航天飞行动力学作业及答案(2)

第四章 第二次作业及答案

1. 考虑地球为自转椭球模型，请推导地面返回坐标系及弹道坐标系(半速度坐标系)下航天

器无动力再入返回质心动力学方程和运动学方程，以及绕质心旋转动力学和运动学方程。 解答：

（1）地面返回坐标系：原点位于返回初始时刻地心矢径与地表的交点处，ox 轴位于当地水平面内指向着陆点，oy 垂直于当地水平面向上为正，oz 轴形成右手坐标系。

地面返回坐标系下的动力学方程：与发射坐标系下的动力学方程形式相同，令推力为0即可得到。

（2）弹道（航迹，半速度）坐标系定义：原点位于火箭质心，2ox 轴与速度矢量重合，2oy 轴位于包含速度矢量的当地铅垂平面内，并垂直于2ox 轴向上为正，2oz 轴形成右手

坐标系。

由于弹道坐标系是动坐标系，不仅相对于惯性坐标系是动系，相对于地面返回坐标系也是动系，在地面坐标系下的动力学方程可以写为：

惯性系下：22222()=F=++m e e e d m m m m t dt t

δδδδ=+⨯+⨯⨯r r r

ωωωr P R g

地面系下：22=++m -2-()e e e m m m t t

δδδδ⨯⨯⨯r r

P R g ωωωr

弹道系下：22=()=++m -2-()t e e e m m m m m t t t t

δδδδδδδδ'=+⨯⨯⨯⨯'r v v r

ωv P R g ωωωr 式中，t

δδ''v 表示速度矢量在弹道坐标系的导数，t ω表示弹道坐标系相对于地面坐标系的

旋转角速度，将上式矢量在弹道坐标系分解得到：

速度矢量00v ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦v ，角速度矢量=tx t ty tz ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

ωωωω 00cos 0sin 00sin =+=()001000sin 0cos 0cos t y L σσσθσσσσθσσθσθ⎡⎤

--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ωθσ sin 0

cos 0=0cos 0sin 0cos cos 0sin 00t v v v v σθσθσσσθσθσθσθσ

σθ

σ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ωv 等式左边：()=cos t v

m v t

v δσθδσ⎡

⎤

'⎢⎥+⨯⎢⎥'⎢⎥-⎣⎦

v

ωv 等式右边将所有力转换到弹道坐标系下，如果不方便直接转换，可以先转到地面系，然

后再转到弹道系。其中：

cos cos ==sin cos sin x y z v v v v t

v v θσδθσδσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

r x y z ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦r 是地面坐标系下的分量，通过运动学方程求解，=x y z x v y v z v ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

r

2. 已知火箭发射点的经纬度为（108度E ，19度N ），发射方位角为60度。当前火箭在地

面发射坐标系的位置分量为[][]200km 45km 100m x y z =，设此时的速度矢量为：

[]1500m/s 980m/s 10m/s ，求火箭此时受到的离心惯性加速度、哥氏惯性加速度以及引

力加速度在地面发射坐标系下的分量，他们产生的物理原因是什么？

解答：

发射点的地表高度为：

0,6378140,b 6356755,19e e R a ϕ=

====

发射点的地心矢径在地面坐标系的矢量为： 00000000000sin cos -6609119cos 6375849m sin sin 1144733x y z R R A R R R R A μμμ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，000x y z R x R y R z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦r ，00000.030110.99950.0018x y z R x R y r R z +⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=+=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦

r 005000cos cos 3.4449cos 2.388310cos sin -5.9667ex ey e ez B A B B A ωωωω-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，00.4724/0.32750.8183e e e ω⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

ωω （1） 离心惯性加速度：

0.0045()0.03030.0096ex e e e ey ez a a a -⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=-⨯⨯==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

a ωωr （2） 哥氏惯性加速度

0.11742()0.17970.0041kx k e ky kz a a t

a δδ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⨯==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

r a ω （3） 引力加速度

当地地心纬度：

sin()0.3471rad=19.9e

e

arc r ϕω⋅==r

ω

22

22

22231()(15sin )9.6661232()sin 0.0105

2e

m e r m e f M

a g J r r f M a g J r r ωφφ⎡⎤'=-+-=-⎢⎥⎣⎦

⎡⎤

=-=-⎢⎥⎣⎦

引力加速度分解：

00

0.29609.66510.0088e x r e y z g g g g g ω-⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥'=+==-⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

g r ω