三角函数及解三角形知识点

三角函数知识点

⎧⎪⎨⎪⎩

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}

36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z

终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z

3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z

4、已知α是第几象限角，确定()*

n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n

α终边所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=

． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈

⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，

则l r α=，2C r l =+，21122

S lr r α==． 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的

距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x x

α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．

12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()

sin 2tan cos ααα

= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． 13、三角函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．

()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．

()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭

． ()6sin cos 2π

αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：奇变偶不变，符号看象限．

14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长

（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．

函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1ω

倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．

函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：

①振幅：A ；②周期：2π

ωT =；③频率：12f ωπ

==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．

函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122

x x x x T =-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x =

图

象

定

义

域

R R ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭ 值

域

[]1,1- []1,1- R 最

值 当22x k ππ=+()k ∈Z 当()2x k k π=∈Z 时， 既无最大值也无最小值

函 数 性 质

时，max 1y =；当

22x k π

π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．

max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-．

周

期

性

2π 2π π

奇

偶

性 奇函数 偶函数 奇函数 单

调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣

⎦ ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．

在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝

⎭ ()k ∈Z 上是增函数． 对

称

性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k π

π=+∈Z 对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝

⎭ 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭ 无对称轴

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)