2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(二)理科数学试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{|24}A x x =-<<，{|2}B x x =≥，则()R A C B =（ ）A. (2,4)B. (2,4)-C. (2,2)-D. (2,2]-【答案】C 【解析】集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，R C B {}|2x x =< 则()()2,2R A C B ⋂=-. 故答案为C.2.已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（ ）A. 2i --B. 2i -C. 2i -+D. 2i +【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由(2)z |34|5i i -=+=， 得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+． 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.函数()f x =( ) A. 3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 3,14⎛⎤⎥⎝⎦C. 3,14⎛⎫⎪⎝⎭D. [1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数非负，以及真数大于零，即可求得结果. 【详解】要使得函数有意义， 则()0.5log 430,430x x -≥->，解得3,14x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：B.【点睛】本题考查复合函数定义域的求解，属基础题.4.已知(1,),(,4)a k b k ==，那么“2k =-”是“,a b 共线”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 非充分非必要条件 D. 充要条件【答案】A 【解析】 【分析】先求出,a b 共线时k 的值，再由充分必要条件的定义判断，即可得出结论.【详解】(1,),(,4)a k b k ==，当,a b 共线时得24,2k k ==±，所以“2k =-”是“,a b 共线”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，利用共线向量的坐标关系是解题的关键，属于基础题. 5.古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要 A. 7天 B. 8天C. 9天D. 10天【答案】C 【解析】 【分析】设所需天数为n 天，第一天3为1a 尺，先由等比数列前n 项和公式求出1a ，在利用前n 项和n 50S ≥，便可求出天数n 的最小值．【详解】设该女子所需天数至少为n 天，第一天织布1a 尺，由题意得：()5512512S -==- ，解得1531a =， ()512315012nn S -=≥- ，解得2311n ≥，982=512,2=256，所以要织布总尺数不少于50尺，该女子所需天数至少为9天， 故选C.【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，直接两次利用等比数列前n 项和公式便可得到答案． 6.a 、，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. 23a π B. 26a πC. 212a πD. 224a π【答案】B 【解析】 【分析】由长方体的结构特征可得，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即可求解.【详解】长方体的长、宽、高分别为32a a a 、、， 则其对角线长为222326a a a a ++=， 又长方体的顶点都在一个球面上， 所求的球半径6a R =， 所以表面积为2246R a ππ=. 故选：B .【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，对于常见几何体与球的关系要熟练掌握，属于基础题. 7.某班全体学生参加历史测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是（ ）A. 70B. 75C. 66D. 68【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出各组的频率，按照平均数公式即可求解. 【详解】依题意该班历史平均数估计为300.1500.2700.4900.368⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查由频率分布直方图求样本的平均数，熟记公式即可，考查计算求解能力，属于基础题. 8.已知tan 3α=，则πcos 22α⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A.35 B.310C.34D.310【答案】A 【解析】 【分析】由题意得222π22cos 2222? 1sin cos tan sin sin cos sin cos tan αααααααααα⎛⎫-====⎪++⎝⎭，结合条件可得所求结果．【详解】由题意得2222π222363cos 2222? 1?31105sin cos tan sin sin cos sin cos tan αααααααααα⨯⎛⎫-======= ⎪+++⎝⎭， 故选A ．【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式，解题的关键是合理利用“1”的代换，将所求值转化为齐次式的形式，然后再根据条件求解．9.若sin a xdx π=⎰，则二项式6⎛⎝的展开式中含x 项的系数是( )A. 210B. 210-C. 240D. 240-【答案】C 【解析】 【分析】根据微积分基本定理求得a ，再利用二项式的通项公式，即可求得结果. 【详解】因为0sin a xdx π=⎰cos 02cos π=-+=.又6⎛ ⎝的通项公式为()63161r r r rr T C a x --+=-， 令2r =，故可得含有x 项的系数为4152240⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查微积分基本定理，以及二项式定义，属综合基础题. 10.设l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A. 若//l α，l β//，则//αβ B. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥ C. 若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥ D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】由l 是直线，α，β是两个不同的平面，可知：A 选项中，若//l α，l β//，则α，β可能平行也可能相交，错误；B 选项中，若//l α，l β⊥，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥，正确；C 选项中，若αβ⊥，l α⊥，由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂，错误；D 选项中，若αβ⊥，//l α，则l ，β可能平行也可能相交，错误. 故选：B.【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题. 11.函数3()2x y x x =-的图像大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C ；当时，，，故，故排除A 、D ，故选B.考点：函数的图象.12.斜率为2的直线l 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，且与双曲线的左、右支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A. 2) B. 3)C. 5)D. 5,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系，求得,a b 的关系，即可求得离心率范围. 【详解】要满足题意，只需2ba>，故e =>故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，列出,a b 不等式关系是解题重点，属基础题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数()2log 030x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 【答案】19【解析】 【分析】先求1()4f 的值，再求14f f⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值. 【详解】由题得211()=log 244f =-， 所以211(2)349f f f -⎡⎤⎛⎫=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为19【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.在等差数列{}n a 中，1231819203,87a a a a a a ++=++=，则该数列前20项的和为_____. 【答案】300 【解析】 【分析】根据已知条件结合等差数列的性质可得129,a a ，求出120a a +，即可求解. 【详解】在等差数列{}n a 中，12232133,a a a a a ++=∴==，181920191987,329a a a a a +=∴==+，1202021920()10()3002a a S a a +∴==+=.故答案为：300.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，利用等差数列的性质是解题的关键，属于基础题. 15.计算410.53log 505252724ln lg 200lg 2168e π-⎛⎫⎛⎫+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____. 【答案】2312【解析】 【分析】根据分数指数幂和对数的运算法则即可求解. 【详解】410.53log 505252724ln lg 200lg 2168e π-⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11323252200()()255lg432⨯⨯=+-+-+ 52234312=+= 故答案：2312. 【点睛】本题考查指数幂和对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题.16.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =______. 【答案】2-. 【解析】 【分析】对函数()f x 的解析式求导，得到其导函数，把1x =代入导函数中，列出关于'(1)f 的方程，进而得到'(1)f 的值，确定出函数()f x 的解析式，把1x =代入()f x 解析式，即可求出(1)f 的值 【详解】解：求导得：''1()2(1)f x f x =+，令1x =，得''1(1)2(1)1f f =+，解得：'(1)1f =- ∴()2ln f x x x =-+，(1)202f ∴=-+=-，故答案为-2．【点睛】此题考查了导数的运算，以及函数的值．运用求导法则得出函数的导函数，求出常数'(1)f 的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） （一）必考题（共60分）17.已知ABC ∆中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集．（Ⅰ）求角C 的最大值；（Ⅱ）若72c =，ABC ∆的面积332S =，求当角C 取最大值时+a b 的值． 【答案】（1）（2）112【解析】【详解】试题分析：（1）若解集为空，则，解得.则C 的最大值为.（2）332S =＝，得， 由余弦定理得：， 从而得则.考点：解三角形及不等式点评：解三角形的题目常用到正弦定理sin sin sin a b cA B C==，余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 2222222cos ,2cos b a c ac B c a b ab C =+-=+-，三角形面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A === 18.为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与．志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物．每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作．相关统计数据如下表所示： 到班级宣传 整理、打包衣物 总计 20人 30人50人（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及数学期望． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由分层抽样方法得参与到班级宣传的志愿者被抽中的有2人，参与整理、打包衣物者被抽中的有3人，由此能求出至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率．（Ⅱ）女生志愿者人数X=0，1，2，分别求出其概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望． 【解答】（Ⅰ）解：用分层抽样方法，每个人抽中的概率是，∴参与到班级宣传的志愿者被抽中的有20×=2人，参与整理、打包衣物者被抽中的有30×=3人，故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率为：P=1﹣=．（Ⅱ）解：女生志愿者人数X=0，1，2， 则，，，∴X 的分布列为：∴X 的数学期望EX==．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BB C C ，E 是1CC 的中点，1BC =，12BB =，160BCC ∠=︒.（1）证明：1B E AE ⊥；（2）若2AB =，求二面角11A B E A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）证明：连接1BC ，BE ，发现1⊥BC BC ，求出BE 和1B E ，并证得1B E BE ⊥，又AB ⊥平面11BB C C ，所以1B E AB ⊥，所以1B E ⊥平面ABE ，证得1B E AE ⊥；（2）以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面1AB E 的法向量为n ，设平面11A B E 的法向量为m ，然后计算夹角即可.【详解】解：（1）证明：连接1BC ，BE ，因为在中，1BC =，112CC BB ==，160BCC ∠=︒．所以1⊥BC BC ．所以1112BE CC ==， 因为2211111112cos1203B E EC B C EC B C =+-⨯⨯︒=所以1B E BE ⊥，又AB ⊥平面11BB C C ，且1B E ⊂平面11BB C C ，所以1B E AB ⊥，AB BE B =，所以1B E ⊥平面ABE ，因为AE ⊂平面ABE ，所以1B E AE ⊥．（2）以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则(2A ，()13,0B -，132E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(13,2A -， 所以133,2B E ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(13,2AB =--，133,22A E ⎛=- ⎝，设平面1AB E 的法向量为(),,n x y z =，设平面11A B E 的法向量为(),,m a b c =，则1130{ { 0320x y B E n AB n x z -=⋅=⇒⋅=+=，取(1,3,2n =， 则11300{ { 033220a y B E m A m a b c E -=⋅=⇒⋅=-=， 取()1,3,0m =．所以6cos ,326m n n m m n ⋅〈〉===⋅⨯， 即二面角11A B E A --6． 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的证明，空间向量求解二面角的平面角，属于中档题.20.已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率32e =，它与直线10x y ++=交于P 、Q 两点，若OP OQ ⊥，求椭圆方程．(O 为原点)．【答案】2215528x y += 【解析】【分析】先设出椭圆的标准方程,根据离心率的范围求得a 和c 的关系,进而表示出b 和a 的关系,代入椭圆方程,根据OP OQ ⊥判断出1212x x y y =-,直线与椭圆方程联立消去y ,进而根据表示出12x x 和12y y ,根据1212x x y y =-求得b 的值．进而可得椭圆的方程． 【详解】解：设椭圆方程为22221x y a b+=,由2c a =得12c b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴椭圆方程为222214x y b b+=,即22244x y b +=设()11,P x y ,()22,Q x y , 则由22121222215844044y x OP OQ x x y y x x b x y b=--⎧⊥⇒=-⇒++-=⎨+=⎩由212180,55b x x >⇒>+=-,212445b x x -= ()()2212121212448141111555b b y y x x x x x x --⎛⎫=++=+++=+-+= ⎪⎝⎭224414055b b --∴+= 25185b => ∴椭圆方程为2215528x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质．直线与圆锥曲线的关系,以及平面向量的几何意义．考查了基本知识的识记和基本的运算能力．21.函数()x f x xe ax b =-+的图象在0x =处的切线方程为：1y x =-+.（1）求a 和b 的值；（2）若()f x 满足：当0x >时，()ln f x x x m -+，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 2,1a b ==；(2)(],2-∞.【解析】【分析】（1）根据切线斜率，以及导数值，即可求得参数；（2）分离参数，利用导数求解函数值域，即可容易求得结果.【详解】（1）因为()x f x xe ax b =-+，故可得()()1x f x ex a '=+-， 又因为在0x =处的切线方程为：1y x =-+，故可得()011f a =-'=-，解得2a =；又()0,1在函数()f x 的图像上，故可得1b =；综上所述：2,1a b ==.（2）因为当0x >时，()ln f x x x m -+，等价于1x xe lnx x m --+≥在区间()0,+∞上恒成立.令() 1xh x xe lnx x =--+，则只需()min h x m ≥即可. 故可得()()()11x x xe h x x+'-=，令()1x m x xe =-， 容易知()m x 其在()0,+∞为单调增函数，且()10,102m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00010x m x x e =-=.且()0h x '=，即001x x e =， 则()h x 在区间()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增. 故()()0000000001112x min h x h x x e lnx x x x x x ==--+=⨯+-+=， 故要满足题意，只需2m ≥， 即(],2m ∈-∞. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数求解恒成立问题，属综合中档题. （二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分） 选修4-4：参数方程与极坐标 22.在极坐标系中,过曲线2:sin 2cos (0)L a a外的一点)A (其中tan 2θ=，θ为锐角)作平行于()4R πθρ=∈的直线l 与曲线分别交于,B C ．(Ⅰ) 写出曲线L 和直线l 的普通方程(以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建系)；（Ⅱ）若||,||,||AB BC AC 成等比数列,求a 的值．【答案】(Ⅰ) 曲线L 和直线l 的普通方程分别为22y ax ，=2y x（Ⅱ）1a =【解析】【分析】(Ⅰ)根据极坐标方程与直角坐标系下的普通方程的互化公式可求曲线方程及直线方程.（Ⅱ）写出直线l 的参数方程,代入曲线L 的普通方程得222(4)8(4)0t a t a -+++= ,利用韦达定理以及题设条件化简得到a 的值．【详解】(Ⅰ)由2sin 2cos a ρθθ=两边同乘以ρ得到2(sin )2(cos )a ρθρθ= 所以曲线L 的普通方程为22yax 由tan 2θ=，θ为锐角，得sin ,cos 55θθ==所以(25,)A 的直角坐标为25cos()2,25sin()4x y πθπθ=+=-=+=-，即(2,4)A -- 因为直线l 平行于直线()4πθρ=∈R ，所以直线l 的斜率为1即直线l 的方程为42=2y x y x +=+⇒-所以曲线L 和直线l 的普通方程分别为22y ax ，=2y x（Ⅱ）直线的参数方程为222{24x t y =-+=- (t 为参数),代入22y ax 得到22(4)8(4)0t a t a -+++= ,则有121222(4),8(4)t t a t t a +=+⋅=+因为2||BC AB AC = ,所以()()22121212124t t t t t t t t -=+-⋅=⋅即22(4)32(4)8(4)a a a ⎡⎤+-+=+⎣⎦解得1a =【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线参数方程中参数的几何意义，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.设函数()|1||2|f x x x a =++-+.（1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,2][3,)-∞-⋃+∞；（2）3a -.【解析】【分析】（1）令|1||2|50x x ++--≥，在同一坐标系中作出函数|1||2|y x x =++-和5y =的图象，结合图象可得，求得不等式的解集，即可求解；（2）由题意转化为|1||2|x x a ++-≥-，由（1）求得|1||2|3x x ++-≥，即可求解．【详解】（1）由题意，令|1||2|50x x ++--≥，在同一坐标系中作出函数|1||2|y x x =++-和5y =的图象，如图所示，结合图象可得，不等式的解集为(,2][3,)-∞-⋃+∞，函数()f x 的定义域为(,2][3,)-∞-⋃+∞.（2）由题设知，当x ∈R 时，恒有|1||2|0x x a ++-+≥，即|1||2|x x a ++-≥-，又由（1）知|1||2|3x x ++-≥，∴3a -≤，即3a ≥-.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中合理转化，正确作出函数图象，结合函数点的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．。