二元一次方程组(加减法)
二元一次方程组的解法之加减消元法
②
12x 16y 32 ③ 12x 9y 3 ④
当程的方的方程两程组边的的都系两乘数（能x（个以相或不方一 同或互能程个或y为）使不适互相的两能当为反直的相系个接数反数数方用（数）相程加不，呢等中减为那？消零么元）就时， 可，使以可变用将形加方后减
消元法来解方程组了.
樂
见
2x 3y 11 ①
2x 3 (3) 11
解得 x 1 写解
3x 45 8
解得 x 4
x 1
因此原方程组的解是
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
2x 3y 11 ①
（1）6x 5y 9
②
3x 4y 8 ① （2）4x 3y 1 ②
解：①×5得10x 15y 55③ 解：①×4得 12x 16y 32 ③
小结：如果两个方程中有一个未知数的系数相 等（或互为相反数），那么把这两个方程直接 相减（或相加）；否则，就把方程乘以适当的 数进行变形，再将所得方程相减（或相加）. 樂
见
1997m 1999n 3995 （5）1999m 1997n 3997
选择消
,将方程
①+②得
3996m3996n 39962
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
牛刀小试
解下列方程组：
3x 2 y 8 ① （1）6x 5y 47 ②
2x 3y 12 ① （2） 3x 4 y 17 ②
樂 见
巩固练习
用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数 比较简单，填写消元的过程.
2m 3n 1 ① 选择消 n
（1） 5m 3n 4 ② 将方程 ②－① 进行消元
第7课时 二元一次方程组解法复习(加减法)
第7课时 二元一次方程组解法复习1、解方程组：⎩⎨⎧=+=-1424723y x y x 时，要先观察方程组的特点，再确定解方程组的方法。
因为方程①中的 与方程②中的 互为相反数，所以当两个方程相加时，就可以消去单项式中所含的这个未知数。
根据以上思路，在下面解出这个方程组。
解：⎩⎨⎧=+=-1424723y x y x2、解方程组：⎩⎨⎧=+=+622823y x y x 时，先观察它的特点，发现：方程①、方程②中都含有相同的单项式 ，这样的两个方程相减时，就可消去这个单项式所含的未知数。
根据以上思路，在下面解出这个方程组。
解：⎩⎨⎧=+=+622823y x y x3、解方程组：⎩⎨⎧=+=+122573y x y x 时，发现两个方程中既没有相同的单项式，也没有互为相反数的单项式。
因此两个方程不能直接相加或相减。
但可以在其中一个方程两边乘以一个数，从而使得两个方程有相同的单项式。
因为5x 不是3x 倍数，但2y 是y 的2倍，所以，可以用方程①乘以2，得到 ，从而组成新的方程组：⎩⎨⎧=+=+12251426y x y x 以便可以直接使用加减消元法。
根据以上思路，在下面解出这个方程组。
① ②① ②① ②解：⎩⎨⎧=+=+122573y x y x4、解方程组：⎩⎨⎧=+-=+12373y x y x 时，发现两个方程中既没有相同的单项式，也没有互为相反数的单项式。
因此两个方程不能直接 。
但可以在其中一个方程两边乘以一个数，从而使得两个方程有相同的单项式。
因为3y 不是2y 的倍数，但－3x 是x 的3倍，所以，可以用方程①乘以3，得到 ，从而组成新的方程组：⎩⎨⎧=+-=+1232193y x y x 以便可以直接使用加减消元法。
根据以上思路，在下面解出这个方程组。
解：⎩⎨⎧=+-=+12373y x y x5、解方程组：⎩⎨⎧=+=+7231252y x y x 时，发现3x 不是2x 的倍数，5y 也不是2y 的倍数，但我们可以使两个方程都分别乘一个数，都变成它们的公倍数。
二元一次方程组加减消元法练习题
x 都成立．
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2A 7B 8,
∴
3A 8B 10.
6 A,
A ． 1 B ． -1 C ． 0 D ． m-1
7．若 2 x 5m+2n+2 y3 与 - 3 x 6y3m-2n-1 的和是单项式，则
3
4
8．用加减法解下列方程组：
） m=_______， n=________．
3m 2n 16,
（1）
3m n 1;
2x 3y 4,
（ 2）
4x 4 y 3;
A ． 11： 9 B ． 12： 7 C ． 11： 8 D ． -11 ： 8 5．已知 x、 y 互为相反数，且（ x+y+4 ）（x-y ） =4，则 x、y 的值分别为（ ）
1
1
x 2,
x
A．
B．
2,
x
C．
, 2
x
D．
, 2
y2
y2
1
1
y
y
2
2
6．已知 a+2b=3-m 且 2a+b=-m+4，则 a-b 的值为（
A ．①× 2- ② B ．①× 3- ②× 2 C ．①× 2+② 3．已知两数之和是 36，两数之差是 12，则这两数之积是（
A ． 266 B ．288 C ． -288 D ．-124
D ．①× 3+②× 2 ）
4．已知 x、 y 满足方程组
2x 5 y 9,
，则 x： y 的值是（ ）
2x 7 y 17
5x 2 y 3,
（3）
x 6 y 11;
x3 （ 4） 2
《二元一次方程组的解法——加减消元法》教案
《二元一次方程组的解法——加减消元法》一、教学目标（1）知识目标：进一步了解加减消元法，并能够熟练地运用这种方法解较为复杂的二元一次方程组。
（2）能力目标：经历探索用“加减消元法”解二元一次方程组的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力和创新意识。
（3）情感目标：在自由探索与合作交流的过程中，不断让学生体验获得成功的喜悦，培养学生的合作精神，激发学生的学习热情，增强学生的自信心。
二、教学重点难点（1）教学重点：利用加减法解二元一次方程组（2）教学难点：二元一次方程组加减消元法的灵活应用三、教学方法启发引导法、演示法四、教学准备：小黑板五、教学过程（一）复习旧知解二元一次方程组的基本思想是什么？（消元）（二）探究新知1、情境导入（利用小黑板）王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元，问：梨每千克的售价是多少元？凭借学生的经验估计他们会在列出二元一次方程组后马上想到用代入法解方程组，进而解决问题。
这时教师出示两种算法让学生加以比较，通过比较学生不难发现第二种算法是解决这个问题更简单的方法。
师：算法一是代入消元法，算法二就是今天我们将要学习的加减消元法。
复习加减消元法的定义：利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。
这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法2、例题讲评例①解方程组：⎩⎨⎧=+=+⑵y x ⑴y x 6231225 解：⑴－⑵，得2x=6x =3把x =3代入⑴得12235=+⨯y解这个方程得y =23-∴原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==23-3y x 练习：指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正。
练习1．解方程组：⎩⎨⎧-=-=-⑵y x ⑴y x 445447 解：⑴－⑵，得2x ＝4－4，x ＝0把x ＝0代入⑴得4407=-⨯y 解这个方程得1-=y∴原方程组的解为⎩⎨⎧-==1y 0x 例②解方程组：⎩⎨⎧-=-=+⑵y x ⑴y x 11522153 解：⑴﹢⑵，得5x ＝10x ＝2把x ＝2代入⑴得3×2+5y=21解这个方程得y=3∴原方程组的解为⎩⎨⎧==32y x 练习：指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正。
二元一次方程组的解法---加减法(课件格式)
x=4
D y=2
二、填一填.
1、已知方程组
5x+2y=4 ① 5x-3y=14 ②
可用 ① - ② 得到一元一次方程
5y=-10
__________
3x-2y=2 ①
2、方程组 3x+2y=6 ②
既
y + 可以用_①___②___消去未知数_______ ，
x - 也可以用_①___②___消去未知数_______ 。
①－ ②得
9y＝－18
① + ②，得 7x = 14
结论要点
将两个二元一次方程相加（或相减）， 消去一个未知数， 将方程组转化为一元一次方程来解，
这种解二元一次方程组的方法叫做加 减消元法，简称加减法。
思考：
用加减法解二元一次方程组的时候，什 么条件下用加法、什么条件下用减法？
结论要点
相同未知数的系数相同时用减法，互 为相反数时用加法。
学习目标
知识与能力 1.进一步理解解二元一次方程组的基本思想（消元）。 2.会用加减法解某个未知数的系数的绝对值相等的二元 一次方程组． 数学思考与问题解决 经历解决数学问题的过程，培养观察、比较、类比、归 纳、联想以及分析问题和解决问题的能力；通过对解决问 题过程与方法的反思，获得解决问题的经验． 情感与态度 在独立思考的基础上学会交流，敢于发表个人见解，并 能与他人共享成果，体验成功的快乐，同时锻炼克服困难 的意志，建立学习的自信心．
7x +7y ＝14, x－y＝- 4 则x +y ＝2
六、说一说:（能力拔高题.）
已知方程组 2x+5y=-26 和
ax-by=-4
方程组 3x-5y=36 ax+by=8
二元一次方程组加减消元法练习题
解二元一次方程组（加减法）练习题一、基础过关1．用加、减法解方程组436,43 2.x yx y+=⎧⎨-=⎩，若先求x的值，应先将两个方程组相_______；若先求y的值，应先将两个方程组相________．2．解方程组231,367.x yx y+=⎧⎨-=⎩用加减法消去y，需要（）A．①×2-② B．①×3-②×2 C．①×2+② D．①×3+②×2 3．已知两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（）A．266 B．288 C．-288 D．-1244．已知x、y满足方程组259,2717x yx y-+=⎧⎨-+=⎩，则x：y的值是（）A．11：9 B．12：7 C．11：8 D．-11：85．已知x、y互为相反数，且（x+y+4）（x-y）=4，则x、y的值分别为（）A．2,2xy=⎧⎨=-⎩B．2,2xy=-⎧⎨=⎩C．1,212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩D．1,212xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6．已知a+2b=3-m且2a+b=-m+4，则a-b的值为（） A．1 B．-1 C．0 D．m-17．若23x5m+2n+2y3与-34x6y3m-2n-1的和是单项式，则m=_______，n=________．8．用加减法解下列方程组：（1）3216,31;m nm n+=⎧⎨-=⎩（2）234,443;x yx y+=⎧⎨-=⎩（3）523,611;x yx y-=⎧⎨+=⎩（4）357,234232.35x yx y++⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩二、综合创新9．（综合题）已知关于x、y的方程组352,23x y mx y m+=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y=-10，求代数m2-2m+1的值．10．（应用题）（1）今有牛三头、羊二只共1900元，牛一头、羊五只共850元，•问每头牛和每只羊各多少元（2）将若干只鸡放入若干个鸡笼中，若每个鸡笼放4只，则有一只鸡无笼可放；•若每个鸡笼放5只，则有一个笼无鸡可放，那么有鸡多少只有鸡笼多少个11．（创新题）在解方程组2,78ax bycx y+=⎧⎨-=⎩时，哥哥正确地解得3,2.xy=⎧⎨=-⎩，弟弟因把c写错而解得2,2.xy=-⎧⎨=⎩，求a+b+c的值．12．（1）（2005年，苏州）解方程组11, 23 3210. x yx y+⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（2）（2005年，绵阳）已知等式（2A-7B）x+（3A-8B）=8x+10对一切实数x都成立，•求A、B的值．三、培优训练13．（探究题）解方程组200520062004, 200420052003.x yx y-=⎧⎨-=⎩14．（开放题）试在9□8□7□6□5□4□3□2□1=23的八个方框中，•适当填入“＋”或“－”号，使等式成立，那么不同的填法共有多少种四、数学世界到底有哪些硬币“请帮我把1美元的钞票换成硬币”．一位顾客提出这样的要求．“很抱歉”，出纳员琼斯小组仔细查看了钱柜后答道：“我这里的硬币换不开”．“那么，把这50美分的硬币换成小币值的硬币行吗”琼斯小组摇摇头，她说，实际上连25美分、10美分、5美分的硬币都换不开．“你到底有没有硬币呢”顾客问．“噢，有！”琼斯小组说，“我的硬币共有美元．”钱柜中到底有哪些硬币注：1美元合100美分，小币值的硬币有50美分、25美分、10美分、5美分和1美分．答案：1．加；减2．C3．B 点拨：设两数分别为x 、y ，则36,12.x y x y +=⎧⎨-=⎩解得24,12.x y =⎧⎨=⎩ ∴xy=24×12=288．故选B ．4．C 5．C 点拨：由题意，得4()4,0.x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得1,212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 故选C ．6．A 点拨：23,2 4.a b m a b m +=-⎧⎨+=-+⎩②-①得a-b=1，故选A ．7．1；-12 点拨：由题意，得5226,321 3.m n m n ++=⎧⎨--=⎩ 解得1,12m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 8．（1）2,5.m n =⎧⎨=⎩ （2）5,41.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （3）5,413.8x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（4）5,231.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩9．解：解关于x 、y 的方程组352,23x y m x y m +=+⎧⎨+=⎩得26,4.x m y m =-⎧⎨=-+⎩把26,4.x m y m =-⎧⎨=-+⎩代入x+y=-10得（2m-6）+（-m+4）=-10．解得m=-8．∴m 2-2m+1=（-8）2-2×（-8）+1=81．10．（1）解：设每头牛x 元，每只羊y 元，依题意，得321900,5850.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解这个方程组，得600,50.x y =⎧⎨=⎩答：每头牛600元，每只羊50元．（2）解：设有鸡x 只，有鸡笼y 个，依题意，得41,5(1).y x y x +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得25,6.x y =⎧⎨=⎩答：有鸡25只，有鸡笼6个．11．解：把3,2.x y =⎧⎨=-⎩ 代入2,78ax by cx y +=⎧⎨-=⎩ 得322,3148.a b c -=⎧⎨+=⎩把2,2.x y =-⎧⎨=⎩代入ax+by=2 得-2a+2b=2． 解方程组322,3148,22 2.a b c a b -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩ 得4,5,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴a+b+c=4+5-2=7．点拨：弟弟虽看错了系数c ，但2,2.x y =-⎧⎨=⎩是方程ax+by=2的解． 12．（1）解：①×6，得3x-2y-2=6，即3x-2y=8．③②+③，得6x=18，即x=3．③-②，得4y=2，即y=12． ∴3,1.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）65、-45点拨：∵（2A-7B ）x+（3A-8B ）=8x+10对一切实数x 都成立． ∴对照系数可得2A-7B=8，3A-8B=10．∴278,3810.A B A B -=⎧⎨-=⎩解得6,54.5A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即A、B的值分别为65、-45．13．解：200520062004, 200420052003.x yx y-=⎧⎨-=⎩①-②，得x-y=1，③③×2006-①，得x=2．把③代入①，得y=1．∴2,1. xy=⎧⎨=⎩点拨：由于方程组中的数据较大，所以正确解答本题的关键是将两方程相减得出x-y=1．14．解：设式中所有加数的和为a，所有减数的和为b，则a-b=23．又∵a+b=9+8+…+1=45，∴b=11．∴若干个减数的和为11．又11=8+3=7+4=6+5=8+2+1=7+3+1=6+4+1=6+3+2=5+4+2=5+3+2+1．∴使等式成立的填法共有9种．点拨：因为只填入“＋”或“－”号，所以可以把加数的和，•减数的和看作整体数学世界答案：如果琼斯小姐换不了1美元，那么她钱柜中的50美分硬币不会超过1枚．如果她换不了50美分，那么钱柜中的25美分硬币不会超过1枚，10美分硬币不会超过4枚，10•美分换不了，意味着她的5美分硬币不会超过1枚；5美分换不了，由她的1•美分硬币不超过4枚，因此，钱柜中各种硬币数目的上限是：50美分1枚 $25美分1枚10美分4枚5美分1枚1美分4枚$这些硬币还够换1美元（例如，50美分和25美分各1枚，10美分2枚，5美分1枚），•但是我们毕竟知道了钱柜中各种硬币的数目不可能比上面列出的更多，•上面这些硬币加起来总共有美元，比我们所知道的钱柜中的硬币总值美元正好多出9美分．现在，组成9美分的唯一方式是1枚5美分硬币加上4枚1美分，所以必须把这5枚硬币从上面列出的硬币中除去，余下的是1枚50美分、1枚25美分和4枚10美分的硬币．•它们既换不了1美元，也无法把50美分或者25美分、10美分、5•美分的硬币换成小币值的硬币，而且它们的总和正是美元，于是我们便得到了本题的唯一答案．。
二元一次方程组加减法例题
二元一次方程组加减法例题
将第二个方程两边乘以-1，得到-x-y=-5，然后将两个方程相加，得到x=2。
将x=2代入任何一个方程中，得到y=3。
因此，方程组的解为(x,y)=(2,3)。
例题2：
解方程组
3x + 2y = 8
2x - y = 3
解法：
将第二个方程两边乘以2，得到4x-2y=6，然后将两个方程相加，得到7x=14，即x=2。
将x=2代入任何一个方程中，得到y=1。
因此，方程组的解为(x,y)=(2,1)。
例题3：
解方程组
2x + 3y = 12
4x - y = 11
解法：
将第二个方程两边乘以3，得到12x-3y=33，然后将两个方程相加，得到14x=45，即x=45/14。
将x=45/14代入任何一个方程中，得到y=2/7。
因此，方程组的解为(x,y)=(45/14,2/7)。
以上就是二元一次方程组加减法的例题，希望对你有帮助。
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二元一次方程组加减消元法练习题
解二元一次方程组（加减法)练习题一、基础过关１、用加、减法解方程组,若先求x得值,应先将两个方程组相___＿＿＿_;若先求y得值,应先将两个方程组相＿＿______、2、解方程组用加减法消去y,需要( )A、①×2-②B、①×3－②×2 Ｃ、①×2+② D、①×3+②×23、已知两数之与就就是３6,两数之差就就是12,则这两数之积就就是( )Ａ、26６ B、288 C、-288 D、-1244、已知x、y满足方程组,则ｘ:y得值就就是( )A、11:9B、１２:７C、1１:8D、-１1:８5、已知x、y互为相反数,且(x+y+4)(x-y）＝4，则ｘ、y得值分别为（）Ａ、 B、 C、 D、６、已知a+２b＝3-ｍ且2a+b=-m＋４，则a－b得值为（）A、1B、－1C、0D、m-17、若x5m+2ｎ+２y3与-x6y3m－2n-1得与就就是单项式,则m＝______＿，n=＿＿__＿___、8、用加减法解下列方程组:(1） (2)(3) （4)二、综合创新9、(综合题)已知关于x、ｙ得方程组得解满足x+y=-1０,求代数m2-2ｍ+１得值、10、（应用题)(1)今有牛三头、羊二只共1900元,牛一头、羊五只共8５0元,•问每头牛与每只羊各多少元?（２)将若干只鸡放入若干个鸡笼中,若每个鸡笼放4只,则有一只鸡无笼可放；•若每个鸡笼放5只,则有一个笼无鸡可放,那么有鸡多少只?有鸡笼多少个？11、(创新题)在解方程组时,哥哥正确地解得,弟弟因把c写错而解得,求a+b＋ｃ得值、12、（１）（2００５年,苏州)解方程组(2)(２005年,绵阳）已知等式(２Ａ-7B)x+(3A-8B)=8ｘ+10对一切实数ｘ都成立,•求A、B得值、三、培优训练13、（探究题)解方程组14、（开放题)试在9□８□7□6□5□４□３□2□１=23得八个方框中，•适当填入“+”或“－”号，使等式成立,那么不同得填法共有多少种？四、数学世界到底有哪些硬币?“请帮我把1美元得钞票换成硬币”、一位顾客提出这样得要求、“很抱歉”,出纳员琼斯小组仔细查瞧了钱柜后答道:“我这里得硬币换不开”、“那么,把这50美分得硬币换成小币值得硬币行吗？”琼斯小组摇摇头，她说，实际上连25美分、１0美分、5美分得硬币都换不开、“您到底有没有硬币呢？”顾客问、“噢,有!”琼斯小组说，“我得硬币共有１、１５美元、”钱柜中到底有哪些硬币?注:1美元合1０0美分，小币值得硬币有5０美分、２5美分、10美分、５美分与1答案：１、加；减2、C3、Ｂ点拨:设两数分别为x、y,则解得∴xｙ=24×１2=２88、故选B、4、C5、C 点拨:由题意,得解得故选C、6、A 点拨:②－①得a-b=１，故选Ａ、7、１；－点拨:由题意，得解得8、(１） (2) (3) (４)９、解:解关于x、ｙ得方程组得把代入x＋ｙ=-１0得(２m－6)+(-m+4)＝-10、解得m＝-8、∴m2-２ｍ+１=(-８)２-２×(－8）＋１=８１、1０、(1）解：设每头牛x元，每只羊y元,依题意,得解这个方程组,得答:每头牛6０0元,每只羊５0元、(2）解:设有鸡x只,有鸡笼y个，依题意,得解这个方程组,得答:有鸡２5只，有鸡笼6个、11、解：把代入得把代入ax+by=2 得-2a+2b＝２、解方程组得∴a+ｂ＋c=4+5-2=7、点拨:弟弟虽瞧错了系数c,但就就是方程aｘ+ｂy＝2得解、12、(1)解:①×6，得3ｘ－２y-2=6,即３x-2ｙ=8、③②＋③,得6x=18，即x=３、③-②,得4y=2,即y=、∴（2)、- 点拨：∵(2A-7B)x+(3Ａ-８B)=8x＋１0对一切实数ｘ都成立、∴对照系数可得２A-7Ｂ＝8，3Ａ-8B=1０、∴解得即Ａ、Ｂ得值分别为、－、１３、解:①-②，得x-ｙ=1,③③×200６-①,得ｘ＝2、把③代入①,得y=1、∴点拨:由于方程组中得数据较大,所以正确解答本题得关键就就是将两方程相减得出14、解:设式中所有加数得与为a，所有减数得与为b,则a-ｂ＝23、又∵ａ+b＝９+８＋…＋１=45,∴b＝11、∴若干个减数得与为11、又11=８+3=７＋4=６+5＝8+2+1=7+３+１=６＋４+1=６＋3+2=５+4+２=5+3+2+1、∴使等式成立得填法共有9种、点拨:因为只填入“＋”或“－”号,所以可以把加数得与,•减数得与瞧作整体数学世界答案:如果琼斯小姐换不了1美元，那么她钱柜中得５0美分硬币不会超过1枚、如果她换不了5０美分,那么钱柜中得2５美分硬币不会超过１枚，1０美分硬币不会超过４枚,１0•美分换不了,意味着她得5美分硬币不会超过1枚;５美分换不了，由她得１•美分硬币不超过４枚,因此,钱柜中各种硬币数目得上限就就是:5０美分1枚＄0、５０２５美分1枚 0、2510美分4枚 0、40５美分1枚０、051美分4枚 0、0４$1、24这些硬币还够换1美元(例如,50美分与25美分各1枚,10美分２枚,5美分1枚),•但就就是我们毕竟知道了钱柜中各种硬币得数目不可能比上面列出得更多，•上面这些硬币加起来总共有１、2４美元,比我们所知道得钱柜中得硬币总值1、15美元正好多出9美分、现在，组成9美分得唯一方式就就是1枚５美分硬币加上4枚１美分,所以必须把这5枚硬币从上面列出得硬币中除去,余下得就就是1枚5０美分、１枚25美分与4枚1０美分得硬币、•它们既换不了1美元,也无法把5０美分或者25美分、10美分、５•美分得硬币换成小币值得硬币,而且它们得总与正就就是1、１5美元,于就就是我们便得到了本题得唯一答案、。
二元一次方程组的解法---加减法
3．通过探索二元一次方程组的解法，理解加减消元法的基本思想。
二、例题讲解
例1：解方程组
3x+5y=21 ①
2x－5y= -11 ②
因为5y和-5y是互为相反数，可以由①+②得
5x=10
x=2
把x=2代入①，得6+5y=21
二元一次方程组的解法---加减法“微课”教学设计
景泰县第四中学张晓莹
授课教师姓名
张晓莹
微课名称
二元一次方程组的解法---加减法
知识点来源
学科：数学年级：八年级教材版本：北师大版
教具
PPT课件
设计思路
通过例题学习，掌握加减法解二元一次方程组。
教学设计
内容
元法”解简单的二元一次方程组。
②加减消元,得一元一次方程．
③解一元一次方程．
④把解代入得另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
三、练习：
1.选择题：二元一次方程组 的解是（ ）
A. B. C. D.
2.若|x+y-2|+(2x+3y-5)2=0,求x,y的值。
四、小结
本节课学习了用加减法解二元一次方程组，通过例题、练习达到了学习、巩固的目的。
2．通过加减消元法，体会把“未知”转化为“已知”，把二元转化为一元的思想方法。
3．通过探索二元一次方程组的解法，理解加减消元法的基本思想。
教学重点、难点
1．重点：掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法。
2．难点：把二元一次方程组转化为一元一次方程，体会消元思想。
教学过程
一、教学目标
1．使学生理解“加减消元法”，并能用“加减消元法”解简单的二元一次方程组。
解二元一次方程组(加减消元)
请看例题并用代入法将其解答出来
5x 2 y 33 3x 2 y 7
x 5
解：
y
4
5x 2 y 33 ① 3x 2 y 7 ②
解：用①+②得
8x 40 x5 ③
把③代入①得
y4
所以方程组的解为：
x
y
5 4
同学根据刚才得算法计算下面的题
2x 5 y 7 ① 2x 3y 1 ②
② 消-----再利用等式的基本性质将变形后的两个方程 相加或相减（若未知数系数相等则用减法，若未知数系 数互为相反数，则用加法） ，消去一个未知数，得到一 个一元一次方程； ③ 解-----解这个一元一次方程，求出未知数的 值； ④ 回代----将求得的未知数的值代入原方程组中 的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；
解：用①－②得
8y 8
y 1 ③
把③代入②得
把
x 1
所以方程组解为：
x y
1 1
思考 什么是加减消元法
？
概念：当方程中两个方程的某一未知 数的系数相等或互为相反数时，把这 两个方程的两边相加或相减来消去这 个未知数，从而将二元一次方程组化 为一元一次方程，最后求得方程组的 解，这种解方程组的方法叫做加减消
用加减消元法解方程组
2x 3y 1 ① 3x y 5 ②
解： 用②×3－①得
7x 14
x2 ③
把③代入②得
y 1
x 2
所以方程组的解为：
y
1
加减消元法解题步骤：
① 变-----利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数 的系数化成相等或相反数的形式（一定要将方程的两边都 乘以同一个数，切忌只乘以一边，）；
二元一次方程组加减法
1、将其中一个未知数的系数化成相同 或互为相 反数
2、通过相减 或相加 消去这个未知数,得一个一 元一次方程。
3、解这个一元一次方程,得到这个未知数的值。 4、将求得的未知数值代入原方程组中的任意一 个方程,求得另一个未知数的值。 5、写出方程组的解。
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倍数1
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Special lecture notes
用加减消元法解方程组
3x-2y=11 ① 2x+3y=16 ②
解：①×2得6x-4y=22 ③ ②×3得6x+9y=48 ④ ③-④得 -13y = -26
y=2
把y=2代入①得3 x - 2 ×2=11
25x+20y=45 20x+40y=60
复杂的方程先化简。
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3a+2b=7 3a+b=5
5x+6y=11 5x-y=4
整体思想
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1.关于x、y的二元一次方程组
倍数2
解得x=5,即
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考考你
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2x+5y=8 3X+2y=5
2x+3y=6 3X-2y=-2
能加法消元就不要用减法消元
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二元一次方程组的加减消元法
二元一次方程组的加减消元法加减消元法是指当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或者相等时，把这两个方程的的两边分别进行相加或相减运算，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程。
加减消元法解二元一次方程组的解题步骤：
一、变形：根据绝对值较小的未知数（相同未知数）的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数，使两个方程的某一个未知数的系数相等或互为相反数，然后通过加减法消去这个未知数。
特别提醒：选择消元对象时最好选择未知数的系数互为相反数、相等、倍数关系或者是互为质数的未知数作为消元对象。
二、加减：两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程直接相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减，从而消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。
特别注意：两个方程相加减时，一定要把两个方程等号两边分别相加减，且要注意各项符号的变化。
三、求解：解消元后的一元一次方程，求出另外一个未知数的值。
四、回代：把求得未知数的值，回代到方程组中较简单的一个方程，从而求出另外一个未知数的值。
五、写解：把两个未知数的值用大括号联立起来。
二元一次方程组加减消元法
二元一次方程组加减消元法二元一次方程组是初中数学中常见的一种形式，通常表示为这样的形式：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f都是已知数，而x、y则是未知数。
解这样的方程组相当于找到满足所有方程的x、y值。
其中一种方法是使用加减消元法。
加减消元法的思路很简单，就是通过加减法将两个方程相加或相减，从而消去一个未知数。
然后将消去的未知数带入另外一个方程中求解。
下面我们详细介绍如何使用加减消元法解二元一次方程组。
第一步，将两个方程按照相应的未知数排列，如下所示：ax + by = cdx + ey = f第二步，通过加减法消去一个未知数。
这里我们以消去y为例，相当于将第一个方程乘以e，第二个方程乘以b，然后将它们相减。
式子如下：aex + bey = cedbx + bey = bf(ae-db)x = ce-bf这样，我们成功消去了y这个未知数。
由于ae-db是已知数，所以可以直接计算出x是多少：x = (ce-bf) / (ae-db)第三步，将x带回到原来的任意一个方程中，求解y的值。
为了方便，我们选择第一个方程。
式子如下：ax + by = ca((ce-bf)/(ae-db)) + by = cay = c - a((ce-bf)/(ae-db))y = (c(ae-db) - a(ce-bf)) / (b(ae-db))最终，我们就求得了这个二元一次方程组的解。
当然，实际使用加减消元法解题时，可能会遇到某个未知数的系数相同，或者两个方程中都没有一个未知数的系数相同的情况。
此时，我们需要通过倍数变换将其中一个方程的某个未知数系数变成与另一个方程相同的系数，然后再进行加减消元法。
需要注意的是，加减消元法只适用于二元一次方程组。
如果方程组中的未知数个数大于二，或者方程中出现了非一次项或非线性项，那么就无法使用加减消元法进行求解。
总之，加减消元法是解决二元一次方程组的一种有效方法。
二元一次方程组解法：加减消元法
二元一次方程组解法：加减消元法
二元一次方程组解法：加减消元法
（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
（2）用加减消元法解二元一次方程组的解
1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即乘。
2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即加减。
3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即解。
4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即回代。
5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即联。
二元一次方程组的解法：加减消元法
方程中x的系数是相同的，
②×3, 得 15x﹣18y=99, ④
都是15，相减可以消元
③ ﹣④, 得38y=﹣19 .…………（一元一次方程） y=﹣0.5
把y=﹣0.5代入①, 得3x＋4×（-0.5）=16 x=6
所以这个方程组的解是
x
y
6 0.5
总结
1、两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反，把这两个方程的两 边分别相加，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
利用这种关系用加减法解这个方程组。
解： ①+ ② 可以消去未知数y，得 4x=8 .…………（一元一次方程） x=2
把x=2代入方程①，得 2+2y=10
y=4
所以这个方程组的解是
x 2
y
4
•
例2、解二元一次方程组
x y 22 2x y 40
① ②
分析：两个方程中，y的系数都是1，所以我们可以利用这种 关系用加减法解这个方程组。
二元一次方程组的解法
加减消元法
加减消元法
两个二元一次方程中同一个未知数的 系数相反或者相等时，把这两个方程的两 边分别相加或者相减，就能消去这个未知 数，得到一个一元一次方程。这种方法叫 做加减消元法，简称加减法。
•
例1、解二元一次方程组
x 2 y 10 3x 2 y 2
① ②
分析：两个方程中，y的系数分别是+2和﹣2，所以我们可以
数的系数相等或相反。
观察可以发现变形后两个
解法一： ①×3, 得 9x＋12y=48.
③
②×2, 得 10x﹣12y=66, ④
方程中y的系数+12与-12是 互为相反数，相加可以消 元
解二元一次方程组(加减法) 教学设计
互动探究
小组讨论：
1.观察图1，D、E应该位于线段AB、AC的什么位置？
2.你能发现DE和BC有什么样的数量和位置关系？请说明理由。
3.在图2中，运用旋转和平行四边形的性质能否证明图1发现的猜想。
点拨讲解
提出新概念
1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
重难点
重点
三角形的中位线定理。
难点
中位线定理的证明。
教学过程设计
教学过程与方法
师生活动
学习引导
如图，为了测量一个池塘的宽BC，在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D、E，若测出DE的长，就可以求出池塘的宽BC，你知道这是为什么吗？
先学自研
动手操作：
1.你能将四个全等的三角形拼成一个大的三角形吗？
学生完成题目，请学生回答，老师再作讲解。
诊断反思
七、小结作业
1.提问：在这节课中大家有什么收获？
2.作业：《天府数学》训练侧
教学反思
华阳中学三维七段教学设计
课题
三角形的中பைடு நூலகம்线
课时
1
课型
新课
设计人
何曦倩
授课对象
8.2
时间
5月11日
教学目标
知识与技能
1.了解三角形的中位线的概念、定理。
2.能应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和计算。
过程与方法
通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观
积极参与课堂活动，学习从不同角度研究问题和说理的方法。
2.用加减法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？
二元一次方程组加减消元法练习题
解二元一次方程组（加减法）练习题一、基础过关1．用加、减法解方程组436,43 2.x yx y+=⎧⎨-=⎩，若先求x的值，应先将两个方程组相_______；若先求y的值，应先将两个方程组相________．2．解方程组231,367.x yx y+=⎧⎨-=⎩用加减法消去y，需要（）A．①×2-② B．①×3-②×2 C．①×2+② D．①×3+②×2 3．已知两数之和是36，两数之差是12，则这两数之积是（）A．266 B．288 C．-288 D．-1244．已知x、y满足方程组259,2717x yx y-+=⎧⎨-+=⎩，则x：y的值是（）A．11：9 B．12：7 C．11：8 D．-11：85．已知x、y互为相反数，且（x+y+4）（x-y）=4，则x、y的值分别为（）A．2,2xy=⎧⎨=-⎩B．2,2xy=-⎧⎨=⎩C．1,212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩D．1,212xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6．已知a+2b=3-m且2a+b=-m+4，则a-b的值为（） A．1 B．-1 C．0 D．m-17．若23x5m+2n+2y3与-34x6y3m-2n-1的和是单项式，则m=_______，n=________．8．用加减法解下列方程组：（1）3216,31;m nm n+=⎧⎨-=⎩（2）234,443;x yx y+=⎧⎨-=⎩（3）523,611;x yx y-=⎧⎨+=⎩（4）357,234232.35x yx y++⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩二、综合创新9．（综合题）已知关于x、y的方程组352,23x y mx y m+=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y=-10，求代数m2-2m+1的值．10．（应用题）（1）今有牛三头、羊二只共1900元，牛一头、羊五只共850元，•问每头牛和每只羊各多少元？（2）将若干只鸡放入若干个鸡笼中，若每个鸡笼放4只，则有一只鸡无笼可放；•若每个鸡笼放5只，则有一个笼无鸡可放，那么有鸡多少只？有鸡笼多少个？11．（创新题）在解方程组2,78ax bycx y+=⎧⎨-=⎩时，哥哥正确地解得3,2.xy=⎧⎨=-⎩，弟弟因把c写错而解得2,2.xy=-⎧⎨=⎩，求a+b+c的值．12．（1）（2005年，）解方程组11, 23 3210. x yx y+⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（2）（2005年，）已知等式（2A-7B）x+（3A-8B）=8x+10对一切实数x都成立，•求A、B的值．三、培优训练13．（探究题）解方程组200520062004, 200420052003.x yx y-=⎧⎨-=⎩14．（开放题）试在9□8□7□6□5□4□3□2□1=23的八个方框中，•适当填入“＋”或“－”号，使等式成立，那么不同的填法共有多少种？四、数学世界到底有哪些硬币？“请帮我把1美元的钞票换成硬币”．一位顾客提出这样的要求．“很抱歉”，出纳员琼斯小组仔细查看了钱柜后答道：“我这里的硬币换不开”．“那么，把这50美分的硬币换成小币值的硬币行吗？”琼斯小组摇摇头，她说，实际上连25美分、10美分、5美分的硬币都换不开．“你到底有没有硬币呢？”顾客问．“噢，有！”琼斯小组说，“我的硬币共有1.15美元．”钱柜中到底有哪些硬币？注：1美元合100美分，小币值的硬币有50美分、25美分、10美分、5美分和1美分．答案：1．加；减2．C3．B 点拨：设两数分别为x、y，则36,12.x yx y+=⎧⎨-=⎩解得24,12.xy=⎧⎨=⎩∴xy=24×12=288．故选B．4．C5．C 点拨：由题意，得4()4,0.x yx y-=⎧⎨+=⎩解得1,212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故选C．6．A 点拨：23,2 4.a b m a b m+=-⎧⎨+=-+⎩②-①得a-b=1，故选A．7．1；-12点拨：由题意，得5226,321 3.m nm n++=⎧⎨--=⎩解得1,12mn=⎧⎪⎨=-⎪⎩8．（1）2,5.mn=⎧⎨=⎩（2）5,41.2xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（3）5,413.8xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（4）5,231.4xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩9．解：解关于x、y的方程组352,23x y mx y m+=+⎧⎨+=⎩得26,4.x my m=-⎧⎨=-+⎩把 4.y m ⎨=-+⎩代入x+y=-10得 （2m-6）+（-m+4）=-10．解得m=-8．∴m 2-2m+1=（-8）2-2×（-8）+1=81．10．（1）解：设每头牛x 元，每只羊y 元，依题意，得321900,5850.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解这个方程组，得600,50.x y =⎧⎨=⎩ 答：每头牛600元，每只羊50元．（2）解：设有鸡x 只，有鸡笼y 个，依题意，得41,5(1).y x y x +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得25,6.x y =⎧⎨=⎩ 答：有鸡25只，有鸡笼6个．11．解：把3,2.x y =⎧⎨=-⎩ 代入2,78ax by cx y +=⎧⎨-=⎩ 得322,3148.a b c -=⎧⎨+=⎩把2,2.x y =-⎧⎨=⎩ 代入ax+by=2 得-2a+2b=2． 解方程组322,3148,22 2.a b c a b -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩ 得4,5,2.a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴a+b+c=4+5-2=7．点拨：弟弟虽看错了系数c ，但2,2.x y =-⎧⎨=⎩是方程ax+by=2的解． 12．（1）解：①×6，得3x-2y-2=6，即3x-2y=8．③②+③，得6x=18，即x=3．③-②，得4y=2，即y=12． ∴3,1.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ （2）65、-45点拨：∵（2A-7B ）x+（3A-8B ）=8x+10对一切实数x 都成立． ∴对照系数可得2A-7B=8，3A-8B=10．∴3810.A B ⎨-=⎩ 解得6,54.5A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即A 、B 的值分别为65、-45． 13．解：200520062004,200420052003.x y x y -=⎧⎨-=⎩①-②，得x-y=1，③③×2006-①，得x=2．把③代入①，得y=1．∴2,1.x y =⎧⎨=⎩ 点拨：由于方程组中的数据较大，所以正确解答本题的关键是将两方程相减得出x-y=1．14．解：设式中所有加数的和为a ，所有减数的和为b ，则a-b=23．又∵a+b=9+8+…+1=45，∴b=11．∴若干个减数的和为11．又11=8+3=7+4=6+5=8+2+1=7+3+1=6+4+1=6+3+2=5+4+2=5+3+2+1．∴使等式成立的填法共有9种．点拨：因为只填入“＋”或“－”号，所以可以把加数的和，•减数的和看作整体 数学世界答案：如果琼斯小姐换不了1美元，那么她钱柜中的50美分硬币不会超过1枚．如果她换不了50美分，那么钱柜中的25美分硬币不会超过1枚，10美分硬币不会超过4枚，10•美分换不了，意味着她的5美分硬币不会超过1枚；5美分换不了，由她的1•美分硬币不超过4枚，因此，钱柜中各种硬币数目的上限是：50美分1枚 $0.5025美分1枚 0.2510美分4枚 0.405美分1枚 0.051美分4枚 0.04$1.24这些硬币还够换1美元（例如，50美分和25美分各1枚，10美分2枚，5美分1枚），•但是我们毕竟知道了钱柜中各种硬币的数目不可能比上面列出的更多，•上面这些硬币加起来总共有1.24美元，比我们所知道的钱柜中的硬币总值1.15美元正好多出9美分．现在，组成9美分的唯一方式是1枚5美分硬币加上4枚1美分，所以必须把这5枚硬币从上面列出的硬币中除去，余下的是1枚50美分、1枚25美分和4枚10美分的硬币．•它们既换不了1美元，也无法把50美分或者25美分、10美分、5•美分的硬币换成小币值的硬币，而且它们的总和正是1.15美元，于是我们便得到了本题的唯一答案．。
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3x+(2x+11)=21解出x=2,把x=2代入①
解
x=2
y=3
在 种这关出个系y方你=程 能3组 发,即的 现两 新个 的方消程元中方法y的吗系？数有什么关系？利用这
上面两个方程中y的系数相反，①+ ②可以消去未知数y得3x+2x=10解出 x=2,把x=2代入①得4-5y=-11解出
y=3,即
把y=2代入①得3 x - 4 ×2=17
解得x=3,即
x=3 y=2
加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1、将其中一个未知数的系数化成相同（或 互为相反数）
2、通过相减（或相加）消ห้องสมุดไป่ตู้这个未知数， 得一个一元一次方程。
3、解这个一元一次方程，得到这个未知数 的值。
4、将求得的未知数值代入原方程组中的任 意一个方程，求得另一个未知数的值。
加或减 求解 写解
同一个未知数的系数 相同或相反
消去一个 元
求出两个未知数的值 写出方程组的解
必做题：课本P106习题3.3 第6
题(2)（3）(4)。
作
业
选做题：课本P106习题3.3第6
题（1）（5）（6）
x=2 y=3
联系上面的解法，想一想怎样解方程组
2x-5y=7 ① 2x+3y= -1 ②
这两个方程中x的系数相同，②-①可以消 去未知数x得3y-(-5y)=-1-7解出y=-1，
把y=-1代入①解出x=1,即 x=1 。 y=-1
从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元 一次方程的两边分别进行相加（或相减），就可 以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反 或相同时，将两个方程的两边分别相加或相减 就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程 这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
用加减消元法解方程组
2x+3y=12 3x+4y=17
① ②
解：①×3得6x+9y=36 ③ ②×2得6x+8y=34 ④ ③-④得 y=2
沪科版七年级上册第三章
• 3.3二元一次方程组的解法 • 白帽中心学校宋伟风
解二元一次方程组的基本思想是：“消元”—— 把“二元”变为“一元”
代入消元法的步骤：
1、将其中一个方程的某个未知数用
含有另一个未知数的代数式表示出来；
2、将这个代数式代入另一个方程中，
从而消去一个未知数，化二元一次方程组 为一元一次方程式；
5、写出方程组的解。
关于x、y的二元一次方程组
与
的解相同，求a、b的值。
解：2×①得4x+6y=8 ③, ②-③得-11y= -11解得 y=1,
把y=1代入①解得x=1/2,
把x=1/2和y=1代入
得
①+②得a=6,把 a=6 代入①解得b=-1即
小结归纳
基本思路 加减消元 二元
一元
主要步骤 变形
3、解这个一元一次方程；
温 故
知 4、把求得的一次方程的解代入方程
中，求得另一个未知数的值； 5、写出方程组的解。
新
解方程组
3x+5y=21 ① 2x-5y=-11 ②
方法一、将①中的x=(21-5y)/3代入②得
2 (21-5y)/3 -2y=5 解出y=3,把y=3代入
①,
x=2
y=3 解出x=2,即 方法二、将①中的5y=2x+11代入②得