立体几何-圆锥曲线-导数文科答案(新)

1、在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为

10.

（1）求棱1A A 的长；

（2）若11A C 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值. 【答案】（1）3；（2）

11

11

． 试题分析：（1）设1A A h =，由题意得1111111111ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-，可求出棱长；（2）因为在长方体中11//A D BC ，所以1O BC ∠即为异面直线1BO 与11A D 所成的角(或其补角),再借助解三角形的求解得到结论．

试题解析：(1)设1A A h =，由题设111111111110ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=， 得1111

103ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=，即1122221032

h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得3h =， 故1A A 的长为3. (2)

在长方体中11A D BC ，

1O BC ∴∠即为异面直线1BO 与11A D 所成的角(或其补角),

在1O BC ∆中，计算可得1111O B OC =1O BC ∠11考点：异面直线所成的角的求解；棱柱的结构特征． 【解析】

2、如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，//PM BC ，1,2PM BC ==，又1,AC =120ACB ∠=︒，AB PC ⊥，AM=2.

（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥P MAC -的体积． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）12

3

=

V . 试题分析：(Ⅰ)根据面面垂直的判定定理，可知证明面面垂直，先证明线面垂直，根据所给条件，易证明⎩⎨

⎧⊥⊥AB

PC BC

PC ,即转化为证明⊥PC 平面ABC ；

（Ⅱ）根据等体积转化PMC A MAC P V V --=,重点求PMC ∆的面积，在平面PCBM 内，过M 做MN BC ⊥交BC 于N ，连结AN ，这样在ACN ∆和AMN ∆中根据余弦定理和勾股定理，分别求AN 和MN ,这样就求出PMC ∆的面积，而点A 到平面PCM 的距离就是点A 到直线BC 的距离，做A 做AH BC ⊥交BC 于H ，根据求面积的过程，易求AH . 试题解析：（Ⅰ）证明：由90PCB ∠=︒得PC CB ⊥ 又因为AB PC ⊥，AB BC B ⋂=，

,AB BC ⊆平面ABC

所以PC ABC ⊥平面． 又PC PAC ⊂平面，

所以平面PAC ⊥平面ABC ．

(Ⅱ)解：在平面PCBM 内，过M 做MN BC ⊥交BC 于N ，连结AN ，则CN=PM=1， 又//PM BC ，得四边形PMNC 为平行四边形，所以//PC MN 且PC MN = 由（Ⅰ）得PC ABC ⊥平面，所以MN⊥平面ABC,

在ACN ∆中，222

2cos1203AN AC CN AC CN =+-⋅︒=，即

又AM=2.∴在Rt AMN ∆中，有1PC MN ==．

在平面ABC 内，过A 做AH BC ⊥交BC 于H ，则AH PMC ⊥平面 因为1,AC CN ==120ACB ∠=︒，所以30ANC ∠=︒．

∴在Rt AHN ∆

中，有A

B

C

M

P

∴

1

133

32212

P MAC A PMC

V V

--

==⨯⨯=

考点：1.等体积转化；2.面面垂直的判定定理.

【解析】

3、如图所示,PA⊥平面ABC,点C在以AB为直径的O上，0

30

CBA

∠=，2

PA AB

==，点E为线段PB的中点，点M在AB上，且//

OM AC.

（Ⅰ）求证:平面//

MOE平面PAC；

（Ⅱ）求证:平面PAC⊥平面PCB．

【答案】试题分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理可得OE PA，即可得出OE 平面PAC，再利用OM AC，可得OM平面PAC，再利用面面平行的判定定理即可得出平面MOE平面PAC；（Ⅱ）点C在以AB为直径的O上，可得BC AC

⊥，利用PA⊥平面ABC，可得PA BC

⊥，可得BC⊥平面PAC，即可得出平面PAC⊥平面PCB.

试题解析：证明:（Ⅰ）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE PA.

因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE平面PAC.因为OM AC，又AC⊂平面PAC,OM⊄平面PAC，所以OM平面PAC.

因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，0

OE OM=，

所以平面MOE平面PAC.

A

C

M

P

N

H

(2)因为点C 在以AB 为直径的O 上，所以90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为AC ⊂平面PAC ，

PA ⊂平面，PA AC A =，所以BC ⊥平面PAC .

因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PAC ⊥平面PBC

考点：1、面面平行的判定定理；2、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理. 【解析】

4、在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ,AD ∥

BC ,90BAD ︒∠=,12PA AB BC AD ====,,E 为PD 的中点.

（Ⅰ）求证：PAB CE 面//；

（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDC ；

（Ⅲ）求直线EC 与平面PAC 所成角的余弦值. 【答案】6

试题分析：（Ⅰ）根据中位线定理求证出四边形MEBC 为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；

（Ⅱ）先证明线面垂直，再到面面垂直；（Ⅲ）找到∠ECF 为直线EC 与平面PAC 所成的角，再解三角形即可

试题解析：（Ⅰ）解：取PA 的中点M ，连接BM ，ME AD //且AD 2

1

ME = BC AD //且AD 2

1

BC =

∴ME //BC 且ME=BC

∴四边形MEBC 为平行四边形，

∴BME //CE ，CE ⊄面PAB ，BM ⊄面PAB ， ∴CE //面PAB

（Ⅱ）证明：∵PA ⊥平面,ABCD ， ∴PA ⊥DC ，

又22222AC CD AD +=+= ∴DC AC ⊥， ∵AC PA A = ∴DC ⊥平面PAC