定积分的性质与计算方法

定积分的性质与计算方法

摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常

丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。

关键词:定积分 性质 计算方法

定积分的定义

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n

i i f x ι=ξ∆∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是

最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b

a f x dx ⎰。

其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件，

()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件：

定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则

()f x 在[a,b]上可积。

例：利用定义计算定积分1

20x dx ⎰.

解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了

便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i

x n

=

，1,2,,1i n =⋯-;这样，

每个小区间1,[]i i x x -的长度1

,1,2,,;i x i n n

∆==⋯取ιξ=i x ，1,2,,i n =⋯。于是，得

合式

2

21

1

1

22

3

1

1

(11(311

.(1)(21)

6111(1)(2)

6n

n

n

i

i

i i

i i i n

n

i i i f x x x x i n n

n

n n n n n n

ιι

=====ξ)∆ξ∆∆).==∑

∑∑

==

∑

∑=++=++

当0λ→即n →∞时，取上式右端的极限.由定积分的定义，即得所要计算的 积分为

定积分的性质

1、

2

、

,

a

b >

3、常数可以提到积分号前.

4、代数和的积分等于积分的代数和.

5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c 分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有

又由于性质2，若f(x)在区间D 上可积，区间D 中任意c （可以不在区间[a,b]上）满足条件.

6、如果在区间[a,b]上()1f x ≡，则

2

11

2

001111

lim lim (1)(2)63

n

i i x x x dx n n ι=ξ∆λ→→∞==++=∑⎰

1b b

a

a

dx dx b a ==-⎰⎰

7、如果在区间

[a,b]上，f(x)≥0,则

8、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点 t 在（a ，b)内使

9、设M 及m 分别是函数()f x 在区间[a,b]上的最大值及最小值，则

()()()b

a

m b a f x dx M b a -≤≤-⎰

微积分基本公式

定理1：如果函数()f x 在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数

()()x

a

x f t dt Φ=⎰

在[a,b]上可导，并且它的导数

'

()()(),()x

a

d x f t dt f x a x b dx Φ==≤≤⎰

这个定理指出了一个重要结论：连续函数()f x 去变上限x 的定积分然后求导，其结果还原为()f x 本身.联想到原函数的定义，就可以从定理1推知()x Φ是连续函数()f x 的一个原函数.

定理2：如果函数()f x 在区间[a,b]上连续，则函数

()()x

a

x f t dt Φ=⎰

就是()f x 在[a,b]上的一个原函数.

这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.

定理3:如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[a,b]上的一个原函数，则

()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰

这也是牛顿（Newton ）- 莱布尼茨（Leibniz ）公式，它进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数在区间[a,b]上的增量.这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续.

例：计算上述用定义求的定积分1

20x dx ⎰.

解：由于3

3

x 是2x 的一个原函数，所以按牛顿- 莱布尼茨公式，有

1

33312

001011

03333

3x x dx ⎡⎤==-=-=⎢⎥⎣⎦⎰

定积分的计算方法 一、几何意义法

利用定积分的几何意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出.

例：求定积分2

2dx -⎰的值.

解

：22

2212dx dx --=⎰⎰，

而

2

2

dx -⎰

表示圆

224x y +=在第一、二象限的上半圆的面积.

因为S 半圆=2π，又在x

轴上方，所以22dx π-=⎰. 注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出.

二、换元法

定理：假设函数()f x 在区间[a,b]上连续，函数()x t ϕ=满足条件： 1、

(),();a b ϕαϕβ==