同但顺序不同是不同的排列，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件决定．(3)对于两个排列，只有各元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是相同排列．(4)在定义中规定m≤n，如果m<n，这样的排列只是取一部分元素进行排列，称选排列；如果m＝n，这样的排列是取出所有元素进行排列，称全排列．2．准确理解排列数公式(1)公式中的n，m应该满足n，m∈N*，m≤n，当m>n时不成立．(2)排列数有两个公式，第一个公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为n－m＋1(下标－上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘．(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式，它是一个分式的形式，分子是下标n的阶乘，分母是下标减上标的阶乘，即(n－m)的阶乘，(4)特别地，规定0！＝1.这只是一种规定，不能按阶乘的含义作解释．类型一排列的概念【例1】判断下列问题是否是排列问题：(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值？(3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(4)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1?【分析】由题目可获取以下主要信息：对于(1)，两人当班长，有正副之分；对于(2)，对数的底数与真数交换，其值也不同；对于(3)，点的坐标有横坐标与纵坐标之分；对于(4)，焦点在x轴上的椭圆方程，必须a>b.解答本题，其关键是看问题的结果与选出的元素排列时跟顺序是否有关，有关即是排列问题，否则不是．【解】(1)是．选出的2人分别担任正、副班长，与顺序有关，所以该问题是排列问题；(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关．(3)是．道理同上．(4)不是．焦点在x轴上的椭圆，方程中的a、b必有a>b，a、b的大小一定．排列的特点是“先取后排”，即先从n个不同的元素中取出m个元素，再按一定顺序把这m个元素排成一列.因此，判断一个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排列问题，无关则不是排列问题.将语文、数学、英语书各一本分给甲、乙、丙三人，每人一本，共有多少种不同的分法？请将它们列出来．解：按分步乘法计数原理的步骤：第一步，分给甲，有3种分法；第二步，分给乙，有2种分法；第三步，分给丙，有1种分法．故共有3×2×1＝6(种)不同的分法．列出树形图：如下所以，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英，语英数，数语英，数英语，英语数，英数语．类型二排列数的计算问题【例2】(1)乘积m(m＋1)(m＋2)(m＋3)…(m＋20)可表示为()A ．A 2mB ．A 21mC ．A 20m ＋20D ．A 21m ＋20(2)计算：①A 315；②A 59＋A 49A 610－A 510. 【分析】 按排列数公式计算．【解析】 (1)因为m ，m ＋1，m ＋2，…，m ＋20中最大的数为m ＋20，且共有m ＋20－m ＋1＝21个因式．所以m (m ＋1)·(m ＋2)…(m ＋20)＝A 21m ＋20.(2)解：①A 315＝15×14×13＝2 730.②方法1：A 59＋A 49A 610－A 510＝9×8×7×6×5＋9×8×7×610×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6＝9×8×7×6×(5＋1)10×9×8×7×6×(5－1)＝320. 方法2：A 59＋A 49A 610－A 510＝5A 49＋A 4950A 49－10A 49＝6A 4940A 49＝320. 【答案】 (1)D (2)①2 730 ②3201.排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．(1)设x ∈N *，且x <23，则(23－x )(24－x )(25－x )·…·(30－x )可化简为( D ) A ．A 723－xB ．A 23－x30－xC ．A 730－xD ．A 830－x解析：本题考查排列数公式的应用．先确定最大数，即n ，再确定因式的个数，即m .因为n ＝30－x ，m ＝(30－x )－(23－x )＋1＝8，所以原式＝A 830－x .故选D.(2)计算A 55A 25的值．解：A 55A 25＝5×4×3×2×15×4＝6.类型三 列举法解决排列问题【例3】 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．【解】(1)由题意作树形图，如图．故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．“树形图”在解决个数不多的排列问题时，是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列.将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．解：树形图为(如图)：由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种排法．忽视排列问题中的限制条件致误【例4】在1,2,3,4的排列a1a2a3a4中，满足a1>a2，a3>a2，a3>a4的排列个数是________．【错解】排列的个数是12个或8个．【错因分析】3个限制只注意1个限制条件或2个限制条件．【正解】首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树形图进行筛选．满足a1>a2的树形图是：其次满足a3>a2的树形图是：再满足a3>a4的排列：2 143,3 142,3 241,4 132,4 231，共5个．【答案】 5由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数是12. 解析：本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个．1．下列问题中不属于排列问题的是(B)A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案C．从3,5,7,9中任取两个数做指数运算，可以得到多少个幂D．从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点解析：12名学生分为4组，3人一组无先后顺序，不属于排列问题．2．已知A2n＝132，则n＝(B)A．11 B．12C．13 D．14解析：n(n－1)＝132，n＝12.3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1_560条毕业留言．(用数字作答)解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560条毕业留言．4．计算：(2A412＋A512)÷(A513－A512)＝2.5．如果A32n＝10A3n，求n的值．解：因为A32n＝2n(2n－1)(2n－2)，10A3n＝10n(n－1)(n－2)，从而2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n －1)(n－2)．化简得，n2－9n＋8＝0.解得，n＝8或n＝1(因为n≥3，所以n＝1舍去)，所以n的值为8.。
《排列与组合》的说课稿
《排列与组合》的说课稿引言概述：排列与组合是数学中重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
通过排列与组合的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提高我们的逻辑思维能力和数学素养。
本文将从排列与组合的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、排列的概念1.1 排列的定义：排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列的方式。
1.2 排列的计算公式：排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。
1.3 排列的性质：排列的个数随着元素个数和选取个数的增加而增加，排列的顺序不同则视为不同的排列。
二、组合的概念2.1 组合的定义：组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干个元素进行组合的方式。
2.2 组合的计算公式：组合的计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。
2.3 组合的性质：组合的个数不受元素的排列顺序影响，组合的个数随着选取的元素个数的增加而减少。
三、排列组合的应用3.1 排列组合在概率统计中的应用：排列组合可以帮助我们计算事件发生的可能性，从而进行概率统计的分析。
3.2 排列组合在密码学中的应用：排列组合可以帮助我们设计安全的密码算法，保护信息的安全性。
3.3 排列组合在工程设计中的应用：排列组合可以帮助我们设计出更加合理的工程结构，提高工程的效率和可靠性。
四、排列组合的解题方法4.1 利用计算公式：根据排列组合的计算公式，可以直接计算出排列组合的个数。
4.2 利用递推关系：通过递推关系可以简化排列组合的计算过程，提高解题效率。
4.3 利用实际问题进行练习：通过解决实际问题，可以更好地理解排列组合的概念和应用。
五、总结排列与组合作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
通过学习排列与组合，可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力，为我们的学习和工作带来更多的帮助。
希望大家能够认真学习排列与组合的知识，不断提升自己的数学素养。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式a23a高二23数学
义及表示 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn 表示
全排列的概念
n个不同元素__全__部__(q_uá_nb_ù_)取_的出一个排列
阶乘的概念
把_n_·(_n_－__1_)_·…__·_2_·_1记作n！，读作：n的阶乘
Anm＝___n_(_n_－__1_)…__(_n_－__m__＋__1_) ____
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[跟踪训练] 1．判断下列问题是否是排列问题 (1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？ (2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？
[解] (1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序 排好．有多少个排列就有多少封信，共有A24＝12封信．
题．
()
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[解析] (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺 序也相同．
(2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺 序”有关，属于排列问题．
(3)× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． (4)√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不 同．结果与顺序有关，故属于排列问题． (5)√ 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．
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[自 主 预 习·探 新 知]
1．排列的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照_一__定_(_yī_dì_ng_)_的_顺排序成一列，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．相同排列的两个条件 (1)_元__素__(_yu相án s同ù) ． (2)_顺__序__(s_hù相nxù同) ． 思考：如何理解排列的定义？
2.2 排列与组合的概念与计算公式
排列与组合的概念与计算公式1．排列 （在乎顺序）全排列：n 个人全部来排队，队长为n 。
第一个位置可以选n 个，第二位置可以选n-1个，以此类推得： P(n,n)=n(n-1)(n-2)……3*2*1= n! (规定0!=1).部分排列：n 个人选m 个来排队(m<=n)。
第一个位置可以选n 个，第二位置可以选n-1个，以此类推，第m 个（最后一个）可以选(n-m+1)个，得：P(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n! / (n-m)! (规定0!=1).2．组合（ 不在乎顺序）n 个人m(m<=n)个出来，不排队，不在乎顺序C(n,m)。
如果在乎排列那么就是P(n,m)，如果不在乎那么就要除掉重复，那么重复了多少？同样选出的来的m 个人，他们还要“全排”得到P(n,m)，所以得： C(n,m) * m! = P(n,m)C(n,m)= P(n,m) / m!=n! / ( (n-m)! * m! )组合数的性质1:)(,n m C C m n n m n ≤=-组合数的性质２:)(,111n m C C C m n m n m n ≤+=--- 如果编程实现,以上两个公式有没有帮助？练习：311P 、811P 、311C 、811C 、9991001C3．其他排列与组合（1）圆排列：n 个人全部来围成一圈为Q(n,n)，其中已经排好的一圈，从不同位置断开，又变成不同的队列。
所以：Q(n,n)*n=P(n,n) >>> Q(n)=P(n,n)/n=(n-1)！由此可知，部分圆排Q(n,r)＝P(n,r)/r=n!/(r*(n-r)!).（2）重复排列 (有限)：k 种不一样的球，每种球的个数分别是a1,a2,...ak,设n=a1+a2+…+ak ，这n 个球的全排列数，为 n!/(a1!*a2!*...*ak!).（3）重复组合 (无限)：n 种不一样的球，每种球的个数是无限的,从中选k 个出来，不用排列，是组合，为C(n+k-1,k).证明：假设选出来的数（排好序）1<=b1<=b2<=b3…….<=bk<=n这题的难点就是=号，现在去掉=号，所以有：1<= b1 < b2+1 < b3+2 < b4+3 …….< bk+k-1 <=n+k-1 中间还是k 个数！不过已经不是b 系列，而是c 系列 假设c[i]:=b[i]+i-1，所以1<= c1 < c2 < c3 < c4 …….< ck <=n+k-1所以问题就开始转换为无重复组合问题，即在n+k-1个元素中选中k个的组合数C(n+k-1,k)。
排列与组合知识讲解
排列与组合是数学中的基本概念，尤其在概率论、统计学和离散数学等领域中有着重要的应用。
以下是关于排列与组合知识的详细讲解：一、基本概念排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列的个数用符号Pₙₙ或P(n,m)表示。
例如，从3个不同的数字（1、2、3）中任取2个数字进行排列，可能的排列有：12、13、21、23、31、32，共6种。
因此，P₃₂= 6。
组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合的个数用符号Cₙₙ或C(n,m)表示。
例如，从3个不同的数字（1、2、3）中任取2个数字进行组合，可能的组合有：12、13、21、23、31、32，但由于组合不考虑顺序，所以这6种排列被视为同一种组合。
因此，C₃₂= 1。
二、计算公式排列的计算公式：Pₙₙ= n! / (n-m)!，其中“!”表示阶乘，即n! = n ×(n-1) ×(n-2) × ... ×3 ×2 ×1。
例如，P₄₂= 4! / (4-2)! = (4×3×2×1) / (2×1) = 12。
组合的计算公式：Cₙₙ= n! / [m!(n-m)!]。
这个公式也可以理解为从n个不同元素中取出m个元素的排列数除以m个元素的排列数。
例如，C₄₂= 4! / [2!(4-2)!] = (4×3×2×1) / (2×1) / (2×1) = 6。
三、排列与组合的关系排列和组合之间存在密切的关系。
对于从n个不同元素中取出m个元素的情况，排列数Pₙₙ和组合数Cₙₙ之间的关系为：Pₙₙ= m ×Cₙₙ。
这意味着从n个不同元素中取出m个元素的排列数等于从n个不同元素中取出m个元素的组合数乘以m。
排列与组合的基本概念
排列与组合的基本概念排列与组合是数学中的基本概念，主要用于计算对象的排列和组合方式。
在实际生活中，排列与组合的概念与应用十分广泛。
本文将介绍排列与组合的基本概念及其应用，并探讨其在日常生活以及其他学科中的重要性。
一、排列的基本概念排列是指将一组对象按照一定的顺序排列的方式。
对于给定的n个对象，如果不重复使用这些对象，将它们按照一定的顺序排列，就得到了排列。
排列的基本概念有以下几个：1. 全排列：将n个对象按照所有可能的顺序排列，得到的排列方式称为全排列。
全排列的数量为n! (n的阶乘)。
2. 线性排列：将n个对象按照一定的线性次序排列，得到的排列方式称为线性排列。
3. 圆排列：将n个对象排成一个圆环状，得到的排列方式称为圆排列。
4. 重复排列：如果给定的n个对象中存在重复的元素，将它们按照一定的顺序排列，得到的排列方式称为重复排列。
二、组合的基本概念组合是指从给定的n个对象中，选择出若干个对象组成一个集合的方式。
对于给定的n个对象中，选择其中k个进行组合，得到的组合方式称为组合。
组合的基本概念有以下几个：1. 排列组合：从n个对象中选择k个进行排列的组合方式称为排列组合。
排列组合的数量可以通过公式C(n,k)来计算，公式表示为n个对象中选取k个对象的方式的数量。
2. 无序组合：从n个对象中选择k个进行无序排列的组合方式称为无序组合。
无序组合的数量可以通过公式C(n,k)来计算。
三、排列与组合的应用排列与组合在实际生活和其他学科中有广泛应用，在以下几个方面具有重要性：1. 随机事件的计数：在概率统计中，排列与组合可以用来计算事件的可能性。
基于排列与组合的知识，可以计算出在随机事件中不同结果的数量。
2. 电子密码学：在密码学中，排列与组合可以应用于信息的加密和解密。
根据排列与组合的原理，可以构建密码算法，保护敏感信息的安全。
3. 计算机科学：在计算机科学的算法设计和优化中，排列与组合也发挥着重要作用。
2019 2020高中数学第一章计数原理12排列与组合121排列第1课时排列与排列数公式讲义新人教A版
第1课时 排列与排列数公式知识点 排列的定义01nnmmn )≤一定的顺序排成一列，叫做从(一般地，从个元素，按照□个不同元素中取出m 个元素的一个排列．两个排列相同：当且仅当两个排列的元素完全相同，个不同元素中取出02排列顺序相同． 且元素的□ 知识点 排列数及排列数公式 1．排列数的定义01nmmnn 个不同元素中叫做从个不同元素中取出)(个元素的□所有不同排列的个数，从≤mm 表示．个元素的排列数，用符号取出A n．排列数公式202m *nmmnnnmnn ＝□乘积形式：≤这里A ，N ∈) (1)(－且－2)…((1)－．＋1)(nn ！03m *nmnm ＝□阶乘形式：A ∈N ) ，且(2).(≤，nmn ！－ 060504n 0n ＝□A ＝□，规定1. (3)性质：A ！1,0！＝□nn排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排成一列”．nm 个元素也是不同的．判断一个具体问个元素是互不相同的，取出的注意：所研究的nmm 个元素时，是有序题是不是排列问题，就看从个元素后，再安排这个不同元素中取出的还是无序的，有序的是排列，无序的就不是排列．nm 个元素，注意“排列”与“排列数”不是同一个概念，排列是从个不同元素中任取nm 个元素的所按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从个不同元素中取出有排列的个数，它是一个数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1,2,3与3,2,1为同一排列．( )(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．( ) (3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．( )个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问2个同学中任选5从(4)．题．( )答案(1)× (2)√ (3)× (4)√2．做一做(1)89×90×91×…×100可表示为( )．．A．A B．A CA100100100100填“是”或(________排列问题．(2)从5个人中选取甲、乙2 13121110A D个人去完成某项工作，这“不是”) ________个．(3)从1,2,3中任取两个数字可组成不同的两位数有(3)6不是答案(1)C (2)12 (1)A＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89.解析100 (2)甲和乙与乙和甲去完成这项工作是同一种方法，故不是排列问题． (3)12,13,21,23,31,32个．，共6排列的有关概念探究 1 判断下列问题是否是排列问题．例11,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(1)从十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个101(2)从到不同的点的坐标？ 10(3)从名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的(4) 出入方式有多少种？有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子(5) 里，有多少种不同的放法？个元素做加法时，与两个元素的位不是．加法运算满足交换律，所以选出的2 [解](1) 置无关，所以不是排列问题．是．由于取出的两数组成的点的坐标与哪一个数做横坐标，哪一个数做纵坐标的顺序(2) 有关，所以这是一个排列问题．名同学去学校开座谈会的方式不需要考虑(3)2不是．因为任何一种从10名同学中抽取两个人的顺序，所以这不是排列问题．是．因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以这是排列问题．(4)是．任取两球分别放入甲、乙两个盒子里，这是不同的，有顺序之分，所以这是排列(5) 问题．拓展提升．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？Mabx轴上，，可以得到多少个焦点在＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为(2)从集合2222yyxxx轴上的双曲线方程－＝1?＝的椭圆方程＋1？可以得到多少个焦点在2222baab(3)从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，又有多少种方法？解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．22yxx轴上的椭圆，1表示焦点在第二问是排列问题．若方程＋＝(2)第一问不是排列问题，yyxxabababab，方程－中，不管>则必有<>还是，＝，的大小关系一定；在双曲线－＝122ba22222222baabx轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．均表示焦点在 1(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的三位数，则与顺序有关．探究简单的排列问题 2例2 写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？[解] (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．AB，两名老师(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为、MN，此问题可分两类：、分别为AMNBANMBABMNABNMBMNABNMABAMNBANM，共8，，由此可知所有可能的站法为，，，，，种．拓展提升用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复和遗漏．[跟踪训练2] 从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数．(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．解(1)组成三位数分三个步骤：第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18个不同的三位数．画出下列树形图：由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)直接画出树形图：由树形图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312.探究与排列数有关的运算 3452A＋4A88；3 (1)计算：例58A－A98xx－1(2)解方程3A＝4A；98xx－2*xx≥3，；，其中∈N(3)解不等式A>6A99nnnnn )用排列数符号表示．)(69(55－)(56－－(4)若)…(68－∈N，将444＋81244A＋2×4A88＝＝＝. [解](1)原式＝44594×3×2A－9A24－15883×8！4×9！xx1－＝，由(2)3A＝4A，得98xx！－??！??8－102xx＋78＝0－19，化简得xx＝13.6解得，＝21xxx＝6.又∵－1≤9，∴原方程的解是≤8，且9！6×9！*xxxx)>6，(11－，其中>3≤≤9，)·(10－∈N，即(3)由原不等式得xx！29－9－??＋！??2xxxx>13. ，解得整理得或－21<8＋104>0*xxx3,4,5,6,7. N又3≤，所以≤9，＝∈．故原不等式的解集为{3,4,5,6,7}nnn15. ＋1)－(55－＝(4)先确定最大数，即69－，再确定因式的个数为(69－)15. 则由排列数公式得A nnnmm这些限制条(1)在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意，A中≤∈N，－69拓展提升m**∈N且n件．在解出方程或不等式后，要进行检验，把不合题意的解舍掉．m A(2)利用排列数公式灵活地解决问题的前提条件是准确把握排列数公式的结构特征——n mn就是从起，依次减“1”的就能活用排列数公式．个正整数之积，熟练掌握这一结构特征，跟踪训练aaaaa) )等于)…(34－ (1)设N∈( ，且 <27，且(27－)(28－a－278． A．ABA aa－3427 *3][．A AC．aa－34－3444AA128________.－87 D＝(2)计算：612A11mmm1－m. AA＝A－求证：(3)nnn1＋答案(3)见解析(2)5 (1)Daaa,aaa8＝1＋)－(27－－34，一共有－34中最大数为－34，…，－28－(1)27解析．8aa.＝)·…·(34－A)个因式，所以(27－a－34！！128×44！8！4A5！A1285.＝(2)解法一：＝＝6！12A12×11！411！544?×?12×11×10×9?AA8×7×6×5?1285.解法二：＝＝6??11×10×…×612A12×11nn！！1??＋mm－A＝ (3)证明：因为A－nn1＋mmnn！－！??＋1－??nn＋1！????1－·＝mn??mn－＋1！－??nmn！！m－1mm A，＝·＝·＝m A.n mnmnmn！－?－??！＋＋1－1?mmm－1＝A－A所以nnn1＋1．下列问题是排列问题的是 ( )A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？答案 B解析排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其B.他问题都与顺序无关．故选．n！nnnnm) －1)(B ．－(－2)…(A.nm！m) 相等的是( 2．下列各式中与排列数A n?－?n mn－1－11 C.A ·AD．A nnn1－mn1－＋答案 Dn！m解析∵A＝，n mn！??－nnnnn！！－?！1???－1m11－＝＝，＝∴A·Ann1－mmnmnn！－！1?]！??－?[－－1??－mm－11.A∴＝A·A nnn1－) 132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( 3．某段铁路所有车站共发行24 ．16 D．A．8 B．12 CB答案2nnnn12.1)＝132，∴解析设车站数为，则A＝132，(＝－n4．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．23答案－＝解析因为“word”有四个不同的字母，所以可能出现错误的种数为A4BACABD不，四423. 1名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且，．将5不排在第一，，DC不排在第三，排在第二，不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．：(如图)解树形图为BADCBCDABDACCADBCDABCDBADABCDCABDCBA，，，，由树形图知，所有排法为，，，，，共有9种排法．。
数学中的排列与组合问题
数学中的排列与组合问题在数学中，排列与组合是一类常见的问题，它们在各个领域都有广泛的应用，尤其是在概率论、组合数学、计算机科学等方面。
本文将介绍排列和组合问题的概念、性质以及解题方法。
一、排列问题1.1 排列的概念排列是指从一组元素中选取若干个元素进行有序的安排。
常用的排列记作P(n, k)，表示从n个元素中选取k个元素进行排列。
排列中的元素顺序不同，即使元素相同，也会视为不同的排列。
1.2 排列的性质排列问题具有以下性质：性质1：P(n, 0) = 1，表示从n个元素中选取0个元素进行排列，只有一种情况，即空集。
性质2：P(n, n) = n!，表示从n个元素中选取n个元素进行排列，有n!种情况，即全排列。
性质3：P(n, k) = n! / (n-k)!，表示从n个元素中选取k个元素进行排列，有P(n, k) = n! / (n-k)!种情况。
1.3 解题方法解排列问题的一种常见方法是使用数学公式计算。
根据性质3，可以直接计算出排列的种类数。
此外，还可以采用递归的思想求解排列问题。
通过从第一个元素开始选取并固定，然后对剩下的元素进行排列，即可得到所有的排列情况。
二、组合问题2.1 组合的概念组合是指从一组元素中选取若干个元素进行无序的组合。
常用的组合记作C(n, k)，表示从n个元素中选取k个元素进行组合。
组合中的元素顺序无关，即使元素相同，也视为相同的组合。
2.2 组合的性质组合问题具有以下性质：性质1：C(n, 0) = 1，表示从n个元素中选取0个元素进行组合，只有一种情况，即空集。
性质2：C(n, n) = 1，表示从n个元素中选取n个元素进行组合，只有一种情况，即全集。
性质3：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，表示从n个元素中选取k 个元素进行组合，可以分为两种情况：选择了第一个元素，再从剩下的n-1个元素中选取k-1个元素；不选择第一个元素，从剩下的n-1个元素中选取k个元素。
排列与组合的基本概念与性质
排列与组合的基本概念与性质排列与组合是数学中常见的概念与工具，它们被广泛应用于各个领域。
在解决问题时，我们经常需要考虑对象的排列和组合方式，以求得所需的结果。
本文将介绍排列与组合的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和运用这些数学工具。
一、排列的基本概念与性质排列是指将一组对象按照一定的顺序进行布置或安排的方式。
在排列中，每个对象只能使用一次，顺序不同则结果不同。
下面我们来介绍排列的基本概念和性质。
1.1 排列的定义如果有n个对象，要从中选取m个对象进行排列，并且考虑对象的顺序，则我们称这样的排列为从n个对象中选取m个对象的排列，记作P(n,m)。
1.2 排列的计算公式排列的计算公式可以使用阶乘的概念来表示。
对于从n个对象中选取m个对象的排列，其计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘。
1.3 排列的性质排列具有以下性质：性质一：P(n,n) = n!。
当需要从n个对象中选取全部n个进行排列时，排列的总数等于对象的数量的阶乘。
性质二：P(n,0) = 1。
当不选择任何对象进行排列时，排列的总数为1。
性质三：P(n,1) = n。
当从n个对象中选择一个进行排列时，排列的总数等于对象的数量。
性质四：P(n,m) = P(n-1,m-1) + P(n-1,m)。
从n个对象中选取m个对象进行排列，可以分为两种情况：一种是选了第n个对象，那么剩下的n-1个对象中再选m-1个；另一种是没有选第n个对象，那么剩下的n-1个对象中选m个。
二、组合的基本概念与性质组合是指从一组对象中选取一部分对象，不考虑其顺序，而只关心对象的选择方式。
下面我们来介绍组合的基本概念和性质。
2.1 组合的定义如果有n个对象，要从中选取m个对象进行组合，并且不考虑对象的顺序，则我们称这样的组合为从n个对象中选取m个对象的组合，记作C(n,m)。
2.2 组合的计算公式组合的计算公式可以使用排列的概念来表示。
排列与组合
排列与组合课上讲解： 1．排列(1)排列的概念：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示． (3)排列数公式A mn ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)． (4)全排列数公式A nn ＝n (n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)． 2．组合(1)组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C mn 表示． (3)组合数公式 C m n＝A mn A m＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！＝n ！m ！n －m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地C 0n ＝1.(4)组合数的性质：①C mn ＝C n －mn ；②C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n . 3.排列与组合的区别排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合． 4.处理排列组合应用题的规律 （1）两种思路：直接法，间接法。
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。
解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。
题型一：排列问题有条件的排列问题分四种类型：(1)某元素不在某个位置上问题：（特殊元素优先考虑）①直接法：可从位置考虑用其它元素占上该位置；②间接法：间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．1.六人站成一排，求(1)甲、乙即不再排头也不在排尾的排法数(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数2.对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。
排列与组合的概念与计算公式
排列与组合的概念与计算公式1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);３．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列组合公式把这个公式发上来与大家分享,我在做题时突然之间想不起来公式,所以找了半天,现在整理出来大家分享!排列组合公式/排列组合计算公式公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r。
排列及排列数的概念和公式
排列及排列数的概念和公式一、重点和难点：1、掌握排列的概念、排列数及排列数公式和排列的简单应用。
2、重点是排列的定义及排列数公式，难点是“顺序”的判断及公式的抽象性。
二、学法指导：排列：从n 个不同元素中，任取)(n m m ≤个不同元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
定义中规定给出的n 个元素各不同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况。
即如果某个元素已被取出，则这个元素就不能在取了，否则就变成了取出两个相同元素。
由于是从n 个不同元素中取出m 个不同元素，因此必有n m n m =≤当,时，即所有元素都取出的排列，叫做全排列。
定义中的“一定的顺序”是与位置有关的问题，如何判断是否有顺序，最常用的办法是变换元素的位置看结果，如果结果变了，就是有“顺序”；若结果不变，就是无“顺序”。
如：取出数字1，2，3考虑它们的和，则与位置无关。
要分清“排列”和“排列数”这两个不同概念。
一个排列是指从n 个不同元素中取出m 个元素，按照一定的顺序排成一排的一种具体的排法，它不是数，而排列数是指从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，它是一个数。
在写具体的排列时要按照一定规律写，以免造成重复或遗漏。
排列数公式：)1()1(+--=m n n n P m n ，其特点是：从自然数n 开始，后一个因数比前一个因数少1，最后一个因数是,1+-m n 共m n -个因数相乘。
当n m =时，排列数公式为!n P n n =，其中123)2)(1(!⋅⋅--= n n n n 排列数的两个公式)!(!)1()1(m n n P m n n n P m n m n -=+--=和 ，前一个公式常用于计算具体的排列数的值，后一个公式常用于含字母的排列数的变形和证明有关等式。
三、例题选讲：例题1、计算（1）1201234545=⨯⨯⨯⨯=P（2）3360141516316=⨯⨯=P（3）72012345666=⨯⨯⨯⨯⨯=P（4）!4)!2()]!2()2[()!2(56)1)(2(2222+=--++=⋅++=-+-+n n n n P n n n P n n n n 或 （5）3645123454567255547=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-P P P（6）m m m m n m n m m m n m P m n m +=+=-⋅--+=-⋅+--211)1()!()!()!1()!1()!()!1( 例题2、求和：)!1(!43!32!21+++++n n 解：作和的数列的通项是：)!1(1!1)!1(1)1()!1(+-=+-+=+n n n n n n ， ∴ 原式=)!1(11)!1(1!1!41!31!31!21!211+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n 例题3、解方程：2213632x x x P P P +=+解：首先⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥∈2213x x x N x N x x ∈≥⇒,3 ∴ 原方程化为：)1(6)1(3)2)(1(2-++=--x x x x x x x∴∈≥N x x ,3 整理得：071522=+-x x ，解得：217==x x 或（舍）7=∴x 例题4、求证：m n m n m n P mP P 11+-=+证明：左式=m n P m n n m n n n m n m m n n m n n m m n p n 1)!1()!1()!1()1(!)!1(])1[(!)!1(!)!(!+=+-+=+-+=+-++-=+-⋅+- =右式《小结》：利用排列数公式计算是，一般多用连乘积公式，利用排列数公式证明时，一般多用阶乘商公式。
[小学教育]概率公式及典型例子
![[小学教育]概率公式及典型例子](https://img.taocdn.com/s3/m/319316b1f424ccbff121dd36a32d7375a417c6f3.png)
基础知识排列与组合的概念与计算公式1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);３．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).概率论是以古典型概率，几何型概率，条件概率，各种分布列等为基本模型，以加法原理，乘法原理为规则，以非负性，规范性，可列可加性为基本性质，逆事件，差事件概率的计算公式，加法公式等为运算基础骨架。
解题时应做到心中有数，将难题一步步分解为这些简单问题的叠加。
学习重点应放在理解和运用上，而不在于计算，做题时应分清各类题型，举一反三。
熟练掌握：概率部分：1.常见分布列，分布函数：离散型--连续型一维--二维--多维离散：两点分布，二次分布，泊松分布，几何分布连续：均匀分布，指数分布，正态分布2.基本运算概念：概率密度，数学期望，方差，协方差，相关系数数理统计部分：样本基本概念：X2分布，t分布，F分布，正态总体的样本均值，方差，k阶原点矩，k阶中心矩“概率论与数理统计”的学习应注重的是概念的理解，如“什么是随机变量”、“为什么要引进随机变量”，“随机变量的独立，不相关”等概念要深入理解。
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优待排列 集团排列 间隔排列
栏目 导引
题型三 简单的排列问题
例3
第一章 计数原理
五名同学站成一排.
(1)一共有多少种不同的站法?
(2)甲必须站在乙的右侧,共有多少种不同站法? 【思路点拨】(1)五名同学站成一排,有顺序要求,属全排列问题.
五位数 4×5×5×5×5＝2500(个).
(2)法一:(优先考虑特殊位置)先排万位,从 1,2,3,4 中任取一个有
A14种方法,其余四个位置排四个数字共有 A44种方法,所以组成的
无重复数字的五位数共有 A41A44＝96(个).
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第一章 计数原理
法二:(优先考虑特殊元素)先排 0,除首位之外的其他四个数位均可, 有 A14种方法,其余四个数字全排列,有 A44种方法.故组成的无重复数 字的五位数共有 A14A44＝96(个). (3)(优先考虑特殊位置)先排个位,1 和 3 均可,有 A12种方法,然后从剩 下的 3 个非 0 数中选一个排在万位,有 A13种方法,最后将剩下的 3 个数排在其他三个数位上,有 A33种方法.故组成的无重复数字的五 位奇数共有 A21A13A33＝36(个).
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第一章 计数原理
第二类, A、D同色, 则分成三步完成.第一步涂A和D有5种方 法;第二步涂B有4种方法;第三步涂C有3种方法.由乘法原理, 共有5×4×3＝60(种)方法; 所以共有120＋60＝180(种)不同方法.
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3. 用0,1,2,3,4这五个数字,组成五位数:
(1)可组成多少个五位数?
(2)可组成多少个无重复数字的五位数?
(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数?
(4)若1和3相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数?
(5)若1和3不相邻,则可组成多少个无重复数字的五位数?
解:(1)各个数位上的数字允许重复,由分步计数原理得,共可组成
第一章 计数原理
1.2 排列与组合
1.2.1 排 列
第一课时 排列的概念及排列数公式
新知初探•思维启动 第一章 计数原理
排列应用题最基本的解法
(1)直接法:以元素为考察对象,先满足__特__殊__元素的要求,再考虑
__一__般__元素(又称为元素分析法);若以位置为考察对象,先满足
___特__殊__位置的要求,再考虑__一__般__位置(又称位置分析法).
第一章 计数原理
4 .用5种不同颜色给如图中的A、B、C、D四个区域涂色,规定一个 区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不相同,问有多少种不同的涂色 方法?
解:先分成两类: 第一类,D与A不同色,则分成四步完成.第一步涂A有5种方法;第二 步涂B有4种方法;第三步涂C有3种方法;第四步涂D有2种方法.由 乘法原理,共有5×4×3×2＝120(种)方法;
(4)(捆绑法)若 1 和 3 相邻,则把 1 和 3“捆绑”,看成一个整体与 0,2,4
进行排列.则共可组成无重复数字的五位数有 A22A31A33＝36(个).
(5)法一:(间接法)由(2),(4)两问可得,1 和 3 不相邻时,共可组成无重复
数字的五位数有 96－36＝60(个).
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第一章 计数原理
【名师点评】 有关基本排列问题的解法:
(1)明确选出的元素有无顺序要求;
(2)利用公式 Amn 进行求解. 变式训练
3. 学校举行运动会,从10名队员中选2人参加4×100米接力 比赛的第一棒和第四棒,有多少种不同选法?
解:从 10 名队员中选 2 人参加接力赛对应于从 10 个元素任取 2 个元素的一个排列,因此不同选法有 A210＝10×9＝90(种).
接近时)的方程与不等式. 栏目 导引
变式训练
第一章 计数原理
2.某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌、3个舞蹈、3个
曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?
(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;
(2)2个唱歌节目互不相邻;
(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
解:(1)先排唱歌节目有 A22种排法,再排其他节目有 A66种排法,所以共 有 A22·A66＝1440(种)排法. (2)先排 3 个舞蹈节目和 3 个曲艺节目有 A66种排法,再从其中 7 个空 (包括两端)中选 2 个排唱歌节目,有 A27种插入方法,所以共有 A66·A27 ＝30240(种)排法.
Ann＋1＝(n＋1)·n(n－1)…3·2·1,
(n＋1)A nn＝(n＋1)·n！＝(n＋1)·n·(n－1)…3·2·1,
∴Ann＋ ＋11＝Ann＋1＝(n＋1)Ann.
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方法感悟
第一章 计数原理
方法技巧 1.判断一个具体问题是否有顺序的方法
2.排列数公式
Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),一般用于具体计算或解与排列数 Anm(当 m 较小时)有关的方程,而 Anm＝（n－n！m）！一般用于与排列 数有关的恒等式(或不等式)的证明或解有关排列数 Amn (当 m 与 n 较
(2)五名同学站好后,甲或位于乙的右侧,或位于乙的左侧,故站法
是全排列数的一半. 【解】 (1)五名同学站成一排,不同的排列对应不同的站法,
故站法种数为 A55＝5×4×3×2×1＝120. (2)五名同学站好后,甲位于乙右侧或左侧必属其一,故这时的站
法种数为A255＝60.
Байду номын сангаас
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第一章 计数原理
法二:(插空法)先将 0,2,4 排好,再将 1 和 3 分别插入产生的 4 个空当中有 A33A24＝72 种排法,而当 0 在万位时,1,3 分别插入 2,4 产生的 3 个空当中有 A22A23＝12(种)排法.所以 1 和 3 不相邻的 无重复数字的五位数共有 72－12＝60(个).
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第一章 计数原理
(3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素,与 3 个曲艺节目排列共 A44种排法,再将 3 个舞蹈节目插入,共有 A35种插入方法,最后将 2 个唱歌节目互换位置,有 A22种排法,故所求排法共有 A44·A35·A22＝ 2880(种)排法.
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第一章 计数原理
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备选例题 1.计算:1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！.
第一章 计数原理
解:1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n!
＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
2.证明:Ann＋＋11＝Ann＋1＝(n＋1)Ann.
证明:∵Ann＋＋11＝(n＋1)·n·(n－1)…3·2·1,